伴随矩阵的性质知识讲解

伴随矩阵的性质
编号2009011118
毕业论文（设计）
（ 2013 届本科）
论文题目：伴随矩阵的性质
学院：数学与统计学院
专业：数学与应用数学
班级：09级本科1班
作者姓名：魏瑞继
指导教师：俱鹏岳职称：副教授
完成日期：2013年 4 月20日
目录
陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4)
摘要 (5)
关键词 (5)
0引言 (5)
1主要结论 (6)
1.1伴随矩阵的基本性质 (6)
1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9)
1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10)
1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11)
2应用举例 (12)
例1 (12)
例2 (12)
结束语 (13)
参考文献 (13)
致谢 (14)
陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明
本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名：
二〇一二年十二月二十日
伴随矩阵的性质
魏瑞继
（陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000）
摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵
0引言
伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广.
定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ⨯=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即
ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n).
定义2[2] 方阵()ij n n A a ⨯=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵
A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵.
1主要结论
1.1伴随矩阵的基本性质
性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么
()r A *= (A)1(A)10(A)1n r n r n r n ⇔=⎧⎪
⇔=-⎨⎪⇔<-⎩
.
证明 （1）⇒）设()r A n *=,设()r A n <,则0A =，AA A E *=0= 由()r A n *=知A *为可逆矩阵，从而推得0A =，即A 为零矩阵. 于是A *也为零矩阵，与()r A n *=矛盾，所以()r A n =;
(2) ⇒）如果()1r A *=,则A *中至少有一个元素ij A ≠0，即A 中至少有一个1n - 阶子式不为0，故()1r A n ≥-. 而r(A *) =1<n ，所以()1r A n =-;
(3) ⇒）如果()0r A *=,即A *为零矩阵，而A *中元素均为A 中的1n -阶代数余子式，从而A 中的所有1n -阶子式全为0，所以()1r A n <-;
性质2[4] 若矩阵A 为非奇异阵，k 为常数（k ≠0），则1()n kA k A *-*=. 证明 由A *=1A A -及11
1()kA A k
--=
可得 111
()()n kA kA kA k A A k
*--==⋅=111n n k A A k A ---*=.
性质3 （1）无论A 是奇异阵还是非奇异阵，等式1
n A A -*= (2n ≥)成立[5];
（2）设A 为n 阶方阵，则2
()n A A
A -**=[6].
证明 （1）当A 是奇异阵时，0A =，因为A *=1A A -0=为零阵. 所以 10A A A *-==，从而等式1
n A A
-*= (2n ≥)成立.
当A 是非奇异阵时，0A *≠，由AA A E *=得n
A A A E A *==. 所以 1
n A A
-*=（2n ≥）.
（2）当A ≠0时，()A **=1
11()()n A A A
A --*-*==1
2
1()n n A
A A A
A ---=.
当A =0时，知()1r A n ≤-，若()1r A n =-，则()11r A n *=<-. 由性质1知r (()A **)=0,从而()A **=0=2
n A A -
若()1r A n <-，则r(A *)=0，即A *=0 故()A **=0=2
n A
A -.
性质4 设A ，B 为n 阶方阵，则()AB B A ***=. 证明 （1）当0A ≠，B ≠0时，由A *=1A A -可得
()AB *=11111()AB AB A B B A B B A A B A -----**===. （2）当0A =，B =0时，令()A x xE A =+，()B x xE B =+
只要x 充分大，()A x ，()B x 都可逆，所以(()())(())(())A x B x B x A x ***=
上式两端矩阵中的元素都是关于x 的多项式，由于两端对应元素相等，所以对应元素是相等的多项式，即上式对任意的x 都成立. 特别的取x =0，即得()AB B A ***=. 推论 设12,,,s A A A L 均为n 阶方阵，则 1221()s s A A A A A A ****=L L .
性质5 设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则有2
20(1)A B 0A 0(1)A 0n n B B *
**⎡
⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
. 证明 因为-1-10A 0B 0A
0B ⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦=-1
-1AA 00B B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=00n
n E E ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
=2n E 所以0A 0B ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
可逆，且-1
0A 0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-1-10B A 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 又有
2
2
0A 0=(1)=(1)A 0
A
n
n B B B
--
由-1A =A A *可得0A 0B *
⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-1
0A 0A 00B B ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=2
-1-10B (1)A A 0n B ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
=22-1-10(1)A B (1)A A 0n n B B ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=2
20(1)A B (1)A 0n n B **
⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ .
推论 设A ，B ，C 均为n 阶可逆矩阵，则有
2
2
20
0(1)A C 0
A 0
00(1)A C B 0
00(1)C A 0
0n n n B B C B **
*
*⎡⎤
-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
⎢⎥⎣
⎦
. 性质6[4] 若A 为n 阶方阵，则()()T T A A **=.
证明 (1)当A 为非奇异矩阵时，有A ≠0，T A =A ≠0，1
0n A A -*=≠
即T A ，A *也为非奇异阵.
由A *=1A A -可得11()()()T T T A A A A A *--== 又 11(A )=A (A )=A (A )T T T T *--
因为11A (A )=A A =T T T
T E E --=（）
所以1(A )T -=1A T -（） 即(A )T *=A T
*（）.
(2)当A 为奇异阵时，设A = 1112
121
22
212
n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
L L M M O M L
，则T A 的第i 行第j 列元素为ij
a ，
()T A *的第i 行第j 列元素为ij A ，A *的第i 行第j 列元素为ji A ，()T A *的第i 行第j 列元
素为 ij A (i ,j=1,2,……,n )， 所以()T A *= ()T A *.
性质7 (1)设A 是n 阶非奇异阵，则111
()()A A A A
-**-==
; (2)设A 是n 阶非奇异阵，则1
11()()T T T A A A A
*--*⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦. 证明 (1)由A *= 1A A -得 1111111
()()()A A A A A A A
*-----==
=
又11111()()A A A A A
-*---==
所以11()()A A -**-= =
1A A
. (2)由性质6得11()()T
T A A *
--*
⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦ 由(1)得11
()()T
T
A A -**-⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦.
又因为11()()T T T T A A A A E E --===, 所以11()()T T A A --=
1
1()()T
T A A -*-*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦即1
-1()()T T
A A *
-*⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦
又11
111111()()()()T T T T T A A A A A A A
*-------⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以1
11()()T T T A A A A
*--*⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦. 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质
性质8 若A 是可逆矩阵，λ是其特征值，α是A 的属于特征值λ的特征向量，则 A *的特征值为
A
λ
，α是A *的属于特征值
A
λ
的特征向量.
证明 因为A 是可逆矩阵，所以λ≠0，在A αλα=两边左乘A *得 A A A αλα**= 即 A A A αλα**=.
又AA A E *=， 所以 A E A αλα*= 即1A
A A E αλααλ
*-==
.
所以
A
λ
为A *
的特征值，α是A *的属于特征值
A
λ
的特征向量.
性质9 设A 是不可逆矩阵，若λ是A 的非零特征值，α是A 的属于λ的特征向量， 则
α是A *的属于特征值0的特征向量.
证明 由条件可知A αλα=(λ≠0)，两边左乘A *得 A A A αλα**= 即A E A αλα*=.
由于A =0，λ≠0，所以0A αα*=⋅ 即α是A *的属于特征值0的特征向量.
推论 设A 是不可逆矩阵，若λ是A *的非零特征值，α是A *的属于λ的特征向量， 则
α是A 的属于特征值0的特征向量. 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质
性质10[7] (1)若A 是n 阶对称矩阵，那么A *也是n 阶对称矩阵；
(2)若A 是n 阶反对称矩阵，那么当n 是偶数时，A *也是n 阶反对称矩阵；当n 是奇数时，A *是n 阶对称矩阵.
证明 (1)因为A 是n 阶对称矩阵，所以T A =A . 又()()T T A A A ***==，所以A *是n 阶对称矩阵. (2)因为A 是n 阶反对称矩阵，所以T A =A -. 又1()()()(1)T T n A A A A ***-*==-=-
当n 是偶数时，有1(1)n A A -**-=-，所以A *也是n 阶反对称矩阵； 当n 是奇数时，有1(1)n A A -**-=，即()T A A **=，所以A *是n 阶对称矩阵. 性质11[8] 若A 是n 阶正定矩阵，则A *也是n 阶正定矩阵 . 证明 若A 正定，则A 为对称矩阵，由性质10知A *也为对称矩阵. 其次可得A 的所有特征值λ均大于0，由性质8知
A *的所有特征值也大于0，即A *为正定矩阵. 性质12[9] 若A 是正交矩阵，则A *也是正交矩阵 . 证明 设A 是正交矩阵，则有T T A A AA E == 又A *()T A *= 1()()T T A A A A E E E E ****-==== 所以A *也是正交矩阵.
性质13 若A 是上(下)三角矩阵，则A *也是上(下)三角矩阵.
证明 设A =()ij a 是上三角矩阵，则当i>j 时，有ij a =0.
当i<j 时，ij a 的余子式ij M 为n-1阶的三角行列式，且主对角线上的元素至少有一个为
零，所以ij M =0(i<j)，即有ij A =0(i<j).
故A *也为上三角矩阵.
同理可证，若A 是下三角矩阵，则A *也为下三角矩阵.
推论 当A 是对角矩阵时，A *也是对角矩阵.
1.4两伴随矩阵间的关系性质
性质14 若方阵A 等价于B ，则A *等价于B * .
证明 因为A 等价于B ，则存在可逆矩阵P ，Q 使得PAQ B =
两边取伴随矩阵得()PAQ B **=
即有Q A P B ****=.
因为P ,Q 可逆，所以P *，Q *也可逆，因此A *等价于B *.
性质15[10] 若A 与B 相似，则A *与B *也相似.
证明 当A 可逆时，因为A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -=B . 两边取行列式得A B =，所以B 也可逆，即111P A P B ---=. 上式两边分别乘以,A B 得111P A A P B B ---=.
即1P A P B -**=，所以A *与B *相似.
性质16 若A 与B 合同，且A 与B 可逆，则A *与B *也合同.
证明 因为A 与B 合同，所以存在可逆矩阵P ，使得T P AP B =. 又A 与B 可逆，上式两边取逆，得 1111()T P A P B ----=
即1111()T P A P B ----=.
令1()T P -=C ，则1T P C -=，所以11T C A C B --=.
又由1111()T P A P B ----=得 2
P A B ⋅= 所以211T P A C A C B B --⋅= 即()()T P C A P C B **⋅=.
令Q=P C ，则T Q A Q B **=
所以A *与B *合同. 2应用举例
例1 设A 、B 、C 均为3阶可逆矩阵，且A =3，B =2，C =5
A *=110012009-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，
B *=400110211⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，
C *=500050001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求000000A B C *
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解 由性质5的推论可得
00000A B C
*⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=99900(1)3(2)0(1)350(1)(2)500C B A ***⎡⎤-⋅⋅-⎢⎥-⋅⋅⎢⎥⎢⎥-⋅-⋅⎣⎦
=0060
1501000C B A ***⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0000003000000000030000000000600060000000001515000000030151500010100000000010200
000000090000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 例2 设A =100130225012⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，A *是A 的伴随矩阵，求1()T A -*⎡⎤⎣⎦.
解 因A =1
001
302
25
12=14-≠0，所以A 可逆
由性质7可得 11()T T A A A -*⎡⎤==⎣⎦100400140
1024206103502
2⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ .
结束语
这篇论文在伴随矩阵的基本性质的基础上，较为详细地归纳并讨论了伴随矩阵的性质，尤其是将矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系做成了充要条件，并给出了相应的证明，而关于伴随矩阵秩的其它性质还很多，限于篇幅，在此就不一一赘述.但我的学识有限，所做工作仍有许多不足之处.
参考文献
[1]李明.伴随矩阵秩的研究[J].陕西理工学院学报，2008.6.7-8.
[2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.6. 第五版.
[3]张禾瑞.高等代数同步辅导及习题全解[M].徐州：中国矿业大学出版社，2008.4.
[4]陈艳凌，许杰.矩阵A 的伴随矩阵A *的性质[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2007年第2期， 2007.2.151-153.
[5]肖翔，许伯生.伴随矩阵的性质[J].上海工程技术大学教育研究，2007.3.52-53.
[6]郑群珍，封平华.伴随矩阵的性质及应用研究[J].河南教育学院学报（自然科学版），第20卷第3期，2011.9.13-14.
[7]王航平.伴随矩阵的若干性质[J].中国计量学院学报，2004.3.246-247.
[8]朱焕，关丽杰，范慧玲.有关伴随矩阵的性质[J].高师理科学刊，第28卷第3期，2008.5.22-23.
[9]任化民.伴随矩阵的性质[J].工科数学，第14 卷第1期，1998.2.155-157.
[10]孙红伟.伴随矩阵性质的探讨[J].高等函授学报（自然科学版），第20卷第3期，2006.6.37-38.
The properties of adjoint matrix
WEI Ruiji
（School of Mathematics and Statistics,Longdong University Gansu Qingyang 745000）Abstract: Adjoint matrix is an important basic concepts in matrix theory, we studied the several classes of adjoint matrix of the matrix,obtain some valuable conclusions and give some applied examples.
Key words:Adjoint matrix; Partitioned matrix; Orthogonal matrix; Similar matrix
致谢
我的论文是在我的指导老师俱鹏岳副教授悉心指导下完成的，在论文的选题、资料查询及定稿过程中，给予我无私的帮助和悉心的指导，他的教诲将使我终身受益.。