伴随矩阵的性质知识讲解

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伴随矩阵的定义

伴随矩阵（Adjointmatrix）是数学中非常重要的一种矩阵，它也叫做逆矩阵、变换矩阵、互补矩阵或伴随变换，它表示了一种线性变换，并且保持着一定的性质。伴随矩阵可以用来求解线性方程组，并在线性变换、应力分析和物理学上有着重要的应用。

简言之，伴随矩阵是一个有特定性质的高维矩阵，它可以用来表示一种线性变换，它可以将一个数组映射到另一个数组。伴随矩阵的性质，主要取决于它的矩阵的形状，以及它的元素的值。

伴随矩阵是一个m*m的实方阵，其中m为一个正整数，它可以用于表示任意n*m的矩阵A。这里的n是矩阵A的行数，m是矩阵A的列数。

定义：伴随矩阵A*是一个元素满足下式的m*m矩阵：

A*ij=(-1)i+j(det Aij)，其中det Aij表示矩阵Aij的行列式，ij 表示矩阵Aij中第i行和第j列之外的元素组成的子矩阵的行列式。

这里的(-1)i+j表示第i行和第j列之外的元素的符号，有的元素的符号为正，有的元素的符号为负，这取决于元素的位置。

伴随矩阵的一个重要性质就是它的秩和原矩阵一样，即

rank(A*)=rank(A)。

又由于A*A=|A|I，它可以用来求解A*X=B未知矩阵X，其中A是m*n的实方阵，B是n*1的列向量。

由于伴随矩阵的定义，它不具有任何特例性质，它的性质完全取决于它的形状和元素的值。伴随矩阵的主要作用是用来表达特定的矩

阵变换，在这些变换中，定义中的变量I表示单位矩阵。

伴随矩阵的应用很广泛，常见的应用有：

（1）在数学中，它用来表示线性变换，并用来求解线性方程组；

伴随矩阵运算法则

（最新版）

1.伴随矩阵的定义与性质

2.伴随矩阵的运算法则

3.伴随矩阵的应用

4.总结

正文

一、伴随矩阵的定义与性质

伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与逆矩阵有着密切的关系。伴随矩阵的定义是：一个方形矩阵 A 的伴随矩阵，是由矩阵 A 的代数余子式构成的一个矩阵。伴随矩阵的性质包括：

1.伴随矩阵是一个方阵，其行数和列数与原矩阵相同。

2.伴随矩阵的元素是原矩阵的代数余子式，即伴随矩阵第 i 行第 j 列的元素是原矩阵的第 j 行第 i 列的代数余子式。

3.伴随矩阵的转置等于原矩阵的代数余子式的转置。

二、伴随矩阵的运算法则

伴随矩阵的运算法则主要包括以下几点：

1.伴随矩阵的加法：两个矩阵的伴随矩阵相加，对应位置的元素是两个矩阵对应位置的代数余子式之和。

2.伴随矩阵的数乘：一个矩阵的伴随矩阵与一个标量的乘积，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式乘以该标量。

3.伴随矩阵的乘法：两个矩阵的伴随矩阵相乘，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式的乘积。

三、伴随矩阵的应用

伴随矩阵在线性代数中有广泛的应用，主要包括：

1.求解线性方程组：当矩阵 A 可逆时，可以用伴随矩阵表示矩阵 A 的逆矩阵，从而求解线性方程组。

2.矩阵的行列式：矩阵的行列式等于其伴随矩阵的行列式，可以利用伴随矩阵求矩阵的行列式。

3.矩阵的秩：伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩，可以利用伴随矩阵求矩阵的秩。

四、总结

伴随矩阵是线性代数中的一个基本概念，它与逆矩阵、行列式等有着密切的关系。

伴随矩阵的性质

1. 什么是伴随矩阵

在线性代数中, 对于一个n阶方阵A, 定义其伴随矩阵(adjugate matrix)为矩阵A的伴随矩阵是一个与A的行列式相差一个符号的转置矩阵, 记作adj(A)。伴随矩阵在求解矩阵方程, 计算逆矩阵, 求解线性方程组等问题中具有重要的应用。

2. 伴随矩阵的性质

伴随矩阵具有以下性质：

2.1 行列式的关系

伴随矩阵和原始矩阵的行列式之间有以下关系：

det(adj(A)) = det(A)^(n-1)

其中A是一个n阶方阵。

2.2 逆矩阵的关系

如果A是一个可逆矩阵, 则其伴随矩阵与其逆矩阵满足以下关系：

adj(A) = (1 / det(A)) * A^(-1)

其中A是一个可逆矩阵。

2.3 转置矩阵的关系

两个方阵的伴随矩阵的转置矩阵之间存在以下关系：

(adj(A))^T = adj(A^T)

其中A是一个方阵。

2.4 伴随矩阵的乘积

对于任意两个方阵A和B, 它们的伴随矩阵的乘积满足以下关系：

adj(AB) = adj(B) adj(A)

2.5 伴随矩阵和幂

对于一个方阵A和正整数k, 其伴随矩阵的k次幂满足以下关系：

(adj(A))^k = adj(A^k)

3. 伴随矩阵的应用

伴随矩阵在求解矩阵方程, 计算逆矩阵, 求解线性方程组等问题中具有重要的应用。

3.1 矩阵方程的求解

对于一个给定的矩阵方程Ax = b, 其中A是一个可逆矩阵, b 是一个列向量, 则可以通过伴随矩阵来求解方程的解x。具体的求解方法为：

x = A^(-1) * b = (1/det(A)) * adj(A) * b

伴随矩阵定义

在线性代数中，伴随矩阵是一个方阵，它是原矩阵的行列式的各元素的代数余子式组成的矩阵。伴随矩阵的性质和应用十分广泛，它在矩阵求逆、线性方程组的求解、行列式的计算等方面都有着重要的作用。

伴随矩阵的定义

给定一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记作adj(A)，由A的各元素的代数余子式组成。其中，第i行第j列元素的代数余子式记作Aij，它是A的第i行第j列元素的代数余数，即Aij=(-1)^(i+j)Mij，其中Mij是A的第i行第j列元素的余子式。

伴随矩阵的计算方法

对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵adj(A)的计算方法如下：

1. 计算A的每个元素的代数余子式Mij；

2. 将Mij的符号和位置调整，得到矩阵C；

3. 对矩阵C进行转置，得到伴随矩阵adj(A)。

伴随矩阵的性质

伴随矩阵有以下几个重要的性质：

1. 若A为可逆矩阵，则adj(A)为可逆矩阵，且

(adj(A))^-1=(1/|A|)A，其中|A|为A的行列式。

2. 若A为非奇异矩阵，则A^-1=(1/|A|)adj(A)，其中|A|为A 的行列式。

3. 若A为对称矩阵，则adj(A)也为对称矩阵。

4. 若A为反对称矩阵，则adj(A)也为反对称矩阵。

伴随矩阵的应用

伴随矩阵在矩阵求逆、线性方程组的求解、行列式的计算等方面都有着重要的应用。

1. 矩阵求逆

若A为可逆矩阵，则A的逆矩阵A^-1=(1/|A|)adj(A)。因此，我们可以通过计算伴随矩阵来求解可逆矩阵的逆矩阵。

2. 线性方程组的求解

若A为非奇异矩阵，则线性方程组Ax=b的解为

关于伴随矩阵性质的探讨

1引言

矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具．伴随矩阵作为矩阵中较特

殊的一类，其理论和应用有自身的特点．设n 阶矩阵⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=n n n a a a a A 1111，()n j i 2,1,= 是A

中元素ij a 的代数余子式，称矩阵⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n A A A A A 1

111*

为A 的伴随矩阵[]1(176)P ．在大学本科的学

习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究．本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给出了证明过程，得到一系列有意义的结果．从而使高等代数中的重要概念——伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前．

2伴随矩阵的性质

2.1伴随矩阵的基本性质性质1[]

2(5253)

P P - E A AA A A ==*

性质2 若0=A ,则0*

=AA . 性质3 1

-=n A

A .

证明由性质E A AA =*

得E A AA =*，从而 n

A A A =*

，两边同时左乘1

-A

得

*-=n A

A ，即为所证．

2.2可逆性质

性质4 若A 可逆，则1

-=A A A （或*1

A A A

--=）.

证明由性质1，E A AA =*

两边同时左乘1

-A 得

E A A AA A 1*1--=，

即 *1

A A A

A A A ---==．

性质5 若A 可逆，则*

A 可逆且()

A A A

*--=.

证明若A 可逆，即0,01

≠=≠-n A

A A ，从而*A 可逆又有性质4得

()

A A A A A

伴随矩阵

方阵的各元素的代数余子式所构成的如下矩阵：该矩阵称为矩阵的伴随矩阵。
性质
伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具，伴随矩阵的一些新的性质被不断发现与研究。伴随矩阵的一些基本性质如下：
（1）可逆当且仅当可逆；（2）如果可逆，则；（3）对于的秩有：（4）；（5）；（6）若可逆，则；（7）；（8）。（9）AA = AA = |A|E
（2）当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。
（3）二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素变号。
m重
设为n阶方阵，则称n阶方阵为的m重伴随矩阵，记为：，其中括号为m重。特别地，。
谢谢观看
特殊求法
（1）当矩阵是大于等于二阶时：
主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以，，为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始。主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为 =,所以，一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。
伴随矩阵
数学术语Biblioteka Baidu
01 定义
03 特殊求法
目录
02 性质 04 m重
在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵也存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

伴随矩阵概念

伴随矩阵是线性代数中的一个重要概念，通常用于求解线性方程组的逆矩阵以及其他一些代数运算中。伴随矩阵也被称为伴随矩阵、伴随阵或者伴随矩阵。给定一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，其定义如下：

对于A的每一个元素a(i,j)，其代数余子式A(i,j)构成的矩阵，其转置矩阵即为A的伴随矩阵。

换句话说，伴随矩阵的元素（i,j）的值等于原矩阵A的代数余子式A(j,i)。

伴随矩阵的作用主要体现在求解逆矩阵的过程中。对于一个n阶可逆矩阵A，其逆矩阵A^(-1)可以通过以下公式计算得到：

A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)

其中，det(A)表示A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵。因此，伴随矩阵在求解逆矩阵的过程中起到了关键作用。

伴随矩阵还可以用于解决线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题中。它是线性代数中一个重要的工具，具有广泛的应用价值。

关于伴随矩阵性质的探讨

伴随矩阵，也称作伴随矩阵、伴随阵或伴随矩阵，是在线性代数中一

个重要的概念。在矩阵理论和线性代数中，对于任意一个n阶矩阵A，我

们可以定义它的伴随矩阵Adj(A)，也表示为A*。

伴随矩阵的定义是：对于一个n阶矩阵A，它的伴随矩阵Adj(A)是一

个n阶矩阵，它的每一个元素都等于A的代数余子式的代数余子式时，这

个元素的行号与列号之和为偶数次时，其代数余子式乘以(-1)。如果行号

与列号之和为奇数次时，元素值不变。

伴随矩阵在许多应用中起着重要的作用，它有许多重要性质值得探讨。

1. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方乘以n-1的阶乘。即det(A*) = det(A)^(n-1) * (n-1)!

2. 如果一个矩阵A可逆，那么它的伴随矩阵也是可逆的，且

(Adj(A))^-1 = (A^-1)*，其中A^-1表示A的逆矩阵。

3.如果一个矩阵A的伴随矩阵是可逆的，那么A也是可逆的。这可以

通过用伴随矩阵左乘A的逆矩阵来证明。

4.如果一个矩阵A是一个方阵，且它的伴随矩阵与A可交换（即

A*·A=A·A*），那么A是一个可逆矩阵。

5.如果两个矩阵A和B的乘积等于一个单位矩阵I，那么它们的伴随

矩阵也满足(A·B)*=B*·A*。这个性质对于求解线性方程组等问题非常有用。

6.伴随矩阵的积与转置的关系：(A·B)*=B*·A*。这个性质说明了两个矩阵相乘后的伴随矩阵等于倒序相乘后的伴随矩阵，即A和B的伴随矩阵相乘的结果等于B的伴随矩阵和A的伴随矩阵相乘的结果。

7. 伴随矩阵的伴随矩阵等于原矩阵的(n-2)次方乘以(n-2)的阶乘。即(Adj(A)) = (Adj(Adj(A))) = A^(n-2) * (n-2)!

伴随矩阵与伴随变换的定义与性质

伴随矩阵与伴随变换的定义与性质伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与伴随变换有着密切的关系。本文将介绍伴随矩阵和伴随变换的定义与性质，并探讨它们在矩阵理论与线性变换中的应用。

一、伴随矩阵的定义

给定一个n阶矩阵A=(a_ij)。我们定义A的伴随矩阵Adj(A)为A的代数余子式矩阵的转置矩阵，即Adj(A) = (C_ij)T，其中C_ij是A的代数余子式。

二、伴随变换的定义

根据伴随矩阵的定义，我们可以引入伴随变换的概念。给定一个n 维向量空间V上的线性变换T，我们定义其伴随变换为V上的另一个线性变换T*，其中对于任意向量v∈V，有(T*v, u) = (v, T*u)，这里(u, v)表示内积。

三、伴随矩阵的性质

1. 伴随矩阵的秩与原矩阵的秩相等。

证明：设A为一个n阶矩阵，rank(A)=r。对于任意的n阶矩阵B，有rank(B)≥ rank(A)。因此，我们只需证明rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。

首先，矩阵A的伴随矩阵的任意一列都可以由A的列向量线性表示，因此rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。

其次，由于A的伴随矩阵的每一行都由A的行向量线性表示，因

此rank(Adj(A)) ≤ rank(A)。

综上所述，rank(Adj(A)) ≤ rank(A)，即rank(Adj(A)) = rank(A)。

2. 伴随矩阵的秩与伴随变换的秩相等。

证明：对于伴随矩阵Adj(A)，我们可以定义一个新的线性变换T_1，其矩阵表示为Adj(A)。根据伴随矩阵的定义，我们可以得到T_1为T

伴随变换与伴随矩阵的定义与性质

伴随变换与伴随矩阵的定义与性质伴随变换与伴随矩阵是线性代数中的重要概念，它们在矩阵理论、向量空间和线性变换等领域中具有广泛的应用。本文将介绍伴随变换与伴随矩阵的定义与性质。

一、伴随变换的定义

在线性代数中，给定一个向量空间V和线性变换T：V→V，称T 的伴随变换为一个线性变换T*：V→V，满足对任意的u、v∈V有内积的等式：

〈Tu，v〉=〈u，T*v〉

其中，〈·，·〉表示向量的内积。

二、伴随变换的性质

1. 伴随变换的存在性

对于给定的线性变换T：V→V，伴随变换T*一定存在且唯一。

2. 伴随变换的线性性质

对于任意的线性变换T1、T2以及标量c，有以下等式成立：

(T1+T2)*=T1*+T2*

(cT1)*=cT1*

3. 伴随变换的伴随性质

对于任意的线性变换T：V→V的伴随变换T*的伴随变换(T*)*，有

以下等式成立：

(T*)*=T

三、伴随矩阵的定义

设V为n维向量空间，B={v1, v2, ..., vn}为V的一组基，对于线性

变换T：V→V，其在基B下的矩阵为A=[T]B，称A的伴随矩阵为A*，满足以下等式：

[A*]B=[T*]B

四、伴随矩阵的性质

1. 伴随矩阵的存在性

对于给定线性变换T：V→V，其在基B下的矩阵A=[T]B一定存在

且唯一，因此其伴随矩阵A*也存在且唯一。

2. 伴随矩阵的基本性质

（1）伴随矩阵的行列式

若A是一个n×n矩阵，其伴随矩阵为A*，则有

det(A*)=[det(A)]^(n-1)。

（2）伴随矩阵的迹

若A是一个n×n矩阵，其伴随矩阵为A*，则有tr(A*)=(n-1)tr(A)。

伴随矩阵运算法则

摘要：

一、伴随矩阵的定义

二、伴随矩阵的性质

三、伴随矩阵的运算法则

四、伴随矩阵的应用

正文：

伴随矩阵是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、逆矩阵等密切相关。伴随矩阵的运算法则可以帮助我们更好地理解这些概念，并在解决实际问题时发挥重要作用。

首先，我们需要了解伴随矩阵的定义。伴随矩阵是一个与原矩阵相似的矩阵，它的元素是原矩阵的代数余子式。具体来说，设A 是一个n 阶方阵，P 是A 的一个n 阶子矩阵，那么A 的伴随矩阵|A|P 是一个n 阶方阵，它的元素是P 的代数余子式。

伴随矩阵有许多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解矩阵的性质。例如，伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，这意味着伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩。另外，伴随矩阵的迹等于原矩阵的迹，这意味着伴随矩阵的主对角线元素之和等于原矩阵的主对角线元素之和。

伴随矩阵的运算法则包括矩阵乘法、矩阵加法、数乘等。这些运算法则可以帮助我们在解决实际问题时更方便地使用伴随矩阵。例如，如果我们想要计算一个矩阵的行列式，我们可以使用伴随矩阵的行列式公式来计算。另外，如

果我们想要计算一个矩阵的逆矩阵，我们可以使用伴随矩阵的逆矩阵公式来计算。

伴随矩阵在许多领域都有广泛的应用，例如线性方程组、二次型、特征值、特征向量等。在解决这些问题时，伴随矩阵可以提供一种更简洁、更高效的计算方法。例如，在解决线性方程组时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算方程组的解。在解决二次型问题时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算二次型的标准型。在解决特征值、特征向量问题时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算特征值、特征向量。

伴随矩阵-专业文档

伴随矩阵

伴随矩阵是一种特殊的矩阵，它与原矩阵有着密切的关系。在介绍伴随矩阵之前，我们首先需要了解什么是逆矩阵。

逆矩阵是矩阵的一种重要概念。在矩阵运算中，如果有一个矩阵A，存在另一个矩阵B，使得AB=BA=E（其中E是单位矩阵），那么我们称B是A的逆矩阵。在这种情况下，A也被称为可逆矩阵。

如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵是唯一的。然而，如果A不是可逆的，那么它仍然有一个唯一的伴随矩阵。这个伴随矩阵可以通过以下方式计算：假设A是一个n x n的矩阵，它的元素是a_{ij}(1 <= i, j <= n)。那么A 的伴随矩阵A*可以通过以下方式计算：

A的元素是a_{ji}(1 <= i, j <= n)，其中i是行索引，j是列索引。换句话说，A的元素是A的元素在行列索引交换后的值。

例如，考虑一个3x3的矩阵A：

A=[[a11,a12,a13],[a21,a22,a23],[a31,a32,a33]]

那么A的伴随矩阵A*是：

A*=[[a11,a21,a31],[a12,a22,a32],[a13,a23,a33]]

在数学上，伴随矩阵有着重要的性质。首先，伴随矩阵与原矩阵有着紧密的关系。如果A是可逆的，那么AA*=A*A=E，其中E是单位矩阵。这意味着伴随矩阵乘以原矩阵等于单位矩阵，反之亦然。

其次，伴随矩阵可以用来计算行列式的值。行列式是矩阵的一种重要属性，它表示为一个值的代数表达式。对于一个n x n的方阵A，其行列式定义为：

|A|=det(A)=∏(i=1 to n) a_{ii}。如果A是可逆的，那么其行列式的值可以通过伴随矩阵来计算：|A|=(-1)^n * det(A*)。这是因为行列式的定义可以看作是对角线元素的乘积减去其他元素的乘积，而在计算伴随矩阵时，我们将元素的位置进行了交换，因此需要引入一个负号。

伴随矩阵的性质.doc

伴随矩阵（也叫伴随矩阵、伴随矩阵或伴随矩阵）是在线性代数中常用的概念之一。在此文档中，我们将讨论伴随矩阵的一些基本性质及其应用。

一、伴随矩阵的定义

伴随矩阵是一个矩阵的矩阵。对于任意n阶矩阵A，其伴随矩阵adj(A)定义为：

adj(A)=(Cij)T

其中Cij是矩阵A的余子式，即在第i行第j列元素上划掉所在行列后的行列式，T 表示矩阵的转置。

1．伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方，即：

|adj(A)| = |A|n-1

2．如果矩阵A是可逆的，则其伴随矩阵也是可逆的，并且有：

3．矩阵A的伴随矩阵与其逆矩阵的关系为：

adj(A)·A-1 = A-1·adj(A) = |A|I

其中I为n阶单位矩阵。

4．如果矩阵A是对称矩阵，则其伴随矩阵也是对称矩阵。

5．矩阵A和其伴随矩阵的乘积是一个对角矩阵，其对角线元素为矩阵A每行的所有元素的余子式乘积：

A·adj(A) = (|A|C11 |A|C21 ··· |A|Cn1

|A|C12 |A|C22 ··· |A|Cn2

...

|A|C1n |A|C2n ··· |A|Cnn)

1．伴随矩阵可以用来求逆矩阵。

总之，伴随矩阵是一个非常有用的概念，它可以在各种不同的数学问题中发挥作用。理解伴随矩阵的定义和性质，可以帮助我们更好地理解线性代数中其他的概念和定理。

求伴随矩阵例题

【原创版】

1.伴随矩阵的定义与性质

2.伴随矩阵的求法

3.伴随矩阵的应用举例

正文

一、伴随矩阵的定义与性质

伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它是一个方阵，与一个给定的矩阵相关联。对于一个 n 阶方阵 A，如果存在一个 n 阶方阵 B，使得 AB-BA=A，则称 B 为 A 的伴随矩阵。显然，伴随矩阵是矩阵 A 的特例，它的主对角线元素都是 1，而副对角线元素都是 0。伴随矩阵具有以下性质：

1.对于任意一个 n 阶方阵 A，其伴随矩阵是唯一的。

2.伴随矩阵的转置等于其逆矩阵。

3.伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式。

二、伴随矩阵的求法

求伴随矩阵的方法比较简单，一般采用如下步骤：

1.对于给定的矩阵 A，先求出其代数余子式。

2.将代数余子式转置，得到一个新的矩阵。

3.新矩阵的每一列都是原矩阵 A 的代数余子式，因此新矩阵就是原矩阵 A 的伴随矩阵。

三、伴随矩阵的应用举例

伴随矩阵在实际应用中有广泛的应用，下面举一个例子来说明伴随矩阵的应用：

例：已知一个 3 阶方阵 A=，求 A 的伴随矩阵。

解：首先求出 A 的代数余子式，然后将其转置得到伴随矩阵 B=。

伴随矩阵

定义

A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

1.把A的每个元素都换成它的代数余子式；

（代数余子式定义：在一个n级行列式D中,把元素第i行第j列元素

aij (i,j=1,2,.....n)所在的行与列划去后，剩下

为aij的代数余子式,记作Aij=(-1)^(i+j) Mij. ）

2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵，

即：n阶方阵的伴随矩阵A*为

A11 A21 A31....An1

A12.................. An2

A13 ..................An3

.... .....

A1n................ Ann

例如：A是一个2x2矩阵，

a11，a12

a21，a22

则A的伴随矩阵A* 为

a22,-a12

-a21, a11

（余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j 列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵）

伴随矩阵的性质：

原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如

1 2 3

2 2 1 ------->

3 4 3

+2 6 -4

-3 -6 5

2 2 -2

其中1对应5 ；2 2 对应-3；3对应2；等等

伴随矩阵的求法:

①当矩阵是大于等于二阶时：

主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式.

非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的.

主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以

伴随矩阵的原理及应用

1. 伴随矩阵的定义

伴随矩阵是指对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，也称为A的伴随矩阵或共轭矩阵。伴随矩阵的大小与A的大小相同，但其中的每个元素都是A对应位置元素的代数余子式。

2. 伴随矩阵的计算方法

伴随矩阵的计算方法有多种，其中比较常用的方法是利用矩阵的代数余子式进行计算。具体的步骤如下： 1. 对于矩阵A中的每一个元素a[i][j]，计算其代数余子式M[i][j]； 2. 计算伴随矩阵中每个元素的值，即adj(A) = transpose(M)。

3. 伴随矩阵的性质

伴随矩阵具有以下性质： - A与其伴随矩阵adj(A)相乘，得到的结果是行列式的倍数，即A * adj(A) = det(A) * I，其中I为单位矩阵； - 当矩阵A可逆时，其伴随矩阵adj(A)也可逆，并且(adj(A))^-1 = (1/det(A)) * adj(A)； - 若A为对称矩阵，则其伴随矩阵也是对称矩阵。

4. 伴随矩阵的应用

伴随矩阵在线性代数中有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用场景：

4.1 矩阵求逆

伴随矩阵在矩阵求逆中起到关键的作用。当矩阵A可逆时，可以利用伴随矩阵进行求逆运算。具体步骤如下： 1. 计算矩阵A的伴随矩阵adj(A)； 2. 计算矩阵A 的行列式det(A)； 3. 若det(A)不等于0，则矩阵A可逆，A的逆矩阵A^-1 =

(1/det(A)) * adj(A)。

4.2 线性方程组的求解

伴随矩阵在求解线性方程组中也有应用。对于线性方程组Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数项向量，可以利用伴随矩阵求解。具体步骤如下： 1. 计算系数矩阵A的伴随矩阵adj(A)； 2. 计算系数矩阵A的行列式det(A)；