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2020-2021学年上海市中考数学第三次模拟试题及答案解析

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2021中考数学三轮临考冲刺：三角形和相似三角形含答案

2021中考数学三轮临考冲刺：三角形和相似三角形含答案

2021中考数学三轮临考冲刺：三角形一、选择题1. 下列命题是假命题的是()A.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B.同角(或等角)的余角相等C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D.正方形的对角线相等，且互相垂直平分2. 在一个三角形中，有一个角是55°，则另外的两个角可能是()A．95°，20° B．45°，80°C．55°，60° D．90°，20°3. 在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则()A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°4. 如图，直线l1△l2，若△1＝140°，△2＝70°，则△3的度数是()A．70° B．80° C．65° D．60°5. 在△ABC中，△A＝2△B＝70°，则△C的度数为()A．35° B．40° C．75° D．105°6. 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的()A. 三条高线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点7. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF 的周长是()A. 5B. 7C. 8D. 108. 如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC的度数为()A.118°B.119°C.120°D.121°二、填空题9. 如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1=142°，则∠2=度.10. 已知三角形的三边长分别为3，8，x，若x为偶数，则x＝____________．11. 如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD=∠ABC=40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE=°.12. 若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是________．13. 在△ABC中，△A＝72°，△B＝△C，则△C＝________°.14. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若BC＝8，则DE的长为________．15. 如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为cm.16. 模拟某人为机器人编制了一段程序(如图)，如果机器人以2 cm/s的速度在平地上按照程序中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需的时间为________s.三、解答题17. 如图，AD是△ABC的角平分线，△B＝35°，△BAD＝30°，求△C的度数．18. 如图，A处在B处的北偏西45°方向，C处在B处的北偏东15°方向，C处在A处的南偏东80°方向，求△ACB的度数．19. 如图，CE是△ABC的外角△ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，△B＝25°，△E＝30°，求△BAC的度数．20. 如图11－Z－11，点B在点A的南偏西45°方向，点C在点A的南偏东30°方向，点C在点B的北偏东60°方向，求△C的度数．21. 观察与转化思想如图是五角星形，求△A ＋△B ＋△C ＋△D ＋△E的度数．22. 已知:如图1-Z -20，在四边形ABCD 中，∠D=90°，∠ABC=∠BCD ，点E 在直线BC上，点F 在直线CD 上，且∠AEB=∠CEF . (1)如图①，若AE 平分∠BAD ，求证:EF ⊥AE ;(2)如图②，若AE 平分四边形ABCD 的外角，其余条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立?说明理由.23. 如图，梯形ABCD 中，AD BC AB CD =∥，，对角线AC BD ，相交于点O ，60AOD ∠=︒，E F G ，，分别是OA OB CD ，，的中点，求证：EFG ∆是等边三角形24. 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．A BCDEFGOO GFE DCBA OE FLHNMDCB A答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】B[解析] △在一个三角形中，有一个角是55°，△另外的两个角的和为125°，各选项中只有B选项中的两个角的和为125°.故选B.3. 【答案】D[解析]不妨设∠A=∠C-∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故选D.4. 【答案】A5. 【答案】C6. 【答案】D【解析】依题意知这个点到三角形每边的两个端点的距离相等，∴它是三条边的垂直平分线的交点，故选D.7. 【答案】D【解析】∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥BC，DE＝12AB，DF＝12BC，∴四边形BEDF是平行四边形，∵AB＝4，BC＝6，∴DE＝BF＝2，DF＝BE＝3，∴四边形BEDF的周长为：2(DE＋DF)＝10.8. 【答案】C[解析] ∵∠A=60°,∠ABC=42°,∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°.∵∠ABC,∠ACB的平分线分别为BE,CD,∴∠FBC=∠ABC=21°,∠FCB=∠ACB=39°,∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°.故选C.二、填空题9. 【答案】52[解析]设OA与CD相交于点E，∵OA⊥OB，∴∠O=90°.∵∠1=142°，∴∠OED=∠1-∠O=142°-90°=52°.∵AB∥CD，∴∠2=∠OED=52°.故填52.10. 【答案】6或8或10 [解析] 由三角形三边关系可知5<x<11.因为x 为偶数，所以x的值为6或8或10.11. 【答案】20[解析]∵∠BAD=∠ABC=40°，∴∠ADC=∠BAD +∠ABC=40°+40°=80°.∵将△ABD 沿着AD 翻折得到△AED ，∴∠ADE=∠ADB=180°-∠ADC=180°-80°=100°. ∴∠CDE=∠ADE -∠ADC=100°-80°=20°.12. 【答案】720°[解析] 该正多边形的边数为360°÷60°＝6.该正多边形的内角和为(6－2)×180°＝720°.13. 【答案】54 14. 【答案】4【解析】∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴由三角形的中位线定理可知DE ＝12BC ＝4.15. 【答案】19[解析] ∵AD 是BC 边上的中线，∴BD=CD.∴△ABD 的周长-△ACD 的周长=(AB+BD+AD )-(AC+CD+AD )=AB -AC. ∵△ABD 的周长为25 cm ，AB 比AC 长6 cm ， ∴△ACD 的周长为25-6=19(cm).16. 【答案】16[解析] 由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形，多边形的边数为36045＝8，则所走的路程是4×8＝32(cm)， 故所用的时间是32÷2＝16(s)． 三、解答题17. 【答案】解：△AD 是△ABC 的角平分线， △△BAC ＝2△BAD ＝2×30°＝60°.△△C ＝180°－△B －△BAC ＝180°－35°－60°＝85°.18. 【答案】解： 由题意知△ABN ＝45°，△CBN ＝15°，△MAC ＝80°， 所以△ABC ＝60°.因为AM△BN ，所以△MAB ＝△ABN ＝45°， 所以△BAC ＝80°－45°＝35°. 所以△ACB ＝180°－60°－35°＝85°.19. 【答案】解：△△B＝25°，△E＝30°，△△ECD＝△B＋△E＝55°.△CE是△ACD的平分线，△△ACE＝△ECD＝55°.△△BAC＝△ACE＋△E＝85°.20. 【答案】解：△△NBC＝60°，△NBA＝△BAS＝45°，△△ABC＝△NBC－△NBA＝60°－45°＝15°.又△△BAC＝△BAS＋△SAC＝45°＋30°＝75°，△在△ABC中，△C＝180°－(75°＋15°)＝90°.21. 【答案】解：如图，△△1是△CEG的外角，△△1＝△C＋△E.同理可得△AFB＝△B＋△D.△在△AFG中，△A＋△1＋△AFG＝180°，△△A＋△B＋△C＋△D＋△E＝180°.22. 【答案】解:(1)证明:∵∠BAE=180°-∠ABC-∠AEB，∠EFC=180°-∠BCD-∠CEF，且∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，∴∠BAE=∠EFC.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE.∴∠EFC=∠DAE.∵∠EFC+∠EFD=180°，∴∠DAE+∠EFD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠DAE+∠EFD)=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°. ∴EF ⊥AE.(2)EF ⊥AE 仍成立.理由如下:如图.∵∠1=∠ABC -∠AEB ，∠F=∠BCD -∠CEF ，且∠ABC=∠BCD ，∠AEB=∠CEF ，∴∠1=∠F .∵AE 平分四边形ABCD 的外角， ∴∠1=∠2. ∴∠F=∠2.∵∠2+∠EAD=180°， ∴∠F+∠EAD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠F+∠EAD )=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°. ∴EF ⊥AE.23. 【答案】连结DE ，由等腰梯形对角线相等，且60AOD ∠=︒，可证AOD ∆是等边三角形，因为E 是OA 中点，所以DE AC ⊥，在Rt DCE ∆中，G 是DC 中点，所以12EG DC =，同理可证12FG DC =，因为E F ，分别是OA OB ，的中点，所以12EF AB =，因为AB DC =，所以EG FG EF ==，即EFG ∆是等边三角形24. 【答案】方法一：设N H M L F E ，，，，，分别为AB BC CD DA AC BD ，，，，，的中点，要证明EF LH ，，及MN 三线共点．因为LF DC ∥且12LF DC =，所以EF DC ∥且12EF DC =，LF EH ∥且LF EH =，从而四边形EHFL 为平行四边形，故LH 与EF 互相平分．A BC DEFG O C设LH 与EF 的交点为O ，则LH 经过EF 中点O （当然也是LH 中点）．同理，MN 也过EF 中点O ．所以，EF ，LH ，MN 三线共点于O ．说明：本题证明的关键是平行四边形EHFL 的获得（它是通过三角形中位线定理来证明的）．由此可见，在某些四边形的问题中，通过构造平行四边形去解题是一种常用的技巧． 请看下例．方法二：应用中点公式法 可设()11A x y ，，()()()223344B x y C x y D x y ，，，，， 那么AC 线段的中点坐标为131322x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，，BD 线段的中点坐标为242422x x y y E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 那么EF 线段的中点坐标为1234123422x x x x y y y y ++++++⎛⎫⎪⎝⎭， 同理可得：MN LH ，的中点坐标也为1234123422x x x x y y y y ++++++⎛⎫⎪⎝⎭， 所以可知：EF ，LH ，MN 三线共点于O2021中考数学三轮冲刺：相似三角形及其应用一、选择题1. 下列命题是真命题的是 ( )A .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D .如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶92. 如图，在△ABC中，点D ，E 分别在AB 和AC 边上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AM 交DE 于点N ，则 ( )A .=B .=C .=D .=3. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A 1B 1C 1相似的是 ( )4. (2019•雅安)若，且，则的值是A ．4B ．2C ．20D ．145. （2020·重庆B 卷）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA :OD =1:2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4D ．1:534ab =∶∶14a b +=2a b -6. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( )A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2)7. （2020·重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1,2）,B（1,1），C（3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为（）A．5B．2C．4D．25 8. 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题9. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为.10. 在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为 m .11. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在网格线的交点上，设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12C C 的值等于 ▲ ．12. （2020·吉林）如图，////AB CD EF ．若12=AC CE ，5BD =，则DF =______．13. （2020·东营）如图，P为平行四边形ABCD 边BC 边上一点，E 、F 分别为PA 、PD上的点，且PA=3PE ，PD=3PF ，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别记为S 、1S 、2S ，若S =2，则1S +2S = ．14. (2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为(2，4)，则其对应点A 1的坐标是______． 15. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把BCE △沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，2AE =，则DF =______，BE =______．16. （2020·深圳）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ＝∠DACABCDEF FDBE A C＝90°，tan ∠ACB ＝12，BO OD ＝43，则S △ABDS △CBD＝________．三、解答题 17. （2020·通辽）如图，⊙O 的直径AB 交弦（不是直径）CD 于点P ，且PC 2＝PB •P A ， 求证：AB ⊥CD ．18.如图，在Rt△ABC 中，△ACB=90°，AC=BC.P 为△ABC 内部一点，且△APB=△BPC=135°. (1)求证:△P AB △△PBC ; (2)求证:P A=2PC ;(3)若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为h 1，h 2，h 3，求证:=h 2·h 3.19. （2020·苏州）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ，垂足为F .ODCBA（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长.20. 已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形． (1)求证：△DFB 是等腰三角形； (2)若DA ＝7AF ，求证CF△AB.21. 如图，△ABC中，∠ACB ＝90°，D 为AB 上一点，以CD 为直径的△O 交BC 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，交△O 于点F ，连接DF ，∠CAE ＝△ADF. (1)判断AB 与△O 的位置关系，并说明理由； (2)若PF△PC ＝1△2，AF ＝5，求CP 的长．22. （2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC ABAB AC=，那么称点B 为线段AC 的黄金分割点.. （1）在图①中，若AC =20cm ，则AB 的长为 cm ； （2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 的对应点H ，得折痕CG .试说明：G 是AB 的黄金分割点； （3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E （AE >DE ），连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P .他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.图① 图 ② 图③23. 如图，AB为半圆的直径，O 为圆心，OC △AB ，D 为BC ︵的中点，连接DA 、DB 、DC ，过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ，DA 交OC 于点F . (1)求证：△CED ＝45°； (2)求证：AE ＝BD ；(3)求AOOF 的值．24. （2020·泰安）（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB 与∠ECD 恰好为对顶角，∠ABC ﹦∠CDE ﹦90°，连接BD ，AB ﹦BD ，点F 是线段CE 上一点． 探究发现：（1）当点F 为线段CE 的中点时，连接DF （如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD ⊥DF ．你认为此结论是否成立？___________．（填“是”或“否”） 拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD ⊥DF ，则点F 为线段CE 的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决：（3）若AB ＝6，CE ＝9，求AD 的长．A CBGPABC DEF EDCBA图（1） 图（2） 备用图答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】C[解析]根据DE ∥BC ，可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN ∥BM ，∴△ADN ∽△ABM ，∴=，∵NE ∥MC ，∴△ANE ∽△AMC ，∴=，∴=.故选C .3. 【答案】B[解析]根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两个三角形相似可得结果，△A 1B 1C 1各边长分别为1，，选项A 中阴影三角形三边长分别为:，3，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项B 中阴影三角形三边长分别为:，2，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似;选项C中阴影三角形三边长分别为:1，，2，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项D 中阴影三角形三边长分别为:2，，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选B .4. 【答案】A【解析】由a ∶b =3∶4知，所以． 所以由得到：， 解得．所以．所以．故选A ．5. 【答案】C【解析】本题考查了相似三角形的性质， ∵△ABC 与△DEF 位似，且1=2OA OD ，∴211=24ABC DEFS S⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此本题选C ．6. 【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，34b a =43ab =14a b +=4143aa +=6a =8b =22684a b -=⨯-=E 两点的纵坐标均为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．7. 【答案】D【解析】∵A （1,2）,B （1,1），C （3,1），∴AB=1，∵△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2．8. 【答案】B【解析】由垂径定理可得DH ＝2，所以BH ＝BD 2－DH 2＝1，又可得△DHB ∽△ADB ，所以有BD 2＝BH·BA ，(3)2＝1×BA ，AB ＝3.二、填空题 9. 【答案】 [解析]∵∠ACD=∠B ，∠CAD=∠BAC ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴=，即=， ∴AC=或AC=-(舍去).10. 【答案】5411. 【答案】2【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为所以周长比为故答案为：2．12. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．13. 【答案】18【解析】本题考查了相似三角形的判定、性质，三角形的面积，解题的关键是根据已知条件推出相似三角形，并由相似比得到面积比．∵PA=3PE ，PD=3PF ，∠APD =∠EPF ，∴△PEF ∽△PAD ，相似比为1︰3，∵△PEF 的面积为S =2，∴PAD S ∆=9S=9×2=18， ∴1S +2S =PAD S ∆=18．14. 【答案】(－4，－8)或(4，8)【解析】∵△ABC 和△A1B1C1的相似比等于12，∴△A1B1C1和△ABC 的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．15. 【答案】25－1 【解析】设BE ＝x ，则AB ＝AE ＋BE ＝2＋x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2＋x ，AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠BEC ．由折叠得∠BEC ＝∠DEC ，EF ＝BE ＝x ，∴∠DCE ＝∠DEC ．∴DE ＝CD ＝2＋x ．∵点D ，F ，E 在同一条直线上，∴DF ＝DE －EF ＝2＋x －x ＝2．∵AB ∥CD ，∴△DCF ∽△EAF ，∴DC EA ＝DF EF ．∴22x +＝2x ，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1．经检验，x 1＝5－1，x 2＝－5－1都是分式方程的根．∵x ＞0，∴x ＝5－1，即BE ＝5－1．16. 【答案】332【解析】法1：过B 点作BE //AD 交AC 于点E ，则△ADO ∽△EBO ，由∠DAC ＝90°，得到BE ⊥AD ，∴AO OE ＝OD OB ＝34，由tan ∠ACB ＝12，可得CE ＝2BE ＝4AE ， ∴S △ABDS △CBD＝AO OC ＝34＋(3＋4)×4＝332． 法2：如图，过点D 作DM ∥BC ，交CA 的延长线于点M ，延长BA 交DM 于点N ，得到△ABC ∽△ANM ，△OBC ∽△ODM ，进而得出对应边成比例，AB BC ＝ANNM ＝tan ∠ACB ＝12，BC DM ＝OB OD ＝43；又∵∠ABC ＝∠DAC ＝90°，∴∠BAC ＋∠NAD ＝90°，∵∠BAC ＋∠BCA ＝90°，∴∠NAD ＝∠BCA ，∴△ABC ∽△DAN ，得出对应边之间关系，AB BC ＝DNNA ＝12，设AB ＝a ，DN ＝b ，则BC ＝2a ，NA ＝2b ，MN ＝4b ，得DM ＝32a ，∴4b ＋b ＝32a ，即ODCBAEb ＝310a ，进而表示三角形的面积，得到S △ABDS △CBD＝12AB ⋅DN 12BC ⋅NB ＝ab 2a ⋅(a ＋2b )＝310a 22a ⋅1610a ＝332．三、解答题17. 【答案】解：如图，连结AC ，BD ．∵∠A =∠D ，∠C =∠B ，∴△ACP ∽△DBP ，∴AP DP =CPBP，∴PC •PD ＝PB •P A ，∵PC 2＝PB •P A ，∴PC =PD ，即AB 平分CD ，∵CD 是弦（不是直径），AB 是直径，∴AB ⊥CD ．18. 【答案】证明:(1)在△ABP 中，∠APB=135°， ∴∠ABP +∠BAP=45°，又△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，即∠ABP +∠CBP=45°， ∴∠BAP=∠CBP ，又∠APB=∠BPC=135°，∴△P AB ∽△PBC. (2)由(1)知△P AB ∽△PBC ， ∴===，∴=·=2，即P A=2PC.(3)方法一:如图①，过点P 作边AB ，BC ，CA 的垂线，垂足分别为Q ，R ，S ，则PQ=h 1，PR=h 2，PS=h 3， 在Rt△CPR 中，=tan ∠PCR==，BA∴=，即h 3=2h 2.又由△P AB ∽△PBC ，且=，得:=，即h 1=h 2，∴=h 2·h 3.方法二:如图②，过点P 作边AB ，BC ，CA 的垂线，垂足分别为Q ，R ，S ，连接SQ ，SR ，RQ ，易知四边形ASPQ ，四边形BRPQ 都有外接圆， ∴∠PSQ=∠P AQ ，∠PQR=∠PBR ，由(1)可知∠P AB=∠PBC ，∴∠PSQ=∠PQR.又∵∠SPQ=∠QPR=180°-45°=135°，∴△PSQ ∽△PQR ，∴=，即PQ 2=SP ·PR ，∴=h 2·h 3.19. 【答案】 解： 证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B ∠=︒，AD BC .∴AEB DAF ∠=∠， ∵DF AE ⊥，∴90DFA ∠=︒.∴B DFA ∠=∠，∴ABE DFA ∆∆∽.解：（2）∵ABE DFA ∆∆∽，∴AB AE DF AD =. ∵4BC =，E 是BC 的中点，∴114222BE BC ==⨯=.∴在Rt ABE ∆中，AE ==.又∵4AD BC ==，∴6DF=，∴DF =.20. 【答案】(1)证明：△AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴∠EAF ＝△EFA ＝60°，∴∠ABC ＝30°，∴∠FDB ＝△EFA －△B ＝60°－30°＝30°，(2分)∴∠ABC ＝△FDB ，∴FB ＝FD ，∴△BDF 是等腰三角形．(3分)(2)解：设AF ＝a ，则AD ＝7a ，解图如解图，连接OC ，则△AOC 是等边三角形，由(1)得，BF ＝2－a ＝DF ，∴DE ＝DF －EF ＝2－a －a ＝2－2a ，CE ＝AC －AE ＝1－a ，在Rt △ADC 中，DC ＝（7a ）2－1＝7a 2－1，在Rt △DCE 中，tan 30°＝CE DC ＝1－a 7a 2－1＝33， 解得a ＝－2(舍去)或a ＝12，(5分)∴AF ＝12，在△CAF 和△BAC 中，CA AF ＝BAAC ＝2，且△CAF ＝△BAC ＝60°，∴△CAF ∽△BAC ，∴∠CFA ＝△ACB ＝90°，即CF△AB.(6分)21. 【答案】解：(1)AB 与△O 相切．理由如下：∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋△AEC ＝90°，又△△AEC ＝△CDF ，∠CAE ＝△ADF ，∴∠CDF ＋△ADF ＝90°，∴∠ADC ＝90°，又△CD 为△O 的直径，∴AB 与△O 相切．(3分)(2)如解图，连接CF ，解图∵CD 为△O 的直径，∴∠CDF ＋△DCF ＝90°，又△△CDF ＋△ADF ＝90°，∴∠DCF ＝△ADF ，又△△CAE ＝△ADF ，∴∠CAE ＝△DCF ，又△△CPA ＝△FPC ，∴△PCF ∽△PAC ，∴PC PA ＝PF PC ，(6分)又△PF△PC ＝1△2，AF ＝5，故设PF ＝a ，则PC ＝2a ，∴2a a ＋5＝a 2a ， 解得a ＝53，∴PC ＝2a ＝2×53＝103.(8分)22. 【答案】解： （1）10.解：∵AB AC =，AC=20，∴AB=10.（2）延长CG 交DA 的延长线于点J ，由折叠可知：∠BCG=∠ECG ，∵AD ∥BC ，∴∠J=∠BCG=∠ECG ，∴JE=CE.由折叠可知：E 、F 为AD 、BC 的中点，∴DE=AE=10，由勾股定理可得：∴EJ=∴AJ=JE-AE=，∵AJ ∥BC ，∴△AGJ ∽△BGC，∴AG AJ BG BC ===,∴G 是AB 的黄金分割点.（3）PB=BC ，理由如下：∵E 为AD 的黄金分割点，且AE>DE ，∴AE= a. ∵CF ⊥BE ，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90˚,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA 和△CFB 中，∵90ABE FCB AB BC A FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△BEA ≌△CFB ，∴BF=AE= a.∴AF BF BF AB==,∵AE ∥BP ，∴△AEF ∽△BPF,∴AE AF BF PB BF AB ==, ∵AE=BF,∴PB=AB ，∴PB=BC.23. 【答案】(1)证明：△△CDA ＝12△COA ＝12×90°＝45°， 又△CE △DC ，△△DCE ＝90°，△△CED ＝180°－90°－45°＝45°；J(2)解：如解图，连接AC ，△D 为BC ︵的中点，△△BAD ＝△CAD ＝12×45°＝22.5°，而△CED ＝△CAE ＋△ACE ＝45°，△△CAE ＝△ACE ＝22.5°，△AE ＝CE ，△△ECD ＝90°，△CED ＝45°，△CE ＝CD ，又△CD ︵＝BD ︵，△CD ＝BD ，△AE ＝CE ＝CD ＝BD ，△AE ＝BD ；解图(3)解：设BD ＝CD ＝x ，△AE ＝CE ＝x ，由勾股定理得，DE ＝2x ，则AD ＝x ＋2x ，又△AB 是直径，则△ADB ＝90°，△△AOF △△ADB ，△AO OF ＝AD DB ＝x ＋2x x ＝1＋ 2.24. 【答案】（1）是；（2）结论成立．理由如下：∵BD ⊥DF ，ED ⊥AD ，∴∠BDC ＋∠CDF ﹦90°，∠EDF ＋∠CDF ﹦90°． ∴∠BDC ﹦∠EDF ．∵AB ﹦BD ，∴∠A ﹦∠BDC ．∴∠A ﹦∠EDF ．又∵∠A ﹦∠E ，∴∠E ﹦∠EDF ．∴EF ﹦FD ．又∠E ＋∠ECD ﹦90°，∴∠ECD ﹦∠CDF ．∴CF ﹦DF ．∴CF ﹦EF ．∴F 为CE 的中点．（3）在备用图中，设G 为EC 的中点，则DG ⊥BD ．∴GD ﹦12 EC ﹦92 ．又BD ＝AB ＝6，在Rt △GDB 中，GB ＝62＋(92)2 ＝152 ．∴CB ＝152 —92 ＝3．在Rt △ABC 中，AC ＝62＋32 ＝3 5 ．由条件得：△ABC ∽△EDC ．∴3 5 9 ＝3CD ．∴CD ＝9 5 5． ∴AD ＝AC ＋CD ＝3 5 ＋9 5 5 ﹦24 5 5 ．FE D CB A A BC D EG。

2020年上海市中考数学模拟试题及答案(解析版) (2)

2020年上海市中考数学模拟试题及答案(解析版) (2)
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴抛物线 开口向上；对称轴为y轴（即x=0）；在y轴左侧；y随x的增大而减小；在y轴右侧；y随x的增大而增大
A(-3； )；B(-1； )；
点A距对称轴的距离为|-3|=3；点B距对称轴的距离为|-1|=1.
又 抛物线开口向上；抛物线上的点距对称轴越远；y值越大；
> .
故答案：>.
11．函数 的图象是开口向下的抛物线．（______）
12．如果向量 、 、 之间满足关系式 ，那么 _________（用向量 、 表示）
13．鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为100km，在一张比例尺为 的交通旅游图上，它们之间的距离相当于_____cm．
14．若 ，则 ______.
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
5．已知二次函数 自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
x
2
4
5
y
0．37
0．37
4
那么 的值为（）
A．24B．20C．10D．4
（2）如图3，∠ACB≠ 90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA＝45°，BC＝ ，当BM＝时，BP的最大值为．
21．为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（如
22．如图，直线EF分别交△ABC的边AC，AB于点E，F，交边BC的延长线于点D，且AB·BF＝BC·BD．求证：AE·EC＝EF·ED．
A． ∥ B．

2020-2021学年上海市浦东新区九年级中考一模数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市浦东新区九年级中考一模数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市浦东新区九年级一模数学试卷一、选择题（共6小题）.1．A、B两地的实际距离AB＝250米，如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A．1：500B．1：5000C．500：1D．5000：12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（）A．B．2sinαC．D．2cosα3．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝（k﹣1）x2+3B．y＝+1C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2D．y＝2x2﹣7x4．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．||＝B．||＝C．＝D．＝5．如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD＝∠B，DE∥BC，EF∥CD，下列结论不成立的是（）A．AE2＝AF•AD B．AC2＝AD•AB C．AF2＝AE•AC D．AD2＝AF•AB 6．已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C二、填空题（共12小题）.7．如果线段a、b满足＝，那么的值等于．8．已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是．9．计算：2sin30°﹣tan45°＝．10．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是度．11．已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝．12．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为．13．如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向．（填“向上”或“向下”）14．如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1y2．（填“＞”或“＜”）15．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝厘米．16．秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝．17．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为．18．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．三、解答题（共7小题）.19．已知向量关系式（）＝，试用向量、表示向量．20．已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB ＝6，BC＝8．（1）求的值；（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．22．如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B＝54.5°，外口宽AD＝180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE＝26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）23．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP 相似时，求点M的坐标．25．四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．（1）如图1，当∠B＝90°时，求S△ABE与S△ECF的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cos B的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．参考答案一、选择题（共6小题）.1．A、B两地的实际距离AB＝250米，如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A．1：500B．1：5000C．500：1D．5000：1解：取米作为共同的长度单位，那么AB＝250米，A'B'＝5厘米＝0.05米，所以＝＝，所以地图上的距离与实际距离的比为1：5000．故选：B．2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（）A．B．2sinαC．D．2cosα解：∵sin B＝sinα＝，AC＝2，∴AB＝＝，故选：A．3．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝（k﹣1）x2+3B．y＝+1C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2D．y＝2x2﹣7x解：A、当k＝1时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；C、化简后y＝﹣x﹣2，不是二次函数，故此选项不合题意；D、是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．4．已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．||＝B．||＝C．＝D．＝解：A、||＝计算正确，故本选项符合题意．B、||与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．C、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．D、与的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：A．5．如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD＝∠B，DE∥BC，EF∥CD，下列结论不成立的是（）A．AE2＝AF•AD B．AC2＝AD•AB C．AF2＝AE•AC D．AD2＝AF•AB 解：∵DE∥BC，EF∥CD，∴∠AEF＝∠ACD，∠ADE＝∠B，又∵∠ACD＝∠B，∴∠AEF＝∠ADE，∴△AEF∽△ADE，∴，∴AE2＝AF•AD，故选项A不合题意；∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AB•AD，故选项B不合题意；∵DE∥BC，EF∥CD，∴，，∴，∴AD2＝AB•AF，故选项D不合题意；由题意无法证明AF2＝AE•AC，故选项C符合题意，故选：C．6．已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C解：∵B、C两点的横坐标相同，∴抛物线y＝ax2+bx+1只能经过A，C两点或A、B两点，把A（1，2），C（2，1），代入y＝ax2+bx+1得．解得，；把A（1，2），B（2，3），代入y＝ax2+bx+1得．解得，（不合题意）；∴抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的A，C两点，故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．如果线段a、b满足＝，那么的值等于．解：∵＝，∴可设a＝5k，则b＝2k，∴＝＝．故答案为：．8．已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是2﹣2．解：∵线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，∴MP＝MN＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．9．计算：2sin30°﹣tan45°＝0．解：原式＝2×﹣1＝0．10．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是36度．解：如图所示：∵甲处看乙处为俯角36°，∴乙处看甲处为：仰角为36°，故答案为：36．11．已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝2．解：连接DE，∵AD、BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，DE∥AB，∴△AFB∽△DFE，∴＝＝2，∴AF＝2FD，∵AD＝3，∴AF＝2，故答案为：2．12．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为﹣．解：如图所示，＝，＝，则＝﹣＝﹣．故答案是：﹣．13．如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向向上．（填“向上”或“向下”）解：∵抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，∴m＝0，∴a＝4＞0，∴该抛物线的开口方向向上．故答案为：向上．14．如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1＜y2．（填“＞”或“＜”）解：∵y＝（x+1）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，∵﹣1＜2＜3，∴y1＜y2．故答案为＜．15．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝15厘米．解：∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥BC，AH⊥BC，DG＝EF，∴AP⊥DG．设DG＝EF＝x，则GF＝DE＝2x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∵AH＝40厘米，BC＝60厘米，∴＝，解得x＝15．∴DG＝15厘米，故答案为：15．16．秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝．解：如图，作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，∵DE∥AB，∴BG⊥AB，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝∠ABG＝∠BGD＝90°，∴四边形ADGB是矩形，∴BG＝AD＝0.4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝＝13，∵S△ABC＝BC•AC＝AB•CH，∴CH＝＝＝，∵DE∥AB，∴∠E＝∠ABC，∵∠FBE＝∠ACB＝90°，∴△FBE∽△ACB，∵CH⊥AB，BG⊥DE，∴＝，∴＝，∴BF＝．故答案为：．17．如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．解：设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y ＝（x﹣1﹣m）2﹣1，将（3，3）代入，得（3﹣1﹣m）2﹣1＝3．整理，得4﹣m＝±2解得m1＝2，m2＝6．故新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．18．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为2．解：如图，∵点D是BC的中点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DAC，∴＝＝，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴＝＝，∴MH＝4，DH＝2，过点M作MG∥AB交BD于G，同理得，BG＝DE＝4，∵AB＝10，BC＝12，AC＝8，∴△ABC的周长为10+12+8＝30，∵过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，∴CE+CF＝15，设BE＝x，则CE＝12﹣x，∴CF＝15﹣（12﹣x）＝3+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，∵MH∥AC，∴△EHM∽△ECF，∴，∴，∴x＝2或x＝9，当x＝9时，CF＝12＞AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，即BD＝x＝2，故答案为：2．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知向量关系式（）＝，试用向量、表示向量．解：由（）＝，得＝2，所以7＝﹣2．所以＝（﹣2）．20．已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．解：∵y＝x2+2x+m﹣3＝（x+1）2+m﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），∵抛物线y＝x2+2x+m﹣3顶点在第二象限，∴m﹣4＞0，∴m＞4．故m的取值范围为m＞4．21．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB ＝6，BC＝8．（1）求的值；（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴＝＝＝；（2）过D点作DM∥AC交CF于M，交BE于N，如图，∵AD∥BN∥CM，AC∥DM，∴四边形ABND和四边形ACMD都是平行四边形，∴BN＝AD＝5，CM＝AD＝5，∴MF＝CF﹣CM＝19﹣5＝14，∵NF∥MF，∴＝＝，∴NE＝MF＝×14＝6，∴BE＝BN+NE＝5+6＝11．22．如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B＝54.5°，外口宽AD＝180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE＝26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）解：如图，过点B作BG⊥DE于G，过点C作CH⊥AD于H．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC，∠BAD＝∠CDA，∴∠BAG＝∠CDH，∵∠BGA＝∠CHD＝90°，∴△BGA≌△CHD（AAS），∴AG＝DH，设AG＝DH＝x毫米，CH＝y毫米，则有，解得，∴BC＝GH＝AG+AD+DH＝100+180+100＝380（毫米）．23．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，∴∠A＝∠DEB，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠DEB，∴∠CDB＝∠CED，又∵∠DCE＝∠DCB，∴△DCE∽△BCD，∴＝，∴CD2＝CE•CB，∴CA2＝CE•CB；（2）如图，∵∠ACE是直角三角形，点M是AE中点，∴AM＝ME＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∴点A，点C，点E，点D四点共圆，∴∠AEC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，又∵∠MCE+∠ACH＝90°，∴∠CAD+∠ACH＝90°，∴CH⊥AB．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP 相似时，求点M的坐标．解：（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（5，0）和O（0，0），∴设二次函数的解析式为y＝ax（x﹣5），将点A（2，4）代入y＝ax（x﹣5）中，得4＝a×2（2﹣5），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x（x﹣5）＝﹣x2+x；（2）如图1，连接OP，过点P作PD⊥x轴于D，∴∠ODP＝90°，∵A（2，4）、B（5，0）和O（0，0），∴OB＝5，AB＝＝5，∴OB＝AB，∵BC⊥OA，∴AC＝OC，∠OBC＝∠ABC，∵BP＝BP，∴△OBP≌△ABP（SAS），∴∠BOP＝∠BAP，∵AC＝OC，A（2，4），∴点C（1，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+①，由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+x②，联立①②解得，或，∴P（，），∴OD＝，PD＝，∴cot∠BAP＝cot∠BOP＝＝＝；（3）设M（2，m），∵A（2，4），B（5，0），P（，），∴AM＝|m﹣4|．OA＝2，AB＝5，BP＝＝，∵BC⊥OA，∴∠ACP＝∠BCP＝90°，∴∠ABP＜90°，∠APC＜90°，∵∠BOP＜90°，∴∠BAP＜90°，∴△ABP是锐角三角形，∵△AMO与△ABP相似，∴△AMO为锐角三角形，∴点M在点A的下方，∴AM＝4﹣m，如图2，AM与x轴的交点记作点E，与BC的交点记作点F，∵AM⊥x轴，∴∠AEB＝90°，∴∠OBP+∠BFE＝90°，∵∠AFP＝∠BFE，∴∠OBP+∠AFP＝90°，∵BC⊥OA，∴∠AFP+∠OAE＝90°，∴∠OAE＝∠OBP，由（2）知，∠OBP＝∠ABP，∴∠OAE＝∠ABP，∵△AMO与△ABP相似，∴①当△OAM∽△ABP时，∴，∴，∴m＝﹣，∴M（2，﹣），②当△MAO∽△ABP时，∴，∴，∴m＝﹣，∴M（2，﹣），即满足条件的点M的坐标为（2，﹣）或（2，﹣）．25．四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．（1）如图1，当∠B＝90°时，求S△ABE与S△ECF的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cos B的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠B＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE≌△CEF，∴，∵EC＝3CF，设CF＝x，AB＝a，则EC＝3x，BE＝a﹣3x，∴，解得，a＝4.5x，∴；（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图2，则∠AME＝∠CNF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B＝∠FCN，设CF＝x，则CE＝3x，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝3x，AB＝BC＝2CE＝6x，∴BM＝AB•cos B＝6x cos B，AM＝AB•sin B＝6x sin B，CN＝CF•cos∠FCN＝x cos B，FN＝CF•sin∠FCN＝x sin B，∴ME＝BE﹣BM＝3x﹣6x cos B，EN＝EC+CN＝3x+x cos B，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴，即，即，整理得，2sin2B＝3﹣5cos B﹣2cos2B，∴2＝3﹣5cos B，∴cos B＝；（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图3，则∠AME＝∠CNF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B＝∠FCN，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴＝，∵∠AFE＝∠B，tan B＝，tan∠AFE＝，∴，∴，∴BM＝EN，设菱形ABCD的边长为a，则AB＝BC＝a，∴BM＝a cos B，CN＝CF•cos∠FCN＝CF•cos B，∴a cos B＝EC+CF•cos B，∵CF＝2，EC＝3CF，∴EC＝6，∴a cos B＝6+2cos B，∴cos B＝，∵，AM＝AB•sin B＝a sin B，EN＝6+2cos B，ME＝a﹣a cos B﹣6，NF＝CF•sin∠FCN＝2sin B，∴，化简得，2a（sin2B+cos2B）＝6a﹣4a cos B﹣12cos B﹣36，2a＝6a﹣4a cos B﹣12cos B﹣36，a﹣a cos B﹣3cos B﹣9＝0，∵cos B＝，∴a﹣﹣﹣9＝0，解得，a＝17，或a＝0（舍），∴菱形的边长为17．。

2020-2021学年上海市杨浦区中考数学三模试卷及答案解析

2020-2021学年上海市杨浦区中考数学三模试卷及答案解析

上海市杨浦区中考数学三模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列实数中，无理数是（）A．B．C．D．2.0200200022．下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定的4．下列关于向量的等式中，正确的是（）A．=B．+=C．+=+D．+（﹣）=5．顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形6．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（）A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜2二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．化简：﹣= ．8．a6÷a2= ．9．如果关于x二次三项式x2﹣6x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是．10．不等式组的解集是．11．函数的定义域是．12．当k＞2时，一次函数y=kx+k﹣1的图象经过象限．13．超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市收银台排队付款的等待时间，并绘制成如图所示的频数分布直方图（图中等待时间0分钟到1分钟表示大于或等于0分钟而小于1分钟，其他类同）．这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为．14．下面图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为．15．如果一个正多边形的内角和等于1440°，那么这个正多边形的内角是度．16．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米．17．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C的坐标是．18．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．化简：，并求当时的值．20．解方程：21．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．22．甲乙两人同时登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山的速度是每分钟米，乙提速时距地面的高度b为米；（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请求出乙提速后，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式，并写出相应的定义域．23．如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）FG•BE=CE•AE．24．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若上抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A，D两点，试确定此抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标．25．如图1，已知AB⊥BM，AB=2，点P为射线BM上的动点，联结AP，作BH⊥AP，垂足为H，∠APM的平分线交BH的延长线于点D，联结AD．（1）若∠BAP=30°，求∠ADP的度数；（2）若S△ADP ：S△ABP=3：2，求BP的长；（3）若AD∥BM（如图2），求BP的长．上海市杨浦区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列实数中，无理数是（）A．B．C．D．2.020020002【考点】无理数．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：A、=3是有理数，故A错误；B、=2是有理数，故B错误；C、是无理数，故C正确；D、2.0020002是有理数，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了无理数，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．下列运算正确的是（）A．B．C．D．【考点】分数指数幂．【专题】推理填空题．【分析】求出=≠，即不等于3，即可判断A、B；求出==3，即可判断C、D．【解答】解：A、=≠3，故本选项错误；B、=≠±3，故本选项错误；C、==3，故本选项正确；D、=3≠±3，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了对分数指数幂的应用，主要考查了学生的辨析能力和计算能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．3．关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定的【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】先计算△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，由于m2为非负数，则m2+4＞0，即△＞0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况．【解答】解：△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，∵m2≥0，∴m2+4＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．下列关于向量的等式中，正确的是（）A．=B．+=C．+=+D．+（﹣）=【考点】*平面向量．【分析】根据相反向量的定义可知=﹣；由三角形法则可得+==﹣，根据平面向量的交换律可得+=+；又由+（﹣）=0，即可求得答案；注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、=﹣，故本选项错误；B、+==﹣，故本选项错误；C、+=+，故本选项正确；D、+（﹣）=0，故本选项错误．故选C．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握相反向量的定义与三角形法则的应用．5．顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形【考点】中点四边形．【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【解答】解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：A．【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．6．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（）A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜2【考点】圆与圆的位置关系．【分析】没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，外离，则d＞R+r；内含，则d ＜R﹣r．【解答】解：没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，当内含时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＜R﹣r，即d＜2；当外离时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＞R+r，即d＞8．故选D．【点评】本题难度中等，主要是考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．化简：﹣= ．【考点】二次根式的加减法．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=3﹣2=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．8．a6÷a2= a4．【考点】同底数幂的除法．【分析】根据同底数幂的除法，可得答案．【解答】解：a6÷a2=a4．故答案为：a4．【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．9．如果关于x二次三项式x2﹣6x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是m＞9 ．【考点】实数范围内分解因式．【专题】计算题．【分析】由题意知，二次三项式在实数范围内不能分解因式，所以方程x2﹣6x+m=0无解，即△＜0，代入解答出即可．【解答】解：根据题意得，二次三项式在实数范围内不能分解因式，∴方程x2﹣6x+m=0无解，即△＜0．∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＜0，解得，m＞9．故答案为m＞9．【点评】本题主要考查了实数范围内分解因式，二次三项式在实数范围内不能分解因式，即方程无解，也就是△＜0，读懂题意是解答本题的关键．10．不等式组的解集是x＞2 ．【考点】解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x＞；由②得，x＞2，故此不等式组的解集为：x＞2．故答案为：x＞2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11．函数的定义域是x≥﹣3 ．【考点】函数自变量的取值范围．【专题】函数思想．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．当k＞2时，一次函数y=kx+k﹣1的图象经过一、二、三象限．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】根据k＞2，得出k＞0，k﹣1＞0进行解答即可．【解答】解：因为k＞2，可得k＞0，k﹣1＞0，所以一次函数y=kx+k﹣1的图象经过一、二、三象限，故答案为：一、二、三【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，解答此题时要根据k＞2，得出k＞0，k ﹣1＞0进行解答．13．超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市收银台排队付款的等待时间，并绘制成如图所示的频数分布直方图（图中等待时间0分钟到1分钟表示大于或等于0分钟而小于1分钟，其他类同）．这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为7 ．【考点】频数（率）分布直方图．【专题】数形结合．【分析】利用频数分布直方图，最后2组的等待时间都不少于6分钟，而且可得它们的频数分别为5，2，然后计算这两组的人数之和．【解答】解：根据频数分布直方图得到最后2组的等待时间不少于6分钟，而它们的频数分别为5，2，所以这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为5+2=7（人）．故答案为7．【点评】本题考查了频数（率）分布直方图：频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1；频数分布直方图可以清楚地看出落在各组的频数，各组的频数和等于总数．14．下面图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为．【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形．【分析】四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆中任取一个图形共有6个结果，且每个结果出现的机会相同，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的正方形和圆两个．【解答】解：∵在四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆6个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的正方形和圆两个．∴从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为．【点评】正确认识轴对称图形和中心对称图形以及理解列举法求概率是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．如果一个正多边形的内角和等于1440°，那么这个正多边形的内角是144 度．【考点】多边形内角与外角．【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=1440，即可求得n=10，再由多边形的内角和除以10，即可求得答案．【解答】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=1440，解得：n=10，∴这个正多边形的每一个内角等于：1440°÷10=144°．故答案为：144．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．16．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为36 米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】计算题．【分析】因为其坡比为1：，则坡角为30度，然后运用正弦函数解答．【解答】解：因为坡度比为1：，即tanα=，∴α=30°．则其下降的高度=72×sin30°=36（米）．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及运用．17．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C的坐标是（1+2，2）．【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．【专题】推理填空题．【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OB的长度，然后过点C作CE⊥x轴于点E，根据直角三角形的性质求出∠CBE=30°，在Rt△BCE中求出CE、BE的长度，再求出OE的长度，即可得解．【解答】解：∵AB=2，∠OAB=30°，∴OB=AB=1，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AB0+∠CBE=90°，∴∠CBE=∠OAB=30°，点C作CE⊥x轴于点E，在Rt△BCE中，CE=BC=×4=2，BE===2，∴OE=OB+BE=1+2，∴点C的坐标是（1+2，2）．故答案为：（1+2，2）．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．18．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】利用折叠的性质和勾股定理可知．【解答】解：由勾股定理得，MN=5，设Rt△PMN的斜边上的高为h，由矩形的宽AB也为h，根据直角三角形的面积公式得，h=PM•PN÷MN=，由折叠的性质知，BC=PM+MN+PN=12，∴矩形的面积=AB•BC=．【点评】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，直角三角形和矩形的面积公式求解．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．化简：，并求当时的值．【考点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂．【专题】探究型．【分析】先根据负整数指数幂及0指数幂的计算法则计算出各数，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=++1===．当x=+1时，原式===【点评】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．解方程：【考点】换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题；换元法．【分析】此题用换元法解答，设y=，把分式方程化为整式方程求解．【解答】解：设y=，则原方程化为y﹣﹣2=0，∴y2﹣2y﹣3=0，解得：y1=3，y2=﹣1．当y1=3时，=3，解得x1=﹣；当y2=﹣1时，=﹣1，解得x2=﹣．经检验，原方程的解是x1=﹣，x2=﹣．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．21．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过点O分别作AB、CD的垂线OM、ON，则四边形OMEN是正方形，利用垂径定理即可求得OM，AM的长度，然后在直角△AOM中利用勾股定理即可求得OA的长度．【解答】解：过点O分别作AB、CD的垂线OM、ON，则四边形OMEN是矩形，连接OA．∵AB=CD，AB⊥CD，∴OM=ON，∴矩形OMEN是正方形．∵CE=2，ED=6，∴CD=2+6=8，∵ON⊥CD∴CN=CD=4，∴EN=OM=2，同理：AM=4．在直角△AMO中，OA===2．∴⊙O的半径长为2．【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算．22．甲乙两人同时登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山的速度是每分钟10 米，乙提速时距地面的高度b为30 米；（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请求出乙提速后，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式，并写出相应的定义域．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）甲的速度=（300﹣100）÷20=10，根据图象知道一分的时间，走了15米，然后即可求出A地提速时距地面的高度；（2）乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，所以乙的速度是30米/分．那么求出点B的坐标，加上点A的坐标代入一次函数解析式即可求出乙的函数解析式，把C、D坐标代入一次函数解析式可求出甲的函数解析式．【解答】解：（1）甲的速度为：（300﹣100）÷20=10米/分，根据图中信息知道乙一分的时间，走了15米，那么2分时，将走30米；故答案为：10；30（2）由图知：x=+2=11，∵C（0，100），D（20，300）=10x+100（0≤x≤20）；∴线段CD的解析式：y甲∵A（2，30），B（11，300），=∴折线OAB的解析式为：y乙【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，关键是正确理解题意．23．如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）FG•BE=CE•AE．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】（1）根据已知首先证明△ADF≌△EDC，再利用AF=CE，AF∥BC得出即可；（2）利用已知得出△AFG∽△BEA，进而得出比例式，再利用平行四边形的性质求出即可．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFD=∠DEC，∵∠FDA=∠CDE，D是AC的中点，∴△ADF≌△EDC，∴AF=CE，∵AF∥BC，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）证明：∵四边形AFCE是平行四边形，∴∠AFC=∠AEC，AF=CE，∵AF∥BC，∴∠FAB=∠ABE，∴△AFG∽△BEA，∴，∴FG•BE=AF•AE，∴FG•BE=CE•AE．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，根据已知得出证明等积式需证明△AFG∽△BEA是解决问题的关键．24．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若上抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A，D两点，试确定此抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】应用题；综合题．【分析】（1）有题目所给信息可以知道，BC线上所有的点的纵坐标都是3，又有D在直线上，代入后求解可以得出答案．（2）A、D，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案．（3）由题目分析可以知道∠B=90°，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，所以应有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明显∠AMP不可能等于90°，所以有两种情况．【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，C（0，3）∴BC∥OA，点D的纵坐标为3．∵直线与BC边相交于点D，∴．∴x=2，故点D的坐标为（2，3）（2）∵若抛物线y=ax2+bx经过A（6，0）、D（2，3）两点，∴解得：∴抛物线的解析式为．（3）∵抛物线的对称轴为x=3，设对称轴x=3与x轴交于点P1，∴BA∥MP1，∴∠BAD=∠AMP1．M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△MP1A．①∵∠AP1（3，0）．∴P1=∠ABD=90°时，△ABD∽△MAP2．②当∠MAP2M=∠ADB∴∠AP2=AB，∠AP1P2=∠ABD=90°，∵AP1P2≌△ABD∴△AP1P2=BD=4．∴P1在第四象限，∴P2（3，﹣4）．∵点P2答：符合条件的点P有两个，P1（3，0）、P2（3，﹣4）．【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，以及三角形的性质等相关知识，属于综合类题目．25．如图1，已知AB⊥BM，AB=2，点P为射线BM上的动点，联结AP，作BH⊥AP，垂足为H，∠APM的平分线交BH的延长线于点D，联结AD．（1）若∠BAP=30°，求∠ADP的度数；（2）若S△ADP ：S△ABP=3：2，求BP的长；（3）若AD∥BM（如图2），求BP的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据AB⊥BM、∠BAP=30°可得∠APB=60°、∠APM=120°，再由BH⊥AP、BH平分∠APM得∠BPA=∠DPA、PB=PD，证△ABP≌△ADP可得∠ADP=∠ABP=90°；（2）S △ADP ：S △ABP =3：2可得HD ：BH=3：2，设BH=2x ，DH=3x ，根据角平分线性质得DN=DH=3x ，在RT △BDN 中表示出tan ∠DBN ，由∠BAP=∠HBP 可得AB=，由AB=2可求出x的值；（3）过点D 作DN ⊥BM 于N ，根据已知条件知四边形ABND 是矩形可得DN=AB ，由角平分线性质得DH=DN ，故可证得△ABP ≌△DHA ，有BP=HA ，设BP=x ，再证△ABH ∽△APB 得AB 2=AH •AP ，可列出关于x 的方程，解方程即得．【解答】解：（1）∵AB ⊥BH ，∴∠ABP=90°，∵∠BAP=30°，∴∠APB=60°，∴∠APM=180°﹣60°=120°，∵PD 平分∠APM ，∴∠DPM=∠APM=60°，∵BH ⊥AP ，∴∠BHP=90°，∴∠HBP=30°，∵∠PBD+∠PDB=∠DPM ，∴∠PDB=60°﹣30°=30°，∴PB=PD ，在△ABP 和△ADP 中，∵，∴△ABP≌△ADP（SAS），∴∠ADP=∠ABP=90°；（2）如图1，过点D作DN⊥BM于N，∵BH⊥AP，∴S△ADP =AP•HD，S△ABP=AP•BH，∵S△ADP ：S△ABP=3：2，∴HD：BH=3：2，设BH=2x，DH=3x，∵PD平分∠APM，BH⊥AP，DN⊥BM，∴DN=DH=2x，在△BND中，BD=5x，DN=3x，则BN=4x，∴tan∠DBN=，∴HP=2x•=x，∴BP=x，∵AB⊥BP，∴∠BAP+∠BPH=90°=∠HBP+∠APB，∴∠BAP=∠HBP，∴AB=，∵AB=2，∴x=，∴BP=x=；（3）如图2，过点D作DN⊥BM于N，∵AB⊥BN，AD∥BM，∴∠ABN=∠DNB=∠BAD=90°，∴四边形ABND是矩形，∴DN=AB=2，∵PD平分∠APM，∴DH=DN=2，在△ABP和△DHA中，，∴△ABP≌△DHA（ASA），∴BP=HA，设BP=x，∵∠BAH=∠PAB，∠ABP=∠AHB，∴△ABH∽△APB，∴AB2=AH•AP，∴4=x•，解得：x2=2﹣2，（负根已舍）∴BP=．【点评】本题主要考查全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线性质等知识点，将待求角和线段通过全等或相似转化到求另一个相等量是关键也是难点．。

上海市宝山区2020-2021学年九年级上学期期末(中考一模)数学试卷带讲解

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上海市宝山区2021届初三一模数学试卷一、选择题1. 如果C 是线段AB 延长线上一点，且:3:1AC BC =，那么:AB BC 等于（ ）．A. 2:1B. 1:2C. 4:1D. 1:4 【答案】A【分析】先画出图形，设BC 为k ，然后用k 表示出AB ，最后求出:AB BC 即可．【详解】解：根据题意可画出下图：∵:3:1AC BC =，设BC 为k ，∴AC=3k ，∴AB=AC-BC=2k ，∴:AB BC =2k∴k=2∶1．故答案为A ．【点睛】本题主要考查了线段的和差，根据题意画出图形成为解答本题的关键．2. 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，那么sin A 的值为（ ）． A. 35 B. 34 C. 45 D. 43【答案】A【分析】根据正弦的定义解答即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA=35BC AB =， 故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦是解题的关键．3. 如图，//AB DE ，//BC DF ，已知::AF FB m n =，BC a =，那么CE 等于（ ）．A. am nB. an mC. am m n +D. an m n+【答案】D【分析】先证明：四边形DEBF 是平行四边形，可得DF BE =，利用::AF FB m n =，再求解AF m AB m n=+，再证明ADF ACB ∽，利用相似三角形的性质求解BE ，再利用线段的和差可得答案． 【详解】解： //AB DE ，//BC DF ，∴ 四边形DEBF 是平行四边形， DF BE ∴=，::AF FB m n =，AF m AB m n∴=+， //DF BC ，ADF ACB ∴∽AF DF AD AB BC AC∴==, //AB DE ，BE AD m BC AC m n∴==+， BC a =，ma BE m n∴=+， .ma na CE a m n m n ∴=-=++ 故选：.D4. 已知点M 是线段AB 的中点，那么下列结论中，正确的是（ ）． A. AM BM = B. 12AM AB = C. 12BM AB = D. 0AM BM +=【答案】B【分析】根据题意画出图形，因为点M 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．【详解】解：A 、AM MB =，故本选项错误；B 、12AM AB =，故本选项正确；C 、12BM BA =，故本选项错误； D 、0AM BM +=，，故本选项错误．5. 若将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（ ） A. 2(1)2y x =-+B. 2(1)2y x =--C. 2(1)2y x =++D. 2(1)2y x =+- 【答案】A【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线：()212y x =-+ 故答案为：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．6. 如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（ ）．A. 0ac <B. 抛物线的对称轴为直线1x =C. 0a b c -+=D. 点()12,y -和()22,y 在拋物线上，则12y y >【答案】B 【分析】根据图象分别求出a 、c 的符号，即可判断A ；根据抛物线与x 轴的两个交点可判断出该抛物线的对称轴不是x =1，即可判断B ；把x =-1代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断C ；将x =-2与x =2带入二次函数，可得出y 1与y 2的值，即可判断D ．【详解】解：∴二次函数图象开口向上，∴a ＞0，∴二次函数的图象交y 轴的负半轴于一点，∴c ＜0，∴ac ＜0 选项A 正确；∴由图像可看出，抛物线与x 轴的交点一个为x=-1，另一个在x=2和x=3中间，不关于x=1对称，∴抛物线的对称轴不是x=1 选项B 错误；把x=-1代入y=ax 2+bx+c 得：y=a-b+c ，由图像可知，x=-1时y=0，∴a-b+c=0 选项C 正确；把x=-2和x=2代入y=ax 2+bx+c 中，由图像可知，y 1＞0，y 2＜0，∴y 1＞y 2 选项D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键时熟练运用抛物线的图像判断系数a 、b 、c 之间的关系，同时注意特殊点与对称轴之间的关系，属于中等题型．二、填空题7. 如果2x ＝3y ，那么x y y+=___． 【答案】52【分析】直接利用已知得出x =32y ，进而代入得出答案． 【详解】解：∵2x =3y ，∴x =32y ， ∴3522y y x y y y ++==． 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．8. 已知线段2a =厘米，8c =厘米，那么线段a 和c 的比例中项b 的长度为______厘米．【答案】4【分析】根据线段的比例中项可直接进行列式求解．【详解】解：由题意可得：22816b ac ==⨯=，∴4b =cm ；故答案为4．【点睛】本题主要考查比例中项，熟练掌握比例中项是解题的关键．9. 如果线段AB 的长为2，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较短的线段AP =______．【答案】3【分析】设较短的线段AP x =，则BP AB AP =-，根据黄金分割点的性质列方程并求解，即可得到答案．【详解】设较短的线段AP x =∵AB 的长为2∴2BP AB AP x =-=- ∴BP AP AB BP= ∴222x x x-=- ∴()222x x -=∴3x =+3（经检验均为方程的根）32+>，故舍去∵(22310x -=-=≠∴3x =-∴较短的线段3AP =故答案为：3【点睛】本题考查了黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．10. 计算：32a ba b ______． 【答案】54a b -【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．【详解】解：326354a ba b a b a b a b ， 故答案为：54a b -．【点睛】本题考查的是平面向量的知识，熟悉相关性质是解题的关键．11. 已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为35，那么其周长为______． 【答案】26【分析】作DF ⊥BC 于F ，AE ⊥BC 于E ，根据等腰梯形的性质就可以得出△AEB ≌△DFC 就可以求出FC=BE ，然后根据底角的余弦值为35，求得BE ，AB ，从而求出周长． 【详解】解：如图示，作DF⊥BC 于F ，AE⊥BC 于E ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴∠B=∠C ，AB=CD ，AD ∥BC ，∴∠ADF=∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFE=∠ADF=90°，∴四边形AEFD 是矩形，5EF AD ，△AEB 和△DFC 中BC AEBDFC AE DF ， ∴△AEB ≌△DFC （AAS ），∴BE=CF ； ∵35cos E ABB B ， 设3BE x =，则5AB x =， 根据勾股定理，有：2222534AE AB BE x x ，解之得：1x =（取正值），∴3BE =，5AB =，∴3FCBE ，5DC AB ==， ⊥周长AB BE EF FC CD AD 53535526，故答案是：26．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质的运用，三角函数，矩形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，能熟练应用相关性质是解题的关键．12. 某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为0)x x >（，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是______．【答案】()21001y x =+；【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率)n ,即可列方程求解．详解】依题意得：()21001y x =+故答案为：()21001y x =+【点睛】考查了一元二次方程的应用，可直接套公式：原有量×(1+增长率)n =现有量，n 表示增长的次数． 13. 如果抛物线()21y m x m =++（m 是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向______． 【答案】向上【分析】根据解析式写出顶点，根据顶点坐标在第二象限求出m 的取值故可求解．【详解】∵抛物线()21y m x m =++的得到为（-1，m ）又顶点坐标在第二象限∴m ＞0∴开口向上故答案为：向上．【点睛】此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟知顶点式的特点．14. 已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y 轴左侧的部分，图像上升，在y 轴右侧的部分，图像下降；试写出一个符合要求的抛物线的表达式：______．【答案】2y x =-（答案不唯一）【分析】设出符合条件的函数解析式，再根据二次函数的图象在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的可知该函数图象的开口向下，对称轴为y 轴，即0a <，0b =，再把()0,0A 代入，得出符合条件的函数解析式即可．【详解】解：设出符合条件的函数解析式为：()20y ax bx c a =++≠， ∵二次函数的图象在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的，∴该函数图象的开口向下，对称轴为y 轴，即0a <，0b =，∵函数图象经过()0,0A ，∴0c ，∴符合条件的二次函数解析式可以为：2y x =-（答案不唯一）．故答案为：2y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，先根据题意设出函数解析式，再根据二次函数的性质判断出a 的符号及对称轴是解答此题的关键，此题属开放性题目，答案不唯一．15. 如图，已知ABC 中，//EF AB ，12AF FC =，如果四边形ABEF 的面积为25，那么ABC 的面积为______．【答案】45【分析】根据//EF AB ，易得∴CFE ∽△CAB ，再依据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出三角形ABC 的面积．【详解】解：∵//EF AB∴△CFE ∽△CAB 又∵12AF FC = ∴32ACFC=， ∴94ABC FEC S S =△△ 设∴ABC 的面积为x 则9254x x =-， 解得，x=45，经检验x=45是原方程的根故答案为：45【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，依据相似三角形面积比是相似比的平方，构建方程，是解决问题关键．16. 在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt ABC △，90C ∠=︒，要截得的正方形EFGD 的边FG 在AB 上，顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上，如果4AF =，9GB =，那么正方形铁皮的边长为______．【答案】6【分析】设正方形铁皮的边长为x ，证明△AEF ∽△DBG ，得到EF AF BG DG =，49x x=，求解即可． 【详解】设正方形铁皮的边长为x ，∵90C ∠=︒，∴∠A+∠B=90︒，在正方形EFGD 中，EF=DG=FG=x ，∠EFG=∠DGF=90︒,∴∠AFE=∠BGD=90︒，∴∠A+∠AEF=90︒,∴∠AEF=∠B ，∴△AEF ∽△DBG ， ∴EF AF BG DG=， ∴49x x =， 解得x=6（负值舍去），故答案为：6．【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，根据已知条件证明△AEF ∽△DBG 是解题的关键．17. 如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1:0.75，那么该大坝迎水坡AB 的长度为______米．【答案】15【分析】过点B 作BC ⊥AC 于C ，由迎水坡的坡度为1:0.75，得到tan ∠BAC=43=BC AC ，求出AC=9米，再利用勾股定理求出答案．【详解】过点B 作BC ⊥AC 于C ，∵迎水坡的坡度为1:0.75，∴tan ∠BAC=43=BC AC ， ∵BC=12米，∴AC=9米，∴米)，故答案为：15．．【点睛】此题考查坡度的定义，解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理解迎水坡的坡度为1:0.75得到tan ∠BAC=43=BC AC 是解题的关键． 18. 在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan CAP ∠=______．1．【分析】分两种情形：⊥当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD ＝DC 即可解决问题．【详解】解：⊥如图2中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．⊥CE ＝EA ，CF ＝FB ，∴EF ∥AB ，∵AC ＝AB ，∠ACB ＝90°⊥⊥CEF ＝⊥CAB ＝45°，∵PD ＝P A ，∠APD ＝90°⊥⊥PAD ＝⊥PDA ＝45°，⊥⊥HDC ＝⊥PDA ＝45°，∵点E 是边CA 的中点，⊥EA ＝EP ＝EC⊥⊥EPC ＝⊥CEP ，∵∠HDC ＝∠DCA+∠DAC ＝45°，∠CEF ＝∠DCA+∠EPC ＝45°，⊥⊥DAC ＝⊥EPC ＝⊥ECP ，∴DA ＝DC ，设AP ＝a ，则DA DC =,∴)1PC a =∴)1tan 1a PC CAP PAa∠===②如图3中，当点P 在线段CD 上时，由①可知，EF ∥AB ，∠CAB ＝∠PDA ＝45°， ∴∠CAD ＝180°-∠ACD-45°， ∠COA ＝180°-∠ACO-45° ∴∠CAD ＝∠COA ， ∵EF ∥AB ， ∴∠CPE ＝∠COA ， ∴∠CPE ＝∠CAD ， ∵点E 是边CA 的中点， ⊥EA ＝EP ＝EC ∴∠ECP ＝∠CPE ， ∴∠ECP ＝∠CAD ，∴DA ＝DC ，设AP ＝a ，则PD ＝a ，DA DC ==,∴)1PC a =∴)1tan 1a PC CAP PAa∠===:点P 在线段EF 上，情况⊥不满足条件,情况⊥满足条件，综上所述，tan CAP ∠1．【点睛】本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，外角的性质，三角形内角和，勾股定理和三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键．三、解答题19. 计算：21cos 45cot 30sin 60tan 30-︒︒+︒⋅︒．【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算求解．【详解】解：原式21112121112⎛- -=====． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．20. 如图，已知ABC 中，//DE BC ，且DE 经过ABC 的重心点G ，BD a =，BC b =．（1）试用向量a 、b 表示向量BE ； （2）求作向量()233a b -（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）． 【答案】（1）23BE a b =+；（2）见解析 【分析】（1）根据重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，分析得到DE=23BC ，再根据向量的加法法则，首尾顺次相连，由三角形法则即可求解；（2）取AD 的中点J ，延长CB 到I ，使BI=DE ，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，边接BK ，则BK 即是所求作的向量．【详解】解：（1）如图，连接AG 并延长交BC 于点F ，则GF=12AG ，AG 2=AF 3∴，DE//BC ，BC b = ADE ABC ∴△△∽， DE AG 2==BC AF 3∴， 23b DE BC =＝， 2a 3BE BD DE b ∴=+=+（2）BD a =，3BA a ∴=，作AD 的中点J ，2J=3a 23B a ∴⨯=，延长CB 到I ，使得BI=DE ，23BI b ∴=-，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，则()2223a 33BK BJ BI a b b =+=-=-， ∴BK 即是所求的求作的向量【点睛】本题考查了向量的知识，掌握法则向量的平行四边形法则，向量的三角形法则是解题的关键．21. 已知二次函数()20y ax ax a =-≠的图像经过点()1,2-．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线2132y x x =++？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）2yx x ，顶点为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）可以，先向左平移2个单位，再向下平移32个单位【分析】（1）把点()1,2-代入函数解析式，求出a 的值即可得到解析式，再把一般式写成顶点式得到顶点坐标； （2）把所给的函数解析式化为顶点式，根据函数图象的平移法则进行求解． 【详解】解：（1）把点()1,2-代入函数解析式，得2a a +=，解得1a =， ∴2yx x ，写成顶点式：21124y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴顶点坐标是11,24⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）将2132y x x =++也写成顶点式，得23724y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，31222⎛⎫--= ⎪⎝⎭，713442-=， ∴把原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移32个单位． 【点睛】本题考查二次函数解析式的求解和图象的平移，解题的关键是掌握解析式的求解方法和函数图象的平移方法．22. 如图，点O 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，联结AO 并延长，交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．（1）求证：2AB DE BF =⋅； （2）如果1OE =，2EF =，求CFBF的长．【答案】（1）见解析；（2）33CF BF -=【分析】（1）根据菱形的性质证明ABO EDO ，BFO DAO ，得到AB BFED DA=，再由AB DA =，即可证明结论；（2）连接OC ，先证明()ADO CDO SAS ≅得到DAO DCO ∠=∠，就可以证明OEC OCF ，根据对应边成比例求出OC 的长，再根据ADE FCE ~，利用对应边成比例求出结果． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴//AB CD ，//AD BC ，AB DA =， ∴ABO EDO ，BFO DAO ，∴AB BO ED DO =，BF BODA DO =， ∴AB BFED DA=， ∵AB DA =， ∴2AB DE BF =⋅； （2）如图，连接OC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=DC ，ADO CDO ∠=∠， 在ADO △和CDO 中，AD CD ADO CDO DO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ADO CDO SAS ≅， ∴DAO DCO ∠=∠， ∵//AD BF ， ∴DAO OFC ∠=∠， ∴DCO OFC ∠=∠，∵COE FOC ∠=∠， ∴OEC OCF ，∴OE OCOC OF=，即2OC OE OF =⋅， ∵1OE =，2EF =， ∴123OF =+=，∴OC =∴AO OC == ∵//AD CF ， ∴ADE FCE ~，∴12AD AE FC FE ==，∴12BC AD FC +==，1322BF BC CF FC FC FC =+=+=，∴(236CF BF===． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．23. 某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼()AB 高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如下表：（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度． 【参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈】 【答案】（1）二；（2）36米【分析】（1）根据第二组只测了角度，未给出距离相关信息即可判断； （2）由锐角三角函数可求tan ABBC C =，tan AB BD ADB=∠，由BC BD CD -=，列出方程可求解． 【详解】（1）∴第二组中没有线段长度的数据，所以无法测出AB 的高度， ∴填第二组， 故答案为：二．（2）可选第一组的方案， 设AB xm =，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，tan =ABC BC， ∴4=tan tan 373AB x BC x C ==︒，在Rt ABD △中，90B ∠=︒，tan =ABADB BD∠， ∴tan tan 45AB xBD x ADB ===∠︒，∴BC BD CD -=， ∴4123x x -=， ∴36x =．答：教学大楼高36米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．24. 已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过 ()4,0A ，()1,3B -两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点 D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，联结BC 、BD ．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E 在线段BC 上，当CED OBD =∠∠时，求点 E 的坐标；（3）点M 在对称轴上，点N 在抛物线上，当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积． 【答案】（1）231255y x x =-，对称轴为2x =；（2）1,1E ；（3）当OA 为边时，1445S =；当OA 为对角线时，485S =． 【分析】（1）将()4,0A ，()1,3B -代入抛物线2y ax bx =+，求解即可；（2）过B 点作BF x ⊥轴叫x 轴与点F ，过E 点作EH x ⊥轴叫x 轴与点H ，根据B 点坐标是()1,3-，对称轴为2x =，易得BCF △是等腰直角三角形，ECH 也是等腰直角三角形，求出BC =CED OBD =∠∠，点D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，可证得OBCEDB ，DBE BCO ，则DBEBCO ，有DBEBBCOC，可得EB =EC =（3）分两种情况讨论：当OA 对角线时，当OA 为边时，分别求出N 点坐标，然后求解即可．【详解】解：（1）将()4,0A ，()1,3B -代入抛物线 2y ax bx =+，得：16403a b a b +=⎧⎨-=⎩，解之得： 35125a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴该抛物线的表达式是231255y x x =-， ∴22231233124255555y x x x xx ， ∴对称轴为2x =；（2）如图示：过B 点作BF x ⊥轴叫x 轴与点F ，过E 点作 EH x ⊥轴叫x 轴与点H ，∴B 点坐标是()1,3-，对称轴为2x =， ∴3BF CF ==，∴BCF △是等腰直角三角形，则ECH 也是等腰直角三角形， ∴22223332BCBF CF ,∴CED OBD =∠∠,CED EBD EDB ∠=∠+∠,OBDEBD OBC∴OBCEDB ,∴点D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，则D 点坐标是()5,3， ∴//BD FA∴DBE BCO ∴DBE BCO ∴DB EBBCOC, ∴6BD =,2OC =,2EB，即有EB =∴32222ECBCEB,∴ECH 是等腰直角三角形， ∴1EHHC∴1OH =即点E 的坐标是()1,1； （3）∴4OA =∴当OA 是平行四边形的边长时，如图2所示，则MN 必定在y 轴的上方，并有4MN OA ，∴点M 在对称轴上， ∴点N 的横坐标是6或-2， 又∴点N 在抛物线上， ∴当6x =时，23123666555y， ∴平行四边形OANM 的面积36144455；当2x =-时，23123622555y ， 同理可得平行四边形OANM 的面积36144455； ∴当OA 是平行四边形的对角线时，如图3所示，∵点M 在对称轴上，并MONA ∴点N 也在对称轴2x =上，∴当2x =时，23121222555y， ∴112244255OAN S ∴平行四边形OANM 的面积24482255OAN S ． 综上所述，平行四边形的面积为1445或485． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数坐标轴上的点，三角形的相似的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．25. 如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 、E 在边AB 上，∠DCE =45°，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当AC =3，AD =2BD 时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC =，tan ∠FMD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析； （2）4DE =； （3）1(02y x =<<． 【分析】（1）证明两个角相等证明△CDE ∽△BCE ，列比例式可得结论；（2）如图2，过D 作DN ⊥AC 于N ，根据△ADN 是等腰直角三角形，得AN =DN ，由平行线分线段成比例定理得23AD AN AB AC ==，计算DN 和CN 的长，利用勾股定理计算CD 和BD 的长，根据（1）中的相似三角形，列比例式得：DE CE DC CE BE BC ===，设DE ，CE =3x ，代入比例式可得结论； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，证明△AMC ≌△BPC （ASA ），得CM =CP ，证明△MCD ≌△PCD（SAS ），得∠MDC =∠PDC =∠BDC ，证明△BCD ∽△CMD ，列比例式得BD CD BC CM=，根据三角函数的定义和等量代换可得比例式，并根据D ，E 是AB 上一点，∠DCE =45°，可知当点E 与A 重合时，BD 最大为12AB ，可得x 的取值范围．【小问1详解】证明：如图1，∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠B =∠CAB =45°，∵∠DCE =45°，∴∠B =∠DCE ，∵∠CED =∠CEB ，∴△CDE ∽△BCE ， ∴CE DE BE CE=， ∴2CE BE DE =⋅；【小问2详解】解：如图2，过D 作DN ⊥AC 于N ，∴∠AND =90°，∵∠DAN =45°，∴△ADN 是等腰直角三角形，∵DN ∥BC ，AD =2BD ， ∴23AD AN AB AC ==， ∵AC =3，∴AB AN =DN =2，CN =1，∵AD =2BD ，∴BD由勾股定理得：DC =由（1）知：△CDE ∽△BCE ，∴3DE CE DC CE BE BC ===，设DE ，CE =3x ，3=，∴x ，∴DE ； 【小问3详解】解：如图3，过点C 作CP ⊥CM ，交AB 的延长线于点P ，∵∠DCE =45°，∠ACB =90°，∴∠ACM +∠BCD =45°=∠BCD +∠BCP ，∴∠BCP =∠ACM ，∵∠CBP =180°-45°=135°=∠CAM ，AC =BC ，∴△AMC ≌△BPC （ASA ），∴CM =CP ，∵∠DCM =∠DCP =45°，CD =CD ，∴△MCD ≌△PCD （SAS ），∴∠MDC =∠PDC =∠BDC ，∵∠ABC =45°=∠MCD ，∴△BCD ∽△CMD ， ∴BD BC CD CM =，即BD CD BC CM=， ∵FM ⊥FC ，∠DCE =45°，∴△CFM 是等腰直角三角形，∴CM FM ，∴y =tan ∠FMDDF MF CM==)CF CD CM-=CM -=1BD BC=x ；Rt △ABC 中，AC =BC ，∴AB BC ，∵D ，E 是AB 上一点，∠DCE =45°，∴当点E与A重合时，BD最大为12 AB，∵BDBC=x，∴0＜x∴y（0＜x＜2）．【点睛】本题是相似形的综合题，考查了全等和相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

2020-2021学年上海奉贤区初三(上)中考一模数学试卷(pdf版,含答案)

2020-2021学年上海奉贤区初三(上)中考一模数学试卷(pdf版,含答案)

2020学年奉贤区质量调研 九年级数学（202101）一、选择题1. 将抛物线=y x 22向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（ ）A . =−y x 212B . =+y x 212C . =+y x 212)(D . =−y x 212)( 2. 下列两个图形一定相似的是（ ） A . 两个菱形 B . 两个正方形C . 两个矩形D . 两个梯形3. 已知a b ,和c 都是非零向量，下列结论中不能确定a //b 的是（ ） A. =a bB . =a b 23C . a //c c ,//bD . ==a c b c 2,314. 在Rt ABC 中，∠C =90°，如果AC =3，=A 4cos 3，那么AB 的长为（ ） A .49 B . 4C . 5D .425 5. 如果O 1和O 2内含，圆心距=O O O 4,121的半径长是6，那么O 2的半径r 的取值范围是（ ）A . 0<r <2B . 2<r <4C . r >10D . 0<r <2或r >106. 如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =3AD ，对角线AC 、BD 交于点O ，EF 是梯形ABCD 的中位线，EF 与BD 、AC 分别交于点G 、H ，如果OGH 的面积为1，那么梯形ABCD 的面积为（ ） A . 12 B . 14 C . 16 D . 18二、填空题7. 如果=a b 25，那么=ba____________ 8. 如果4是a 与8的比例中项，那么a 的值为____________9. 如果二次函数=++−y mx x m 212的图像经过点P （1,2），那么m 的值为____________10. 如果二次函数=−y x 12)(的图像上有两点y 2,1)(和y 4,2)(，那么y 1____________y 2（填“>”、“=”或“<”）学习是件很有意思的事11. 如图2，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方 形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米， 设垂直于墙的一段篱笆长为x 米，可列出方程为____________12. 如果两个相似三角形的周长之比为1:4，那么这两个三角形对应边上的高之比为____________13. 已知点P 是线段AB 上一点，且2BP AP AB =⋅，如果AB =2厘米，那么BP =____________厘米14. 已知某斜坡的坡度i =1:3，当铅垂高度为3米时，水平宽度为____________米15. 如果点G 是ABC 的重心，且AG =6，那么BC 边上的中线长为____________16. 如图3，已知点D 在ABC 的边BC 上，联结 AD ，P 为AD 上一点，过点P 分别作AB 、AC 的平行线交BC 于点E 、F ，如果BC =3EF ，那么APPD=____________ 17. 当两条曲线关于某直线l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l 的对称曲线，如果抛物线21:2C y x x =−与抛物线2C 关于直线1x =−的对称曲线，那么抛物线2C 的表达式为____________18. 如图4，在Rt ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，CD 是ABC 的角平分线，将Rt ABC 绕点A 旋转，如果点C 落在射线CD 上，点B 落在点E 处，联结DE ，那么∠AED 的正切值为____________三、解答题19. 已知:2:3,:3:4a b b c ==，且26a b c +−=，求,,a b c 的值20. 如图5，已知抛物线23y x ax =−++与y 轴交于点A ，且对称轴是直线1x =. （1）求a 的值域该抛物线顶点P 的坐标；（2）已知点B 的坐标为()1,2−，设,OA a OP b ==，用向量,a b 表示OB .21. 如图6，在ABC 中，5AB AC ==，BC =2，过点B 作BD AC ⊥，垂足为点D . （1）求cot ∠ACB 的值；（2）点E 是BD 延长线上一点，联结CE ，当∠E =∠A 时，求线段CE 的长.22. 如图7-1是一个手机的支架，由底座、连杆AB 、BC 、CD 和托架组成（连杆AB 、BC 、CD 始终在同 一平面内），连杆AB 垂直于底座且长度为8.8厘米，连杆BC 的长度为10厘米，连杆CD 的长度可以 进行伸缩调整.（1）如图7-2，当连杆AB 、BC 在一条直线上，且连杆CD 的长度为9.2厘米，∠BCD =143°时，求点D 到底座的高度（计算结果保留一位小数）（2）如图7-3，如果∠BCD =143°保持不变，转动连杆BC ，使得∠ABC =150°，假如AD //BC 时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆CD 的长度（计算结果保留一位小数） （参考数据：sin530.80,cos530.60,cot 530.75︒≈︒≈︒≈）23. 如图8，在四边形ABCD 中，∠B =∠DCB ，联结AC ，点E 在边BC 上，且∠CDE =∠CAD ，DE 与AC 交于点F ，CE CB AB CD ⋅=⋅. （1）求证：AD //BC ；（2）当AD =DE 时，求证：2AF CF CA =⋅.24. 如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =−++与x 轴正半轴交于点A (4,0)，与y 轴交于点B (0,2)，点C 在该抛物线上且在第一象限. （1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移m 个单位，使得点C 落在线段AB 上的点D 处，当AD =3BD 时，求m 的值； （3）联结BC ，当∠CBA =2∠BAO 时，求点C 的坐标.25. 已知O 的直径AB =4，点P 为弧AB 上一点，联结P A 、PO ，点C 为劣弧AP 上一点（点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交P A 、PO 于点D 、E .（1）如图10，当7cos 8CBO ∠=时，求BC 的长； （2）当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP 与AOP 相似时，求∠ABC 的度数： （3）当AD =2DP ，且BEO 为直角三角形时，求四边形AOED 的面积.参考答案一、选择题1. C2. B3. A4. B5. D6. C二、填空题 7.52 8. 42 9. 1210. < 11. ()17324x x ⋅−= 12. 1:4 13.51− 14. 9 15. 9 16. 2 17. ()231y x =+− 18. 37三、解答题19. 4,6,8a b c ===20.（1）a 的值域为2，P （1,4） （2）2OB a b =−+ 21.（1）12（2）5222.（1）26.2cm （2）7.3cm23.（1）证明略 （2）证明略24.（1）213222y x x =−++ （2）32（3）C （2,3） 25.（1）72（2）18° （3）53百人驳相对论(信念)爱因斯坦的“相对论”发表以后，有人曾创造了一本《百人驳相对论》，网罗了一批所谓名流对这一理论进行声势浩大的反驳。

2021年上海市松江区九年级中考一模数学试卷(含解析)

2021年上海市松江区九年级中考一模数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市松江区九年级中考一模数学试卷一、选择题（共6小题）.1．如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：162．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα3．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2 4．已知＝2，下列说法中不正确的是（）A．﹣2＝0B．与方向相同C．∥D．||＝2||5．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米B．10千米C．10千米D．5千米6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（）A．B．C．D．二、填空题（共12小题）.7．已知，则＝．8．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是cm．9．计算：sin30°•cot60°＝．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cos A＝，那么AB的长为．11．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为．12．已知点A（2，y1）、B（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．13．如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝4，AC＝6，DF＝10，则DE＝．14．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为．15．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，＝，四边形DBCE 的面积等于7，则△ADE的面积为．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设向量＝，＝，用向量、表示为．17．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知△ABC的边BC＝16cm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为cm．18．如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为．三、解答题（共7题，满分78分）19．（10分）用配方法把二次函数y＝3x2﹣6x+5化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．20．（10分）如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，AB＝6，BE＝4，BC＝9，联结AC．（1）求线段CD的长；（2）如果AE＝3，求线段AC的长．21．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求cot∠BAD的值．22．（10分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．（1）求斜坡DE的高EH的长；（2）求信号塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）23．（12分）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE 相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B（﹣1，﹣1），与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的表达式；（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，．①求P点坐标；②点Q在x轴上，如果∠QCA＝∠PCB，求点Q的坐标．25．（14分）如图，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，tan∠ABC＝2，BF⊥AC，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）．（1）求边BC的长；（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果CG＝4，求线段AD的长；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果△DQF和△ABC 相似，求线段BD的长．参考答案一、选择题（共6小题）.1．如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4，∴它们的周长比是：1：4．故选：B．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα【分析】根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．解：∵cot A＝，BC＝2，∴AC＝BC•cotα＝2cotα，故选：D．3．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是y＝2（x﹣3）2．故选：D．4．已知＝2，下列说法中不正确的是（）A．﹣2＝0B．与方向相同C．∥D．||＝2||解：A、由＝2得到：﹣2＝，故本选项说法不正确．B、由＝2知，与方向相同，故本选项说法正确．C、由＝2知，与方向相同，则∥，故本选项说法正确．D、由＝2知，||＝2||，故本选项说法正确．故选：A．5．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米B．10千米C．10千米D．5千米解：如图，∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝10米，∴BE＝5米，AE＝5米，∴CE＝BC﹣CE＝20﹣5＝15（米），∴AC＝（米），故选：C．6．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（）A．B．C．D．解：延长AG交BC于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴CD＝BD＝BC＝4，AG＝2GD，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，而∠C＝90°，∴GE∥CD，∴△AEG∽△ACD，∴＝＝＝，∴EG＝CD＝×4＝．故选：C．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知，则＝．解：由题意，设x＝5k，y＝3k，∴＝＝．故答案为：．8．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是（2﹣2）cm．解：∵P是线段MN的黄金分割点，∴MP＝MN，而MN＝4cm，∴MP＝4×＝（2﹣2）cm．故答案为（2﹣2）．9．计算：sin30°•cot60°＝．解：原式＝×＝．故答案为：．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cos A＝，那么AB的长为8．解：∵cos A＝＝，AC＝6，∴AB＝＝8，故答案为：8．11．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为y＝x2+4x．解：由题意得，y＝（2+x）2﹣22＝x2+4x，故答案为：y＝x2+4x．12．已知点A（2，y1）、B（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1＜y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．解：∵y＝x2﹣2x+c，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∵1＜2＜3，∴y1＜y2，故答案为：＜．13．如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝4，AC＝6，DF＝10，则DE＝．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴DE＝．故答案为．14．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为．解：由图可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴sin∠ABC＝＝，故答案为：．15．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，＝，四边形DBCE 的面积等于7，则△ADE的面积为9．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，∵四边形DBCE的面积等于7，∴S△ADE＝9．故答案为：9．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设向量＝，＝，用向量、表示为+2．解：如图，在梯形ABCD中，∵AD∥BC，BC＝2AD，＝，∴＝2＝2，∴＝+＝+2，故答案是：+2．17．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知△ABC的边BC＝16cm，高AH为10cm，则正方形DEFG的边长为cm．解：如图，设正方形DEFG的边长为xcm，则DE＝PH＝xcm，∴AP＝AH﹣PH＝（10﹣x）cm，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴＝，即＝，∴x＝（cm），故答案为．18．如图，已知矩形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝1，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，如果点D、F、E在同一直线上，则线段AE的长为．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE＝1，∠CEB＝∠CEF，∵矩形ABCD中，DC∥AB，∴∠DCE＝∠CEB，∴∠CEF＝∠DCE，∴DC＝DE，设AE＝x，则AB＝CD＝DE＝x+1，∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴，∴，解得x＝或x＝（舍去），∴AE＝．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）用配方法把二次函数y＝3x2﹣6x+5化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y＝3x2﹣6x+5＝3（x2﹣2x）+5＝3（x2﹣2x+1﹣1）+5＝3（x﹣1）2+2，开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，2）．20．（10分）如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，AB＝6，BE＝4，BC＝9，联结AC．（1）求线段CD的长；（2）如果AE＝3，求线段AC的长．解：（1）∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴，∵AB＝6，BE＝4，BC＝9，∴，∴CD＝；（2）∵AE＝3，△ABE∽△DCE，∴，∴，∴DE＝，∵，＝，∴，∵AB∥DC，∴∠ECD＝∠ABC，∴△ABC∽△ECD，∴，∴，∴AC＝．21．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，联结AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求cot∠BAD的值．【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；（2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到cot∠BAD 的值．解：（1）设AC＝3x，∵∠C＝90°，sin∠ABC＝，∴AB＝5x，BC＝4x，∵tan∠DAC＝，∴CD＝2x，∵BD＝4，BC＝CD+BD，∴4x＝2x+4，解得x＝2，∴AC＝3x＝6；（2）作DE⊥AB于点E，由（1）知，AB＝5x＝10，AC＝6，BD＝4，∵，∴，解得DE＝，∵AC＝6，CD＝2x＝4，∠C＝90°，∴AD＝＝2，∴AE＝＝＝，∴cot∠BAD＝＝＝，即cot∠BAD的值是．22．（10分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．（1）求斜坡DE的高EH的长；（2）求信号塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【分析】（1）过点E作EM⊥DC交DC的延长线于点M，根据斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EH＝x，则DH＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EH；（2）结合（1）得DH的长，故可得出CH的长．由矩形的判定定理得出四边形EHCM 是矩形，故可得出EM＝HC，CM＝EH，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．解：（1）过点E作EM⊥AC于点M，∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝65米，CD＝60米，∴设EH＝x，则DH＝2.4x．在Rt△DEH中，∵EH2+DH2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝652，解得，x＝25（米）（负值舍去），∴EH＝25米；答：斜坡DE的高EH的长为25米；（2）∵DH＝2.4x＝60（米），∴CH＝DH+DC＝60+60＝120（米）．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，∴四边形EHCM是矩形，∴EM＝CH＝120米，CM＝EH＝25米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝37°，∴AM＝EM•tan37°≈120×0.75＝90（米），∴AC＝AM+CM＝90+25＝115（米）．∴AB＝AC﹣BC＝115﹣92＝23（米）．答：信号塔AB的高度为23米．23．（12分）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE 相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵CE2＝DE•BC，∴，∴△DEC∽△ECB，∴∠EBC＝∠DCE；（2）∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠AEB＝∠EBC，∠F＝∠ECD，∴∠AEB＝∠F，又∵∠ABE＝∠EBF，∴△ABE∽△EBF，∴，∴BE•EF＝BE•AE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B（﹣1，﹣1），与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的表达式；（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，．①求P点坐标；②点Q在x轴上，如果∠QCA＝∠PCB，求点Q的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B（﹣1，﹣1），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于E，∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交于点C，∴点C（0，﹣2），∴OC＝2，∵PE∥OC，∴＝，∴PE＝，∴＝x2﹣x﹣2，∴x＝﹣2或x＝（不合题意舍去），∴点P（﹣2，）；②如图2，过点B作BH⊥CO于H，由①可知DO＝＝，∵B（﹣1，﹣1），点C（0，﹣2），A（2，0）∴OA＝OC＝2，BH＝CH＝1，∴∠BCH＝45°＝∠OCA，∴∠BCA＝90°，当点Q在线段AO上时，∵∠QCA＝∠PCB，∴∠DCO＝∠QCO，又∵CO＝CO，∠DOC＝∠QOC＝90°，∴△DOC≌△QOC（ASA），∴DO＝QO＝，∴点Q坐标为（，0），当点Q'在射线OA上时，∵∠Q'CA＝∠PCB，∴∠DCQ'＝90°，∴∠CDO+∠DQ'C＝90°，∠DCO+∠CDO＝90°，∴∠DQ'C＝∠DCO，又∵∠DOC＝∠Q'OC＝90°，∴△DOC∽△COQ'，∴，∴4＝×Q'O，∴Q'O＝，∴点Q'（，0），综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．25．（14分）如图，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，tan∠ABC＝2，BF⊥AC，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）．（1）求边BC的长；（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果CG＝4，求线段AD的长；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果△DQF和△ABC 相似，求线段BD的长．【解答】解（1）如图1，过点A作DH⊥BC于H，∴∠AHB＝90°，∵AB＝AC＝5，∴BC＝2BH，在Rt△AHB中，tan∠ABC＝＝2，∴AH＝2BH，根据勾股定理得，AH2+BH2＝AB2，∴（2BH）2+BH2＝（5）2，∴BH＝5，∴BC＝2BH＝10；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵tan∠ABC＝2，∴tan∠ACB＝2，由（1）知，BC＝10，∵BF⊥AC，∴∠BFC＝90°，在Rt△BFC中，tan∠ACB＝＝2，∴BF＝2CF，根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，∴（2CF）2+CF2＝102，∴CF＝2，∴AF＝AC﹣CF＝5﹣2＝3，如图2，过点C作CK∥AB交FG于K，∴△CFK∽△AFD，∴，∴＝，∴△CGK∽△BGD，∴，∴CG＝4，∴＝，∴，∴，∴AD＝AB＝×5＝；（3）如备用图，在Rt△BFC中，根据勾股定理得，BF＝＝＝4，∵DE⊥BC，∴∠BEQ＝90°＝∠BFC，∵∠EBQ＝∠FBC，∴△BEQ∽△BFC，∴，∵CF＝2，BC＝10，∴，∴，∴设EQ＝m，则BQ＝5m，根据勾股定理得，BE＝2m，在Rt△BEQ中，tan∠ABC＝＝2，∴DE＝2BE＝4m，根据勾股定理得，BD＝10m，∴DQ＝DE﹣EQ＝3m，∵DE⊥BC，∴∠BEQ＝90°，∴∠CBF+∠BQE＝90°，∵∠BQE＝∠DQF，∴∠CBF+∠DQF＝90°，∵∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠C＝90°，∴∠DQF＝∠C，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠DQF，∵△DQF和△ABC相似，∴①当△DQF∽△ACB时，∴，∴，∴QF＝6m，∵BF＝4，∴5m+6m＝4，∴m＝，∴BD＝10m＝，②当△DQF∽△BCA时，，∴，∴FQ＝m，∴m+5m＝4，∴m＝，∴BD＝10m＝，即BD的长为或．。

2023届上海市区域中考数学模拟试题分层分类汇编专项真题练习—解答题(基础题)含解析

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2023届上海市区域中考数学模拟试题分层分类汇编专项真题试卷练习—解答题（基础题）目录一．实数的运算（共2小题） (1)二．二次根式的性质与化简（共1小题） (2)三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） (2)四．二次函数的性质（共1小题） (2)五．二次函数图象与几何变换（共1小题） (3)六．待定系数法求二次函数解析式（共2小题） (3)七．抛物线与x轴的交点（共1小题） (4)八．三角形的重心（共1小题） (4)九．*平面向量（共1小题） (4)一十．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） (5)一十一．作图—应用与设计作图（共1小题） (5)一十二．相似三角形的判定与性质（共6小题） (5)一十三．特殊角的三角函数值（共4小题） (7)一十四．解直角三角形（共1小题） (8)一十五．解直角三角形的应用（共1小题） (8)一十六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） (8)一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题） (9)一．实数的运算（共2小题）1．（2023•宝山区一模）计算：．2．（2023•青浦区一模）计算：．二．二次根式的性质与化简（共1小题）3．（2023•长宁区一模）计算：．三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）4．（2023•普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，a）．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）将这个正比例函数的图象向上平移m（m＞0）个单位，新函数的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，如果点B的纵坐标是横坐标的3倍，求m的值．四．二次函数的性质（共1小题）5．（2023•松江区一模）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1．（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系xOy中（如图），画出这个二次函数的图象；（3）请描述这个二次函数图象的变化趋势．五．二次函数图象与几何变换（共1小题）6．（2023•奉贤区一模）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位．（1）求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；（2）在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线．六．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）7．（2023•杨浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，m）、B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+2上．（1）如果m＝n，那么抛物线的对称轴为直线；（2）如果点A、B在直线y＝x﹣1上，求抛物线的表达式和顶点坐标．8．（2023•长宁区一模）已知y关于x的函数﹣2tx﹣3是二次函数．（1）求t的值并写出函数解析式；（2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．七．抛物线与x轴的交点（共1小题）9．（2023•徐汇区一模）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+9．（1）用配方法把二次函数y＝﹣3x2+6x+9化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点的坐标；（2）如果将该函数图象向右平移2个单位，所得的新函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，求四边形DACB的面积．八．三角形的重心（共1小题）10．（2023•杨浦区一模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G．（1）设，＝（用向量表示）；（2）如果∠ACD＝∠B，AB＝9，求边AC的长．九．*平面向量（共1小题）11．（2023•奉贤区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AB＝BC，E是BD的中点．（1）求证：∠BAE＝∠C；（2）设＝，＝，用向量、表示向量．一十．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）12．（2023•宝山区一模）如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．（1）已知AB＝6，EC＝2，求圆O的半径；（2）如果DE＝3EC，求弦AB所对的圆心角的度数．一十一．作图—应用与设计作图（共1小题）13．（2023•杨浦区一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：＝；sin∠ABC＝；（1）S△ABC＝S△ABC．（不要求写作法，（2）请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S△ACP但保留作图痕迹，写出结论）一十二．相似三角形的判定与性质（共6小题）14．（2023•普陀区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD＝1：3．（1）求的值；（2）联结FC，设，，那么＝，＝.（用向量、表示）15．（2023•奉贤区一模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，∠EAD＝∠BDC．（1）求证：AE•BD＝AD•DC；（2）如果点F在边DC上，且，求证：EF∥BC．16．（2023•长宁区一模）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且AD＝AB，边BC的垂直平分线EF交边AC于点E，BE交AD于点G．（1）求证：△BDG∽△CBA；（2）如果△ADC的面积为180，且AB＝18，DG＝6，求△ABG的面积．17．（2023•松江区一模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD ＝2DB．（1）如果BC＝4，求DE的长；（2）设＝，＝，用、表示．18．（2023•青浦区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF＝2AF．（1）求EA：AB的值；（2）如果，，试用、表示向量．19．（2023•青浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AD、BE 相交于点F，∠AFE＝∠ABC，AB2＝AE•AC．（1）求证：△ABF∽△BCE；（2）求证：DF•BC＝DB•CE．一十三．特殊角的三角函数值（共4小题）20．（2023•崇明区一模）计算：4cos30°﹣cos45°tan60°+2sin245°．21．（2023•金山区一模）计算：+2cot30°•sin60°．22．（2023•普陀区一模）计算：﹣4cot30°•cos230°．23．（2023•奉贤区一模）计算：4cos30°•sin60°+．一十四．解直角三角形（共1小题）24．（2023•松江区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中点，DE ⊥BC于点E，ED、BA的延长线交于点F．（1）求∠ABC的正切值；（2）求的值．一十五．解直角三角形的应用（共1小题）25．（2023•杨浦区一模）如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区．在△ABP中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：＝1.732）一十六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）26．（2023•崇明区一模）如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为i＝1：的斜坡CD．如果高为3米的标尺EF竖立在地面BC上，垂足为F，它的影子的长度为4米．（1）当影子全在水平地面BC上（图1）．求标尺与路灯间的距离；（2）当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）27．（2023•松江区一模）小明想利用测角仪测量操场上旗杆AB的高度．如图，他先在点C处放置一个高为1.6米的测角仪（图中CE），测得旗杆顶部A的仰角为45°，再沿BC的方向后退3.5米到点D处，用同一个测角仪（图中DF），又测得旗杆顶部A的仰角为37°．试求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-03解答题（基础题）答案与试题解析一．实数的运算（共2小题）1．（2023•宝山区一模）计算：．【正确答案】﹣3﹣2．解：原式＝2×﹣|1﹣|+＝1﹣（﹣1）+＝1﹣+1﹣2（+2）＝2﹣﹣2﹣4＝﹣3﹣2．2．（2023•青浦区一模）计算：．【正确答案】．解：＝＝＝．二．二次根式的性质与化简（共1小题）3．（2023•长宁区一模）计算：．【正确答案】﹣1．解：原式＝+＝+（2﹣）＝+﹣＝﹣1．三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）4．（2023•普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，a）．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）将这个正比例函数的图象向上平移m（m＞0）个单位，新函数的图象与反比例函数y ＝（x＞0）的图象交于点B，如果点B的纵坐标是横坐标的3倍，求m的值．【正确答案】（1）y＝x；（2）．解：（1）根据题意，将点A（3，a）代入反比例函数y＝，得3a＝3，解得a＝1，∴点A坐标为（3，1），将点A（3，1）代入正比例函数y＝kx，得3k＝1，解得k＝，∴正比例函数解析式为y＝x；（2）这个正比例函数的图象向上平移m（m＞0）个单位，得y＝，设点B横坐标为t，则纵坐标为，∵点B的纵坐标是横坐标的3倍，∴＝3t，解得t＝1或t＝﹣1（舍），∴点B坐标为（1，3），将点B坐标代入y＝，得3＝+m，解得m＝．四．二次函数的性质（共1小题）5．（2023•松江区一模）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1．（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系xOy中（如图），画出这个二次函数的图象；（3）请描述这个二次函数图象的变化趋势．【正确答案】（1）二次函数y＝2x2﹣4x﹣1图象的顶点坐标为（1，﹣3）；（2）画图象见解答过程；（3）当x≤1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大．解：（1）∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴二次函数y＝2x2﹣4x﹣1图象的顶点坐标为（1，﹣3）；（2）由（1）知抛物线顶点为（1，3），由y＝2x2﹣4x﹣1可得抛物线过（0，﹣1），（2，﹣1），（3，5），（﹣1，5），如图：（3）当x≤1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大．五．二次函数图象与几何变换（共1小题）6．（2023•奉贤区一模）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位．（1）求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；（2）在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线．【正确答案】（1）平移后新抛物线的表达式为y＝﹣（x+2）2+2，抛物线开口方向向下，顶点坐标为（﹣2，2），对称轴为直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；（2）图象见解答．解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位得新抛物线解析时为y＝﹣（x﹣1+3）2+4﹣2，即y＝﹣（x+2）2+2，∴抛物线开口方向向下，顶点坐标为（﹣2，2），对称轴为直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；（2）∵抛物线的顶点为（﹣2，2），对称轴为x＝﹣2，当x＝﹣1或﹣3时，y＝1，当x＝0或﹣4时，y＝﹣2，∴用五点法画出函数图象，如图所示：六．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）7．（2023•杨浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，m）、B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+2上．（1）如果m＝n，那么抛物线的对称轴为直线x＝2；（2）如果点A、B在直线y＝x﹣1上，求抛物线的表达式和顶点坐标．【正确答案】（1）x＝2；解：（1）∵A（1，m）、B（3，n），m＝n，∴点A和点B为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝2；故x＝2；（2）把A（1，m）、B（3，n）分别代入y＝x﹣1得m＝0，n＝2，∴A（1，0）、B（3，2），把A（1，0）、B（3，2）分别代入y＝ax2+bx+2得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的顶点坐标为（，﹣）．8．（2023•长宁区一模）已知y关于x的函数﹣2tx﹣3是二次函数．（1）求t的值并写出函数解析式；（2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．【正确答案】（1）t＝2，y＝4x2﹣4x﹣3；（2）开口向上，顶点坐标为（，﹣4），对称轴为直线x＝．解：（1）根据题意得t+2≠0且t2﹣2＝2，解得t＝2，所以抛物线解析式为y＝4x2﹣4x﹣3；（2）y＝4x2﹣4x﹣3＝4（x﹣）2﹣4，∵a＝4＞0，∴该二次函数图象的开口向上，顶点坐标为（，﹣4），对称轴为直线x＝．七．抛物线与x轴的交点（共1小题）9．（2023•徐汇区一模）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+9．（1）用配方法把二次函数y＝﹣3x2+6x+9化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点的坐标；（2）如果将该函数图象向右平移2个单位，所得的新函数的图象与x轴交于点A、B（点A 在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，求四边形DACB的面积．【正确答案】（1）y＝﹣3（x﹣1）2+12，图象开口向下，对称轴x＝1，顶点坐标为（1，12）；（2）54．解：（1）y＝﹣3x2+6x+9＝﹣3（x2﹣2x）+9＝﹣3（x2﹣2x+1﹣1）+9＝﹣3（x﹣1）2+12，∴y＝﹣3（x﹣1）2+12，∵﹣3＜0，∴图象开口向下，则对称轴x＝1，顶点坐标为（1，12）；（2）根据题意可得平移后的解析式为：y＝﹣3（x﹣3）2+12，∴顶点坐标为（3，12），即D（3，12），当y＝0时，即﹣3（x﹣3）2+12＝0，解得：x1＝1，x2＝5，∵新函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），∴A（1，0），B（5，0），当x＝0是，y＝﹣15，∴点C的坐标为（0，﹣15），＝S△ABD+S△ABC如图所示S四边形ACBD＝×4×12+×4×15＝54，∴四边形DACB的面积为54．八．三角形的重心（共1小题）10．（2023•杨浦区一模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G．（2）如果∠ACD＝∠B，AB＝9，求边AC的长．（2）边AC的长为3．解：（1）连接AG并延长交BC于M，如图：∵G是△ABC的重心，∴AG＝2MG，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABM，△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∴DE＝BC，∵＝，DE∥BC，∴＝；故；（2）∵AB＝9，由（1）知＝，∴AD＝6，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即AC2＝AB•AD，∴AC2＝9×6，解得AC＝3（负值已舍去），∴边AC的长为3．九．*平面向量（共1小题）11．（2023•奉贤区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AB＝BC，E是BD的中点．（1）求证：∠BAE＝∠C；（2）设＝，＝，用向量、表示向量．【正确答案】（1）证明见解答；（2）＝2﹣．（1）证明：∵BD＝AB＝BC，E是BD的中点，∴BE＝BD，∴＝，＝＝，又∵∠ABE＝∠CBA，∴△ABE∽△CBA，∴∠BAE＝∠C；（2）解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣，∵BD＝AB＝BC，∴BD＝DC，∴＝＝﹣，∴＝+＝+﹣＝2﹣．一十．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）12．（2023•宝山区一模）如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．（1）已知AB＝6，EC＝2，求圆O的半径；（2）如果DE＝3EC，求弦AB所对的圆心角的度数．【正确答案】（1）；（2）120°．解：（1）连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣2，∵CD平分AB，∴AE＝BE＝3，CD⊥AB，在Rt△OAE中，32+（r﹣2）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为；（2）连接OB，如图，∵DE＝3EC，∴OC+OE＝3EC，即OE+CE+OE＝3CE，∴OE＝CE，∴OE＝OC＝OA，在Rt△OAE中，∵sin A＝＝，∴∠A＝30°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠A＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，即弦AB所对的圆心角的度数为120°．一十一．作图—应用与设计作图（共1小题）13．（2023•杨浦区一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：＝4；sin∠ABC＝；（1）S△ABC＝S△ABC．（不要求写作法，（2）请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S△ACP但保留作图痕迹，写出结论）【正确答案】（1）4，；（2）作图见解答过程．解：（1）由图可得：S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×3×1﹣×2×2＝4，过A作AD⊥BC于D，如图：∵וAD＝4，∴AD＝，∴sin∠ABC＝＝＝，故4，；（2）如图：点P即为所求点．一十二．相似三角形的判定与性质（共6小题）14．（2023•普陀区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD＝1：3．（1）求的值；（2）联结FC，设，，那么＝，＝.（用向量、表示）【正确答案】（1）；（2），．解：∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE＝CD，∵EF：CD＝1：3，∴EF：AE＝1：3，EF：AF＝1：2，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴；（2）联结FC，如图，由（1）可得AF＝2EF，∵，∴，，∴＝，＝，∵，AD＝EC，∴，∴＝＝，∴＝＝．故，．15．（2023•奉贤区一模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，∠EAD＝∠BDC．（1）求证：AE•BD＝AD•DC；（2）如果点F在边DC上，且，求证：EF∥BC．【正确答案】（1）（2）证明见解析．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵∠EAD＝∠BDC，∴△ADE∽△DBC，∴AE：AD＝DC：BD，∴AE•BD＝AD•DC；（2）∵AE：AD＝DC：BD，且，∴＝，而∠EDF＝∠BDC，∴△DEF∽△DBC，∴∠DEF＝∠DBC，∴EF∥BC．16．（2023•长宁区一模）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且AD＝AB，边BC的垂直平分线EF交边AC于点E，BE交AD于点G．（1）求证：△BDG∽△CBA；（2）如果△ADC的面积为180，且AB＝18，DG＝6，求△ABG的面积．【正确答案】（1）证明见解答过程；（2）60．（1）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵EF垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠C，∵∠GBD＝∠C，∠BDG＝∠CBA，∴△BDG∽△CBA；（2）解：由（1）知△BDG∽△CBA，∴＝，∵AB＝18，DG＝6，∴＝＝，∴＝，∴＝，＝180，∵S△ADC＝90，∴S△ABD∵AC＝AB＝18，DG＝6，∴AG＝12，∴＝，∴＝，＝S△ABD＝×90＝60．∴S△ABG17．（2023•松江区一模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD ＝2DB．（1）如果BC＝4，求DE的长；（2）设＝，＝，用、表示．【正确答案】（1）DE＝；（2）＝+．解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵AD＝2DB，∴＝，∴＝，∴DE＝BC，∵BC＝4，∴DE＝；（2）由（1）知DE＝BC，∴BC＝DE，∵DE∥BC，＝，∴＝，∴＝+＝+．18．（2023•青浦区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF＝2AF．（1）求EA：AB的值；（2）如果，，试用、表示向量．【正确答案】（1）EA：AB的值为；（2）．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△AEF∽△DCF，∴，∴，∵DF＝2AF，∴，∴；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DF＝2AF，∴，∵，，∴，，∴．19．（2023•青浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AD、BE 相交于点F，∠AFE＝∠ABC，AB2＝AE•AC．（1）求证：△ABF∽△BCE；（2）求证：DF•BC＝DB•CE．【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．证明：（1）∵AB2＝AE•AC，∴，∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABF＝∠C，∠ABC＝∠AEB，∵∠ABC＝∠AFE，∴∠AFE＝∠AEB，∴180°﹣∠AFE＝180°﹣∠AEB，即∠AFB＝∠BEC，∴△ABF∽△BCE；（2）∵△ABF∽△BCE，∴，∠CBE＝∠BAF，∵∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴，∴＝，∴DF•BC＝DB•CE．一十三．特殊角的三角函数值（共4小题）20．（2023•崇明区一模）计算：4cos30°﹣cos45°tan60°+2sin245°．【正确答案】2﹣+1．解：原式＝4×﹣×+2×（）2＝2﹣+2×＝2﹣+1．21．（2023•金山区一模）计算：+2cot30°•sin60°．【正确答案】4．解：原式＝+2××＝+3＝1+3＝4．22．（2023•普陀区一模）计算：﹣4cot30°•cos230°．【正确答案】﹣4．解：原式＝﹣4×＝﹣3＝﹣﹣3＝﹣4．23．（2023•奉贤区一模）计算：4cos30°•sin60°+．【正确答案】5+．解：原式＝4××+＝3+＝3+2+＝5+．一十四．解直角三角形（共1小题）24．（2023•松江区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中点，DE ⊥BC于点E，ED、BA的延长线交于点F．（1）求∠ABC的正切值；（2）求的值．【正确答案】（1）tan B＝；（2）＝2．解：（1）过A作AH⊥BC于H，如图：∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BH＝CH＝BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝＝＝8，∴tan B＝＝＝；（2）由（1）知tan B＝，∴tan C＝，∴＝，∵D是AC的中点，AC＝10，∴CD＝5，∴DE＝4，CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝12﹣3＝9，∵tan B＝，∴＝，∴EF＝12，∴DF＝EF﹣DE＝12﹣4＝8，∴＝＝2．一十五．解直角三角形的应用（共1小题）25．（2023•杨浦区一模）如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区．在△ABP中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：＝1.732）【正确答案】见试题解答内容解：过P作PH⊥AB于H，如图：由已知可得，PH＝50米，在Rt△APH中，∵∠PAH＝45°，∴∠APH＝∠PAH＝45°，∴AH＝PH＝50米，在Rt△BPH中，tan30°＝，∴BH＝＝50≈86.6米，∴AB＝AH+BH≈136.6米，∵60千米/小时＝米/秒，而136.6÷≈8.2（秒），∴车辆通过AB段的时间在8.2秒以内时，可认定为超速．一十六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）26．（2023•崇明区一模）如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为i＝1：的斜坡CD．如果高为3米的标尺EF竖立在地面BC上，垂足为F，它的影子的长度为4米．（1）当影子全在水平地面BC上（图1）．求标尺与路灯间的距离；（2）当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？【正确答案】（1）标尺与路灯间的距离为8米；（2）此时标尺与路灯间的距离为14米．解：如图1，连接AE并延长，交BC于点G，由题意可知，AB＝9米，EF＝3米，FG＝4米，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴AB∥EF，∴△GEF∽△GAB，∴，即，∴BG＝12米，∴BF＝BG﹣FG＝12﹣4＝8（米），∴标尺与路灯间的距离为8米；（2）如图2，连接AE并延长，交CD于点H，过点H作HN⊥AB于点N，交EF于点M，过点H作HP⊥BC交BC延长线于点P，由题意可得，CF+CH＝4米，，设CH＝x米，则CF＝（4﹣x）米，HP＝米，CP＝米，∴MF＝BN＝HP＝米，MH＝米，∴AN＝米，ME＝米，∵BC＝15.5米，∴NH＝米，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴AB∥EF，∴∠EMH＝∠ANH，∠HEM＝∠HAN，∴△HEM∽△HAN，∴，即，整理得：2x2+9x﹣35＝0，解得：x1＝﹣7（不符合题意，舍去），，则CF＝4﹣x＝4﹣＝1.5（米），∴BF＝BC﹣CF＝15.5﹣1.5＝14（米），∴此时标尺与路灯间的距离为14米．一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）27．（2023•松江区一模）小明想利用测角仪测量操场上旗杆AB的高度．如图，他先在点C处放置一个高为1.6米的测角仪（图中CE），测得旗杆顶部A的仰角为45°，再沿BC的方向后退3.5米到点D处，用同一个测角仪（图中DF），又测得旗杆顶部A的仰角为37°．试求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【正确答案】旗杆AB的高度是12.1米．解：设直线EF交AB于G，如图：根据题意，∠AEG＝45°，∠AFG＝37°，EF＝3.5米，∴△AEG的等腰直角三角形，∴AG＝GE，设AG＝GE＝x米，则旗杆AB高度为（x+1.6）米，∴GF＝GE+EF＝（x+3.5）米，在Rt△AGF中，tan∠AFG＝，∴tan37°＝，即0.75＝，解得：x＝10.5，∴x+1.6＝10.5+1.6＝12.1，答：旗杆AB的高度是12.1米．。

【中考专题】2022年中考数学第三次模拟试题(含详解)

【中考专题】2022年中考数学第三次模拟试题(含详解)

2022年中考数学第三次模拟试题 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，一个几何体是由六个大小相同且棱长为1的立方块组成，则这个几何体的表面积是（ ） A ．16 B ．19 C ．24 D ．362、东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．东东和爸爸在整个运动过程中离家的路程1y （米），2y （米）与运动时间x （分）之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（ ） A ．两人前行过程中的速度为180米/分 B ．m 的值是15，n 的值是2700·线○封○密○外C ．爸爸返回时的速度为90米/分D ．运动18分钟或31分钟时，两人相距810米 3、若23m a b +和()31n a b -是同类项，且它们的和为0，则mn 的值是（ ）A ．－4B ．－2C ．2D ．44、点()4,9-关于x 轴的对称点是（ ）A ．()4,9--B ．()4,9-C ．()4,9-D ．()4,95、下列宣传图案中，既中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6、若分式1x x-有意义，则x 的值为（ ） A ．1x =B ．1x ≠C ．0x =D ．0x ≠ 7、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、BC 上的点，且CE BF =，AF 、BE 相交于点G ，下列结论中正确的是（ ）①AF BE =；②AF BE ⊥；③AG GE =；④ABG CEGF S S =四边形△．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④8、在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是（ ）．A ．28B ．54C ．65D ．759、把方程2x 2﹣3x +1＝0变形为（x +a ）2＝b 的形式，正确的变形是（ ）A ．（x ﹣32）2＝16 B ．（x ﹣34）2＝116C ．2（x ﹣34）2＝116D ．2（x ﹣32）2＝1610、下列图形是全等图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正方形 ABCD 边长为 2,CE BD BE BD =∥，，则 CE =_____________ ·线○封○密○外2、如图，在面积为48的等腰ABC 中，10AB AC ==，12BC =，P 是BC 边上的动点，点P 关于直线AB 、AC 的对称点外别为M 、N ，则线段MN 的最大值为______．3、如图，小明用一张等腰直角三角形纸片做折纸实验，其中∠C =90°，AC =BC =10，AB ，点C 关于折痕AD 的对应点E 恰好落在AB 边上，小明在折痕AD 上任取一点P ，则△PEB 周长的最小值是___________．4、两个人玩“石头、剪刀、布”游戏，在保证游戏公平的情况下，随机出手一次，两人手势不相同的概率是___________．5、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 长为8cm ，30BAC ∠=︒，5cm AB =，则它的面积为______cm 2．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、某中学有一块长30m ，宽20m 的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x 米．(1)请用含x 的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简） (2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m 2吗？请说明理由． 2、计算：（﹣310）2021×（313）2020×（﹣1）2022． 3、如图，在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 上的中点，过点C 作CE BC ⊥，交BA 的延长线于点E ，过点B 作BH AC ⊥，交AD 于点F ，交AC 于点H ，交CE 于点G ． 求证：(1)BC BH CH EC ⋅=⋅；(2)24BC DF DA =⋅．4、如图，平面内有两个点A ，B ．应用量角器、圆规和带刻度的直尺完成下列画图或测量： （1）经过A ，B 两点画直线，写出你发现的基本事实；·线○封○密·○外（2）利用量角器在直线AB 一侧画40ABC ∠=︒；（3）在射线BC 上用圆规截取BD ＝AB （保留作图痕迹）；（4）连接AD ，取AD 中点E ，连接BE ；（5）通过作图我们知道．AB BD AE DE ==，，观察并测量图形中的角，写出一组你发现的两个角之间可能存在的数量关系．5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，连接DE 、DF 、CD ．(1)若CD 平分∠ACB ，求证：四边形DECF 为菱形；(2)连接EF 交CD 于点O ，在线段BE 上取一点M ，连接OM 交DE 于点N ．已知CE ＝a ，CF ＝b ，EM ＝c ，求EN 的值．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】分别求出各视图的面积，故可求出表面积．【详解】由图可得图形的正视图面积为4，左视图面积为 3，俯视图的面积为5故表面积为2×（4+3+5）=24故选C ．【点睛】此题主要考查三视图的求解与表面积。

2020-2021学年上海市宝山区九年级中考一模数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市宝山区九年级中考一模数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市宝山区九年级中考一模数学试卷一、选择题（共6小题）.1．如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：42．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么sin A的值为（）A．B．C．D．3．如图，AB∥DE，BC∥DF，已知AF：FB＝m：n，BC＝a，那么CE等于（）A．B．C．D．4．已知点M是线段AB的中点，那么下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．＝0 5．将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到的抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x+1）2+26．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是（）A．ac＜0B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．a﹣b+c＝0D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＞y2二、填空题（共12小题）.7．如果2x＝3y，那么＝．8．已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是厘米．9．如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP＝．10．计算：3＝．11．已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为，那么其周长为．12．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为．（不要求写定义域）13．如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向．14．已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式：．15．如图，已知△ABC中，EF∥AB，＝，如果四边形ABEF的面积为25，那么△ABC 的面积为．16．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为．17．如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为米．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP＝．三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．计算：．20．如图，已知△ABC中，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心点G，，．（1）试用向量、表示向量；（2）求作向量（3﹣）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．21．已知二次函数y＝ax2﹣ax（a≠0）的图象经过点（﹣1，2）．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线y＝x2+3x+？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．22．如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：AB2＝DE•BF；（2）如果OE＝1，EF＝2，求的长．23．某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（AB）高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如表：课题测量教学大楼（AB）的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一组第二组第三组测量方案示意图说明点C、D在点B的正东方向GH是教学大楼旁的居民住宅楼EF是教学大楼正南方向的“校训石”，借助EF进行测量，使P、E、A三点在一条直线上，点P、F在点B的正南方向．测从点C处测得A点的仰角为从点G处测得A点的仰角EF＝9米，从点P处测得A量数据37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝12米为37°，测得B点的俯角为45°点的仰角为37°，从点F处测得A点的仰角为45°（1）根据测量方案和所得数据，第小组的数据无法算出大楼高度？（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]24．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标；（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．25．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE＝45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD．（1）求证：CE2＝BE•DE；（2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长；（3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．参考答案一、选择题（共6小题）.1．如果C是线段AB延长线上一点，且AC：BC＝3：1，那么AB：BC等于（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4解：∵AC：BC＝3：1，∴设AC＝3x，则BC＝x，AB＝2x，则AB：BC＝2：1．故选：A．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么sin A的值为（）A．B．C．D．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝＝，故选：A．3．如图，AB∥DE，BC∥DF，已知AF：FB＝m：n，BC＝a，那么CE等于（）A．B．C．D．解：∵DF∥BC，∴＝，∴＝，∵AB∥DE，∴△DEC∽△ABC，∴，∴，∴CE＝，故选：D．4．已知点M是线段AB的中点，那么下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．＝0解：如图所示，点M是线段AB的中点，A、，故本选项不符合题意．B、，故本选项符合题意．C、，故本选项不符合题意．D、＝，故本选项不符合题意．故选：B．5．将抛物线y＝x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到的抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x+1）2+2解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（1，2），所以新抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+2，故选：C．6．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是（）A．ac＜0B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．a﹣b+c＝0D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＞y2解：A、∵抛物线开口向上，交y轴的负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，故A正确；B、∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，故B不正确；C、当x＝1时，y＝a﹣b+c＝0，故C正确；D、点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，∵y1＞0，y2＝0，∴y1＞y2，故D正确；故选：B．二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．如果2x＝3y，那么＝．解：∵2x＝3y，∴x＝y，∴＝＝．故答案为：．8．已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是4厘米．解：∵线段b是a、c的比例中项，∴b2＝ac＝16，解得b＝±4，又∵线段是正数，∴b＝4．故答案为4．9．如果线段AB的长为2，点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP＝3﹣．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AB＝2，AP＜BP，∴BP＝AB＝﹣1，∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案为：3﹣．10．计算：3＝5﹣4．解：原式＝3×2﹣3﹣﹣＝5﹣4．故答案是：5﹣4．11．已知等腰梯形上底为5，高为4，底角的余弦值为，那么其周长为26．解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由题意得，AE＝DF＝4，cos∠B＝，AD＝5，设BE＝3x，则可得AB＝5x，AE＝4x，∴x＝1，∴BE＝3，AB＝5，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝CD＝5，BC＝BE+EF+FC＝3+3+5＝11，∴梯形ABCD的周长＝5+5+5+11＝26，故答案为：26．12．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为y＝10（1+x）2．（不要求写定义域）解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x，∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元，∴y＝10（1+x）2．故答案为：y＝10（1+x）2．13．如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向向上．解：由抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）可知顶点为（﹣1，m），∵顶点坐标在第二象限，∴m＞0，∴抛物线开口向上，故答案为：向上．14．已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式：y＝﹣x2（答案不唯一）．解：设二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c，∵经过原点，∴c＝0，∵在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降，∴a＜0，﹣＝0，即：b＝0，只要满足a＜0，b＝0，c＝0就行，如：a＝﹣1，所以二次函数的解析式是y＝﹣x2．故答案为：y＝﹣x2．15．如图，已知△ABC中，EF∥AB，＝，如果四边形ABEF的面积为25，那么△ABC 的面积为45．解：∵，∴，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝，∴设S△EFC＝4x，S△ABC＝9x，∴四边形ABEF的面积5x＝25，∴x＝5，∴△ABC的面积＝45，故答案为：45．16．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为6．解：根据题意知，∠AFE＝∠BDG＝∠C＝90°，∴∠A＝BDG（同角的余角相等）．∴△AEF∽△DBG，∴＝．又∵EF＝DG，AF＝4，GB＝9，∴＝．∴EF＝6．即正方形铁皮的边长为6．故答案是：6．17．如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为15米．解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，∵BC：AC＝1：0.75，∴12：AC＝1：0.75，∴AC＝9（米），∴AB＝＝＝15（米），答：该大坝迎水坡AB的长度为15米．故答案为：15．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP＝﹣1．解：如图1，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a＝AP，∴tan∠CAP＝＝＝+1；如图2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，∴PC＝a﹣a，∴tan∠CAP＝＝＝﹣1，∵点P在线段EF上，∴情形1，不满足条件，情形2满足条件，故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．计算：．解：原式＝＝＝＝．20．如图，已知△ABC中，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心点G，，．（1）试用向量、表示向量；（2）求作向量（3﹣）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．解：（1）连接BE．∵G是△ABC的重心，DE∥BC，∴＝＝＝，∵＝，∴＝，∴＝+＝a+．（2）∵＝+，＝3，∴＝3﹣，∴＝＝（3﹣），∴如图即为所求作．21．已知二次函数y＝ax2﹣ax（a≠0）的图象经过点（﹣1，2）．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线y＝x2+3x+？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．解：（1）把点（﹣1，2）代入y＝ax2﹣ax（a≠0），得a+a＝2．解得a＝1．故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x．由y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣知，该抛物线的顶点坐标是（，﹣）；（2）可以，理由如下：由y＝x2+3x+，得y＝（x+）2﹣．则平移后抛物线顶点坐标是（﹣，）．而抛物线y＝x2﹣x的顶点坐标是（﹣，﹣），所以将抛物线y＝x2﹣x先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到抛物线y＝x2+3x+．22．如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：AB2＝DE•BF；（2）如果OE＝1，EF＝2，求的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴，，∴，∴AB2＝DE•BF；（2）∵△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴＝，＝，∴1﹣＝1﹣，∴，∴，∴AO ＝，∴＝＝．23．某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼（AB）高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如表：课题测量教学大楼（AB）的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一组第二组第三组测量方案示意图说明点C、D在点B的正东方向GH是教学大楼旁的居民住宅楼EF是教学大楼正南方向的“校训石”，借助EF进行测量，使P、E、A三点在一条直线上，点P、F在点B的正南方向．测量数据从点C处测得A点的仰角为37°，从点D处测得A点的仰角为45°，CD＝12米从点G处测得A点的仰角为37°，测得B点的俯角为45°EF＝9米，从点P处测得A点的仰角为37°，从点F处测得A点的仰角为45°（1）根据测量方案和所得数据，第二小组的数据无法算出大楼高度？（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]解：（1）第二小组的数据无法算出大楼高度，理由如下：第二小组只测量了有关仰角和俯角的度数，没有测量有关的线段长度，所以第二小组的数据无法算出大楼高度，故答案为：二；（2）选择第一小组的数据测量，理由如下：由题意得：∠ABD＝90°，∠ACB＝37°，∠ADB＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，设AB＝x米，则AB＝BD＝x米，BC＝BD+CD＝（x+12）米，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan37°≈0.75，∴≈，解得：x≈36，即教学大楼AB的高度约为36米．24．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标；（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x，∴对称轴为直线x＝2；（2）∵点D与点B关于抛物线的对称轴对称，∴点D（5，3），∴BD＝6，∵点C（2，0），点B（﹣1，3），∴BC＝3，直线BC解析式为y＝﹣x+2，如图，连接BO，∵BD∥OC，∴∠DBE＝∠BCO，∵∠CED＝∠OBD，∠CED＝∠EBD+∠BDE，∠OBD＝∠OBC+∠DBE，∴∠OBC＝∠BDE，∴△OBC∽△EDB，∴，∴＝，∴BE＝2，设点E（x，﹣x+2），∴2＝，∴x＝1或x＝﹣2（舍去），∴点E（1，1）；（3）当OA为边时，∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴OA＝MN＝4，OA∥MN，∴点N横坐标为6或﹣2，∴点N的纵坐标为，∴平行四边形的面积＝4×＝，当OA为对角线，∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴MN与OA互相平分，∴，∴N x＝2，∴点N（2，﹣），∴平行四边形的面积＝4×＝，综上所述：平行四边形的面积为或．25．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，∠DCE＝45°，过点A作AB的垂线交CE的延长线于点M，联结MD．（1）求证：CE2＝BE•DE；（2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长；（3）过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设＝x，tan∠FMD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．【解答】（1）证明：如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵∠DCE＝45°，∴∠B＝∠DCE，∵∠CED＝∠CEB，∴△CDE∽△BCE，∴，∴CE2＝BE•DE；（2）解：如图2，过D作DN⊥AC于N，∴∠AND＝90°，∵∠DAN＝45°，∴△ADN是等腰直角三角形，∵DN∥BC，AD＝2BD，∴，∵AC＝3，∴AB＝3，AN＝DN＝2，CN＝1，∵AD＝2BD，∴BD＝，由勾股定理得：DC＝＝＝，由（1）知：△CDE∽△BCE，∴，设DE＝x，CE＝3x，∴＝，∴x＝，∴DE＝x＝；（3）解：如图3，过点C作CP⊥CM，交AB的延长线于点P，∵∠DCE＝45°，∠ACB＝90°∴∠ACM+∠BCD＝45°＝∠BCD+∠BCP，∴∠BCP＝∠ACM，∵∠CBP＝180°﹣45°＝135°＝∠CAM，AC＝BC，∴△AMC≌△BPC（ASA），∴CM＝CP，∵∠DCM＝∠DCP＝45°，CD＝CD，∴△MCD≌△PCD（SAS），∴∠MDC＝∠PDC＝∠BDC，∵∠ABC＝45°＝∠MCD，∴△BCD∽△CMD，∴，即，∵FM⊥FC，∠DCE＝45°，∴△CFM是等腰直角三角形，∴CM＝FM，∴y＝tan∠FMD＝＝＝＝＝1﹣＝1﹣x；Rt△ABC中，AC＝BC，∴AB＝BC，∵D，E是AB上一点，∠DCE＝45°，∴当点E与A重合时，BD最大为AB，∵＝x，∴0＜x＜，∴y＝1﹣x（0＜x＜）．。

【2021年】上海市中考数学模拟试题汇编(含答案)

【2021年】上海市中考数学模拟试题汇编(含答案)

上海市中考数学精选真题预测（含答案）（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、2的倒数是（ ） A 、 2 B 、 -2 C 、22 D 、 -222、下列算式的运算为2m 的是（ ）A 、42m m -⋅B 、63m m ÷C 、 21)(-m D 、24m m -3、直线y =（3-π）x 经过的象限是（ ）A 、 一、二象限B 、 一、三象限C 、 二、三象限D 、 二、四象限4、李老师用手机软件记录了某个月（30天）每天走路的步数（单位：万步）它将记录的结果绘制成了如图一所示的统计图，在李老师每天走路的步数这组数据中，众数与中位数分别为（ ）A 、 1.2与1.3B 、 1.4与1.35C 、 1.4与1.3D 、 1.3与1.35、小明用如图2所示的方法画出了△ABC 全等的△DEF ，他的具体画法是：①画射线DM ，在射线DM 上截取DE =BC ; ②以点D 为圆心，BA 长为半径画弧，以E 为圆心，CA 长为半径画弧，两弧相交于点F ；③联结FD 、FE ; 这样△DEF 就是所要画的三角形，小明这样画的依据是全等三角形判定方法中的（ ）A 、 边角边B 、 角边角C 、 角角边D 、 边边边6、已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（ ） A 、 1 B 、 3 C 、 5 D 、7二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48） 7、计算：（-1）2017+02-4= ；8、函数y =x +2的定义域是 ；9、方程x =-x 的解是 ；10、如果抛物线y =a 2x -3的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是 ； 11、如果抛物线32-=ax y 的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是 ； 12、如果点P （m -3，1）在反比例函数xy 1=的图像上，那么m 的值是 ； 13、学校组织“中华经典诗词大赛”，共设有20个试题，其中有关“诗句理解”的试题10个，有关“诗句作者”的试题6个，有关“试卷默写”的试题4个.小杰从中任选一个试题作答，他选中有关“诗句作者”的试题的概率是 ；14、为了解某区3600名九年级学生的体育训练情况，随机抽取了区内200名九年级学生进行了一次体育模拟测试，把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格，并将测试结果绘制成了如图所示的统计图.由此估计全区九年级体育测试成绩可以达到优秀的人数约为 ；15、在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =21BC ，设AB a →→=，DCb →→=，那么BC →等于（结果用a →、b →的线性组合表示）；16、如果正n 边形的内角是它的中心角的2倍，那么边数n 的值是 ；17、在等腰ABC ∆中，当顶角A 的大小确定时，它的对边（即底边BC ）与邻边（即腰AB 或AC ）的比值也确定了，我们把这个比值记作T （A ），即()ABBCA A A T =∠∠=的邻边（腰）的对边（底边）.例：T （600）=1，那么T （1200）= ；18、如图，矩形ABCD ，点E 是边AD 上一点，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为点F ，将BEF ∆绕着点E 逆时针旋转，使点B 落在边BC 上的点N 处，点F 落在边DC 上的点M 处，如果点M 恰好是边DC 的中点，那么ABAD的值是 。

2020-2021学年上海徐汇区初三(上)中考一模数学试卷及答案

2020-2021学年上海徐汇区初三(上)中考一模数学试卷及答案
（1）求限速道路 AB 的长（精确到 1 米）； （2）如果李师傅在道路 AB 上行驶的时间是 1 分 20 秒，请判断他是否超速? 并说明理由.
（参考数据： sin 37 0.60,cos37 0.80, tan 37 0.75, 3 1.73 ）
第3页
23. 如图，在 ACB 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，AD=AB，BE=CE，AD 与 BE 交于点 F，且 AF DF = BF EF .
5
D.
3 海里
3
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 两个矩形必相似
B. 两个含 45°角的等腰三角形必相似
C. 两个菱形必相似
D. 两个含 3定义：
x
表示不超过实数
x
的最大整数，例如：1.7
=
1,
3 5
=
0,
−2
1 4
= −3 ，根据你学习函数的经
验，下列关于函数 y = x 的判断中，正确的是（ ）
DP 的长是____________
15. 如图，已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，正方形 DEFG 的顶点 D、E 分别在边 AC、AB 上，点 F、
G 在边 BC 上，那么 AD 的长是____________
16.《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形 ABCD 的面积是正 方形 EFGH 面积的 13 倍，那么∠ABE 的余切值是____________
ED=5，如果 ECD 的面积是 6，那么 BC 的长是____________
三、解答题 19. 计算： sin 45cot 45 − tan 60 + 2cos 45 − cot 30

上海市2020中考一模数学专题03 相似三角形 解答题之压轴题训练

上海市2020中考一模数学专题03 相似三角形 解答题之压轴题训练

专题03相似三角形解答题之压轴题训练(1)1.（崇明2020一模25）如图，在ABC ∆中， 10AB AC ==， 16BC =，点D 为BC 边上的一个动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以D 为顶点作ADE B ∠=∠，射线DE 交AC 边于点E ，过点 A 作 AF AD ⊥交射线DE 于点F.（1）求证： AB CE BD CD ⋅=⋅；（2）当DF 平分ADC ∠时，求AE 的长；（3）当 AEF ∆是等腰三角形时，求BD 的长．2.（奉贤2020一模25）如图，已知平行四边形ABCD 中，AD =5AB =，tan 2A =，点E 在射线AD 上，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点E ，交射线AB 于点F ，交射线CB 于点G ，联结CE ，CF ，设AE m =.（1）当点E 在边AD 上时，①求CEF ∆的面积；（用含m 的代数式表示）②当4DCE BFG S S ∆∆=时，求:AE ED 的值；（2）当点E 在边AD 的延长线上时，如果AEF ∆与CFG ∆相似，求m 的值.3.（松江2020一模25）已知tan ∠MON =2，矩形ABCD 的边AB 在射线OM 上，AD =2，AB =m ，CF ⊥ON ，垂足为点F .（1）如图（1），作AE ⊥ON ，垂足为点E .当m =2时，求线段EF 的长度；（2）如图（2），联结OC ，当m =2，且CD 平分∠FCO 时，求∠COF 的正弦值；（3）如图（3），当△AFD 与△CDF 相似时，求m 的值.4.（宝山2020一模25）如图，OC 是△ABC 中AB 边的中线，∠ABC=36°，点D 为OC 上一点，如果OD ＝k ·OC ，过D 作DE ∥CA 交于BA 点E ，点M 是DE 的中点．将△ODE 绕点O 顺时针旋转α度（︒<<︒1800α）后，射线OM 交直线BC 于点N ．（1）如果△ABC 的面积为26，求△ODE 的面积（用k 的代数式表示）；（2）当N 和B 不重合时，请探究∠ONB 的度数y 与旋转角α的度数间的函数关系式；（3）写出当△ONB 为等腰三角形时，旋转角α的度数．5.（青浦2020一模25）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=BD=10，CD=4，AD=6．点P 是线段BD 上的动点，点E 、Q 分别是线段DA 、BD 上的点，且DE=DQ=BP ，联结EP 、EQ ．（1）求证：EQ ∥DC ；（2）当BP>BQ 时，如果△EPQ 是以EQ 为腰的等腰三角形，求线段BP 的长；（3）当BP=m （0<m<5）时，求∠PEQ 的正切值．（用含m 的式子表示）6.（奉贤2019期中25）已知，如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=8，AC=6，点D 在边BC 上（不与点B 、C 重合），点E 在边BC 的延长线上，∠DAE=∠BAC ，点F 在线段AE 上，∠ACF=∠B ．设BD=x ．（1）若点F 恰好是AE 的中点，求线段BD 的长；（2）若y=AF EF，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△ADE 是以AD 为腰的等腰三角形时，求线段BD 的长．7.（长宁2019期中25）如图,已知AM//BN,90A B ∠=∠=︒,4AB =,点D 是射线AM 上的一个动点(点D 与点A 不重合),点E 是线段AB 上的一个动点(点E 与点A 、B 不重合),连接DE,过点E 作DE 的垂线，交射线BN 于点C 连接DC.设,.AE x BC y ==(1)当AD=1时，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；(2)在(1)的条件下，取线段DC 的中点F,连接EF,若 2.5EF =,求AE 的长；(3)如果动点D ，E 在运动时,始终满足条件,AD DE AB +=那么请探究：BCE ∆的周长是否随着动点D ，E 的运动而发生变化?请说明理由。

上海市宝山区重点名校2024届中考数学模拟试题含解析

上海市宝山区重点名校2024届中考数学模拟试题含解析

上海市宝山区重点名校2024届中考数学模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知关于x 的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a 的值为A ．2B ．3C ．4D ．53．下列运算结果正确的是( )A ．x 2+2x 2＝3x 4B ．(﹣2x 2)3＝8x 6C ．x 2•(﹣x 3)＝﹣x 5D ．2x 2÷x 2＝x 4．下列各式中的变形，错误的是（（ ）A ．B ．C ．D ． 5．下列计算正确的是( )A ．2223x x x +=B ．623x x x ÷=C ．235(2)2x x x =D ．222(3)6x x =6．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分∠BAC 的是（ ）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图37．﹣12的绝对值是（）A．﹣12B．12C．﹣2 D．28．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是( )A．DEBC＝23B．DEBC＝25C．AEAC＝23D．AEAC＝259．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )A．B．C．D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A 和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为_________．12．我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=_____．13．如图，已知矩形ABCD中，点E是BC边上的点，BE＝2，EC＝1，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F．则下列结论：①△ADF ≌△EAB ；②AF ＝BE ；③DF 平分∠ADC ；④sin ∠CDF ＝23．其中正确的结论是_____．(把正确结论的序号都填上)14．若分式15x -有意义，则实数x 的取值范围是_______． 15．如图，圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A=22.5°，OC=4，CD 的长为________．16．计算(－2)×3+(－3)＝_______________. 17．如图△ABC 中，AB=AC=8，∠BAC=30°，现将△ABC 绕点A 逆时针旋转30°得到△ACD ，延长AD 、BC 交于点E ，则DE 的长是_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）已知，关于x 的方程x 2+2x -k =0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1，x 2是这个方程的两个实数根，求121211x x x x +++的值； （3）根据（2）的结果你能得出什么结论？19．（5分）某农场急需铵肥8吨，在该农场南北方向分别有一家化肥公司A 、B ，A 公司有铵肥3吨，每吨售价750元；B 公司有铵肥7吨，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b （单位：元/千米）与运输重量a （单位：吨）的关系如图所示．（1）根据图象求出b关于a的函数解析式（包括自变量的取值范围）；（2）若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍，农场到A公司的路程为m千米，设农场从A公司购买x吨铵肥，购买8吨铵肥的总费用为y元（总费用=购买铵肥费用+运输费用），求出y关于x的函数解析式（m为常数），并向农场建议总费用最低的购买方案．20．（8分）作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）21．（10分）顶点为D的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B(3，0)，交y轴于点C，直线y＝﹣x+m经过点C，交x轴于E(4，0)．求出抛物线的解析式；如图1，点M为线段BD上不与B、D重合的一个动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，设点M的横坐标为x，四边形OCMN的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；点P为x轴的正半轴上一个动点，过P作x轴的垂线，交直线y＝﹣34x+m于G，交抛物线于H，连接CH，将△CGH沿CH翻折，若点G的对应点F恰好落在y轴上时，请直接写出点P的坐标．22．（10分）如图1，抛物线y1=ax1﹣12x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，34），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y1．（1）求抛物线y1的解析式；（1）如图1，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y1于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．23．（12分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件）销售玩具获得利润w（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？24．（14分）某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买A，B两种花木共100棵绿化操场，其中A花木每棵50元，B花木每棵100元．（1）若购进A，B两种花木刚好用去8000元，则购买了A，B两种花木各多少棵？（2）如果购买B花木的数量不少于A花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解题分析】试题分析：几何体的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1.故选A．考点：三视图视频2、D【解题分析】∵方程2x+a﹣9=0的解是x=2，∴2×2+a﹣9=0，解得a=1．故选D．3、C【解题分析】直接利用整式的除法运算以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．【题目详解】A选项：x2+2x2=3x2，故此选项错误；B选项：（﹣2x2）3=﹣8x6，故此选项错误；C选项：x2•（﹣x3）=﹣x5，故此选项正确；D选项：2x2÷x2=2，故此选项错误．故选C．【题目点拨】考查了整式的除法运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．4、D【解题分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变，可得答案．【题目详解】A、，故A正确；B、分子、分母同时乘以﹣1，分式的值不发生变化，故B正确；C、分子、分母同时乘以3，分式的值不发生变化，故C正确；D、≠，故D错误；故选：D．【题目点拨】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变． 5、C【解题分析】根据同类项的定义、同底数幂的除法、单项式乘单项式法则和积的乘方逐一判断即可．【题目详解】A 、2x 与2x 不是同类项，不能合并，此选项错误；B 、66422x x x x -÷==，此选项错误；C 、235(2)2x x x =，此选项正确；D 、224(3)9x x =，此选项错误．故选：C ．【题目点拨】此题考查的是整式的运算，掌握同类项的定义、同底数幂的除法、单项式乘单项式法则和积的乘方是解决此题的关键．6、C【解题分析】【分析】根据角平分线的作图方法可判断图1，根据图2的作图痕迹可知D 为BC 中点，不是角平分线，图3中根据作图痕迹可通过判断三角形全等推导得出AD 是角平分线.【题目详解】图1中，根据作图痕迹可知AD 是角平分线；图2中，根据作图痕迹可知作的是BC 的垂直平分线，则D 为BC 边的中点，因此AD 不是角平分线；图3：由作图方法可知AM=AE ，AN=AF ，∠BAC 为公共角，∴△AMN ≌△AEF ，∴∠3=∠4，∵AM=AE ，AN=AF ，∴MF=EN ，又∵∠MDF=∠EDN ，∴△FDM ≌△NDE ，∴DM=DE ，又∵AD 是公共边，∴△ADM ≌△ADE ，∴∠1=∠2，即AD 平分∠BAC ，故选C.【题目点拨】本题考查了尺规作图，三角形全等的判定与性质等，熟知角平分的尺规作图方法、全等三角形的判定与性质是解题的关键.7、B【解题分析】根据求绝对值的法则，直接计算即可解答．【题目详解】111()222-=--=，故选：B．【题目点拨】本题主要考查求绝对值的法则，掌握负数的绝对值等于它的相反数，是解题的关键．8、D【解题分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理,当AD AEDB EC=或AD AEAB AC=时,DE BD,然后可对各选项进行判断.【题目详解】解：当AD AEDB EC=或AD AEAB AC=时,DE BD,即23AEEC=或25AEAC=.所以D选项是正确的.【题目点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理.9、B【解题分析】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），∴A（3，0），故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．故选B．点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．10、C【解题分析】由一元二次方程有实数根可知△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【题目详解】∵关于x的一元二次方程x2−2x+k+2=0有实数根，∴△=(−2)2−4(k+2)⩾0，解得：k⩽−1，在数轴上表示为：故选C.【题目点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程根的情况利用根的判别式列出不等式是解题的关键.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1．【解题分析】设P（0，b），∵直线APB∥x轴，∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y=4x的图象上，∴当y=b，x=-4b，即A点坐标为（-4b，b），又∵点B 在反比例函数y=2x的图象上， ∴当y=b ，x=2b ，即B 点坐标为（2b，b ）， ∴AB=2b -（-4b ）=6b， ∴S △ABC =12•AB•OP=12•6b•b=1． 12、﹣1【解题分析】根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x 轴对称，从而得到关于b 的方程，可以解答本题．【题目详解】由题意函数y =1x 1+bx 的交换函数为y =bx 1+1x ． ∵y =1x 1+bx =222()48b b x +-， y =bx 1+1x =211()b x b b+-， 函数y =1x 1+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称， ∴﹣4b =﹣22b 且218b b-=， 解得：b =﹣1．故答案为﹣1．【题目点拨】本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．13、①②【解题分析】只要证明△EAB ≌△ADF ，∠CDF=∠AEB ，利用勾股定理求出AB 即可解决问题．【题目详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∠B=90°，∵BE=2，EC=1，∴AE=AD=BC=3， ∵AD ∥BC ，∴∠DAF=∠AEB ，∵DF ⊥AE ，∴∠AFD=∠B=90°，∴△EAB ≌△ADF ，∴AF=BE=2，DF=AB=5，故①②正确，不妨设DF 平分∠ADC ，则△ADF 是等腰直角三角形，这个显然不可能，故③错误，∵∠DAF+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠CDF ，∴∠CDF=∠AEB ，∴sin ∠CDF=sin ∠AEB=53，故④错误， 故答案为①②．【题目点拨】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14、 【解题分析】由于分式的分母不能为2，x-1在分母上，因此x-1≠2，解得x ． 解：∵分式15x -有意义， ∴x-1≠2，即x≠1．故答案为x≠1．本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为2．15、2【解题分析】试题分析：因为OC=OA ，所以∠ACO=22.5A ∠=︒，所以∠AOC=45°，又直径AB 垂直于弦CD ，4OC =，所以CE=22CD=2CE=2考点：1．解直角三角形、2．垂径定理．16、-9【解题分析】根据有理数的计算即可求解.【题目详解】(－2)×3+(－3)=-6-3=-9【题目点拨】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知有理数的运算法则.17、434- 【解题分析】 过点C 作CH AE ⊥于H ，根据三角形的性质及三角形内角和定理可计算ACB 75∠=︒再由旋转可得，CAD BAC 30∠∠==︒，根据三角形外角和性质计算E 45∠=︒，根据含30︒角的直角三角形的三边关系得CH 和AH 的长度，进而得到DH 的长度，然后利用E 45∠=︒得到EH 与CH 的长度，于是可得DE EH DH =-.【题目详解】如图，过点C 作CH AE ⊥于H ，∵AB AC 8==，∴()()11B ACB 180BAC 180307522∠∠∠==︒=︒︒=︒﹣﹣． ∵将ABC 绕点A 逆时针旋转，使点B 落在点C 处，此时点C 落在点D 处，∴AD AB 8==， CAD BAC 30，∠∠==︒∵ACB CAD E ，∠∠∠=+∴E 753045．∠=︒-︒=︒在Rt ACH 中，∵CAH 30∠=︒，∴1CH AC 42==， AH 3CH 43==， ∴DH AD AH 843=-=-，在Rt CEH 中，∵E 45∠=︒，∴EH CH 4==，∴()DE EH DH 4843434=-=--=-．故答案为434-． 【题目点拨】本题考查三角形性质的综合应用，要熟练掌握等腰三角形的性质，含30︒角的直角三角形的三边关系，旋转图形的性质．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）k ＞-1；（2）2；（3）k ＞-1时，121211x x x x +++的值与k 无关． 【解题分析】（1）由题意得该方程的根的判别式大于零，列出不等式解答即可.（2）将要求的代数式通分相加转化为含有两根之和与两根之积的形式，再根据根与系数的关系代数求值即可. （3）结合（1）和（2）结论可见，k ＞-1时，121211x x x x +++的值为定值2，与k 无关． 【题目详解】（1）∵方程有两个不等实根，∴△＞0，即4+4k ＞0，∴k ＞-1（2）由根与系数关系可知x 1+x 2=-2 ，x 1x 2=-k ， ∴121211x x x x +++ 122112(1)(1)(1)(1)x x x x x x +++=++ 12121212212221x x x x x x x x k k ++=+++--==--（3）由（1）可知，k ＞-1时，121211x x x x +++的值与k 无关． 【题目点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系等知识，熟练掌握相关知识点是解答关键.19、（1）b ＝3a 0a 45a-84a ≤⎧⎨≤⎩（＜）（）；（2）详见解析. 【解题分析】(1)分别设两段函数图象的解析式，代入图象上点的坐标求解即可；(2)先求出农场从A 、B 公司购买铵肥的费用，再求出农场从A 、B 公司购买铵肥的运输费用，两者之和即为总费用，可以求出总费用关于x 的解析式是一次函数，根据m 的取值范围不同分两类讨论，可得出结论.【题目详解】（1）有图象可得，函数图象分为两部分，设第一段函数图象为y ＝k 1x ，代入点（4,12），即12＝k 1×4，可得k 1＝3，设第二段函数图象为y ＝k 2x ＋c ，代入点（4,12）、（8,32）可列出二元一次方程组224k +c=128k +c=32⎧⎨⎩，解得：k 2＝5，c ＝－8，所以函数解析式为：b ＝3a 0a 45a-84a ≤⎧⎨≤⎩（＜）（）； （2）农场从A 公司购买铵肥的费用为750x 元，因为B 公司有铵肥7吨，1≤x ≤3，故农场从B 公司购买铵肥的重量（8－x ）肯定大于5吨，农场从B 公司购买铵肥的费用为700（8－x ）元，所以购买铵肥的总费用＝750x ＋700（8－x ）＝50x ＋5600（0≤x ≤3）；农场从A 公司购买铵肥的运输费用为3xm 元，且满足1≤x ≤3，农场从B 公司购买铵肥的运输费用为[5（8－x ）－8]×2m 元，所以购买铵肥的总运输费用为3xm ＋[5（8－x ）－8]×2m ＝－7mx ＋64m 元，因此农场购买铵肥的总费用y ＝50x ＋5600－7mx ＋64m ＝（50－7m ）x ＋5600＋64m （1≤x ≤3），分一下两种情况进行讨论； ①当50－7m ≥0即m ≤507时，y 随x 的增加而增加，则x ＝1使得y 取得最小值即总费用最低，此时农场铵肥的购买方案为：从A 公司购买1吨，从B 公司购买7吨， ②当50－7m ＜0即m ＞507时，y 随x 的增加而减少，则x ＝3使得y 取得最小值即总费用最低，此时农场铵肥的购买方案为：从A 公司购买3吨，从B 公司购买5吨.【题目点拨】本题主要考查了方案比较以及函数解析式的求解，解本题的要点在于根据题意列出相关方程式.20、见解析【解题分析】先作出∠ABC 的角平分线，再连接AC ，作出AC 的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点．【题目详解】①以B 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC 、AB 于D 、E 两点；②分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 为半径画圆，两圆相交于F 点； ③连接AF ，则直线AF 即为∠ABC 的角平分线； ⑤连接AC ，分别以A 、C 为圆心，以大于12AC 为半径画圆，两圆相交于F 、H 两点； ⑥连接FH 交BF 于点M ，则M 点即为所求．【题目点拨】本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，熟练掌握是解题的关键．21、(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)S＝﹣(x﹣94)2+8116；当x＝94时，S有最大值，最大值为8116；(3)存在，点P的坐标为(4，0)或(32，0).【解题分析】（1）将点E代入直线解析式中，可求出点C的坐标，将点C、B代入抛物线解析式中，可求出抛物线解析式．（2）将抛物线解析式配成顶点式，可求出点D的坐标，设直线BD的解析式，代入点B、D，可求出直线BD的解析式，则MN可表示，则S可表示．（3）设点P的坐标，则点G的坐标可表示，点H的坐标可表示，HG长度可表示，利用翻折推出CG＝HG，列等式求解即可．【题目详解】（1）将点E代入直线解析式中，0＝﹣34×4+m，解得m＝3，∴解析式为y＝﹣34x+3，∴C(0，3)，∵B(3，0)，则有3093cb c=⎧⎨=-++⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，∴D(1，4)，设直线BD 的解析式为y ＝kx+b ，代入点B 、D ，304k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得26k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BD 的解析式为y ＝﹣2x+6，则点M 的坐标为(x ，﹣2x+6)，∴S ＝(3+6﹣2x)•x•12＝﹣(x ﹣94)2+8116， ∴当x ＝94时，S 有最大值，最大值为8116． (3)存在，如图所示，设点P 的坐标为(t ，0)，则点G(t ，﹣34t+3)，H(t ，﹣t 2+2t+3)， ∴HG ＝|﹣t 2+2t+3﹣(﹣34t+3)|＝|t 2﹣114t| CG 223(33)4t t +-+-54t ， ∵△CGH 沿GH 翻折，G 的对应点为点F ，F 落在y 轴上，而HG ∥y 轴，∴HG ∥CF ，HG ＝HF ，CG ＝CF ，∠GHC ＝∠CHF ，∴∠FCH ＝∠CHG ，∴∠FCH ＝∠FHC ，∴∠GCH ＝∠GHC ，∴CG ＝HG ，∴|t 2﹣114t|＝54t ， 当t 2﹣114t ＝54t 时， 解得t 1＝0(舍)，t 2＝4，此时点P(4，0)．当t 2﹣114t ＝﹣54t 时， 解得t 1＝0(舍)，t 2＝32， 此时点P(32，0)． 综上，点P 的坐标为(4，0)或(32，0)． 【题目点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，最后一问推出CG ＝HG 为解题关键．22、（1）y 1=-14x 1+12 x-14；（1）存在，T （1），（1，（1，﹣778）；（3）y=﹣12x+34或y=﹣1124x -． 【解题分析】（1）应用待定系数法求解析式；（1）设出点T 坐标，表示△TAC 三边，进行分类讨论；（3）设出点P 坐标，表示Q 、R 坐标及PQ 、QR ，根据以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．【题目详解】解：（1）由已知，c=34， 将B （1，0）代入，得：a ﹣1324+=0，解得a=﹣14，抛物线解析式为y1=14x1-12x+34，∵抛物线y1平移后得到y1，且顶点为B（1，0），∴y1=﹣14（x﹣1）1，即y1=-14x1+12x-14；（1）存在，如图1：抛物线y1的对称轴l为x=1，设T（1，t），已知A（﹣3，0），C（0，34），过点T作TE⊥y轴于E，则TC1=TE1+CE1=11+（34）1=t1﹣32t+2516，TA1=TB1+AB1=（1+3）1+t1=t1+16，AC1=153 16，当TC=AC时，t1﹣32t+2516=15316，解得：t1=31374，t1=31374-；当TA=AC时，t1+16=15316，无解；当TA=TC 时，t 1﹣32t+2516=t 1+16， 解得t 3=﹣778； 当点T 坐标分别为（1，31374+），（1，31374-），（1，﹣778）时，△TAC 为等腰三角形； （3）如图1：设P （m ，2113424m m --+），则Q （m ，2111424m m -+-）， ∵Q 、R 关于x=1对称 ∴R （1﹣m ，2111424m m -+-）， ①当点P 在直线l 左侧时，PQ=1﹣m ，QR=1﹣1m ，∵△PQR 与△AMG 全等，∴当PQ=GM 且QR=AM 时，m=0，∴P （0，34），即点P 、C 重合， ∴R （1，﹣14）， 由此求直线PR 解析式为y=﹣12x+34， 当PQ=AM 且QR=GM 时，无解；②当点P 在直线l 右侧时，同理：PQ=m ﹣1，QR=1m ﹣1，则P（1，﹣54），R（0，﹣14），PQ解析式为：y=﹣11 24x-；∴PR解析式为：y=﹣12x+34或y=﹣1124x-．【题目点拨】本题是代数几何综合题，考查了二次函数性质、三角形全等和等腰三角形判定，熟练掌握相关知识，应用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题是关键．23、(1) 1000﹣x，﹣10x2+1300x﹣1；（2）50元或80元；（3）8640元.【解题分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得销售量y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，销售利润w=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣1．（2）令﹣10x2+1300x﹣1=10000，求出x的值即可；（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣1转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．【题目详解】解：（1）销售量y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，销售利润w=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣1．故答案为: 1000﹣x，﹣10x2+1300x﹣1．（2）﹣10x2+1300x﹣1=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．（3）根据题意得100010x540 x44-≥⎧⎨≥⎩，解得：44≤x≤46 ．w=﹣10x2+1300x﹣1=﹣10（x﹣65）2+12250∵a=﹣10＜0，对称轴x=65，∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大．∴当x=46时，W最大值=8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．24、（1）购买A种花木40棵，B种花木60棵；（2）当购买A种花木50棵、B种花木50棵时，所需总费用最低，最低费用为7500元．【解题分析】（1）设购买A种花木x棵，B种花木y棵，根据“A，B两种花木共100棵、购进A，B两种花木刚好用去8000元”列方程组求解可得；（2）设购买A种花木a棵，则购买B种花木（100﹣a）棵，根据“B花木的数量不少于A花木的数量”求得a的范围，再设购买总费用为W，列出W关于a的解析式，利用一次函数的性质求解可得．【题目详解】解析：（1）设购买A种花木x棵，B种花木y棵，根据题意，得：100501008000x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：4060xy=⎧⎨=⎩，答：购买A种花木40棵，B种花木60棵；（2）设购买A种花木a棵，则购买B种花木（100﹣a）棵，根据题意，得：100﹣a≥a，解得：a≤50，设购买总费用为W，则W=50a+100（100﹣a）=﹣50a+10000，∵W随a的增大而减小，∴当a=50时，W取得最小值，最小值为7500元，答：当购买A种花木50棵、B种花木50棵时，所需总费用最低，最低费用为7500元．考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用.。

中考数学模拟试题根式与分式的性质与计算

中考数学模拟试题根式与分式的性质与计算

中考数学模拟试题根式与分式的性质与计算中考数学模拟试题根式与分式的性质与计算一、根式的性质与计算根式是数学中常见的一种表达方式，它包含一个根号和一个被开方的数。

在解题过程中，我们需要了解根式的性质，并能够进行正确的计算。

1. 简化根式：将一个根式的被开方数写成两个因数相同的形式，并将其化简。

例题1：将√32 化简为最简根式。

解析：首先，我们找出√32 的因数，即 4 和 8，可以写成√(4×8)。

然后，将√(4×8) 写成两个根式相乘的形式，即√4 × √8。

最后，计算出√4 = 2，√8 = 2√2，因此，√32 = 2√2。

2. 合并同类项：当根式相加或相减时，需要合并同类项。

例题2：计算：√12 + 2√3 + √3 - √12。

解析：根据题目，我们可以看到√12 和 -√12 是可以合并的，因为它们是相反的。

√12 + (-√12) = 0。

接下来，合并同类项：2√3 + √3 =3√3。

所以，√12 + 2√3 + √3 - √12 = 3√3 + 0。

最终结果为3√3。

3. 乘法法则：两个根式相乘时，可以将它们的被开方数相乘，并将根号保留。

例题3：计算：(2√5)(3√5)。

解析：两个根式相乘时，可以将它们的被开方数相乘，并将根号保留。

因此，(2√5)(3√5) = 2×3×√5×√5 = 6×√25。

√25 = 5，所以，结果为6×5 = 30。

二、分式的性质与计算分式在数学中也起到了重要的作用，它由两个整数（或代数式）的比构成。

我们需要了解分式的性质，并能够进行正确的计算。

1. 简化分式：将一个分式的分子和分母都除以它们的公因数，使分式呈最简形式。

例题4：将分式 6/18 简化为最简分式。

解析：分子和分母都可以被 6 整除，即 6/18 = (6÷6)/(18÷6) = 1/3。

所以，最简分式为 1/3。

2021年中考数学模拟试卷附答案解析 (2)

2021年中考数学模拟试卷附答案解析 (2)

2021年中考数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．（4分）若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为（）A．B．1C．.4D．32．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2B．m≥3C．m＜5D．m≤53．（4分）函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．（4分）某中学有一块长30cm，宽20cm的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30C．30x+2×20x＝×20×30D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×305．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个6．（4分）若点A（﹣1，m）、B（1，m）、C（2，m﹣1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b ＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2020次运动后，动点P的坐标是（）A．（2020，1）B．（2020，0）C．（2020，2）D．（2019，0）二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）9．（5分）把多项式x2y﹣6xy+9y分解因式的结果是．10．（5分）已知+＝3，求＝．11．（5分）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD＝，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为．12．（5分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m．13．（5分）已知直线y＝kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为．三．解答题（共4小题，满分43分）14．（5分）计算：﹣2tan60°．15．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝AD，求的值．16．（12分）五一假期某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，每辆42座比每辆60座客车租金便宜140元，租3辆42座和2辆60座客车租金共计1880元（1）求两种车租金每辆各多少元？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），总租金不超过3200元，有几种租车方案？请选择最节省的租车方案．17．（14分）如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．（1）求a、b的值；（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．2021年中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．（4分）若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为（）A．B．1C．.4D．3【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a、b是方程x2﹣4x+1＝0的两个不同的实数根，∴由根与系数的关系可知：ab＝1，a+b＝4，∴a2+1＝4a，b2+1＝4b，∴原式＝+＝＝＝1，故选：B．2．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2B．m≥3C．m＜5D．m≤5【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝m﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，解得m≤5．故选：D．3．（4分）函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故A 错误．B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故B错误；C、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故D正确；故选：D．4．（4分）某中学有一块长30cm，宽20cm的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30C．30x+2×20x＝×20×30D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30【分析】根据空白区域的面积＝矩形空地的面积可得．【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，故选：B．5．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．【解答】解：①由图象开口可知：a＞0，c＜0，∵＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；②由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；③抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为：x＝，∴＜1，∴2a+b＞0，故③正确；④由图象可知顶点坐标的纵坐标小于﹣2，故④错误；⑤由③可知抛物线的对称轴为x＝，∴由图象可知：x＜时，y随着x的增大而减小，故⑤正确；⑥由图象可知：x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故⑥错误；故选：B．6．（4分）若点A（﹣1，m）、B（1，m）、C（2，m﹣1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而减小，继而求得答案．【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），∴A与B关于y轴对称，故A，D错误；∵B（1，m），C（2，m﹣1），∴当x＞0时，y随x的增大而减小，故B正确，C错误．故选：B．7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b ＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x＝﹣＜1，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选：D．8．（4分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2020次运动后，动点P的坐标是（）A．（2020，1）B．（2020，0）C．（2020，2）D．（2019，0）【分析】分析点P的运动规律找到循环规律即可．【解答】解：点P坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个单位，则2020＝505×4，所以，前505次循环运动点P共向右运动505×4＝2020个单位，且在x轴上，故点P坐标为（2020，0）．故选：B．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）9．（5分）把多项式x2y﹣6xy+9y分解因式的结果是y（x﹣3）2．【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝y（x2﹣6x+9）＝y（x﹣3）2，故答案为：y（x﹣3）210．（5分）已知+＝3，求＝﹣．【分析】由+＝3知＝3，即a+b＝3ab，整体代入到原式，计算可得．【解答】解：∵+＝3，∴＝3，则a+b＝3ab，所以原式＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣．11．（5分）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD＝，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为．【分析】连接OD，由△OAB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据平行线的性质得到∠DEO＝∠AOB＝60°，推出△DEO是等边三角形，得到∠DOE＝∠BAO＝60°，得到OD∥AB，求得S△BDO＝S△AOD，推出S△AOB＝S△ABD＝，过B作BH⊥OA于H，由等边三角形的性质得到OH＝AH，求得S△OBH＝，于是得到结论．【解答】解：连接OD，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵四边形OCDE是菱形，∴DE∥OB，∴∠DEO＝∠AOB＝60°，∴△DEO是等边三角形，∴∠DOE＝∠BAO＝60°，∴OD∥AB，∴S△BDO＝S△AOD，∵S四边形ABDO＝S△ADO+S△ABD＝S△BDO+S△AOB，∴S△AOB＝S△ABD＝，过B作BH⊥OA于H，∴OH＝AH，∴S△OBH＝，∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，∴k的值为，故答案为：．12．（5分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加（4﹣4）m．【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA＝OB＝AB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过将A点坐标（﹣2，0）代入抛物线解析式可得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．13．（5分）已知直线y＝kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为0＜m＜．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y＝kx得，﹣5＝12k，∴k＝﹣；由y＝﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y＝﹣x+m （m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）当x＝0时，y＝m；当y＝0时，x＝m，∴A（m，0），B（0，m），即OA＝m，OB＝m；在Rt△OAB中，AB＝，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO＝OD•AB＝OA•OB，∴OD•m＝×m×m，∵m＞0，解得OD＝m由直线与圆的位置关系可知＜6，解得0＜m＜．故答案为：0＜m＜．三．解答题（共4小题，满分43分）14．（5分）计算：﹣2tan60°．【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式＝2+5﹣2﹣2＝3．15．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝AD，求的值．【分析】（1）连接OD，设OC交BD于K．想办法证明△ODC≌△OBC（SSS）即可解决问题．（2）由CD＝AD，可以假设AD＝a，CD＝a，设KC＝b．由△CDK∽△COD，推出＝，推出＝整理得：2（）2+（）﹣4＝0，解得＝或（舍弃），由此即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，设OC交BD于K．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OC∥AD，∴OC⊥BD，∴DK＝KB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，OC＝OC，CD＝CB，∴△ODC≌△OBC（SSS），∴∠ODC＝∠OBC，∵CB⊥AB，∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵CD＝AD，∴可以假设AD＝a，CD＝a，设KC＝b．∵DK＝KB，AO＝OB，∴OK＝AD＝a，∵∠DCK＝∠DCO，∠CKD＝∠CDO＝90°，∴△CDK∽△COD，∴＝，∴＝整理得：2（）2+（）﹣4＝0，解得＝或（舍弃），∵CK∥AD，∴＝＝＝．16．（12分）五一假期某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，每辆42座比每辆60座客车租金便宜140元，租3辆42座和2辆60座客车租金共计1880元（1）求两种车租金每辆各多少元？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），总租金不超过3200元，有几种租车方案？请选择最节省的租车方案．【分析】（1）设42座客车租金x元/辆，60座客车租金（x+140）元/辆，根据题意列出方程解答即可．（2）根据租用的8辆客车所载的总人数应大于等于师生的总人数和所需的费用应比单独租用车辆的费用少，列出不等式组进行求解，然后分类讨论．【解答】解：（1）设42座客车租金x元/辆，60座客车租金（x+140）元/辆，根据题意，得：3x+2（x+140）＝1880，解得：x＝320答：42座客车租金320元/辆，60座客车租金460元/辆；（2）设租42座客车m辆，则60座客车（8﹣m）辆，根据题意得：42m+60（8﹣m）≥385•，320m+460 （8﹣m）≤3200，解得：3≤m≤5∵m为整数，∴m的值可以是4、5，即有2种方案；设总费用为W，则W＝320m+460 （8﹣m）＝﹣140m+3680，∵W随m的增大而减小大，∴当m＝5时，W取得最小值，最小值为2980，17．（14分）如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．（1）求a、b的值；（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用对称轴方程，联立方程组，解方程组求得a、b的值；（2）设点C的坐标是（0，m）．由于没有指明直角△BCD中的直角，所以需要分类讨论：当∠CBD＝90°、∠CDB＝90°、∠BCD＝90°时，利用勾股定理列出关于m的方程，通过解方程求得m的值；然后利用三角形的面积公式解答；（3）利用待定系数法确定直线OA解析式为．由抛物线上点的坐标特征和两点间的距离公式求得：，所以利用二次函数最值的求得推知：当PQ最大时，线段BQ为定长．又因为MN＝2，所以要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．利用轴对称﹣最短路径问题得到点Q．最后利用方程思想解答．【解答】解：（1）∵过点的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，∴解之，得；（2）设点C的坐标是（0，m）．由（1）可得抛物线，∴抛物线的顶点D的坐标是（2，﹣3），点B的坐标是（4，0）．当∠CBD＝90°时，有BC2+BD2＝CD2．∴，解之，得，∴；当∠CDB＝90°时，有CD2+BD2＝BC2．∴，解之，得，∴；当∠BCD＝90°时，有CD2+BC2＝BD2．∴，此方程无解．综上所述，当△BDC为直角三角形时，△OBC的面积是或；（3）设直线y＝kx过点，可得直线．由（1）可得抛物线，∴，∴当时，PQ最大，此时Q点坐标是．∴PQ最大时，线段BQ为定长．∵MN＝2，∴要使四边形BQMN的周长最小，只需QM+BN最小．将点Q向下平移2个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，直线BQ2与对称轴的交点就是符合条件的点N，此时四边形BQMN的周长最小．设直线y＝cx+d过点和点B（4，0），则解之，得∴直线过点Q2和点B．解方程组得∴点N的坐标为，∴点M的坐标为，所以点Q、M、N的坐标分别为，，．。

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最新上海市中考数学三模试卷一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分1．下列分数中，能化为有限小数的是（）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a53．如果=2a﹣1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥4．下列一组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数和方差分别是（）A．0和2 B．0和C．0和1 D．0和05．下列四个命题中真命题是（）A．矩形的对角线平分对角 B．菱形的对角线互相垂直平分C．梯形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线相等6．如果圆O是△ABC的外接圆，AC=BC，那么下列四个选项中，直线l必过圆心O的是（）A．l⊥AC B．l平分AB C．l平分∠C D．l平分二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．用代数式表示实数a（a＞0）的平方根：．8．在实数范围内因式分解：x3﹣2x2y+xy2= ．9．已知方程﹣=2，如果设y=，那么原方程转化为关于y的整式方程为．10．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x的取值范围是时，能使kx+b＞0．11．某公司承担了制作600个道路交通指引标志的任务，在实际操作时比原计划平均每天多制作了10个，因此提前了5天完成任务，如果设原计划x天完成，那么根据题意，可以列出的方程是：．12．一台组装电脑的成本价是4000元，如果商家以5200元的价格卖给顾客，那么商家的盈利率为．13．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上的点数分别为1到6的整数，那么掷出的点数小于3的概率为．14．已知=，=，那么= （用向量、的式子表示）15．已知，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD=2DB，BC=6，那么DE= ．16．将某班级全体同学按课外阅读的不同兴趣分成三组，情况如表格所示，则表中a的值应该是．第一组第二组第三组频数12 16 a频率b c 20%17．将等边△ABC沿着射线BC方向平移，点A、B、C分别落在点D、E、F处，如果点E恰好是BC的中点，那么∠AFE的正切值是．18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P为BC边上一动点，如果以P为圆心，BP为半径的圆P与以AC为直径的圆O相交，那么点P离开点B的距离BP的取值范围是．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．先化简，再求值：﹣﹣，其中x=．20．解方程组：．21．已知：在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣5，2）向x轴作垂线，垂足为B，连接AO，点C在线段AO上，且AC：CO=2：3，反比例函数y=的图象经过点C，与边AB交于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△BOD的面积．22．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）23．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交边AB于点P，点D在边AC上．（1）如果PD∥BC，求证：AC•CD=AD•BC；（2）如果∠BPD=135°，求证：CP2=CB•CD．24．已知点A（2，﹣2）和点B（﹣4，n）在抛物线y=ax2（a≠0）上．（1）求a的值及点B的坐标；（2）点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；（3）将抛物线y=ax2（a≠0）向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形ABB′A′为正方形，求此时抛物线的表达式．25．已知，AB=5，tan∠ABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在点D 的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；（2）当EA∥BM时（如图2），求四边形AEBD的面积；（3）联结CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分1．下列分数中，能化为有限小数的是（）A．B．C．D．【考点】有理数的除法．【分析】本题需根据有理数的除法法则分别对每一项进行计算，即可求出结果．【解答】解：A∵=0.3…故本选项错误；B、∵=0.2故本选项正确；C、=0.142857…故本选项错误；D、=0.1…故本选项错误．故选B．2．下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】A、根据合并同类项的法则计算；B、根据同底数幂的乘法法则计算；C、根据同底数幂的除法计算；D、根据幂的乘方计算．【解答】解：A、a+a=2a，此选项错误；B、a2•a=a3，此选项错误；C、a3÷a2=a，此选项正确；D、（a2）3=a6，此选项错误．故选C．3．如果=2a﹣1，那么（）A．a B．a≤C．a D．a≥【考点】二次根式的性质与化简．【分析】由二次根式的化简公式得到1﹣2a为非正数，即可求出a的范围．【解答】解：∵=|1﹣2a|=2a﹣1，∴1﹣2a≤0，解得：a≥．故选D4．下列一组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数和方差分别是（）A．0和2 B．0和C．0和1 D．0和0【考点】方差；算术平均数．【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]进行计算即可．【解答】解：这组数据：﹣2、﹣1、0、1、2的平均数是（﹣2﹣1+0+1+2）÷5=0；则方差=[（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2；故选A．5．下列四个命题中真命题是（）A．矩形的对角线平分对角 B．菱形的对角线互相垂直平分C．梯形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线相等【考点】命题与定理．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：矩形的对角线不能平分对角，A错误；根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，B正确；梯形的对角线不互相垂直，C错误；平行四边形的对角线平分，但不一定相等，D错误．故选B．6．如果圆O是△ABC的外接圆，AC=BC，那么下列四个选项中，直线l必过圆心O的是（）A．l⊥AC B．l平分AB C．l平分∠C D．l平分【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．【解答】解：∵圆O是△ABC的外接圆，∴点O在三边的垂直平分线上．∵AC=BC，∴当l平分∠C时，l也是AB边的垂直平分线．故选C．二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分7．用代数式表示实数a（a＞0）的平方根：．【考点】平方根．【分析】根据开方运算，可得一个数的平方根．【解答】解：用代数式表示实数a（a＞0）的平方根为：，故答案为：．8．在实数范围内因式分解：x3﹣2x2y+xy2= x（x﹣y）2．【考点】实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用．【分析】这个多项式含有公因式x，应先提取公因式，然后运用完全平方公式进行二次分解．【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，=x（x2﹣2xy+y2）…（提取公因式）=x（x﹣y）2．…（完全平方公式）9．已知方程﹣=2，如果设y=，那么原方程转化为关于y的整式方程为3y2﹣6y﹣1=0 ．【考点】列代数式．【分析】由设出的y，将方程左边前两项代换后，得到关于y的方程，去分母整理即可得到结果．【解答】解：设y=，方程﹣=2变形为y﹣=2，整理得：3y2﹣6y﹣1=0．故答案为：3y2﹣6y﹣1=010．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x的取值范围是x＜2 时，能使kx+b＞0．【考点】一次函数的图象．【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标可直接解答．【解答】解：因为直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），由函数的图象可知x＜2时，y＞0，即kx+b＞0．11．某公司承担了制作600个道路交通指引标志的任务，在实际操作时比原计划平均每天多制作了10个，因此提前了5天完成任务，如果设原计划x天完成，那么根据题意，可以列出的方程是：﹣=5 ．【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】根据原计划时间﹣实际时间=5，列出方程即可．【解答】解：∵根据原计划时间﹣实际时间=5，∴﹣=5．故答案为﹣=5．12．一台组装电脑的成本价是4000元，如果商家以5200元的价格卖给顾客，那么商家的盈利率为30% ．【考点】有理数的混合运算．【分析】根据利润率的公式：利润率=利润÷成本×100%进行计算．【解答】解：÷4000×100%=30%．答：商家的盈利率为30%．13．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上的点数分别为1到6的整数，那么掷出的点数小于3的概率为．【考点】概率公式．【分析】点数小于3的有2种情况，除以总个数6即为向上的一面的点数小于3的概率．【解答】解：∵共有6种情况，点数小于3的有2种，∴P（点数小于3）=．故答案为14．已知=，=，那么= ﹣（用向量、的式子表示）【考点】*平面向量．【分析】根据+=，即可解决问题．【解答】解：∵+=，∴=﹣．故答案为﹣．15．已知，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD=2DB，BC=6，那么DE= 4 ．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：∵AD=2DB，∴AD：AB=2：3，∵DE∥BC，∴=，∵BC=6，∴=，∴DE=4．故答案为4．16．将某班级全体同学按课外阅读的不同兴趣分成三组，情况如表格所示，则表中a的值应该是7 ．第一组第二组第三组频数12 16 a频率b c 20%【考点】频数与频率．【分析】首先根据各小组的频率之和等于1得出第一组与第二组的频率和，然后求出数据总数，从而求出a的值．【解答】解：∵1﹣20%=80%，∴（16+12）÷80%=35，∴a=35×20%=7．故答案为：7．17．将等边△ABC沿着射线BC方向平移，点A、B、C分别落在点D、E、F处，如果点E恰好是BC的中点，那么∠AFE的正切值是．【考点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义．【分析】根据题意画出图形，利用等边三角形的性质解答即可．【解答】解：连接AE，如图：，∵将等边△ABC沿着射线BC方向平移，点E恰好是BC的中点，∴设等边三角形的边长为a，∴AE=，AE⊥BF，∴∠AFE的正切值=，故答案为：18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P为BC边上一动点，如果以P为圆心，BP为半径的圆P与以AC为直径的圆O相交，那么点P离开点B的距离BP的取值范围是≤BP≤9 ．【考点】圆与圆的位置关系．【分析】过点A作AD⊥BC，利用等腰三角形的性质得出CD的长，利用圆与圆的位置关系解答即可．【解答】解：①过点A作AD⊥BC，过O作OH⊥BC，如图∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，∴CD=BD=6，∴AD=，设BP=r时，两圆相外切，则PO=r+5，PH=BC﹣r﹣CH又易求OH=4，CH=3；则有勾股定理（r+5）2=（9﹣r）2+42，解得r=②当两圆内切时，过点A作AD⊥BC，过O作OH⊥BC，如图易知OP=r﹣5，PH=9﹣r，OH=4同理由勾股定理求得r=9故答案为：≤BP≤9．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．先化简，再求值：﹣﹣，其中x=．【考点】分式的化简求值．【分析】原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=﹣﹣====，当x=﹣2时，原式==1+．20．解方程组：．【考点】高次方程．【分析】先将原方程组进行变形，利用代入法和换元法可以解答本题．【解答】解：，由①，得③，将①③代入②，得，设x2=t，则，即t2﹣10t+9=0，解得，t=1或t=9，∴x2=1或x2=9，解得x=±1或x=±3，则或或或，即原方程组的解是：或或或．21．已知：在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣5，2）向x轴作垂线，垂足为B，连接AO，点C在线段AO上，且AC：CO=2：3，反比例函数y=的图象经过点C，与边AB交于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△BOD的面积．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质．【分析】（1）由A点的坐标结合中点的坐标公式可得出点C的坐标，将点C的坐标代入到反比例函数解析式即可求出k值，从而得出反比例函数的解析式；（2）AB⊥x轴于B，于是得到OB=5，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵AC：CO=2：3，点A（﹣5，2），∴C点的坐标为（﹣3，），将点C（﹣3，），代入到反比例函数y=中得：=，解得：k=﹣．∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2）∵AB⊥x轴于B，∴OB=5，∴△BOD的面积=×5×=3．22．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）【考点】解直角三角形的应用．【分析】首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x，即可表示出AC，BC的长，进而求出x 的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x．在Rt△ACD中，sin∠A=，AC==2x，在Rt△BCD中，sin∠B=，BC==x，∵AC+BC=2x+x=68∴x=≈=20．在Rt△ACD中，tan∠A=，AD==20，在Rt△BCD中，tan∠B=，BD==20，AB=20+20≈54，AC+BC﹣AB=68﹣54=14.0（km）．答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．23．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交边AB于点P，点D在边AC上．（1）如果PD∥BC，求证：AC•CD=AD•BC；（2）如果∠BPD=135°，求证：CP2=CB•CD．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据角平分线的性质和平行线的性质证得∠CPD=∠PCA，得出PD=CD，然后证得△APD∽△ABC，根据相似三角形的性质即可证得结论；（2）根据三角形内角和定理求得∠B=∠CPD，即可证得△PCB∽△PDC根据相似三角形的性质即可证得结论．【解答】（1）证明：如图，∵PD∥BC，∴∠PCB=∠CPD，∵∠PCB=∠PCA，∴∠CPD=∠PCA，∴PD=CD，∵PD∥BC，∴△APD∽△ABC，∴=，∴AC•PD=AD•BC，∴AC•CD=AD•BC；（2）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交边AB于点P，∴∠PCB=∠PCA=45°，∵∠B+45°+∠CPB=180°，∴∠B+∠CPB=135°，∵∠BPD=135°，∴∠CPB+∠CPD=135°，∴∠B=∠CPD，∴△PCB∽△PDC，∴=，∴CP2=CB•CD．24．已知点A（2，﹣2）和点B（﹣4，n）在抛物线y=ax2（a≠0）上．（1）求a的值及点B的坐标；（2）点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；（3）将抛物线y=ax2（a≠0）向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形ABB′A′为正方形，求此时抛物线的表达式．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移．【分析】（1）把点A（2，﹣2）代入y=ax2，得到a，再把点B代入抛物线解析式即可解决问题．（2）求出直线AB解析式，再分别求出过点A垂直于AB的直线的解析式，过点B垂直于直线AB 的解析式即可解决问题．（3）先求出点A′坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）把点A（2，﹣2）代入y=ax2，得到a=﹣，∴抛物线为y=﹣x2，∴x=﹣4时，y=﹣8，∴点B坐标（﹣4，﹣8），∴a=﹣，点B坐标（﹣4，﹣8）．（2）设直线AB为y=kx+b，则有，解得，∴直线AB为y=x﹣4，∴过点B垂直AB的直线为y=﹣x﹣12，与y轴交于点P（0，﹣12），过点A垂直AB的直线为y=﹣x，与y轴交于点P′（0，0），∴点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形时．点P坐标为（0，0），或（0，﹣12）．（3）如图四边形ABB′A′是正方形，过点A作y轴的垂线，过点B、点A′作x轴的垂线得到点E、F．∵直线AB解析式为y=﹣x﹣12，∴△ABF，△AA′E都是等腰直角三角形，∵AB=AA′==6，∴AE=A′E=6，∴点A′坐标为（8，﹣8），∴点A到点A′是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到，∴抛物线y=﹣x2的顶点（0，0），向右平移6个单位，向下平移6个单位得到（6，﹣6），∴此时抛物线为y=﹣（x﹣6）2﹣6．25．已知，AB=5，tan∠ABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在点D 的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；（2）当EA∥BM时（如图2），求四边形AEBD的面积；（3）联结CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．【考点】三角形综合题．【分析】（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H，先证明BF⊥DE，EF=DF，再利用△ABH∽△DBF，得=，求出DF即可解决问题．（2）先证明四边形ADBE是平行四边形，根据S平行四边形ADBE=BD•AH，计算即可．（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC，利用四点共圆先证明四边形ADBE是平行四边形，求出DH、CH即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H．在RT△ABH中，∵∠AHB=90°，∴sin∠ABH==，∴AH=3，BH==4，∵AB=AD，AH⊥BD，∴BH=DH=4，在△ABE 和△ABD中，，∴△ABD≌△ABE，∴BE=BD，∠ABE=∠ABD，∴BF⊥DE，EF=DF，∵∠ABH=∠DBF，∠AHB=∠BFD，∴△ABH∽△DBF，∴=，∴DF=，∴DE=2DF=．（2）如图2中，作AH⊥BD于H．∵AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE，∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC，∵AE∥BD，∴∠AEB+∠EBD=180°，∴∠EBD+∠ADC=180°，∴EB∥AD，∵AE∥BD，∴四边形ADBE是平行四边形，∴BD=AE=AB=5，AH=3，∴S平行四边形ADBE=BD•AH=15．（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC．如图3中，∵∠ACD=∠AEB（已证），∴A、C、B、E四点共圆，∵AE=EC=AB，∴=，∴=，∴∠AEC=∠ABC，∴AE∥BD，由（2）可知四边形ADBE是平行四边形，∴AE=BD=AB=5，∵AH=3，BH=4，∴DH=BD﹣BH=1，∵AC=AD，AH⊥CD，∴CH=HD=1，∴BC=BD﹣CD=3．2016年6月3日。

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