黎曼

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Den Ausgangspunkt f¨ ur die Untersuchung Dirichlet ’s bildet bekanntlich die Bemerkung, dass man den Differentialgleichungen f¨ ur die Bewegung der Fl¨ ussigkeitstheile gen¨ ugen kann, wenn man die Coordinaten x, y , z linearen Ausdr¨ ucken von ihren Anfangswerthen gleichsetzt, in denen die Coefficienten blosse Functionen der Zeit sind. Diese Ausdr¨ ucke setzen wir in die Form x = l (1) x0 y0 z0 +m +n , a0 b0 c0 x0 y0 z0 y = l +m +n , a0 b0 c0 x0 y0 z0 z = l +m +n . a0 b0 c0
Transcribed by D. R. Wilkins Preliminary Version: December 1998 Corrected: April 2000
Ein Beitrag zu den Untersuchungen u ¨ber die Bewegung eines flu ¨ssigen gleichartigen Ellipsoides.
Bezeichnet man nun durch ξ , η , ζ die Coordinaten des Punktes (x, y, z ) in Bezug auf ein bewegliches Coordinatensystem, dessen Axen in jedem Augenblicke mit den Hauptaxen des Ellipsoides zusammenfallen, so sind bekanntlich ξ , η , ζ gleich linearen Ausdr¨ ucken von x, y , z ξ = αx + βy + γz, η = α x + β y + γ z, ζ = α x + β y + γ z,
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Wir k¨ onnen daher die Lage der Fl¨ ussigkeitstheilchen oder die Werthe der angig betrachten von den Gr¨ ossen Gr¨ ossen l, m, . . . , n zur Zeit t als abh¨ a, b, c und der Lage zweier beweglichen Coordinatensysteme und k¨ onnen zugleich bemerken, dass durch Vertauschung dieser beiden Coordinatensysteme in dem Systeme der Gr¨ ossen l, m, n die Horizontalreihen mit den Verticalreihen vertauscht werden, also l, m , n unge¨ andert bleiben, w¨ ahrend von den Gr¨ ossen m und l , n und l , n und m jede in die andere u ¨bergeht. Es wird nun unser n¨ achstes Gesch¨ aft sein, die Differentialgleichungen f¨ ur die Ver¨ anderungen der Hauptaxen und die Bewegung dieser beiden Coordinatensysteme aus der in der Dirichlet ’schen Abhandlung (§. 1, 1) angegebenen Grundgleichungen f¨ ur die Bewegung der Fl¨ ussigkeitstheilchen abzuleiten. 2. Offenbar ist es erlaubt, in jenen Gleichungen statt der Derivirten nach den Anfangswerthen der Gr¨ ossen x, y , z , welche dort durch a, b, c bezeichnet sind, die Derivirten nach den Gr¨ ossen ξ , η , ζ zu setzen; denn die hierdurch gebildeten Gleichungen lassen sich als Aggregate von jenen darstellen ∂x ∂y ∂z und umgekehrt. Wir erhalten dadurch wenn wir f¨ ur , , ..., ihre ∂ξ ∂η ∂ζ 3
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worin die Coefficienten die Cosinus der Winkel sind, welche die Axen des einen Systems mit den Axen des andern bilden, α = cos ξx, β = cos ξy etc., und zwischen diesen Coefficienten finden sechs Bedingungsgleichungen statt, welche sich daraus herleiten lassen, dass durch die Substitution dieser Ausdr¨ ucke ξ 2 + η 2 + ζ 2 = x2 + y 2 + z 2 werden muss. Da die Oberfl¨ ache stets von denselben Fl¨ ussigkeitstheilchen gebildet wird, so muss 2 2 ξ 2 η2 η2 x2 y0 z0 0 + + = + + a2 b2 c2 a2 b2 c2 0 0 0 sein; setzt man also ξ x0 y0 z0 = α +β +γ , a a0 b0 c0 x0 y0 z0 η = α +β +γ , b a0 b0 c0 ζ x0 y0 z0 = α +β +γ , c a0 b0 c0 2
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ξ η ζ x0 y0 z0 d. h. bezeichnet man in den Ausdr¨ ucken von , , durch , , , welche a b c a0 b0 c0 man durch Einsetzung der Werthe (1) in die Gleichungen (2) erh¨ alt, die Coefficienten durch α , β , . . . , γ , so bilden diese Gr¨ ossen α , β , . . . , γ ebenfalls die Coefficienten einer orthogonalen Coordinatentransformation: sie k¨ onnen betrachtet werden als die Cosinus der Winkel, welche die Axen eines beweglichen Coordinatensystems der ξ , η , ζ mit den Axen des festen Coordinatensystems der x, y , z bilden. Dr¨ uckt man die Gr¨ ossen x, y , z mit H¨ ulfe der x0 y0 z0 Gleichungen (2) und (3) in , , aus, so ergiebt sich a0 b0 c0 l m n l m n l m n = = = = = = = = = aαα + bα α + cα α , aαβ + bα β + cα β , aαγ + bα γ + cα γ , aβα + bβ α + cβ α , aββ + bβ β + cβ β , aβγ + bβ γ + cβ γ , aγα + bγ α + cγ α , aγβ + bγ β + cγ β , aγγ + bγ γ + cγ γ .
Ein Beitrag zu den Untersuchungen u ¨ ber die Bewegung eines flu ¨ ssigen gleichartigen Ellipsoides. Bernhard Riemann [Aus dem neunten Bande der Abhandlungen der K¨ oniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu G¨ ottingen. 1861.]
Bernhard Riemann [Aus dem neunten Bande der Abhandlungen der K¨ oniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu G¨ ottingen. 1861.]
F¨ ur die Untersuchungen u ussigen ¨ber die Bewegung eines gleichartigen fl¨ Ellipsoides, dessen Elemente sich nach dem Gesetze der Schwere anziehen, hat Dirichlet durch seine letzte von Dedekind herausgegebene Arbeit auf u ¨berraschende Weise eine neue Bahn gebrochen. Die Verfolgung dieser sch¨ onen Entdeckung hat f¨ ur den Mathematiker ihren besondern Reiz, ganz abgesehen von der Frage nach den Gr¨ unden der Gestalt der Himmelsk¨ orper, durch welche diese Untersuchungen veranlasst worden sind. Dirichlet selbst hat die L¨ osung der von ihm behandelten Aufgabe nur in den einfachsten F¨ allen vollst¨ andig durchgef¨ uhrt. F¨ ur die weitere Ausf¨ uhrung der Untersuchung ist es zweckm¨ assig, den Differentialgleichungen f¨ ur die Bewegung der fl¨ ussigen Masse eine von dem gew¨ ahlten Anfangszeitpunkte unabh¨ angige Form zu geben, was z. B. dadurch geschehen kann, dass man die Gesetze aufsucht, nach welchen die Gr¨ osse der Hauptaxen des Ellipsoides und die relative Bewegung der fl¨ ussigen Masse gegen dieselben sich ¨ andert. Indem wir hier die Aufgabe in dieser Weise behandeln, werden wir zwar die Dirichlet ’sche Abhandlung voraussetzen, m¨ ussen aber dabei zur Vermeidung von Irrungen gleich bevorworten, dass es nicht m¨ oglich gewesen ist, die dort gebrauchten Zeichen unver¨ andert beizubehalten. 1. Wir bezeichnen durch a, b, c die Hauptaxen des Ellipsoides zur Zeit t, ferner durch x, y , z die Coordinaten eines Elements der fl¨ ussigen Masse zur Zeit t und die Anfangswerthe dieser Gr¨ ossen durch Anh¨ angung des Index 0 und nehmen an, dass f¨ ur die Anfangszeit die Hauptaxen des Ellipsoides mit den Coordinatenaxen zusammenfallen.