数列极限的研讨

数列极限的研讨

摘要：求已知数列极限的方法有很多种，本文对一些常用的方法进行了探讨，最后并对这些方法做了总结。

关键词：归结原则；数学归纳法；stolz 公式

Abstract:There are many exploration in resolving known limits of number sequence. In this article Idiscuss some methods in common use, and summarize these methods at Iast.

Keywords:the theroy of Heine, mathematics summary method, stolz formula. 引言

数学分析的研究中，极限时难于理解而不易掌握的一个概念，它是正确认识无限，掌握辩证论的方法，学会用数学语言描述无限，虽然极限不是数学分析中研究的对象，但是它是数学分析研究问题的主要手段，在数学分析中处于十分重要的地位，数列极限在数学分析中式一个重要部分，因此我们有必要总结一下求数列极限的方法。

一、预备知识 1、 极限的定义 2、收敛性 3、定积分 4、放缩法 5、归结原则 6、施笃兹定理

7、拉格朗日中值定理 8、级数收敛 9、柯西收敛准则

二．利用定义证明极限

设{n a }为数列，a 为定数，若对人给的正数ε，总存在正正数N ，使得当n>N 时，有∣n a –a ∣<ε，则称数列{n a }收敛于a ，定数a 为数列{n a }的极限，记为lim x →∞

n a =a 或n a a →（n →∞）。

例1 证明：lim x →∞

1/n n = 0。

证明：由于|1/n n -0|=1/n n ，故对任给的ε＞0，只要取N = [1/1/n ε]+1， 则当n>N 时，便有1/n n < 1/n N <ε,则|1/n n -0|<ε，所以lim x →∞

1/n n = 0。

例2 若lim n n a a →∞

=，证明：12lim

n

n a a a a n

→∞++Λ+=

证明：0ε>，1N N ∃∈及M>0, 1n N >，()()()112N a a a a a a M -+-+Λ-≤,

2,n a a ε-

()()

1

11211

1

122

N n

k k n k k N a a a a a a a n N M M n

n

n

n n n ε==+--++Λ+-∣-α∣=

+

≤

+⋅<+∑

∑

对上述的0ε>，及1211,,,22

n a a a N N N a n εε

ε++Λ+ ∃∈>N,-<+=当n 使

即 12lim

n

n a a a a n

→∞++Λ+=。

三、数列极限的计算

1、利用主要极限法

1lim 1n

n e n →∞

⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

证明：先建立不等式：设0b a >>，对任意正整数n 有

()()111n n n b a n b b a ++-<+⨯⨯- 整理得()11n n a b n a nb +>+-⎡⎤⎣⎦①，以

11

1,111

a b n n =+

=+

++代人①， 由()1n a nb +-=()1n +11n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭111n n ⎛⎫-= ⎪

+⎝⎭，故有1

1111n n

n n +⎛⎫⎛⎫

+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 这证明了11n

n ⎧⎫⎪⎪

⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭

为递增数列，11,12a b n ==+代人①，

得 ()()1111122n

n a nb n n n ⎛

⎫+-=+-+= ⎪⎝⎭

，

故 111122n

n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即1142n

n ⎛

⎫+< ⎪⎝⎭，上式对一切正整数n 成立，即对一切

偶数n ，有114n n ⎛⎫

+< ⎪⎝⎭，又知该数列的单调性，对一切正整数n ，都有

1

11114n

n n n +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

即数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有界，于是有单调有界定理推知数列11n

n ⎧⎫⎪⎪

⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭

是收敛的，

通常用字母e 代表该数列的极限，

即 1lim 1n

n e n →∞

⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

例 证明不等式

111

ln 1,.1n N n n n

⎛⎫<+<∈ ⎪+⎝⎭ 证明：已知数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭

是严格递增的，且1lim 1n

n e n →∞

⎛⎫

+= ⎪⎝⎭，对任意的的

n N ∈有11n

e n ⎛⎫

+< ⎪⎝⎭，

易证数列111n n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩

⎭严格减少的，事实上，当1n >时，对1n +个数1

1,

n n

-， 1n n -，1n n -，1

n n

-⋯，由几何平均不超过算术平均（1n +个数不全相等）， 有1

11n

n n n n n +--⎛⎫< ⎪⎝⎭ 即 1

11111n n

n n +⎛⎫

⎛

⎫+<+ ⎪ ⎪-⎝⎭

⎝⎭

1

111lim 1lim 11n n

n n e n n n +→∞

→∞

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

，于是对任意的n N ∈，有 1

1111n

n e n n +⎛⎫⎛⎫<++ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭，综上所述，对任意的n N ∈ 1

1111n

n e n n +⎛⎫⎛⎫

+<<+ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

对

不等式取自然对数有()11ln 11ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<1<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即

111

ln 1.1n n n

⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ 例1 用ε-N 方法求 n n n 1lim +∞

→

解：令 n n 1+=t+1 则 t>0

∴ n+1=n

t )1(+2

)1(2)1(122t n n t n n nt -≥+-+

+≥ ∴

1

2)

1(4)1()1(211-≤

-≤

-+≤

=-+n n n n

n n n t n n

∴ε∀>0 取 ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=142εN 则当N n >时，有

ε<-≤

-+1

211n n n