高中数学人教A版选修(2-1)3.1.1《空间向量及其运算》word导学案

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高中数学3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算课时作业含解析人教A版选修2_1.doc

第三章 3.1 3.1.1 3.1.2

请同学们认真完成练案[20]

A 级基础巩固

一、选择题

1．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →

等于( D ) A ．DB →

B ．A

C →

C ．AB →

D ．BA →

[解析] 解法一：DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →

＝CA →－CB →＝BA →.

解法二：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →

) ＝DA →＋BD →＝BA →.

2．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →

，则下列结论正确的是( B ) A ．AB →＝BC →＋CD →

B ．AB →－D

C →＋BC →＝A

D → C ．AD →＝AB →＋BC →＋DC →

D ．BC →＝BD →－DC →

[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．

3．(2019－2020学年北京市房山区期末检测)在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是( B )

A ．一个球

B ．一个圆

C ．半圆

D ．一个点

[解析] 平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．

4．如图所示，已知A 、B 、C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →

人教版高中数学选修2-1导学案第三章第一节空间向量及其运算练习

第三章第一节空间向量及其运算练习

设计者：曾刚审核者：执教：使用时间：

学习目标

1.掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；

2.掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.

________________________________________________________________________________ 自学探究

③ 推论： l 为经过已知点零向量a 的直线，对空间的任意一点， .

③推论：空间一点空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标＝ (1)在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（）

A ．0 B. 1 C. 2 D. 3

(2)若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充

分又不必要条件

(3)已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 (4)设k j i

,,是一组正交基底， 32,2,a i j k b i j k =+-=-+则53a b ∙=

人教版高中数学选修2-1导学案：第三章第一节空间向量及其运算

第三章第一节空间向量及其运算

设计者：曾刚审核者：执教：使用时间：

学习目标

1．了解空间向量的概念及其表示方法；

2. 用类比的方法学习空间向量的性质；

3. 会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律．

________________________________________________________________________________ 自学探究

问题1. 平面向量的基本概念及表示方法是什么？

问题2. 平面向量的运算律是什么？

【思维导航】（1）平面向量的加法，减法的运算律是什么？

（2）实数与向量的积的运算律是什么？

（3）平面向量的加法，数乘的交换律，结合律，分配律各是什么？

问题3. 类比平面向量的相关概念，表示及运算律，说出空间向量的概念，表示及运算律。

【试试】 (1)空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，右图中，OB =u u u r ， AB =u u u r ，

(2) 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +-r r r r b a ϖ⋅

(3) 点C 在线段AB 上，且52

AC CB =,则AC =u u u r AB u u u r , BC =u u u r AB u u u r . 问题4.空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？

(1)加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；

⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．

《空间向量及其运算》教案1(新人教A版选修2-1)

第三章空间向量与立体几何

3.1空间向量及其运算（一）

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；

㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：应用向量解决立体几何问题．

教学方法：讨论式．

教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：．

［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：

⒈向量的加法：

⒉向量的减法：

⒊实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0.

［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律

高中数学人教A版选修(2-1)3.1.1《空间向量及其加减数乘运算》word导学案

3.1.1 空间向量及其加减数乘运算

【学习目标】

1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；

2.空间向量加法、减法、数乘及它们的运算律；

【自主学习】

1.类比平面向量认识空间向量，谈谈空间向量的概念、表示方法。

思考：空间的任意两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示吗？

2．空间向量的线性运算

与平面向量运算类似，空间向量的加法、减法与数乘向量运算定义如下

b a

+=+=

b a OB OA BA

-=-=

)(R a ∈=λλ

运算律：

⑴加法交换律：____________________ ⑵加法结合律：______________________-

⑶数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)(， ()a a a λμλμ+=+

⑷数乘结合律：()()a a λμλμ=

探究：在平行六面体'

'''D C B A ABCD -中，分别标出AA AA ++++'',表示的向量，从中你能体会向量加法运算的交换律及结合律么？

【典例分析】

例1.已知平行六面体ABCD －D C B A '''',化简下列表达式，并标出化简结果的向量. ⑴AB BC +

⑵AB AD AA '++ ⑶1

AB AD CC '++

⑷1()3

AB AD AA '++

【目标检测】

空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD

的中点，化简下列各表

达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD

（2）

()

AB BD BC ++

三、

()

AG AB AC

【总结提升】类似平面向量运算，掌握空间向量的加法、减法与数乘向量运算.

人教版高中数学选修2-1导学案第3章第1节空间向量及其运算

第三章第一节空间向量及其运算

设计者：

审核者：执教：使用时间:

学习目标 1•了解空间向量的概念及其表示方法；

2. 用类比的方法学习空间向量的性质；

3. 会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律.

自学探究

问题1.平面向量的基本概念及表示方法是什么?

问题2.平面向量的运算律是什么？

【思维导航】(1 )平面向量的加法，减法的运算律是什么？

(2)实数与向量的积的运算律是什么？

(3 )平面向量的加法，数乘的交换律，结合律，分配律各是什么?

问题3.类比平面向量的相关概念，表示及运算律，说出空间向量的概念，表示及运算律。

【试试】(1)空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变

A Z-\ r~ — — 二二孑a. — —— —

⑶ 点C 在线段AB 上，且 AC =5则AC =— AB ,

BC = _____ AB . CB 2

—

问题4.空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ (1)

加法交换律：

a +

b = b + a ；⑵加法结合律：（a + b ） +

c =a + （ b + c ）； ⑶数乘分配律：入（a + b ）=入 a + 入 b.

为两个平面向量的加法和减法运算，右图中, (2)分别用平行四边形法则和三角形法则求 a b,a-b.a b

OB 二 _____________

【技能提炼】

并标出化简结果的向量:

1.已知平行六面体ABCD -A'B'C'D '(如图)，化简下列向量表达式, ⑴ AB BC ；

⑵ AB AD AAA；

彳彳

⑶AB AD -CC'；⑷一(AB AD AA').

新人教A版(选修2-1)《空间向量与立体几何》word学案

3.1.1空间向量及其运算（一）

课前预习学案

预习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；预习内容：1.———————————————叫空间向量．

空间向量的表示方法有： -------------------

2． --------------------------叫相等向量

3.空间向量的运算法则：—————————————————— 提出疑惑：

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

学习目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

学习重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．学习难点：应用向量解决立体几何问题．学习过程：

例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

⑴+ ⑵AA ++2

CC AD AB ++⑶

．⑷)'(3

AA AD AB ++

例2、如图中，已知点O 是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1体对角线的交点，点P 是任意一点，则

．

当堂检测：

1、下列说法中正确的是（）

A ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同

B ．若非零向量与是共线向量，则A 、B 、

C 、

D 四点共线

C ．若

D ．四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=

选修2-1 空间向量导学案

§3.1.1 空间向量及其加减运算

【学习要求】

1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．

2．掌握空间向量的加法、减法运算．

【学法指导】

结合平面向量的相关性质，类比学习空间向量的概念与运算．通过对空间向量的学习进一步体会数形结合的思想．

【知识要点】

1．空间向量

（1）空间向量的定义

在空间，把具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的________或______．（2）空间向量及其模的表示方法

空间向量用有向线段表示，有向线段的________表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作________，其模记为_____或________．（3）特殊向量名称定义及表示

零向量规定长度为0的向量叫______，记为____ 单位向量 ______的向量叫单位向量

相反向量与向量a 长度____而方向____的向量，记为____

相等向量

方向____且模____的向量称为相等向量，____且____的有向线段表示同一向量或相等向量

2．空间向量的加法、减法

类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： OB →＝OA →＋OC →＝__________；CA →＝OA →－OC →

＝__________. 3．空间向量加法的运算律

（1）交换律 a ＋b ＝________；

（2）结合律 (a ＋b )＋c ＝__________.

【问题探究】

探究点一空间向量的概念

问题1 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA →，OB →，OC →

高中数学(人教A)选修2-1课件：3.1.1空间向量及其加减运算

5．已知空间四边形 ABCD 中，A→B＝a，B→C＝b，A→D＝c，
则C→D＝( )
A．a＋b－c
B．c－a－b
C．c＋a－b
D．c＋a＋b
• [答案] B
[解析] C→D＝C→B＋B→A＋A→D＝－b－a＋c，故选 B.
6．如图所示，在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，与A→B相等的向量有__________．
牛刀小试
4．化简下列各式：(1)A→B＋B→C＋C→A；(2)A→B－A→C＋B→D－C→D；
(3)O→A－O→D＋A→D；(4)N→Q＋Q→P＋M→N－M→P.结果为零向量的个数
是( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
பைடு நூலகம்
• [答案] D
[解析] 对于(1)，A→B＋B→C＋C→A＝A→C＋C→A＝0；对于(2)，A→B－A→C＋B→D－C→D＝(A→B＋B→D)－(A→C＋C→D)＝A→D －A→D＝0；对于(3)，O→A－O→D＋A→D＝D→A＋A→D＝0；对于(4)，N→Q＋Q→P ＋M→N－M→P＝(N→Q＋Q→P)＋(M→N－M→P)＝N→P＋P→N＝0.
• [方法规律总结] 1.判断向量概念的命题要抓住向量的两个要素：大小和方向．
• (3)__长_度_为_0_____的向量叫做零向量，记1为0；模为____的向量叫做单位向量．

人教版高中数学选修2-1导学案：第三章第一节空间向量及其运算练习

第三章第一节空间向量及其运算练习

设计者：曾刚审核者：执教：使用时间：

学习目标

1.掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；

2.掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些

公式解决有关问题.

________________________________________________________________________________ 自学探究

(1)在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；

④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）

A．0 B. 1 C. 2 D. 3

(2)若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

(3)已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 (4)设k j i ρρρ,,是一组正交基底， 32,2,a i j k b i j k =+-=-+r u r r r r r r r 则53a b •=r u u u r （）

A ．－15

B ．－5

C ．－3

D ．－1 【技能提炼】

1.如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b ==u u u r u r u u u r r ，OC c =u u u r r

2021年高中数学3.1.1空间向量及其加减运算学案含解析人教A版选修2_1

3.1.1 空间向量及其加减运算

[目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义．

[重点] 空间向量加减运算及其几何意义．

[难点] 向量加减运算由平面向空间的推广．

知识点一空间向量的有关概念

[填一填]

1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．

2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模．

4．几类特殊向量

[答一答]

1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？

提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量．

2．如何理解零向量的方向？

提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以

理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的．

3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？

提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．

(2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同．

知识点二空间向量的加减运算

[填一填]

[答一答]

4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？

提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的．

5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？

提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线．

2021秋高中数学人教A版选修2-1学案3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算

第三章空间向量与立体几何

向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用，如鸟巢体育场的钢结构、北斗卫星定位系统示意图等．本章是在必修2中学习了立体几何初步以及必修4中学习了平面向量的基础上，学习空间向量及其运算，把平面向量推广到空间向量，并利用空间向量的运算解决有关的立体几何问题．由于空间向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个交汇点．

学习目标

1．空间向量及其运算

(1)了解空间向量的概念、空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．

(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

2．空间向量的应用

(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．

(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．

(3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．

(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．

本章重点

空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立体几何中的线面位置关系；求空间角和空间的距离．

本章难点

用空间向量表示点、直线、平面的位置；用空间向量的运算表示空间直线与平面间的平行、垂直关系以及夹角的大小等；用空间向量解决立体几何问题．

3.1空间向量及其运算

3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算

自主预习·探新知

高中数学3.1.1空间向量及其加减运算学案新人教A版选修21

广东省佛山市顺德区均安中学高中数学 3.1.1 空间向量及其加减运算学案新

人教A 版选修2-1

【学习方针】 1. 理解空间向量的相关概念； 2. 掌握空间向量加减法的两种轨则．

【探索新知】

1.空间中 ______________________________叫做空间向量；向量的大小叫做_________________;

2.空间向量的暗示：

①字母暗示法: AB ，a ②几何暗示法：

3.零向量：_______________________；单位向量：_______________________；

相反向量：_______________________；相等向量：_______________________.

4. 空间向量的加减运算轨则

交换律：a b b a +=+；结合律：()()a b c a b c ++=++

5. 空间向量加法的三角形轨则：空间向量加法的平行四边形轨则：

【基础自测】

1.下列说法正确的是（）

A. 零向量没有标的目的；

B. 空间向量弗成以平行移动

C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D. 同向且等长的有向线段暗示同一向量

2.已知向量a ,b 是两个非零向量，00,a b 是与a ,b 同标的目的的单位向量，那么下列各式正确的是

A. 00a b =

B. 00a b =或00a b =-

C. 01a =

D. ∣0a ∣=∣0b ∣

3.空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA ＋CD －CB 等于( )．

A ．D

B B ．A

C C ．AB

新人教A版高中数学(选修2-1)3.1《空间向量及其运算》(空间向量及其加减运算)word学案

讲练学案部分

§3.1.1空间向量及其加减运算

知识点一空间向量的概念

判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．

①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；

②②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四

边形的充要条件是=；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共

线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A、B、C、D可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，与共线，虽起点不同，但终点却相同.

【反思感悟】解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．

下列说法中正确的是()

A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|

C．空间向量的减法满足结合律

D.在四边形ABCD中，一定有+=

答案 B

解析|a|=|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b=-a故|a|=|b|，从而B

+=AC，只有平行四边形才能成立.故A、C、D.

知识点二空间向量的加、减运算

如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．

（1）1AA +11B A ；（2）2111B A + 2

人教版高中数学选修2-1空间向量及其运算导学案

3.1.1 空间向量及其运算

【使用说明及学法指导】

1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；

2．小组合作，动手实践。

【学习目标】

1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题

【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

一、自主学习

1.预习教材P 84～ P 86, 解决下列问题

复习1：平面向量基本概念：

具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有，，和共三种方法.

复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：

1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.

2. 实数与向量的积：

实数λ与向量a 的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：

(1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与b ；

当λ＜0时，λa 与b ；

当λ＝0时，λa ＝ .

3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？

加法交换律：a ＋b ＝b ＋a

加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）

数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 2.导学提纲

1.空间向量中的零向量，单位向量，相等向量分别如何表示：__________、_________、_____________.

2.分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +-.

3.1.1 空间向量及其加减运算-2020-2021学年高二数学教材配套学案(人教A版选修2-1)

第三章空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算

3．1．1空间向量及其加减运算

新知初探⍓

知识点1. 空间向量的概念

【思考】类比平面向量的概念，能否给出空间向量的概念？【答案】能。在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.

【要点】 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.

空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量

知识点2. 空间向量的加减运算及运算律

【思考】下面给出了两个空间向量a 、b ，作出b ＋a ，b －a .

【答案】如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，AB →＝OB →－OA →

＝b －a .

【要点】(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.

OB →＝OA →＋AB →

＝a ＋b ，

CA →＝OA →－OC →

＝a －b . (2)空间向量加法交换律 a ＋b ＝b ＋a ，空间向量加法结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).

自我测评⍓

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同( ) (2)零向量没有方向( )

(3)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致( ) 【答案】(1)√ (2)× (3)√