江西吉安重点高中高二上学期第一次联考数学(理)试卷含答案

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江西省重点中学协作体2024届高三一模数学试题含答案解析

江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考数学试卷命题：新余一中何幼平吉安县中刘泰峥孔丽华（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.己知集合{}{}22150,sin A x x x B y y x =∈--≤==N ∣∣，则A B = （）A.{11}x x -≤≤∣ B.{0,1}C.{1,0,1}- D.{1}2.在复平面内，复数z 对应的点在第三象限，则复数2024(1i)z ⋅+对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知π31sin ,ln ,522a b c ===，则（）A .a b c>> B.c a b>> C.c b a>> D.a c b>>4.已知2sin 3αα=+，则πsin(26α-=（）A.18-B.78-C.34D.785.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12F F 、，点M 为1F 关于渐近线的对称点．若122MF MF =，且12MF F △的面积为8，则C 的方程为（）A .2214y x -= B.2214x y -= C.22128x y -= D.221416x y -=6.如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O 的圆心为正六边形的中心，若点M 在正六边形的边上运动，动点A ，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则MA MB ⋅的取值范围为（）A.[]4,5 B.[]5,7 C.[]4,6 D.[]5,87.中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为13，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（）A.19B.527C.481D.82438.已知函数()f x 及其导函数()f x '定义域均为R ，记()()1g x f x '=+，且(2)(2)4f x f x x +--=，()3g x +为偶函数，则()()717g g '+=（）A.0B.1C.2D.3二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m 被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D.若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为1610.已知函数()112ee 2x xf x x x --=++-，若不等式()2(2)3f a f x -<+对任意的x ∈R恒成立，则实数a 的取值可能是（）A.4- B.12-C.1D.211.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 是棱11A B 的中点．P 是平面11CDD C 上的动点(如图)，则下列说法正确的是（）A.若点P 在线段1C D 上，则//BP 平面11B D AB.平面1PBD ⊥平面11AC DC.若1MBP MBD ∠=∠，则动点P 的轨迹为抛物线D.以1ABA △的一边1A B 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥1A BDC -体积的取值范围为1212,612612⎡-+⎢⎣⎦三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.62()x x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中24x y 的系数为___________．13.已知正数x ，y 满足6x y +=，若不等式2212x y a x y ≤+++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．14.斐波那契数列(Fibonacci sequence)，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：{}*01121220241,1,(2,,,,,),n n n a a a a a n n A a a a B A --===+≥∈=⊆N 且B ≠∅中，则B 中所有元素之和为奇数的概率为____．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，已知内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ABCD 是线段BC 上靠近点B 的一个三等分点，1AD =．（1）若π3ADC ∠=，求c ；（2）若22411b c +=，求sin BAC ∠的值．16.如图，在三棱锥D ABC -中，7,5AB AD BD AC BC CD ======．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若E 是线段CD 上的点，且4CD CE =，求二面角E AB C --的正切值．17.已知椭圆22:195x y E +=的左右顶点分别为A 、B ，点C 在E 上，点()()6,,6,M N M y N y 分别为直线AC BC 、上的点.（1）求M N y y ⋅的值；（2）设直线BM 与椭圆E 的另一个交点为D ，求证：直线CD 经过定点.18.设(),X Y 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为(),i j a b ，其中,i j ∈*N ，令(),ij i j p P X a Y b ===，称(),ij p i j ∈*N是二维离散型随机变量(),X Y 的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；(),X Y 1b 2b 3b ⋅⋅⋅1a 11p 12p 13p ⋅⋅⋅2a 21p 22p 23p ⋅⋅⋅3a 31p 32p 33p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅现有()n n ∈*N个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X ，落入第2号盒子中的球的个数为Y ．（1）当2n =时，求(),X Y 的联合分布列，并写成分布表的形式；（2）设()0,,n k m p P X k Y m k ====∈∑N 且k n ≤，求0nkk kp=∑的值．（参考公式：若()~,X B n p ，则()01nn kk k n k kC p p np -=-=∑）19.已知函数()()2ln 21f x x x a x =-+（a ∈R ）.（1）若1a =-，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）.①求a 的取值范围；②求证：21132x x a->-.江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考数学试卷命题：新余一中何幼平吉安县中刘泰峥孔丽华（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.己知集合{}{}22150,sin A x x x B y y x =∈--≤==N ∣∣，则A B = （）A.{11}xx -≤≤∣ B.{0,1}C.{1,0,1}- D.{1}【答案】B 【解析】【分析】求出,A B 后利用交集的定义可求A B ⋂.【详解】{}{}252150|30,1,2,32A x x x x x ⎧⎫=∈--≤=∈-≤≤=⎨⎬⎩⎭NN ∣,而{}{}sin |11B yy x y y ===-≤≤∣，故{0,1}A B = ，故选：B2.在复平面内，复数z 对应的点在第三象限，则复数2024(1i)z ⋅+对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由复数的运算，即可得到结果.【详解】因为()()()10125062101210122220241011i 2(i 21i)i 2⎡⎤===⎣⎦++=，且复数z 对应的点在第三象限，则12020142(1i)2z z =⋅+⋅对应的点也在第三象限.故选：C 3.已知π31sin ,ln ,522a b c ===，则（）A.a b c >>B.c a b>> C.c b a>> D.a c b>>【答案】D 【解析】【分析】利用正弦函数的单调性可得a c >，利用导数可证不等式ln 1(1)x x x <->成立，故可判断b c <，故可得三者大小关系.【详解】ππ1sinsin 562a c =>==，设()ln 1,1f x x x x =+->，则()10xf x x-'=<，故()f x 在()1,+∞上为减函数，故()()10f x f <=即ln 1(1)x x x <->，所以33ln 122b c =<-=，故a c b >>，故选：D.4.已知2sin 3αα=+，则πsin(26α-=（）A.18-B.78-C.34D.78【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得.【详解】由2sin 3αα=+，得133sin cos 224αα-=，即π3sin()34α-=，所以228πs ππππ31()c 3in(2)sin 2os ()12sin ()12(3263[42αααα-+=-=---⨯==--=.故选：A5.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12F F 、，点M 为1F 关于渐近线的对称点．若122MF MF =，且12MF F △的面积为8，则C 的方程为（）A.2214y x -= B.2214x y -= C.22128x y -= D.221416x y -=【答案】C 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式、勾股定理结合三角形面积公式可解.【详解】记1F M 与渐近线0bx ay +=相交于点N ，由题可知，ON 为12MF F △的中位线，且1ON F M ⊥，所以21F M F M ⊥，因为焦点()1,0F c -到渐近线0bx ay +=的距离1F N b ==，所以12F M b =，222F M ON a ===，则12121282F F M S MF MF ab === ，又122MF MF =，即2b a =，联立282ab b a =⎧⎨=⎩解得222,8a b ==，所以C 的方程为22128x y -=.故选：C6.如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O 的圆心为正六边形的中心，若点M 在正六边形的边上运动，动点A ，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则MA MB ⋅的取值范围为（）A.[]4,5 B.[]5,7 C.[]4,6 D.[]5,8【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得21M MO A MB -⋅= ，再由MO的范围，即可得到结果.【详解】由题意可得，()()()()MA MB MO OA MO OB MO OA MO OA⋅=+⋅+=+⋅-2221MO OA MO =-=- ，当OM 与正六边形的边垂直时，minMO =当点M 运动到正六边形的顶点时，maxMO =，所以MO ∈ ，则[]26,8MO ∈ ，即()[]25,71M MA MB O ⋅-=∈ .故选：B7.中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为13，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（）A.19B.527C.481D.8243【答案】D 【解析】【分析】根据丙是最高分可得丙余下两场比赛全赢，再就甲乙、甲丁的输赢（丙的第一场对手若为甲）分类讨论后可得正确的选项.【详解】三队中选一队与丙比赛，丙输，131C 3⨯，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意.若丙全赢（概率是21()3）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，（1）若甲乙，甲丁两场比赛中甲一平一输，则一平一输的概率是1221C ()3，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是23，（2）若甲乙，甲丁两场比赛中甲两场均平，概率是21(3，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，（3）若甲乙，甲丁两场比赛中甲都输，概率是21()3，乙丁这场比赛只能平，概率是13.综上，概率为12122232511121118C ([C ()((]33333333⨯⨯⨯⨯⨯++⨯=，D 正确．故选：D.8.已知函数()f x 及其导函数()f x '定义域均为R ，记()()1g x f x '=+，且(2)(2)4f x f x x +--=，()3g x +为偶函数，则()()717g g '+=（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】对(2)(2)4f x f x x +--=两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可.【详解】因为()3g x +为偶函数，()()1g x f x '=+，所以()()44f x f x ''+=-+，对(2)(2)4f x f x x +--=两边同时求导，得(2)(2)4f x f x ''++-=，所以有(4)()4(4)()4(4)()4(8)(),f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''++-=⇒-+-=⇒++=⇒+=所以函数()f x '的周期为8，在(2)(2)4f x f x ''++-=中，令0x =，所以(2)2f '=，因此()()()171822g f f ''===，因为()3g x +为偶函数，所以有()()()()()()()3373311g x g x g g x g x g ''=-⇒=--⇒=-'+-'+，()()()()()()()(8)()7171712f x f x g x g x g x g x g g ''''''+=⇒+=-⇒+=-⇒=-，由()()1,2可得：()70g '=，所以()()7172g g '+=，故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是对(2)(2)4f x f x x +--=两边同时求导，再利用赋值法进行求解.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体m 被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D.若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为16【答案】AD 【解析】【分析】利用概率对于即可判断A ；根据平均数求得m 的值，然后利用方差公式求解即可判断B ；根据百分位数的求法即可判断C ；利用方差公式求解即可判断D.【详解】对于A ，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为150，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为11100.2055⨯==，故A 正确；对于B ，数据1，2，m ，6，7的平均数是4，4512674m =⨯----=，这组数据的方差是()()()()()222222114244464745s ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=265，故B 错误；对于C ，8个数据50百分为850%4⨯=，第50百分位数为1719=182+，故C 错误；对于D ，依题意，()28D x =，则()()2221216D x D x -=⨯=，所以数据121021,21,,21x x x --⋯-的标准差为16，D 正确；故选：AD.10.已知函数()112ee 2x xf x x x --=++-，若不等式()2(2)3f a f x -<+对任意的x ∈R恒成立，则实数a 的取值可能是（）A.4-B.12-C.1D.2【答案】BCD 【解析】【分析】先根据函数解析式判断对称性，再结合导数判断单调性，根据对称性和单调性得出答案.【详解】因为()112ee 2x xf x x x --=++-，所以()()()()2112e e 222x x f x x x f x ---=++---=，即函数()f x 的图象关于直线1x =对称.当1x >时，()22211y x x x =-=--为增函数；令()11ee x x g x --=+，则()11e e x x g x ---'=，1x >时，1e 1x ->，1e 1x -<，所以()0g x '>，所以()11ee x x g x --=+为增函数，所以当1x >时，()f x 为增函数.由对称性可知，当1x <时，()f x 为减函数.因为()2(2)3f a f x -<+恒成立，所以212a x -<+恒成立，即12a -<，解得13a -<<.故选：BCD.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 是棱11A B 的中点．P 是平面11CDD C 上的动点(如图)，则下列说法正确的是（）A.若点P 在线段1C D 上，则//BP 平面11B D AB.平面1PBD ⊥平面11AC DC.若1MBP MBD ∠=∠，则动点P 的轨迹为抛物线D.以1ABA △的一边1A B 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥1A BDC -体积的取值范围为11,612612⎡-+⎢⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】利用面面平行证线面平行可判定A 项；利用线面垂直证面面垂直可判定B 项；利用平面截圆锥的结论可判定C 项；先确定A 的轨迹，取11,AB DC 中点分别为N ，Q ，可证平面1BDC ⊥平面BNQ ，利用空间位置关系确定动点A 距离底1BDC 的最值即可判定D 项.【详解】对于A 项，如图所示，连接对应面对角线，根据正方体的性质可知：11//BD B D ，BD ⊄平面11B D A ，11B D ⊂平面11B D A ，∴//BD 平面11B D A ，同理可知1//C D 平面11B D A ，又11,BD DC BD DC ⊂ 、平面1BC D ，∴平面1//BC D 平面11B D A ，又1P C D ∈，∴BP ⊂平面1BC D ，∴//BP 平面11B D A ，故A 正确;对于B 项，易知1BB ⊥面1111D C B A ，11AC ⊂面1111D C B A ，则111A C B B ⊥，又11111111111,,AC B D B D BB B B D BB ⊥=⊂ 、平面1BB D ，∴11A C ⊥平面1BB D ，而1BD ⊂平面1BB D ，∴111BD A C ⊥，同理11BD DC ⊥，又1111111,DC AC C DC AC =⊂ 、平面11AC D ，∴1BD ⊥平面11AC D ，又∵1BD ⊂平面1PBD ，∴平面1PBD ⊥平面11AC D ，故B 正确;对于C 项，因为BM 为定直线，1D BM ∠是定角，1D 到BM 的距离为定值，所以1MBP MBD ∠=∠时，P 在以BM 为旋转轴，1D 到BM 的距离为半径的圆锥上，又//BM平面11CDD C ，故平面11CDD C 截圆锥的轨迹为双曲线的一支，即C 错误；对于D 项，设11,AB DC 中点分别为N ，Q ，则点A 的运动轨迹是平面11AB C D 内以N 为圆心，22为半径的圆(如图)，易知11,,,DC NQ DC BQ NQ BQ Q NQ BQ ⊥⊥=⊂ 、平面BNQ ，∴1DC ⊥平面BNQ ，∵1DC ⊂平面1BDC ，∴平面1BDC ⊥平面BNQ ，而232sin 3NBNQB BQ∠==，设NQ 与圆的交点分别为E ，F (点E 位于点F ，Q 之间，如上图所示)，易知当点A 分别位于点E ，F 时，点A 到平面1BDC 的距离分别取到最小值和最大值，且距离的最小值min 2231sin 1223d NQB ⎛⎫⎛⎫=-⋅∠=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，距离的最大值max2231sin 1223d NQB ⎛⎫⎛⎫=+⋅∠=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵1BDC的面积21sin 6022S =⋅⋅=，minmax 11111132236123223612V V ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅=-=⋅⋅+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选项D 正确．综上，正确选项为ABD ．故选：ABD【点睛】本题难点在判定CD 选项，C 项需要利用平面截圆锥曲线（不过圆锥顶点）来判定即可（当且仅当平面平行于圆锥底面时截圆锥所得图形为圆，慢慢倾斜平面至与圆锥母线平行之前截圆锥得图形均为椭圆，当且仅当平面与圆锥的母线平行时所截图形为抛物线，再倾斜平面直至与圆锥的轴平行时所截图形均为双曲线的一支）；D 项需要先确定旋转过程中A 的轨迹，再判定A 到面1BDC 的距离最值.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.62()x x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中24x y 的系数为___________．【答案】24【解析】【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案.【详解】二项式6()x y +的展开式通项公式为616C ,6,N rrr r T xy r r -*+=≤∈，当4r =时，4242456C 15T x y x y ==，当=5r 时，515566C 6T x y xy ==，因此展开式中含24x y 的项为245242156()24x x y xy x y y⨯+⋅-=，故所求系数为24.故答案为：24.13.已知正数x ，y 满足6x y +=，若不等式2212x y a x y ≤+++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】(],4∞-【解析】【分析】将2212x y x y +++变形为1414122431212x y x y x y ++-+++-=++++++，利用均值不等式求1412x y +++的最小值即可求解.【详解】因为6x y +=，所以()()()()2222121124241212x x y y x y t x y x y +-+++-++=+=+++++1414122431212x y x y x y =++-+++-=++++++，所以1412143312912x y t x y x y ⎛⎫+++=++=++ ⎪++++⎝⎭()()()41322322249919299x y x y ++=++≥+⨯=++，等号成立当且仅当4,2y x ==，所以22min412x y x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，实数a 的取值范围是(],4∞-.【点睛】关键点点睛：关键是首先得到221431212x y x y x y +=++++++，进一步结合乘“1”法即可顺利得解.14.斐波那契数列(Fibonacci sequence)，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：{}*01121220241,1,(2,,,,,),n n n a a a a a n n A a a a B A --===+≥∈=⊆N 且B ≠∅中，则B 中所有元素之和为奇数的概率为____．【答案】20232024221-【解析】【分析】记A 中所有偶数组成的集合为C ，所有奇数组成的集合为D ，集合C 的子集为E ，集合D 中含有奇数个元素的子集为F ，则所有元素之和为奇数的集合B 可看成E F ⋃，然后可解.【详解】由斐波那契数列规律可知，集合{}122024,,,A a a a = 中的元素有674个偶数，1350个奇数，记A 中所有偶数组成的集合为C ，所有奇数组成的集合为D ，集合C 的子集为E ，集合D 中含有奇数个元素的子集为F ，则所有元素之和为奇数的集合B 可看成E F ⋃，显然集合E 共有6742个，集合F 共有135134913491350135013501350C C C C 2+++⋅⋅⋅+=个，所以所有元素之和为奇数的集合B 共有67413492023222⨯=个，又集合A 的非空子集共有202421-个，所以B 中所有元素之和为奇数的概率为20232024221-.故答案为：20232024221-【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将集合A 分拆成所有偶数组成的集合及所有奇数组成的集合，利用二项式系数的性质求出含有奇数个奇数组成的集合个数.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，已知内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ABCD 是线段BC 上靠近点B 的一个三等分点，1AD =．（1）若π3ADC ∠=，求c ；（2）若22411b c +=，求sin BAC ∠的值．【答案】（1）373（2）437【解析】【分析】（1）由2CD BD =得2231sin 332ACD ABC S S AD CD ADC ===⋅⋅∠ ，再结合余弦定理从而可求解.（2）由2CD BD =利用向量可得2133AD AB AC =+，并结合22411b c +=得1cos2bc BAC ⋅∠=-，再由1sin 2bc BAC ⋅∠=，从而可求解.【小问1详解】由题可得：2CD BD =，故22333ACD ABC S S ==又1sin 2ACD S AD CD ADC =⋅⋅∠ ，即11223CD ⨯⨯⨯=，83CD ∴=，即43BD =在ABD 中，根据余弦定理得2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅⋅∠即21641121932AB =++⨯⨯⨯3AB ∴=，即3c =，【小问2详解】2CD BD = ，2133AD AB AC ∴=+222414999AD AB AC AB AC ∴=++⋅ ，即22441cos 999c b bc BAC=++⋅∠又22411b c +=，1cos 2bc BAC ∴⋅∠=-①又1sin 2bc BAC ⋅∠=②，由①②得：tan BAC ∠=-sin 7BAC ∴∠=16.如图，在三棱锥D ABC -中，7,5AB AD BD AC BC CD ======．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若E 是线段CD 上的点，且4CD CE =，求二面角E AB C --的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）28【解析】【分析】（1）在ACD 中求CAD ∠和边AC 的高，进而判断ABC ∆≌ADC ∆，最后证明ACD 边AC 的高即为面ABC 的垂线，证明结论即可；（2）先建立空间直角坐标系，分别求出面ABE 和ABC 的法向量，求出两个法向量夹角的余弦值后，利用同角三角函数关系式，求二面角的正切值即可.【小问1详解】证明：在ACD中，2222222cos 22AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅，所以45CAD ∠=︒，过点D 作DO AC ⊥于点O ，连接BO ，则sin sin 453DO AD CAD =⋅∠=︒=，因为AB AD CD CB ==，，所以ABC ≌ADC ，得3OD OB ==，又BD =所以222OB OD BD +=，得OD OB ⊥，又OD AC ⊥，OD OB ⊥，OB AC O = ，AC ⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，所以OD ⊥平面ABC ，因为OD ⊂平面ACD ，OD ⊥平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC .【小问2详解】由（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，如图以O 为原点建立坐标系O xyz -，(3,0,0)(0,3,0)(0,0,3)(4,0,0)A B D C -，，，，因为4CD CE = ，得3(3,0,4E -，设(,,)n x y z =是平面ABE 的一个法向量，则330036004x y n AB x z n AE -+=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩118x y z ===令，则，，得(1,1,8)n =，而(0,0,1)m =是平面ABC 的一个法向量，两个法向量,m n 夹角的余弦值为：46633||||m n m n ⋅=⋅设二面角E AB C --平面角的大小为θ，结合图形得：cos 33θ=，33sin 33θ==，sin 2tan cos 846633θθθ===，所以二面角E AB C --的正切值为28.17.已知椭圆22:195x y E +=的左右顶点分别为A 、B ，点C 在E 上，点()()6,,6,M N M y N y 分别为直线AC BC 、上的点.（1）求M N y y ⋅的值；（2）设直线BM 与椭圆E 的另一个交点为D ，求证：直线CD 经过定点.【答案】（1）15-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）解法一：设11(,)C x y ，根据斜率公式得27M NAM BN y y k k ⋅=，然后根据点C 在椭圆上化简即可求解；解法二：设11(,)C x y ，利用三点共线的向量形式求得1193M y y x =+，1133N y y x =-，结合点C在椭圆上化简即可求解；（2）解法一：联立直线MA 与椭圆E 方程，利用韦达定理得222313530,4545M M M My y C y y -+++（，同理得点D 的坐标为22231510,55M MM M y y y y --++（，分类讨论求得直线CD 的方程，即可求得直线CD 经过的定点；解法二：设直线CD 的方程为：1122(3)(,)(,)x my n n C x y D x y =+≠±，，，联立直线CD 与椭圆E 方程，结合韦达定理利用53BC BD k k ⋅=-求得32n =，从而求得直线CD 经过的定点.【小问1详解】解法一：设11(,)C x y ，由题可知，AC BC AM BN k k k k ⋅=⋅，又27M NAM BNy y k k ⋅=，由21112111339AC BC y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，()11C x y 在E 上，则()22221111519959x y y x +=⇒=-，∴59AC BC k k ⋅=-，15M N y y ∴⋅=-.解法二：设11(,)C x y ，则()()113,,9,M AC x y AM y =+=，∵A 、C 、M 三点共线，∴1193M y y x =+，同理：1133N y y x =-，∴2121279M N y y y x ⋅=-，又11(,)C x y 在曲线E 上，∴()22221111519959x y y x +=⇒=-，代入上式得：15M N y y ⋅=-.【小问2详解】解法一：由题可知，直线MA 的方程为：(3)9My y x =+，联立方程22(3)95945M y y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得：()222245694050M M M y x y x y +++-=，()()222Δ364459405M MMy y y∴=-+-=45>0，2129405345M M y x y --=+ ，∴212313545M My x y -+=+，又11(3)9My y x =+，123045M M y y y ∴=+，222313530,4545M M M M y y C y y -+∴++（，同理可得点D 的坐标为22231510,55M M M My y y y --++（，（i ）当直线CD 垂直于x 轴时，C D x x =，即22223135315455M M M My y y y -+-=++，215M y ∴=，32C D x x ∴==，此时直线CD 的方程为32x =；（ii ）当直线CD 不垂直于x 轴时，22222230104553135315455M MM M CDM M M My y y y k y y y y +++=-+--++34203003675M MM y y y +=-+，故直线CD 的方程为322421020300315536755M M M M M M M y y y y y x y y y +-+=-+-++（，令0y =，则222422303151536755M M M M M y y x y y y ⎛⎫+-=- ⎪+-++⎝⎭，整理得424236022532401502M M M M y y x y y ++==++，此时直线CD 经过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭综上，直线CD 经过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.解法二：由393M M AC BM BM AC y yk k k k ===，得，又11115339AC BC y y k k x x ⋅=⋅=-+-，∴533BC BD BC AC k k k k ⋅=⋅=-，由题可得直线CD 显然不与x 轴平行，设直线CD 的方程为：1122(3)(,)(,)x my n n C x y D x y =+≠±，，，由225945x my nx y =+⎧⎨+=⎩得222(59)105450m y mny n +++-=，12221221059Δ054559mn y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+>⎨-⎪⋅=⎪+⎩由得，又121233BC BD y y k k x x ⋅=⋅--1212(3)(3)y y my n my n ⋅=+-+-1222121212()3()69y y m y y mn y y m y y n n ⋅=++-++-+2254595481n n n -=-+，由225455954813n n n -=--+得32n =或3n =（舍去），∴直线CD ：32x my =+，∴直线CD 经过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.18.设(),X Y 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为(),i j a b ，其中,i j ∈*N ，令(),ij i j p P X a Y b ===，称(),ij p i j ∈*N是二维离散型随机变量(),X Y 的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；(),X Y 1b 2b 3b ⋅⋅⋅1a 11p 12p 13p ⋅⋅⋅2a 21p 22p 23p ⋅⋅⋅3a 31p 32p 33p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅现有()n n ∈*N个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X ，落入第2号盒子中的球的个数为Y ．（1）当2n =时，求(),X Y 的联合分布列，并写成分布表的形式；（2）设()0,,n k m p P X k Y m k ====∈∑N 且k n ≤，求0nkk kp=∑的值．（参考公式：若()~,X B n p ，则()1nn kk k n k kC p p np -=-=∑）【答案】（1）答案见解析（2）3n【解析】【分析】（1）X 的取值为0，1，2，Y 的取值为0，1，2，分别计算概率即可；（2）计算得12C 33kn kk k np -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则0012C 33k n k nnk k n k k kp k -==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑，最后利用二项分布的期望公式即可得到答案.【小问1详解】若2n =，X 的取值为0，1，2，Y 的取值为0，1，2，则()2110,039P X Y ====，()121120,1C 339P X Y ===⨯⨯=，()2110,239P X Y ====，()121121,0C 339P X Y ===⨯⨯=，()121121,1C 339P X Y ===⨯⨯=，()2112,039P X Y ====，()()()1,22,12,20P X Y P X Y P X Y =========，故(),X Y 的联合分布列为(),X Y 0120192919129290219【小问2详解】当k m n +>时，(),0P X k Y m ===，故()()0001,,C C 3nn kn kk m k n n k n m m m p P X k Y m P X k Y m P ---===⎛⎫=======⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑0C C 12C2C 3333k n kk k n kmn k k nn n kn n n m ----=⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑所以0012C 33k n k nnk k n k k kp k -==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑，由二项分布的期望公式可得03n k k nkp ==∑．19.已知函数()()2ln 21f x x x a x =-+（a ∈R ）.（1）若1a =-，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）.①求a 的取值范围；②求证：21132x x a->-.【答案】（1）520x y --=（2）①10,4⎛⎫⎪⎝⎭；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用切点和导数几何意义即可求解；（2）①令()()ln 41g x f x x ax ==-+'，由题意可知，()g x 在()0,∞+有两个不相等的实数根，根据()g x 的单调性结合零点的存在性定理分类讨论求解即可；②由①分析得21114x x a ->-，121214ln ln x x a x x -=-，令()()21ln 1x h x x x -=-+，可得()h x 在()0,1上单调递增，因为121x x <，所以()121x h h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，根据不等式性质计算即可得证.【小问1详解】若1a =-，则()2ln 21f x x x x =++，所以()ln 14f x x x =++'，所以()1145f =+='，又()1213f =+=，所以()f x 的图象在1x =处的切线方程为()351y x -=-，即520x y --=.【小问2详解】①由题意知()ln 14f x x ax =+-'.令()()ln 41g x f x x ax ==-+'，则()14g x a x=-'.因为()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），所以()0g x =有两个不等正实根1x ，2x （12x x <）.若0a ≤，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()g x 在()0,∞+上至多有一个零点，不符合题意；若0a >，令()0g x '=，解得14x a=，所以当104x a <<时，()0g x '>，当14x a >时，()0g x '<，所以()g x 在10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,4a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以14x a =时，()g x 取得极大值，即最大值为()1ln 44g a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()1ln 404g a a ⎛⎫=->⎪⎝⎭，解得104a <<.当104a <<时，104g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又140e e a g -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以1104e g g a ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在性定理知：存在唯一的111,e 4x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x =.又2221114ln 412ln 1g a a a a a a ⎛⎫=-⋅+=--+⎪⎝⎭，令()42ln 1x x x μ=--+，所以()222442xx x x xμ-=-+='，所以当02x <<时，()0x μ'>，当2x >时，()0x μ'<，所以()x μ在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以()()42ln 122ln 210a a aμμ=--+≤=--<，所以210g a ⎛⎫<⎪⎝⎭，所以21104g g a a ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在性定理知：存在唯一的2211,4x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20g x =.所以当10a 4<<时，()0g x =有两个不等正实根1x ，2x .综上，a 的取值范围是10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.②证明：由①知10a 4<<，且12104x x a <<<，所以114a>，因为()g x 在10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，及()1140g a =->，所以11<x ，又214x a >，所以21114x x a->-.因为()10g x =，()20g x =，所以11ln 410x ax -+=，22ln 410x ax -+=，所以()1212ln ln 4x x a x x -=-，所以121214ln ln x x a x x -=-.令()()21ln 1x h x x x -=-+（01x <<），所以()()()()222114011x h x x x x x -'=-=>++，所以()h x 在()0,1上单调递增，因为12x x <，所以121x x <，所以()1210x h h x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+，所以121212ln ln 2x x x x x x -+<-，所以12121214ln ln 2x x x x a x x -+=<-，所以1212x x a+>.所以()()211221111322222x x x x x x a a a-=++->+-=-.【点睛】本题证明的关键在于构造函数()()21ln 1x h x x x -=-+，进而求证12121214ln ln 2x x x x a x x -+=<-，再运用不等式性质即可证明.。

江西省吉安市第一中学高二上学期第一次月考数学(理)试题含答案

2019—2020学年度上学期第一次月考高二数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若,A B 表示点,a 表示直线,α表示平面,则下列叙述中正确的是( )A ．若,AB αα⊂⊂,则AB α⊂ B ．若,A B αα∈∈,则AB α∈C ．若,A a a α∉⊂,则AB α∉D ．若A a ∈,a α⊂,则A α∈2．已知正三角形ABC 的边长为2，那么△ABC 的直观图A B C '''∆的面积为( )A ．43B ．26C ．46D ．33．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a ( )A ． 172B ． 10C ．192D ．12410=为不含根式的形式是（）A ．2212516x y += B ．221259x y += C ． 2211625x y += D ． 221925x y += 5．若直线022=+-y x 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）A. 1522=+y x B. 15422=+y x C.1522=+y x 或15422=+y x D ．以上答案都不对6. 若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则1y x +的最大值为( )A.0B. 1C.43D. 27．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y +++=C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y -++=8. 设1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆ 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为A.12 B.34 C.23 D.459．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2<，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能10．已知 (4,4)P --，Q 是椭圆22216x y +=上的动点，M 是线段PQ 上的点，且满足13PM MQ =，则动点M 的轨迹方程是（）A ．22(3)2(3)1x y -+-=B ．22(3)2(3)1x y +++=C ．22(1)2(1)9x y +++=D ．22(1)2(1)9x y -+-=11．直线1y kx =+，当k 变化时，此直线被椭圆2214x y +=截得的最大弦长为（）A ．4B ．2CD12．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ， |34||349|x y a x y -++--的取值与,x y 无关，则实数a 的取值范围是（）A. 4a ≤-B.46a -≤≤ C ．4a ≤或6a ≥ D.6a ≥二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆22136x y m+=短轴的长为8，则实数m =_________________.14．已知直线l ：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.15．已知点P 是椭圆221164x y +=上一点，其左、右焦点分别为12,F F ，若12F PF ∆的外接圆半径为4，则12F PF ∆的面积是__________．16. 已知从圆22:(1)(2)2C x y ++-=外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ， O 为坐标原点，且有||||PM PO =，则当||PM 取得最小值时点P 的坐标为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．(本小题满分10分)已知两直线()12:40,:10l ax by l a x y b -+=-++=．求分别满足下列条件的,a b 的值．（Ⅰ）直线1l 过点()3,1--，并且直线1l 与2l 垂直；（Ⅱ）直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l ，2l 的距离相等．18. (本小题满分12分)（Ⅰ）求以原点O 为圆心，被直线10x y -+=的圆的方程．（Ⅱ）求与圆()()22125x y -+-=外切于（2，4）点且半径为.已知圆C 的方程为224x y +=．（Ⅰ）求过点(2,1)P 且与圆C 相切的直线的方程；（Ⅱ）圆C 有一动点000(,),(0,)M x y ON y =，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程．20．(本小题满分12分)已知椭圆C :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值.过点(4,3)M 的动直线l 交x 轴的正半轴于A 点，交y 轴正半轴于B 点.（Ⅰ）求△OAB (O 为坐标原点)的面积S 最小值，并求取得最小值时直线l 的方程. （Ⅱ）设P 是△OAB 的面积S 取得最小值时△OAB 的内切圆上的动点，求222u PO PA PB =++的取值范围.22. （本小题满分12分）已知椭圆C 中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点P ，直线l 与椭圆交于A ,B 两点（A ,B 两点不是左右顶点），若直线l 的斜率为12时，弦AB 的中点D 在直线12y x =-上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程.（Ⅱ）若以A ,B 两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l 是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.高二数学（理）试卷参考答案一、选择题 DCCCC DCBAB CD 二、填空题13. 16 14. 4 15.16. 33(,)105- 三、解答题 17．【答案】（Ⅰ）340a b -++= （Ⅱ） 2,2a b ==-或2,23a b ==【解析】（Ⅰ）∵12l l ⊥，∴()()110a a b -+-⋅=，即20a a b --=①又点()3,1--在1l 上，∴340a b -++=② 由①②得2,2a b ==．…………………………5分（Ⅱ）∵12//l l ，∴1a a b =-，∴1ab a=-，故1l 和2l 的方程可分别表示为：()()4110a a x y a --++=，()101aa x y a-++=-，又原点到1l 与2l 的距离相等．∴141a a a a -=-，∴2a =或23a =， ∴2,2ab ==-或2,23a b ==．…………………………10分 18. 【答案】（Ⅰ） 222x y += （Ⅱ） ()()224820x y -+-= 【解析】（Ⅰ）因为O 点到直线10x y -+=的距离为d =，所以圆O 的半径为=，故圆O 的方程为222x y +=.…………………………6分（Ⅱ）连心线斜率42221k -==-，设所求圆心(a ,b )，则221b a -=-，解得 2b a =………①=………②由①②解得，48a b =⎧⎨=⎩或24a b =-⎧⎨=-⎩，……………10分经检验，当24a b =-⎧⎨=-⎩≠所以，所求圆的方程为()()224820x y -+-=.…………………………12分19．【答案】（Ⅰ） 234100x x y =+-=或（Ⅱ）22+1416x y = 【解析】（Ⅰ）当斜率不存在时, 2x =满足题意；当斜率存在时，设切线方程为1(2)y k x -=-2=得， 34k =-.则所求的切线方程为234100;x x y =+-=或……………6分（Ⅱ）设Q 点的坐标为(,)x y ,000(,),(0,),M x y ON y OQ OM ON ==+0000(,)(,2),,2,x y x y x x y y ∴=∴==22224,()42y x y x +=∴+=，即22+1.416x y =…12分 20．【答案】（Ⅰ） 2213x y += （Ⅱ） [72， 88] 【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=． …………………………4分（2）设11()A x y ，，22()B x y ，．①当AB x ⊥轴时，AB =．…………………………5分 ②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．=，得223(1)4m k =+．…………………………7分把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．…………………………9分22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠≤+=++⨯+++．当且仅当2219k k =，即k =时等号成立．当0k =时，AB =，综上所述max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=．…………12分21. (1)解：设l 斜率为K ，则l ：y-3=k(x-4)得A （4－3k，0），B （0，3－4k ）（k<0）. 11319||||(4)(34)12[16()24222()S OA OB k k k k =⋅=--=+-+≥-, 由9316()4k k k -=-⇒=-，故min 24∴=S ，:34240l x y +-=.…………………6分（Ⅱ）△OAB 面积S 最小时，A （8，0），B （0，6），｜AB ｜＝10，直角△OAB 内切圆半径1()22r a b c =+-=，圆心为Q （2，2），内切圆方程为(x －2)2+(y -2)2＝4. …………………………8分设P （x,y ），则x 2+y 2-4x-4y+4=0，其中0≤x≤4.U=|PO|2+|PA|2+|PB|2=x 2+y 2+(x-8)2+y 2+x 2+(y-6)2=3x 2+3y 2－16x-12y+100＝88-4x(0≤x≤4),当x=0时，U max ＝88，当x=4时，U min ＝72∴U 的范围是[72，88].………………………………………12分22.【答案】（Ⅰ）2214x y += （Ⅱ）6(,0)5【解析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，11(,)A x y ，22(,)B x y由题意得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩经过变换则有当121212y y x x -=-时，121212y y x x +=-+，再根据 2221222212y y b x x a -=--得到224a b=，又因为椭圆过得到2,1a b ==，所以椭圆的方程为：2214x y +=.…………………………5分（Ⅱ）由题意可得椭圆右顶点2(2,0)A ，220AA BA ⊥=⑴当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为0x x =，此时要使以A ,B 两点为直径的圆过椭02x =-解得065x =或02x =（舍），此时直线l 为65x =…………………………6分 ⑵当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，则有12121242()0x x x x y y +-++=，化简得221212(1)(2)()40k x x kb x x b ++-+++=①…………………………8分联立直线和椭圆方程2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kbx b +++-=， 22140k b ∆=+->， 2121222844(),4141kb b x x x x k k --+==++②…………………………10分把②代入①得22222448(1)(2)404141b kb k kb b k k --++-++=++ 即22222222224444816(4164)k b k b k b kb k b k b -+--+=-+++22121650k kb b ++=，得12k b =-或56k b =-此时直线l 过6(,0)5或(2,0)（舍）综上所述直线l 过定点6(,0)5.…………………………12分。

江西省吉安市第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题理(含解析)

江西省吉安市第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.若A，B表示点，a表示直线，α表示平面，则下列叙述中正确的是（）A. 若,,则B. 若,,则C. 若,,则D. 若,,则2.已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为（）A. B. C. D.3.已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A. B. C. 10 D. 124.化简方程=10为不含根式的形式是（）A. B. C. D.5.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）A. B.C. 或D. 以上答案都不对6.若x，y满足，则的最大值为（）A. 0B. 2C.D. 17.与直线x﹣y﹣4＝0和圆x2+y2+2x﹣2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是（）A. B.C. D.8.设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A. B. C. D.9.设椭圆的离心率为,右焦点为,方程的两个实根分别为和,则点( )A. 必在圆外B. 必在圆上C. 必在圆内D. 以上三种情形都有可能10.已知P（-4，-4），Q是椭圆x2+2y2=16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足PM=MQ，则动点M的轨迹方程是（）A. B.C. D.11.直线y＝kx+1，当k变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是（）A. 4B. 2C.D. 不能确定12.若对圆（x-1）2+（y-1）2=1上任意一点P（x，y），|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（）A. B. C. 或 D.二、填空题（本大题共4小题）13.椭圆短轴的长为8,则实数______．14.已知直线l:与圆交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，则_____________.15.已知点P是椭圆+＝1上一点，其左、右焦点分别为F1、F2，若△F1PF2的外接圆半径为4，则△F1PF2的面积是．16.已知从圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为．三、解答题（本大题共6小题）17.已知两直线l1：ax-by+4=0，l2：（a-1）x+y+b=0．求分别满足下列条件的a，b的值．（1）直线l1过点（-3，-1），并且直线l1与l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．18.Ⅰ求以原点O为圆心,被直线所得的弦长为的圆的方程．Ⅱ求与圆外切于点且半径为的圆的方程．19.已知圆的方程为．（Ⅰ）求过点且与圆相切的直线的方程；（Ⅱ）圆有一动点，若向量，求动点的轨迹方程．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB 面积的最大值．21.过点M（4，3）的动直线l交x轴的正半轴于A点，交y轴正半轴于B点．（Ⅰ）求△OAB（O为坐标原点）的面积S最小值，并求取得最小值时直线l的方程．（Ⅱ）设P是△OAB的面积S取得最小值时△OAB的内切圆上的动点，求u=|PO|2+|PA|2+|PB|2的取值范围．22.已知椭圆C中心在坐标原点，焦点在x轴上，且过点P，直线l与椭圆交于A，B两点（A，B两点不是左右顶点），若直线l的斜率为时，弦AB的中点D在直线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）若以A，B两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：点与面的关系用符号∈，而不是⊂，所以答案A错误；直线与平面的关系用⊂表示，则AB∈α表示错误；点A不在直线a上，但只要A，B都在平面α内，也存在AB⊂α，答案C错误；而A∈a，a⊂α，则A∈α，所以答案D正确．故选：D．本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可．立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位．2.【答案】D【解析】解：如图所示，直观图△A′B′C′的高为h=C′D′sin45°=CD sin45°=×2×sin60°×sin45°=，底边长为A′B′=AB=2；所以△A′B′C′的面积为：S=AB•h=×2×=．故选：D．作出原图三角形与直观图形，再求直观图形的面积．本题考查了平面直观图形的三角形面积计算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴8a1+×1=4×（4a1+），解得a1=．则a10=+9×1=．故选：B．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的定义，考查方程的几何意义，考查椭圆的标准方程，是个简单题．方程=10，它的几何意义是动点P（x，y）到定点（0，-3）与到定点（0，3）的距离之和为10，从而轨迹为椭圆，故可求．【解答】解：方程=10，它的几何意义是动点P（x，y）到定点（0，-3）与到定点（0，3）的距离之和为10＞6，从而轨迹为椭圆，焦点在y轴上，且a =5，c=3，∴b=4，其标准方程为：故选：C．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,属于基础题.分类讨论椭圆的焦点在x轴和y轴上求解即可.【解答】解: 直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1,当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上可得，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.故选C.6.【答案】B【解析】解：作出不等式式表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部其中C（1，1），设P（x，y）为区域内点，定点D（0，-1）．z===2，z的最大值为：2．故选：B．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部．设P（x，y）为区域内一点，定点D（0，-1），可得目标函数的表示P、O两点连线的斜率，运动点P并观察直线PD斜率的变化，即可得到z的最大值．本题给出二元一次不等式组，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和直线的斜率等知识，是中档题．7.【答案】C【解析】【分析】由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径．本题主要考查了由题意求圆的标准方程，作为选择题可结合选项做题，这样可提高做题的速度．【解答】解：由题意圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为（-1，1），半径为，∴过圆心（-1，1）与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，∴圆心（-1，1）到直线x-y-4=0的距离为=3，则所求的圆的半径为，故选：C．8.【答案】C【解析】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的基本性质，考查点与圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．通过e=可得=，利用韦达定理可得x1+x2=-、x1x2=-，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论．【解答】解：∵e==，∴=，∵x1，x2是方程ax2+bx-c=0的两个实根，∴由韦达定理：x1+x2=-=-，x1x2==-，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=+1=＜2，∴点P（x1，x2）必在圆x2+y2=2内．故选：C．10.【答案】B【解析】解：椭圆x2+2y2=16 即=1，设动点M（x，y），Q（m，n），则有=1 ①．∵=，∴，∴m=4（x+3），n=4（y+3），代入①化简可得（x+3）2+2（y+3）2=1，故选：B．设动点M（x，y），Q（m，n），则有=1 ①，由=，得到m=4（x+3），n=4（y+3），代入①化简可得结果．本题考查用代入法求点的轨迹方程，得到，是解题的关键．11.【答案】C【解析】解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ）,∴|PQ|2=（2cosθ）2+（sinθ-1）2=-3sin2θ-2sinθ+5∴当sinθ=-时，∴，故选C.直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ），利用三角函数即可得到结论．本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角函数知识，解题的关键是将问题转化为点P 与椭圆上任意一点Q的距离的最大值．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题.由题意可得|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作点P到直线m：3x-4y+a=0与直线l：3x-4y-9=0距离之和的5倍，，根据点到直线的距离公式解得即可．【解答】解：设z=|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=5（+），故|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作点P到直线m：3x-4y+a=0与直线l：3x-4y-9=0距离之和的5倍，∵取值与x，y无关，∴这个距离之和与P无关，如图所示：当圆在两直线之间时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，=1，化简得|a-1|=5，解得a=6或a=-4（舍去），∴a≥6 .故选：D．13.【答案】16【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查,为基础题．利用椭圆方程，直接求解m即可．【解答】解：椭圆短轴的长为8，因为a=6，2a=12，所以椭圆的焦点坐标在x轴，可得=4，解得m=16．故答案为：16．14.【答案】4【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：如图所示：由题意，圆心到直线的距离d=，∴|AB|=，设直线：x-y+6=0的倾斜角为，则,∴，，故答案为4．15.【答案】或4【解析】解：由题意，得a=4，b=2，得∴c==2，∴F1（-2，0）F2（2，0），圆心A在F1F2垂直平分线上，设圆心为M（0，m），则有AF2=4，可求得m=2，∴外接圆方程为x2+（y-2）2=16，与椭圆联立可求得P点的纵坐标y=或-2，其绝对值即为三角形的高，∴△F1PF2的面积S=F1F2*|y（A）|=或4．故答案为：或4．首先，得到该椭圆的焦点坐标，然后，求解外接圆的圆心，从而得到其方程，然后，联立方程组，求解点P的纵坐标，从而得到该三角形的高，即得其面积．本题重点考查了椭圆的简单几何性质、三角形的面积公式等知识，属于中档题．16.【答案】（-，）【解析】【分析】设P（x，y）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得2x1-4y1+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：如图所示，圆C：（x+1）2+（y-2）2=2，圆心C（-1，2），半径r=．因为|PM|=|PO|，所以|PO|2+r2=|PC|2（C为圆心，r为圆的半径）,所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1-2）2，即2x1-4y1+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,P点坐标（-，）.故答案为（-，）．17.【答案】解：（1）∵l1⊥l2，∴a（a-1）+（-b）•1=0，即a2-a-b=0①又点（-3，-1）在l1上，∴-3a+b+4=0②由①②得a=2，b=2．（2）∵l1∥l2，∴=1-a，∴b=，故l1和l2的方程可分别表示为：（a-1）x+y+=0，（a-1）x+y+=0，又原点到l1与l2的距离相等．∴4||=||，∴a=2或a=，∴a=2，b=-2或a=，b=2．【解析】（1）利用直线l1过点（-3，-1），直线l1与l2垂直，斜率之积为-1，得到两个关系式，求出a，b的值．（2）类似（1）直线l1与直线l2平行，斜率相等，坐标原点到l1，l2的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）因为O点到直线x-y+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2．（Ⅱ）连心线斜率，设所求圆心（a，b），则，解得b=2a………①因为两圆相外切，所以………②由①②解得，或，经检验，当时，，不符合题意，故舍去．所以，所求圆的方程为（x-4）2+（y-8）2=20．【解析】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，切线方程的应用，考查转化思想以及计算能力．（Ⅰ）利用垂径定理，求出以原点O为圆心，被直线x-y+1=0所得的弦长为的圆的半径，然后求解圆的方程．（Ⅱ）求出连心线的斜率，设出圆的圆心坐标，利用两圆外切，列出方程，转化求解圆的方程．19.【答案】解：（Ⅰ）圆C的方程为x2+y2=4，圆心为坐标原点，半径为2，当斜率不存在时，x=2，过点P（2，1）且与圆C相切的直线的方程x=2满足题意；当斜率存在时，设切线方程为y-1=k（x-2），由得，．此时切线方程为：3x+4y-10=0，则所求的切线方程为x=2或3x+4y-10=0；（Ⅱ）设Q点的坐标为（x，y），∵，∴（x，y）=（x0，2y0），∴x=x0，y=2y0，∵，∴，即．所以动点的轨迹方程为.【解析】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．（Ⅰ）求出圆心与半径，利用直线的斜率是否存在，结合过点P（2，1）且与圆C相切的关系判断求解切线的方程；（Ⅱ）设出Q的坐标，通过，列出方程即可求动点Q的轨迹方程．20.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，然后由根与系数的关系进行求解．本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．21.【答案】（1）解：设l斜率为K，则l：y-3=k（x-4）得A（4-，0），B（0，3-4k）（k＜0）．，由，故∴S min=24，l：3x+4y-24=0．（Ⅱ）△OAB面积S最小时，A（8，0），B（0，6），|AB|=10，直角△OAB内切圆半径，圆心为Q（2，2），内切圆方程为（x-2）2+（y-2）2=4．设P（x，y），则x2+y2-4x-4y+4=0，其中0≤x≤4．U=|PO|2+|PA|2+|PB|2=x2+y2+（x-8）2+y2+x2+（y-6）2=3x2+3y2-16x-12y+100=88-4x（0≤x≤4），当x=0时，U max=88，当x=4时，U min=72∴U的范围是[72，88]．【解析】（Ⅰ）设出斜率，求出AB坐标，推出△OAB（O为坐标原点）的面积S最小值，即可取得最小值时直线l的方程．（Ⅱ）求出△OAB的面积S取得最小值时△OAB的内切圆上的动点，表示u=|PO|2+|PA|2+|PB|2的表达式，求解最值即可得到取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）由题意得经过变换则有当时，，再根据得到a2=4b2，又因为椭圆过得到a=2，b=1，所以椭圆的方程为：．（Ⅱ）由题意可得椭圆右顶点A2（2，0），（1）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=x0，此时要使以A，B两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则，解得或x0=2（舍），此时直线l为．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，则有4+x1x2-2（x1+x2）+y1y2=0，化简得①联立直线和椭圆方程得（4k2+1）x2+8kbx+4b2-4=0，△=1+4k2-b2＞0，②把②代入①得即4k2b2-4k2+4b2-4-8k2b2+16kb=-（4k2b2+16k2+b2+4），12k2+16kb+5b2=0，得k=-或此时直线l过或（2，0）（舍）综上所述直线l过定点．【解析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）利用平方差法求出a，b关系，利用椭圆经过的点，即可求出a，b，得到椭圆方程．（Ⅱ）由题意可得椭圆右顶点A2（2，0），，通过（1）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=x0，求出直线l的方程．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，推出①，联立直线和椭圆方程利用韦达定理的经过代入①求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力；分类讨论思想的应用．11。

江西省吉安一中2018-2019学年高二上学期第一次段考数学试卷(理科)Word版含解析

江西省吉安一中2018-2019学年高二上学期第一次段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆x 2+y 2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为（）A ．（0，2），2B ．（2，0），4C ．（﹣2，0），2D ．（2，0），22．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y ﹣2=0上的圆的方程是（）A ．（x ﹣3）2+（y+1）2=4B ．（x+3）2+（y ﹣1）2=4C ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4D ．（x+1）2+（y+1）2=43．下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；其中错误的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A ．B ．C ．D ．85．如图，空间四边形OABC 中，=， =， =，点M 在OA 上，且=，点N 为BC 中点，则等于（）A ．B ．C ．D ．6．已知直线l 1的方向向量=（2，4，x ），直线l 2的方向向量=（2，y ，2），若||=6，且⊥，则x+y 的值是（）A ．﹣3或1B ．3或﹣1C ．﹣3D ．17．圆x 2+2x+y 2+4y ﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG=3GG 1，若=x+y +z ，则（x ，y ，z ）为（）A ．（，，）B ．（，，）C ．（，，）D ．（，，）9．一个三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）A ．16πB ．32πC ．36πD ．64π10．已知圆C ：（x ﹣2）2+（y+1）2=3，从点P （﹣1，﹣3）发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．11．已知圆的方程为x 2+y 2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（）A ．B ．C ．D ．12．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为．14．已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD=2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结BC ，则三棱锥C ﹣ABD 的体积为．15．如果对任何实数k ，直线（3+k ）x+（1﹣2k ）y+1+5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是．16．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM=BN ≠，有以下四个结论： ①AA 1⊥MN ，②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确结论的序号是（注：把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直角△ABC 的顶点坐标A （﹣3，0），直角顶点B （﹣1，﹣2），顶点C 在x 轴上．（1）求点C 的坐标；（2）求斜边的方程．18．如图四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，∠ABC=90°，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．19．如图1是图2的三视图，三棱锥B﹣ACD中，E，F分别是棱AB，AC的中点．（1）求证：BC∥平面DEF；（2）求三棱锥A﹣DEF的体积．20．已知圆C：x2+（y﹣2）2=5，直线l：mx﹣y+1=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；（2）若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的长度．21．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，求证： +为定值．22．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD ？（Ⅲ）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．江西省吉安一中2018-2019学年高二上学期第一次段考数学试卷（理科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为（）A．（0，2），2 B．（2，0），4 C．（﹣2，0），2 D．（2，0），2【考点】圆的标准方程．【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后，即可得到圆心与半径．【解答】解：把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，所以圆心坐标为（2，0），半径为=2故选D2．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4 【考点】圆的标准方程．【分析】先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选C．3．下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；其中错误的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】对选项①④可利用正方体为载体进行分析，举出反例即可判定结果，对选项②③根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理进行判定即可．【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立；故选B4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A． B． C．D．8【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求．【解答】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE==．所以该四棱锥侧面积S=4××2×=4，故选：B．5．如图，空间四边形OABC中， =， =， =，点M在OA上，且=，点N为BC中点，则等于（）A． B．C． D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】===．【解答】解： ===；又，，，∴．故选B．6．已知直线l 1的方向向量=（2，4，x ），直线l 2的方向向量=（2，y ，2），若||=6，且⊥，则x+y 的值是（）A ．﹣3或1B ．3或﹣1C ．﹣3D ．1【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】由已知利用向量的模和向量垂直的性质得，求出x ，y ，由此能求出x+y 的值．【解答】解：由已知得，解得x=﹣4，y=1或x=4，y=﹣3，∴x+y=﹣3或x+y=1．故选：A ．7．圆x 2+2x+y 2+4y ﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果．【解答】解：圆x 2+2x+y 2+4y ﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是 2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故答案为：3．8．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG=3GG 1，若=x +y +z ，则（x ，y ，z ）为（）A ．（，，）B ．（，，）C ．（，，）D ．（，，）【考点】空间向量的加减法．【分析】由题意推出，使得它用，，，来表示，从而求出x ，y ，z 的值，得到正确选项．【解答】解：∵==（+）=+• [（+）]= + [（﹣）+（﹣）]=++，而=x +y +z ，∴x=，y=，z=．故选A ．9．一个三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）A．16π B．32π C．36π D．64π【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：所以球的直径是4，半径为2，球的表面积：16π故选A．10．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）A．﹣ B．﹣ C．D．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】根据反射定理可得圆心C（2，﹣1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，再由点P（﹣1，﹣3）也在入射光线上，利用斜率公式求得入射光线的斜率．【解答】解：根据反射定律，圆心C（2，﹣1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，再由点P（﹣1，﹣3）也在入射光线上，可得入射光线的斜率为=，故选：C．11．已知圆的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】圆C的圆心为C（4，0），半径r=1，从而得到点C到直线y=kx+2的距离小于或等于2，由此能求出k的最小值．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，∴整理得：（x﹣4）2+y2=1，∴圆心为C（4，0），半径r=1．又∵直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴点C到直线y=kx+2的距离小于或等于2，∴≤2，化简得：3k2+4k≤0，解之得﹣≤k≤0，∴k的最小值是﹣．故选：A．12．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm，蛋槽立起来的小三角形部分高度是，鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr2得到r=1cm，直径D=2cm，大于折好的蛋巢边长1cm，由此能求出鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离．【解答】解：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm，蛋槽立起来的小三角形部分高度是，鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr2得到r=1cm，直径D=2cm，大于折好的蛋巢边长1cm，四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长1cm，根据图示，AB段由三角形AB求出得：AB=，AE=AB+BE=，∴鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为3x﹣y﹣5=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得．【解答】解：∵直线x+3y+4=0的斜率为﹣，∴与直线x+3y+4=0垂直的直线斜率为3，故点斜式方程为y﹣1=3（x﹣2），化为一般式可得3x﹣y﹣5=0，故答案为：3x﹣y﹣5=0．14．已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD=2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结BC ，则三棱锥C ﹣ABD 的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】首先，根据直角三角形的性质，得到AD ⊥平面BCD ，然后，结合三棱锥的体积公式进行求解即可．【解答】解：∵AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，BD ∩DC=C ，∴AD ⊥平面BCD ，∵△BCD 是正三角形，且边长为2，∴S=×2×=∴三棱锥C ﹣ABD 的体积V=×AD ×S △BCD=×2×=∴三棱锥c ﹣ABD 的体积为：．故答案为：．15．如果对任何实数k ，直线（3+k ）x+（1﹣2k ）y+1+5k=0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是（﹣1，2）．【考点】恒过定点的直线．【分析】由（3+k ）x+（1﹣2k ）y+1+5k=0可得3x+y+1+k （x ﹣2y+5）=0，进而有x ﹣2y+5=0且3x+y+1=0，由此即可得到结论．【解答】解：由（3+k ）x+（1﹣2k ）y+1+5k=0可得3x+y+1+k （x ﹣2y+5）=0∴x ﹣2y+5=0且3x+y+1=0∴x=﹣1，y=2∴对任何实数k ，直线（3+k ）x+（1﹣2k ）y+1+5k=0都过一个定点A （﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）16．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM=BN ≠，有以下四个结论： ①AA 1⊥MN ，②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确结论的序号是 ①③ （注：把你认为正确命题的序号都填上）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】过M 作MO ∥AB ，交BB 1于O ，连接ON ，利用线段等比例定理证明ON ∥B 1C 1，根据线面垂直的判定定理证明BB 1⊥平面OMN ，又MN ⊂平面OMN ，可得AA 1⊥MN ，从而判断①正确；利用面面平行的判定定理可证平面A 1B 1C 1D 1∥平面OMN ，从而得MN ∥平面A 1B 1C 1D 1，从而判断③正确；根据M 、N 分别是AB 1，BC 1的中点时，可证MN ∥A 1C 1，当M 不是AB 1的中点时，MN 与A 1C 1异面，从而判断②④错误．【解答】解：过M 作MO ∥AB ，交BB 1于O ，连接ON ，∵AM=BN∴==，∴ON ∥B 1C 1，∴BB 1⊥OM ，BB 1⊥ON ，OM ∩ON=O ，∴BB 1⊥平面OMN ，MN ⊂平面OMN ，∴BB 1⊥MN ，AA 1∥BB 1，∴AA 1⊥MN ，∴①正确；当M 、N 分别是AB 1，BC 1的中点时，取A 1B 1，B 1C 1的中点E ，F ，连接ME 、NF ，∵ME ∥AA 1，NF ∥AA 1，且ME=NF=AA 1，∴四边形MNEF 为平行四边形，∴MN ∥EF ，又EF ∥A 1C 1，∴MN ∥A 1C 1，当M 不是AB 1的中点时，MN 与A 1C 1异面，∴②④错误；OM ∥平面A 1B 1C 1D 1；ON ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴平面A 1B 1C 1D 1∥平面OMN ，MN ⊂平面OMN ，∴MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；∴③正确．故答案是①③．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直角△ABC 的顶点坐标A （﹣3，0），直角顶点B （﹣1，﹣2），顶点C 在x 轴上．（1）求点C 的坐标；（2）求斜边的方程．【考点】待定系数法求直线方程；直线的斜率．【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出直线BC 的解析式，然后来求点C 的坐标．（2）根据直角三角形斜边上的中点坐标和点O 来求OB 的方程．【解答】解：（1）依题意得，直角△ABC 的直角顶点B （﹣1，﹣2），属于AB ⊥BC ，故k AB •k BC =﹣1．又因为A （﹣3，0），所以kAB==﹣，所以kBC=，所以直线BC的方程为：y+2=（x+1），即．因为直线BC的方程为，点C在x轴上，由y=0，得x=3，即C（3，0）．（2）由（1）得C（3，0），所以AC的中点为（0，0），所以中线为OB（O为坐标原点）的斜率k=2，所以直线OB的方程为y=2．18．如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，可求其表面积和体积．【解答】解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π．故所求几何体的表面积为：8π+35π+25π=68π由，所以，旋转体的体积为19．如图1是图2的三视图，三棱锥B﹣ACD中，E，F分别是棱AB，AC的中点．（1）求证：BC∥平面DEF；（2）求三棱锥A﹣DEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据E，F分别是AB，AC的中点得到EF∥BC，应用判定定理即得证．（2）由图1得CD⊥AB，BD⊥AD，BD⊥CD，得到BD⊥平面ACD．取AD的中点G，连接EG，求得，进一步计算体积．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵BC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴BC∥平面DEF．…解：（2）∵如图1得CD⊥AB，BD⊥AD，BD⊥CD，又∵CD∩AD=D，∴BD⊥平面ACD．…取AD的中点G，连接EG，∵E是AB的中点，∴．∴EG⊥平面ACD，，∴．…20．已知圆C：x2+（y﹣2）2=5，直线l：mx﹣y+1=0．（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）若圆C 与直线l 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长度．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）根据直线l ：mx ﹣y+2﹣m=0，恒过D （1，2）点，点在圆C 内部，可得结论；（2）求出圆心C （0，2）到直线mx ﹣y+1=0的距离，代入圆的弦长公式，可得答案．【解答】解：（1）直线mx ﹣y+1=0恒过定点（0，1），且点（0，1）在圆C ：x 2+（y ﹣2）2=5的内部，所以直线l 与圆C 总有两个不同交点．（2）圆心C （0，2）到直线mx ﹣y+1=0的距离d=，所以弦AB 的长度=2=2．21．已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣3=0．（1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，求证： +为定值．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）把圆C 的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l 的方程，与圆C 的方程组成方程组，消去y 得关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系求出+的值．【解答】（1）解：圆C ：x 2+y 2+2x ﹣3=0，配方得（x+1）2+y 2=4，则圆心C 的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）证明：设直线l 的方程为y=kx ，联立方程组，消去y 得（1+k 2）x 2+2x ﹣3=0，则有：，，所以为定值．22．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD ？（Ⅲ）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱锥的结构特征；直线与平面平行的性质．【分析】（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明平面MBD内的直线BD垂直平面PAD，即可证明平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）M点位于线段PC靠近C点的三等分点处，证明PA∥MN，MN⊂平面MBD，即可证明PA∥平面MBD．（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，说明PO为四棱锥P﹣ABCD的高并求出，再求梯形ABCD的面积，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD=4，，AB=8，∴AD2+BD2=AB2．∴AD⊥BD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD．又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD．（Ⅱ）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD．证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．又∵CM：MP=1：2，∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．∵MN⊂平面MBD，∴PA∥平面MBD．（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．又∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高．∴梯形ABCD的面积．故．。

江西省吉安一中高二数学上学期第一次段考试卷理(含解析)

江西省吉安一中2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共50分．1．（5分）在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=53．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x 等于（）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或24．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④5．（5分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（）A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部6．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（）A．10 B．﹣10 C．6 D．﹣67．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．B．C．D．8．（5分）若直线y=kx﹣1与曲线有公共点，则k的取值范围是（）A．（0，] B．[，] C．[0，] D．[0，1]9．（5分）某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是（）A．（1）（2）（3）B．（1）（4）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+11=0平行，则实数m的值是．12．（5分）一平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是．13．（5分）已知点P的坐标（x，y）满足过点P的直线l与圆C：x2+y2=14交于M、N两点，那么|MN|的最小值是．14．（5分）正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是．15．（5分）如图，下列五个正方体图形中，I是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出I垂直于平面MNP的图形的序号是．三、解答题（共75分）16．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在直线方程为2x﹣y﹣2=0，点C（2，0）．（1）求直线CD的方程；（2）求AB边上的高CE所在直线的方程．17．（12分）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．18．（12分）已知点M（1，m），圆C：x2+y2=4．（1）若过点M的圆C的切线只有一条，求m的值及切线方程；（2）若过点M且在两坐标轴上的截距相等的直线被圆C截得的弦长为2，求m的值．19．（12分）如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，AB=2，BC=1，DC=，四边形DCBE 为平行四边形，DC⊥平面ABC，（1）求三棱锥C﹣ABE的体积；（2）证明：平面ACD⊥平面ADE；（3）在CD上是否存在一点M，使得MO∥平面ADE？证明你的结论．20．（13分）已知点P（x，y）为圆C：x2+y2﹣4x+3=0上一点，C为圆心．（1）求x2+y2的取值范围；（2）求的最大值；（3）求•（O为坐标原点）的取值范围．21．（14分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．江西省吉安一中2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．1．（5分）在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C．D．考点：直线的倾斜角．专题：计算题．分析：先求出直线的斜率tanθ的值，根据倾斜角θ的范围求出θ的大小．解答：解：直线x+y﹣3﹣0的斜率等于﹣，设此直线的倾斜角为θ，则tanθ=﹣，又0≤θ＜π，∴θ=，故选C．点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，已知三角函数值求角是解题的难点．2．（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式．专题：计算题．分析：先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．解答：解：线段AB的中点为，k AB==﹣，∴垂直平分线的斜率 k==2，∴线段AB的垂直平分线的方程是 y﹣=2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5=0，故选B．点评：本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．3．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x 等于（）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或2考点：空间两点间的距离公式．专题：计算题．分析：直接利用空间两点间的距离公式求解即可．解答：解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，所以=，所以（x+3）2=25．解得x=2或﹣8．故选C．点评：本题考查空间两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．4．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④考点：空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：证明题；压轴题；空间位置关系与距离．分析：根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确．由此可得本题的答案．解答：解：对于①，因为n∥α，所以经过n作平面β，使β∩α=l，可得n∥l，又因为m⊥α，l⊂α，所以m⊥l，结合n∥l得m⊥n．由此可得①是真命题；对于②，因为α∥β且β∥γ，所以α∥γ，结合m⊥α，可得m⊥γ，故②是真命题；对于③，设直线m、n是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m∥α且n∥α成立，但不能推出m∥n，故③不正确；对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①和②故选：A点评：本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．5．（5分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（）A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：由条件，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．解答：解：如图：∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，∴AC⊥BC1，而BC1、AB为平面ABC1的两条相交直线，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．故选：B点评：本题主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，属于中档题．6．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（）A．10 B．﹣10 C．6 D．﹣6考点：简单线性规划．专题：解题思想．分析：根据约束条件，作出平面区域，平移直线2x+4y=0，推出表达式取得最小值时的点的坐标，求出最小值．解答：解：作出不等式组，所表示的平面区域作出直线2x+4y=0，对该直线进行平移，可以发现经过点C（3，﹣3）时z取得最小值﹣6；故选D．点评：本题主要考查线性规划中的最值问题，属于中档题，考查学生的作图能力，计算能力，在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．7．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．B．C．D．考点：轨迹方程．专题：转化思想．分析：点P到BC的距离就是当P点到B的距离，它等于到直线A1B1的距离，满足抛物线的定义，推断出P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．从而得出正确选项．解答：解：依题意可知点P到BC的距离就是当P点B的距离，P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．A的图象为直线的图象，排除A．B项中B不是抛物线的焦点，排除B．D项不过A点，D排除．故选C．点评：本题是基础题，考查抛物线的定义和考生观察分析的能力，数形结合的思想的运用，考查计算能力，转化思想．8．（5分）若直线y=kx﹣1与曲线有公共点，则k的取值范围是（）A．（0，] B．[，] C．[0，] D．[0，1]考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；数形结合．分析：曲线表示圆心为（2，0），半径为1的x轴下方的半圆，直线与曲线有公共点，即直线与半圆有交点，根据题意画出相应的图形，求出直线的斜率的取值范围．解答：解：曲线表示圆心为（2，0），半径为1的x轴下方的半圆，直线y=kx﹣1为恒过（0，﹣1）点的直线系，根据题意画出图形，如图所示：则直线与圆有公共点时，倾斜角的取值范围是[0，1]．故选：D．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，考查转化及数形结合的思想，其中根据题意画出相应的图形是解本题的关键．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值．解答：解：如图所示，可知AC=，BD=1，BC=b，AB=a．设CD=x，AD=y，则x2+y2=6，x2+1=b2，y2+1=a2，消去x2，y2得．a2+b2=8≥，所以（a+b）≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，此时x=，y=，所以V=××1××=．故选D．点评：本题考查三视图求体积，考查基本不等式求最值，是基础题．10．（5分）已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是（）A．（1）（2）（3）B．（1）（4）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据题意，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．解答：解：如图（1），在平面内不可能有符合题意的点；如图（2），直线a、b到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线a、b所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+11=0平行，则实数m的值是8．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：由直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+11=0平行，可得=≠，解得m的值．解答：解：∵直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+11=0平行，∴=≠，∴m=8，故答案为 8．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比．12．（5分）一平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是36πcm3．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：设球心为O，截面圆心为O1，连结OO1，由球的截面圆性质和勾股定理，结合题中数据算出球半径，再利用球的体积公式即可算出答案．解答：解：设球心为O，截面圆心为O1，连结OO1，则OO1⊥截面圆O1，∵平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，∴Rt△OO1A中，O1A=cm，OO1=2cm，∴球半径R=OA==3cm，因此球体积V==36πcm3，故答案为：36πcm3点评：本题着重考查了球的截面圆性质、球的体积表面积公式等知识，属于基础题13．（5分）已知点P的坐标（x，y）满足过点P的直线l与圆C：x2+y2=14交于M、N两点，那么|MN|的最小值是4．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，欲求|MN|的最小值，只需求出经过可行域的点的直线在圆上所截弦长何时取最大值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，当直线l过点A（1，3）时，A点离圆心最远，此时截得的弦MN最小，最小值是4，故填4．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．（5分）正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是（，+∞）．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD 的中点，我们可判断出四边形EFGH为一个矩形，一边长为，另一边长大于底面的外接圆的半径的一半，进而得到答案．解答：解：∵棱锥P﹣ABC为底面边长为1的正三棱锥∴AB⊥PC又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，∴EH=FG=AB=，EF=HG=PC则四边形EFGH为一个矩形又∵PC＞，∴EF＞，，∴四边形EFGH的面积S的取值范围是（，+∞），故答案为：（，+∞）点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中根据正三棱锥的结构特征，判断出AB⊥PC这，进而得到四边形EFGH为一个矩形是解答本题的关键．15．（5分）如图，下列五个正方体图形中，I是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出I垂直于平面MNP的图形的序号是①④⑤．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，根据M，N分别为中点，判断出MN∥A C，由四边形ABCD为正方形，判断出AC⊥BD进而根据DD′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，判断出DD′⊥AC，进而根据线面垂直的判定定理推断出AC⊥平面DBB′，根据线面垂直的性质可知AC⊥DB′，利用线面垂直的判定定理推断出由MN∥AC，推断出DB′⊥MN，同理可证DB′⊥MF，DB′⊥NF，利用线面垂直的判定定理推断出DB′⊥平面MNF．④中由①中证明可知I⊥MP，根据MN∥AC，AC⊥I，推断出I⊥MN，进而根据线面垂直的判定定理推断出I⊥平面MNP，同理可证明⑤中I⊥平面MNP．解答：解：设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，∵M，N分别为中点，∴MN∥AC，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC，∵BB′∩DB′=B，BB′⊂平面DBB′，AC⊂平面DBB′，∴AC⊥平面DBB′，∵DB′⊂平面DBB′，∴AC⊥DB′，∵MN∥AC，∴DB′⊥MN，同理可证DB′⊥MF，DB′⊥NF，∵MF∩NF=F，MF⊂平面MNF，NF⊂平面MNF，∴DB′⊥平面MNF，即I垂直于平面MNP，故①正确．④中由①中证明可知I⊥MP，∵MN∥AC，AC⊥I，∴I⊥MN，∴I⊥平面MNP，同理可证明⑤中I⊥平面MNP．故答案为：①④⑤点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理．考查了学生空间思维能力和观察能力．三、解答题（共75分）16．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在直线方程为2x﹣y﹣2=0，点C（2，0）．（1）求直线CD的方程；（2）求AB边上的高CE所在直线的方程．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的点斜式方程．专题：计算题．分析：（1）利用四边形ABCD为平行四边形，边AB所在直线方程为2x﹣y﹣2=0，确定CD 的斜率，进而我们可以求出直线CD的方程；（2）求出AB边上的高CE的斜率，从而可以求出AB边上的高CE所在直线的方程．解答：解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD．﹣﹣﹣（1分）∴k CD=k AB=2．﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵点C（2，0）∴直线CD的方程为y=2（x﹣2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）即2x﹣y﹣4=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵CE⊥AB，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵点C（2，0）∴直线CE的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）即x+2y﹣2=0点评：本题考查直线方程，考查两直线的平行与垂直，解题的关键在于确定所求直线的斜率，属于基础题．17．（12分）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明EC⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质证明EC⊥CD；（Ⅱ）在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，证明四边形ADMG为平行四边形，可得AG∥DM，即可证明AG∥平面BDE；（Ⅲ）利用分割法即可求出几何体EG﹣ABCD的体积．解答：（Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD，…（3分）又CD⊂平面BCDA，故EC⊥CD…（4分）（Ⅱ）证明：在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且，∴MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，∴AG∥DM…（6分）∵DM⊂平面BDE，AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE…（8分）（Ⅲ）解：…（10分）=…（12分）点评：本题考查面面垂直、线面平行，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直、线面平行的判定定理是关键．18．（12分）已知点M（1，m），圆C：x2+y2=4．（1）若过点M的圆C的切线只有一条，求m的值及切线方程；（2）若过点M且在两坐标轴上的截距相等的直线被圆C截得的弦长为2，求m的值．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）根据直线与圆的位置关系，经过圆上一点作圆的切线有且只有一条，因此点A在圆x2+y2=4上，将点A坐标代入圆的方程，解出m．再由点A的坐标与直线的斜率公式算出切线的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到所求切线的方程；（2）由题意，直线不过原点，设方程为x+y﹣a=0，利用直线被圆C截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为1，求出直线的方程，即可求出m的值．解答：解：（1）圆x2+y2=4的圆心为O（0，0），半径r=2．∵过点A的圆的切线只有一条，∴点A（1，m）是圆x2+y2=4上的点，可得12+m2=4，解之得m=±．当m=时，点A坐标为（1，），可得OA的斜率k=．∴经过点A的切线斜率k'=﹣，因此可得经过点A的切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），化简得x+y﹣4=0；同理可得当m=﹣时，点A坐标为（1，﹣），经过点A的切线方程为x﹣y﹣4=0．∴若过点A的圆的切线只有一条，则m的值为±，相应的切线方程方程为x±y﹣4=0．（2）由题意，直线不过原点，设方程为x+y﹣a=0，∵直线被圆C截得的弦长为2，∴圆心到直线的距离为1，∴=1，∴a=±，∴所求直线方程为x+y±=0，∴m=﹣1±．点评：本题给出圆的方程与点A的坐标，求经过点A的圆的切线方程．着重考查了圆的方程、直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．19．（12分）如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，AB=2，BC=1，DC=，四边形DCBE 为平行四边形，DC⊥平面ABC，（1）求三棱锥C﹣ABE的体积；（2）证明：平面ACD⊥平面ADE；（3）在CD上是否存在一点M，使得MO∥平面ADE？证明你的结论．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据图形可看出，三棱锥C﹣ABE的体积等于三棱锥E﹣ABC，容易得出BE⊥平面ABC，即BE是三棱锥E﹣ABC的高．并且容易知道底面△ABC是直角三角形，根据已知的边的长度即可求△ABC的面积，高BE=，所以根据三棱锥的体积公式即可求出三棱锥E ﹣ABC的体积，也就求出了三棱锥C﹣ABE的体积；（2）根据已知条件容易证明BC⊥平面ACD，又DE∥BC，所以DE⊥平面ACD，DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE；（3）要找M点使MO∥平面ADE，只要找OM所在平面，使这个平面和平面ADE平行，容易发现这个平面是：分别取DC，EB中点M，N，连接OM，MN．ON，则平面MON便是所找平面，容易证明该平面与平面ADE平行，所以MO∥平面ADE．解答：解：（1）如图，根据图形知道，三棱锥C﹣ABE的体积等于三棱锥E﹣ABC的体积；∵四边形DCBE为平行四边形，∴EB∥DC，又DC⊥平面ABC，∴EB⊥平面ABC；AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，AC=，BE=；∴=；（2）DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，⊥即BC⊥DC，又BC⊥AC，DC∩AC=C；∴BC⊥平面ACD，DE∥BC；∴DE⊥平面ACD，DE⊂平面ADE；∴平面ADE⊥平面ACD，即平面ACD⊥平面ADE；（3）在CD上存在一点M，是CD的中点，使得MO∥平面ADE，下面给出证明；证明：取DC中点M，EB中点N，连接OM，MN，ON，∵O，M，N三点是中点，∴MN∥DE，ON∥AE；∵AE，DE⊂平面ADE，ON，MN⊄平面ADE；∴MN∥平面ADE，ON∥平面ADE，MN∩ON=N；∴平面MON∥平面ADE，MO⊂平面MON；∴MO∥平面ADE；点评：考查三棱锥的体积公式，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，中位线的性质，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质．20．（13分）已知点P（x，y）为圆C：x2+y2﹣4x+3=0上一点，C为圆心．（1）求x2+y2的取值范围；（2）求的最大值；（3）求•（O为坐标原点）的取值范围．考点：圆方程的综合应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）将圆C化为标准方程，找出圆心与半径，作出相应的图形，所求式子表示圆上点到原点距离的平方，从而求x2+y2的取值范围；（2）令=k，则y=kx，代入圆的方程，利用△≥0，求的最大值；（3）•=（2﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2+y2﹣2x=2x﹣3，即可求•（O为坐标原点）的取值范围．解答：解：（1）圆C化为标准方程为（x﹣2）2+y2=1，圆心为（2，0），半径为1根据图形得到P与A（3，0）重合时，离原点距离最大，此时x2+y2=32=9，P与B（1，0）重合时，离原点距离最大，此时x2+y2=12=1．∴x2+y2的取值范围是[1，9]；（2）令=k，则y=kx．代入圆的方程，整理得（1+k2）x2﹣4x+3=0．依题意有△=16﹣12（1+k2）=4﹣12k2=4（1﹣3k2）≥0，即k2﹣≤0，解得﹣≤k≤，故的最大值是；（3）•=（2﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2+y2﹣2x=2x﹣3，∵1≤x≤3，∴﹣1≤2x﹣3≤3，∴•（O为坐标原点）的取值范围是[﹣1，3]．点评：本小题主要考查直线和圆相交，相切的有关性质，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．21．（14分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d 等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．。

专题15 复数的四则运算(解析版)

专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-．对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误．对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文）【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限．【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论．【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文）【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文）【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+，因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理）【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可．【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文）【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得．【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ．【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根；（2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文）【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可．【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文）【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限．【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-，所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文）【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案．【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文）【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--，所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论．【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-，所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可．【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文）【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解．【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文）【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-，所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++，根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理）【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果．【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数，所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案．【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅，所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文）【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得．【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文）【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-，所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理）【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+，虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理）【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+，所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理）【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算．【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理）【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模．【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数．【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+，因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文）【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长．【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--，因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理）【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-，所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解．【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文）【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--，所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案．【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项．【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出．【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈；当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-，所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解．【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确；对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项．【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-，所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ．【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确．【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解．【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+，对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误；对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确；对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确；对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________．【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可．【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________．【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部．【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-，因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________．【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可．【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可．【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理）【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解．【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-，所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数，所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________．【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1）复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2）求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3）复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________．【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文）【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-．故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________．【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________．【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果．【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________．【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -，由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________．【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--，所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________．【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解．【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______．【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--．【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=，以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值．四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________．【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解．【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-，所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==；当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________．【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。

江西省吉安一中高二数学上学期第一次段考试题理

江西省吉安一中2015-2016学年上学期高二年级第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

） 1. 下列命题中正确的是（）A. 两两相交的三条直线共面B. 两条相交直线上的三个点可以确定一个平面C. 梯形是平面图形D. 一条直线和一个点可以确定一个平面2. 已知直线013)2(01=+-+=++y x a y ax 与互相垂直，则实数a 等于（） A. -3或1 B. 1或3 C. -1或-3 D. -1或33. 把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的（）A. 2倍 C.4. 点M （00,y x ）在圆222x y R +=外，则直线200R y y x x =+与圆的位置关系是（） A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定5. 如图，空间四边形C OAB 中，a OA = ，b OB = ，C c O =，点M 在OA 上，且23OM =OA ，点N 为C B 中点，则MN等于（）A. 121232a b c -+B. 211322a b c -++C. 111222a b c +-D. 221332a b c +-6. 设b、a 是两个单位向量，其夹角为θ，则“36πθπ<<”是“1||<-b a ”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若直线20(0,0)-+=>>ax by a b 被圆224410++--=x y x y 所截得的弦长为6，则23+a b的最小值为（） A.10B.4+C.5+D.8. 已知点()2,1-和⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,33在直线()001:≠=--a y ax l 的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是（） A. ⎪⎭⎫⎝⎛3,4ππB. ⎪⎭⎫⎝⎛65,32ππ C. ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛πππ,433,0 D. ⎪⎭⎫⎝⎛32,3ππ9. 过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为（）A. 10B.1920C.12D. 91010. 如图1，已知正方体ABCD －A1B1ClD1的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1111,,AD B C C D 上。

江西省吉安市第一中学2019_2020学年高二数学上学期第一次月考试题理(含解析)

江西省吉安市第一中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.若A，B表示点，a表示直线，α表示平面，则下列叙述中正确的是（）A. 若,,则B. 若,,则C. 若,,则D. 若,,则2.已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为（）A. B. C. D.3.已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A. B. C. 10 D. 124.化简方程=10为不含根式的形式是（）A. B. C. D.5.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）A. B.C. 或D. 以上答案都不对6.若x，y满足，则的最大值为（）A. 0B. 2C.D. 17.与直线x﹣y﹣4＝0和圆x2+y2+2x﹣2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是（）A. B.C. D.8.设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A. B. C. D.9.设椭圆的离心率为,右焦点为,方程的两个实根分别为和,则点( )A. 必在圆外B. 必在圆上C. 必在圆内D. 以上三种情形都有可能10.已知P（-4，-4），Q是椭圆x2+2y2=16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足PM=MQ，则动点M的轨迹方程是（）A. B.C. D.11.直线y＝kx+1，当k变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是（）A. 4B. 2C.D. 不能确定12.若对圆（x-1）2+（y-1）2=1上任意一点P（x，y），|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（）A. B. C. 或 D.二、填空题（本大题共4小题）13.椭圆短轴的长为8,则实数______．14.已知直线l:与圆交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，则_____________.15.已知点P是椭圆+＝1上一点，其左、右焦点分别为F1、F2，若△F1PF2的外接圆半径为4，则△F1PF2的面积是．16.已知从圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为．三、解答题（本大题共6小题）17.已知两直线l1：ax-by+4=0，l2：（a-1）x+y+b=0．求分别满足下列条件的a，b的值．（1）直线l1过点（-3，-1），并且直线l1与l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．18.Ⅰ求以原点O为圆心,被直线所得的弦长为的圆的方程．Ⅱ求与圆外切于点且半径为的圆的方程．19.已知圆的方程为．（Ⅰ）求过点且与圆相切的直线的方程；（Ⅱ）圆有一动点，若向量，求动点的轨迹方程．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB 面积的最大值．21.过点M（4，3）的动直线l交x轴的正半轴于A点，交y轴正半轴于B点．（Ⅰ）求△OAB（O为坐标原点）的面积S最小值，并求取得最小值时直线l的方程．（Ⅱ）设P是△OAB的面积S取得最小值时△OAB的内切圆上的动点，求2u=|PO|2+|PA|2+|PB|2的取值范围．22.已知椭圆C中心在坐标原点，焦点在x轴上，且过点P，直线l与椭圆交于A，B两点（A，B两点不是左右顶点），若直线l的斜率为时，弦AB的中点D在直线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）若以A，B两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：点与面的关系用符号∈，而不是⊂，所以答案A错误；直线与平面的关系用⊂表示，则AB∈α表示错误；点A不在直线a上，但只要A，B都在平面α内，也存在AB⊂α，答案C错误；而A∈a，a⊂α，则A∈α，所以答案D正确．故选：D．本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可．立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位．2.【答案】D【解析】解：如图所示，直观图△A′B′C′的高为h=C′D′sin45°=CD sin45°=×2×sin60°×sin45°=，底边长为A′B′=AB=2；所以△A′B′C′的面积为：S=AB•h=×2×=．故选：D．作出原图三角形与直观图形，再求直观图形的面积．本题考查了平面直观图形的三角形面积计算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴8a1+×1=4×（4a1+），解得a1=．则a10=+9×1=．故选：B．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的定义，考查方程的几何意义，考查椭圆的标准方程，是个简单题．方程=10，它的几何意义是动点P（x，y）到定点（0，-3）与到定点（0，3）的距离之和为10，从而轨迹为椭圆，故可求．【解答】4解：方程=10，它的几何意义是动点P（x，y）到定点（0，-3）与到定点（0，3）的距离之和为10＞6，从而轨迹为椭圆，焦点在y轴上，且a =5，c=3，∴b=4，其标准方程为：故选：C．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,属于基础题.分类讨论椭圆的焦点在x轴和y轴上求解即可.【解答】解: 直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所以所求椭圆的标准方程为＋y2＝1,当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上可得，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.故选C.6.【答案】B【解析】解：作出不等式式表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部其中C（1，1），设P（x，y）为区域内点，定点D（0，-1）．z===2，z的最大值为：2．故选：B．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部．设P（x，y）为区域内一点，定点D（0，-1），可得目标函数的表示P、O两点连线的斜率，运动点P并观察直线PD斜率的变化，即可得到z的最大值．本题给出二元一次不等式组，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和直线的斜率等知识，是中档题．7.【答案】C【解析】【分析】由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径．本题主要考查了由题意求圆的标准方程，作为选择题可结合选项做题，这样可提高做题的速度．【解答】解：由题意圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为（-1，1），半径为，∴过圆心（-1，1）与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，∴圆心（-1，1）到直线x-y-4=0的距离为=3，则所求的圆的半径为，故选：C．8.【答案】C【解析】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的基本性质，考查点与圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．通过e=可得=，利用韦达定理可得x1+x2=-、x1x2=-，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论．【解答】解：∵e==，∴=，∵x1，x2是方程ax2+bx-c=0的两个实根，∴由韦达定理：x1+x2=-=-，x1x2==-，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=+1=＜2，∴点P（x1，x2）必在圆x2+y2=2内．故选：C．10.【答案】B【解析】解：椭圆x2+2y2=16 即=1，设动点M（x，y），Q（m，n），则有=1 ①．∵=，∴，∴m=4（x+3），n=4（y+3），代入①化简可得（x+3）2+2（y+3）2=1，故选：B．设动点M（x，y），Q（m，n），则有=1 ①，由=，得到m=4（x+3），n=4（y+3），代入①化简可得结果．本题考查用代入法求点的轨迹方程，得到，是解题的关键．11.【答案】C【解析】解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ）,∴|PQ|2=（2cosθ）2+（sinθ-1）2=-3sin2θ-2sinθ+5∴当sinθ=-时，∴，故选C.直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ），利用三角函数即可得到结论．本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角函数知识，解题的关键是将问题转化为点P 与椭圆上任意一点Q的距离的最大值．612.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题.由题意可得|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作点P到直线m：3x-4y+a=0与直线l：3x-4y-9=0距离之和的5倍，，根据点到直线的距离公式解得即可．【解答】解：设z=|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=5（+），故|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作点P到直线m：3x-4y+a=0与直线l：3x-4y-9=0距离之和的5倍，∵取值与x，y无关，∴这个距离之和与P无关，如图所示：当圆在两直线之间时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，=1，化简得|a-1|=5，解得a=6或a=-4（舍去），∴a≥6 .故选：D．13.【答案】16【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查,为基础题．利用椭圆方程，直接求解m即可．【解答】解：椭圆短轴的长为8，因为a=6，2a=12，所以椭圆的焦点坐标在x轴，可得=4，解得m=16．故答案为：16．14.【答案】4【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：如图所示：由题意，圆心到直线的距离d=，∴|AB|=，设直线：x-y+6=0的倾斜角为，则,∴，，故答案为4．15.【答案】或4【解析】解：由题意，得a=4，b=2，得∴c==2，∴F1（-2，0）F2（2，0），圆心A在F1F2垂直平分线上，设圆心为M（0，m），则有AF2=4，可求得m=2，∴外接圆方程为x2+（y-2）2=16，与椭圆联立可求得P点的纵坐标y=或-2，其绝对值即为三角形的高，∴△F1PF2的面积S=F1F2*|y（A）|=或4．故答案为：或4．首先，得到该椭圆的焦点坐标，然后，求解外接圆的圆心，从而得到其方程，然后，联立方程组，求解点P的纵坐标，从而得到该三角形的高，即得其面积．本题重点考查了椭圆的简单几何性质、三角形的面积公式等知识，属于中档题．16.【答案】（-，）【解析】【分析】设P（x，y）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得2x1-4y1+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：如图所示，圆C：（x+1）2+（y-2）2=2，圆心C（-1，2），半径r=．因为|PM|=|PO|，所以|PO|2+r2=|PC|2（C为圆心，r为圆的半径）,所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1-2）2，即2x1-4y1+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,P点坐标（-，）.8故答案为（-，）．17.【答案】解：（1）∵l1⊥l2，∴a（a-1）+（-b）•1=0，即a2-a-b=0①又点（-3，-1）在l1上，∴-3a+b+4=0②由①②得a=2，b=2．（2）∵l1∥l2，∴=1-a，∴b=，故l1和l2的方程可分别表示为：（a-1）x+y+=0，（a-1）x+y+=0，又原点到l1与l2的距离相等．∴4||=||，∴a=2或a=，∴a=2，b=-2或a=，b=2．【解析】（1）利用直线l1过点（-3，-1），直线l1与l2垂直，斜率之积为-1，得到两个关系式，求出a，b的值．（2）类似（1）直线l1与直线l2平行，斜率相等，坐标原点到l1，l2的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）因为O点到直线x-y+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2．（Ⅱ）连心线斜率，设所求圆心（a，b），则，解得b=2a………①因为两圆相外切，所以………②由①②解得，或，经检验，当时，，不符合题意，故舍去．所以，所求圆的方程为（x-4）2+（y-8）2=20．【解析】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，切线方程的应用，考查转化思想以及计算能力．（Ⅰ）利用垂径定理，求出以原点O为圆心，被直线x-y+1=0所得的弦长为的圆的半径，然后求解圆的方程．（Ⅱ）求出连心线的斜率，设出圆的圆心坐标，利用两圆外切，列出方程，转化求解圆的方程．19.【答案】解：（Ⅰ）圆C的方程为x2+y2=4，圆心为坐标原点，半径为2，当斜率不存在时，x=2，过点P（2，1）且与圆C相切的直线的方程x=2满足题意；当斜率存在时，设切线方程为y-1=k（x-2），由得，．此时切线方程为：3x+4y-10=0，则所求的切线方程为x=2或3x+4y-10=0；（Ⅱ）设Q点的坐标为（x，y），∵，∴（x，y）=（x0，2y0），∴x=x0，y=2y0，∵，∴，即．所以动点的轨迹方程为.【解析】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．（Ⅰ）求出圆心与半径，利用直线的斜率是否存在，结合过点P（2，1）且与圆C相切的关系判断求解切线的方程；（Ⅱ）设出Q的坐标，通过，列出方程即可求动点Q的轨迹方程．20.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，然后由根与系数的关系进行求解．本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．21.【答案】（1）解：设l斜率为K，则l：y-3=k（x-4）得A（4-，0），B（0，3-4k）（k＜0）．，由，故∴S min=24，l：3x+4y-24=0．（Ⅱ）△OAB面积S最小时，A（8，0），B（0，6），|AB|=10，直角△OAB内切圆半径，圆心为Q（2，2），内切圆方程为（x-2）2+（y-2）2=4．设P（x，y），则x2+y2-4x-4y+4=0，其中0≤x≤4．U=|PO|2+|PA|2+|PB|2=x2+y2+（x-8）2+y2+x2+（y-6）2=3x2+3y2-16x-12y+100=88-4x（0≤x≤4），当x=0时，U max=88，当x=4时，U min=72∴U的范围是[72，88]．10【解析】（Ⅰ）设出斜率，求出AB坐标，推出△OAB（O为坐标原点）的面积S最小值，即可取得最小值时直线l的方程．（Ⅱ）求出△OAB的面积S取得最小值时△OAB的内切圆上的动点，表示u=|PO|2+|PA|2+|PB|2的表达式，求解最值即可得到取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）由题意得经过变换则有当时，，再根据得到a2=4b2，又因为椭圆过得到a=2，b=1，所以椭圆的方程为：．（Ⅱ）由题意可得椭圆右顶点A2（2，0），（1）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=x0，此时要使以A，B两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则，解得或x0=2（舍），此时直线l为．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，则有4+x1x2-2（x1+x2）+y1y2=0，化简得①联立直线和椭圆方程得（4k2+1）x2+8kbx+4b2-4=0，△=1+4k2-b2＞0，②把②代入①得即4k2b2-4k2+4b2-4-8k2b2+16kb=-（4k2b2+16k2+b2+4），12k2+16kb+5b2=0，得k=-或此时直线l过或（2，0）（舍）综上所述直线l过定点．【解析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）利用平方差法求出a，b关系，利用椭圆经过的点，即可求出a，b，得到椭圆方程．（Ⅱ）由题意可得椭圆右顶点A2（2，0），，通过（1）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=x0，求出直线l的方程．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，推出①，联立直线和椭圆方程利用韦达定理的经过代入①求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力；分类讨论思想的应用．。

江西省吉安市重点高中2021-2022高二数学上学期第一次联考试题文.doc

江西省吉安市重点高中2021-2022高二数学上学期第一次联考试题文一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设全集为R ，集合{}24A x x =<，{}13B x x =-<≤，则A (C R B)=( )A.(),1-∞-B.(],1-∞-C.()2,1--D.(]2,1--2.已知复数z i =，则1i||z+=( )A.1i +B.1i -C. 2D.13.命题“存在0x ∈R ，使得3200x x >”的否定是( )A.对任意x ∈R ，都有32x x >B.不存在0x ∈R ，使得3200x x ≤C. 对任意x ∈R ，都有32x x ≤D.存在0x ∈R ，使得3200x x ≤4.在ABC ∆中，若2sin a b A =，则B 等于( )A. 30或60B. 45或60C. 60或120D. 30或150 5.执行如下图的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是( )A.15B.105C.120D.720 6.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个大于或等于60°”时，应假设( )A.三个内角都小于60°B.三个内角都大于或等于60°C.三个内角至多有一个小于60°D.三个内角至多有两个大于或等于60° 7.甲、乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为13，14，那么两人中恰有1人合格的概率是( )A.712 B.512 C.12 D.1128.已知等比数列{}n a 的首项10a >，公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“3542S S S +>”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.曲线(0)bxy ae a =>作线性变换后得到的回归方程为10.6u x =-，则函数2y x bx a =++的单调递增区间为( )A. (0,)+∞B. (1,)+∞C. 1(,)2+∞D. 3(,)10+∞10.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =-.若函数()()g x f x a =+有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A.[]1,1-B.()1,1-C.(][),11,-∞-+∞ D.()(),11,-∞-+∞11.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线:340l x y -=交椭圆E 于A ,B 两点,若||||4AF BF +=,点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A、 B 、3(0,]4 C、 D 、3[,1)412.已知函数()f x 是定义域为(0,)+∞，()'f x 是函数()f x 的导函数，若(1)f e =，且'()(1)()0xf x x f x -+>，则不等式(ln )ln f x x x <的解集为( ) A.(0,)e B.(,)e +∞ C.(1,)e D. (0,1)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.已知点(1,P ，则它的极坐标是 .(0,02ρθπ>≤<) 14.若0>a , 0>b , 且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ba 41+的最小值等于__________.15.三棱锥P ABC -中, PA ⊥平面ABC,21PA AC AB ===,60ABC ∠=,则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________16.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上纹起终不悟。

江西省吉安市重点高中2022高二数学上学期第一次联考试题理

江西省吉安市重点高中2022高二数学上学期第一次联考试题理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“1x >”是“21x >”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2．已知复数iz 213-=（i 是虚数单位），则的实部为（）A.53- B ．53 C.51- D ．513.在5(2)x -的展开式中，2x 的系数是（）A. -80B. -10C.5D. 40 4. 已知向量()2,1a =，(),1b m =-，且()a ab ⊥-，则实数m =（）A . 2 B. 1 C. 4 D. 35.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()2=32xf x x xf e '++，则()2f ' 的值等于（）A.2-B.222e -C.22e -D.222e --6.空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：AQI 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 300以上空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2022年12月全月的指AQI 数变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（） A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值7．用数学归纳法证明22222222(21)12...(1)(1) (213)n n n n n ++++-++-+++=时，由n k =时的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是（）A ．22(1)2k k ++B ．22(1)k k ++C ．2(1)k + D ．21(1)[2(1)1]3k k +++8. 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。

江西省吉安一中高二数学上学期第一次段考试题理 (1)

江西省吉安一中2021-2021学年上学期高二第一次段考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每题5分，共50分）1. 在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（） A. 6π B. 3π C. 65π D. 32π 2. 已知点A （1，2）、B （3，1），那么线段AB 的垂直平行线的方程是（）A. 4x+2y=5B. 4x-2y=5C. x+2y=5D. x-2y=53. 空间直角坐标系中，点A （-3，4，0）与点B （x ，－1，6）的距离为86，那么x 等于（）A. 2B. －8C. 2或-8D. 8或24. 设m 、n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出以下四个命题：①假设m ⊥α,n∥α,那么m⊥n ②假设α∥β，β∥γ，m⊥α,那么m⊥γ③假设m ∥α, n∥α,那么m∥n ④假设α⊥γ， β⊥γ，那么α∥β其中正确命题的序号是（）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和④5. 如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠BAC=90°，且BC 1⊥AC，过C 1作C 1H⊥底面ABC ，垂足为H ，那么点H 在（）A. 直线AC 上B. 直线AB 上C. 直线BC 上D. △ABC 内部6. 当x , y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 时，那么y x z 42+=的最小值为（）A. 5B. 6-C. 10D. 10-7. 如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AA 1B 1B 内有一动点P 到直线AB 与直线B 1C 1的距离相等，那么动点P 所在曲线的形状为（）8. 假设直线1-=kx y 与曲线2)2(1---=x y 有公共点，那么k 的取值范围是（）A. （0，]34 B . []34,31 C. [21,0] D. [0，1] 9. 某几何体的三视图如下图，当b a +取最大值时，那个几何体的体积为（）A. 61B. 31C. 32D. 21 10. 已知直线m 、n 及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集，其中正确的选项是（）A. ①、②B. ①、②、③C. ①、②、④D. ②、③、④二、填空题：（本大题共5小题；每题5分，共25分）11. 已知直线0343=-+y x 与直线0116=++my x 平行，那么实数m 的值是______12. 一个平面截一球取得直径为25cm 的圆面，球心到那个平面的距离是2cm ，那么该球的体积是_________________。

江西省吉安市第一中学高二上学期第一次段考数学(理)试题

高二数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（）A ．（0,2），2B ．（2,0），2C ．（-2,0），4D ．（2,0），4 2.过点(1,1)A -、点(1,1)B -且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A ．22(3)(1)4x y -++= B ．22(3)(1)4x y ++-= C ．22(1)(1)4x y -+-= D ．22(1)(1)4x y +++= 3.下列四个命题中错误的个数是（）①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行； ③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行. A ．1 B ．2 C ．3 D ． 44.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，则该四棱锥侧面积是（）A ．45．551) D ．85.如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且23OM OA =，点N 为BC 中点，则MN 等于（）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．211322a b c +-6.已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是（）A ．-3或1B ．3或-1 C. -3 D ．17.圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=2 ） A ．1个 B ．2个 C. 3个 D ．4个8.设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(,,)x y z 为（）A ．111(,,)444 B. 333(,,)444C ．111(,,)333D ．222(,,)3339.一个三棱锥P ABC -的三条侧棱PA PB PC 、、两两互相垂直，且长度分别为16、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）A ．16πB ．32π C. 36π D ．64π10.已知圆22:(2)(1)3C x y -++=，从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，则入射光线的斜率为（） A ．43-B ．23- C. 43 D ．2311.已知圆22:8150C x y x +-+=，直线2y kx =+上至少存在一点P ，使得以点P 为原心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（） A ．43-B ．54- C. 35- D ．53- 12.2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）、A ．2122+ B ．6122+ C. 32D ．3122+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.过点(2,1)且与直线340x y ++=垂直的直线方程为_________.14.已知ABC ∆为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线2AD =，将ABC ∆沿AD 折成60的二面角，连结BC ，则三棱锥C ABD -的体积为__________.15.如果对任何实数k ，直线(3)(12)150k x k y k ++-++=都过一个定点A ，那么点A 的坐标是________.16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点1M AB ∈，1N BC ∈，且2AM BN =≠，有以下四个结论：①1AA MN ⊥；②11//AC MN ；③//MN 平面1111A B C D ；④MN 与11A C 是异面直线.其中正确命题的序号是_______.（注：把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知直角ABC ∆的顶点坐标(3,0)A -，直角顶点(1,22)B --，顶点C 在x 轴上.（1）求点C 的坐标；（2）求斜边的方程.18.如图，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，求图中阴影部分绕AB 旋转一周形成的几何体的表面积和体积.19.如图1是图2的三视图，三棱锥B ACD -中，E ，F 分别是棱AB ，AC 的中点. （1）求证：//BC 平面DEF ；（2）求三棱锥A DEF -的体积.20.已知圆22:(2)5C x y +-=，直线:10l mx y -+= . （1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）若圆C 与直线l 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长度. 21.已知圆22:230C x y x ++-=. （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，求证：1211x x +为定值. 22.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，PAD ∆是等边三角形.已知4AD =，3BD =28AB CD ==.（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；（2）当M 点位于线段PC 什么位置时，//PA 平面MBD ？（3）求四棱锥P ABCD -的体积.高二数学（理科）第一次段考参考答案一、选择题1-5: BCBAB 6-10:ACAAC 11、12：AD 二、填空题13. 350x y --= 14. 23315. (1,2)- 16.①③ 三、解答题17.（1）230x y --=；（2）22||(1)(22)3OB =-+-=.【解析】因为直线BC 的方程为230x --=，点C 在x 轴上，由0y =，得3x =，即(3,0)C . （2）0y =.考点：1、直线方程；2、两点间的距离.【方法点睛】本主要考查直线方程和两点间的距离，属于中等题型.第一小题由0113(1)2AB BC AB BC AB AB BC k k k k k +⊥⇒=-⇒==⇒=-=⇒---直线的方程为30x -=；第二小题由（1）得(3,0)C AC ⇒的中点为(0,0)⇒中线为OB （O为坐标原点）的斜率k OB =的方程为||3y OB =⇒==.18. 68S π=表，1403V π=. 【解析】试题分析：直角梯形绕直角腰旋转一周形成的是圆台，四分之一圆绕半径所在的直线旋转一周，形成的是半球，所以阴影部分绕AB 旋转一周形成的是组合体，圆台挖去半球，V V V =-圆台半球，S S S S =++圆台侧下底面半球表.试题解析：解：圆中阴影部分是一个圆台，从上面挖出一个半球，21=4282S ππ⨯⨯=半球，(25)535S ππ=⨯+⨯=圆台侧，25S π=圆台面，故所求几何体的表面积8352568S ππππ=++=底.………………5分221[25]4523V πππ=⨯⨯⨯=圆台341162=323V ππ=⨯⨯半球. 故所求几何体的体积16140=5233V V V πππ=--=圆台半球.……………………10分考点：简单组合体的表面积和体积. 19.（1）见解析；（2）12．【解析】试题分析：证明：（1）根据E ，F 分别是AB ，AC 的中点得到//EF BC ，应用判定定理即得证.由图1得CD AB ⊥，BD AD ⊥，BD CD ⊥，得到BD ⊥平面ACD . 取AD 的中点G ，连接EG ，求得32EG =，进一步计算体积. 试题解析：证明：（1）∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点， ∴//EF BC ，∵BC ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ， ∴//BC 平面DEF .………………4分（2）∵如图1得CD AB ⊥，BD AD ⊥，BD CD ⊥，又∵CDAD D =，∴BD ⊥平面ACD .………………8分取AD 的中点G ，连接EG ， ∵E 是AB 的中点， ∴1//2EG BD . ∴EG ⊥平面ACD ，32EG =， ∴11113122332222A EDF E ADF ADF V V S EG --∆===⨯⨯⨯⨯⨯=.………………12分考点：1、平行关系、垂直关系；2、几何体的体积. 20.（1）见解析；（2）2231()24x y +-=．【解析】（1）解法一：直线10mx y -+=恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆22:(2)5C x y +-=的内部，所以直线l 与圆C 总有两个不同交点.解法二：联立方程22(2)510x y mx y ⎧+-=⎨-+=⎩，消去y 并整理，得22(1)240m x mx +--=.因为22416(1)0m m ∆=++>，所以直线l 与圆C 总有两个不同交点.解法三：圆心(0,2)C 到直线10mx y -+=的距离1d ==≤<，所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点.（2）1d =，||4r AB ===． 21.见解析【解析】解：（1）圆22:230C x y x ++-=，配方得22(1)4x y ++=，则圆心C 的坐标为(1,0)-，圆的半径长为2；（2）设直线l 的方程为y kx =，联立方程组22230x y x y kx⎧++-=⎨=⎩，消去y 得22(1)230k x x ++-=，则有：12221x x k +=-+，12231x x k=-+，所以1212121123x x x x x x ++==为定值. 【点评】本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了点到直线的距离以及方程组的应用问题，考查了转化思想以及根与系数的应用问题，是综合性题目.22.（1）见解析；（2）M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时；（3）24. 【解析】（1）证明：在ABD ∆中，∵4AD =，BD =8AB =，∴222AD BD AB +=. ∴AD BD ⊥.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，BD 平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD .又BD 平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD . （2）当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时，//PA 平面MBD .证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接. MN ∵//AB DC ，∴四边形ABCD 是梯形. ∵2AB CD =， ∴:1:2CN NA =，又∵:1:2CM MP =，∴::CN NA CM MP =，∴//PA MN . ∵MN 平面MBD ，PA 平面MBD ，∴//PA 平面MBD . （3）过点P 作PO AD ⊥交AD 于O ,∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD . 即PO 为四棱锥P ABCD -的高，又PAD ∆是边长为4的等边三角形，∴4PO ==在Rt ADB ∆中，斜边AB=ABCD 的高.梯形ABCD 的面积482ABCD S ∆+=⨯=四棱锥P ABCD -的体积1243P ABCD V -=⨯=.。

江西省吉安市重点高中2021-2022高二数学5月联考试题理(含解析).doc

江西省吉安市重点高中2021-2022高二数学5月联考试题理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“1x >”是“21x >”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】判断充分条件还是必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，本着这个原则，显然1x >能推出21x >，但是21x >不一定能推出1x >，有可能1x <-，所以可以判断“1x >”是“21x >”的充分不必要条件.【详解】因为由1x >⇒21x >，由21x >推不出1x >，有可能1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，解题的关键是理解掌握它们定义，对于本题正确求解不等式也很关键.2.已知复数312z i=-（i 是虚数单位），则的实部为（） A.35B. 35C. 15-D.15【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，从而得到其实部.【详解】∵()()()312i 336i 12i 12i 12i 55z +===+--+，∴z 的实部为35．故应选B ．【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设()12,,,,z a bi z c di a b c dR =+=+，则()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+.3.在()52x -的展开式中，2x 的系数是（） A. 80- B. 10- C. 5 D. 40【答案】A 【解析】【分析】由二项展开式的通项公式，可直接得出结果.【详解】因为()52x -的展开式的通项为()()5515522kkk k k k k T C x C x --+=-=-，令3k =，则2x 的系数是()335280C ⨯-=-.故选A【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.4.已知向量()2,1a =，(),1b m =-，且()a ab ⊥-，则实数m =（） A. 2 B. 1C. 4D. 3【答案】D 【解析】()2,2a b m -=-，()4220a a b m ⋅-=-+=，所以3m =，故选D 。

江西省吉安市数学高二上学期理数第一次段考试卷

江西省吉安市数学高二上学期理数第一次段考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）下列命题正确的个数是（）（1）命题“”的否定是“”；（2）函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；（3）在上恒成立在上恒成立（4）“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”。

A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A . 若a＞b，则ac2＞bc2B . 若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C . 若a＜b，则＞D . 若a＞b＞0，则＞3. （2分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c[a、b、c∈（0，1）]，已知他投篮一次得分的数学期望为1（不计其它得分情况），则ab的最大值为（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·福州期中) 已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A . a＜﹣2，或a＞7B . ﹣2＜a＜7C . ﹣7＜a＜2D . a=﹣2，或a=75. （2分） (2017高三上·廊坊期末) 如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，则| |的取值范围为（）A . [ ，5]B . [ ，4]C . [ ， ]D . [ ，4]6. （2分） (2019高二下·雅安月考) 到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（）A . 椭圆B . 两条射线C . 双曲线D . 线段7. （2分）已知满足约束条件，若的最大值为4，则（）A . 3B . 2C . -2D . -38. （2分） (2016高二上·会宁期中) 已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（）A . ﹣2B . 3C . 7D . 129. （2分）(2017·广州模拟) 若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A . ﹣1B . 1C .D . 210. （2分）使“lgm<1”成立的一个充分不必要条件是（）A .B .C . 0<m<10D . m<111. （2分）根据人民网报道，2015年11月10日早上6时，绍兴的AQI（空气质量指数）达到290，属于重度污染，成为，成为74个公布PM2.5（细颗粒物）数据城市中空气质量最差的城市，保护环境，刻不容缓．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，可以把细颗粒物进行处理．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为y=x2﹣200x+80000．则每吨细颗粒物的平均处理成本最低为（）A . 100元B . 200元C . 300元D . 400元12. （2分） (2016高三上·杭州期中) 已知f（x）=sin（x+φ）（φ∈R），则“φ= ”是“f（x）是偶函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·汕头期末) 已知正数x，y满足 + =1，则 + 的最小值为________．14. （1分）对于任意实数x，不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是________．15. （1分）当x∈[﹣1，2]时，x3﹣x2﹣x＜m恒成立，则实数m的取值范围是________．16. （1分）如图阴影部分可用二元一次不等式组表示为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2016高二上·成都期中) 已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根．（1）若“￢p”为假命题，求m范围；（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．18. （15分） (2017高二上·临沂期末) 北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入（50+2x）万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．19. （10分） (2019高一上·兴义期中) 已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）解不等式：20. （5分） (2019高一上·西城期中) 已知关于x的不等式的解集为A，且 .（I）求实数a的取值范围；（II）求集合A．21. （10分）已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作zn ．若数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，且点（Sn ， an）在直线zn=x+y上．（Ⅰ）证明：数列{an﹣2}为等比数列；（Ⅱ）求数列{Sn}的前n项和Tn ．22. （5分）已知函数与（其中）在上的单调性正好相反，回答下列问题：（1）对于，，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）令，两正实数、满足，求证： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。

江西省吉安市第一中学2016-2017学年高二上学期第一次段考数学(理)试题含答案

高二数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

圆2240+-=的圆心坐标和半径分别为( ）x y xA．（0,2），2 B．（2，0），2 C．(—2，0）,4 D．（2,0），42。

过点(1,1)x y+-=上的圆的方程是（）A-、点(1,1)B-且圆心在直线20A．22(3)(1)4x y++-=-++=B．22(3)(1)4x yC．22x y(1)(1)4+++=-+-=D．22(1)(1)4x y3.下列四个命题中错误的个数是( )①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行.A．1 B．2 C．3 D．44.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主）视图如图所示，则该四棱锥侧面积是（)A．45B．65 C. 4(51)D．85。

如图,空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上,且23OM OA =,点N 为BC 中点，则MN 等于（）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．211322a b c +-6。

已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =,若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是（ )A ．—3或1B ．3或—1 C. —3 D ．1 7.圆222430xx y y +++-=上到直线10x y ++=2 ）A ．1个B ．2个 C. 3个 D ．4个 8.设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++,则(,,)x y z 为（ )A ．111(,,)444 B.333(,,)444 C ．111(,,)333D ．222(,,)3339.一个三棱锥P ABC -的三条侧棱PA PB PC 、、两两互相垂直，且长度分别为163，则这个三棱锥的外接球的表面积为（)A ．16πB ．32πC 。

2022-2023学年高二上学期第一次联考数学试题(解析版)

潜伏期（单位：天）
人数
17 43 60 50 26
3
1
试卷第 3 页，共 6 页
该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系判断是否有 99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关，请根据上表数据将如下列联表补
充完整后，求出随机变量 K 2 的观测值 k ___________.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知 A、B、C 三点不共线， O 为平面 ABC 外的任一点，则“点 M 与点 A, B、C 共面”
的充分条件的是（）
A． OM 2OA OB OC
B． OM OA OB OC
C．
OM
OA
k1
，
k2
且
k1k2
9 4
，直线
A1M
和直线
A2 N
交于点 P
x0, y0
.
①探究直线 l 是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；
②证明： x0 为定值，并求出该定值.
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1．C 【分析】利用两直线平行的等价条件求得 m，再结合充分必要条件进行判断即可. 【详解】由直线 l1 平行于 l2 得－m(m－1)＝1×(－2)，得 m＝2 或 m＝－1，经验证，当 m＝－1 时，直线 l1 与 l2 重合，舍去，所以“m＝2”是“l1 平行于 l2”的充要条件，故选 C. 【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题 2．B 【分析】根据点 M 与点 A, B,C 共面，可得 x y z 1，验证选项，即可得到答案.
(1)判断 AB 与 PB 是否垂直，并说明理由；

2021-2022学年江西省吉安市第一中学高二数学理联考试题含解析

2021-2022学年江西省吉安市第一中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若动点分别在直线：和：上移动，则中点到原点距离的最小值为（）A．B． C．D．参考答案：A2. 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱参考答案：B【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项．【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，可知几何体如图：几何体是三棱柱．故选：B．【点评】本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法，考查空间想象能力．3. 不等式2x2﹣axy+y2≤0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤B．a≥C．a≥D．a≥参考答案：D【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将不等式等价变化为，则求出函数的最大值即可．【解答】解：不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，∴，即，∴，则，∵，当且仅当t=，即t=时取等号．但此时基本不等式不成立．又y=t在[]上单调递减，在[，3]上单调递增，∵当t=时，，当t=3时，t．∴的最大值为．∴a．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，要求熟练掌握函数f（x）=x+图象的单调性以及应用．4. 曲线在点处的切线倾斜角为（）.A．B．C．D．参考答案：A5. 抛物线y2=4x的焦点到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为（）A．B．C．D．参考答案：B【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点（1，0）到双曲线﹣y2=1的渐近线x±2y=0的距离为：=．故选：B．6. 如图所示，在棱长为1的正方体的面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为( )A．B．C． 2D．参考答案：A略7. 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A.150种B.147种C.144种 D.141种参考答案：D略8. 我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是（）A．分层抽样B．抽签抽样C．随机抽样D．系统抽样参考答案：D【考点】系统抽样方法．【分析】学生人数比较多，把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班学号尾数为5的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．【解答】解：∵学生人数比较多，∵把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班编号尾数为5的同学留下进行交流，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选D．9. 已知{a n}是等差数列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n项和S n最小的n是（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：B略10. 点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．直线参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知都是正实数，函数的图象过点，则的最小值是 .参考答案：略12. 如图，是一程序框图，则输出结果为________．参考答案：13. 在各项都为正数的等比数列{)中,,则公比q的值为参考答案：214. 命题“若，则”的否命题是．参考答案：15. 某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：产量（千件）成本（万元）则该产品的成本与产量之间的线性回归方程为．参考答案：依题意，代公式计算得，所以线性回归方程为16. 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合P={3，4}，Q={1，3，5}，则P∩（?U Q）= ．参考答案：{4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，进行运算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合P={3，4}，Q={1，3，5}，所以?U Q={2，4}，所以P∩（?U Q）={4}．故答案为：{4}．17. （理科）把一组邻边分别为1和的矩形ABCD沿对角线AC折成直二面角B—AC—D且使A、B、C、D四点在同一球面上，则该球的体积为参考答案：,略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

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吉安市重点高中2020届高二年级联考数学（理）试卷命题人：吉水中学李技萍审题人：遂川中学康显春一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“1x >”是“21x >”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2．已知复数iz 213-=（i 是虚数单位），则的实部为（）A.53- B ．53 C.51- D ．513.在5(2)x -的展开式中，2x 的系数是（）A. -80B. -10C.5D. 40 4. 已知向量()2,1a =，(),1b m =-，且()a ab ⊥-，则实数m =（）A . 2 B. 1 C. 4 D. 35.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()2=32xf x x xf e '++，则()2f ' 的值等于（）A.2-B.222e -C.22e -D.222e --根据统计图判断，下列结论正确的是（） A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值7．用数学归纳法证明22222222(21)12...(1)(1) (213)n n n n n ++++-++-+++=时，由n k =时的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是（）A ．22(1)2k k ++B ．22(1)k k ++C ．2(1)k + D ．21(1)[2(1)1]3k k +++8. 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。

某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B=“取出一个红球，一个白球”，则(P ( )9. 若()()89019112x x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，x R ∈，则29129222a a a ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅的值为（）A ．92B ．921-C ．93D ．931- 10.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n ≥3，n ∈N*）”是由前n 2个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示)．则“5阶幻方”的幻和为（）A. 75B. 65C.55D. 4511.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(F ，点A 的坐标为(0,2)，点P 为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 12.己知函数()xf x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（）A ．[,)e -+∞B ．[1,)-+∞C ．(,1]-∞-D ．(,]e -∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知11a x -=，则a 的值为．14. 学校要安排7位行政人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日. 不同的安排方法共有种.（用数字作答） 15.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是 . 16.把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数()[]f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[2，5]上任取x ，则[]x =的概率为三、解答题：(共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 17. (本小题满分10分）在斜ABC ∆中，角,,A B C 所对边,,a b c 成等差数列，且 sin()sin cos 3B AC A -+=，（Ⅰ）求cos B 的大小；（Ⅱ）已知4b =，求ABC ∆的面积．18.(本小题满分12分）设函数f (x ) =x 3 – 3ax 2 + 3bx 的图象与直线12x + y –1 =0 相切于点（1,－11）．（Ⅰ）求a , b 的值；（Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性．19. (本小题满分12分）0.75||1r ≤≤，则认为与x 线性相关性很强；0.3||0.75r ≤≤，则认为与线性相关性一般；||0.25r ≤，则认为y 与线性相关性较弱）；（Ⅱ）求y 关于的线性回归方程，并预测我市2019年特色学校的个数（精确到个）．参考公式：，，，，，.20. (本小题满分12分）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A,B 实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A,B 两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：，其中.）21. (本小题满分12分）如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，四边形ABCD 为平行四边形，4ABC π∠=，2AB AC ==，M 为线段AD 的中点，点N 满足2PN ND =. （Ⅰ）求证：直线//PB 平面MNC ；（Ⅱ）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知函数2()ln 2,f x x x ax x a R =-+∈.（Ⅰ）若()f x 在(0,)+∞内单调递减，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若函数()f x 有两个极值点分别为12,x x ，证明：1212x x a+>.吉安市重点高中2020届高二年级联考13. 2π14. 2400 15.乙 16.1317.解：由sin()sin cos 3B AC A -+= 得sin cos sin cos sin cos sin cos B A A B B A A B -++2sin cos B A =cos 3A =，………2分所以sin 3B =或cos 0A =（舍），………3分因为2b a c =+，所以b a <或b c <，故B ∠是锐角，1cos 3B ==……………5分（1） ,,a b c 成等差数列，且4b =，所以8a c +=……………6分由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，所以22()2(1cos )b a c ac B =+-+,18ac =， (8)分112sin 182223ABC S ac B ∆∴===10分 18.解：（Ⅰ）求导得b ax x x f 363)(2+-=' …………2分由于)(x f 的图象与直线0112=-+y x 相切于点（1，－11）所以12)1(,11)1(-='-=f f ，即 ⎩⎨⎧-=+--=+-.12363,11331b a b a …………5分解得 3 ,1-==b a .………6分（Ⅱ）由3,1-==b a 得)3)(1(3)32(3363)(22-+=--=+-='x x x x b ax x x f令0)(>'x f ，解得31>-<x x 或；又令0)(<'x f ，解得.31<<-x ………9分所以当)1,(--∞∈x 时，)(x f 是增函数；当),3(+∞∈x 时，)(x f 也是增函数；但 )3 ,1(-∈x 时，)(x f 是减函数. …………12分19.解：（Ⅰ），，………2分，…5分∴与线性相关性很强. ………6分（Ⅱ）， (8)分，∴关于的线性回归方程是. ………10分当时，（=0.36 3+1=2.08）（百个），即我市2019年特色学校的个数约为208个. ………12分20.由，解得………2分由与频率分布直，优质花苗的频率为，即概率为，………3分设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为，则，于是，其分布列为：………7分所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望………8分结合与频率分布直方图，优质花苗的频率为，则样本种，优质花苗的颗数为棵，列联表如下表所示：………10分可得所以，有的把握认为优质花苗与培育方法有关系. ………12分21.（Ⅰ）证明：连接BD ，交MC 于点O ，连接NO 在平行四边形ABCD 中，因为12MD BC =，所以12OD OB =，又因为2PN ND =，即12ND PN =，所以//ON PB ，又因为ON ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC ，所以直线//PB 平面M . ……………5分（Ⅱ）证明：因为PA PD =，M 为线段AD 的中点，所以PM AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD 于AD ，PM ⊂平面PAD所以PM ⊥平面ABCD在平行四边形ABCD 中，因为45ABC ∠=，2AB AC ==，所以AB AC ⊥如图，以A 为原点，分别以,AB AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0)B C ，(2,2,0),(1,1,0)D M --因为PM ⊥平面ABCD ………7分设(1,1,)P t -(0)t >，因为(2,0,0)AB =，(1,1,)AP t =- 设(,,)x y z =m 为平面ABP 的一个法向量则00x x y tz =⎧⎨-++=⎩不妨设(0,,1)t =-m因为(2,0,0)DC =，(1,1,)DP t =-设(,,)x y z =n 为平面DCP 的一个法向量则00x x y tz =⎧⎨-+=⎩不妨设(0,,1)t =n 因为平面PAB ⊥平面PCD ，所以⊥m n ，所以210t ⋅=-=m n 以为0t > 所以1t = ………9分所以(3,1,1)BP =-，(0,1,1)=n ，所以sin cos ,11BP θ=<>==n所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为11. ……………12分。