2018-2019北京市高三上学期期末数学考试压轴题汇编学生版

（2018-2019丰台高三期末理20） 20．（本小题13分）
将m n ⨯阶数阵111212122212
,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j st a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m =，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵
{}i j m n a ⨯具有性质A .
（Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为
1
2
的等比数列； （Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.
（2018-2019海淀高三期末理20） （20）（本小题满分13分）
设n 为不小于3的正整数，集合12{(,,
,)|{0,1},1,2,3,
,}n n i x x x x i n Ω=∈=,对于集合
n Ω中的任意元素12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=，记
11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+
++-.
(Ⅰ) 当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β； (Ⅱ) 若n αβ∈Ω，，且n ααββ*+*=，求αβ*的最大值和最小值；
（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素 αβ，，有1n αβ*≥-成
立，求集合S 中元素个数的最大值.
（2018-2019东城高三期末理20） (20)（本小题14分）
对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *
+===+∈N .
（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；
（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥. 求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数
k 不是数列{}n a 中的项；
（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，
求证：n n A B ≤.
（2018-2019西城高三期末理20） 20．（本小题满分13分）
设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N >：
满足i j a a <，其中1i j N <≤≤. 如果存在
{2,3,
,}k N ∈，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称为“k 阶平衡数列”.
（Ⅰ）判断数列2, 4, 6, 8, 10和数列1, 5, 9, 13, 17是否为“4阶平衡数列”？
（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈.
（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,
,}k N ∈，数列均为“k 阶平衡数列”，求
数列A 中所有元素之和的最大值.
A A
（2018-2019石景山高三期末理20） 20.（本小题13分）
将1至2n 这2n 个自然数随机填入n n ⨯方格的2n 个方格中，每个方格恰填一个数（*2,n n ∈N ≥）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这
2(1)n n -个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．
（Ⅰ）若2n =，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”； （Ⅱ）当3n =时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为1
n n
+； （Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于1
n n
+．
（2018-2019朝阳高三期末理20） 20.（本小题满分13分）
已知12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由正整数组成的无穷数列，对任意n *
∈N ，n a 满足如下两个条件：
①n a 是n 的倍数； ②15n n a a +-≤.
（Ⅰ）若130a =，232a =，写出满足条件的所有3a 的值； （Ⅱ）求证：当11n ≥时，5n a n ≤； （Ⅲ）求1a 所有可能取值中的最大值.。