步步高2015大二轮数学第四篇 高考压轴大题突破练(一)
2016版《步步高》高考数学大二轮总复习
方法二 对a分类讨论：
当
a>0
时，∵log2a>log
1 2
a，∴a>1.
当
a<0
时，∵log
1 2
(－a)>log2(－a)，∴0<－a<1，
∴－1<a<0，故选C.
答案 C
思维升华
(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之 一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨 论、等价转化等数学思想方法及其运算能力. (2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的 单调性.
ax＋b 跟踪演练 2 (1)(2015·安徽)函数 f(x)＝x＋c2的图象如图所
示，则下列结论成立的是( ) A.a>0，b>0，c<0 B.a<0，b>0，c>0 C.a<0，b>0，c<0 D.a<0，b<0，c<0
解 析 函 数 定 义 域 为 {x|x≠ － c} ， 结 合 图 象 知 － c>0 ，
a)≤2f(1)，则a的取
值范围是________.
解析 由题意知 a>0，又 log 1 a＝log2a－1＝－log2a. 2
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(log1 a). 2
∵f(log2a)＋f(log 1 a)≤2f(1)， 2
∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1). 又∵f(x)在[0，＋∞)上递增. ∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1， ∴a∈12，2. 答案 [12，2]
【步步高】2015届高考数学(理科,全国通用)二轮专题配套word版练习： 立体几何]
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立体几何1．一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在正(主)视图下面，长度与正(主)视图一样，侧(左)视图放在正(主)视图右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”．在画一个物体的三视图时，一定注意实线与虚线要分明．[问题1] 如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________． 答案 432．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y 轴的线段平行性不变，长度减半．”[问题2] 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________． 答案 2 23．简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高)． (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．(3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)．(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线)， S 圆锥侧＝πrl (同上)，S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′、r 分别为上、下底的半径，l 为母线)． (5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高)．(6)球的表面积和体积 S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.[问题3] 如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( ) A ．4π B ．3π C ．2π D.32π 答案 D4．空间直线的位置关系：①相交直线——有且只有一个公共点．②平行直线——在同一平面内，没有公共点．③异面直线——不在同一平面内，也没有公共点．[问题4] 在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的中点，则直线EG 和FH 的位置关系是________． 答案 相交5．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交． ②直线与平面平行的判定定理和性质定理：判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．③直线与平面垂直的判定定理和性质定理：判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)平面与平面①位置关系：平行、相交(垂直是相交的一种特殊情况)． ②平面与平面平行的判定定理和性质定理：判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． ③平面与平面垂直的判定定理和性质定理：判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．[问题5] 已知b ，c 是平面α内的两条直线，则“直线a ⊥α”是“直线a ⊥b ，直线a ⊥c ”的________条件． 答案 充分不必要 6．空间向量(1)用空间向量求角的方法步骤①异面直线所成的角若异面直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，它们所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|. ②直线和平面所成的角利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：方法一 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两条直线的方向向量的夹角(或其补角)．方法二 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． ③利用空间向量求二面角也有两种方法：方法一 分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小．方法二 通过平面的法向量来求，设二面角的两个面的法向量分别为n 1和n 2，则二面角的大小等于〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．易错警示：①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易误以为是线面角的余弦．②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析． (2)用空间向量求A 到平面α的距离： 可表示为d ＝|n ·AB →||n |.[问题6] (1)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于________．(2)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为________． 答案 (1)64 (2)24解析 (1)方法一 取A 1C 1的中点E ，连接AE ，B 1E ，如图． 由题意知B 1E ⊥平面ACC 1A 1，则∠B 1AE 为AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角． 设正三棱柱侧棱长与底面边长为1， 则sin ∠B 1AE ＝B 1E AB 1＝322＝64.方法二 如图，以A 1C 1中点E 为原点建立空间直角坐标系E －xyz ，设棱长为1，则A ⎝⎛⎭⎫12，0，1，B 1⎝⎛⎭⎫0，32，0， 设AB 1与平面ACC 1A 1所成的角为θ，EB 1→为平面ACC 1A 1的法向量． 则sin θ＝|cos 〈AB 1→，EB 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－12，32，－1·⎝⎛⎭⎫0，32，02×32＝64. (2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，1. 设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AD 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋z ＝0.令z ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，∴n ＝(1,0,1)，又OD 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0， ∴O 到平面ABC 1D 1的距离d ＝|n ·OD 1→||n |＝122＝24.易错点1 三视图认识不清致误例1 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80错解 由三视图知，该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4，宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是正方形，边长为4. 所以表面积S ＝42×3＋2×4＋2×12(2＋4)×4＝48＋8＋24＝80.找准失分点 不能准确把握三视图和几何体之间的数量关系，根据正视图可知，侧视图中等腰梯形的高为4，而错认为等腰梯形的腰为4.正解 由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12 ＝17.所以S 表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.答案 C易错点2 对几何概念理解不透致误例2 给出下列四个命题：①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ④底面是矩形的平行六面体是长方体．其中正确的命题是__________(写出所有正确命题的序号)． 错解1 ①②③ 错解2 ②③④找准失分点 ①是错误的，因为棱柱的侧棱要都平行且相等；④是错误的，因为长方体的侧棱必须与底面垂直． 正解 ②③易错点3 对线面关系定理条件把握不准致误例3 已知m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题： ①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α，或n ⊥β； ②若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β； ⑤若m 、n 为异面直线，则存在平面α过m 且使n ⊥α. 其中正确的命题序号是________． 错解 ②③④⑤找准失分点③是错误的；⑤是错误的．正解①是错误的．如正方体中面ABB′A′⊥面ADD′A′，交线为AA′.直线AC⊥AA′，但AC不垂直面ABB′A′，同时AC也不垂直面ADD′A′.②正确．实质上是两平面平行的性质定理．③是错误的．在上面的正方体中，A′C不垂直于平面A′B′C′D′，但与B′D′垂直．这样A′C就垂直于平面A′B′C′D′内与直线B′D′平行的无数条直线．④正确．利用线面平行的判定定理即可．⑤错误．从结论考虑，若n⊥α且m⊂α，则必有m⊥n，事实上，条件并不能保证m⊥n.故错误．答案②④1．已知三条不同直线m，n，l与三个不同平面α，β，γ，有下列命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若m，n为异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析因为平行于同一平面的两条直线除了平行，还可能相交或成异面直线，所以命题①错误；由直线与平面平行的定义知命题②正确；由于垂直于同一个平面的两个平面可能平行还可能相交，因此命题③错误；过两条异面直线分别作平面互相平行，这两个平面是唯一存在的，因此命题④正确．故选C.2．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是()A．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件答案 A解析当m⊂α时，若n∥α可得m∥n或m，n异面；若m∥n可得n∥α或n⊂α，所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件，答案选A.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A ．64B ．72C ．80D ．112答案 B解析 根据三视图，该几何体为下面是一个立方体、上面两个三棱锥，所以V ＝4×4×4＋2×13×(12·4·2)×3＝72，故选B.4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不正确的结论是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C解析 作出过M ，N ，P ，Q 四点的截面交C 1D 1于点S ，交AB 于点R ，如图所示中的六边形MNSPQR ，显然点A 1，C 分别位于这个平面的两侧，故A 1C 与平面MNPQ 一定相交，不可能平行，故结论②不正确．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．2＋ 2B ．3＋ 2C ．1＋2 2D ．5答案 A解析 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，如图所示． 该几何体的底面是边长为1的正方形，故S 1＝12＝1. 侧棱P A ⊥面ABCD ，且P A ＝1， 故S △P AB ＝S △P AD ＝12×1×1＝12，而PD ⊥DC ，CB ⊥PB ，且PB ＝PD ＝2， 所以S △PBC ＝S △PDC ＝12×2×1＝22.所以该几何体的表面积为S ＝1＋2×12＋2×22＝2＋ 2.故选A.6．如图，已知六棱锥P —ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( ) A ．PB ⊥ADB ．平面P AB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45° 答案 D解析 若PB ⊥AD ，则AD ⊥AB ，但AD 与AB 成60°角，A 错误；平面P AB 与平面ABD 垂直，所以平面P AB 一定不与平面PBC 垂直，B 错误；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，C 错误；直线PD 与平面ABC 所成角为∠PDA ，在Rt △P AD 中，AD ＝P A ， ∴∠PDA ＝45°，D 正确．7．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题： ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则BC ⊥AD ； ②若AB ＝CD ，AC ＝BD ，则BC ⊥AD ； ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ； ④若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则BC ⊥AD .其中正确的是________．(填序号) 答案 ①④解析 取线段BC 的中点E ，连接AE ，DE ， ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE ， ∴BC ⊥平面ADE ， ∵AD ⊂平面ADE ， ∴BC ⊥AD ，故①正确．设点O 为点A 在平面BCD 上的射影， 连接OB ，OC ，OD ， ∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴OB ⊥CD ，OC ⊥BD ， ∴点O 为△BCD 的垂心， ∴OD ⊥BC ，∴BC ⊥AD ，故④正确，易知②③不正确，填①④.8.如图，四面体ABCD 中，AB ＝1，AD ＝23，BC ＝3，CD ＝2，∠ABC ＝∠DCB ＝π2，则二面角A －BC －D 的大小为________．答案 π3解析 由∠ABC ＝∠DCB ＝π2知，BA →与CD →的夹角θ就是二面角A －BC －D 的平面角． 又AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴AD →2＝(AB →＋BC →＋CD →)2 ＝AB →2＋BC 2→＋CD →2＋2AB →·CD →.因此2AB →·CD →＝(23)2－12－32－22＝－2， ∴cos(π－θ)＝－12，且0<π－θ<π，则π－θ＝23π，故θ＝π3.9．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ∥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中为真命题的是________．(填序号) 答案 ①④解析 对命题①，则l ⊥α，α∥β得，l ⊥β，m ⊂β，∴l⊥m，故①正确．对命题②，l⊥mD⇒/l⊥β，则l⊥mD⇒/α∥β，故②错误．对命题③，当α⊥β时，l与m也可能相交或异面或平行，故③错误．对命题④，由l⊥α，l∥m得m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β，故④正确．10．三棱锥D－ABC及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则棱BD的长为________．答案4 2解析由正(主)视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝2；由侧(左)视图知CD＝4，BE＝23，在Rt△BCE中，BC＝BE2＋EC2＝(23)2＋22＝4，在Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝42＋42＝4 2.故答案为4 2.。
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习专.
第1讲排列.组合与二项式定理2•排列、组合、两个计数原理往往通过实际问 题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式 出现，难度中等，还经常与概率问题相结合， 出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也 为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在 选择题或填空题中，难度为易或中等.考情解读 1 •高考中对两个计数原理、排考情解手学2F知识梳理1 •分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.2 •排列与组合⑴排列：从光个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从死个不同元素中取出加个元素的一个排歹•从〃个不同元素中取出加个元素的排列数公式是A = n{n - 1）（〃-2）…（〃+ 1）或写成n\（2）组合：从死个不同元素中取出个元素组成一组，叫做从死个不同元素中取出加个元素的一个组 合•从〃个不同元素中取出加个元素的组合数公式是 咆d ・g+l ）或号成r -5 -」 /与秋5-应！（…）! • ⑶组合数的性质①etc ；严；②c^^c+cr 1. 3•二项式定理⑴二项式定理：(a + b)" = C%"沪 + C\a n ~lb + C%"叫2 + ••• + Gfl"~r b r + ••• + C"^b'\r = 0,1^, •••, n). (2)二项展开式的通项Tr +i = W, r = 0,U, •», n,其中 C ；叫做二项 式系数.11m\_ 亠and）二项式系数的性质①对称性:与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等cm即eg, cjzzcr1,②最大值：当"为偶数时，中间的一项的二项式系数&取得最大值;当«为奇数时，中间的两项的二项式系数C二卅1C］相等，且同时取得最大值.+ 1 + •••③各二项◎丽分类突破＞热点一两个计数原理＞热点二排列与组合＞热点三二项式定理两个例1 (1)将1,2,3,…，9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大•当思维启迪先3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为(A.6 种B.12 种C.18 种D.24 种—•O * "E解析•• •每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1，2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6,7,8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法.共有2X3=6种结果，故选A・答案A⑵如果一个三位正整数“a“J满足如＜^且如《2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275), 那么所有凸A.240B.204C.729D.920 思维启迪按中间数进行分类.解析分8类，当中间数为2时，有1X2=2种;当中间数为3时，有2X3=6种；当中间数为4时，有3X4 = 12 种；当中间数为5时，有4X5=20 种；当中间数为6时，有5X6=30 种；当中间数为7时，有6X7=42 种；（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理 时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到!■ 分类加法计数原理.（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当i 玄加练1选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则 不同的选法共有（）A.60 种B.70 种C.75 种D.150 种 思或表(1)(201）有6名男医生、5名女医生，从中列出示意足这样条件的函数的个数为（A.8B.9C.26D.27ln(x 2+l)=l=»x=±A/e —1,ln(x 2+l)=2=>x=±\t 2--l,所以定义域取值即在这5个元素中选取,②当定义域中有4个元素时，C ；C]=4,③当定义域中有5个元素时，有一种情况. 所以共有4+4+1=9（个）这样的函数. 答案B数/仗2111（2 + 1）的值域为{0,1,2},则满 ①当定义域中有3个元素C ；C ；Cj=4, 解析I软诫汇排列与组合例2 （1）（2014 •重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.168思维启迪将不能相邻的节目插空安排；—廿•: GW q「IT •解卞先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1, 小品2,相声” “小品1,相声，小品2”和“相声, 小品1,小品2"・对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2口相声丁 ,有A；CjA；=36（种）安排方法;同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“口小品1□相声□小品2□” ,有A圖=48（种）安排方法，故共有36+36+48=120（种）安排方法.答案B其中“1=(), “5 = 2, “]2 = 5,且％+ 1-加=1，R = l，2,3,…，11,则满足这种条件的不同数列的个数为（A.84B.168C.76D.152思维启迪⑵数列V\a k+x—a^ = l, jt = 1,2,3， (11)前一项总比后一项大1或小1,如到色中4个变化必然有3升1减，到如2中必然有5升2减，是组合的问题，AC1XC?=84. 答案A解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.⑵以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.变式训练2（1）在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序〃和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）A.24 种C.96 种B.48 种D.144 种首先安排4有2种方法；第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排C, 有4种排法，而C位置互换有2种方法；第三步安排剩余的3个程序，有&种排法, 共有2X4X2XA；=96（种）.答案C(2)从0,1,23,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数________ (用数字作答).且为0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位一是当0在个位的四位偶数有A；=24(个);二是当0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的三个数选一个放在首位，应有A]A提=36(个),故共有四位偶数60个.丰热点三二项式定理例3 (1)在(a+x)7展开式中『的系数为35,则实数a的值为 _____ •思维启迪利用通项公式求常数项;解析通项公式：77+i=C"-匕所以展开式中J的系数为C制=35,解得尸1・P)如果(1 +X +Z)(x 一“)5(“为实常数)的展开式中所有项 的系数和为0,则展开式中含0项的系数为—_・思维启迪可用赋值法求二项展开式所有项的系数和. 解析•・・令兀=1得(1+x +x 2)(x 一“)啲展开式中所有项 的系数和为(1 + 1 + 12)(1-«)5=0, •I “ = 1, (1 +x +x 2)(x —a)5=(1 +x +x 2)(x — l)5= (Z —1)仗一1)4=兀3仗一1)4一仗一1)4, 其展开式中含『项的系数为d(-l)3-C ；(-l)°=-5.(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：① 它表示二项展开式的任意项，只要死与厂确定， 该项就随之确定；② 7；+】是展开式中的第厂+1项，而不是第厂项； ③ 公式中，方的指数和为nRa, 〃不能随便颠 倒位置；思维升4④ 对二项式(a-by 展开式的通项公式要特别注意符号问题.(2) 在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一 种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的 经典方法. 变式训练3(1)(2014•湖北诺二项式(2工+了的展开式中］的系数 是84,则实数a 等于()A.2思维升尹叱5»r二项式(2x+-)7的展开式的通项公式为T；+1 = G(2Q7 丁白JC 旷处7巳令7—2r=—3,得厂=5・故展开式中Z的系数是C?2V=84,解得a=l.X答案C—<«>/*«J r n(2)(2014-浙江)在(1 +x)6(l +刃4的展开式中，记严尸项的系数为几n, n),贝IJ/(3,O) +/(2,1) +/(1,2) + 力0,3)等于(。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛模拟试题一
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题全国高中数学联赛模拟试题（一）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是（A ）1（B ）3（C ）4（D ）52、函数12-=x x y （x ∈R ，x≠1）的递增区间是（A ）x≥2 （B ）x≤0或x≥2 （C ）x≤0（D ）x≤21-或x≥23、过定点P(2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O 为原点）的面积最小，则l 的方程为 （A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝04、若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是（A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）516、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是 （A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、[x]表示不大于x 的最大整数，则方程21×[x2＋x]＝19x ＋99的实数解x 是． 2、设a1＝1，an+1＝2an ＋n2，则通项公式an ＝． 3、数799被2550除所得的余数是．4、在△ABC 中，∠A ＝3π，sinB ＝135，则cosC ＝．5、设k 、是实数，使得关于x 的方程x2－(2k ＋1)x ＋k2－1＝0的两个根为sin 和cos ，则的取值范围是． 6、数()n2245+（n ∈N ）的个位数字是．三、 （20分）已知x 、y 、z 都是非负实数，且x ＋y ＋z ＝1．求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．四、 （20分）（1） 求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x2＋(a ＋)x ＋a ＝0的两根皆为整数． （2） 试求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x3＋(－a2＋2a ＋2)x －2a2－2a ＝0有三个整数根．五、 （20分）试求正数r 的最大值，使得点集T ＝{(x,y)|x 、y ∈R ，且x2＋(y －7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S ＝{(x,y)|x 、y ∈R ，且对任何∈R ，都有cos2＋xcos ＋y≥0}之中．第二试一、（50分） 设a 、b 、c ∈R ，b≠ac ，a≠－c ，z 是复数，且z2－(a －c)z －b ＝0．求证：()12=-+-+bac zc a b a 的充分必要条件是(a －c)2＋4b≤0．二、（50分）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证： （1） AK ⊥BC ；（2） BCS AQ AP AK ABC△2<=<，其中ABC S △表示△ABC 的面积．三、（50分）给定一个正整数n ，设n 个实数a1,a2,…,an 满足下列n 个方程：∑==+=+ni i n j j j i a 1),,3,2,1(124． 确定和式∑=+=ni ii a S 112的值（写成关于n 的最简式子）． 参考答案第一试题号 1 2 3 4 5 6 答案 CCDABD二、填空题： ACBD QK PA BCDMNA 1D 1B 1C 1图11、38181-或381587；2、7×2n1－n2－2n －3；3、343；4、261235-；5、{|＝2n ＋或2n －2π，n ∈Z} ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）． 三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z z y ．四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9． 五、rmax ＝24．第二试一、证略（提示：直接解出()2i42⋅---±-=b c a c a z ，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC 边上的高AR ，利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、CP 三线共点，从而AK ⊥BC ；记AR 与PQ 交于点T ，则BCS ABC△2＝AR ＞AT ＞AQ ＝AP ，对于AK ＜AP ，可证∠APK ＜∠AKP ）． 三、()11212++-=n S ．全国高中数学联赛模拟试题（二）（命题人：江厚利 审题人：李潜）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1、已知集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--=123,a x y y x A ，()()(){}1511,2=-+-=y a x a y x B ．若∅=B A ，则a 的所有取值是（A ）－1，1 （B ）－1，21（C ）±1，2（D ）±1，－4，25 2、如图1，已知正方体ABCD －A1B1C1D1，点M 、N 分别在AB1、BC1上，且AM ＝BN ．那么， ①AA1⊥MN ；②A1C1∥MN ；③MN ∥平面A1B1C1D1； ④MN 与A1C1异面．以上4个结论中，不正确的结论的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）43、用Sn 与an 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则nnn S a ∞→lim的值为 （A ）43（B ）45 （C ）47（D ）49 4、首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有（A ）216个（B ）252个（C ）324个（D ）432个5、对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负实数．则c b a ab ++-的最大值是（A ）31 （B ）21（C ）3（D ）26、双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F1，顶点为A1、A2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定（A ）相交（B ）相切（C ）相离（D ）以上情况均有可能二、填空题（每小题9分，共54分）1、已知复数i 21+=z ，()1121i 2i2z z z -++=．若△ABC 的3个内角∠A 、∠B 、∠C依次成等差数列，且2icos2cos 2CA u +=，则2z u +的取值范围是． 2、点P(a,b)在第一象限内，过点P 作一直线l ，分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点．那么，PA2＋PB2取最小值时，直线l 的斜率为．3、若△ABC 是钝角三角形，则arccos(sinA)＋arccos(sinB)＋arccos(sinC)的取值范围是．4、在正四面体ABCD 中，点M 、P 分别是AD 、CD 的中点，点N 、Q 分别是△BCD 、△ABC 的中心．则直线MN 于PQ 的夹角的余弦值为．5、在()122++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和是．6、集合A 、B 、C （不必两两相异）的并集A ∪B ∪C ＝{1,2,3,…,n}．则满足条件的三OBCAD N M 图2元有序集合组(A,B,C)的个数是．三、（20分）设p ＞0，当p 变化时，Cp ：y2＝2px 为一族抛物线，直线l 过原点且交Cp 于原点和点Ap ．又M 为x 轴上异于原点的任意点，直线MAp 交Cp 于点Ap 和Bp ．求证：所有的点Bp 在同一条直线上． 四、（20分）对于公差为d(d≠0)的等差数列{an}，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m≥－1，使a1＝md ． 五、（20分）求最大的正数，使得对任意实数a 、b ，均有()222b a b a +λ≤()322b ab a ++．第二试一、（50分）如图2，⊙O 切△ABC 的边AB 于点D ，切边AC 于点C ，M 是边BC 上一点，AM 交CD 于点N ．求证：M 是BC 中点的充要条件是ON ⊥BC ．二、（50分）求出能表示为()abcc b a n 2++=（a 、b 、c ∈Z+）的所有正整数n ．三、（50分）在一个()()1212-⨯-nn（n≥2）的方格表的每个方格内填入1或－1，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的．求“成功”填法的总数．参考答案 第一试题号 1 2 3 4 5 6 答案 DBDDAB二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,22；2、aab -；3、⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ；4、181；5、21312++n ；6、7n ．三、证略． 四、证略．五、427max =λ． 第二试一、证略；二、1,2,3,4,5,6,8,9． 三、1种（每空填1）．全国高中数学联赛模拟试题（三）（命题人：吴伟朝）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、若集合S ＝{n|n 是整数，且22n ＋2整除n ＋}，则S 为（A ）空集∅ （B ）单元集 （C ）二元集 （D ）无穷集2、若多项式x2－x ＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax ＋b （a 、b 皆为常数）．则a＋b 等于 （A ）0 （B ）－1 （C ）1 （D ）23、设a 是整数，关于x 的方程x2＋(a －3)x ＋a2＝0的两个实根为x1、x2，且tan(arctan x1＋arctan x2)也是整数．则这样的a 的个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）44、设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V2．则12V V 为 （A ）21（B ）32 （C ）常数，但不等于21和32 （D ）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（A ）1001 （B ）1010 （C ）1011 （D ）1013 6、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是（A ）36 （B ）37 （C ）48 （D ）49二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若直线xcos ＋ysin ＝cos2－sin2（0＜＜）与圆x2＋y2＝41有公共点，则的取值范围是．2、在平面直角坐标系xOy 中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x 轴相切．则此圆的半径等于．3、若常数a 使得关于x 的方程lg(x2＋20x)－lg(8x －6a －3)＝0有惟一解．则a 的取值范围是．4、f(x)＝82x ＋xcosx ＋cos(2x)(x ∈R)的最小值是．5、若k 是一个正整数，且2k 整除则k 的最大值为．6、设ABCD 为凸四边形，AB ＝7，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝6，其面积S 的取值范围是(a,b] ．则a ＋b ＝．三、（20分）设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l ，点P 在椭圆上．作PQ ⊥l ，Q 为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P ，使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e 的等式或不等式来表示）． 四、（20分）设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an1＋n ，n ＝1,2,3,…．试求出an 的表达式（答案用有限个关于n 的式子相加的形式表示，且项数与n 无关）． 五、（20分）试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于x 的方程x4＋(2b －a2)x2－2ax ＋b2－1＝0的各个根均是整数．第二试一、（50分）点P 在△ABC 内，且∠BAP ＝∠CAP ，连结BP 并延长交AC 于点Q ．设∠BAC＝60°，且PQPC BP 111=+． 求证：P 是△ABC 的内心．二、（50分）设正数a 、b 满足2b a >且使得关于x 的不等式1-x ≥b x a -+1总有实数解．试求f(a,b)＝a2－3ab ＋b2的取值范围． 三、（50分）试求出正整数k 的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k 个整数a1,a2,…,ak （允许相等），必定存在相应的k 的整数x1,x2,…,xk （也允许相等），且|xi|≤2(i ＝1,2,…,k)，|x1|＋|x2|＋…＋|xk|≠0，使得整除x1a1＋x2a2＋…＋xkak ．参考答案 第一试二、填空题：11、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,323,6ππππ ；2、5615±；3、⎪⎭⎫⎝⎛--21,6163；4、－1；5、；6、2102．三、⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21e ．四、a2n ＝2n+2－2n －3；a2n+1＝3×2n+1－2n －4．五、(a,b)＝(2l―1,l2―l―1)(∀l ∈Z)第二试 一、证略（提示：将条件变形为PQPCPB PA PA PC =+⋅1，然后应用正弦定理，进行三角变换，得∠BPC ＝120°，利用同一法即证）；二、(－∞，－1)． 三、kmin ＝7．全国高中数学联赛模拟试题（四）（命题人：刘康宁）第一试一、 选择题（每小题6分，共36分）：1、函数()aa x x a x f -+-=22是奇函数的充要条件是（A ）－1≤a ＜0或0＜a≤1 （B ）a≤－1或a≥1 （C ）a ＞0 （D ）a ＜02、已知三点A(－2,1)、B(－3,－2)、C(－1,－3)和动直线l ：y ＝kx ．当点A 、B 、C 到直线l 的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是 （A ）点A 在直线l 上 （B ）点B 在直线l 上 （C ）点C 在直线l 上 （C ）点A 、B 、C 均不在直线l 上 3、如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，过顶点A1在空间作直线l ，使l 与直线AC 和BC1所成的角都等于60°．这样的直线l 可以做（A ）4条 （B ）3条（C ）2条 （D ）1条4、整数的100200C=n 两位质因数的最大值是（A ）61（B ）67（C ）83（D ）975、若正整数a 使得函数()ax x x f y 213-+==的最大值也是整数，则这个最大值等于 （A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）86、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第个数是 （A ）3844 （B ）3943 （C ）3945 （D ）4006二、 填空题（每小题9分，共54分）：1、在复平面上，Rt △ABC 的顶点A 、B 、C 分别对应于复数z ＋1、2z ＋1、(z ＋1)2，A 为直角顶点，且|z|＝2．设集合M ＝{m|zm ∈R ，m ∈N+}，P ＝{x|x ＝m 21，m ∈M}．则集合P 所有元素之和等于．2、函数f(x)＝|sinx|＋sin42x ＋|cosx|的最大值与最小值之差等于．3、关于x 的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a 的取值范围是．4、银行计划将某项资金的40%给项目M 投资一年，其余的60%给项目N ．预计项目M 有可能获得19%到24%的年利润，N 有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是．5、已知点(a,b)在曲线arcsinx ＝arccosy 上运动，且椭圆ax2＋by2＝1在圆x2＋y2＝32的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsinb 的取值范围是．6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则tan(＋)的值是．三、 （20分）△ABC 的三边长a 、b 、c （a≤b≤c ）同时满足下列三个条件 （i ）a 、b 、c 均为整数；（ii ）a 、b 、c 依次成等比数列； （iii ）a 与c 中至少有一个等于100．求出(a,b,c)的所有可能的解．四、 （20分）在三棱锥DABC 中，AD ＝a ，BD ＝b ，AB ＝CD ＝c ，且∠DAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝180°，∠DBA ＋∠ABC ＋∠DBC ＝180°．求异面直线AD 与BC 所成的角．五、 （20分）设正系数一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0有实根．证明：（1） max{a,b,c}≥94(a ＋b ＋c)；（2） min{a,b,c}≤41(a ＋b ＋c)．第二试一、（50分）已知△ABC 的外角∠EAC 平分线与△ABC 的外接圆交于D ，以CD 为直径的圆分别交BC 、CA 于点P 、Q ．求证：线段PQ 平分△ABC 的周长．二、（50分）已知x0＝1，x1＝3，xn+1＝6xn －xn1（n ∈N+）． 求证：数列{xn}中无完全平方数．三、（50分）有名运动员，号码依次为1，2，3，…，．从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．参考答案 第一试二、填空题： 1、71；2、2；3、[1,3]；4、10%；5、⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,44,6ππππ ；6、aR334-． 三、可能解为(100,100,100)，(100,110,121)，(100,120,144)，(100,130,169)，(100,140,196)，(100,150,225)，(100,160,256)，(49,70,100)，(64,80,100)，(81,90,100)，(100,100,100)． 四、222arccosac b -．五（1）证略（提示：令a ＋b ＋c ＝t ，分b≥t 94和b ＜t 94讨论）； （2）证略（提示：分a≤t 41和a ＞t 41讨论）； 第二试一、证略；二、证略（提示：易由特征根法得xn ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++nn22322321，设yn ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+nn223223221，于是1222=-n n y x，原结论等价于方程x4－2y2＝1无整数解，由数论只是可证）．三、43．全国高中数学联赛模拟试题（五）（命题人：罗增儒）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、空间中n （n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论（1） 没有任何两个平面互相平行；（2） 没有任何三个平面相交于一条直线； （3） 平面间的任意两条交线都不平行；（4） 平面间的每一条交线均与n2个平面相交． 其中，正确的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42、若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c ∈(a,b)时，f(c)的近似值可表示为（A ）()()2b f a f +（B ）⎪⎭⎫⎝⎛+2b a f （C ）()()()()()a b b f a c a f c b --+-（D ）()()()[]a f b f ab ac a f ----3、设a ＞b ＞c ，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，则（A ）a+b ＞1 （B ）a+b=1 （C ）a+b ＜1 （D ）不能确定，与a 、b 的具体取值有关4、设椭圆12222=+b y a x 的离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛23,0P 到椭圆上的点的最远距离是47，则短半轴之长b= （A ）161 （B ）81（C ）41（D ）21 5、S={1,2,…,}，A 是S 的三元子集，满足：A 中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A 的个数是（A ）32003C（B ）2100221001C C + （C ）2100221001A A +（D ）32003A6、长方体ABCDA1B1C1D1，AC1为体对角线．现以A 为球心，AB 、AD 、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有（A ）V4＜V1+V2+V3 （B ）V4=V1+V2+V3（C ）V4＞V1+V2+V3 （D ）不能确定，与长方体的棱长有关二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、已知k ==βαβαcos cos sin sin 33，则k 的取值范围为． 2、等差数列{an}的首项a1=8，且存在惟一的k 使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上，则这样的等差数列共有个．3、在四面体PABC 中，PA=PB=a ，PC=AB=BC=CA=b ，且a ＜b ，则ba的取值范围为．4、动点A 对应的复数为z=4(cos +isin )，定点B 对应的复数为2，点C 为线段AB 的中点，过点C 作AB 的垂线交OA 与D ，则D 所在的轨迹方程为．5、∑=200313k k被8所除得的余数为．6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为．三、 （20分）已知抛物线y2=2px(p ＞0)的一条长为l 的弦AB ．求AB 中点M 到y 轴的最短距离，并求出此时点M 的坐标．四、 （20分）单位正方体ABCDA1B1C1D1中，正方形ABCD 的中心为点M ，正方形A1B1C1D1的中心为点N ，连AN 、B1M ． （1）求证：AN 、B1M 为异面直线； （2）求出AN 与B1M 的夹角．五、 （20分）对正实数a 、b 、c ．求证：cabc b ac b a bc a 888222+++++≥9． 第二试一、 （50分）设ABCD 是面积为2的长方形，P 为边CD 上的一点，Q 为△PAB 的内切圆与边AB 的切点．乘积PA·PB 的值随着长方形ABCD 及点P 的变化而变化，当PA·PB 取最小值时， （1）证明：AB≥2BC ； （2）求AQ·BQ 的值．二、 （50分）给定由正整数组成的数列⎩⎨⎧+===++nn n a a a a a 12212,1（n≥1）． （1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k1,a2k)，…均在曲线x2+xyy2+1=0上．（2）若设f(x)=xn+xn1anxan1，g(x)=x2x1，证明：g(x)整除f(x)．三、 （50分）我们称A1,A2,…,An 为集合A 的一个n 分划，如果 （1）A A A A n = 21； （2）∅≠j i A A ，1≤i ＜j≤n ．求最小正整数m ，使得对A ＝{1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13，一定存在某个集合Ai(1≤i≤13)，在Ai 中有两个元素a 、b 满足b ＜a≤89b ． 参考答案 第一试二、填空题：1、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--1,2121,1；2、17；3、⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32；4、()134122=+-y x ；5、4；6、117600．三、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≥-⎪⎪⎭⎫⎝⎛<<2222,2,2,20,8,20,8p pl p l M p l p l p l M p l pl ．四、（1）证略；（2）32arccos ．五、证略．第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得PA·PB 最小值为2，此时∠APB ＝90°）；（2）AQ·BQ=1．二、证略（提示：用数学归纳法）．三、m=117．全国高中数学联赛模拟试题（六） （命题人：秦永 苟春鹏）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、在复平面上，非零复数z1、z2在以i 对应的点为圆心，1为半径的圆上，21z z ⋅的实部为零，argz1=6π，则z2= （A ）i 2323+-（B ）i 2323- （C ）i 2323+-（D ）i 2323- 2、已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21log 2x ax x f a 在[1,2]上恒正，则实数a 的取值范围是（A ）⎪⎭⎫⎝⎛85,21（B ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫⎝⎛,2385,21（D ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 3、已知双曲线过点M(2,4)，N(4,4)，它的一个焦点为F1(1,0)，则另一个焦点F2的轨迹方程是（A ）()()116425122=-+-y x （y≠0）或x=1（y≠0）（B ）()()125416122=-+-y x （x≠0）或x=1（y≠0）（C ）()()116125422=-+-y x （y≠0）或y=1（x≠0）（D ）()()125116422=-+-y x （x≠0）或y=1（x≠0）4、已知正实数a 、b 满足a+b=1，则b a M 2112+++=的整数部分是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45、一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是 （A ）9米 （B ）10米 （C ）12米 （D ）15米 6、一条铁路原有m 个车站，为适应客运需要新增加n 个车站（n ＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是 （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15二、 填空题：（每小题6分，共36分）1、长方形ABCD 的长AB 是宽BC 的32倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD 与BC 重合折痕线EF 、GH 分别交原对角线AC 于M 、N ，则折后截面AMN 与底面AFH 所成的角是．2、在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，且满足a2+b2=2c2，则角C 的最大值是．3、从盛满a 升（a ＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第n 次操作后溶液的浓度是．4、已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集，对任意x≥0，规定f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}．若f(x)=3x ，g(x)=52+x ，则f(x)*g(x)的最大值为．5、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有不同的取法．6、若实数a ＞0，则满足a5a3+a=2的a 值属于区间：①()63,0；②()663,2；③()+∞,36；④()32,0．其中正确的是．三、 （20分）求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积四、 （20分）直线Ax+Bx+C=0（A·B·C≠0）与椭圆b2x2+a2y2=a2b2相交于P 、Q 两点，O为坐标原点，且OP ⊥OQ ．求证：2222222BA b a C b a ++=． 五、 （20分）某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c （万元）且满足19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？表1 各部每1万元营业额所需人数表部门 人数 百货部 5 服装部 4家电部2部门 利润 百货部 0.3万元 服装部 0.5万元 家电部0.2万元第二试一、 （50分）矩形ABCD 的边AD=·AB ，以AB 为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于A 、B 的一点P ，连PC 、PD 交AB 于E 、F ，若AE2+BF2=AB2，试求正实数的值．二、 （50分）若ai ∈R+（i=1,2,…,n ），∑==ni iaS 1，且2≤n ∈N ．求证：∑=-nk kk a S a 13≥∑=-n k k a n 1211． 三、 （50分）无穷数列{cn}可由如下法则定义：cn+1=|1|12cn||，而0≤c1≤1．（1）证明：仅当c1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列．（2）存在多少个不同的c1值，使得数列自某项之后以T 为周期（对于每个T=2,3,…）？参考答案 第一试题号 1 2 3 4 5 6 答案 ACABCC二、填空题：1、6π； 2、3π；3、na ⎪⎭⎫ ⎝⎛-11；4、132-；5、2500；6、③④． 三、证略． 四、证略．五、8，23，29或10，20，30（万元），对应40，92，58或50，80，60（人）．第二试一、22=λ； 二、证略．三、 （1）证略． （2）无穷个．全国高中数学联赛模拟试题（七）（选题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）7、 a 、b 是异面直线，直线c 与a 所成的角等于c 与b 所成的角，则这样的直线c 有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）无数条8、 已知f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若f(x)g(x)=x2+2x+3，则f(x)+g(x)=（A ）x2+2x3 （B ）x2+2x3 （C ）x22x+3 （D ）x22x+39、已知△ABC ，O 为△ABC 内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=32π，则使AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO)成立的m 的最大值是 （A ）2（B ）35（C ）3（D ）23 10、 设x=0.820.5，y=sin1，z=log37则x 、y 、z 的大小关系是（A ）x ＜y ＜z （B ）y ＜z ＜x （C ）z ＜x ＜y （D ）z ＜y ＜x11、整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+31010951995的末尾两位数字是（A ）10 （B ）01 （C ）00 （D ）20 12、 设(a,b)表示两自然数a 、b 的最大公约数．设(a,b)=1，则(a2+b2,a3+b3)为（A ）1 （B ）2 （C ）1或2 （D ）可能大于2二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若f(x)=x10+2x92x82x7+x6+3x2+6x+1，则f(21)=．2、设F1、F2是双曲线x2y2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，从F1引∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹方程是． 3、给定数列{xn}，x1=1，且nn n x x x -+=+3131，则x1999x601=．4、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E 是CD 中点，F 是BB1中点，则四面体AD1EF 的体积是．5、在坐标平面上，由条件⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≥321x y x y 所限定的平面区域的面积是．6、12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要周．三、（20分）已知椭圆12222=+by a x 过定点A(1,0)，且焦点在x 轴上，椭圆与曲线|y|=x 的交点为B 、C ．现有以A 为焦点，过B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标M(m,0)．当椭圆的离心率e 满足1322<<e ，求实数m 的取值范围． 四、（20分）a 、b 、c 均为实数，a≠b ，b≠c ，c≠a ．证明：23≤ac c b b a b a c a c b c b a -+-+--++-++-+222＜2． 五、（20分） 已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx ，满足 （i ）a 、b 、c 、d 均大于0；（ii ）对于任一个x ∈{2,1,0,1,2}，f(x)为整数； （iii ）f(1)=1,f(5)=70．试说明，对于每个整数x ，f(x)是否为整数．第二试一、（50分）设K 为△ABC 的内心，点C1、B1分别为边AB 、AC 的中点，直线AC 与C1K 交于点B2，直线AB 于B1K 交于点C2．若△AB2C2于△ABC 的面积相等，试求∠CAB ．二、（50分）设5sini 5cosππ+=w ，f(x)=(xw)(xw3)(xw7)(xw9)．求证：f(x)为一整系数多项式，且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．三、（50分）在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值．参考答案 第一试二、填空题：1、4；2、x2+y2=4；3、0；4、245；5、16；6、5．三、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+423,1． 四、证略．五、是．第二试一、60°； 二、证略． 三、100．全国高中数学联赛模拟试题（八）（选题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设logab 是一个整数，且2log log 1log a b bb a a>>，给出下列四个结论 ①21a b b>>；②logab+logba=0； ③0＜a ＜b ＜1；④ab1=0． 其中正确结论的个数是 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）42、若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-+=---03220222c b a c b a a ，则它的最大内角度数是（A ）150°（B ）120°（C ）90°（D ）60°3、定长为l （a b l 22>）的线段AB 的两端点都在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），则AB 中点M 的横坐标的最小值为 （A ）222ba al + （B ）222ba l a ++（C ）()2222ba a l a +- （D ）()2222ba a l a ++4、在复平面上，曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）35、设E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G=()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫⎝⎛++F y x E y x y y x x 22112121,,,2,2所组成的图形面积是（A ）6 （B ）2 （C ）6.5 （D ）76、正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 对折，使D 在面ABC 外，这时DB 与面ABC所成的角一定不等于 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知24πα=，则αααααααααααcos sin cos 2cos sin 2cos 3cos sin 3cos 4cos sin +++的值等于．2、2004321132112111+++++++++++=． 3、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，以C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 内，且椭圆过A 、B 点，则这个椭圆的离心率等于．4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有种不同的选法．5、设a 、b 均为正数，且存在复数z 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+=⋅+1iz b a z z z ，则ab 的最大值等于．6、使不等式137158<+<k n n 对惟一的一个整数k 成立的最大正整数n 为．三、（20分）已知实数x 、y 满足x2+y2≤5．求f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y3x18|的最大值与最小值．四、（20分）经过点M(2,1)作抛物线y2=x 的四条弦PiQi(i=1,2,3,4)，且P1、P2、P3、P4四点的纵坐标依次成等差数列．求证：44332211MQ M P MQ M P MQ MP MQ M P ->-． 五、（20分）n 为正整数，r ＞0为实数．证明：方程xn+1+rxnrn+1=0没有模为r 的复数根．第二试一、（50分）设C(I)是以△ABC 的内心I 为圆心的一个圆，点D 、E 、F 分别是从I 出发垂直于边BC 、CA 和AB 的直线C(I)的交点．求证：AD 、BE 和CF 三线共点．二、（50分） 非负实数x 、y 、z 满足x2+y2+z2=1．求证：1≤xyzzx y yz x +++++111≤2．三、（50分）对由n 个A ，n 个B 和n 个C 排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n=2的一个例子． A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A求所有的正整数n ，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．参考答案 第一试二、填空题：1、33； 2、20054008； 3、36-； 4、816；5、81；6、112．三、最大值5627+，最小值10327-． 四、证略． 五、证略．第二试一、证略； 二、证略． 三、 n=1．全国高中数学联赛模拟试题（九）（命题人：葛军）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x28nx+7s=0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k+1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k+3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（A ）16966 （B ）16975 （C ）16984（D ）170093、非常数数列{ai}满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i=0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a1=an+1=1，则∑-=1n i ia等于（A ）2（B ）1（C ）1（D ）04、已知、是方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，βα2是实数，则∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛59851k kβα的值是（A ）1 （B ）2 （C ）0（D ）3i5、已知a+b+c=abc ，()()()()()()abb a ac c a bc c b A 222222111111--+--+--=，则A的值是 （A ）3（B ）3（C ）4（D ）46、对xi ∈{1,2,…,n}，i=1,2,…,n ，有()211+=∑=n n x ni i ，x1x2…xn=n ！，使x1,x2,…,xn ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P 是凸多边形A1A2…An 内一点，点P 到直线A1A2的距离为h1，到直线A2A3的距离为h2，…，到直线An1An 的距离为hn1，到直线AnA1的距离为hn ．若存在点P 使nn h a h a h a +++ 2211（ai=AiAi+1，i=1,2,…,n1，an=AnA1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件．2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是．3、已知()2cos 22sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、∈R ，a≠0．那么，对于任意的a 、，F(a,)的最大值和最小值分别是．4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是．5、已知集合{1,2,3,…,3n1,3n}，可以分为n 个互不相交的三元组{x,y,z}，其中x+y=3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是．6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得xn+x+1被xk+x+1整除，则这样的有序实数对(n,k)是（对于给定的k ）．三、（20分）过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求最小最大S S 之值．四、（20分）数列{an}定义如下：a1=3，an=13-n a （n≥2）．试求an （n≥2）的末位数．五、（20分） 已知a 、b 、c ∈R+，且a+b+c=1．证明：2713≤a2+b2+c2+4abc ＜1． 第二试一、（50分）已知△ABC 中，内心为I ，外接圆为⊙O ，点B 关于⊙O 的对径点为K ，在AB 的延长线上取点N ，CB 的延长线上取M ，使得MC=NA=s ，s 为△ABC 的半周长．证明：IK ⊥MN ．二、（50分）M 是平面上所有点(x,y)的集合，其中x 、y 均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M 的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．三、（50分）实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c 满足b ＜0，ab=9c ．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．参考答案 第一试二、填空题： 1、该凸多边形存在内切圆； 2、5；3、32+，32-；4、9；5、5，8；6、(k,k)或(3m+2,2)（m ∈N+）． 三、332． 四、7． 五、证略．第二试一、证略；二、证略． 三、 有．全国高中数学联赛模拟试题（十）（命题人：杨建忠 审题人：李潜）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设集合M={2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f ：M→N 使对任意的x ∈M ，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f 的个数是 （A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）112、已知sin2=a ，cos2=b ，0＜＜4π，给出⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ值的五个答案：①a b-1； ②b a-1；③ab+1； ④ba+1； ⑤11-++-b a b a ． 其中正确的是：（A ）①②⑤ （B ）②③④ （C ）①④⑤ （D ）③④⑤3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 （A ）64 （B ）66 （C ）68 （D ）704、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为 （A ）729 （B ）972 （C ）243 （D ）9815、14951C C C C +++++m n n n n （其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41n m ，[x]表示不超过x 的最大整数）的值为 （A ）4cos2πn n（B ）4sin2πn n（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4cos 22211πn nn （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4sin 22211πn nn 6、一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d ＞e （如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（A ）8568 （B ）2142 （C ）2139（D ）1134二、填空题：（每小题9分，共54分）1、过椭圆12322=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ=PH （≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是．2、已知异面直线a 、b 所成的角为60°，过空间一点P 作与a 、b 都成角（0＜＜90°）的直线l ，则这样的直线l 的条数是f()=．3、不等式()92211422+<+-x xx 的解集为．4、设复数z 满足条件|zi|=1，且z≠0，z≠2i ，又复数使得i2i 2-⋅-z zωω为实数，则复数2的辐角主值的取值范围是．5、设a1,a2,…,a 均为正实数，且21212121200221=++++++a a a ，则a1a2…a 的最小值是．6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n （n 为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为．三、（20分）已知数列{an}是首项为2，公比为21的等比数列，且前n 项和为Sn ．（1） 用Sn 表示Sn+1； （2） 是否存在自然数c 和k ，使得cS cS k k --+1＞2成立． 四、（20分）设异面直线a 、b 成60°角，它们的公垂线段为EF ，且|EF|=2，线段AB 的长为4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动．求线段AB 中点P 的轨迹方程．五、（20分）已知定义在R+上的函数f(x)满足（i ）对于任意a 、b ∈R+，有f(ab)=f(a)+f(b)； （ii ）当x ＞1时，f(x)＜0； （iii ）f(3)=1．现有两个集合A 、B ，其中集合A={(p,q)|f(p2+1)f(5q)2＞0，p 、q ∈R+}，集合B={(p,q)|f(q p )+21=0，p 、q ∈R+}．试问是否存在p 、q ，使∅≠B A ，说明理由．第二试一、（50分）如图，AM 、AN 是⊙O 的切线，M 、N 是切点，L 是劣弧MN 上异于M 、N 的点，过点A 平行于MN 的直线分别交ML 、NL 于点Q 、P ．若POQ O S S △⊙32π=，求证：∠POQ=60°．二、（50分）已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1an （n≥1）．求所有的正整数n ，使得1+5anan+1是完全平方数．三、（50分）设M 为坐标平面上坐标为(p·,7p·)的点，其中p 为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M 是直角顶点； （2） 三角形的内心是坐标原点．参考答案 第一试二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33； 2、()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧︒<<︒︒=︒<<︒︒=︒<<︒=900,460,36030,230,1300,0ααααααf ；3、⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-845,00,21 ；4、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-ππ,34arctan；5、4002；6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++63142789102111n n ． 三、（1）2211+=+n n S S ；（2）不存在．四、1922=+y x ． 五、不存在．第二试PQ。
2015步步高理科数学专题四
专题四 高考中的立体几何问题1.(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( )A.4B.143C.163D.6 答案 B解析 由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝143. 2.(2013·课标全国Ⅱ)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满 足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( ) A.α∥β且l ∥αB.α⊥β且l ⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l答案 D解析 假设α∥β，由m ⊥平面α，n ⊥平面β，则m ∥n ，这与已知m ，n 为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l 1，则l 1⊥m ，l 1⊥n ，在直线m 上任取一点作n 1平行于n ，那么l 1和l 都垂直于直线m 与n 1所确定的平面，所以l 1∥l .3.如图，点O 为正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是( )答案 D解析 空间四边形D ′OEF 在正方体的面DCC ′D ′上的投影是A ；在面BCC ′B ′上的投影是B ；在面ABCD 上的投影是C ，故选D.4.平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( ) A.5 B.6C.4D.8 答案 A解析 ∵AC 1→＝AA 1→＋AB →＋AD →，∴AC 1→2＝(AA 1→＋AB →＋AD →)2＝AA 1→2＋AB →2＋AD →2＋2·AA 1→·AB →＋2·AA 1→·AD →＋2·AB →·AD →＝9＋1＋4＋2×3×1×12＋2×3×2×12＋2×1×2×12＝25， ∴|AC 1→|＝5.故选A.5.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________.答案 平行解析 取PD 的中点F ，连接EF ，在△PCD 中，EF 綊12CD . 又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF .又∵EB ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，∴BE ∥平面P AD .题型一 空间点、线、面的位置关系例1 (2013·山东)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点.(1)求证：CE ∥平面P AD ；(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .思维启迪 (1)在平面P AD 内作直线CE 的平行线或者利用平面CEF ∥平面P AD 证明；(2)MN 是平面EFG 的垂线.证明 (1)方法一 取P A 的中点H ，连接EH ，DH .又E 为PB 的中点，所以EH 綊12AB . 又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD . 所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH .又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD .所以CE ∥平面P AD .方法二 连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB . 又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD . 又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形.因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面P AD ，所以CF∥平面P AD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥P A.又EF⊄平面P AD，所以EF∥平面P AD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面P AD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面P AD.(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥P A.又因为AB⊥P A，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.所以AB⊥平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.思维升华高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明，一般以解答题的形式出现，试题难度中等，但对空间想象能力和逻辑推理能力有一定的要求，在试卷中也可能以选择题或者填空题的方式考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系中的应用.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，M，N分别为A1B，B1C1的中点.求证：(1)BC∥平面MNB1；(2)平面A1CB⊥平面ACC1A.证明(1)因为BC∥B1C1，且B1C1⊂平面MNB1，BC⊄平面MNB1，故BC∥平面MNB1.(2)因为BC⊥AC，且ABC－A1B1C1为直三棱柱，故BC⊥平面ACC1A1.因为BC⊂平面A1CB，故平面A1CB⊥平面ACC1A1.题型二平面图形的翻折问题例2如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，BE，设点F是AB的中点.(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B－DEG的体积.思维启迪(1)翻折前后，△ACD内各元素的位置关系没有变化，易知DE⊥DC，再根据平面BCD⊥平面ACD可证明DE⊥平面BCD；(2)注意从条件EF∥平面BDG得线线平行，为求高作基础.(1)证明∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°.∵CD为∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACD＝30°.∴CD＝2 3.∵CE＝4，∠DCE＝30°，∴DE2＝CE2＋CD2－2CE·CD·cos 30°＝4，∴DE＝2，则CD2＋DE2＝EC2.∴∠CDE＝90°，DE⊥DC.又∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂平面ACD，∴DE⊥平面BCD.(2)解∵EF∥平面BDG，EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG.∵点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，∴AE ＝EG ＝CG ＝2.如图，作BH ⊥CD 于H .∵平面BCD ⊥平面ACD ，∴BH ⊥平面ACD .由条件得BH ＝32， S △DEG ＝13S △ACD ＝13×12AC ·CD ·sin 30°＝3， ∴三棱锥B －DEG 的体积V ＝13S △DEG ·BH ＝13×3×32＝32. 思维升华 平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.(2012·北京)如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2).(1)求证：DE ∥平面A 1CB .(2)求证：A 1F ⊥BE . (3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由.(1)证明 因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC .又因为DE ⊄平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB .(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.又A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，又因为BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取AC，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.题型三线面位置关系中的存在性问题例3如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P、Q分别是线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.(1)求证：DP⊥平面EPC；(2)问在EP 上是否存在点F ，使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP AP的值；若不存在，说明理由.思维启迪 先假设EP 上存在点F 使平面AFD ⊥平面BFC ，然后推证点F 的位置.(1)证明 ∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥DP .又ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，连接PQ ，则PQ ⊥DC 且PQ ＝12DC . ∴DP ⊥PC .∵EP ∩PC ＝P ，∴DP ⊥平面EPC .(2)解 假设存在F 使平面AFD ⊥平面BFC ，∵AD ∥BC ，BC ⊂平面BFC ，AD ⊄平面BFC ，∴AD ∥平面BFC .∴AD 平行于平面AFD 与平面BFC 的交线l .∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥AD ，而AD ⊥AB ，AB ∩EP ＝P ，∴AD ⊥平面EAB ，∴l ⊥平面F AB .∴∠AFB 为平面AFD 与平面BFC 所成二面角的平面角.∵P 是AB 的中点，且FP ⊥AB ，∴当∠AFB ＝90°时，FP ＝AP .∴当FP ＝AP ，即FP AP＝1时，平面AFD ⊥平面BFC . 思维升华 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这个假设下利用线面关系的性质进行推理论证，寻求假设满足的条件.若条件满足则肯定假设，若得到矛盾则否定假设.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)问在棱CD上是否存在点E，使D1E∥平面A1BD.若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由.(1)证明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，又D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.∵AD⊂平面ADC1，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)解假设存在点E，使D1E∥平面A1BD.连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，可使MN∥D1E，又M是AD1的中点，则N是AE的中点.又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.题型四 空间向量与立体几何例4 (2012·大纲全国)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A －PB －C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小.思维启迪 利用P A ⊥平面ABCD 建立空间直角坐标系，利用向量求解.方法一 (1)证明 因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .又P A ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD .如图，设AC ∩BD ＝F ，连接EF .因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2， 从而PCFC ＝6，ACEC ＝ 6.因为PCFC ＝ACEC ，∠FCE ＝∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°.由此知PC ⊥EF .因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED .(2)解 在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足.因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC .又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝P A 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A 、D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12.所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.方法二 (1)证明 以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则C (22，0,0)，P (0,0,2)，E ⎝⎛⎭⎫423，0，23，设D (2，b,0)，其中b >0，则B (2，－b,0).于是PC →＝(22，0，－2)，BE →＝⎝⎛⎭⎫23，b ，23，DE →＝⎝⎛⎭⎫23，－b ，23，从而PC →·BE →＝0，PC →·DE →＝0，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BED .(2)解 AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2，－b,0).设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则m ·AP →＝0，m ·AB →＝0，即2z ＝0且2x －by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0).设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC →＝0，n ·BE →＝0，即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0， 令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b ，n ＝⎝⎛⎭⎫1，－2b ，2. 因为二面角A －PB －C 为90°，所以面P AB ⊥面PBC ， 故m ·n ＝0，即b －2b＝0，故b ＝2， 于是n ＝(1，－1，2)，DP →＝(－2，－2，2)，所以cos 〈n ，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝12， 所以〈n ，DP →〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP →〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.思维升华 用空间向量求解立体几何问题，主要是通过建立坐标系或利用基底表示向量坐标，通过向量的计算求解位置关系及角的大小，二面角是历年高考的考查热点，平面的法向量是解题中的一个重点，还要注意二面角的范围.在如图所示的几何体中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AA 1綊DD 1綊CC 1∥BE ，且AA 1＝AB ，D 1E ⊥平面D 1AC ，AA 1⊥底面ABCD .(1)求二面角D 1－AC －E 的大小；(2)在D 1E 上是否存在一点P ，使得A 1P ∥平面EAC ，若存在，求D 1P PE的值，若不存在，说明理由.解 (1)设AC 与BD 交于O ，如图所示建立空间直角坐标系Oxyz ，设AB ＝2，则A (3，0,0)，B (0，－1,0)，C (－3，0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,2)，设E (0，－1，t )，t >0，则ED 1→＝(0,2,2－t )，CA →＝(23，0,0)，D 1A →＝(3，－1，－2).∵D 1E ⊥面D 1AC ，∴D 1E ⊥CA ，D 1E ⊥D 1A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ED 1→·CA →＝0，ED 1→·D 1A →＝0，解得t ＝3，∴E (0，－1,3)， ∴AE →＝(－3，－1,3)，设平面EAC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CA →＝0，m ·AE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－3x －y ＋3z ＝0， 令z ＝1，y ＝3，m ＝(0,3,1).又平面D 1AC 的法向量ED 1→＝(0,2，－1)，∴cos 〈m ，ED 1→〉m ·ED 1→|m |·|ED 1→|＝22. 所以所求二面角的大小为45°.(2)假设存在点P 满足题意.设D 1P →＝λPE →＝λ(D 1E →－D 1P →)，得D 1P →＝λ1＋λD 1E →＝(0，－2λ1＋λ，λ1＋λ)， A 1P →＝A 1D 1→＋D 1P →＝(－3，1,0)＋(0，－2λ1＋λ，λ1＋λ) ＝(－3，1－2λ1＋λ，λ1＋λ) ∵A 1P ∥平面EAC ，∴A 1P →⊥m ， ∴－3×0＋3×(1－2λ1＋λ)＋1×λ1＋λ＝0， 解得λ＝32， 故存在点P 使A 1P ∥面EAC ，此时D 1P ∶PE ＝3∶2.(时间：80分钟)1.如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积.解 设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋r ＋2r ＝(5＋2)×22πr l ＝π2， 解得r ＝2，l ＝42，S ＝πrl ＋πr 2＝10π，h ＝l 2－r 2＝30，V ＝13πr 2h ＝230π3.2.如图，在四棱台ABCD －A1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明 (1)方法一 因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD .又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos 60°＝3AD 2，所以AD 2＋BD 2＝AB 2，因此AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD .方法二 因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥D 1D .如图，取AB 的中点G ，连接DG ，在△ABD 中，由AB ＝2AD 得AG ＝AD .又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形，因此GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB .又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，故∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°，所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A .又AA 1⊂平面ADD 1A ，故AA 1⊥BD .(2)如图，连接AC ，A 1C 1，设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12AC . 由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA .又EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1⊄平面A 1BD ，所以CC 1∥平面A 1BD .3.如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB .(1)求证：CE ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P —ABCD 的体积.(1)证明 因为P A ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CE .因为AB ⊥AD ，CE ∥AB ，所以CE ⊥AD .又P A ∩AD ＝A ，所以CE ⊥平面P AD .(2)解 由(1)可知CE ⊥AD .在Rt △ECD 中，DE ＝CD ·cos 45°＝1，CE ＝CD ·sin 45°＝1.又因为AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，所以四边形ABCE 为矩形.所以S 四边形ABCD ＝S 矩形ABCE ＋S △ECD ＝AB ·AE ＋12CE ·DE ＝1×2＋12×1×1＝52. 又P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，所以V 四棱锥P —ABCD ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝13×52×1＝56. 4.(2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ；(2)求二面角F －BD －C 的余弦值.(1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°，因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ，所以BD ⊥平面AED .(2)解 方法一 由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF两两垂直.以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设CB ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，F (0,0,1). 因此BD →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，0，BF →＝(0，－1,1). 设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，所以x ＝3y ＝3z ，取z ＝1，则m ＝(3，1,1).由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55， 所以二面角F －BD －C 的余弦值为55. 方法二 如图，取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD .又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FC ⊥BD .由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ，所以BD ⊥平面FCG ，故BD ⊥FG ，所以∠FGC 为二面角F －BD －C 的平面角.在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°，因此CG ＝12CB .又CB ＝CF ， 所以GF ＝CG 2＋CF 2＝5CG ，故cos ∠FGC ＝55， 因此二面角F －BD －C 的余弦值为55. 5.(2012·北京)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小； (3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由.(1)证明 ∵AC ⊥BC ，DE ∥BC ，∴DE ⊥AC .∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，∴DE ⊥平面A 1DC .∴DE ⊥A 1C .又∵A 1C ⊥CD ，∴A 1C ⊥平面BCDE .(2)解 如图所示，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz ， 则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0).设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0.又A 1B →＝(3,0，－23)，BE →＝(－1,2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝3， ∴n ＝(2,1，3).设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.∵CM →＝(0,1，3)，∴sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CM →|n |·|CM →|＝48×4＝22.∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4. (3)解 线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直.理由如下： 假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]. 设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)，则m ·A 1D →＝0，m ·DP →＝0.又A 1D →＝(0,2，－23)，DP →＝(p ，－2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ′－23z ′＝0，px ′－2y ′＝0.令x ′＝2，则y ′＝p ，z ′＝p 3， ∴m ＝⎝⎛⎭⎫2，p ，p 3. 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾.∴线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直.6.如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD . (1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A －CD －E 的余弦值.(1)解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝⎛⎭⎫12，1，12. BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12·2＝12. 所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明 由AM →＝⎝⎛⎭⎫12，1，12，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0. 因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解 设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0. 令x ＝1可得u ＝(1,1,1). 又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1).所以cos u ，v ＝u ·v |u ||v |＝0＋0＋13×1＝33. 因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为33.。
新步步高北师大数学文大一轮复习文档：高考专题突破一
1.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( )A.3f (1)<f (3)B.3f (1)>f (3)C.3f (1)＝f (3)D.f (1)＝f (3) 答案 B解析 由于f (x )>xf ′(x )，则⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝f ′(x )x －f (x )x 2<0恒成立，因此f (x )x 在R 上是单调递减函数， ∴f (3)3<f (1)1，即3f (1)>f (3).故选B. 2.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.(－∞，－1]C.[2，＋∞)D.[1，＋∞)答案 D解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1. 即k 的取值范围为[1，＋∞).3.函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( )A.0B.1C.2D.无数个答案 A解析 函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x， 由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1中Δ＝－20<0，所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立，即f (x )在定义域上单调递增，无极值点.4.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.答案 1解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2.(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1).将(2,7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝1＋3a ，解得a ＝1.5.设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________.答案 [1，＋∞)解析 因为对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，所以k k ＋1≥g (x 1)max f (x 2)min. 因为g (x )＝e 2x e x ，所以g ′(x )＝e 2－x (1－x ).当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减.所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e.又f (x )＝e 2x ＋1x≥2e(x >0). 当且仅当e 2x ＝1x ，即x ＝1e时取等号，故f (x )min ＝2e. 所以g (x 1)max f (x 2)min ＝e 2e ＝12，应有k k ＋1≥12， 又k >0，所以k ≥1.题型一 利用导数研究函数性质例1 (2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ).(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a . 若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝1a 取得最大值，最大值为f⎝⎛⎭⎫1a＝ln1a＋a⎝⎛⎭⎫1－1a＝－ln a＋a－1.因此f⎝⎛⎭⎫1a＞2a－2等价于ln a＋a－1＜0.令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，a的取值范围是(0,1).思维升华利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值.已知f(x)的单调性，可转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x (x∈R，e为自然对数的底数).(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围.解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2).(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立.因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立.因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即a ≥x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1,1)都成立. 令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0. 所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1,1)上单调递增， 所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32. 因此a 的取值范围为a ≥32.题型二 利用导数研究不等式问题例2 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立.(1)解 任意x ∈(0，＋∞)，有 2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x， 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2， ①当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.(2)证明 问题等价于证明x ln x >x e x －2e(x ∈(0，＋∞)). f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e， 当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e， 当且仅当x ＝1时取到.从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立. 思维升华 (1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解.(2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题.已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1)处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln x x －1. (1)解 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明 由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x， 所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝⎛⎭⎪⎫2ln x －x 2－1x . 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1x(x >0)， 则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2. 所以当x ≠1时，h ′(x )<0.而h (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h (x )>0，可得11－x 2h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，可得11－x 2h (x )>0. 从而当x >0，且x ≠1时，f (x )－ln x x －1>0. 即f (x )>ln x x －1. 题型三 利用导数研究函数零点或图像交点问题例3 设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数. 解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x， 则f ′(x )＝x －e x 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e. ∵当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e＝2， ∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0). 设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)， 则φ′＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减.∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点.∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点； ②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点； ③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点； ④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点； 当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点； 当0<m <23时，函数g (x )有两个零点. 思维升华 用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合思想画草图确定参数范围.已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围.解(1)由已知得，f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R恒有f′(x)>0，此时f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞).当a>0时，f′(x)>0，解得x<－a或x>a，由f′(x)<0，解得－a<x<a，此时f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a).(2)因为f(x)在x＝－1处取得极值，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)可知f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.因为直线y＝m与函数f(x)的图像有三个不同的交点，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，结合f (x )的单调性，可知m 的取值范围是(－3,1).(时间：70分钟)1.(2015·重庆)设函数f (x )＝3x 2＋ax e x(a ∈R ). (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x(e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x， 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化简得3x －e y ＝0. (2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x. 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数；当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，故f (x )为增函数；当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数.由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92， 故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－92，＋∞. 2.已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈[0，π2]. (1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin x x <b 对x ∈(0，π2)恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 解 (1)由f (x )＝x cos x －sin x 得f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间(0，π2)上f ′(x )＝－x sin x <0， 所以f (x )在区间[0，π2]上单调递减. 从而f (x )≤f (0)＝0.(2)当x >0时，“sin x x>a ”等价于“sin x －ax >0”； “sin x x <b ”等价于“sin x －bx <0”. 令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c .当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立， 当c ≥1时，因为对任意x ∈(0，π2)，g ′(x )＝cos x －c <0， 所以g (x )在区间[0，π2]上单调递减. 从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈(0，π2)恒成立. 当0<c <1时，存在唯一的x 0∈(0，π2)使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0.g (x )与g ′(x )在区间(0，π2)上的情况如下：因为g (x )在区间[0，x 0]上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立”当且仅当 g (π2)＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π. 综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈(0，π2)恒成立； 当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈(0，π2)恒成立. 所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈(0，π2)恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1. 3.某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与(x －214)2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件. (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数表达式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.解 (1)设5858－u ＝k (x －214)2， ∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝k (10－214)2，解得k ＝2. ∴u ＝－2(x －214)2＋5858＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11).(2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18)＝－6(x －2)(x －9).令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0；当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上单调递增，在(9,11)上单调递减.∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，即售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元.4.已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个.解 (1)a ＝2时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )， 得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ， 整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1).令y ＝x 3＋x 2－x －2，求导得y ′＝3x 2＋2x －1，令y ′＝0，得x 1＝－1，x 2＝13， 故得极值点分别在－1和13处取得，且极大值、极小值都是负值. 所以y ＝x 3＋x 2－x －2＝0的解只有一个.即y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点只有一个. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ， 整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，令h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)， 对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和13处，h (x )的草图如图所示，h (－1)＝1，h (13)＝－527， 当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a＝－527时恰有两个公共点. 5.已知函数f (x )＝x ＋a e x . (1)若f (x )在区间(－∞，2)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝0，x 0<1，设直线y ＝g (x )为函数f (x )的图像在x ＝x 0处的切线，求证：f (x )≤g (x ).(1)解 易得f ′(x )＝－x －(1－a )e x， 由已知得f ′(x )≥0对x ∈(－∞，2)恒成立，故x ≤1－a 对x ∈(－∞，2)恒成立，∴1－a ≥2，∴a ≤－1.(2)证明 a ＝0，则f (x )＝x e x . 函数f (x )的图像在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0).令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)，x ∈R ，则h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝1－x e x －001e x x -000(1)e (1)e .ex x x x x x +---= 设φ(x )＝(1－x )0e x －(1－x 0)e x ，x ∈R ， 则φ′(x )＝0-e x －(1－x 0)e x ， ∵x 0<1，∴φ′(x )<0，∴φ(x )在R 上单调递减，而φ(x 0)＝0， ∴当x <x 0时，φ(x )>0，当x >x 0时，φ(x )<0， ∴当x <x 0时，h ′(x )>0，当x >x 0时，h ′(x )<0， ∴h (x )在区间(－∞，x 0)上为增函数，在区间(x 0，＋∞)上为减函数， ∴x ∈R 时，h (x )≤h (x 0)＝0， ∴f (x )≤g (x ).。
步步高2015大二轮数学第四篇 高考小题分项练(六)
高考小题分项练(六)(推荐时间：40分钟)1．在R 上定义运算“⊗”：x ⊗y ＝(1－x )(1＋y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．－2<a <0 C ．0<a <2 D ．－32<a <12答案 B解析 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(1－x ＋a )(1＋x ＋a )＝(1＋a )2－x 2<1恒成立，即x 2>(1＋a )2－1恒成立，故只要(1＋a )2－1<0恒成立，即a 2＋2a <0，解得－2<a <0. 2．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 当x >1时，ln x >0，sgn(ln x )＝1， ∴f (x )＝1－ln 2x ，令f (x )＝0，得x ＝e 满足． 当x ＝1时，ln x ＝0，sgn(ln x )＝0， ∴f (x )＝－ln 2x ，令f (x )＝0，得x ＝1满足． 当0<x <1时，ln x <0，sgn(ln x )＝－1， ∴f (x )＝－1－ln 2x <0，f (x )＝0无解． ∴函数f (x )的零点为x ＝1与x ＝e.3．函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D 使得f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，则称函数f (x )为“成功函数”．若函数f (x )＝logc (c x ＋t ) (c >0，c ≠1)是“成功函数”，则t 的取值范围为( ) A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，14 C.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，14 答案 D解析 无论c >1还是0<c <1，f (x )＝log c(c x＋t )都是R 上的单调增函数，故应有⎩⎨⎧f (a )＝a 2f (b )＝b2，则问题可转化为求f (x )＝x 2，即log c (c x ＋t )＝x2，即c x ＋t ＝2xc 在R 上有两个不相等的实数根的问题，令2x c ＝m (m >0)，则c x＋t ＝2x c 可化为t ＝m －m 2，问题进一步可转化为求函数y ＝t 与y ＝m －m 2 (m >0)的图象有两个交点的问题，结合图形可得t ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 4．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( ) A.19 B.29 C.718 D.49 答案 D解析 任意找两人玩这个游戏，共有6×6＝36种猜字结果，其中满足|a －b |≤1的有如下情形：①若a ＝1，则b ＝1,2；②若a ＝2，则b ＝1,2,3；③若a ＝3，则b ＝2,3,4；④若a ＝4，则b ＝3,4,5；⑤若a ＝5，则b ＝4,5,6；⑥若a ＝6，则b ＝5,6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P ＝1636＝49.5．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( ) A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 答案 D解析 依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有AC →＝λAB →，AD →＝μAB →，且1λ＋1μ＝2.若C 是线段AB 的中点，则有AC →＝12AB →，此时λ＝12.又1λ＋1μ＝2，所以1μ＝0，不可能成立．因此A 不对，同理B 不对．当C ，D 同时在线段AB 上时，由AC →＝λAB →，AD →＝μAB →知0＜λ＜1,0＜μ＜1，此时1λ＋1μ＞2，与已知条件1λ＋1μ＝2矛盾，因此C 不对．若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则AC →＝λAB →时，λ＞1，AD →＝μAB →时，μ＞1，此时1λ＋1μ＜2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上．6．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ] D ．[x －y ]≤[x ]－[y ] 答案 D解析 特殊值法．令x ＝1.5，∵[－1.5]＝－2，－[1.5]＝－1，故A 错；[2×1.5]＝3,2[1.5]＝2，故B 错；令x ＝1.5，y ＝0.5，[x ＋y ]＝2，[x ]＋[y ]＝1＋0＝1，故C 错．7．函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈M (M ⊆D )，有x ＋l ∈D ，且f (x ＋l )≥f (x )，则称f (x )为M 上的l 高调函数．如果定义域为R 的函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|－a 2，且f (x )为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是( ) A ．－1≤a ≤1 B ．0<a <1 C ．－2<a <2 D ．－2≤a ≤2答案 A解析 x ≥0时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，x －2a 2，x >a 2.由于函数f (x )是奇函数，所以函数y ＝f (x )的图象大致如下图所示，根据函数图象的平移变换法则可得函数y ＝f (x ＋4)的图象，大致如下图所示．如果在R 上，f (x ＋4)≥f (x )恒成立，必须且只需－4＋2a 2≤－2a 2(横轴上的截距)，即a 2≤1，解得－1≤a ≤1.特例排除法也可解此题．8．在平面直角坐标系中，定义d (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M (－1,0)，N (1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x ＝0；④到M (－1,0)，N (1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线． 其中真命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C解析 设到原点的“折线距离”为1的点为(x ，y )，则|x |＋|y |＝1，这是以点(1,0)，(0,1)，(－1,0)，(0，－1)为顶点的正方形，故命题①为真命题，命题②为假命题．设到M ，N 的“折线距离”相等的点为(x ，y )，则|x ＋1|＋|y |＝|x －1|＋|y |，即|x ＋1|＝|x －1|，两边平方即得x ＝0，命题③为真命题．设到M ，N 的“折线距离”差的绝对值为1的点为(x ，y )，则||x ＋1|＋|y |－|x －1|－|y ||＝1，即||x ＋1|－|x －1||＝1，当x ≥1时，不成立，当x ≤－1时也不成立，只有当－1<x <1时可能成立，此时||x ＋1|－|x －1||＝1，即|2x |＝1，即x ＝±12，所以命题④为真命题．9．形如34 021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数是“波浪数”的所有可能情况有( ) A ．66种 B ．69种 C ．61种 D ．71种答案 D解析 由题意得波浪数有5类，分别为十位、千位上为5,4；5,3；5,2；4,3；4,2；所有情况总数为A 22(A 33＋C 12A 23)＋A 22C 12A 22＋A 23＋C 12C 12＋C 12A 22＋C 22C 12＋A 22C 12A 22＋A 22＋1＝71.故选D.10．(2014·四川)以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①③④解析 ①因为f (x )∈A ，所以函数f (x )的值域是R ，所以满足∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ，同时若∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ，则说明函数f (x )的值域是R ，则f (x )∈A ，所以正确； ②因为令f (x )＝1x ，x ∈(1,2]，取M ＝1，则f (x )⊆[－1,1]， 但是f (x )没有最大值，所以错误；③因为f (x )∈A ，g (x )∈B 且它们的定义域相同(设为[m ，n ])，所以存在区间[a ，b ]⊆[m ，n ]，使得f (x )在区间[a ，b ]上的值域与g (x )的值域相同，所以存在x 0∉[a ，b ]，使得f (x 0)的值接近无穷，所以f (x )＋g (x )∉B ，所以正确；④因为当x >－2时，函数y ＝ln(x ＋2)的值域是R ，所以函数f (x )若有最大值，则a ＝0，此时f (x )＝x x 2＋1.因为对∀x ∈R ，x 2＋1≥2|x |，所以－12≤x x 2＋1≤12.所以－12≤f (x )≤12，所以f (x )∈B ，所以正确．11．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集．给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号)． 答案 ②③解析 图①中连接左顶点和右上顶点的线段不在区域内，故不是凸集，图④中两圆的外公切线不在区域内，也不是凸集，②③符合凸集的定义．12．设f (x )和g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－94，－2 解析 f (x )＝x 2－3x ＋4为开口向上的抛物线，g (x )＝2x ＋m 是斜率k ＝2的直线，可先求出g (x )＝2x ＋m 与f (x )＝x 2－3x ＋4相切时的m 值．由f ′(x )＝2x －3＝2得切点为⎝⎛⎭⎫52，114，此时m ＝－94，因此f (x )＝x 2－3x ＋4的图象与g (x )＝2x ＋m 的图象有两个交点，只需将g (x )＝2x －94向上平移即可．再考虑区间[0,3]，可得点(3,4)为f (x )＝x 2－3x ＋4图象上最右边的点，此时m ＝－2，所以m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2. 13．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等差比数列，k 称为公差比．现给出下列命题： ①等差比数列的公差比一定不为零； ②等差数列一定是等差比数列；③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列； ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确命题的序号为________． 答案 ①③④解析 若k ＝0，{a n }为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，②错误；a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3，满足定义，③正确；设a n ＝a 1q n －1(q ≠0)，则a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝a 1q n ＋1－a 1q n a 1q n －a 1q n －1＝q ，④正确．14．已知y ＝f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，那么在区间[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠1)有4个根，则k 的取值范围为________． 答案 (－13，0)解析 由图象可知，在l 1和l 2之间的直线都满足与函数图象在区间[－1,3]上有4个交点，且f (x )＝kx ＋k ＋1过定点(－1,1)，结合图象可知k 的取值范围为(－13，0)．15．设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题：①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①④解析 ①C 到C 点距离为0，C 在AB 上，所以C 到AB 距离和最小，所以①正确．②斜边上的高的垂足是中位点，所以②错误．③共线的四点的中位点是中间两点连线线段上任何点，所以③错误．④用反证法易证④正确．。
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题突破训练四 第1讲 等差数列和等比数列 理(含
第1讲 等差数列和等比数列考情解读 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．1．a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列和等比数列等差数列 等比数列定义 a n －a n －1＝常数(n ≥2) a na n －1＝常数(n ≥2) 通项公式a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1(q ≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ≥1)⇔{a n }为等差数列(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p 、q为常数)⇔{a n }为等差数列 (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }为等差数列 (5){a n }为等比数列，a n >0⇔{log a a n }为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ≥1)(a n ≠0)⇔ {a n }为等比数列(3)通项公式法：a n ＝c ·q n (c 、q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列(4){a n }为等差数列⇔{aa n }为等比数列(a >0且a ≠1)性质(1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q(2)a n ＝a m ＋(n －m )d(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列(1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q (2)a n ＝a m qn －m(3)等比数列依次每n 项和(S n ≠0)仍成等比数列前n 项和S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d(1)q ≠1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q(2)q ＝1，S n ＝na 1热点一 等差数列例1 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是( ) A ．21 B ．24 C ．28 D ．7(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值X 围是________． 思维启迪 (1)利用a 1＋a 7＝2a 4建立S 7和已知条件的联系；(2)将a 3，a 6的X 围整体代入． 答案 (1)C (2)(－3,21)解析 (1)由题意可知，a 2＋a 6＝2a 4，则3a 4＝12，a 4＝4，所以S 7＝7×a 1＋a 72＝7a 4＝28.(2)S 9＝9a 1＋36d ＝3(a 1＋2d )＋6(a 1＋5d ) 又－1<a 3<1,0<a 6<3，∴－3<3(a 1＋2d )<3,0<6(a 1＋5d )<18， 故－3<S 9<21.思维升华 (1)等差数列问题的基本思想是求解a 1和d ，可利用方程思想； (2)等差数列的性质①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列； ③a m －a n ＝(m －n )d ⇔d ＝a m －a n m －n(m ，n ∈N *)； ④a n b n ＝A 2n －1B 2n －1(A 2n －1，B 2n －1分别为{a n }，{b n }的前2n －1项的和)．(3)等差数列前n 项和的问题可以利用函数的性质或者转化为等差数列的项，利用性质解决．(1)已知等差数列{a n }，满足a 3＝1，a 8＝6，则此数列的前10项的和S 10＝________.(2)在等差数列{a n }中，a 5<0，a 6>0且a 6>|a 5|，S n 是数列的前n 项的和，则下列说法正确的是( )A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6…均大于0B ．S 1，S 2，…S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11…均大于0D ．S 1，S 2，…S 11均小于0，S 12，S 13…均大于0 答案 (1)35 (2)C解析 (1)因为a 1＋a 10＝a 3＋a 8＝7， 所以S 10＝a 1＋a 10×102＝a 3＋a 8×102＝7×102＝35.(2)由题意可知a 6＋a 5>0，故S 10＝a 1＋a 10×102＝a 5＋a 6×102>0，而S 9＝a 1＋a 9×92＝2a 5×92＝9a 5<0，故选C.热点二 等比数列例2 (1)(2014·某某)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝_____________________.(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n 等于( )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1思维启迪 (1)列方程求出d ，代入q 即可；(2)求出a 1，q ，代入化简． 答案 (1)1 (2)D解析 (1)设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1， ∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1. (2)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，∴q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×(12)n －1＝42n ，∴S n ＝2×1－12n1－12＝4(1－12n )，∴S n a n＝41－12n42n ＝2n－1，故选D. 思维升华 (1){a n }为等比数列，其性质如下：①若m 、n 、r 、s ∈N *，且m ＋n ＝r ＋s ，则a m ·a n ＝a r ·a s ； ②a n ＝a m qn －m；③S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列(q ≠－1)． (2)等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q q ≠1.①能“知三求二”；②注意讨论公比q 是否为1；③a 1≠0.(1)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2)在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2·a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 (1)D (2)B解析 (1)∵a 4－2a 27＋3a 8＝0，∴2a 27＝a 4＋3a 8，即2a 27＝4a 7，∴a 7＝2，∴b 7＝2，又∵b 2b 8b 11＝b 1qb 1q 7b 1q 10＝b 31q 18＝(b 7)3＝8，故选D.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a n －1＝a 1a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，解得a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2.当a 1＝2，a n ＝32时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q1－q ＝62，解得q ＝2.又a n ＝a 1q n －1，所以2×2n －1＝2n ＝32，解得n ＝5.同理，当a 1＝32，a n ＝2时，由S n ＝62，解得q＝12.由a n ＝a 1q n －1＝32×(12)n －1＝2，得(12)n －1＝116＝(12)4，即n －1＝4，n ＝5.综上，项数n 等于5，故选B.热点三 等差数列、等比数列的综合应用例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，某某数λ的取值X 围．思维启迪 (1)利用方程思想求出a 1，代入公式求出a n 和S n ；(2)将恒成立问题通过分离法转化为最值．解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n 9－n2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1， 设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4[1－12m]1－12＝8[1－(12)m]，∵(12)m随m 增加而递减， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n 9－n2＝－12(n 2－9n )＝－12[(n －92)2－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ，则10<4＋λ，得λ>6.即实数λ的取值X 围为(6，＋∞)． 思维升华 等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可．已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求证：1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.(1)解 ∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋12，当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12，两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a na n －1＝2， ∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，∴a n ＝12×2n －1＝2n －2.(2)证明 b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝log 222n ＋1－2×log 222n ＋3－2＝(2n －1)(2n ＋1)，1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)， 1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)<12(n ∈N *)． 即1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.1．在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算． 2．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．3．等差、等比数列的单调性 (1)等差数列的单调性 d >0⇔{a n }为递增数列，S n 有最小值． d <0⇔{a n }为递减数列，S n 有最大值． d ＝0⇔{a n }为常数列．(2)等比数列的单调性 当⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列． 4．常用结论(1)若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S n n}仍为等差数列，其中m ，k 为常数．(2)若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n}仍为等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…，成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝a 2－a 1qa 2－a 1＝q . (4)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等比数列，其公差为q k.等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等差数列，公差为k 2d . 5．易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起． (2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .真题感悟1．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C解析 数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.2．(2014·)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0. ∴数列的前8项和最大，即n ＝8. 押题精练1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 013<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0 C ．若a 3>0，则a 2 013>0 D ．若a 4>0，则a 2 014>0 答案 C解析 因为a 3＝a 1q 2，a 2 013＝a 1q2 012，而q 2与q2 012均为正数，若a 3>0，则a 1>0，所以a 2 013>0，故选C.2．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n.若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值X 围为________． 答案 (－8，－7)解析 a n ＝a ＋(n －1)×1＝n ＋a －1，所以b n ＝1＋a n a n ＝n ＋a n ＋a －1，因为对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，即n ＋a n ＋a －1≥8＋a 8＋a －1(n ∈N *)恒成立，即n －8a ＋7n ＋a －1≤0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7<0，1－a <9，解得－8<a <－7.3．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14恰好是等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，(T n ＋32)k ≥3n －6恒成立，某某数k 的取值X 围．解 (1)当n ≥2时，由题设知4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1， ∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4， ∴a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2， ∵a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2.∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 25＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3， 由条件可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1， ∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. ∵等比数列{b n }的公比q ＝a 5a 2＝2×5－13＝3，∴等比数列{b n }的通项公式为b n ＝3n.(2)T n ＝b 11－q n 1－q ＝31－3n 1－3＝3n ＋1－32，∴(3n ＋1－32＋32)k ≥3n －6对任意的n ∈N *恒成立，∴k ≥2n －43n 对任意的n ∈N *恒成立，令＝2n －43n ，－－1＝2n －43n －2n －63n －1＝－22n －73n， 当n ≤3时，>－1； 当n ≥4时，<－1.∴()max ＝c 3＝227，∴k ≥227.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 B解析 ∵3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，两式相减得3a 3＝a 4－a 3，∴a 4＝4a 3，∴q ＝a 4a 3＝4. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是( ) A ．27 B ．36 C ．45 D ．54 答案 D解析 由2a 6＝6＋a 7得a 5＝6，所以S 9＝9a 5＝54.故选D.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝－2，又S m ＝a 1－a m q1－q＝－11，故a 1＝－1，又a m ＝a 1·qm －1＝－16，代入可求得m ＝5.4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．11 答案 B解析 ∵{b n }为等差数列，设其公差为d ， 由b 3＝－2，b 10＝12，∴7d ＝b 10－b 3＝12－(－2)＝14，∴d ＝2， ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6， ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62·d＝7×(－6)＋21×2＝0，又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3， ∴a 8－3＝0，a 8＝3.故选B. 5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 014等于( )A.16B ．－16 C ．6 D ．－6 答案 D 解析 由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1得a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，而a 1＝2，所以a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，则数列是以4为周期，且a 1a 2a 3a 4＝1，所以T 2 014＝(a 1a 2a 3a 4)503a 1a 2＝1503×2×(－3)＝－6，故选D. 6．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2 011B ．－2 011C ．0D ．1 答案 A解析 由S 21＝S 4 000得a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝0， 由于a 22＋a 4 000＝a 23＋a 3 999＝…＝2a 2 011， 所以a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝3 979a 2 011＝0， 从而a 2 011＝0，而OP →·OQ →＝2 011＋a 2 011a n ＝2 011. 二、填空题7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝________. 答案 3解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝8，a 1q 4＋a 1q 6＝4，解得q 4＝12.又a 9＋a 11＝a 1q 8＋a 3q 8＝(a 1＋a 3)q 8＝8×(12)2＝2，a 13＋a 15＝a 1q 12＋a 3q 12＝(a 1＋a 3)q 12＝8×(12)3＝1，所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3.8．(2014·某某)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______.答案 50解析 因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________.答案 6解析 设等差数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n n －12×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36， 故当n ＝6时，S n 取最小值．10．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________.答案 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1⎩⎪⎨⎪⎧ 2 n ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2 n ≥2解析 由a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，可得a n ＋1＝12S n ，所以S n ＋1－S n ＝12S n ，即S n ＋1＝32S n ，由此可知数列{S n }是一个等比数列，其中首项S 1＝a 1＝2，公比为32，所以S n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1， 由此得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2 n ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2 n ≥2.三、解答题11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列． (1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15.解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54. 所以b n ＝b 1·q n －1＝54·2n －1＝5·2n －3， 即数列{b n }的通项公式b n ＝5·2n －3.(2)证明 由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n 1－2＝5·2n －2－54， 即S n ＋54＝5·2n －2. 所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2. 因此{S n ＋54}是以52为首项，2为公比的等比数列． 12．若数列{b n }对于n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列，如数列{}，若＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4n －1，n 为奇数，4n －9，n 为偶数，则数列{}是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n ＋a n ＋1＝2n .(1)求证：{a n }为准等差数列；(2)求{a n }的通项公式及前20项和S 20.(1)证明 ∵a n ＋1＋a n ＝2n ，①∴a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2.②由②－①得a n ＋2－a n ＝2(n ∈N *)，∴{a n }是公差为2的准等差数列．(2)解 已知a 1＝a ，a n ＋1＋a n ＝2n (n ∈N *)，∴a 1＋a 2＝2，即a 2＝2－a .∴由(1)可知a 1，a 3，a 5，…，成以a 为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…，成以2－a 为首项，2为公差的等差数列．∴当n 为偶数时，a n ＝2－a ＋(n 2－1)×2＝n －a ， 当n 为奇数时，a n ＝a ＋(n ＋12－1)×2＝n ＋a －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋a －1，n 为奇数，n －a ，n 为偶数.S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2×1＋2×3＋…＋2×19＝2×1＋19×102＝200. 13．(2013·某某)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18.即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q 1＋q ＋q 2＝－18， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝－2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－－2n ]1－－2＝1－(－2)n .假设存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，得n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．。
【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练二 第2讲 函数的应用 理
第2讲 函数的应用考情解读 1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值X 围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一 函数的零点例1 (1)已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f (12)>f (－3)>0，则方程f (x )＝0的根的个数为________．(2)(2014·某某)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈[0，12]，2x －1，x ∈12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A ．[14，23]∪[43，74]B ．[－34，－13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[－34，－13]∪[13，34]思维启迪 (1)根据零点存在性原理，进行判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)2 (2)A解析 (1)由于函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (－3)＝－f (3)>0， 故f (3)<0，因为函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，且f (12)>0，由零点存在性定理知，存在c ∈(12，3)，使得f (c )＝0，即函数f (x )在(0，＋∞)有唯一零点，由奇函数图象的特点知，函数f (x )在(－∞，0)也有一个零点，故方程f (x )＝0的根的个数为2. (2)先画出y 轴右边的图象，如图所示．∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝12.设与曲线交于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标． 令cos πx ＝12，∵x ∈[0，12]，∴πx ＝π3，∴x ＝13.令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34.根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－13.∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝12上及其下方的图象满足，∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－13，∴43≤x ≤74或14≤x ≤23. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(1)已知函数f (x )＝(14)x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定 答案 (1)C (2)C解析 (1)f (x )在[0,2π]上的零点个数就是函数y ＝(14)x和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y ＝(14)x和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C.(2)∵f (x )＝2x －log 12x 在(0，＋∞)上是增函数，又a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，即f (a )＝0，∴当0<x 0<a 时，f (x 0)<0. 热点二 函数的零点与参数的X 围例2 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值X 围是( ) A ．(－2,1) B ．[0,1] C ．[－2,0) D ．[－2,1)思维启迪 先确定函数f (x )的解析式，再利用数形结合思想求k 的X 围． 答案 D解析 解不等式：x 2－1－(4＋x )≥1，得：x ≤－2或x ≥3，所以，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈－∞，－2]∪[3，＋∞，x 2－1，x ∈－2，3.函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同交点．如图，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.思维升华 已知函数的零点个数求解参数X 围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0恰有6个不同的实根，则实数a 的取值X 围是________． 答案 a <－12解析 ∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，∴－1和1是f ′(x )＝0的根，∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋1＝－2b3a－1×1＝c3a，∴b ＝0，c ＝－3a ，∴f (x )＝ax 3－3ax ，∵3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0，∴3a (f (x ))2－3a ＝0，∴f 2(x )＝1，∴f (x )＝±1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1>1f－1<－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －3a >1－a ＋3a <－1，∴a <－12.热点三 函数的实际应用问题例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|xx 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值X 围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？思维启迪 (1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝xx 2＋1＝1x ＋1x∈(0，12]， 即t 的取值X 围是[0，12]．(2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g12，0≤a ≤14，g0，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 20<x ≤10，108x －1 0003x 2x >10.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－10 0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x x >10.(2)①当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0；当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎪⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知：当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．1．函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.真题感悟1．(2014·某某)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3， x ∈－1，0]，x ， x ∈0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 答案 A解析 作出函数f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (0，－2)．因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝12，可知当直线y ＝m (x ＋1)在x 轴和AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与AC 重合但不能与x 轴重合)，此时0<m ≤12，g (x )有两个不同的零点．当直线y ＝m (x ＋1)过点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＋1－3，y ＝m x ＋1，得mx2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝0，解得m ＝－94，可知当y ＝m (x ＋1)在切线和BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与BC 重合但不能与切线重合)，此时－94<m ≤－2，g (x )有两个不同的零点．综上，m 的取值X 围为(－94，－2]∪(0，12]，故选A.2．(2014·)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟 答案 B解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． 押题精练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点有________个．答案 4解析 当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1，即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝14；当f (x )＋1＝1，即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1.故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点．2．函数f (x )＝x e x－a 有两个零点，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－1e，0)解析 令f ′(x )＝(x ＋1)e x＝0，得x ＝－1， 则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，要使f (x )有两个零点，则极小值f (－1)<0，即－e －1－a <0，∴a >－1e，又x →－∞时，f (x )>0，则a <0，∴a ∈(－1e，0)．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 答案 5 8解析 由题意知每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－(x ＋25x)，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3) 答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．f (12)＝log 212－112＝－1－2＝－3<0，f (1)＝log 21－11＝0－1<0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0， f (3)＝log 23－13>1－13＝23>0，即f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1,2)内．2．函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1，下列区间中，可能存在零点的是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3) 答案 B解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，且为递减函数，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x>0，所以f (x )>0，故函数在(1,2)上没有零点；f (2)＝22－ln 1＝1>0，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83， 因为8＝22≈2.828，所以8>e ，故ln e<ln 8，即1<12ln 8，所以2<ln 8，即f (3)<0，f (4)＝24－ln 3＝12－ln 3<0.故f (x )在(2,3)存在零点．3．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值X 围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1]C ．(－14，0)D ．(－14，0]答案 C解析 作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示．当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数f (x )＝m 有三个不同的零点，则－14<m <0，即m 的取值X 围为(－14，0)． 5．(2013·某某)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 如图所示，连接OF ，OG ，过点O 作OM ⊥FG ，过点A 作AH ⊥BC ，交DE 于点N .因为弧FG 的长度为x ，所以∠FOG ＝x ， 则AN ＝OM ＝cos x2，所以AN AH ＝AE AB ＝cos x2，则AE ＝233cos x 2，∴EB ＝233－233cos x2.∴y ＝EB ＋BC ＋CD ＝433－433cos x 2＋233＝－433cos x 2＋23(0<x <π)．6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1，2－x 2，x ∈[－1，0，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7 D ．－8 答案 C解析 由题意知g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2x ＋2＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的图象如图所示：由图形可知函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为－3，若设C 的横坐标为t (0<t <1)，则点A 的横坐标为－4－t ，所以方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为－3＋(－4－t )＋t ＝－7.二、填空题7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值X 围是________．答案 (0,1]解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点， 则当x ≤0时，函数f (x )＝2x－a 有一个零点， 令f (x )＝0得a ＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a ≤1， 所以实数a 的取值X 围是0<a ≤1.8．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，13x ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值X围是________．答案 (－∞，8]解析 当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，13x ≤2，x ≤23＝8,1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]． 9．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值X 围为________． 答案 m >1解析 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根． ∵1x ＋2＝m |x |⇔1m＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足：0<1m<1，故m >1.10．我们把形如y ＝b|x |－a(a >0，b >0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 4解析 由题意知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1x ≥0且x ≠1，－1x ＋1x <0且x ≠－1.在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．三、解答题11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，某某数a 的取值X 围． 解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3， 令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根． ∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1. 因此实数a 的取值X 围是(0,1)．12．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab . 依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a2.又140<2a <420，即70<a <210.(1)当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值；(2)当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值．故当70<a <140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大， 当140<a <210时，公司应裁员a2人，经济效益取到最大．13．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值X 围；若不存在，说明理由． 解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9(a －89)2＋89>0，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.。
步步高2015大二轮数学第四篇 高考小题分项练(一)
高考小题分项练高考小题分项练(一)(推荐时间：40分钟)1．(2014·课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于() A．[－2，－1]B．[－1,2)C．[－1,1]D．[1,2)答案 A解析∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A.2．(2014·湖南)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 C解析当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C.3．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 015)＋f(2 016)的值为()A．－1 B．－2C．2 D．1答案 A解析 由已知f (x )为R 上奇函数且周期为2，对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－2 015)＋f (2 016)＝－f (2 015)＋f (2 016)＝－f (2×1 007＋1)＋f (2×1 008＋0)＝－f (1)＋f (0)＝－log 22＋log 21＝－1.4．已知命题p 、q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为綈p 为真，所以p 为假，那么p ∧q 为假，所以“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分条件；反过来，若“p ∧q 为假”，则“p 真q 假”或“p 假q 真”或“p 假q 假”，所以由“p ∧q 为假”不能推出綈p 为真．综上可知，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件．5．已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，则f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为( ) A ．2 011 B ．1 006 C ．2 013 D ．1 007答案 C解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2，由f (x )＝f (－x ＋2)可知函数f (x )关于直线x ＝1对称，因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，所以函数f (x )＝0在区间[0，2 013]内根的个数为2 013个，选C. 6．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.所以“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件． 7．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x ＞0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值 答案 D解析 由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e xx，得f ′(x )＝e x －2x 2f (x )x3，令g (x )＝e x －2x 2f (x )，x ＞0， 则g ′(x )＝e x－2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x－2·e x x ＝(x －2)exx.令g ′(x )＝0，得x ＝2.当x ＞2时，g ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0， ∴g (x )在x ＝2时有最小值g (2)＝e 2－8f (2)＝0， 从而当x ＞0时，f ′(x )≥0， 则f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以函数f (x )无极大值，也无极小值．8．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0B.⎝⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D .⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 答案 A解析 ∵⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，∴f (a )<f (0)， ∴a (1＋a |a |)<0，解得－1<a <0，可排除C. ∵f ⎝⎛⎭⎫－12＋a <f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎝⎛⎭⎫1＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a <－12⎝⎛⎭⎫1＋a 2， ∴a ⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a <－54a . ∵－1<a <0，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a >－54， ∴－⎝⎛⎭⎫－12＋a 2>－54，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a 2<54， ∴1－52<a <0.排除B ，D.应选A. 9．若变量x ，y 满足|x |－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象大致是( )答案 B解析 由|x |－ln 1y ＝0，有y ＝1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x，x ≥0，e x ，x <0，利用指数函数图象可知答案选B.10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋x 2＋2x ，x <0，f (x －1)，x ≥0，且函数y ＝f (x )＋x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(0,1] C ．(－∞，0] D ．(－∞，2]答案 A解析 当x <0时，f (x )＝(x ＋1)2＋a －1，把函数f (x )在[－1,0)上的图象向右平移一个单位即得函数y ＝f (x )在[0,1)上的图象，继续右移可得函数f (x )在[0，＋∞)上的图象．如果函数y ＝f (x )＋x 恰有3个不同的零点，即函数y ＝f (x )，y ＝－x 的图象有三个不同的公共点，实数a 应满足最小值a －1≤0，即可，即a ≤1.11．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|kx －y －2≤0}，其中x ，y ∈R .若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是________． 答案 [－3， 3 ]解析 要使A ⊆B ，只需直线kx －y －2＝0与圆相切或相离， 所以d ＝21＋k 2≥1，解得－3≤k ≤ 3. 12．若a ＝ʃ10x d x ，b ＝ʃ101－x d x ，c ＝ʃ101－x 2d x ，则将a ，b ，c 从小到大排列的顺序为________． 答案 a <b <c解析 根据定积分的几何意义a ＝ʃ10x d x ＝ʃ10(1－x )d x .当0<x <1时，1－x <1－x <1－x 2，所以在区间(0,1)上三个函数y ＝1－x ，y ＝1－x ，y ＝1－x 2的图象从低到高，在点x ＝0，x ＝1处三个函数的图象重合．根据定积分的几何意义得a <b <c .13．函数f (x )＝ln x ＋ax (a ∈R )存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2)解析 f ′(x )＝1x ＋a ，∵函数f (x )存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴1x ＋a ＝2，即a ＝2－1x <2.14．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x >0)图象上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________． 答案10，－1解析 |P A |2＝(x －a )2＋⎝⎛⎭⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2ax －2ax ＋2a 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2a ＋2a 2－2 ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x －a 2＋a 2－2 由x >0，得x ＋1x≥2，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2，a 2－2＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a <2，(2－a )2＋a 2－2＝8，解得a ＝10或a ＝－1.15．如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cosx )；③y ＝e x ＋1；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0， x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________．答案 ②③解析 x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， 即(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0， 所以函数f (x )在R 上是增函数． 对于①，由y ′＝－3x 2＋1>0得－33<x <33，即函数在区间(－33，33)上是增函数，其不是“H 函数”；对于②，由y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin(x ＋π4)>0恒成立，所以其为“H 函数”；对于③，由y ′＝e x >0恒成立，所以其为“H 函数”；对于④，由于其为偶函数，所以其不可能在R 上是增函数．所以不是“H 函数” 综上知，是“H 函数”的有②③.。
2015步步高理科数学压轴题目突破练
压轴题目突破练——平面解析几何A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，a 的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)D.(1，3)答案 C解析 直线l 1的倾斜角为π4，依题意l 2的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π4－π12，π4∪⎝⎛⎭⎫π4，π4＋π12，即⎝⎛⎭⎫π6，π4∪⎝⎛⎭⎫π4，π3，从而l 2的斜率a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3). 2.若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是 ( )A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]答案 A解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为|4×3－3×(－5)－2|42＋32＝5，所以当半径r ＝4时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4<r <6.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为 ( )A.y ＝±3xB.y ＝±33xC.y ＝±2xD.y ＝±22x答案 A解析 设点P (x 0，y 0).依题意得，焦点F (2,0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝5，y 20＝8x 0，于是有x 0＝3，y 20＝24； ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3， 因此该双曲线的渐近线方程是y ＝±bax ＝±3x .4.已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1 B.y 2－x 24＝1C.y 24－x 2＝1D.y 23－x 22＝1 答案 C解析 由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0，∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，∴2aa 2＋b2＝455，∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5， ∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1. ∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1，故选C.5.已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53B.23C.23D.13答案 A解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2， 所以离心率e ＝c a ＝53.二、填空题6．双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为________，渐近线方程为________． 答案 x 24－y 232＝1 y ＝±22x解析 由题意设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝4，即a ＝2，e ＝ca ＝3，则c ＝6，b ＝42，所以双曲线的标准方程为x 24－y 232＝1，渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x .7.若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________. 答案 2解析 设弦两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2.又∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.8.已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆在x 轴上所截得的弦长的最小值是________. 答案 2 3解析 由抛物线定义得以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值.设以AB 为直径的圆的半径为r ，则|AB |＝2r ≥4，r ≥2，且圆心到x 轴的距离是r －1，所以在x 轴上所截得的弦长为2r 2－(r －1)2＝22r －1≥23，即弦长的最小值是2 3. 三、解答题9.已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于异于椭圆顶点的两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围.解 (1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上， 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y ，得 (2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0，由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 所以－x 1＝2x 2.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，所以m 2－42＋k 2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22. 整理，得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时等式不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(－3，0)，(3，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点E (－1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求曲线C 的轨迹方程；(2)是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由． 解 (1)由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点， 长半轴长为2的椭圆， 故曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)存在△AOB 面积的最大值．因为直线l 过点E (－1,0)，可设直线l 的方程为x ＝my －1或y ＝0(舍)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my －1.整理得(m 2＋4)y 2－2my －3＝0. 由Δ＝(2m )2＋12(m 2＋4)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 解得y 1＝m ＋2m 2＋3m 2＋4，y 2＝m －2m 2＋3m 2＋4.则|y 2－y 1|＝4m 2＋3m 2＋4.因为S △AOB ＝12|OE |·|y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3＋1m 2＋3.设g (t )＝t ＋1t，t ＝m 2＋3，t ≥ 3.则g (t )在区间[3，＋∞)上为增函数．所以g (t )≥433.所以S △AOB ≤32，当且仅当m ＝0时取等号， 即(S △AOB )max ＝32. 所以存在△AOB 面积的最大值，S △AOB 的最大值为32. B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)1.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A.1B.2 2C.7D.3答案 C解析 如图所示， 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即为切线长， MQ 为圆M 的半径，长度为1， |PQ |＝|PM |2－|MQ |2 ＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2.所以|PQ |＝|PM |2－1≥(22)2－1＝7.2.在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )A.(－2，－9)B.(0，－5)C.(2，－9)D.(1，－6)答案 A解析 当x 1＝－4时，y 1＝11－4a ；当x 2＝2时，y 2＝2a －1，所以割线的斜率k ＝11－4a －2a ＋1－4－2＝a －2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0，由y ′＝2x ＋a 得切线斜率为2x 0＋a ，∴2x 0＋a ＝a －2，∴x 0＝－1.∴直线与抛物线的切点坐标为(－1，－a －4)，切线方程为y ＋a ＋4＝(a －2)(x ＋1)，即(a －2)x －y －6＝0.圆5x 2＋5y 2＝36的圆心到切线的距离d ＝6(a －2)2＋1.由题意得6(a －2)2＋1＝65，即(a －2)2＋1＝5.又a ≠0，∴a ＝4，此时，y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9， 顶点坐标为(－2，－9).3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________. 答案63解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)， 设直线的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a2， 代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝63. 4.设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，则|AF |＋4|BF |的最小值为________. 答案 92解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义可得|AF |＋4|BF |＝x 1＋p 2＋4⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋12＋4⎝⎛⎭⎫x 2＋12＝x 1＋4x 2＋52，设直线AB 的方程为ky ＝x －12，联立抛物线方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ky ＝x －12，y 2＝2x消元整理得y 2－2ky －1＝0，由根与系数的关系可得y 1y 2＝－1，又A ，B 在抛物线上，代入方程得y 21y 22＝2x 1·2x 2＝4x 1x 2＝1，即x 1x 2＝14，因此根据基本不等式|AF |＋4|BF |＝x 1＋4x 2＋52≥2x 1×4x 2＋52＝2＋52＝92，当且仅当x 1＝4x 2时取得最小值92.5.已知抛物线Ω的顶点是坐标原点O ，焦点F 在y 轴正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，且满足OM →·ON →＝－3. (1)求抛物线Ω的方程；(2)若直线y ＝x 与抛物线Ω交于A ，B 两点，在抛物线Ω上是否存在异于A ，B 的点C ，使得经过A ，B ，C 三点的圆和抛物线Ω在点C 处有相同的切线？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)依题意，设抛物线Ω的方程为x 2＝2py (p >0)， 则F (0，p 2)，由直线l 的斜率存在，设为k ， 得l 的方程为y ＝kx ＋p2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p2，消去y 并整理， 得x 2－2pkx －p 2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－p 2， 又y 1y 2＝(kx 1＋p 2)(kx 2＋p2)＝k 2x 1x 2＋12kp (x 1＋x 2)＋p 24＝k 2·(－p 2)＋12kp ·2kp ＋p 24＝p 24.所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－p 2＋p 24＝－3，因为p >0，解得p ＝2，故所求抛物线Ω的方程为x 2＝4y .(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x ，可求得A (0,0)，B (4,4)，假设抛物线Ω上存在异于A ，B 的点C ，且设C 的坐标为(t ，t 24)(t ≠0，t ≠4)，使得经过A ，B ，C 三点的圆和抛物线Ω在点C 处有相同的切线，令圆心为E (a ，b )，则由⎩⎪⎨⎪⎧|EA |＝|EB |，|EA |＝|EC |，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝(a －4)2＋(b －4)2，a 2＋b 2＝(a －t )2＋(b －t 24)2， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，4a ＋tb ＝2t ＋t 38，解得⎩⎨⎧a ＝－t 2＋4t 8，b ＝t 2＋4t ＋328.①因为抛物线Ω在点C 处的切线斜率k ′＝y ′|x ＝t ＝t2(t ≠0，t ≠4)，又该切线与EC 垂直，所以b －t 24a －t ·t2＝－1，即2a ＋bt －2t －t 34＝0.②将①代入②得，2(－t 2＋4t 8)＋t ·t 2＋4t ＋328－2t －t 34＝0，即t 3－2t 2－8t ＝0，因为t ≠0，t ≠4，解得t ＝－2. 故存在点C 且坐标为(－2,1).。
【步步高】(广东专用)高考数学二轮复习 专题突破训练一 第2讲 不等式与线性规划 理(含高考真题)
第2讲 不等式与线性规划考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形⇒f xg x>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；②变形⇒f xg x≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.(3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )>g (x )； ②当0<a <1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )<g (x )．(4)简单对数不等式的解法①当a >1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0<a <1时，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )<g (x )且f (x )>0，g (x )>0. 2．五个重要不等式 (1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )． (2)a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )． (3)a ＋b2≥ab (a >0，b >0)．(4)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值． 4．两个常用结论(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.热点一 一元二次不等式的解法例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}(2)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}思维启迪 (1)利用换元思想，设10x＝t ，先解f (t )>0.(2)利用f (x )是偶函数求b ，再解f (2－x )>0.答案 (1)D (2)C解析 (1)由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.(2)由题意可知f (－x )＝f (x )．即(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立， 故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)． 又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C.思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法．(1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．[－12，1]C ．(－∞，－12)∪[1，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2,0) C ．(－2,0) D ．[0,2]答案 (1)A (2)C解析 (1)原不等式等价于(x －1)(2x ＋1)<0或x －1＝0，即－12<x <1或x ＝1，所以不等式的解集为(－12，1]，选A.(2)p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时，Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.故p ∧q 为真时，－2<m <0. 热点二 基本不等式的应用例2 (1)(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时．(2)(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y－2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3思维启迪 (1)把所给l 值代入，分子分母同除以v ，构造基本不等式的形式求最值；(2)关键是寻找xy z取得最大值时的条件． 答案 (1)①1 900 ②100 (2)B 解析 (1)①当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1 900. 当且仅当v ＝11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时． ②当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v＋18≤76 0002v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2 000. 当且仅当v ＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时．比①中的最大车流量增加100 辆/时．(2)由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*) 则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，所以当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1.思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．(1)若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值为________．(2)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52答案 (1)3 (2)B解析 (1)因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n >0，且m 3＋n4＝1.所以m 3·n4≤(m 3＋n42)2(当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取等号)．所以m 3·n 4≤14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3. (2)2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2·x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ， 由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.热点三 简单的线性规划问题例3 (2013·湖北)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( ) A ．31 200元 B ．36 000元 C ．36 800元D ．38 400元思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题． 答案 C解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y, x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21y －x ≤736x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x 、y ∈N画出可行域如图直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小，所以z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元．思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．错误！未找到引用源。
2015步步高理科数学4.4
§4.4 三角函数的图象和性质1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( √ ) (2)y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数．( √ ) (3)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数． ( × ) (4)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数． ( × ) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1. ( × ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × ) 2． (2012·福建)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 方法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ； x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确；x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 3． 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于 ( )A.23B.32C ．2D ．3答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 4． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 ( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.5． 函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．答案 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >09－x 2≥0， 得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.题型一 求三角函数的定义域和最值例1 (1)(2012·山东)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为____________________________________________．思维启迪 求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数最值或值域时要利用图象、三角变换、二次函数等知识．答案 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)(2013·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]答案 (1){x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z } (2)C解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }．(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]， 画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1，可得y ∈[－54，1]．题型二 三角函数的单调性、周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 思维启迪 (1)化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图象→y ＝|tan x |的图象→求单调性及周期． 解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间，它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.思维升华 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减，∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三 三角函数的奇偶性和对称性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6B.π4C.π3D.π2答案 (1)π6(2)A解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.思维升华 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．(1)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A ．(－π8，0)B ．(0,0)C ．(－18，0)D ．(18，0)(2)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点(π4，0)对称；②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 答案 (1)C (2)②④解析 (1)由条件得f (x )＝2sin(ax ＋π4)，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin(2πx ＋π4)．将x ＝－18代入得函数值为0.(2)∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )．∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y ＝sin(2x ＋π3)，由图象及性质可知②④正确．三角函数的单调性、对称性典例：(10分)(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2](2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3思维启迪 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可．答案 (1)A (2)C解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. (2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象与其对称轴的交点是最值点.方法与技巧1． 讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. 3． 对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 失误与防范1． 闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2． 要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时情况.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 下列函数中，周期为π且在[0，π2]上是减函数的是( )A ．y ＝sin(x ＋π4)B ．y ＝cos(x ＋π4)C ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x答案 D解析 对于函数y ＝cos 2x ，T ＝π，当x ∈[0，π2]时，2x ∈[0，π]，y ＝cos 2x 是减函数．2． (2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 答案 B解析 将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求解． ∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]．3． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数， ∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．4． 若f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f (t ＋π4)＝f (－t )，且f (π8)＝－1，则实数m 的值等于( )A ．±1B ．－1或3C ．±3D ．－3或1答案 D解析 对任意实数t ，都有f (t ＋π4)＝f (－t )，则函数f (x )的图象关于x ＝t ＋π4＋(－t )2＝π8对称，所以cos(ω·π8＋φ)＝±1，即f (π8)＝±2＋m ＝－1⇒m ＝－3或1.5． (2012·天津)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是 ( )A.13B ．1C.53D ．2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2. 二、填空题6． 函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．7． 当－π2≤x ≤π2，函数y ＝sin x ＋3cos x 的最大值为________，最小值为________．答案 2 －1解析 y ＝2sin(x ＋π3)，－π6≤x ＋π3≤5π6，∴－12≤sin(x ＋π3)≤1，∴－1≤y ≤2，故y max ＝2，y min ＝－1.8． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.答案3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.又图象过定点(0,1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)，故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.三、解答题9． 设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π<φ<0，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 10．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4＝32sin πx 4－32cos πx4＝3sin(πx 4－π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一 在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.方法二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1． 函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的定义域是( )A ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )C ．[－π2＋k π，k π](k ∈Z )D ．[－π2＋2k π，2k π](k ∈Z )答案 A解析 |sin x ＋cos x |－1≥0⇒(sin x ＋cos x )2≥ 1⇒sin 2x ≥0，∴2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，故原函数的定义域是[k π，k π＋π2](k ∈Z )．2． 设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.3． 已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π； ③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________． 答案 ③④解析 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题； f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．4． 已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1.(1)当x ∈[π4，π2]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)求f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1.∵π4≤x ≤π2，∴π2≤2x ≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π3)≤2， 于是2≤2sin(2x －π3)＋1≤3，∴f (x )的最大值是3，最小值是2. (2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z得2k π－π6≤2x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z得f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z . 5． 已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
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高考压轴大题突破练
高考压轴大题突破练(一) ——直线与圆锥曲线(1)
(推荐时间：70分钟)
1．(2014·课标全国Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2，F 是椭圆
E 的右焦点，直线A
F 的斜率为23
3，O 为坐标原点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝23
3，得c ＝ 3.
又e ＝c a ＝3
2，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.
故E 的方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)当l ⊥x 轴时，不合题意，
故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2
＝1得
(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>3
4时，
x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1
.
从而|PQ |＝k 2
＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－3
4k 2＋1
.
又点O 到直线PQ 的距离d ＝
2
k 2＋1
， 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝1
2d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1.
设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4
＝4
t ＋4t
.
因为t ＋4
t ≥4，当且仅当t ＝2，
即k ＝±7
2时等号成立，且满足Δ>0，
所以，当△OPQ 的面积最大时l 的方程为y ＝
72x －2或y ＝－7
2
x －2.
2．(2014·陕西)如图，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和
部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为3
2
. (1)求a ，b 的值；
(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．
解 (1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1， 且A (－1,0)，B (1,0)是上半椭圆C 1的左，右顶点． 设C 1的半焦距为c ，由c a ＝3
2及a 2－c 2＝b 2＝1，
得a ＝2.∴a ＝2，b ＝1.
(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2
＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设
其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程， 整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x p ，y p )，
∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根． 由根与系数的关系，得x p ＝k 2－4
k 2＋4，
从而y p ＝－8k
k 2＋4
，
∴点P 的坐标为(k 2－4k 2＋4，－8k
k 2＋4
)．
同理，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －1)(k ≠0)，
y ＝－x 2
＋1(y ≤0)得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →
＝－k (1，k ＋2)．
∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →
＝0，即－2k 2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0.
∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，
解得k ＝－8
3
.
经检验，k ＝－8
3符合题意．
∴直线l 的方程为y ＝－8
3(x －1)，
即直线l 的方程为y ＝－83x ＋8
3
.
3．如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－1
2.
(1)求p 的值；
(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x
2，且切线MA 的斜率为
－12
， 所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14， 故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋1
4
.
因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋1
4＝－3－224，①
y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②
由①②，得p ＝2.
(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 2
14，B (x 2，x
2
24)，x 1≠x 2， 由N 为线段AB 中点知 x ＝x 1＋x 2
2
，③
y ＝x 21＋x 2
28
.④
切线MA 、MB 的方程分别为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 21
4.⑤
y ＝x 22(x －x 2)＋x 22
4
.⑥
由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24
.
因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，
所以x 1x 2＝－x 21＋x 2
2
6
.⑦
由③④⑦得x 2＝4
3
y ，x ≠0.
当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝4
3y .
因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝4
3
y .
4．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，
△F 1MF 2是等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程；
(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－1
2，－2. (1)解 由已知，可得b ＝2，a 2＝(2b )2＝8， 所求椭圆方程为x 28＋y 2
4
＝1.
(2)证明 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 若直线AB 的斜率存在，设方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
8＋y 2
4＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0. 则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2.
由k 1＋k 2＝8，得y 1－2x 1＋y 2－2
x 2＝8，
所以kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2
x 2＝8，
即2k ＋(m －2)·x 1＋x 2
x 1x 2
＝8.
所以k －mk m ＋2＝4，整理得m ＝1
2k －2.
故直线AB 的方程为y ＝kx ＋1
2
k －2，
即y ＝k ⎝⎛⎭
⎫x ＋1
2－2. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭
⎫－1
2，－2. 若直线AB 的斜率不存在，设AB 的方程为x ＝x 0， 设A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，
由已知y 0－2x 0＋－y 0－2x 0＝8，得x 0＝－1
2
.
此时AB 的方程为x ＝－1
2，显然过点⎝⎛⎭⎫－12，－2. 综上，直线AB 过定点⎝⎛⎭
⎫－1
2，－2. 5．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，中心在原点．若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． 解 (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
＝1，
则右焦点F (a 2－1，0)，
由题设|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.
∴所求椭圆的方程为x 23
＋y 2
＝1.
(2)设P (x P ，y P )，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )， P 为弦MN 的中点，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2
＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， ∵直线与椭圆相交，
∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0 ⇒m 2<3k 2＋1.①
∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，
从而y P ＝kx P ＋m ＝m
3k 2＋1，
∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋1
3mk ，
又∵|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，
则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1.②
把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2； 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >1
2.
综上求得m 的取值范围是1
2
<m <2.。