平行线性质和判定复习

问题分析： ⑴观察图形中的∠B与∠C具有 怎样的位置关系？ ⑵AB与CD具有怎样的位置关系 时，才能说明∠B=∠C？ ⑶由已知条件能说明AB与CD平 行吗？
D
2 1 a b
3
已知: ∠1+∠2=180° 求证：a∥b
A
B
c
已知:AB∥CD, ∠A=∠C 求证： AD∥BC
综合应用
如 图 ， ∠ BHE 与 ∠ BGF 互 为 补 角 ，
2
B D
同旁内角互补,两直线平行。
在这六种方法中，定义一般不常用。
F
平 行 线 的 性 质
条件
两直线平行
结论
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
2.完成平行线的性质表格
图形
1 a 3 b
已知
结果
理由
2
4
a∥ b
a
∠1=∠3
两直线平行， 同位角相等
两直线平 行，内错 角相等
1 2 4 3
b
a∥ b
A
F
D
1 B E
2 C
已知：∠1=∠2，AE、CF 分别平分∠A和∠C， ∠BAD=∠BCD, 求证:BC∥AD
驶向胜利 的彼岸
平行线的性质和判定的复习
教者：徐亚恒
本章知识结构
邻补角 邻补角互补 一般情况 问题 两条 1：本章学习了哪些知识？它们之间的 对顶角相等 对顶角 联系是什么？ 直线 相 交 线 相交 垂 相交成直角 线 存在性和唯一性 垂线段最短 点到直线的距离
两条直线被 第三条所截 同位角、内错角、同旁内角 平行线的判定 平行公理及其推论 平行线的性质 平移 平移的特征
规律：所有开口向左的角的和等于所有开口向右的角的和 1
（ 2）
2
3
∠1=∠2+∠3
1
2 3
（ 3）
1 3 2 1
∠1+∠2+∠3=360°
一个拐点
2 3 4
规律：n拐点时，所有角的和为180°×（n+1）
∠1+∠2+∠3+∠4=540°
两个拐点
4、已知：如图，AB//CD，试解决下列问题： 180° （1）∠1＋∠2＝___ ___； （2）∠1＋∠2＋∠3＝___360° __； （3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_ 540 __° __； （4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n ＝ 180°×（n-1) ；
a
1 2
∵ a∥b ∴∠1= ∠2
b (两直线平行, 内错角相等)
（1）
1
a
（2）
3
2 1 b b
（3）
a
1 2 b
a
3
2
4
已知：∠1=∠2 则 ∠1+∠3=180°
已知：∠1=∠2 则∠3=∠4 ∠3与∠4外错
∠1+∠2=180°
1
（ 6） （5）
A
H C A H E 2 G E 2 B A C G E
3
如图，已知： ∠1+∠2=180°, ∠3=∠B 试判断∠AED与∠C的关系， 并说明理由。
B
先由∠1+∠2=180°，由 邻补角定义导出 ∠2=∠DFE证AB∥EF, 再由∠3=∠B 由图（1）证DE∥BC得 ∠AED= ∠C
A
D
图（1）
已知: AB∥CD, ∠A=∠C 求证： AD∥BC
c
变式二
平 行 线
1.判定两直线平行的方法有三种:
(1)定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。
(2)传递法;两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也平行。
(3)因为a⊥c, a⊥b；
b
所以b//c
(4)三种角判定(3种方法): 同位角相等,两直线平行。 内错角相等,两直线平行。 A C E
C
a
1
3 4
AB∥___, DF (3)、∵ ___ ∴ ∠B= ∠3.
(已知）
两直线平行, ___________) 同位角相等. (___________
性质
如图，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有 什么关系． B A 1 解：∠B＋∠E＝∠BCE C 2 过点C作CF∥AB， F ∠B=∠1 则_______ （两直线平行，内错角相等 ） D E 又∵AB∥DE（已知）， CF∥DE ∴____________ （平行于同一直线的两条直线互相平行） 2 （ 两直线平行，内错角相等 ∴∠E＝∠____ ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2（等式性质） 即∠B＋∠E＝∠BCE（等量代换）．
）
3、如图，AB∥DE，那么∠B、∠BCD、∠D有 什么关系？ B A
过C作CF∥AB F D 可得结果： ∠B+∠BCD-∠D=180° C E
以上几题有什么共同特点？
1、过转折点作平行线 2、利用平行线相关性质
练习 1、如图，∠B+∠D +∠BED=360°， 试说明AB∥CD 。
解：过E作EF∥AB 则∠B+∠1=180°
探究点一：可转化为“基本图形”的综合应用问题
2
例一、已知：如图所示 ∠1= ∠2，∠A=∠D 试说明∠B=∠C
A
a
1
B 由图（1）证AE∥DF 由图（2）证AB∥CD
1 3
2
b
D
c
图（2）
已知: ∠1=∠2 图（1） 求证： a∥b
已知: AB∥CD, ∠A=∠C 求证： AD∥BC
变式一
A D 2 F B 1 C E
探究点二、平行线的性质和判定的综合应用
A
D F 2 B G C E
1
例二、如图：设DC⊥AB， ∠1= ∠2 ∠AED=∠ACB (1)请说明FG⊥AB （2）若把题设中的“∠1= ∠2” 与结论中“FG⊥AB” 的对调后， 结论还成立吗？ （3）根据图形，你能编一道新 题吗？
综合应用
如图，∠ BHE 与∠ BGF 互为补角，∠ D=∠A ．求证： ∠B=∠C．
（1）
1 3 2 a
（2）
1
a
b
∠1+∠2=180°
3
2
求证： a∥b
b
已知:
求证：a∥b
（3） A
同wk.baidu.com互补型
已知: ∠1=∠2
外错相等
B
在一个 四边形 里有两 组对边 分别平 行，则 对角相 等
（4）
A
B
D
c
已知: AB∥CD, AD∥BC 求证：∠A=∠C
在一个四 边形里有 一组对边 平行，一 组对角相 D c 等，则另 已知: AB∥CD, ∠A=∠C 一组对边 也平行 求证： AD∥BC
（2）同角（或等角）的补角相等；
∵ ∠1+∠2=180°, ∠1+∠3 =180° ∴ ∠2= ∠3 (同角的补角相等) ∵∠1= ∠2, ∠1+∠3 =180°,∠2+∠4 =180° ∴∠3 = ∠4 (等角的补角相等)
（3）对顶角相等； （4）两直线平行，同位角相等；内错角相等
1
2
a b
∵ a∥b ∴ ∠1= ∠2 ，同位角相等) (两直线平行
∠2=∠4
1 2 4 3
a
b
a∥ b
∠2+∠3 = 180°
两直线平 行，同旁 内角互补
判定：已知角的关系得平行的 关系．证平行，用判定． 平行线的判定与性质的关系图 性质：已知平行的关系得角的 关系．知平行，用性质．
判定 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
性质
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
1 2
（4）
1
A E 2 C
F B H D
B F D
2
1 F B D G 1 F D
G
已知：AB∥CD, 已知：AB∥CD, EF、GH是角平分线， EF、GH是角平分线， 求证：EF∥GH 求证：EF∥GH 需证
已知：AB∥CD, EF、GF是角平分线， 求证：EF⊥GH
∠1+∠2=90° 需证∠1=∠2 需证∠1=∠2
∵ ∠B+∠D +∠BED=360° A
F
B 1 2 E
∠BED=∠1+∠2 ∴∠B+∠D+∠BED =∠B+∠D+∠1+∠2 =180°+ ∠D+∠2 =360° ∴∠D+∠2=180°
∴EF∥CD ∴ AB∥CD
C
D
几种有规律的图形
（ 1）
1 3 2
1 2 4 3 5
∠3=∠1+∠2
∠1+∠3+∠5=∠2+∠4
∠D=∠A．求证：∠B=∠C．
解： 因为∠BHE+ ∠BGF=180°,
∠BHE+ ∠BHA=180°, 所以∠BGF= ∠BHA（同角的补角相等）, 所以AE//DF(同位角相等，两直线平行）, 所以∠A= ∠BFD(两直线平行，同位角相等). 又因为∠D=∠A，所以∠BFD= ∠D, 所以AB//CD（内错角相等，两直线平行）. 所以∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）.
A
综合应用:
1、填空： (1)、∵ ∠4 (已知） ∠A=____,
判定
F E
4 2 1 3
5
同位角相等，两直线平行。 ∴ AC∥ED ,(_____________________)
DF (2)、 ∵AB ∥______, (已知）
B
D
性质
C
两直线平行, 内错角相等。 ∴ ∠2= ∠4，(______________________)
E 4 D 6 7 2 A 5 3 1 B
C
如图，已知∠1= ∠2， ∠3= ∠4， ∠5= ∠6， 试说明AD∥BC
A B
由∠5= ∠6证AB∥CE，再 由∠3= ∠4，根据图证 AE∥BD,证∠2=∠7，再由 ∠1= ∠2证∠1=∠7，从而 可得AD∥BC
D
c
图（1）
已知: AB∥CD, ∠A=∠C 求证： AD∥BC
两直线平行
（数量关系） （位置关系） 数形转化
（数量关系）
3、证明角相等的基本方法 ：
（1）同角（或等角）的余角相等；
∵ ∠1+∠2=90°, ∠1+∠3 =90° ∴ ∠2= ∠3 (同角的余角相等) ∵∠1= ∠2, ∠1+∠3 =90°,∠2+∠4 =90° ∴∠3 = ∠4 (等角的余角相等)