江苏省苏锡常镇四市2014届高三5月教学情况调研(二)数学试题

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2014苏锡常镇二模试卷

2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)政治2014．5第Ⅰ卷（选择题共66分）一、单项选择题：本大题共33小题，每小题2分，共66分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题意的。

1. 2013年11月，中国共产党第十八届三中全会通过的《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》指出，全面深化改革的总目标是完善和发展中国特色社会主义制度，推进A．国家治理体系和治理能力现代化B．经济体制改革向纵深发展C．政府管理经济事务的现代化D．政治体制改革向纵深发展2. 2013年8月30日，十二届全国人大常委会第四次会议表决通过了全国人大常委会关于授权国务院在某试验区暂时调整有关法律规定的行政审批的决定。

该试验区是A．天津自由贸易试验区B．温州市金融综合改革试验区C．中国（上海）自由贸易试验区D．深圳综合配套改革试验区3．2014年3月16日，新华社授权发布的《国家新型城镇化规划（2014—2020年）》指出，要紧紧围绕全面提高城镇化质量，加快转变城镇化发展方式，以人的城镇化为核心，有序推进农业转移人口A．知识化 B. 市民化 C. 现代化 D. 年轻化4. 2014年3月22日，国家主席习近平抵达荷兰首都阿姆斯特丹开启欧洲之旅。

在这次欧洲之行中，习近平首次在世界上提出A．和平发展观B．和谐世界观C．国际新秩序观D．核安全观5．2013年12月5日，中国人民银行等五部委发布的《关于防范比特币风险的通知》指出，通过特定计算机程序计算出来的所谓“比特币”，不能且不应作为货币在市场上流通使用，因为比特币A．不是劳动产品，不能够用于交换B．只能充当流通手段，不能衡量商品价值C ．本身没有价值，不能充当一般等价物D ．不是由国家发行并强制使用的6．在“2013年中国城市地方公共财政预算收入50强”中，鄂尔多斯、唐山、大庆等资源型城市名列其中。

有专家指出，这些资源型城市2014年也存在着诸多变数。

1410 2014届江苏省苏州市高三调研测试 2014-01

苏州市2014届高三调研测试数学Ⅰ试题 2014．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1．已知集合A = { x | x < 2 }，B = { -1，0，2，3 }，则A ∩B = ． 2．已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-= ． 3．若函数()sin()f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π6x =对称，则θ = ．4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则S 7 = ． 5．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为． 6．运行右图所示程序框图，若输入值x ∈[-2，2]，则输出值y 的取值范围是．7．已知π3sin()45x +=，π4sin()45x -=，则tan x = ． 8．函数e ln y x x =-的值域为．9．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a +（1 - t ）b ．若b ·c = 0，则实数t 的值为．10．已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-1，1}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是．11．已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是．12．在直角坐标系xOy 中，已知A （-1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P 的个数为．13．已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为． 14．若2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是．结束开始 x ≥0输出y （第6题）y ← x (x -2)输入xy ← -2x YN二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1cos2a C c b+=．（1）求角A的大小；（2）若15a=，4b=，求边c的大小．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．PMD CBA甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a元．（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A （2，0），点P （2e ，12）在椭圆上（e 为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ= ，且0OC OB ⋅=，求实数λ的值．CBA yxO（第18题）设数列{a n }满足a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1．（1）若a 1 = 3，求证：存在2()f n an bn c =++（a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式．已知a ，b 为常数，a ≠ 0，函数()()e x bf x a x=+．（1）若a = 2，b = 1，求()f x 在（0，+∞）内的极值；（2）① 若a > 0，b > 0，求证：()f x 在区间[1，2]上是增函数；② 若(2)0f <，2(2)e f --<，且()f x 在区间[1，2]上是增函数，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．苏州市2014届高三调研测试数学Ⅱ（附加题）2014．1 21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，MN为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A，B，C，D，E，求证：AB·CD = BC·DE．B．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知a，b∈R，若M=13ab-⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y = 3变换成自身，试求实数a，b．C．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，求点Mπ(2,)6关于直线π4θ=的对称点N的极坐标，并求MN的长．D．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x，y，z 均为正数．求证：111x y zyz zx xy x y z++++≥．NMEDCBA【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在空间直角坐标系O - xyz 中，正四棱锥P - ABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且13PM BN PA BD ==．（1）求证：MN ⊥AD ；（2）求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．PO N MDCB Axyz23．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ= 0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．（1）求概率P （ξ= 0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．（第22题）第11 页共8 页第12 页共8 页。

江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三数学下学期教学情况调查试题理(含解析)苏教版

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）理科数学一、填空题：1.已知集合{}1,2,3,4A=，{},4,7B m=，若{}1,4A B=，则A B=▲．2.若复数z =13i1i+-（i为虚数单位），则 | z | = ▲．3.已知双曲线2218x ym-=的离心率为3，则实数m的值为▲．4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2；(]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是▲．5.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ▲ ．6.设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ▲ ．【答案】2【解析】试题分析：因为(1)0f =，所以1sin 1-=a .因此(1)f -.211sin =+-=a 本题也可应用函数性质求解，因为2)()(=-+x f x f ，所以,2)1()1(=-+f f .2)1(=-f考点：函数性质7.四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为▲．8.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为▲．9.已知2tan()5+=，1tan3=，则tan+4⎛⎫⎪⎝⎭的值为▲．10.设等差数列{}na的前n项和为n S，若13a=-，132ka+=，12kS=-，则正整数k= ▲．11.已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy +的最小值为 ▲ ．12.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15AD AB AC=+λ()∈R λ，则λ的值为 ▲ ．考点：向量共线表示13.已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．【答案】27321,{0,}22e +⎛⎫-- ⎪⎝⎭考点：利用导数研究函数图像14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ▲ ．【答案】[323,327)(327,323]++--【解析】试题分析：由题意得圆心(,2),C m 半径4 2.r =因为点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，所以223060280m m +--+-<，解得327327.m -<<+设C 到直线距离为d ,则.d CP ≤又222222112162222ABCd r d r S d AB d r d ∆+-=⋅=⋅-≤==，当且仅当222d r d =-，即216,4d d ==时取等号，因此2(3)24CP m ≥-+，即323m ≥+或32 3.m ≤-综上实数m 的取值范围为[323,327)(327,323]++--.考点：直线与圆位置关系二、解答题15.（本小题满分14分）设函数2()6cos 23sin cos f x x x x =-．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．（2）由()0f B =，得π3cos(2)6B +=． B 为锐角，∴ππ7π2666B <+<，π5π266B +=，∴π3B =． …………………9分 ∵4cos 5A =，(0,)A ∈，∴243sin 1()55A -． …………………10分在△ABC 中，由正弦定理得32sin 435sin 3b A a B⨯===． …………………12分∴231343sin sin()=sin()sin 322C A B A A A +=---=+=． …………………14分考点：倍角公式，正余弦定理16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．（1）求证：平面1A DC 平面ABC ；（2）求证：1BC ∥平面1A DC ．17.（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC ∠=，木梁的体积为V （单位：m3），表面积为S （单位：m2）．（1）求V 关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V 最大；（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．【答案】（1）()10(sin cos sin ),(0,)2V =+∈，（2）3=，（3）当木梁的体积V 最大时，其表面积S也最大．（3）木梁的侧面积210S AB BC CD =++⋅侧（）=20(cos 2sin 1)2++，(0,)2∈． 2ABCD S S S =+侧=2(sin cos sin )20(cos 2sin 1)2++++，(0,)2∈．…………………10分设()cos 2sin 12g =++，(0,)2∈．∵2()2sin 2sin 222g =-++，∴当1sin 22=，即3=时，()g 最大． …………………12分又由（2）知3=时，sin cos sin +取得最大值，所以3=时，木梁的表面积S 最大． …………………13分综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大． …………………14分考点：利用导数求函数最值18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上不同的三点，32(32,)A ，(3,3)B --，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM ON ⋅为定值并求出该定值．可利用椭圆参数方程或三角表示揭示21y y 为定值. 【解析】试题分析：（1）22127272x y +=,（2）(5,1)--,（3）452.试题解析：（1）由已知，得222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2227,27.2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………………2分所以椭圆的标准方程为22127272x y+=．…………………3分19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}na的前n项和为Sn,已知11a=，且11()(1)n n n nS a S aλ+++=+对一切*n∈N都成立．（1）若λ = 1，求数列{}na的通项公式；（2）求λ的值，使数列{}na是等差数列．【答案】（1）an = 2n-1（2）λ = 0. 【解析】（2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ………………… 11分当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==．当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++，化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ……………… 15分综上所述，1n a =（*n ∈N ），所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． ………………… 16分考点：已知n S 求na20.（本小题满分16分）已知函数e ()ln ,()e x xf x mx a x mg x =--=，其中m ，a 均为实数．（1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．对于函数()y g x =在(0,e]上值域中每一个值，函数()y f x =在(0,e]上总有两个不同自变量与之对应相等．首先求出函数()y g x =在(0,e]上值域(0,1]，然后根据函数()y f x =在(0,e]上必须不为单调函数且每段单调区间对应的值域都需包含(0,1].由()f x 在(0,e]不单调得2e m >，由每段单调区间对应的值域都需包含(0,1]得(e)1f ≥，3e 1m -≥. 试题解析：（1）e(1)()e x x g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分列表如下：x （-∞，1） 1 （1，+∞） ()g x '+ 0 - g(x)↗极大值↘附加题21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.A．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，且AB AD=，E是CB延长线上一点，直线EA与圆O相切．求证：CD AB AB BE=．【答案】详见解析【解析】21.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，计算6M β．【答案】【解析】试题分析：利用矩阵特征值λ及其对应特征向量α性质：n nM αλα=进行化简.先根据矩阵M 的特征多项式求出其特征值123,1λλ==-，进而求出对应的特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α.再将17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β分解成特征向量，即1243=-βαα，最后利用性质求结果，即21.C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为22cos,()2sinxy=+⎧⎨=⎩为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：（1）圆的直角坐标方程；（2）圆的极坐标方程．21.D．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a=++---，若函数()f x的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．22.（本小题满分10分）甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．（1）求甲同学至少有4次投中的概率；（2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．（2）由题意1,2,3,4,5=．2(1)3P ==，122(2)339P ==⨯=，1122(3)33327P ==⨯⨯=，3122(4)3381P ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，411(5)381P ⎛⎫===⎪⎝⎭．的分布表为1 2 34 5 P 23 29 227 281 181…………………8分的数学期望22221121123453927818181E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………10分考点：概率分布，数学期望值23.（本小题满分10分）设01212(1)mm n nn n n mS C CCC---=-+-+-，*,m n ∈N 且m n <，其中当n 为偶数时，2nm =；当n 为奇数时，12n m -=．（1）证明：当*n ∈N ，2n ≥时，11n n n S S S +-=-；。

江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研二数学试题及答案

2014-2015学年度苏锡常镇四市高三数学调研（二模）试卷2015/05/04一．填空题（5×14=70分）1．已知集合{}{}{}1,1,3,2,21,1a A B A B =-=-=，则实数a 的值为 ▲2．设12a b +i=2i(+i)(i 为虚数单位，,a b ∈R ），则a b +的值为 ▲3．某工厂生产某种产品5000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙3条生产线抽取的件数之比为::122，则乙生产线生产了 ▲ 件产品4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 值为1-，则输出的y 值为 ▲5．从3名男生和1名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 ▲6．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲7．已知向量()()()1,2,0,1,,2a b c k ==-=-，若()2c a b -⊥，则实数k = ▲8．已知常数0a >，函数()(1)1a f x x x x =+>-的最小值为3，则a 的值为 ▲ 9．函数3sin(2)4y x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ= ▲10．已知等差数列{}n a 满足：128,6a a =-=-．若将145,,a a a 都加上同一个数m ，所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为 ▲11．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为 ▲12．已知A 为椭圆22195x y +=上的动点，MN 为圆22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN ⋅的最大值为 ▲13．已知函数()342f x x x ax =-+-恰有2个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ 14．已知,,0a b a ∈≠R ，曲线2,21a y y ax b x+==++，若两条曲线在区间[3,4]上至少有一个公共点，则22a b +的最小值为 ▲二．解答题（本大题共6小题,共计90分）15．(本小题满分14分)已知函数()sin()cos 6f x x x π=++（1）求函数()f x 的最大值，并写出当()f x 取得最大值时x 的取值集合；（2）若(0,),()26f ππαα∈+=，求()2f α的值16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2,AB AD ==PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为,CD PB 的中点求证：（1）//CF 平面PAE ；（2）AE ⊥平面PBD17．(本小题满分14分)如图，甲船从A 处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B 处沿固定方向匀速航行，B 在A 北偏西0105方向且与A 相距20分钟到达C 处时，乙船航行到甲船的北偏西0120方向的D 处，此时两船相距10海里（1）求乙船每小时航行多少海里？（2）在C 处的北偏西030方向且与C 相距3海里处有一个暗礁E ，暗礁E 海里范围内为航行危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险？如无危险，请说明理由18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点都在椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 上，对角线AC 与BD 分别过椭圆的左焦点1(1,0)F -和右焦点2(1,0)F ，且AC BD ⊥，椭圆的一条准线方程为4x =（1）求椭圆方程；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围19．(本小题满分16分)已知函数()x ex f x e=，其导数记为()f x '（e 为自然对数的底数）（1）求函数()f x 的极大值；（2）解方程()()f f x x =；（3）若存在实数1212,()x x x x ≠使得12()()f x f x =，求证：1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭20．(本小题满分16分)已知,λμ为常数，且为正整数，1λ≠，无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，对任意正整数n ，n n S a λμ=-．数列{}n a 中任意不同两项的和构成集合A（1）证明无穷数列{}n a 为等比数列，并求λ；（2）如果2015A ∈，求μ；（3）当1n ≥时，设集合{}13232,n n n B x x x A μμ-=⋅<<⋅∈，n B 中元素的个数记为n b 求数列{}n b 的通项公式.。

江苏苏锡常镇四高三月教学情况调查(二)数学试题

江苏省苏、锡、常、镇四市2018 届高三 5 月教学设计状况检查 <二）数学试卷一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应地点上；b5E2RGbCAP1、已知是虚数单位，复数对应的点在第象限。

2、设全集，会合，会合，则。

3、已知数列的通项公式为，则数据，，，，的方差为。

4、“”是“”的条件。

<请在“充要”、“充足不用要”、“必需不充足”、“既不充足也不用要”中选择一个适合的填空）。

p1EanqF DPw5、若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则此双曲线方程为。

6、依据右图所示的流程图，输出的结果为。

7、在 1和 9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为。

8、在不等式组，所表示的平面地区内的全部格点<横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该 3点恰能作为一个三角形的三个极点的概率为。

DXDiTa9E3d9、在矩形中，对角线与相邻两边所成的角为，，则有。

类比到空间中的一个正确命题是：在长方体中，对角线与相邻三个面所成的角为，，，则有。

RTCrpUDGiT10、已知圆：与直线订交于、两点，若，则实数。

11、分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为。

12、已知向量，知足，，且对一确实数，恒建立，则与的夹角大小为。

13、已知，均为正数，，且知足，，则的值为。

14、已知为正的常数，若不等式对全部非负实数恒建立，则的最大值为。

二、解答题：本大题共 6 个小题，共90 分。

请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤。

5PCzVD7HxA15、<本小题满分 14分）如图，中，，角的均分线交于点，设，；(1)求和；(2)若，求的长；16、<本小题满分 14分）已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧面是等边三角形，侧面是以为斜边的直角三角形，为的中点，为的中点。

2014度苏锡常镇四市高三数学调研二模试卷及答案word版

2014-2015学年度苏锡常镇四市高三数学调研（二模）试卷2015/05/04一．填空题（5×14=70分）1．已知集合{}{}{}1,1,3,2,21,1a A B A B =-=-=，则实数a 的值为 ▲2．设12a b +i=2i(+i)(i 为虚数单位，,a b ∈R ），则a b +的值为 ▲3．某工厂生产某种产品5000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙3条生产线抽取的件数之比为::122，则乙生产线生产了 ▲ 件产品4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 值为1-，则输出的y 值为 ▲5．从3名男生和1名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 ▲6．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲7．已知向量()()()1,2,0,1,,2a b c k ==-=-，若()2c a b -⊥，则实数k = ▲8．已知常数0a >，函数()(1)1a f x x x x =+>-的最小值为3，则a 的值为 ▲ 9．函数3sin(2)4y x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ= ▲ 10．已知等差数列{}n a 满足：128,6a a =-=-．若将145,,a a a 都加上同一个数m ，所得的三个数依次成等比数列，则m 的值为 ▲11．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为 ▲12．已知A 为椭圆22195x y +=上的动点，MN 为圆22(1)1x y -+=的一条直径，则AM AN ⋅的最大值为 ▲13．已知函数()342f x x x ax =-+-恰有2个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ 14．已知,,0a b a ∈≠R ，曲线2,21a y y ax b x +==++，若两条曲线在区间[3,4]上至少有一个公共点，则22a b +的最小值为 ▲二．解答题（本大题共6小题,共计90分）15．(本小题满分14分)已知函数()sin()cos 6f x x x π=++（1）求函数()f x 的最大值，并写出当()f x 取得最大值时x 的取值集合；（2）若(0,),()265f ππαα∈+=，求()2f α的值16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2,AB AD ==，PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为,CD PB 的中点求证：（1）//CF 平面PAE ；（2）AE ⊥平面PBD17．(本小题满分14分)如图，甲船从A 处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B 处沿固定方向匀速航行，B 在A 北偏西0105方向且与A 相距20分钟到达C 处时，乙船航行到甲船的北偏西0120方向的D 处，此时两船相距10海里（1）求乙船每小时航行多少海里？（2）在C 处的北偏西030方向且与C E ，暗礁E 海里范围内为航行危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险？如无危险，请说明理由18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点都在椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 上，对角线AC 与BD 分别过椭圆的左焦点1(1,0)F -和右焦点2(1,0)F ，且AC BD ⊥，椭圆的一条准线方程为4x =（1）求椭圆方程；（2）求四边形ABCD 面积的取值范围19．(本小题满分16分)已知函数()x ex f x e=，其导数记为()f x '（e 为自然对数的底数）（1）求函数()f x 的极大值；（2）解方程()()f f x x =；（3）若存在实数1212,()x x x x ≠使得12()()f x f x =，求证：1202x x f +⎛⎫'<⎪⎝⎭20．(本小题满分16分)已知,λμ为常数，且为正整数，1λ≠，无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，对任意正整数n ，n n S a λμ=-．数列{}n a 中任意不同两项的和构成集合A（1）证明无穷数列{}n a 为等比数列，并求λ；（2）如果2015A ∈，求μ；（3）当1n ≥时，设集合{}13232,n n n B x x x A μμ-=⋅<<⋅∈，n B 中元素的个数记为n b 求数列{}n b 的通项公式.。

年苏锡常镇四市高三教学情况调查二数学参考答案及评分标准

年苏锡常镇四市高三教学情况调查二数学参考答案及评分标准TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】2007年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，满分50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADADBCBCCC二、填空题（每小题5分，满分30分） 11． 12. 70 13. [2,5] 14. －2 15.1336三、解答题17．（1）21111()cos sin (cos21)sin 22222f x x x x x x ωωωωω=+⋅-=++- 当28x ππ-≤≤时，32.442x πππ-≤+≤∴当242x ππ+=-时，())4f x x π+取得最小值为（2）令24x k ππ+=，得4,228k k x k Z ππππ-==-∈ ∴当0k =时，8x π=-，当1k =时，38x π=，∴满足要求的对称中心为(,0).8π-18．解：（1）取AB 中点O ，连接1.A O 设.AB a = AD ∴⊥平面11,AA B B AD ⊂而ABCD∴平面11AA B B ⊥平面ABCD .111,AB AA A B a AO AB ===∴⊥， 1AO ∴⊥平面ABCD . 1A AB ∴∠为直线1A A 与平面ABCD 所成的角. 160A AB ∠=，∴直线1A A 与平面ABCD 所成角的大小为60（2）过O 作1OH A B ⊥，垂足为H ，连结CH .//,OC DA DA ⊥平面11AA B B ，CO ∴⊥平面11.AA B BCHO ∴∠为二面角1C A B A --的平面角.在正1A AB ∆中，1sin sin 60224a OH OB A BA OB =∠==⋅= 在RtCOH ∆中，,tan OCOC a CHO OH=∠===∴二面角1C A B A -- （3）存在。

2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)0001

咼考总复习同步训练2013〜2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）注意事项：1. 本卷满分120分，考试时间100分钟。

2. 请将答案填写到答题卡上，凡填写在试卷上一律无效；交卷只需交答题卡可能用到的相对原子质量： H-1 C-12 N-14 O-16 Ca-40第I 卷选择题（共40分）单项选择题（本题包括10小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有一个选项符合题意）。

1 .化学与材料、生活和环境密切相关。

下列有关说法中错误的是A .新型材料聚酯纤维、光导纤维都属于有机高分子B .医药中常用酒精来消毒，是因为酒精能够使细菌蛋白发生变性C .大力实施矿物燃料脱硫脱硝技术以减少硫、氮氧化物排放D .煤炭经气化、液化和干馏等过程，可获得清洁能源和重要的化工原料 2.下列表述正确的是18A .中子数为10的氧原子：10 OB . Na 2S 的电子式：Na ： S ： NaC .聚氯乙烯的结构简式：CH 2CHCID . Mg 5（Si 4O 10）2（OH ） 2 - 4H 2O 的氧化物形式：5MgO - 8SiO 2 - 5H 2O 3. 常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A .D .4.实验室可用 NaNO 2+NH 4CI NaCl+N 2 f +2出0制备N 2，下列说法正确的是A . NaNO 2发生氧化反应1.0 mol - I/1 KNO 3溶液：H +、Fe 2*、SCN 「、SO q" c(H +)/ c (OH —)= 10「10 的溶液：K +、Ba 2+、NO 3「、C 「 pH = 0 的溶液：AI 3+、Ag(NH 3)2+、C 「、SO 42「 c(CIO )= 1.0 mol - L 的溶液：Na 、SO 3、S 、SO 4B . NH4CI中的氮元素被还原C. N2既是氧化产物，又是还原产物D .每生成1mol N 2转移电子的物质的量为6mol5. 下列有关物质的性质与应用不相对应的是A •氢氟酸具有弱酸性，可用于雕刻玻璃B . MgO、Al 2O3熔点高，可用于制作耐火材料C . CIO 2具有强氧化性，可用于自来水的杀菌消毒D .油脂在碱性条件下易水解，可用于制作肥皂6•利用下列实验装置进行的相应实验，不能达到实验目的的是空KOH m 溶液02; \ 图21所示装置可制取氨气2所示装置可分离 CH 3CH 2OH 和CH 3COOC 2H 5混合液 3所示装置可制取乙烯并验证其易被氧化4所示装置可说明浓 H 2SO 4具有脱水性、强氧化性，S02具有漂白性、还原性下列物质转化在给定条件下能实现的是煅烧 H 2O----- •SO 3 ► H 2SO 4② AI 2O 3 NaOH(aq) . NaAlO 2(aq) ^O ^Al(OH) 3 ③ NaCI(aq)电解."NT O2・ Na 2O 2___________④ Fe 稀^FeSO 4(aq)NaOH㈣-FeQ® 空气中灼烧-Fe 2O 3⑤ 海水乙蒸母液弔溴Na2CO3(aq)>NaBr .提取NaC 1 __ 热空气 _____________ NaBrO 3A .①③⑤B .②③④C .②④⑤设N A 为阿伏加德罗常数的值。

江苏省苏锡常镇四市2014届高三教学情况调研(二)数学试题(WORD版)

江苏省苏锡常镇四市2014届高三教学情况调研(二)数学试题(WORD版)江苏省苏锡常镇四市2014届高三5月教学情况调研（二）数学Ⅰ试题命题单位：XXX注意事项：1.本试卷共4页，包含填空题（第1题~第14题）和解答题（第15题——第20题）。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后请将答题卡交回。

2.答题前请认真填写姓名和准考证号，并使用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

4.如需作图，须用2B铅笔绘制，写清楚线条、符号等，须加黑、加粗。

5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。

一、填空题：1.函数y=x-1的定义域为A，函数y=lg(2-x)的定义域为B，则A∩B=（-∞，1）。

2.设z=2-i（i是虚数单位），则|z|=√5.3.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x^2/9-y^2/16=1的一个焦点为（5，0），则实数m=2.4.样本容量为100的频率分布直方图如右图所示，由此估计样本数据落在[6，10]内的频数为25.5.“φ=π/2”是“函数y=sin(x+φ)的图象关于y轴对称”的充分必要条件。

6.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=-1，S3=6，则S6=0.7.函数y=lnx（x≥e）的值域是R。

8.执行右面的程序图，那么输出n的值为5.9.在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“a是整数”的概率为1/2.10.已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD=2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C-ABD的体积为4/3.11.直线y=kx与曲线y=2ex相切，则实数k=2.1.设函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，问是否存在正数a，使得“函数f(x)在x=1处存在长度为a的对称点”？请说明理由。

2014年江苏省无锡、苏州、常州、镇江四市联考高考数学二模试卷

2014年江苏省无锡、苏州、常州、镇江四市联考高考数学二模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.函数y=的定义域为A，函数y=lg（2-x）的定义域为B，则A∩B= ______ ．【答案】[1，2）【解析】解：由函数y=，得x-1≥0，即x≥1，∴A=[1，+∞）；由函数y=lg（2-x），得到2-x＞0，即x＜2，∴B=（-∞，2），∴A∩B=[1，2）．故答案为：[1，2）分别求出两函数的定义域，确定出A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，函数的定义域及其求法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知复数z=2-i（i是虚数单位），则|z|= ______ ．【答案】【解析】解：∵复数z=2-i，∴|z|===．故答案为：．根据复数模长的定义直接进行计算即可．本题主要考查复数的长度的计算，比较基础．3.在平面直角坐标系x O y中，已知双曲线-=1的一个焦点为（5，0），则实数m= ______ ．【答案】16【解析】解：∵双曲线-=1的一个焦点为（5，0），∴9+m=25，∴m=16，故答案为：16．利用双曲线-=1的一个焦点为（5，0），可得9+m=25，即可求出m的值．本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．4.样本容量为100的频率分布直方图如图所示，由此估计样本数据落在[6，10]内的频数为______ ．【答案】32【解析】解：由频率分布直方图得样本数据落在[6，10]内的频率为0.08×4=0.32∴由频数=频率×样本容量得：样本数据落在[6，10]内的频数为0.32×100=32故答案为：32由频率分布直方图得样本数据落在[6，10]内的频率，由频数=频率×样本容量得样本数据落在[6，10]内的频数．本题考查频率分布直方图，关键是直方图中的纵坐标是频率÷组距；属于一道基础题．5.“φ=”是“函数y=sin（x+φ）的图象关于y轴对称”的______ 条件．（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）【答案】充分不必要【解析】解：若函数y=sin（x+φ）的图象关于y轴对称，则φ=+kπ，k∈Z，∴必要性不成立，若φ=，则函数y=sin（x+φ）=cosx的图象关于y轴对称，∴充分性成立，故“φ=”是“函数y=sin（x+φ）的图象关于y轴对称”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要根据函数奇偶性的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．6.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=-1，S3=6，则S6= ______ ．【答案】39【解析】解：在等差数列{a n}中，设公差为d，由a1=-1，S3=6，得：3a1+3d=6，即3×（-1）+3d=6，解得d=3．∴=6×（-1）+3×5×3=39．故答案为：39．由已知条件求出等差数列的公差，然后代入等差数列的求和公式得答案．本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础的计算题．7.函数y=（x≥e）的值域是______ ．【答案】（0，1]【解析】解：∵对数函数y=lnx在定义域上是增函数，∴y=在（1，+∞）上是减函数，且x≥e时，lnx≥1，∴0＜≤1；∴函数y的值域是（0，1]．故答案为：（0，1]．根据函数y=lnx的单调性，判定y=在x≥e时的单调性，从而求出函数y的值域．本题考查了求函数的值域问题，解题时应根据基本初等函数的单调性，判定所求函数的单调性，从而求出值域来，是基础题．8.执行如图的程序图，那么输出n的值为______ ．【答案】6【解析】解：由程序框图知：第一次循环n=1+1=2，S=1；第二次循环n=2+1=3，S=2×1+1=3；第三次循环n=3+1=4，S=2×3+1=7；第四次循环n=4+1=5，S=2×7+1=15；第五次循环n=5+1=6，S=2×15+1=31．满足条件S＞20，跳出循环体，输出n=6．故答案为：6．根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件S＞20，跳出循环体，确定输出的n值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．9.在1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“是整数”的概率为______ ．【答案】【解析】解：从1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，共有=12种不同情况，而且这些情况都是等可能性发生的，其中“是整数”的情况有：（2，1），（3，1），（4，1），（4，2）共四种，故“是整数”的概率P==，故答案为：分别计算从1，2，3，4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b的所有情况，及满足“是整数”的情况，进而利用古典概型公式，可得答案．此题考查了古典概型概率公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．10.已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD=2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C-ABD的体积为______ ．【答案】【解析】解：∵AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC=C，∴AD⊥平面BCD，∵△BCD是正三角形，且边长为2，∴S=×2×=∴三棱锥C-ABD的体积V=×AD×S△BCD=×2×=∴三棱锥c-ABD的体积为：．故答案为：．首先，根据直角三角形的性质，得到AD⊥平面BCD，然后，结合三棱锥的体积公式进行求解即可．本题综合考查了等腰三角形中的边角关系、线面垂直的判定方法、三棱锥的体积公式等知识，属于中档题．11.直线y=kx与曲线y=2e x相切，则实数k= ______ ．【答案】2e【解析】解：设切点为（x0，y0），则y0=2e x0，∵y′=（2e x）′=2e x，∴切线斜率k=2e x0，又点（x0，y0）在直线上，代入方程得y0=kx0，即2e x0=2e x0x0，解得x0=1，∴k=2e．故答案为：2e．设切点为（x0，y0），求出切线斜率，利用切点在直线上，代入方程，即可得到结论．本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题12.已知平面内的四点O，A，B，C满足•=2，•=3，则•= ______ ．【答案】-5【解析】解；∵•=•（）=-=2，①•==-=3，②则①+②得，，∴=5∴=5，∴故答案为：-5．利用向量的加减运算，计算即可..本题主要考查了向量的加减运算的几何意义，属于基础题．13.已知奇函数f（x）是R上的单调函数，若函数y=f（x2）+f（k-x）只有一个零点，则实数k的值是______ ．【答案】【解析】解：∵函数y=f（x2）+f（k-x）只有一个零点，∴只有一个x的值，使f（x2）+f（k-x）=0，∵函数f（x）是奇函数，∴只有一个x的值，使f（x2）=f（x-k），又函数f（x）是R上的单调函数，∴只有一个x的值，使x2=x-k，即方程x2-x+k=0有且只有一个解，∴△=1-4k=0，解得：k=．故答案为：．由函数y=f（x2）+f（k-x）只有一个零点⇒f（x2）+f（k-x）=0只有一解⇔f（x2）=f（x-k）只有一解⇒x2=x-k有唯一解⇒△=1-4k=0，问题得解．本题考察了函数的零点，函数的单调性，函数的奇偶性，只要基础牢固，问题容易解决．14.已知x，y∈R，满足2≤y≤4-x，x≥1，则的最大值为______ ．【答案】【解析】解：由x，y满足2≤y≤4-x，x≥1，画出可行域如图所示．则A（2，2），B（1，3）．==，令k=，则k表示可行域内的任意点Q（x，y）与点P（-1，1）的斜率．而k PA=，，∴，令f（k）=k+，则′≤0．∴函数f（k）单调递减，因此当k=时，f（k）取得最大值，．故答案为：．把原式化简可得，利用可行域和斜率计算公式可得的取值范围，再利用导数即可得出最大值．本题综合考查了线性规划的可行域和斜率计算公式、利用导数求函数最大值等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．二、解答题(本大题共7小题，共100.0分)15.在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足A=B+30°．（1）若c=1，b=sin B，求B．（2）若a2+c2-ac=b2，求sin A的值．【答案】解：（1）∵=，∴sin C=•sin B=1，∵0＜C＜π，∴C=，则A+B=，∵A=B+30°，∴B=．（2）∵a2+c2-ac=b2，∴cos B==，∵0＜B＜π，∴sin B==，∴sin A=sin（B+）=sin B+cos B=×+×=．【解析】（1）利用正弦定理和已知条件求得sin C的值，进而求得C，然后利用内角和和已知A，B的关系求得B．（2）利用余弦定理与已知等式求得cos B，进而求得sin B，利用两角和公式求得sin（B+）的值，进而求得sin A．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生正弦定理和余弦定理公式的熟练运用．16.如图，正四棱锥P-ABCD的高为PO，PO=AB=2．E，F分别是棱PB，CD的中点，Q是棱PC上的点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若PC⊥平面QDB，求PQ．【答案】（1）证明：取PA中点M，连结ME，MD，由条件，得ME∥AB，DF∥AB，∴ME∥DF，且ME=AB，DF=AB，∴ME=DF，∴四边形EFDM是平行四边形．则EF∥MD，由MD⊂平面PAD，EF不属于面PAD，∴EF∥平面PAD．（2）连结OQ，∵PC⊥平面QDB，OQ⊂平面QDB，∴PC⊥OQ，∵PO⊥平面ABCD，OC⊂平面ABCD，∴PO⊥OC，∵PO=2，∴PC==则PQ=PO•cos∠CPO=2•=【解析】（1）取PA中点M，连结ME，MD，根据中位线的性质知ME∥AB，DF∥AB，进而推断出ME∥DF，利用ME=AB，DF=AB，推断出ME=DF，进而可证明出四边形EFDM是平行四边形，知EF∥MD，最后由线面的判定定理证明出EF∥平面PAD．（2）连结OQ，利用线面垂直性质推断出分别推断出PC⊥OQ，PO⊥OC，由正方形的边长得到OC，然后利用勾股定理求得PC，最后求得PQ．本题主要考查了线面平行和线面垂直的性质和判定定理的运用．考查了学生空间观察能力和基础的综合运用．17.在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F′与F，圆F：+y2=5．（1）设M为圆F上一点，满足′•=1，求点M的坐标；（2）若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT，证明：点F到直线QT的距离FH为定值．【答案】解：（1）∵椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F′与F，∴′，，，，设M（m，n），由′，得（m+）（m-）+n2=1，∴m2+n2=4，①又，②由①，②得m=，n=，∴M（，）或（，），（2）设P（x0，y0），M圆P的方程为（x-x0）2+（y-y0）2=，即，③又圆F的方程为，④由③④得直线QT的方程为，∴FH==，∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，即，∴FH===2．【解析】（1）由椭圆性质求出′，，，，设M（m，n），由′，得m2+n2=4，再由，能求出点M的坐标．（2）设P（x0，y0），圆P的方程为，圆F的方程为，由此求出直线QT的方程为，由此能证明点F到直线QT的距离FH为定值．本题考查点的坐标的求法，考查点到直线的距离为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．18.如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．【答案】解：（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A（10，0），B（20，0），C（-5，5），∴AC==5；（2）①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx，k=tanθ，则w=m[++]=m•；直线l的斜率不存在时，w=m（100+400+25）=525m，＜，综上，w=②直线l的斜率不存在时，w=m（100+400+25）=525m；当直线l的斜率存在时，w=m•令t=k-10，则t=0时，w=525m；t≠0时，w=525m+m•∵t+≤-2，或t+≥2，∴w的最小值为525m+m•=（275-25）m，此时，t=-，tanθ=k=10-．【解析】（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，求出A，C的坐标，即可求居民区A与C的距离；（2）①分类讨论，求出铺设三条分光缆的总费用，即可求w关于θ的函数表达式；②换元，利用基本不等式，可求w的最小值及此时tanθ的值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，属于中档题．19.若存在实数x0与正数a，使x0+a，x0-a均在函数f（x）的定义域内，且f（x0+a）=f（x0-a）成立，则称“函数f（x）在x=x0处存在长度为a的对称点”．（1）设f（x）=x3-3x2+2x-1，问是否存在正数a，使“函数f（x）在x=1处存在长度为a的对称点”？试说明理由．（2）设g（x）=x+（x＞0），若对于任意x0∈（3，4），总存在正数a，使得“函数g （x）在x=x0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．【答案】解：（1）∵f（1+a）=f（1-a），∴（1+a）3-3（1+a）2+2（1+a）-1=（1-a）3-3（1-a）2+2（1-a）-1，∴a（a+1）（a-1）=0，∵a＞0，∴a=1；（2）令g（x）=c，则x+=c，即x2-cx+b=0（*）．由题意，方程（*）必须有两正根，且两根的算术平均数为x0，∴c＞0，b＞0，c2-4b＞0，=x0，∴0＜b＜x02对一切意x0∈（3，4）均成立，∴b的取值范围为（0，9]．【解析】（1）由f（1+a）=f（1-a）得（1+a）3-3（1+a）2+2（1+a）-1=（1-a）3-3（1-a）2+2（1-a）-1，化简即可求出正数a；（2）令g（x）=c，则x+=c，即x2-cx+b=0必须有两正根，且两根的算术平均数为x0，即可求b的取值范围．本题考查新定义，考查函数的性质，考查学生的计算能力，正确理解新定义是关键．20.已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足：a1=1，S n+1=S n+（λ•3n+1）a n+1（n∈N*）．（1）若λ=0，求数列{a n}的通项公式；（2）若a n+1＜a n对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】解：（1）λ=0时，∴∵a n＞0，S n＞0∴a n+1=a n，∵a1=1，∴a n=1（2）∵S n+1=S n+（λ•3n+1）a n+1（n∈N*）．∴，则，，∴．相加得．则，上式对n=1也成立．∴，，相减得即∵λ≥0，∴＞，＞∵a n+1＜a n对一切n∈N*恒成立，∴＜对一切n∈N*恒成立，即＞对一切n∈N*恒成立，记则=当n=1时，b n-b n+1=0当n≥2时b n-b n+1＞0∴当n=1时，有最大值∴＞【解析】（1）λ=0时，由已知写出作差求出数列{a n}的通项公式；（2）由已知求出，利用累加法求出，仿写作差求出λ表达式，构造数列求出其最大值，得到λ的范围．本题考查数列求通项的方法；考查不等式恒成立转化为求最值，构造新数列的方法，属于一道综合题．21.如图，△ABC中，∠ACB=90°，以边AC上的点O为圆心，OA为半径作圆，与边AB，AC分别交于点E，F，EC与⊙O交于点D，连结AD并延长交BC于P，已知AE=EB=4，AD=5，求AP的长．【答案】解：连接EF，则∠AEF=90°，∵∠ACB=90°，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠AFE=∠B，∵∠ADE=∠AFE，∴∠ADE=∠B，∴B，P，D，E四点共圆，∴AE•AB=AD•AP∵AE=EB=4，AD=5，∴AP=．【解析】证明B，C，F，E四点共圆、B，P，D，E四点共圆，可得AE•AB=AD•AP，即可求AP 的长．本题考查四点共圆，考查切割线定理的运用，证明B，P，D，E四点共圆是关键．三、填空题(本大题共3小题，共20.0分)22.已知点M（3，-1）绕原点按逆时针旋转90°后，且在矩阵A=对应的变换作用下，得到点N（3，5），求a，b的值．【答案】解：绕原点按逆时针旋转90°的变换矩阵为，所以=，由=，所以，所以a=3，b=1．【解析】求出绕原点按逆时针旋转90°的变换矩阵，再利用矩阵的乘法，即可得出结论．本题考查几种特殊的矩阵变换，考查矩阵的乘法，比较基础．23.如图，在极坐标系中，设极径为ρ（ρ＞0），极角为θ（0≤θ＜2π），⊙A的极坐标方程为ρ=2cosθ，点C在极轴的上方，∠AOC=．△OPQ是以OQ为斜边的等腰直角三角形，若C为OP的中点，求点Q的极坐标．【答案】解：根据题意，得：点C的极角为，将点C代入极坐标方程ρ=2cosθ中，得ρ=2×=，∴点C的极坐标为（，）；∴点P的极坐标为（2，）；∴点Q的极角为-+2π=，极径为ρ=×2=2；∴点Q的极坐标为（2，）．【解析】由点C的极角为，求出点C的极坐标，即得点P的极坐标；再求出点Q的极角与极径，从而得点Q的极坐标．本题考查了极坐标的应用问题，解题时应结合图形，求出极坐标系中点的极角与极径，从而得极坐标，是基础题．24.已知不等式|a-2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，求实数a的取值范围．【答案】解：因为已知x，y，z是实数，且x+y+z=1，根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2故有（x2+2y2+3z2）（1++）≥（x+y+z）2故x2+2y2+3z2≥，当且仅当x=，y=，z=时取等号，∵不等式|a-2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，∴|a-2|≤，∴≤a≤．【解析】不等式|a-2|≤x2+2y2+3z2恒成立，只要|a-2||≤（x2+2y2+3z2）min，利用柯西不等式求出x2+2y2+3z2的最小值，再解关于a的绝对值不等式即可．本题主要考查了柯西不等式求解最值的应用及函数的恒成立与最值的相互转化关系的应用．四、解答题(本大题共2小题，共20.0分)25.如图，在空间直角坐标系A-xyz中，已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B，D，B1分别在x，y，z轴上，B1A=3，P是侧棱B1B上的一点，BP=2PB1．（1）写出点C1，P，D1的坐标；（2）设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．【答案】解：（1）由题意，点C1，P，D1的坐标分别为（0，3，3），（1，0，2），（-3，3，3）；（2）∵C（3，3，0），∴=（-2，-3，2），=（-6，0，3）．设E（m，n，0），则=（m，n-3，-3），∵C1E⊥平面D1PC，∴，∴m=-，n=2，∴E（-，2，0）．【解析】（1）利用建立的坐标系，可以写出点C1，P，D1的坐标；（2）设E（m，n，0），则=（m，n-3，-3），利用直线C1E⊥平面D1PC，即可求点E的坐标．本题考查线面垂直，考查空间中的点的坐标，比较基础．26.如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，A n（n∈N*，n≥2），在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n．（1）写出a2，a3，a4的值；（2）写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．【答案】解：（1）计算得：a2=6，a3=6，a4=18．（2）猜想a n=2n+2（-1）n．证明：①当n=2时，a2=6，猜想成立．②假设当n=k时，猜想成立，即a k=2k+2（-1）k．则当n=k+1时，因为A1有3种标法，A2有2种标法，A3有2种标法，…A k有2种标法，若A k+1仅与A k不同则有2标法一种与A1数不相同，符合要求，有A k+1种；一种与A1数相同，不符合要求，但是相当于k个点的标法总数，有A k种，则有：3×2k=a k+1+a k．∴a k+1=-a k+3×2k=-2k-2（-1）k+3×2k=2k+1+2（-1）k+1．即n=k+1时，猜想也成立．由①②可知，猜想成立．【解析】（1）由题意可得，又a1=2，可求得a2，再由a2的值求a3，再由a3的值求出a4的值．（2）猜想，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．。

江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三数学下学期教学情况调查试题文(含解析)苏教版

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）文科数学一、填空题： 1.已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4AB =，则A B = ▲ ．2.若复数z =13i1i +-（i 为虚数单位），则 | z | = ▲ ．【答案】5 【解析】试题分析：因为13i1i +-,21242i i +-=+-=所以.5||=z 也可利用复数模的性质求解，即.5210|1||31|||==-+=i i z考点：复数的模3.已知双曲线2218x y m -=的离心率为3，则实数m 的值为 ▲ ．4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2；(]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ▲ ．【答案】710【解析】试题分析：因为样本在(]10,50上的频数共有 145432=+++，所以样本在(]10,50上的频率是1072014=.也可从反面求解，即样本不在(]10,50上的频数共有 624=+，所以样本在(]10,50上的频率是107206-1=.考点：样本频率5.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ▲ ．6.设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ▲ ．【答案】2【解析】试题分析：因为(1)0f =，所以1sin 1-=a .因此(1)f -.211sin =+-=a 本题也可应用函数性质求解，因为2)()(=-+x f x f ，所以,2)1()1(=-+f f .2)1(=-f 考点：函数性质7.四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ▲ ．8.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ．9.已知2tan()5+=，1tan 3=，则tan +4⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．【答案】98 【解析】试题分析：因为171315213152tan )tan(1tan )tan()tan(tan =⋅+-=++-+=-+=bb a b b a b b a a ，所以8917111711tan 1tan 1)4tan(=-+=-+=+a a a π.考点：两角和与差正切10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，132k a +=，12k S =-，则正整数k = ▲ ．11.已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy +的最小值为 ▲ ．12.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15AD AB AC=+λ()∈R λ，则λ的值为 ▲ ．【答案】6513.已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．考点：利用导数研究函数图像14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ▲ ．二、解答题15.（本小题满分14分）设函数2()6cos 23sin cos f x x x x=-．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．（1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ；（2）求证：1BC ∥平面1A DC ．【答案】（1）详见解析，（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，关键找出线面垂直.因为侧面11AA B B 为菱形，且160A AB ∠=︒,所以△17.（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC ∠=，木梁的体积为V （单位：m3），表面积为S （单位：m2）．（1）求V 关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V 最大；（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．【答案】（1）()10(sin cos sin ),(0,)2V =+∈，（2）3=，（3）当木梁的体积V 最大时，其表面积S也最大．18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上不同的三点，32(32,)2A ，(3,3)B --，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM ON ⋅为定值并求出该定值．【答案】（1）求椭圆方程一般用待定系数法.本题已知椭圆过两点，列两个方程222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩，解出b a ,的值,（2）求点(,)C m n 的坐标，需列出两个方程.一是点C 在椭圆上，即22227m n +=，二是BC 的中点在直线OA 上，即23m n =-.注意到C 在第三象限，舍去正值.（3）题意明确，思路简洁，就是求出点N M ,的坐标，算出ON OM ⋅为定值.难点是如何消去参数.因为点N M ,在直线OA ： 20x y -=上，所以可设11(2,)M y y ，22(2,)N y y ．选择00(,)P x y 作为参数，即用00(,)P x y 表示点N M ,的坐标.由,,P B M 三点共线，解得001003()23y x y x y -=--，同理解得00200523y x y x y -=-+.从而有22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+，这里主要用到2200227x y +=代入化简.本题也可利用椭圆参数方程或三角表示揭示21y y 为定值.∵,,P C N 三点共线，∴22011255y y y x ++=++，整理，得00200523y x y x y -=-+．…………………10分∵点C 在椭圆上，∴2200227x y +=，2200272x y =-．从而22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+． …………………14分所以124552OM ON y y ⋅==． …………………15分∴OM ON ⋅为定值，定值为452． …………………16分考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为Sn,已知11a =，且11()(1)n n n n S a S a λ+++=+对一切*n ∈N 都成立．（1）若λ = 1，求数列{}n a 的通项公式；（2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列．∴当2n ≥时，12n n S a +=．②② - ①，得12n n a a +=， ∴12n na a +=（2n ≥）． ………………… 6分∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， an = 2n -1（*n ∈N ）． …………………8分20.（本小题满分16分）已知函数e ()ln ,()e x xf x mx a x mg x =--=，其中m ，a 均为实数．（1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．【答案】（1）极大值为1，无极小值．（2）3 -22e 3．（3）3[,)e 1+∞-．【解析】试题解析：（1）e(1)()e x x g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分列表如下：∵g(1) = 1，∴y=()g x 的极大值为1，无极小值． …………………3分（2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分设1e ()()e x h x g x x ==，∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立，∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分设21x x >，则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-，即2211()()()()f x h x f x h x -<-．x （-∞，1） 1 （1，+∞） ()g x '+ 0 - g(x)↗极大值↘设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x =-=---⋅，则u(x)在[3,4]为减函数． ∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． …………………6分 ∴11e ex x a x x ---+≥恒成立．设11e ()ex x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]， ∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．∴()v x 在 [3，4]上的最大值为v(3) = 3 -22e3． ………………… 8分 ∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e3． …………………9分∵e e 3()1e 1m mf m m m --+=>>-≥，∴3e 1m -≥时，命题成立．综上所述，m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． …………………16分考点：函数极值，不等式恒成立。

2024届苏锡常镇四市高三下学期教学情况调研(二)数学答案

2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学（参考答案） 2024. 5一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B A B C D A D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．题号9 10 11 答案 BCD ABD AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1y =或3450x y ++= 1314．4，1四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分）【法一】（1）证明：在直棱柱111C B A ABC −中，1B B ⊥面ABC ，则面11BB CC ⊥面ABC ， ……2分面11BB CC 面ABC BC =，AB ⊂面ABC ，BC AB ⊥，所以⊥AB 面11B BCC ……4分因为11//B A AB ，所以⊥11B A 面11B BCC . 则1A C 在面11B BCC 的射影为1B C ，在正方形11B BCC 中，有.11C B BC ⊥所以由三垂线定理得：.11C A BC ⊥ ……6分（2）解：直三棱柱111ABC A B C 的体积为111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=，则11AA =. ……7分由（1）⊥11B A 平面11B BCC ，1BC ⊂平面11B BCC ，则⊥11B A 1BC ，在正方形11B BCC 中，1B C ⊥1BC ，且111A B B C ⊂，平面C B A 11， 1111A B B C B = ，所以⊥1BC 平面C B A 11.……8分设11B C BC O = ，在△11A B C 中，过O 作C A OH 1⊥于H ，连接BH . 因为OH 为BH 在面11A B C 的射影，由三垂线定理得：⊥C A 1.BH 所以BHO ∠为二面角11B A B C −−的平面角. ……10分因为Rt △COH ∽Rt △11CA B ，111B A CA OH CO =，得33=OH ，又在Rt △BOH 中，22=BO ，得630=BH ， ……12分 .51063033cos ===∠BHOHBHO所以二面角B C A B −−11的余弦值为.510……13分【法二】直三棱柱111ABC A B C 的体积为：111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=，则11AA =. ……1分（1）证明：直棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系.…2分 (0,0,0)B ，1(0,0,1)B =，(1,0,0)C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C .1(1,0,1)BC =，1(1,2,1)A C =−− ， ……4分11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=，所以.11C A BC ⊥ ……6分（2）(0,0,0)B ，1(0,0,1)B =，(1,0,0)C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C .(1,0,0)BC =，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量1η111(,,)x y z =，则111111020BC x BA y z ⋅==⋅+，，ηη取11y =，得1η(0,1,2)−. ……8分1(1,0,1)B C=−，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2η222(,,)x y z =，则21222112020B C x z B A y ⋅=−= ⋅== ，，ηη 取21x =，得2η(1,0,1)=. ……10分设二面角11B A B C −−的大小为θ，则：121212|||cos ||cos ,|⋅=<>==ηηθηηηη. ……12分因为θ为锐角，所以二面角11B A B C −−余弦值为510. ……13分16.（15分）（1）提出假设0H ：是否喜爱阅读与性别没有关系． ……3分根据列联表的数据，可以求得：2250(10121315)0.725 2.70625252327χ×−×=≈<×××，……5分所以没有90%的把握认为喜爱阅读与性别有关. ……7分（2）随机变X 服从超几何分布(3,2,6)H ，X 可能取0，1，2. ……8分……2分0324361(0)5C C P X C ===，1224363(1)5C C P X C ===，2124361(2)5C C P X C ===. ……11分……14分答：抽取男生人数的数学期望为1． ……15分17.（15分）解：（1）因为函数的定义域为(0,)+∞，当0a =时，e 1()x f x x−=.要证()1f x >，只需证：当0x >时，e 1x x >+. ……1分令()e 1x p x x =−−，则()e 10x p x ′−>，则()p x 在(0,)x ∈+∞单调递增，……3分所以()(0)0p x p >=，即e 1x x >+. ……5分（2）2(1)e 1()x x a f x x x −+=+′1(1)e 1x x a x x −+=⋅+， ……6分令(1)e 1()(1)x x g x a x x−+=+>，则()2222e (1)1(1)110x x x x x x g x x x x ′−+−−+−−=>=>.所以()g x 在(1,)+∞单调递增，()(1)1g x g a >=+， ……8分 ①当1a − 时，()(1)10g x g a >=+ ，()0f x ′>. 则()f x 在(1,)+∞为增函数，()f x 在(1,)+∞上无极值点，矛盾. ……11分 ②当1a <−时，(1)10g a =+<. 由（1）知，e 1x x x >+>，(1)e 1(1)e (1)()1x x x x x xg x a a a x a x x x−+−−=+>+>+=−+，则(1)0g a −>，则0(1,1)x a ∃∈−使0()0g x =. ……14分当0(1,)x x ∈时，()0g x <，()0f x ′<，则()f x 在0(1,)x 上单调递减；当0(),x x ∈+∞时，()0g x >，()0f x ′>，则()f x 在0(,)x +∞上单调递增. 因此，()f x 在区间(1,)+∞上恰有一个极值点，所以a 的取值范围为(,1)−∞−. ……15分18. （17分）（1）解： F (0，2p)，设A (211,2x x p )，则FA = 211(,)22x p x p−1)4−，……1分所以1211224x x p p = −=−，得：2260p p −−=，解得2p =或32p =−（舍），所以抛物线C 的方程为24x y =①. ……4分（2）设直线MN ：y kx m =+②， M (11,x y )，N (22,x y )，联立①②，得2440x kx m −−=. 所以216()0k m ∆=+>③，121244x x k x x m +=⋅=−，④.111111222y kx m m k k x x x ++++===+，222222222y kx m m k k x x x ++++===+，则1212121211(2)2(2)()2(2)x x k m k k k m k m x x x x m+−+=+++=++⋅=， ……5分 121212(2)(2)kx m kx m k k x x ++++=2222121212(2)()(2)8(2)4k x x k m x x m k m x x m+++++++=−. ……6分因为12123()24k k k k +−=，即：22(2)8(2)32404k m k m m m−++×−×−=−，即：(22)(42)0k m k m +−+−=，则22m k =−或24m k =−，能满足③式. ……8分则MN ：22(2)2y kx k k x =+−=−+，或MN ：24(4)2y kx k k x =+−=−+，所以定点Q 的坐标为(2,2)或(4,2)，……10分（3）如MN 过(4,2)点，当122k k ==时， 12123()24k k k k +−=，但此时M ，N 重合，则||MN 无最小值，所以MN 只能过(2,2)点，此时||MN 有最小值. ……11分由（2），在④中，令22m k =−得：1212488x x k x x k +=⋅=−，，MN 2x −===. ……13分令432()2322f k k k k k =−+−+，则32246622(21)(1)0()k f k k k k k k ′=−+−=−−+=，12k =. ……15分当12k <时,()0f k ′<，()f k 在1(,)2−∞上为减函数，当12k >时,()0f k ′>，()f k 在1(,)2+∞上为增函数， ……16分所以当12k =时，()f k 有最小值，MN 有最小值.min5MN =. ……17分19.（17分）（1）解：第1行最后两数0101C C 1==，第2行的最后两数120233C C C 2=−=. ……1分第m （3m ）行的第m 个数为132222C C m m m m −−−−−，第1m +个数为22121C C m m m m −−−−，猜测：132********C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−. ……2分【法一】即证：12321222122C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−，……3分因为11233222222222222C C C C C C m m m m m m m m m m m m −−−−−−−−−−−+−=+−，……5分只要证明22222C C m m m m −−−=，该式显然成立，所以12321222122C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−，所以每行最后两个数相等.……6分【法二】因为22121(21)!(21)!C C !(1)!(2)!(1)!m m m m m m m m m m −−−−−−=−−−+[](21)!(1)(1)!(1)!m m m m m m m −+−−+2(21)!(2)!!(1)!!(1)!m m m m m m m −=++； ……4分又因为132222(22)!(22)!C C (1)!(1)!(3)!(1)!m m m m m m m m m m −−−−−−−=−−−−+[](22)!(1)(1)(2)(1)!(1)!m m m m m m m −+−−−−+(42)(22)!(1)!(1)!m m m m −−=−+2(21)!(2)!(1)!(1)!!(1)!m m m m m m −=−++. 即：13222222121C C C C m m m m m m m m −−−−−−−−=−.所以每一行的最后两个数相等. ……6分（2）第1行所有数之和为0101C C 2+=，第2行的最后一个数为0323312C C =−−=，此时结论成立. ……7分因为11C C C k k k n n n −++=，第m （2m ）行的1m +个数之和为：0120312111222121C C (C C )(C C )(C C )m m m m m m m m m m −−++++−−++−+−++−01201211211221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m −−+−++−=++++−+++0120121212221(C C C C )(C C C )m m m m m m m m m −+−++−=++++−+++1212211213321(C C C )(C C C )m m m m m m m m −++−++−=+++−+++222C C m m m m −==− . ……10分而第1m +行倒数第二个数为222C C m m m m −−，由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证. ……11分（3）当1n =，3k =时，1111C 1S a ===，11341S =−，当4k ≥时，此时显然不成立. 猜测：存在正整数k ，使得41n n kS − 恒成立，k 的最大值为3. ……12分下证：当2n 时，341n n S <− 恒成立. 由（1）知，(2)!!(1)!n n n a n +=，则1(22)!(1)!(2)!n a n n n +=+++，因为1(22)!(22)(1)!(!)!(1)!(212)!(2)())(12n n a n n n n n n n a n n n +++++++=++×=2(21)4(2)6644222n n n n n ++−===−<+++. ……14分又0n a >，当2n 时，2111214444n n n n n a a a a −−−−<<<<= . ……15分当2n 时，211241...144 (4)3n n n n S a a a −−=+++<++++=，所以341n n S <−. 综上：存在正整数k ，k 的最大值为3，使得41n n kS − 恒成立. ……17分。

2014年苏锡常镇高三数学一模试卷及参考答案(纯word版)

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育科学研究院 2014．3参考公式：柱体的体积公式：V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是高．直棱柱的侧面积公式：S 直棱柱侧=ch ，其中c 是直棱柱的底面周长，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4A B =，则AB = ．2．若复数z =13i1i+-（i 为虚数单位），则 | z | = ． 3．已知双曲线2218x y m -=m 的值为．4．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2； (]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是．5．执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于． 6．设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为．7．四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥底面ABCD 且P A = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为．8．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为．9．已知2tan()5+=，1tan 3=，则)4tan(π+a 的值为． 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，132k a +=，12k S =-，则正整数k = ．11．已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为．12．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15AD AB AC =+λ()∈R λ，则λ的值为．（第5题）（第12题）ABCDOG13．已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）设函数2()6cos cos f x x x x =-．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．（1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ；（2）求证：1BC ∥平面1A DC ．111DC B AC BA （第16题）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，,C D 在半圆上），设BOC∠=，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．D CθA OB（第17题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上不同的三点，A，(3,3)B--，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明OM ON⋅为定值并求出该定值．（第18题）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知11a =，且11()(1)n n n n S a S a λ+++=+对一切*n ∈N 都成立．（1）若λ = 1，求数列{}n a 的通项公式；（2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列．已知函数e ()ln ,()ex xf x mx a x mg x =--=，其中m ，a 均为实数．（1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB AD =，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD ABAB BE=．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，计算6M β．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为22cos ,()2sin x y =+⎧⎨=⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：（1）圆的直角坐标方程；（2）圆的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a =++---，若函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．E（第21-A 题）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．（1）求甲同学至少有4次投中的概率；（2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）设01212(1)m mn n n n n m S C C C C ---=-+-+-，*,m n ∈N 且m n <，其中当n 为偶数时，2nm =；当n 为奇数时，12n m -=．（1）证明：当*n ∈N ，2n ≥时，11n n n S S S +-=-；（2）记01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-，求S 的值．2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{}1,2,3,4,723. 44.7105．63 6．2 78.239．9810．13 11．9 12．6513.27321,{0,22e+⎛⎫--⎪⎝⎭14. [3(327,3++--二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）1+cos2()622xf x x=⨯=3cos223x x+=)36x++．…………………3分所以()f x的最小正周期为22T==，…………………4分值域为[3-+．…………………6分（2）由()0f B=，得πcos(2)6B+=．B为锐角，∴ππ7π2666B<+<，π5π266B+=，∴π3B=．…………………9分∵4cos5A=，(0,)A∈，∴3sin5A==．…………………10分在△ABC中，由正弦定理得32sinsinb AaB⨯===…………………12分∴21sin sin()=sin()sin322C A B A A A=---=+=．…………………14分16．（1）证明：∵11ABB A为菱形，且160A AB∠=︒，∴△1A AB为正三角形．…………………2分D是AB的中点，∴1AB A D⊥．∵AC BC=，D是AB的中点，∴AB CD⊥．…………………4分1A D CD D=，∴AB⊥平面1A DC．…………………6分∵AB⊂平面ABC，∴平面1A DC⊥平面ABC．…………………8分（2）证明：连结1C A，设11AC AC E=，连结DE．∵三棱柱的侧面11AA C C 是平行四边形，∴E 为1AC 中点． …………………10分在△1ABC 中，又∵D 是AB 的中点，∴DE ∥1BC ． …………………12分 ∵DE ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴ 1BC ∥平面1A DC ． …………………14分 17．解：（1）梯形ABCD 的面积2cos 2sin 2ABCD S +=⋅=sin cos sin +，(0,)2∈． …………………2分体积()10(sin cos sin ),(0,)2V =+∈． …………………3分（2）2()10(2cos cos 1)10(2cos 1)(cos 1)V '=+-=-+．令()0V '=，得1cos 2=，或cos 1=-（舍）． ∵(0,)2∈，∴3=． …………………5分当(0,)3∈时，1cos 12<<，()0,()V V '>为增函数；当(,)32∈时，10cos 2<<，()0,()V V '<为减函数． …………………7分∴当3=时，体积V 最大． …………………8分（3）木梁的侧面积210S AB BC CD =++⋅侧（）=20(cos 2sin 1)2++，(0,)2∈． 2ABCD S S S =+侧=2(sin cos sin )20(cos 2sin 1)2++++，(0,)2∈．…………………10分设()cos 2sin 12g =++，(0,)2∈．∵2()2sin 2sin 222g =-++，∴当1sin22=，即3=时，()g 最大． …………………12分又由（2）知3=时，sin cos sin +取得最大值，所以3=时，木梁的表面积S 最大． …………………13分综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大． …………………14分 18．解：（1）由已知，得222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2227,27.2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………………2分所以椭圆的标准方程为22127272x y +=． …………………3分（2）设点(,)C m n (0,0)m n <<，则BC 中点为33(,)22m n --．由已知，求得直线OA 的方程为20x y -=，从而23m n =-．① 又∵点C 在椭圆上，∴22227m n +=．②由①②，解得3n =（舍），1n =-，从而5m =-． …………………5分所以点C 的坐标为(5,1)--． …………………6分（3）设00(,)P x y ，11(2,)M y y ，22(2,)N y y ． ∵,,P B M 三点共线，∴011033233y y y x ++=++，整理，得001003()23y x y x y -=--．…………………8分 ∵,,P C N 三点共线，∴22011255y y y x ++=++，整理，得00200523y x y x y -=-+．…………………10分 ∵点C 在椭圆上，∴2200227x y +=，2200272x y =-．从而22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+． …………………14分所以124552OM ON y y ⋅==． …………………15分 ∴OM ON ⋅为定值，定值为452． …………………16分 19．解：（1）若λ = 1，则11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，111a S ==．又∵00n n a S >>，， ∴1111n n n nS a S a +++=+， ………………… 2分 ∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++，化简，得1112n n S a +++=．① ………………… 4分 ∴当2n ≥时，12n n S a +=．②② - ①，得12n n a a +=， ∴12n na a +=（2n ≥）． ………………… 6分 ∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， a n = 2n -1（*n ∈N ）． …………………8分（2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ………………… 11分当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==．当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++，化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ……………… 15分综上所述，1n a =（*n ∈N ），所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． ………………… 16分 20．解：（1）e(1)()e xx g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分列表如下：∵g (1) = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． …………………3分（2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分设1e ()()e x h x g x x ==，∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立， ∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分设21x x >，则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-，即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅，则u (x )在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． …………………6分 ∴11e ex x a x x---+≥恒成立．设11e ()e x x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]，∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．∴()v x 在[3，4]上的最大值为v (3) = 3 -22e 3． ………………… 8分∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e 3． …………………9分（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． …………………10分 ∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意． ………………… 11分当0m ≠时，2()()m x m f x x-'=，由题意知()f x 在(0,e]不单调，所以20e m <<，即2em >．① …………………12分此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2(,e)m上递增， ∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3e 1m -≥．② 由①②，得3e 1m -≥． …………………13分 ∵1(0,e]∈，∴2()(1)0f f m =≤成立． …………………14分下证存在2(0,]t m ∈，使得()f t ≥1．取e m t -=，先证e 2m m-<，即证2e 0m m ->．③ 设()2e x w x x =-，则()2e 10x w x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立． ∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥，∴③成立．再证()e m f -≥1． ∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥，∴3e 1m -≥时，命题成立．综上所述，m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． …………………16分21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结AC ．EA 是圆O 的切线，∴EAB ACB ∠=∠． …………………2分AB AD =，∴ACD ACB ∠=∠． ∴ACD EAB ∠=∠． …………………4分圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴D ABE ∠=∠． …………………6分∴CDA ∆∽ABE ∆． …………………8分 ∴CD DAAB BE=， AB AD =，∴CD ABAB BE=． …………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----．令12()031f λλλ===-，解得，，对应的一个特征向量分别为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α． …5分令12m n =+βαα，得4,3m n ==-．6666661212112913(43)4()3()433(1)112919⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=⨯--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦M βM ααM αM α．……………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． …………………5分（2）把cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上述方程，得圆的极坐标方程为4cos ρθ=．…………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：()f x 的最小值为232a a --， …………………5分由题设，得223a a -<，解得(1,3)a ∈-． …………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设甲同学在5次投篮中，有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则(4)(5)P P x P x ==+= …………………2分=441550552222()(1)()(1)3333C C -+-=112243． …………………4分（2）由题意1,2,3,4,5=．2(1)3P ==，122(2)339P ==⨯=，1122(3)33327P ==⨯⨯=，3122(4)3381P ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，411(5)381P ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．的分布表为…………………8分的数学期望22221121123453927818181E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………10分23．解：（1）当n 为奇数时，1n +为偶数，1n -为偶数， ∵1101221112(1)n n n n nn S CC C+++++=-++-，110122112(1)n n n n n n S C C C---+=-++-，11012211212(1)n n n n n n S C CC------=-++-，∴1111110011222221111111222()()(1)()(1)n n n n n n n n n n n n n n S S C C C C CCC-+-++-++-++++-=---++--+-=11012212112((1))n n n n n n CCCS --------++-=-．∴当n 为奇数时，11n n n S S S +-=-成立． …………………5分同理可证，当n 为偶数时， 11n n n S S S +-=-也成立． …………………6分（2）由01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-，得 0123100720142013201220111007201420142014201420142013201220111007S C C C C C =-+-+-=0112233100710072014201320132012201220112011100710071231007()()()()2013201220111007C C C C C C C C C -+++-++-+=0121007012100620142013201210072012201120101006()()C C C C C C C C -+----+-+=20142012S S -． …………………9分又由11n n n S S S +-=-，得6n n S S +=，所以20142012421S S S S -=-=-，12014S =-． …………………10分。

江苏省苏、锡、常、镇四市高三5月教学情况调查(二)数学试题

江苏省苏、锡、常、镇四市高三5月教学情况调查（二）数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上；1、已知i 是虚数单位，复数31iz i+=+对应的点在第象限。

2、设全集U R =，集合{}13A x|x =-≤≤，集合{}1B x|x =>，则U AC B = 。

3、已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，则数据1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的方差为。

4、 “3x >”是“5x >”的条件。

（请在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）。

5、若双曲线()2210y x a a-=>的一个焦点到一条渐近线的距离等，则此双曲线方程为。

6、根据右图所示的流程图，输出的结果T 为。

7、在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为。

8、在不等式组031y x x y x ⎧⎪≤⎪<≤⎨⎪⎪>⎩，所表示的平面区域内的所有格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为。

9、在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有221cos αcos β+=。

类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有。

10、已知圆C ：()()()2210x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P 、Q 两点，若90PCQ ︒∠=，则实数a = 。

11、分别在曲线xy e =与直线1y ex =-上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为。

12、已知向量a ，b 满足2a =，1b =，且对一切实数x ，a xb a b +≥+恒成立，则a 与b 的夹角大小为。

江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三下学期教学情况调查数学(理)试题Word版含解析

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）理科数学一、填空题：1.已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4AB =，则AB = ▲ ．2.若复数z =13i1i+-（i 为虚数单位），则 | z | = ▲ ．3.已知双曲线2218x y m -=m 的值为 ▲ ．4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2；(]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ▲ ．5.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ▲ ．6.设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ▲ ．【答案】2 【解析】试题分析：因为(1)0f =，所以1sin 1-=a .因此(1)f -.211sin =+-=a 本题也可应用函数性质求解，因为2)()(=-+x f x f ，所以,2)1()1(=-+f f .2)1(=-f 考点：函数性质7.四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ▲ ．8.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ．9.已知2tan()5a b +=，1tan 3b =，则tan +4p a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，132k a +=，12k S =-，则正整数k = ▲ ．11.已知正数,x y满足22x y+=，则8x yxy+的最小值为▲．12.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，2BG GO=，设CD∥AG，若15AD AB AC=+λ()∈Rλ，则λ的值为▲．考点：向量共线表示13.已知函数22(2)e,0,()43,0,xx x xf xx x x⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k=+，若函数()g x恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为 ▲ ．【答案】27321,{0,22e+⎛⎫-- ⎪⎝⎭考点：利用导数研究函数图像14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ▲ ．【答案】[3(327,3++--【解析】试题分析：由题意得圆心(,2),C m 半径r =因为点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，所以223060280m m +--+-<，解得33m -<+设C 到直线距离为d ,则.d CP ≤又222211162222ABCd r d r S d AB d ∆+-=⋅=⋅≤==，当且仅当222d r d =-，即216,4d d ==时取等号，因此4CP ≥≥，即3m ≥+3m ≤-综上实数m 的取值范围为[3(327,3++--.考点：直线与圆位置关系二、解答题15.（本小题满分14分）设函数2()6cos cos f x x x x =-．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．（2）由()0f B =，得πcos(2)6B +=．B 为锐角，∴ππ7π2666B <+<，π5π266B +=，∴π3B =． …………………9分 ∵4cos 5A =，(0,)A p ∈，∴3sin 5A ． …………………10分在△ABC中，由正弦定理得32sin sin b Aa B⨯=== …………………12分∴21sin sin()=sin()sin 32C A B A A A p p =---=+=． …………………14分考点：倍角公式，正余弦定理16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．（1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ；（2）求证：1BC ∥平面1A DC ．17.（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC q ∠=，木梁的体积为V （单位：m 3），表面积为S （单位：m 2）．（1）求V 关于θ的函数表达式；（2）求q 的值，使体积V 最大；（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．【答案】（1）()10(sin cos sin ),(0,)2V p q q q q q =+∈，（2）3p q =，（3）当木梁的体积V 最大时，其表面积S也最大．（3）木梁的侧面积210S AB BC CD =++⋅侧（）=20(cos 2sin 1)2q q ++，(0,)2pq ∈． 2ABCD S S S =+侧=2(sin cos sin )20(cos 2sin 1)2q q q q q ++++，(0,)2pq ∈．…………………10分设()cos 2sin 12g q q q =++，(0,)2p q ∈．∵2()2sin 2sin 222g qq q =-++，∴当1sin22q =，即3pq =时，()g q 最大． …………………12分又由（2）知3pq =时，sin cos sin q q q +取得最大值，所以3pq =时，木梁的表面积S 最大． …………………13分综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大． …………………14分考点：利用导数求函数最值18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上不同的三点，)2A ，(3,3)B --，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM ON ⋅为定值并求出该定值．可利用椭圆参数方程或三角表示揭示21y y 为定值.【解析】试题分析：（1）22127272x y +=,（2）(5,1)--,（3）452.试题解析：（1）由已知，得222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2227,27.2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………………2分所以椭圆的标准方程为22127272x y +=． …………………3分19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S n ,已知11a =，且11()(1)n n n n S a S a λ+++=+对一切*n ∈N 都成立．（1）若λ = 1，求数列{}n a 的通项公式；（2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列．【答案】（1）an = 2n -1（2）λ = 0. 【解析】（2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ………………… 11分当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==．当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++，化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ……………… 15分综上所述，1n a =（*n ∈N ），所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． ………………… 16分考点：已知n S 求n a20.（本小题满分16分）已知函数e ()ln ,()e xxf x mx a x mg x =--=，其中m ，a 均为实数．（1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．对于函数()y g x =在(0,e]上值域中每一个值，函数()y f x =在(0,e]上总有两个不同自变量与之对应相等．首先求出函数()y g x =在(0,e]上值域(0,1]，然后根据函数()y f x =在(0,e]上必须不为单调函数且每段单调区间对应的值域都需包含(0,1].由()f x 在(0,e]不单调得2em >，由每段单调区间对应的值域都需包含(0,1]得(e)1f ≥，3e 1m -≥. 试题解析：（1）e(1)()exx g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分列表如下：附加题21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.A．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，且AB AD=，E是CB延长线上一点，直线EA与圆O相切．求证：CD AB AB BE=．【答案】详见解析【解析】21.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，计算6M β．【答案】【解析】试题分析：利用矩阵特征值λ及其对应特征向量α性质：n n M αλα=进行化简.先根据矩阵M 的特征多项式求出其特征值123,1λλ==-，进而求出对应的特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α.再将17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β分解成特征向量，即1243=-βαα，最后利用性质求结果，即21.C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为22cos,()2sinxyaaa=+⎧⎨=⎩为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：（1）圆的直角坐标方程；（2）圆的极坐标方程．21.D．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a=++---，若函数()f x的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．22.（本小题满分10分）甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．（1）求甲同学至少有4次投中的概率；（2）求乙同学投篮次数x 的分布列和数学期望．（2）由题意1,2,3,4,5=x ．2(1)3P ==x ，122(2)339P ==⨯=x ，1122(3)33327P ==⨯⨯=x ，3122(4)3381P x ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，411(5)381P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．x 的分布表为…………………8分x 的数学期望22221121123453927818181E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ． …………………10分考点：概率分布，数学期望值23.（本小题满分10分）设01212(1)m mn n n n n m S C C C C ---=-+-+-，*,m n ∈N 且m n <，其中当n 为偶数时，2nm =；当n 为奇数时，12n m -=．（1）证明：当*n ∈N ，2n ≥时，11n n n S S S +-=-；。

江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三下学期教学情况调查数学(文)试题Word版含解析

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）文科数学一、填空题：1.已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4AB =，则AB = ▲ ．2.若复数z =13i1i+-（i 为虚数单位），则 | z | = ▲ ．【解析】试题分析：因为13i 1i +-,21242i i+-=+-=所以.5||=z 也可利用复数模的性质求解，即.5210|1||31|||==-+=i i z考点：复数的模3.已知双曲线2218x y m -=m 的值为 ▲ ．4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2；(]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ▲ ．【答案】710【解析】试题分析：因为样本在(]10,50上的频数共有 145432=+++，所以样本在(]10,50上的频率是1072014=.也可从反面求解，即样本不在(]10,50上的频数共有 624=+，所以样本在(]10,50上的频率是107206-1=. 考点：样本频率5.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ▲ ．6.设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ▲ ．【答案】2 【解析】试题分析：因为(1)0f =，所以1sin 1-=a .因此(1)f -.211sin =+-=a 本题也可应用函数性质求解，因为2)()(=-+x f x f ，所以,2)1()1(=-+f f .2)1(=-f 考点：函数性质7.四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ▲ ．8.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ▲ ．9.已知2tan()5a b +=，1tan 3b =，则tan +4p a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．【答案】98【解析】试题分析：因为171315213152tan )tan(1tan )tan()tan(tan =⋅+-=++-+=-+=bb a b b a b b a a ，所以8917111711tan 1tan 1)4tan(=-+=-+=+a a a π. 考点：两角和与差正切10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，132k a +=，12k S =-，则正整数k = ▲ ．11.已知正数,x y满足22x y+=，则8x yxy+的最小值为▲．12.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，2BG GO=，设CD∥AG，若15AD AB AC=+λ()∈Rλ，则λ的值为▲．【答案】6 513.已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．考点：利用导数研究函数图像14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ▲ ．二、解答题15.（本小题满分14分）设函数2()6cos cos f x x x x =-．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．（1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ；（2）求证：1BC ∥平面1A DC ．【答案】（1）详见解析，（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，关键找出线面垂直.因为侧面11AA B B 为菱形，且160A AB ∠=︒,所以△17.（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，,C D在半圆上），设BOC q∠=，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求q的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【答案】（1）()10(sin cos sin ),(0,)2V p q q q q q =+∈，（2）3pq =，（3）当木梁的体积V 最大时，其表面积S也最大．18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上不同的三点，A ，(3,3)B --，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM ON ⋅为定值并求出该定值．【答案】（1）求椭圆方程一般用待定系数法.本题已知椭圆过两点，列两个方程222291821,991,a b ab ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩，解出b a ,的值,（2）求点(,)C m n 的坐标，需列出两个方程.一是点C 在椭圆上，即22227m n +=，二是BC 的中点在直线OA 上，即23m n =-.注意到C 在第三象限，舍去正值.（3）题意明确，思路简洁，就是求出点N M ,的坐标，算出ON OM ⋅为定值.难点是如何消去参数.因为点N M ,在直线OA ： 20x y -=上，所以可设11(2,)M y y ，22(2,)N y y ．选择00(,)P x y 作为参数，即用00(,)P x y 表示点N M ,的坐标.由,,P B M 三点共线，解得001003()23y x y x y -=--，同理解得00200523y x y x y -=-+.从而有22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+，这里主要用到2200227x y +=代入化简.本题也可利用椭圆参数方程或三角表示揭示21y y 为定值.∵,,P C N 三点共线，∴022011255y y y x ++=++，整理，得00200523y x y x y -=-+．…………………10分∵点C 在椭圆上，∴2200227x y +=，2200272x y =-．从而22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+． …………………14分所以124552OM ON y y ⋅==． …………………15分 ∴OM ON ⋅为定值，定值为452． …………………16分考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S n ,已知11a =，且11()(1)n n n n S a S a λ+++=+对一切*n ∈N 都成立．（1）若λ = 1，求数列{}n a 的通项公式；（2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列．∴当2n ≥时，12n n S a +=．② ② - ①，得12n n a a +=， ∴12n na a +=（2n ≥）． ………………… 6分 ∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， an = 2n -1（*n ∈N ）． …………………8分20.（本小题满分16分）已知函数e ()ln ,()e xxf x mx a x mg x =--=，其中m ，a 均为实数．（1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．【答案】（1）极大值为1，无极小值．（2）3 -22e 3．（3）3[,)e 1+∞-．【解析】试题解析：（1）e(1)()e xx g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分列表如下：∵g(1) = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． …………………3分（2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分设1e ()()e x h x g x x ==，∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立， ∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分设21x x >，则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-，即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅，则u(x)在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． …………………6分 ∴11e ex x a x x---+≥恒成立．设11e ()e x x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]， ∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．∴()v x 在 [3，4]上的最大值为v(3) = 3 -22e 3． ………………… 8分∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e 3． …………………9分∵e e 3()1e 1m mf m m m --+=>>-≥，∴3e 1m -≥时，命题成立．综上所述，m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． …………………16分考点：函数极值，不等式恒成立。