2018年浙江高考数学复习：技法强化3 分类讨论思想含答案

技法强化训练(三) 分类讨论思想 (对应学生用书第161页)

题组1 由概念、法则、公式引起的分类讨论

1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝P n －1(P 是常数)，则数列{a n }是( ) 【68334017】 A ．等差数列

B ．等比数列

C ．等差数列或等比数列

D ．以上都不对

D [∵S n ＝P n －1，

∴a 1＝P －1，a n ＝S n －S n －1＝(P －1)P

n －1

(n ≥2)．

当P ≠1且P ≠0时，{a n }是等比数列； 当P ＝1时，{a n }是等差数列；

当P ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列．]

2．已知函数f(x)＝⎩⎨

⎧

－x 2

＋ax ，x ≤1，

2ax －5，x ＞1.

若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f(x 1)

＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) 【68334018】 A ．(－∞，2) B ．(－∞，4) C ．[2,4]

D ．(2，＋∞)

B [当－a

－2＜1，即a ＜2时，显然满足条件；

当a ≥2时，由－1＋a ＞2a －5得2≤a ＜4， 综上可知a ＜4.]

3．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)为f(x)的导函数，函数y ＝f ′(x)的图象如图1所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x 2－6)＞1的解集为( )

图1

A ．(－3，－2)∪(2,3)

B ．(－2，2)

C ．(2,3)

D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

A [由导函数图象知，当x ＜0时，f ′(x)＞0， 即f(x)在(－∞，0)上为增函数，

当x ＞0时，f ′(x)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，

又不等式f(x 2－6)＞1等价于f(x 2－6)＞f(－2)或f(x 2－6)＞f(3)，故－2＜x 2－6≤0或0≤x 2－6＜3，解得x ∈(－3，－2)∪(2,3)．]

4．已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2

－y 2

m

＝1的离心率为( )

A. 2

B.

32

C. 5

D.5或3

2

D [由题意可知，m 2＝2³8＝16，∴m ＝±4. (1)当m ＝4时，曲线为双曲线x 2

－y 2

4

＝1.

此时离心率e ＝ 5.

(2)当m ＝－4时，曲线为椭圆x 2＋y

24

＝1.

此时离心率e ＝

32

.] 5．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围是________.

【68334019】

(－1,0)∪(0，＋∞) [因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0； 当q ≠1时，S n ＝a 1 1－q n

1－q >0，

即1－q n 1－q >0(n ∈N *

)，则有⎩⎨⎧

1－q>0，1－q n

>0 ①

或⎩⎨⎧

1－q<0，1－q n

<0，

②

由①得－11.

故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．]

6．若x ＞0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为________． (－∞，－2]∪[2，＋∞) [当x ＞1时，y ＝lg x ＋

1

lg x

≥2lg x ²

1

lg x

＝2，当且仅当lg x ＝1，即x ＝10时等号成立；当0＜x ＜1时，y ＝lg x ＋1

lg x

＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －lg x ＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫－1lg x ≤－2 －lg x ²

1

－lg x

＝－2，当且仅当lg x

＝

1lg x ，即x ＝1

10

时等号成立．∴y ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．] 题组2 由参数变化引起的分类讨论

7．已知集合A ＝{x|1≤x ＜5}，C ＝{x|－a ＜x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1 B.⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，－32

C ．(－∞，－1]

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－32，＋∞ C [因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A.

①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32

；

②当C ≠∅

时，要使C ⊆A ，则⎩⎨⎧

－a ＜a ＋3，

－a ≥1，

a ＋3＜5，

解得－3

2

＜a ≤－1.由①②得a ≤－1.]

8．已知不等式组⎩⎨⎧

x ＋y ≤1，

x －y ≥－1

y ≥0

，所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平

面区域D 有公共点，则k 的取值范围为( ) 【68334020】

A ．[－3,3]