2010北京邮电大学数学建模模拟试题

2010北京邮电大学数学建模模拟试题A题：高等学校规模分析1999年，我国做出了“扩大高等教育规模”的重大决策。

10年时间里，我国高等教育实现了历史性跨越，规模先后超过俄罗斯、印度、美国，成为世界第一。

2008年，我国高等教育毛入学率达到23.3%，《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》制订了2020年高等教育毛入学率达40.0%的目标，我国目前已进入国际公认的大众化发展阶段。

对于高等教育而言，教育成本中大部分属于固定成本，高等学校具有一定的“非排他性”，即增加一名学生不会使学校的总成本有所变化，并且也不会对其他学生上学有所影响。

在一定范围内，学生数的增加不会影响教学质量，但高校生均成本随着学生规模的扩大而降低，高校办学显现出规模经济现象。

但当学校规模扩大到超出现有资源水平能够满足的范围，资源的超负荷使用会造成教学质量的下降，高校需要新的资源，例如修建教学楼、宿舍、食堂、增加教师数量等，新资源的投入又将导致办学成本上升。

我国从1999年高等学校扩招到现在已经进行到一个阶段，高校规模扩大到一定程度，不同类型的高校呈现出不同的规律。

附件数据（moni2010Adata.xlt）是随机抽取我国部分高校的某年度主要收支数据。

其中经费收入项目中事业拨款和科研拨款为国家财政拨款，事业收入指高等学校开展教学、科研及其辅助活动取得的收入，经费支出项目只包含事业经费支出和基建经费支出两项。

请根据资料但不局限于给定材料，研究以下问题：1.选取适当变量，建立模型，判断这些高校是否存在规模经济现象2.探讨这些高校是否应当进行扩招，扩招空间有多大3.根据1、2的结论，从办学目标、办学规模和经济的角度上提出适合这些高校的办学建议。

提示：规模经济和办学规模可将一定数量学校视作整体共同考虑，不必对单独学校进行逐个分析，可整体判断所有学校的情况，也可考虑采取适当方法对高校进行适当分类。

需要更多参考资料请查阅：中国教育经济信息网/index.jspB题：现代汉字形声字声符在普通话中表音度的测查一、问题背景现代汉字中90％左右属于形声字。

形声字是由“形符”和“声符”两部分组成的。

“形符”科学的称谓应是“义符”，表示这个字意义的类别；“声符”在造字时标示这个字的读音。

例如：“一唱一和”的“和”：“口”是义符，表示“和”的语义与口有关；“禾”是声符，表示“和”的读音与“禾”相同。

汉语经过几千年的演变，语音系统发生了很大变化，而且，在不同的方言地域，变化的方向和程度是不一样的；与此同时，汉字本身也发生了形体上的变迁；所以，在现代汉字的形声字中，声符和它所造的字之间的声音关系就出现了不同情况，以普通但二者相同、相似的程度是很不一样的。

本题目就是要测查出在普通话中声符对现代形声字的表音度。

形声字声符在普通话中表音度的测查，对现代汉字规范的制定有直接作用；对汉字史和语音史的研究有重要参考价值。

二、要求与目标1．在附录中（moni2010Bdata.xlt）给出了从3500个常用字中挑出的形声字，请你用拼音方案一一标注形声字与其声符的普通话读音。

2．将不同表音情况按表音程度的大小加以分级归类，声韵调全同的为最高级，级数和分级标准自定。

3．对分级标准的制定必须具有充分的理由，明确表述分级的标准，提供组成各级的形声字表。

三、注意事项：1．给出的形声字与声符是以现代规范的简化字为依据的。

2．注意形声字的特殊结构，例如：“颖”的声符是“顷”，“徒”的声符是“土”，“问、闻”的声符是“门”等，这些声符所处的位置都很特别。

3．注意有些字是多音字，可以选择形声字与声符读音最接近的音。

如：“什”可以读“什（shen2）么”，也可以读“什（shi2）锦”考虑到与“十”的语音关系，可选择后者。

4．两个声音的相似程度，仅仅靠标出的符号相同的有多少是不够的。

因为：第一，字是按音节读出来的，在一个整音节中，声、韵、调在听觉上给人的感觉作用不同，例如：声调对音节的影响显然小于声母和韵母。

第二，声、韵、调内部的相似度也不一样，例如声母，有的发音部位相同，发音方法不同（j—q—x），有些发音方法相同，发音部位不同（s—x—h）。

韵母，有的介音不同（iang—uang），有的韵尾不同（an—ang），有的主要元音不同（en—an），四个声调调值的相似程度也不同（第一声为高平调，调值55，第二声为高升调，调值14，第三声为升降调，调值为214，第四声为降调，调值为52）。

第三，人在听一个完整的音节时的总体感觉，与分解以后听其中每一个音素的感觉，也是不同的，因为语音与心理有关，不是纯物理现象。

C题：挑战记忆Vista提供了一款游戏Purple Place。

游戏提供一副经过随机排序处理、按照某种规则（比方4*4、6*6矩形状）排布、背面朝外的一些图卡。

图卡具有一致的背面图案，通常按照图卡数为偶数分成若干组，每组的正面图案相同。

您可以通过点击鼠标的方式随意揭开某张图卡使其正面朝上，但同时正面朝上的图卡的累积张数不能超过两张：如果被揭开的两张图片图案相同，则这两张图片将被从牌桌上“成果”去除；否则，则自动恢复背面朝上，而这正是考验您的记忆力好坏的关键。

基于您超常的记忆力、辅助合适的翻牌策略，实现用尽可能少的翻牌次数实现全部图片的配对并从牌桌上完全去除。

显然一个好的翻牌策略是主要的，这不光可以直接使你节约翻牌次数，同时规则的翻牌方式事实上也总是帮助您更容易记起那些曾经翻过而又被重新合上图片的图案，进而取得好成绩。

我经常和我目前上小学的女儿比试：已经被无数的事实证明，我女儿的记忆力要远胜于我，但由于我采用了更为规范的翻牌策略总是取得非常不错的评分——采用适当的数据形式，对这一游戏的实现进行建模分析；有好的算法吗？D题：电力变压器铁心柱截面的优化设计电力变压器的设计中很重要的一个环节就是铁心柱的截面如何设计。

我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸。

根据多年的生产经验，各生产厂存在着对已有设计方案的疑问：能否改进及如何改进这些设计，才能在提高使用效果的同时降低变压器的成本。

现在以心式铁心柱为例试图进行优化设计。

电力变压器铁心柱截面在圆形的线圈筒里面。

为了充分利用线圈内空间又便于生产管理，心式铁心柱截面常采用多级阶梯形结构，如图1所示。

截面在圆内上下轴对称，左右也轴对称。

阶梯形的每级都是由许多同种宽度的硅钢片迭起来的。

由于制造工艺的要求，硅钢片的宽度一般取为5的倍数（单位：毫米）。

因为在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以一般要求第一级的厚度最小为26毫米，硅钢片的宽度最小为20毫米。

铁心柱有效截面的面积，等于多级铁心柱的几何截面积（不包括油道）乘以叠片系数。

而叠片系数通常与硅钢片厚度、表面的绝缘漆膜厚度、硅钢片的平整度以及压紧程度有关。

设计时希望有效截面尽量大，既节省材料又减少能量损耗。

显然铁心柱的级数愈多，其截面愈接近于圆形，在一定的直径下铁心柱有效截面也愈大。

但这样制造也工艺复杂，一般情况下铁心柱的级数可参照表1选取。

650毫米时，如何确定铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度，才能使铁心柱的有效截面积最大。

问题二：实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，而留有一定的间隙以便于安装和维修，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带。

因此可以在设计铁心截面时稍微增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状。

请结合铁心柱截面的设计而设计出二者的公差带。

问题三：铜导线在电流流过时发热造成的功率损耗简称为铜损；铁心在磁力线通过时发热造成的功率损耗简称为铁损。

为了改善铁心内部的散热，铁心柱直径为380毫米以上时须设置冷却油道。

简单地说，就是在某些相邻阶梯形之间留下6毫米厚的水平空隙（如图2所示），空隙里充满油，变压器工作时油上下循环带走铁心里的热量。

具体油道数可按表2选取。

油道的位置应使其分割的相邻两部分铁心柱截面积近似相等。

分别针对问题一和问题二的情况，增加油道要求再给出设计，并指出油道的位置。

E题：食品安全的抽检问题随着我国改革开放三十年来，人民生活水平在不断地提高，对食品安全和卫生问题越来越受到人们的关注。

近几年来，先后出现了苏丹红、瘦肉精、三聚氰胺等事件，以及各种不利于健康的食品添加剂、强化剂问题的出现，食品安全和卫生的检测已成为全社会，乃至政府有关部门重点关注的问题之一。

食品的质量和卫生问题涉及到原材料的使用、生产加工、运输与贮存、流通与销售等环节，在每一个环节上出现差错，都会导致食品出现安全和卫生问题，食品质量和卫生的检测工作在实际显得非常重要。

但是，由于食品的种类、品牌和批次繁多，从生产加工到销售食用中间环节复杂，质检部门不可能对所有食品做到全面的质量检测，一般只能做一定的抽检。

当然，对食品进行抽检也需要一定人力、物力和财力（即成本费用），抽检的越多检测效果就越好，但需要的时间就越长，其成本费用也就越高。

为此，应该如何抽检，既能保证较好的检测效果，又能节省时间和成本费用？请根据实际情况，建立数学模型分析研究下列问题：（1）根据主要食品的分类，试分析影响各类食品安全的因素，对其可能的危害性做出定量的比较评估分析。

（2）针对部分主要食品，结合实际建立合理的抽检模型，给出检测误差（即检测的可靠性）分析的方法，并对模型进行模拟检验。

（3）面粉是我国中北部地区主要的主食原材料，不妨就已推广食用的“营养强化面粉”抽检问题进行讨论，“营养强化面粉”的配方标准如表1所示。

假设某地区现有12个品牌的营养强化面粉产品，每个品牌每月将有不少于60个批次（即同一企业、同一条生产线、同一批投料、同一班次生产的产品为1个批次）的产品在市场上销售，质检部门要做一次全面的质量检查，请你帮助制订一种合理的抽检方案，并分析其检测的可靠性。

所需要检验项目、标准、成本和工时如表2所示。

（4）针对问题（3），如果质检部门需要连续进行多次跟踪抽检，请你给出相应的抽检策略和最佳的抽检数量，使其检测可靠性尽量高、成本尽量低、工时尽量少，并用计算机进行模拟检验。

（5）请根据你们的研究，深入分析食品安全存在的隐患和根源，并提出有效可行的解决问题办法和建议，可供主管部门和市民参考。

请参见相关资料：附件1：中国居民营养与健康现状（moni2010Edata1.doc）附件2：中国居民膳食营养参考摄入量（moni2010Edata2.doc）附件3：食品质量检测问题背景材料（moni2010Edata3.doc）F题: “五分制”PK“百分制”在学生课程学习评价时，有不同的分值评价体系，其中“五分制”、“百分制”是我们最为熟知的两种。

显然这两种分值体系各有优缺，“五分制”在处理只是通过成绩评定给出学习者课程学习成效的大致优劣分档的场合，优点是在成绩评定时成绩评定者基于某种标准可以较为高效地做出判断，而且由于分值的取值少，不同成绩评定专家在对同一参评者（作品）在作出最终评价时很少受其本人给分习惯（比方倾向给高分、或倾向给低分）而产生严重的评分差异；“百分制”则适合一些考题具有标准答案、一项考核可以被分解为大量相对细致的考点的情形，而基于“百分制”评价体系，也为一些特殊场合的人员选拔提供了更为精致的排名结果，缺点是，在一些无需通过成绩评定给出被考核者过分严格的排名时，这种评分体系将导致考核代价的浪费，而在评价结果主要依照成绩评定专家个人学识、好恶、经验等因素形成的综合评价结果，以“百分制”给分事实上已经超出了人脑的正常能力，不同专家对同一参评者（作品）在作出最终评价时这些人不同的给分习惯（比方倾向给高分、或倾向给低分）而产生非常严重的评分差异。