han线代课件5-2
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线性代数5-2
定义1 设A是复数域上的n阶方阵, 如果存在复数 0 和n维非零列向量 X 0 , 使得 AX 0 0 X 0 , 则称λ0是A的一个特征值, X0是A的属于λ0的一个特征向量 二、特征值和特征向量的直接性质 性质1 如果 X1 , X 2 ,, X t 都是A的属于λ0的特征向量,则 k1 X1 k2 X 2 kt X t （k1 , k2 , , kt 不全为0）也是A属于λ0的特征向量. 设λ为Ａ的特征值， X 0为A的属于的特征向量。 性质2 则 k 为 kA的特征值，特征向量不变 m m A 则 为 的特征值，特征向量不变 性质3
一、定义 定义 使得 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ，
P AP B,
1
则称矩阵 Ａ与Ｂ相似．记作：Ａ∽Ｂ．
二、性质 （1） 反身性：Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ； （3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ， 则Ａ∽Ｃ；
（4）Ａ∽Ｂ，则 rank A = rank B （5）Ａ∽Ｂ，则 A B （6）Ａ∽Ｂ，则 Am ∽ B m
注意（1） Ｐ中的列向量 p1 , p2 ,
, pn 的排列顺序要与
1 , 2 , , n 的顺序一致．
因 pi 是 ( A E ) x 0的基础解系中的解向量， （ 2）
因此Ｐ也是不唯一的． 故 pi 的取法不是唯一的，
（ 3） 又 A E 0的根只有ｎ个（重根按重数计算） 所以如果不计i 的排列顺序， 则 是唯一的．
2 X 1 1 , 0
求出一个基础解系
1 X 2 0 ; 1
1 0 0 又解 (3E-A)X=0, A 2 5 2 2 4 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 3E A 2 2 2 0 0 0 2 4 4 0 求出一个基础解系 X 3 1 , 则Q [ X1 X 2 X 3 ]可逆, 1 2 1 0 1 － 1 Q 1 0 1 , Q AQ= 1 0 1 1 3
一、定义 定义 使得 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ，
P AP B,
1
则称矩阵 Ａ与Ｂ相似．记作：Ａ∽Ｂ．
二、性质 （1） 反身性：Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ； （3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ， 则Ａ∽Ｃ；
（4）Ａ∽Ｂ，则 rank A = rank B （5）Ａ∽Ｂ，则 A B （6）Ａ∽Ｂ，则 Am ∽ B m
注意（1） Ｐ中的列向量 p1 , p2 ,
, pn 的排列顺序要与
1 , 2 , , n 的顺序一致．
因 pi 是 ( A E ) x 0的基础解系中的解向量， （ 2）
因此Ｐ也是不唯一的． 故 pi 的取法不是唯一的，
（ 3） 又 A E 0的根只有ｎ个（重根按重数计算） 所以如果不计i 的排列顺序， 则 是唯一的．
2 X 1 1 , 0
求出一个基础解系
1 X 2 0 ; 1
1 0 0 又解 (3E-A)X=0, A 2 5 2 2 4 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 3E A 2 2 2 0 0 0 2 4 4 0 求出一个基础解系 X 3 1 , 则Q [ X1 X 2 X 3 ]可逆, 1 2 1 0 1 － 1 Q 1 0 1 , Q AQ= 1 0 1 1 3
线性代数(第五版)课件
• 想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就 是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果 你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞 图像处理，大量的图像数据处理更离不开 矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量 的后期电脑制作没有线代的数学工具简直 难以想象。
• 想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计 算机计算出了由美国统计局的25万条经济数 据所组成的42个未知数的42个方程的方程组， 他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。
这些模型通常都是线性的，也就是说，它们
是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫 “投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了 1973年的诺贝尔经济学奖。
• 相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一 个重要议题是线性规划。许多重要的管理 决策是在线性规划模型的基础上做出的。 线性规划的知识就是线代的知识啊。比如， 航空运输业就使用线性规划来调度航班， 监视飞行及机场的维护运作等；又如，你 作为一个大商场的老板，线性规划可以帮 助你合理的安排各种商品的进货，以达到 最大利润。
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得
(a11a22 a a 12 21 ) x1 b1a22 a12b2
(a11a22 a a 12 21 ) x2 a11b2 b1a21
二、线性代数的课程特点
高度的抽象性和严密逻辑性,并缺乏直观 的思维模型.
开设时间为大一、大二年级. 线性代数课时短, 内容多. 理论多, 例题少.
线性代数课件(完整版)同济大学
在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
3
第一章
•
行列式
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线
副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2
若令
a11 a12 D a21 a22 b1 D1 b2 a12 a22
例：写出四阶行列式中含有因子a11a23 的项.
a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 . 解：
例：计算行列式
a11 0 D1 0 0
0 a22 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
0 D2 0 0 a41
a11 a21 D4 a32 a41
0 0 a32 0
0 a22 a32 a42
线性代数（第五版）
2013.12.14修改汇总
修改人：xiaobei93521
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形.
线性代数 第五章二次型PPT课件
an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
5-2(线性代数 第五章)【VIP专享】
(x12 4x1x2 2x1x3) 2x22 3x32 8x2x3
(x1 2x2 x3)2 2(x22 2x2x3) 2x32
(x1 2x2 x3)2 2(x2 x3)2 4x32
令
y1
x1
2x2
x3
y2
x2 x3
y3
x3
即
y1 1 2 1 x1
1 1 0 1 0 1 z1
1
1
0
0
1
1
z2
0 0 1 0 0 1 z3
1 1 0 z1
1
1
2
z2
0 0 1 z3
方法总结
（1）如果二次型 f 中含有变量 xi 的平方项，则 先把含有 xi 的项集中，按 xi 配方，然后按 此法对其他变量逐步配方，直至将 f 配成 平方和形式
例2 用正交变换法将二次型
f x1, x2, x3 x12 2x12 2x32 4x1x3
化为标准型，并写出所用的正交变换. 解 二次型矩阵为
1 0 2
A
0
2
0
2 0 2
求A的特征值：
1 0 2
AE 0 2 0 22 6
2 0 2
22 3
则A的特征值为 1 2 2, 3 3
求A属于 1 2 2 的特征向量,求解齐次线性方程组
A 2E x 0
其一个基础解系
0
1
1
,
0
2
2
0
1
显然 a1, a2 正交，再单位化得
0
1
1
,
0
2 5
5
2 0
5 5
求 3 3的单位特征向量，即求解其次方程组
(x1 2x2 x3)2 2(x22 2x2x3) 2x32
(x1 2x2 x3)2 2(x2 x3)2 4x32
令
y1
x1
2x2
x3
y2
x2 x3
y3
x3
即
y1 1 2 1 x1
1 1 0 1 0 1 z1
1
1
0
0
1
1
z2
0 0 1 0 0 1 z3
1 1 0 z1
1
1
2
z2
0 0 1 z3
方法总结
（1）如果二次型 f 中含有变量 xi 的平方项，则 先把含有 xi 的项集中，按 xi 配方，然后按 此法对其他变量逐步配方，直至将 f 配成 平方和形式
例2 用正交变换法将二次型
f x1, x2, x3 x12 2x12 2x32 4x1x3
化为标准型，并写出所用的正交变换. 解 二次型矩阵为
1 0 2
A
0
2
0
2 0 2
求A的特征值：
1 0 2
AE 0 2 0 22 6
2 0 2
22 3
则A的特征值为 1 2 2, 3 3
求A属于 1 2 2 的特征向量,求解齐次线性方程组
A 2E x 0
其一个基础解系
0
1
1
,
0
2
2
0
1
显然 a1, a2 正交，再单位化得
0
1
1
,
0
2 5
5
2 0
5 5
求 3 3的单位特征向量，即求解其次方程组
《线性代数期末复习》吕 代数ch5-2.ppt
1 3 1 (2 )(3 )(1 ) 0
1 0 1
所以3阶方阵A有三个不同的特征值1，2，3.
当λ=1时，解方程组(A-E) x=0，
1 0 0
1 0 0
A E 1 2 1 行变换 0 2 1
1 0 0
0 0 0
所以(A-E)x =0的基础解系,即对应于λ =1的线性无关的特 征向量x1 =(0,1,2)T.
2 简单性质 设A～B, 则
（1） 有相同的行列式； 证 由 P-1AP B, 可得 | B || P-1AP || A|.
（2） 有相同的秩；
证 由 P-1AP B, 可得 r( A) r(B).
（3） 有相同的特征值； 证 由 P-1AP B, 可得
| B E || P -1 AP P -1(E)P | | P -1( A E)P |
即 若 i是A的 ki (i 1, 2, , m, k1 k2 km n) 重特征值，
则 A可相似对角化的充要条件是
i的重数k i
=对应的线性无关特征向量的个数
=线性方程组(A-iE)x=0的基础解系所含解向量的个数 = n-R(A-iE).
注意
1
若 P1AP
2
,
n
(1) 对角线元素 1, 2 , , n 为A的n个特征值;
即AT~BT, A*~B*, A-1~B-1.
例 若2y2
31 1
x
~
3
42，则x ___, y ____.
解 :由相似的条件两, 个矩阵有相同的迹和行列式.
所以, 22 x 1 4， 22
31 1
2 ,
y x 34
即x= -17， y= -12.
线性代数(同济第五版)第一、二章复习提纲PPT课件
列的逆序数决定.
-
7
第四节 对 换
一、 对换的定义 二、 对换与排列奇偶性的关系
-
8
小结：
1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
D 1 ta p 1 1 a p 2 2 a p n n
D 1 ta 1 p 1 a 2 p 2 a n np
2.k 1akA ik j Dij 0,当 ij;
n
D,当 ij,
k1aik A jkDij 0,当 ij;
其中ij 10,,当 当iijj， .
-
13
第七节 克拉默法则
一、克拉默法则 二、相关定理
-
14
克拉默法则:
如果线性方程组 ( n 个未知变量、 n 个方程）
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132
a 31 a 32 a 33
a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 23,1
-
3
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入 二、全排列及其逆序数
-
4
小结：
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
-
21
二、矩阵的定义
由 mn个数 a i j i 1 , 2 , ,m ; j 1 , 2 , ,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
0 1
-
7
第四节 对 换
一、 对换的定义 二、 对换与排列奇偶性的关系
-
8
小结：
1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
D 1 ta p 1 1 a p 2 2 a p n n
D 1 ta 1 p 1 a 2 p 2 a n np
2.k 1akA ik j Dij 0,当 ij;
n
D,当 ij,
k1aik A jkDij 0,当 ij;
其中ij 10,,当 当iijj， .
-
13
第七节 克拉默法则
一、克拉默法则 二、相关定理
-
14
克拉默法则:
如果线性方程组 ( n 个未知变量、 n 个方程）
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132
a 31 a 32 a 33
a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 23,1
-
3
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入 二、全排列及其逆序数
-
4
小结：
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
-
21
二、矩阵的定义
由 mn个数 a i j i 1 , 2 , ,m ; j 1 , 2 , ,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
0 1
线性代数同济大学第五版课件5-2张
~
1 p1 , 1
所以对应于 1 2的全部特征向量为
k1 p1 (k1 0)
上页 下页
当2 4时, 解方程组 A 4 E ) x 0.由 (
3 4 A 4E 1 1 1 3 4 1 1 1
1 A E 4 1
1 3 0
0 0 2 ( 2 ) (1 ) ,
2
所以A的特征值为 1 2, 2 3 1.
当1 2时, 解方程组 A 2 E ) x 0.由 (
上页 下页
1 0 3 1 0 1 2 A 2E 4 32 0 4 1 0 1 0 2 2 1 0 0
~
1 0 0 0 1 0 , 0 0 0
得基础解系
0 p1 0 1
所以对应于 1 2的全部特征向量 .
k1
p (k
1
1
0)
上页
下页
当 2 3 1时, 解方程( A E ) x 0.由
1 0 2 1 0 11 A E 4 31 0 4 2 0 1 0 2 1 1 0 1
一、特征值与特征向量的概念
定 义6
方 非 设 A 是 n 阶 矩 阵, 如 果 数 和 n 维 非 零 阵 零
Ax Ax x x
列 向 量x 使 关 系 式
成 立, 那末, 这样的数 称为方阵 的特征值 (eigenvalue) A
非零向量x 称为 A 的对应于特征值 的 特征向量(eigenvector)
2 2
故 是矩阵A 的特征值, 且 x 是 A 对应于 的特
线性代数第5章课件资料
第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
(2) [x, y] = (-2) 3 1(-6) 0 8 3 4 = 0
若x, y, z为n维实向量, 为实数,内积的性质为：
(i) [ x, y] = [ y, x],
(ii) [ x, y] = [ x, y],
(iii) [ x y, z] = [x, z] [ y, z]. (iiii) [ x, x] 0,当且仅当x = 0时, [ x, x] = 0.
(1)式也可写成 (A- E) x = 0 (2)
a11 - a12
a1n
行列式 f ( ) = A - E = a21 a22 -
a2n
an1
an2
称为方阵 A 的特征多项式.
ann -
方程 f ( ) = A - E = 0是以为未知数的一元
n次方程,称为n 阶矩阵A的特征方程。
显然, A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复 数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算), 因此,n 阶方阵有 n 个特征值.
1
1
正交，试求一个非零向量a3，使a1, a2 , a3两两正交。
解记
A=
α1' a2'
=
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
(2) [x, y] = (-2) 3 1(-6) 0 8 3 4 = 0
若x, y, z为n维实向量, 为实数,内积的性质为：
(i) [ x, y] = [ y, x],
(ii) [ x, y] = [ x, y],
(iii) [ x y, z] = [x, z] [ y, z]. (iiii) [ x, x] 0,当且仅当x = 0时, [ x, x] = 0.
(1)式也可写成 (A- E) x = 0 (2)
a11 - a12
a1n
行列式 f ( ) = A - E = a21 a22 -
a2n
an1
an2
称为方阵 A 的特征多项式.
ann -
方程 f ( ) = A - E = 0是以为未知数的一元
n次方程,称为n 阶矩阵A的特征方程。
显然, A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复 数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算), 因此,n 阶方阵有 n 个特征值.
1
1
正交，试求一个非零向量a3，使a1, a2 , a3两两正交。
解记
A=
α1' a2'
=
线代5-2
A的属于特征值1 3的线性无关的 特征向量为 2 3 x1 (3E A) X 2 3 x 0 2 3 2 2
1 取P 1 2 A P 0
3 2 0 , 则AP P 0 3 2 0 1 2 3 1 P , 其中P 1 1 3
5 - 3 ，求Ak. 例5.2.1 设 A 2 0
5 3 E A 2 5 6 2
( 2)( 3) 特征根为1 2, 2 3. A的属于特征值 1 2的线性无关的 特征向量为 3 3 x1 (2 E A) X 2 2 x 0 2 1 1 1
=P-1A-1(P-1)-1= P-1(A-1)P，即A-1∽B-1. 证毕 下一定理揭示了矩阵的相似与特征值、 特征向量之间的密切关系. 定理5.2.2 相似的矩阵有相同的特 征多项式，从而有相同的特征值. 证 设A∽B，则有可逆阵P使P-1AP=B， 从而
E B E P 1 AP P 1 (E A) P
证 必要性由(5.2.1)式即得.下证充分性. 设A有n个线性无关的特征向量α1，α2，…， αn，分别属于特征值λ1，λ2，…，λn，则有
A i i i
i 1,2, , n
令P=(α1，α2，…，αn)是由α1，α2，…， αn为列向量作成的矩阵，则P是可逆阵.且
AP ( A1 , A 2 , , A n )
k
2 0 1 2k k P P A P 0 3 0 2 k 1 3k 1 k 1 2 2 3k 3 2 3
k
ch5_2
线性代数5-2
1)可对角化矩阵的性质
若A与对角阵相似,即存在可逆矩阵P,
使 P1 AP diag(1,2 ,
x1, x2,
,n )
, xn
成立，则:
P x1, x2,
, xn ,
（1） Ak Pk P1 Pdiag(1k ,2k , ,nk )P 1 （2）P 的第i 列 xi 是A的相应于特征值 i 的特征向量.
1 0
0 1
,
B
0 0
1 0
1 1
E A ( 1)3 E B ( 1)3
矩阵A与B的特征值是：1 2 3 1
但A与B不相似
线性代数5-2
例3 若方阵A与B相似, P是可逆矩阵, 且 P-1AP B.
如果 x是0 B的属于特征值 的0 特征向量,则 Px0 是A的属于特征值 的0 特征向量.
证明 由题意有，Bx0 0 x0
由 P-1AP B,可得 AP = PB
右乘 x0得到 A(Px0 ) PBx0 0Px0 即 Px0 是A的属于特征值0 的特征向量.
线性代数5-2
第五章 矩阵的对角化
5.2 相似矩阵及矩阵的对角化 相似矩阵 相似矩阵的定义 相似矩阵的性质 矩阵的对角化 可对角化矩阵的性质 矩阵可对角化的条件 矩阵对角化的步骤
P 1AP P 1A( x1, x2 , , xn ) P 1( Ax1, Ax2 , , Axn ) P 1(1x1,2 x2 , ,n xn )
P
P 1( x1, x2 , 所以 A 可以对角化.
1
,
xn
)
2
n
线性代数5-2
2) 矩阵可对角化的条件
定理5.7 n阶方阵A可以对角化 A有n个线性无关的
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3 2 7 显然非奇异， 2 显然非奇异， 1
3 1 1 0 1 0 2 1 1 5 7 非奇异， C = C1C2 = 1 1 0 0 1 2 = 1 1 2 , 非奇异， 0 0 1 0 0 1 0 0 1
则标准形为： 则标准形为： f ( z1 , z 2 , z 3 ) = 2 z1 2 z 2 + 20 z 3
2 2
2 3
线性代数 第六章 二次型
8
= ( x1 + x2 + x3 ) + ( x2 + x3 ) x
2 2
2 3
y1 = x1 + x2 + x3 x1 = y1 y2 x2 + x3 x2 = 令 y2 = y2 y3 y = x = x3 y3 3 3
代入上式得 因此有
y1 + y2
线性代数 第六章 二次型
2
例1：来考察下面的二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 4x1 x2 4x1 x3 + 2x2 4x2 x3 x3
2 2 2
= x + 4x1( x2 x3 ) + 2x2 4x2 x3 x3
2 1 2 2
2 2
2 2
= ( x1 + 2( x2 x3 ))2 4( x2 x3 )2 + 2x2 4x2 x3 x3
线性代数 第六章 二次型
7
为对角形矩阵。 例 3用求非奇异矩阵 C ，使得 C T AC 为对角形矩阵。
1 A = 1 1 1 2 2 1 2 1
1 1 1 x1 T 解 A所对应的二次型为 x Ax = ( x1 , x2 , x3 ) 1 2 2 x2 所对应的二次型为 1 2 1 x 3 2 2 2 = x1 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 + 4x2 x3 + x3
= y + 2 y1 y3 + y3 y2 y3 2 2 = ( y1 + y3 )2 y2 y3 + y3 z1 = y1 y1 = z1 3 z 1 0 1 C2 = 0 1 0 , C2 ≠ 0 令 z2 = y2 = 2 y2 z 0 0 1 z = y3 z 3 y3 = 3
1 = 1 1
线性代数 第六章 二次型
12
2 化二次型为标准形的方法之二：初等变换法 化二次型为标准形的方法之二：
n 阶实对称矩阵 A 必合同于对角形矩阵 ,
即必然存在非奇异矩阵 C ，使得 C T AC = Λ ， Λ 为对角形矩阵， 为对角形矩阵，
设C = P1 P2 L Ps，Pi为初等矩阵 ( i = 1,2,L , s ), 则有
2 1 1 2 2
的秩， 的秩。 显然 r = r ( A )为 A 的秩，称为二次型 x T Ax 的秩。
定理5.2.1 定理5.2.1 任意一个实二次型， 任意一个实二次型，都可以经过非退化的线性替换 化为标准形. 化为标准形.
线性代数 第六章 二次型
1
由于二次型与对称矩阵一一对应，显然可得定理5.2.2 由于二次型与对称矩阵一一对应，显然可得定理5.2.2 定理5.2.2 定理5.2.2 对任意一个对称矩阵
线性代数 第六章 二次型
14
为标准形， 化线性替换。 例1用初等变换法化二次型 为标准形，并求出非退 化线性替换。
f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 4 x1 x2 4 x1 x3 + 2 x2 4 x2 x3 x3
2 2
2
1 2 2 解：A = 2 2 2 2 2 1 2 2 1 0 0 1 2 2 2 [1]列×（-2）+[2]列 2 2 2 [1]列 +[2]列 2 2 5 A 2 2 1 [1]列×2+[3]列 [1]列 2+[3]列 = I 1 0 0 1 2 2 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1
2 2
2
线性代数 第六章 二次型
6
f ( x ) = x Ax
T
x = Cy, C ≠ 0 f ( y ) = y T By
A
2 2 2
B = C AC
T
f ( y) = d1 y1 + d2 y2 +L+ dr yr i ≠ 0,i = 1,2,L, r, r ≤ n) (d
d1 d2 O B= dr 0 O 0
线性代数 第六章 二次型
3
x1 = y1 2y2 y2 + y3 x2 = x = y3 3
X = CY
1 2 0 线性变换矩阵 C = 0 1 1 ，显然 C非奇异 0 0 1
则标准形为： 则标准形为：f ( y1 , y2 , y3 ) = y1 2 y2 3 y3
13
线性代数 第六章 二次型
A I
对整个矩阵作列变换 只对A 只对A作相应行变换
Λ C
注 对A作相应行变换是指类型相同，只是把列变为行. 作相应行变换是指类型相同，只是把列变为行. [1]列 +[2]列 行 [1]行 +[2]行 例 列：[1]列×（-2）+[2]列—行： [1]行×（-2）+[2]行
§5.2 二次型的标准形
一 二次型的标准形 定义5.2.1 定义5.2.1 若二次型 x T Ax ( AT = A)经过非退化线性替换 , 化为一个只含平方
项的二次型， 项的二次型， 则称这样的二次型为二 次型 x T Ax 的标准形， 的标准形，
其一般形式为： 其一般形式为： d y + d2 y2 + L+ dr yr i ≠ 0,i = 1,2,L, r, r ≤ n) (d
0 2 0 2 1 0
0 0 3 0 1 1
线性代数 第六章 二次型
16
x1 = y1 2 y2 y2 + y3 x2 = x = y3 3
代入原二次型可得标准形
y1 2 y2 3 y3
2 2
2
线性代数 第六章 二次型
17
为对角形矩阵。 例 2 用求非奇异矩阵 C ，使得 C T AC 为对角形矩阵。
= x1 + 2x1( x2 + x3 ) + 2x2 + 4x2 x3 + x3 2 2 2 2 = ( x1 + x2 + x3 ) ( x2 + x3 ) + 2x2 + 4x2 x3 + x3
2 2 2
= ( x1 + x2 + x3 ) + x2 + 2x2 x3
2 2
= ( x1 + x2 + x3 ) + ( x2 + x3 ) x
线性代数 第六章 二次型
15
0 1 1 0 0 1 0 0 2 0 0 0 2 2 0 2 5 [2]列+[3]列 0 2 3 0 [2]列+[3]列 → → 1 2 0 1 1 2 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 2 0 1 T C AC= 2 因此 C = 0 1 1 0 0 1 3
0 1 1 2 1 2 1 A= 2 0 2 1 1 0 2 2
0 解 1 2 A 1 =2 I 1 0 0
1 2
0
1 2
0 1 0
0 [2]列+[1]列 [2]列+[1]列 0 0 1
1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 1 0
1 2
0
1 2
0 1 0
2
2
1 0 0 1 T C AC = 1 1 0 1 0 1 1 1
1 1 0 y3 C =0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 2 2 0 1 1 = 1 2 1 0 0 1 1
2
线性代数 第六章 二次型
9
为对角形矩阵。 例 4用求非奇异矩阵 C ，使得 C T AC 为对角形矩阵。
2 2
= 2( y 1 +
3 2
y 3 ) 2( y 2 y 3 ) + 20 y 3
2 7 2 2
2
线性代数 第六章 二次型
5
z1 再令 z 2 z 3
1 0 C2 = 0 1 0 0
= y1 + = y2 = y3
3 2 7 2y3源自y1 = z1 3 z 3 2 y 3 y2 = z 2 + 7 z 3 2 y = z 3 3
线性代数 第六章 二次型
11
代入上式得
z1 z2 z3
2 2
2
比较
1 1 0 1 0 1 1 1 1 = 1 1 1 C = C1C2 = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 1 0 0 2 2 1 1 1 1 1 所以C T AC = 1 1 0 2 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 2 2
= ( x1 + 2( x 2 x 3 )) 2 x 2 + 4 x 2 x 3 5 x 3
2
= ( x1 + 2( x2 x3 )) 2( x 2x2 x3 + x3 ) 3x3
2 2 2 2
2
= ( x1 + 2 x2 2 x3 ) 2( x2 x3 ) 3 x3
2 2
2
x1 = y1 2 y2 y1 = x1 + 2 x2 2 x3 y2 + y3 x2 x3 x2 = 令 y2 = y = x = x3 y3 3 3
2 2
2
线性代数 第六章 二次型