2015年数学中考总复习第二轮动点与折叠专题应用(含答案)

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中考数学第二轮复习专题(14个)

中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

【范例讲析】：例1：填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为。

2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是。

3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为。

例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为。

例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值（） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。

4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。

中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)

专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。

3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。

（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。

（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。

这对解决问题有很大帮助。

（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。

（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。

一般试题考查点圆最值问题。

（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。

例题解析与对点练习【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。

九年级数学中考二轮专项复习：二次函数与几何综合(含答案)

中考数学二轮专项复习：二次函数与几何综合（含答案）1.如图,已知直线y 1=21x +b 和抛物线y 2=-45x 2+ax +b 都经过点B （0,1）和点C ,过点C 作CM ⊥x轴于点M ,且CM =25.第1题图（1）求出抛物线的解析式;（2）动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长度的速度,沿OM 向点M运动,过点P 作PE ⊥x 轴分别交抛物线和直线于点E ,F .当点P 运动多少秒时,四边形EFMC 为菱形?（3）在（2）的条件下,在直线AC 上是否存在一点Q ,使得以点E 、F 、Q 为顶点的三角形与△AMC 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.解：（1）把B (0,1)代入y 1=21x +b ,得b =1,∴y 1=21x +1,把y =25代入y 1=21x +1得x =3, ∴C （3,25）,把B (0,1),C （3,25）代入y 2=-45x 2+ax +b 得,⎪⎩⎪⎨⎧=++-=2534451b a b ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==4171a b , ∴y 2=-45x 2+417x +1.（2）∵四边形EFMC 为菱形, 则EF =FM =CM =25, 设P (t ,0),则EP =-45t 2+417t +1,FP =21t +1,MP =3-t ,则EF =EP -FP =-45t 2+417t +1-21t -1=-45t 2+415t , FM =10545222+-=+t t PM PF ,∴-45t 2+415t=25①,105452+-t t =25②, 解①得t =1或t =2,解②得t =1或t =3,要使①,②同时成立,则t =1, 当点P 运动1秒时,四边形EFMC 为菱形; （3）存在,点Q 的坐标为（2,2）或（6,4）. 【解法提示】由（2）可知t =1,∴点F 的横坐标为1, 将x =1代入y 1=21x +1中,得y 1=23, 将x =1代入y 2=-45x 2+417x +1中,得y 2=4. ∴点E （1,4）,F （1,23）, 将y =0代入y 1=21x +1中,得x =-2,∴点A 的坐标为（-2,0）, ①如解图,过点E 作EQ 1⊥CF ,∵四边形EFMC 为菱形,∴∠ECF =∠ACM ,FE =EC ,∴∠EFC =∠ECF =∠ACM ,又∵∠EQ 1F =∠AMC =90°,∴△EQ 1F ∽△AMC ,∵EF =EC ,EQ 1⊥CF ,∴Q 1为CF 的中点,∵F （1,23）,C （3,25）, ∴点Q 1的坐标为（2,2）;第1题解图②如解图,过点E 作EQ 2//x 轴,交直线BC 于点Q 2,∵EQ 2//x 轴,∴∠EQ 2F =∠CAM ,∠Q 2EF =∠FP A =90°,∴∠Q 2EF =∠AMC =90°,∴△EQ 2F ∽△MAC ,又∵E （1,4）,∴设Q 2（x ,4）, 将y =4代入y 1=21x +1,得x =6, ∴点Q 2的坐标为（6,4）;综上所述,点Q 的坐标为（2,2）或（6,4）.2.如图，一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，二次函数y ＝21x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝21x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1，0)．第2题图（1）求二次函数的解析式；（2）若抛物线上存在点P ，使S △BDC ＝S △PBC ，求出P 点坐标(不与已知点重合)；（3）在x 轴上存在点N ，平面内存在点M ，使得B 、N 、C 、M 为顶点构成矩形，请直接写出M 点坐标．解：（1）将x ＝0代入y ＝21x ＋1中，得：y ＝1， ∴B (0，1)，将B (0，1)，D (1，0)的坐标代入y ＝21x 2＋bx ＋c 得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=0211c b c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=123c b ， ∴二次函数的解析式为y ＝21x 2－23x ＋1；（2）如解图①，过点D 作DF ∥y 轴交AC 于点F ，过点P 作PG ∥y 轴交AC 于点G ，第2题解图①将x ＝1代入直线BC 的解析式得：y ＝23，即F (1，23)，设点P (x ，21x 2－23x ＋1)，则G (x ，21x ＋1)， ∴GP ＝⎪⎭⎫⎝⎛+--+123211212x x x ＝x x 2212+-.∵△PBC 的面积＝△DBC 的面积， ∴DF ＝GP ，即x x 2212+-＝23，当x x 2212+-＝-23时，解得x ＝2＋7或x ＝2－7，∴点P 的坐标为(2＋7，277+)或(2－7，277-)，当x x 2212+-＝23时，解得x ＝3或x ＝1(舍去)，∴点P 的坐标为(3，1)，综上所述，点P 的坐标为(3，1)或(2＋7，277+)或(2－7，277-)；（3）点M 的坐标为(3，4)，(1，4)，(23，－2)或(29，2)．【解法提示】如解图②所示：当∠CBN ＝90°时，则BN 的解析式为y ＝－2x ＋1，将直线BC 的解析式与抛物线的解析式联立得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=123211212x x y x y ，解得⎩⎨⎧==10y x ，或⎩⎨⎧==34y x ，∴点C 的坐标为(4，3)，将y ＝0代入直线BN 的解析式得：－2x ＋1＝0，解得x ＝21，∴点N 的坐标为(21，0)，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNMC 为矩形，∴202421x +=+，21230y +=+，解得x ＝29，y ＝2，∴点M 的坐标为(29，2)；第2题解图②如解图③所示：当∠CNM ＝90°时，第2题解图③设CN 的解析式为y ＝－2x ＋n ，将点C 的坐标代入得：－8＋n ＝3，解得n ＝11，∴CN 的解析式为y ＝－2x ＋11，将y ＝0代入得－2x ＋11＝0，解得x ＝211， ∴点N 的坐标为(211，0)，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BMNC 为矩形， ∴2422110x +=+，23201y +=+，解得x ＝23，y ＝－2，∴点M 的坐标为(23，－2)；如解图④所示：当∠BNC ＝90°时，过点C 作CF ⊥x 轴，垂足为F ，第2题解图④设ON ＝a ，则NF ＝4－a ，∵∠BNO ＋∠OBN ＝90°，∠BNO ＋∠CNF ＝90°，∴∠OBN ＝∠CNF ，又∵∠BON ＝∠CFN ， ∴△BON ∽△NFC ， ∴NF OB CF ON =，即3a ＝a-41，解得：a ＝1或a ＝3，当a ＝1时，点N 的坐标为(1，0)，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNCM 为矩形， ∴21240x +=+，20231y+=+，解得x ＝3，y ＝4， ∴点M 的坐标为(3，4)；当a ＝3时，点N 的坐标为(3，0 )，设点M 的坐标为(x ，y )， ∵四边形BNCM 为矩形， ∴23240x +=+，20231y+=+，解得x ＝1，y ＝4， ∴点M 的坐标为(1，4)，综上所述，点M 的坐标为(3，4)，(1，4)，(23，－2)或(29，2)．3. 如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线y =ax 2-bx +5与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交点为C ,直线y =-x -2经过点A ,交抛物线于点D ,交y 轴于点E ,连接CD ,并且∠ADC =45°.第3题图（1）求抛物线的解析式;（2）过点A 的直线AF 与抛物线的另一个交点为F ,sin ∠BAF =55,求点F 的坐标; （3）在（2）的条件下,点P 是直线AF 下方抛物线上一点,过点P 作PQ ⊥AF ,垂足为Q ,若PE =EQ ,求点P 的坐标.解：（1）当x =0时,y =ax 2+bx-5=-5,则C （0,-5）, 当y =0时,-x -2=0,则A （-2,0）, 当x =0时,y =-x -2=0,则E （0,-2）, ∴OA =OE ,∴△OAE 为等腰直角三角形,∴∠OAE =45°, ∵∠ADC =45°, ∴CD //x 轴,∴△CDE 为等腰直角三角形, ∴CD =CE =3,∴D （3,-5）,把A （-2,0）,D （3,-5）代入y =ax 2+bx -5,得⎩⎨⎧-=-+=--55390524b a b a ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2321b a ,∴抛物线的解析式为y =21x 2-23x -5；（2）设直线AF 交y 轴于G ,如解图①, 在Rt △AOG 中,sin ∠OAG =5155==AG OG ,第3题解图①G设OG=t,AG=5t,∴OA=22)5(tt-=2t,∴2t=2,解得t=1,∴G（0,1）,易得直线AG的解析式为y=21x+1,联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=523211212xxyxy,解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=462yxyx或,∴点F的坐标为（6,4）;（3）作EM⊥PQ于M,如解图②,∵PQ⊥AF,∴设PQ的解析式为y=-2x+m,第3题解图②∵EM//AF,∴EM的解析式为y=21x-2,联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=mxyxy2121,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=54515252mymx,则Q （54515252+-m m ，）,设点P 的坐标为（a ,b ）,∵EQ =EP ,∴QM =PM ,∴M 点的坐标为[21(a +52m -52),21(b +5451+m )], 把M [21(a +52m -52),21(b +5451+m )]代入y =21x -2 得41(a +52m -52)-2=21(b +5451+m ), ∴b =21a -5,即P （a ,21a -5）,把P （a ,21a -5）代入y =21x 2-23x -5得21a 2-23a -5=21a -5,解得a 1=0,a 2=4, ∴P 点坐标为（0,-5）或（4,-3）.类型二等腰三角形的存在性问题4. 如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，抛物线的对称轴交x 轴于点D .第4题图（1）求抛物线的解析式；（2）求sin ∠ABC 的值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）将点A (－1，0)，C (0，2)代入抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 中，得 ⎩⎨⎧－12－b ＋c ＝0c ＝2，解得⎩⎨⎧b ＝32c ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；（2）令y ＝－12x 2＋32x ＋2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，0)，在Rt △BOC 中，BC ＝22OB OC +＝2242+＝52， ∴sin ∠ABC ＝BC OC＝522＝55；（3）存在，点P 坐标为(23，25)或(23，－25)或(23，4)．【解法提示】由抛物线y ＝－21x 2＋23x ＋2得对称轴为直线x ＝23， ∴点D 的坐标为(23，0)． ∴CD ＝22OD OC +＝22232⎪⎭⎫⎝⎛+＝25.∵点P 在对称轴x ＝23上，且△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形， ∴当点D 为顶点时，有DP ＝CD ＝25，此时点P 的坐标为(23，25)或(23，－25)；当点C 为顶点时，如解图，连接CP ，则CP ＝CD ，过点C 作CG ⊥DP 于点G ，则DG ＝PG ， ∵DG ＝2， ∴PG ＝2，PD ＝4， ∴点P 的坐标为(32，4)．第4题解图综上所述，存在点P 使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，点P 的坐标为(32，25)或(32，－25)或(32，4)．5.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线()02≠++=a c bx ax y 与直线3333+=x y 交于A 和E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛3354，两点，与x 轴交于点B （3,0），与y 轴交于点C （0，3-），对称轴与x 轴交于点D ，顶点为点H .（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一动点，且位于直线AE 下方，过点P 作PM ∥y 轴交直线AE 于点M ，求线段PM 的最大值；（3）如图②，连接CD ，将（1）中抛物线沿射线CD 平移得到新抛物线y ’，y ’经过点D ，y ’的顶点为点F ，在直线HF 上，是否存在点Q ，使△DHQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.图① 图②第5题图解：：（1）将点B （3,0）、C （0，3-）、E （4，335）的坐标代入c bx ax y ++=2中，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-==++3354163039c b a c c b a ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-==333233c b a ， ∴抛物线的解析式为3332332--=x x y ；（2）令y =0，即03332332=--x x ，解得x 1=-1,x 2=3, ∴点A （-1,0），设直线AE 的解析式为t kx y +=，将点A 、E 的坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-33540t k t k ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3333t k ， ∴直线AE 的解析式为3333+=x y ，设点P 的坐标为（m ，3332332--m m ），则点M 的坐标为（m ，3333+m ），且-1＜m ＜4. ∴PM =（3333+m ）-（3332332--m m ） =3343332++-m m =1232523332+⎪⎭⎫ ⎝⎛--m ， ∵33-＜0，1＜m ＜4. ∴当m =23时，PM 有最大值，其最大值为12325；（1）存在，由（1）易得H （1，334-），D （1,0）， ∵将（1）中抛物线沿射线CD 平移得到新抛物线y'，y'经过点D ，y'的顶点为点F ， ∴F （2，33-），易得直线HF 的解析式为3373-=x y ，设点Q 的坐标为（n ，3373-n ）， ∴DQ 2=()35216433731222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-n n n n ， HQ 2=()48433433731222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-n n n n ， DH 2=3163342=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，当DQ =HQ 时，DQ 2=HQ 2，则3521642+-n n =4842+-n n ，解得35=n ，∴点Q （33235-，）；当DQ =DH 时，DQ 2=DH 2，则3521642+-n n =316，解得n =3或1， ∵点H 与点Q 不重合， ∴n =1（舍去），∴Q （3323，）；当HQ =DH 时，HQ 2=DH 2，则4842+-n n =316，解得n =3321+或3321-， ∴Q （3321+，3342-）或Q （3321-，3342--）；综上所述，存在点Q ，使得△DHQ 为等腰三角形，点Q 的坐标为（33235-，）或（3323，）或（3321+，3342-）或（3321-，3342--）. 类型三直角三角形的存在性问题6. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A (1，0)，C (0，3)两点，与x 轴的另一个交点为B .第6题图(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．解：（1）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++-=-3012c c b a a b，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a ，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线经过A (1，0)， ∴B (－3，0)．设直线BC 的解析式y ＝mx ＋n ，把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n 得⎩⎨⎧==+-303n n m ，解得⎩⎨⎧==31n m ， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3；（2）如解图，连接MA ，第6题解图∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2. ∴M (－1，2);（3）设P (－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18， PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2， PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2； ②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4； ③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即：4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．7. 如图,抛物线y ＝－43x 2＋bx ＋c 经过A (3,0),C (－1,0)两点,与y 轴交于B 点．第7题图备用图（1）求抛物线的解析式;（2） D 为第一象限抛物线上的一点,连接CD 交AB 于点E ,当CE ＝2ED 时,求点D 的坐标; （3）点P 以每秒3个单位长度的速度从点O 出发,沿O →B →A 匀速运动,同时点Q 以每秒1个单位长度的速度从点C 出发,沿C →A 匀速运动,运动时间为t 秒,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,是否存在t ,使以A 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形,若存在,直接写出t 的值;若不存在,说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝c bx x ++-234经过A (3,0)、C (-1,0)两点,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++⨯-034033342c b c b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==438c b ,∴抛物线的解析式为y ＝438342++-x x ; （2）如解图,作DF ∥AC 交AB 于点F ,第7题解图∴∠EAC ＝∠EFD ,∠ECA ＝∠EDF , ∴△ACE ∽△FDE , ∴FD AC ＝DE CE ＝DE 2DE ＝12, ∵AC ＝4,∴FD ＝2,设D (x ,y ),则F (x -2,y ), 令x ＝0,得y ＝4, ∴B (0,4),过点F 作FM ⊥x 轴于点M , ∴△AMF ∽△AOB , ∴AM OA ＝FM OB , ∴3－（x －2）3＝y 4＝－43x 2＋83x ＋44,解得x 1＝1,x 2＝2, ∴y 1＝163,y 2＝4, ∴D 1(1,163),D 2(2,4);（3）存在．t 1＝－1＋136,t 2＝1,t 3＝74,t 4＝114. 【解法提示】∵当P 在OB 上时,OP ＝3t ,CQ ＝t , ∴AQ ＝4-t ,要使△APQ 是直角三角形,则需①∠AQP ＝90°,此时点Q 与点O 重合,CQ ＝1,则t ＝1; ②∠APQ ＝90°,此时△PQO ∽△APO , ∴OQ OP ＝OPOA ,即(3t )2＝(1-t )·3,解得t 1＝13－16,t 2＝－13－16(负根舍去)．当点P 在AB 上,在Rt △AOB 中,OA ＝3,OB ＝4,易得AB ＝5, 则此时AP ＝9-3t ,AQ ＝4-t , ③当∠PQA ＝90°时,则PQ ⊥AO ,∴cos ∠P AQ ＝QA AP ＝OA AB ,即4－t 9－3t ＝35,解得t ＝74;④当∠QP A＝90°时,则△APQ∽△AOB,∴APAO＝AQAB,即9－3t3＝4－t5,解得t＝114.综上所述,t的值为1或13－16或74或114.8.如图，抛物线cbxaxy++=2与x轴交于点A（-3,0），B（1,0），与y轴交于点C（0,3），顶点为D.（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如图①，在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图②，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②第8题图解：（1）∵A，B，C三点在抛物线上，∴,321339⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=cbaccbacba，解得∴抛物线的表达式y＝－x2－2x＋3，∵y＝－x2－2x＋3=()412++-x，∴点D的坐标为（-1,4）；（2）如解图①，作点C关于x轴的对称点M，则M(0，－3)，连接DM，DM与x轴的交点为E，连接CE，此时△CDE的周长最小，第8题解图①设直线DM 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将D (－1，4)，M (0，－3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧-==+-34b b k ，解得⎩⎨⎧-=-=37b k ， ∴直线DM 的解析式为y ＝－7x －3，令y ＝0，则y ＝－7x －3＝0，解得x ＝－37，∴点E 的坐标为(－37，0)．（3）存在．由（1）知，OA ＝OC ＝3，∠AOC ＝90°， ∴∠CAB ＝45°，如解图②，第8题解图②①当∠AFP ＝90°时，即∠AF 1P 1＝90°，∴点P 1既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 1与点B 重合，点P 1的坐标为(1，0)； ②当∠F AP ＝90°时，即∠F 2AP 2＝90°，则∠P 2AO ＝45°，设AP 2与y 轴的交点为点N ，∴OA ＝ON ＝3，则N (0，－3)， ∴直线AP 2的解析式为y ＝－x －3，联立抛物线与直线AP 2的解析式，得方程组⎩⎨⎧+--=--=3232x x y x y ，解得⎩⎨⎧=-=03y x 或⎩⎨⎧-==52y x ，∵A (－3，0)， ∴P 2(2，－5)；③当∠APF ＝90°时，即∠AP 3F 3＝90°，点P 3既在x 轴上，又在抛物线上，则点P 3与点B 重合，点P 3的坐标为(1，0)．综上所述，抛物线上存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形，其坐标为P (1，0)或(2，－5)．类型四特殊四边形的存在性问题9. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，4)，与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x ＝1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E . (1)求抛物线的解析式；(2)若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE 的一条直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．第9题图解：（1）∵点A (－2，0)与点B 关于直线x ＝1对称，∴B (4，0)，将点A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-40416024c c b a c b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=4121c b a ，∴抛物线的解析式为y ＝21-x 2＋x ＋4；（2）不存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17，理由如下：∵B (4，0)，C (0，4)， ∴BC 的解析式为y ＝－x ＋4，如解图，过点F 作x 轴垂线，交BC 于G ，设F 点的坐标为(m ，21-m 2＋m ＋4)，则G (m ，-m ＋4)，∴FG ＝(21-m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝21-m 2＋2m ，∴S 四边形ABFC ＝S △ABC ＋S △BCF ＝21AB ·y C ＋21FG ·(x B －x C )＝21×6×4＋12×4(21-m 2＋2m )＝17，整理得m 2－4m ＋5＝0， ∵b 2－4ac ＝16－4×1×5＝－4<0. ∴方程无解， ∴F 点不存在；第9题解图（3）当x ＝1时，21-x 2＋x ＋4＝29，即D (1，29)．当x ＝1时，－x ＋4＝3，即E (1，3)， ∴DE ＝92－3＝32.设Q 点坐标为(m ，－12m 2＋m ＋4)，则P (m ，－m ＋4)． ∴|PQ |＝|(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)|＝|－12m 2＋2m |. 由PQ ∥DE ，PQ ＝DE 得|－12m 2＋2m |＝32，∴－12m 2＋2m ＝32或－12m 2＋2m ＝－32，解得m 1＝1(PQ 与DE 重合，舍去)，m 2＝3或m 3＝2＋7，m 4＝2－7.∴P 点坐标为(3，1)或(2＋7，2－7)或(2－7，2＋7)．10．如图，经过点A （3,3）的抛物线bx ax y +=2与x 轴交于点B （4,0）和原点O ，P 为二次函数上一动点，过P 作x 轴垂线，垂足为D (x'，0)(x'>0)，并与直线OA 交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）当点P 在线段OA 上方时，过P 作x 轴的平行线与线段OA 相交于点E ，求△PCE 周长的最大值及此时P 点的坐标；（3）当PC ＝CO 时，求P 点坐标．第10题图解：（1）∵A （3,3），B （4,0）两点在抛物线bx ax y +=2上，∴,4160393⎩⎨⎧+=+=b a b a 解得,41⎩⎨⎧=-=b a ∴抛物线的表达式为x x y 42+-=；（2）如解图①，设点P 的坐标为(x ，－x 2＋4x )，第10题解图①∵点A 坐标为(3，3)；∴∠AOB ＝45°，∴OD ＝CD ＝x ，∴PC ＝PD －CD ＝－x 2＋4x －x ＝－x 2＋3x ，∵PE ∥x 轴，∴△PCE是等腰直角三角形，∴当PC取最大值时，△PCE周长最大．∵PE与线段OA相交，∴0≤x≤1，由PC＝－x2＋3x＝－(x－32)2＋94可知，抛物线的对称轴为直线x＝32，且在对称轴左侧PC随x的增大而增大，∴当x＝1时，PC最大，PC的最大值为－1＋3＝2，∴PE＝2，CE＝2，∴△PCE的周长为CP＋PE＋CE＝4＋2，∴△PCE周长的最大值为4＋2，把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，∴点P的坐标为(1，3)；（3）设点P坐标为(x，－x2＋4x)，则点C坐标为(x，x)，如解图②，D2第10题解图②①当点P在点C上方时，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC12x，∵P1C1＝OC1，∴－x2＋3x2x，解得x1＝32x2＝0(舍去)．把x＝32代入y＝－x2＋4x得，y＝－(32)2＋4(32)＝1＋2，∴P1(32，1＋2)，②当点P在点C下方时，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC22x，∵P2C2＝OC2，∴x2－3x2x，解得x1＝32x2＝0(舍去)，把x ＝3＋2代入y ＝－x 2＋4x 得y ＝－(3＋2)2＋4(3＋2)＝1－22，∴P 2(3＋2，1－22)．综上所述，P 点坐标为(3－2，1＋22)或(3＋2，1－22)．11.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A (－1，0)、C (0，5)、D (1，8)在抛物线上，M 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB 的面积；（3）在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积等于△MCB 的面积？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第11题图解：（1）∵A (－1，0)，C (0，5)，D (1，8)三点在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，∴⎪⎩⎪⎨⎧++==+-=c b a c c b a 850，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=541c b a ， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；（2）如解图，过点M 作MN ∥y 轴交BC 于点N ， ∴S △MCB ＝S △MCN ＋S △MNB ＝12MN ·OB .∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－5)(x＋1)＝－(x－2)2＋9，∴M(2，9)，B(5，0)，由B，C两点的坐标易求得直线BC的解析式为：y＝－x＋5，当x＝2时，y＝－2＋5＝3，则N(2，3)，则MN＝9－3＝6，则S△MCB＝12×6×5＝15；第11题解图（3）在抛物线上存在点P，使△P AB的面积等于△MCB的面积．∵A(－1，0)，B(5，0)，∴AB＝6，∵S△P AB＝S△MCB，∴12×6×|y P|＝15，∴|y P|＝5，即y P＝±5.当y P＝5时，－x2＋4x＋5＝5，解得x1＝0，x2＝4；当y P＝－5时，－x2＋4x＋5＝－5，解得x3＝2＋14，x4＝2－14.故在抛物线上存在点P1(0，5)，P2(4，5)，P3(2＋14，－5)，P4(2－14，－5)，使△P AB的面积等于△MCB的面积．精品Word 可修改欢迎下载。

初中数学中考二轮复习重难突破专题04 折叠问题(含答案)

专题04 折叠问题重点分析在中考，这是必考内容，主要考查形式包括：单纯判断对称图形的识别；利用对称图形的性质求点坐标；利用折叠的对称性性质的相关计算与证明。

难点解读考点：轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴对应线段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′性质对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．真题演练1.如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为，则的长为____，的长为____．【答案】①. ②.【解析】由折叠得，，，设DF=x，则AF=8-x，，由勾股定理得DF=，，过作，过D作DM⊥于M，根据面积法可得，，再由勾股定理求出，根据线段的和差求出，最后由勾股定理求出；【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，由折叠得，，设DF=x，则AF=8-x，又Rt中，，即解得，，即DF=∴过作，过D作DM⊥于M，∵∴，解得，∵∴，解得，∴∴∴；故答案为：6；．【点拨】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．2.如图，在中．，点是边上一动点．连接，将沿折叠，点落在处，当点在内部（不含边界）时，长度的取值范围是___________．【答案】【解析】分别求出当落在AC和BC上时的长度即可.【详解】∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，∴，当点落在AC上时，如图，∵将△ABD沿BD折叠，点A落在处，∴∠ADB==90°，∵，∴，当点落在BC上时，如图，过点D作DH⊥AB于H，∵将△ABD沿BD折叠，点A落在处，∴∠ABD=∠DBC=45°，∵DH⊥AB，∴∠HDB=∠HBD=45°，∴BH=DH，∵，∴HD=2AH=BH，∵AB=AH+BH=2AH+AH=2，∴，，∴，∴当点在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围为．【点拨】本题考查折叠问题，解题的关键是考虑两种极端情况．还可以利用相似来解题．3.如图，长方形ABCD中，AD=BC=8，AB=CD=17，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为______．【答案】或【解析】分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可．【详解】如图1，∵折叠，∴△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E=∠D=90°，∵∠AD′B=90°，∴B.D′、E三点共线，又∵ABD′∽△BEC，AD′=BC，∴ABD′≌△BEC，∴BE=AB=17，∵BD′==15，∴DE=D′E=17﹣15=2；如图2，∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，∴∠CBE=∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∠D″=∠BCE，AD″=BC，∠CBE=∠BAD″，∴△ABD″≌△BEC，∴BE=AB=17，∴DE=D″E=17+15=32．综上所知，DE=2或32．故答案为2或32．【点拨】本题考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．4.在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2 cm，M为AB的中点，N为BC上一动点（不与点B重合），将△BMN 沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为_____．【答案】或2【解析】分两种情况：①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，AD ∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出DG=，CG=，BG=BC+CG=3，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，证出D.E.N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②如图2，当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）．【详解】解：分两种情况，①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，∴DE=AD=2，∵DG⊥BC，∴∠CDG=90°-60°=30°，∴CG=CD=1，∴DG=CG=，BG=BC+CG=3，∵M为AB的中点，∴AM=BM=1，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，在△ADM和△EDM中，AD＝ED，AM＝EM，DM＝DM，∴△ADM≌△EDM（SSS），∴∠A=∠DEM=120°，∴∠MEN+∠DEM=180°，∴D.E.N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得：（3-x）²+（）² =（x+2）²，解得：x=，即BN=；②当CE=CD时，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示：CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（符合题干要求）；综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为或2；故答案为或2．【点拨】本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．5.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P是AB上（不含端点A，B）任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B′的对应点落在矩形ABCD的对角线上时，BP=__________________________．【答案】或．【解析】分两种情况探讨：①点B落在矩形对角线BD上，②点B落在矩形对角线AC上，由三角形相似得出比例式，即可得出结果．【详解】①点A落在矩形对角线BD上，如图1所示．∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3∴∠ABC=90°，AC=BD，∴AC=BD==5．根据折叠的性质得：PC⊥BB′，∴∠PBD=∠BCP，∴△BCP∽△ABD，∴，即，解得：BP=．②点A落在矩形对角线AC上，如图2所示．根据折叠的性质得：BP=B′P，∠B=∠PB′C=90°，∴∠AB′A=90°，∴△APB′∽△ACB，∴，即，解得：BP=．故答案为或．【点拨】本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，由三角形相似得出比例式是解决问题的关键．6.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为_____．【答案】或10【解析】【详解】试题分析：根据题意，可分为E点在DC上和E在DC的延长线上，两种情况求解即可：如图①，当点E在DC上时，点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上，易求FP=3，所以FQ=2，设FE=x，则FE=x，QE=4-x，在Rt△EQF中，（4-x）2+22=x2，所以x=．（2）如图②，当，所以FQ=点E在DG的延长线上时，点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上，易求FP=3，所以FQ=8，设DE=x，则FE=x，QE=x-4，在Rt△EQF中，（x-4）2+82=x2，所以x=10，综上所述，DE=或10.7.如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是________．【答案】或【解析】存在两种情况：当=DC时，连接ED，根据勾股定理可得ED的长，可判断E，A´，D三点共线，根据勾股定理即可得出结论；当=时，证明AEA´F是正方形，于是得出结论．【详解】解：①当=DC时，如图1，连接ED，∵点是的中点，，，四边形是矩形，∴AD=BC=，∠A=90°，∴DE=，∵将沿所在直线翻折，得到，∴A´E=AE=2，A´D=DC=AB=4，∴DE=A´E+A´D=6，∴点E，A´，D三点共线，∵∠A=90°，∴∠FA´E=∠FA´D=90°，设AF=x，则A´F=x，FD=-x，在Rt△FA´D中，，解得x=，∴FD=3；②当=时，如图2，∵=，∴点A´在线段CD的垂直平分线上，∴点A´在线段AB的垂直平分线上，∵点是的中点，∴EA´是AB的垂直平分线，∴∠AEA´=90°，∵将沿所在直线翻折，得到，∴∠A=∠EA´F=90°，AF=FA´，∴四边形AEA´F是正方形，∴AF=AE=2，∴DF=．故答案为或．【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理．分类讨论思想的运用是解题的关键．8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE 所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形，则AE的长为____或___【答案】3或【解析】△AB′F为直角三角形，应分两种情况进行讨论.当∠AFB′为直角时，利用勾股定理求出B′E，也就是BE的长，便求出AE．当∠AB′F为直角时，过A作AN⊥EB′，交EB′的延长线于N，构造Rt△B′EF，利用勾股定理便可求出AE.【详解】解：①当B′D⊥AE时，△AB′F为直角三角形，如下图：根据题意，BE=B′E,BD= B′D=BC=. ∠B=∠EB′F∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2∴AB===4∴∠B=∠EB′F =30°.∵在Rt△BDF中，∠B=30°∴DF=BD=∴B′F=B′D-DF=-=∵在Rt△B′EF中，∠EB′F =30°∴EF=B′E,∵B′F===EF,即=EF,∴EF=，则BE=1，∴AE=AB-BE=4-1=3.②当D B′⊥A B′时，△AB′F为直角三角形，如下图：连接AD，过A作AN⊥EB′，交EB′的延长线于N.根据题意，BE=B′E,BD=CD=B′D=BC=. ∠B=∠EB′F ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2∴AB===4∴∠B=∠EB′F =30°.∵∠AB′F=90°∴∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=120°∴Rt△AB′N中，∠AB′N=60°，∠B′AN=30°在Rt△AB′D和Rt△ACD中∴Rt△AB′D≌Rt△ACD（H L）∴AB′=AC=2∴B′N=1,AN=设AE=x,则BE= B′E=4-x∵在Rt△AEN中，∴()2+(4-x+1)2=x2∴x=综上，AE的长为3或.【点拨】本题是一道综合题，涉及到直角三角形全等的判定，30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识.9.如图，在矩形中，，，将点绕点逆时针旋转，点的对应点为.的平分线交于，且.若点落在矩形的边上，则的值为______.【答案】或【解析】分两种情况：①点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB＝BE，即可求出a的值；②点B′落在CD 边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．【详解】解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC−BE＝a−a＝a．∵∠B′AD＝∠EB′C＝90°−∠AB′D，∠D＝∠C＝90°，∴△ADB′∽△B′CE，∴，即，解得a1＝，a2＝−（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键。

2023年中考数学二轮专题复习《折叠问题》培优练习(含答案)

中考数学二轮专题复习《折叠问题》培优练习一、选择题1.如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α的度数等于 ( )A.50°B.60°C.75°D.85°2.如图，将长方形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在点C/处，BC/交人D于点E，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°角(虚线也视为角的边)共有( )A.3个B.4个C.5个D.6个3.如图，将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点B恰好落在CD边的中点N上.若AB＝6，AD＝9，则五边形ABMND的周长为( )A.28B.26C.25D.224.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△C EF的面积为( )A.12B.98C.2D.4 5.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8.将矩形的一角折叠，使点B 落在边AD 上的B ´点处，若AB /＝4，则折痕EF 的长度为( )A.8B.4 5C.5 5D.106.将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，若顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同一条直线上，同时点E ，O ，F 在另一条直线上，则AD ：AB 的值为( )A.65B. 2C.32 D. 37.如图矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝33，点P 是BC 边上的动点，现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落在点C 1处，则点B 到点C 1的最短距离为( )A.5B.4C.3D.28.将一张宽为4cm 的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是( )A.833cm 2B.8cm 2C.1633cm 2 D.16cm 2二、填空题9.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(3，0)，连结AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A'处，折痕所在的直线交y轴的正半轴于点C，则直线BC所对应的函数表达式为.10.将正方形纸片ABCD按如图所示对折，使边AD与BC重合，折痕为EF，连接AE，将AE折叠到AB上，折痕为AH，则BH：BC的值是．11.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG ＝32S△FGH；④AG＋DF＝FG．其中正确的是．(把所有正确结论的序号都选上)12.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝35a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为．13.一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为．14.如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y 轴上，连接OB，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在D的位置上.若AC＝5，OC＝2BC，则点D的坐标 .三、解答题15.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．16.将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AB＝4，BC＝8，求菱形的边长；(3)在(2)的条件下折痕EF的长．17.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG＋PH的值，并说明理由．18.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．(1)如果AC＝6cm，BC＝8cm，可求得△ACD的周长为；(2)如果∠CAD：∠BAD＝4：7，可求得∠B的度数为；操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．19.矩形AOBC中，OB＝8，OA＝4.分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点(不与B，C重合)，过点F的反比例函数y＝kx(k＞0)的图象与边AC交于点E.(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；(2)连接EF、AB，求证：EF∥AB；(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式.20.将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）.（1）如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.21.如图，抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A(1，0)和点B(5，0)，已知直线l的解析1式为y=kx﹣5.的解析式、对称轴和顶点坐标.(1)求抛物线L1(2)若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值；(3)当k=2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线上方的一点，当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值.在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线(4)将抛物线L1剩余的部分组成的新图象记为L2①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；有四个交点时k的取值范围.②直接写出直线l与图象L2答案1.C2.D3.A.4.C.5.C.6.B.7.C.8.B9.答案为：y＝﹣12x＋32.10.答案为：52﹣12．11.答案为：①③④．12.答案为：53或53.13.答案为：3或24 7．14.答案为：(﹣0.6，0.8)15.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB.由折叠可知，AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFG＝90°，AB＝AF.∴∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(H.L.)．(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6﹣x，∵E为CD的中点，∴EG＝x＋3，在Rt△CEG中，由勾股定理，得32＋(6﹣x)2＝(x＋3)2，解得x＝2，∴BG＝2.16.证明：(1)∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，∵AD∥AC，∴∠FAC＝∠ECA，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE，∴OF＝OE，∵OA＝OC，AC⊥EF，∴四边形AECF为菱形；(2)①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，在Rt△ABE中，∵BE2＋AB2＝AE2，∴(8﹣x)2＋42＝x2，解得x＝5，即菱形的边长为5；②在Rt△ABC中，AC＝45，∴OA＝12AC＝25，在Rt△AOE中，AE＝5，OE＝5，∴EF＝2OE＝25．17.解：(1)△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD为矩形，∴B′C＝BC＝AD，∠B′＝∠B＝∠D＝90°，又∵∠B′EC＝∠DEA，∴△AED≌△CEB′；(2)由折叠的性质可知，∠EAC＝∠CAB，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠ECA，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝EC＝8﹣3＝5．在△ADE中，AD＝4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB，∴PG＝PM．∴PG＋PH＝PM＋PH＝HM＝AD＝4．18.解：操作一：(1)14 (2)35º操作二：∵AC＝9cm，BC＝12cm，∴AB＝15(cm)，根据折叠性质可得AC＝AE＝9cm，∴BE＝AB﹣AE＝6cm，设CD＝x，则BD＝12﹣x，DE＝x，在Rt△BDE中，由题意可得方程x2＋62＝(12﹣x)2，解得x＝4.5，∴CD＝4.5cm．19.解：(1)∵四边形OACB是矩形，OB＝8，OA＝4，∴C(8，4)，∵AE＝EC，∴E(4，4)，∵点E在y＝kx上，∴E(4，4).(2)连接AB，设点F(8，a)，∴k＝8a，∴E(2a，4)，∴CF＝4﹣a，EC＝8﹣2a，在Rt△ECF中，tan∠EFC＝＝＝2，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝2，∴tan∠EFC＝tan∠ABC，∴∠EFC＝∠ABC，∴EF∥AB.(3)如图，设将△CEF沿EF折叠后，点C恰好落在OB上的G点处，∴∠EGF＝∠C＝90°，EC＝EG，CF＝GF，∴∠MGE＋∠FGB＝90°，过点E作EM⊥OB，∴∠MGE＋∠MEG＝90°，∴∠MEG＝∠FGB，∴Rt△MEG∽Rt△BGF，∵点E(，4)，F(8，)，∴EC＝AC﹣AE＝8﹣，CF＝BC﹣BF＝4﹣，∴EG＝EC＝8﹣，GF＝CF＝4﹣，∵EM ＝4，∴＝，∴GB ＝2，在Rt △GBF 中，GF 2＝GB 2＋BF 2，即：(4﹣)2＝(2)2＋()2，∴k ＝12，∴反比例函数表达式为y ＝12x . 20.证明：(1)DE 为x ，则DM ＝1，EM ＝EA ＝2﹣x ，在Rt △DEM 中，∠D ＝90°，∴DE 2＋DM 2＝EM 2x 2＋12＝(2﹣x)2x ＝34，∴EM ＝54． (2)设正方形的边长为2，由(1)知，DE ＝34，DM ＝1，EM ＝54∴DE ：DM ：EM ＝3：4：5；(3)△CMG 的周长与点M 的位置无关．证明：设DM ＝x ，DE ＝y ，则CM ＝2a ﹣x ，EM ＝2a ﹣y ，∵∠EMG ＝90°，∴∠DME ＋∠CMG ＝90°．∵∠DME ＋∠DEM ＝90°，∴∠DEM ＝∠CMG ，又∵∠D ＝∠C ＝90°△DEM ∽△CMG ，∴△CMG 的周长为CM ＋CG ＋MG ＝. 在Rt △DEM 中，DM 2＋DE 2＝EM 2即x 2＋y 2＝(2a ﹣y)2整理得4a 2﹣x 2＝4ay ，∴CM＋MG＋CG＝＝4a．所以△CMG的周长为4a，与点M的位置无关．21.解：(1)∵抛物线L1：y=﹣x2+bx+c经过点A(1，0)和点B(5，0)∴y=﹣(x﹣1)(x﹣5)=﹣(x﹣3)2+4，∴抛物线L1的解析式为y=﹣x2+6x﹣5对称轴：直线x=3顶点坐标(3，4)；(2)∵直线l将线段AB分成1：3两部分，则l经过点(2，0)或(4，0)，∴0=2k﹣5或0=4 k﹣5∴k=52或k=54.(3)如图1，设P(x，﹣x2+6x﹣5)是抛物线位于直线上方的一点，解方程组，解得或不妨设M(0，﹣5)、N(4，3)∴0＜x＜4过P做PH⊥x轴交直线l于点H，则H(x，2x﹣5)，PH=﹣x2+6x﹣5﹣(2x﹣5)=﹣x2+4x，S△PMN =12PH•x N=(﹣x2+4x)×4=﹣2(x﹣2)2+8∵0＜x＜4∴当x=2时，SPMN最大，最大值为8，此时P(2，3) (4)如图2，A(1，0)，B(5，0).由翻折，得D(3，﹣4)， ①当x ≤1或3≤x ≤5时y 随x 的增大而增大②当y=kx ﹣5过D 点时，3k ﹣5=﹣4，解得k=13，当y=kx ﹣5过B 点时，5k ﹣5=0，解得k=1，直线与抛物线的交点在BD 之间时有四个交点，即13＜k ＜1，当13＜k ＜1时，直线l 与图象L 2有四个交点.。

中考数学二轮专题复习图形变换——折叠问题【含答案】

二轮复习：图形变换（一）—折叠图形变换历来是中考必考点之一。

考试大纲要求：会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。

图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。

在图形变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。

在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。

下面着重从三个方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。

（一）三角形的折叠：题型1、一般三角形的折叠：1、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β2、（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为___．题型2、等腰或等边三角形的折叠：4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_____.5、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=_______．（利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）题型3、直角三角形的折叠：6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于．7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（二）特殊平行四边形的折叠：题型1、矩形折叠：1、（求角）.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为A. B. C. D.2、（求三角函数值）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．3、（求边长）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为4、（求折痕长）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为5、（求边的比）如下图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。

专题4.2圆---利用“隐圆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)

D
Q
Q
C
N N
H
O O
A
MM
P P
B
∵MN=2NH= ON2-OH2 = 262-OH2
∴当OH最短时，MN最长.
与“圆”有关的最值问题
强化训练
提升能力
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=6,AC=8,D,E分别是BC,AC上的一点,且
24/5
DE=6.若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M,N两点,则MN的最大值为_____.
A
M
D
E
B
N
C
针对训练
点圆最值---点心线
考点4-1
1.如图,⊙O、⊙C,OC=5,点A、B分别是平面内的动点,且OA=4,BC=3,则OB长
2 ,AC长的最大值为_____
8 ,OB长的最小值为______
9 ,AC长的最小值
的最大值为______
12 ,AB长的最小值为____．
0
为______
1 ,AB长的最大值为______
2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB边上的中点,点F是线段BC边上
的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB´F,连接B´C,则B´C最小值是
A
2 10-2
________.
A
B
O
C
D
B´
E
B´
B
F
C
模型分析
线圆最值---心垂线
考点4-2
BC、CD上两个动点,且∠EAF=60º,则△AEF的面积是否存在最小值?若存在,
求出其最小值；若不存在,请说明理由. 定角夹定高
【简答】将△ADF绕点A顺时针旋转120º,得△ABF´,则∠EAF´=60º,易证

中考数学折叠专项训练试题（含答案）

中考数学折叠专项训练试题（含答案）中考数学折叠专项训练试题附参考答案一．选择题（共9小题）1．（2013?贵港）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE 上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；矩形的性质．专题：压轴题．分析：由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF；易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN；易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF=MF，∴DF=CF；故①正确；∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC，∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN，∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN，故②正确；∵在△DEF和△CNF中，，∴△DEF≌△CNF（ASA），∴EF=FN，∴BE=BN，但无法求得△BEN各角的度数，∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM，∴BE=3EM，∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；故④正确．故选B．点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，若EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④△BEG和△HEG的面积相等；⑤若，则．以上命题，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：①根据平角的定义，折叠的性质和角平分线的性质即可作出判断；②根据折叠的性质和等腰三角形的性质可知DE≠CH；③无法证明BE=EF；④根据角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形中线的性质可得△BEG和△HEG的面积相等；⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．在RT△EKG中利用勾股定理可即可作出判断．解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确；②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误；④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；⑤过E 点作EK ⊥BC ，垂足为K ．设BK=x ，AB=y ，则有y 2+（2y ﹣2x ）2=（2y ﹣x ）2，解得x 1=y （不合题意舍去），x 2=y ．则，故正确．故正确的有3个．故选B ．点评：本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．3．（2012?遵义）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF=1，FD=2，则BC 的长为（）A ．3B ．2C ．2D ．2考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先过点E 作EM ⊥BC 于M ，交BF 于N ，易证得△ENG ≌△BNM （AAS ），MN 是△BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN ，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF 的值，又由勾股定理，即可求得BC 的长．解答：解：过点E 作EM ⊥BC 于M ，交BF 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC ，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME 是矩形，∴AE=BM ，由折叠的性质得：AE=GE ，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM ，∵∠ENG=∠BNM ，∴△ENG ≌△BNM （AAS ），∴NG=NM ，∴CM=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AE=ED=BM=CM ，∵EM ∥CD ，∴BN ：NF=BM ：CM ，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．故选B．点评：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．则下列结论：①BG=DE 且BG⊥DE；②△ADG和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的是（）A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④考点：正方形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：充分利用三角形的全等，正方形的性质，平行四边形的性质依次判断所给选项的正误即可．解答：解：由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB，∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，∴可得BG与DE相交的角为90°，∴BG⊥DE．①正确；如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，∴四边形ADQG是平行四边形；作CW⊥BE于点W，FJ⊥BE于点J，∴四边形CWJF是直角梯形；∵AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，∴△ABE≌△DAQ，∴∠ABE=∠DAQ，∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．∴△ABH是直角三角形．易证：△CWB≌△BHA，△EJF≌△AHE；∴WB=AH，AH=EJ，∴WB=EJ，又WN=NJ，∴WN﹣WB=NJ﹣EJ，∴BN=NE，③正确；∵MN是梯形WGFC的中位线，WB=BE=BH+HE，∴MN=（CW+FJ）=WC=（BH+HE）=BE；易证：△ABE≌△DAQ（SAS），∴AK=AQ=BE，∴MN∥AK且MN=AK；四边形AKMN为平行四边形，④正确．S△ABE=S△ADQ=S△ADG=S?ADQG，②正确．所以，①②③④都正确；故选D．点评：当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．5．（2012?资阳）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（）A．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先连接CD，交MN于E，由将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，即可得MN⊥CD，且CE=DE，又由MN∥AB，易得△CMN∽△CAB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得，又由MC=6，NC=，即可求得四边形MABN的面积．解答：解：连接CD，交MN于E，∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D 处，∴MN⊥CD，且CE=DE，∴CD=2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴S△CMN=CM?CN=×6×2=6，∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．故选C．点评：此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．6．如图，D是△ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C 恰好落在AB边的C′处，则∠A′的大小是（）A．40°B．36°C．32°D．30°考点：翻折变换（折叠问题）．分析：连接C'D，根据AB=AC，BD=BC，可得∠ABC=∠ACB=∠BDC，然后根据折叠的性质可得∠BCD=∠BC'D，继而得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和求出各角的度数，最后可求得∠A的大小．解答：解：连接C'D，∵AB=AC，BD=BC，∴∠ABC=∠ACB=∠BDC，∵△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，∴∠BCD=∠BC'D，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，∵四边形BCDC'的内角和为360°，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°．故选B．点评：本题考查了折叠的性质，解答本题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意本题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．7．（2012?舟山）如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（）A．B．C．3﹣D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′=90°，∠B′=30°，B′C=AB′﹣AC=2﹣2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案．解答：解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，∴AC=BC，∴AF=AB=，∴AC===2，由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，∴∠CDB′=90°，∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C?cos∠B′=（2﹣2）×=3﹣，∴DE===，∴S阴影=AC?DE=×2×=．故选A．点评：此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．8．（2013?定海区模拟）如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=，点D在BC 边上，把△ABC沿AD翻折，使AB与AC重合，得△AED，则BD的长度为（）A．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：作CF⊥AB于点F，利用三线合一定理即可求得BF的长，然后证明△CDE是直角三角形，BD=x，则CD=DE=2﹣x，利用三角函数即可得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：作CF⊥AB于点F．∵∠CAB=∠B∴AC=BC，∴BF=AB=，在直角△BCF中，BC==2，在△CDE中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+∠B=60°，DE=BD，∴∠CDE=90°，设BD=x，则CD=DE=2﹣x，在直角△CDE中，tanE===tan30°=，解得：x=3﹣．故选B．点评：本题考查了图形的折叠，以及三线合一定理、三角函数，正确理解折叠的性质，找出图形中相等的线段、相等的角是关键．9．（2013?绥化）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB 沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）A．1B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中可计算出CF=，BF=2CF=，则EF=2﹣，在Rt△DEF中计算出FD=1﹣，ED=﹣1，然后利用S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE计算即可．解答：解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，∴AB==2，∴∠BAC=30°，∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中，CF==，BF=2CF=，∴EF=2﹣，在Rt△DEF中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE=2×BC?AD+AD?ED=2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）=1．故选A．点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．。

中考数学二轮复习专题一选填重难点题型突破题型五图形折叠及动点问题的相关计算试题

题型五图形折叠及动点问题的相关计算1. 如图，在△ ABC 中，/ C = 90°, BC=3,D, E分别在AB AC上，将△ ADE沿DE翻折后，点A落在点A'处，若A'为CE的中DE的长为（）点，则折痕1A22. 如图，在直角坐标系中,A(0 , 8) , B( —6, 8) ,C(—6, 0）, D（0 , 0），现有动点P在线段CB上运动，当△ ADP为等腰三角形时，P点坐标为3. 如图，在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AC= 8, BC= 6,点D, E分别在边AB, AC上，将△ ADE沿直线DE翻折，点A的对应点在边AB上，连接A C,如果A C= A A,那么BD=4. 如图，在矩形纸片ABCD中, AB= 5, AD= 2,点P在线段AB上运动，设AP= x,现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原，则四边形EPFD为菱形时，x的取值范围是 ________________ .5. （2020 •濮阳模拟）如图，在Rt△ ABC中，/ ACB= 90°, AC= 4, BC= 6，点D 是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折厶DBE使点B落在点F处，连接AF,则线段AF的长取最小值时，BF的长为______________ .6. 如图，在△ ABC 中，/ ACB= 90°, AB= 10 cm, BC= 8 cm,动点P从点A出发，以2 cn/s的速度沿射线AC运动，当t = ____________ s时，△ ABP为等腰三角形.7. 如图，矩形ABCD中, AB= 3, BC= 4,点E是BC边上一点，连接AE,把/B沿AE折叠，使点B落在点B'处.当△ CEB为直角三角形时，CB'的长为____________ .第2题图）第3题图）第4题图）B. 3C. 2D. 1ABCD勺四个顶点的坐标分别为&如图，在矩形 ABCD 中, AB = 8, AD- 6,将矩形 ABCD折叠，使得点 B 落在边AD 上,记为点G, BC 的对应边GI 与边CD 交于点H,折痕为EF ,则AE = ________________ 时，△ EGH 为等腰三角形.9. 已知在厶ABC 中，AB = AC - 5, BC= 6（如图所示），将△ ABC 沿射线BC 方向平移 m 个单位得到厶DEF 顶点 A 、B 、C 分别与D E 、F 对应.若以点 A 、D E 为顶点的三角形是等腰三角形，且 AE 为腰，则m 的值是 ____________10. （2020 •南阳模拟）如图，矩形ABCD 中, AB= 1, AD= 2,点E 是边AD 上的一个动点，把厶BAE 沿 BE 折叠，点A 落在A'处，如果A'恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为 _____________11. （2020 •金华）如图，Rt △ ABC 纸片中，/ C -90°, AC - 6, BC - 8,点 D 在边 BC 上,以AD 为折痕将厶ABD 折叠得到厶AB D, AB'与边BC 交于点E.若厶DEB 为直角三角形，则BD 的长是 ___________第8题图）第9题图）第10题图）第7题图题型五第15题图形折叠及动点问题的相关计算1. D 【解析】•••△ A DE由厶ADE翻折而成，二AE= A E,v A'为CE的中点，二AE, 1 1 AE 1=A E= 2CE,A AE= 3AC, AC= 3，：/ C= 90°, DEI AC :. DE// BC, /•△AD0A ABC 二2. ( —6, 4) , ( —6, 2 7) , ( —6, 8-2 7) 【解析】如解图，当AP= PD 时，点PP( —6, 4)，当AP= AD= 8 时，BP=〒AP2—AB =亦，当DP= AD=8 时,PC= 2 7, ••• P( —6, 2 7) , ( —6, 8—2 7) ,「. P 点坐标为(—6, 4) , ( —6 , 2 7), (—6 , 8—2 7).•••/ A=/ A CA T/ ACB= 90° , •/ B+Z A=/ BCA +/ A CA= 90° , B=/ BCA ,1 5AA = A B= 2AB= 5, •••将△ ADE沿直线DE翻折，• A D= AD= ? , • BD= A B+ A D=154. 2W x w 5【解析】•••要使四边形EPFD为菱形，则需DE= EP= FP= DF, •如解图①:咀AF_1BC= AC=DE 1亍=3，解得DP 1.故选D.在AD的垂直平分线上,153.y 【解析】•••在Rt A ABC中，/ C= 90° , AC= 8 , BC= 6, • AB= 10 , •/ A C= A A,7.当点E 与点A 重合时，AP= AA 2,此时AP 最小；如解图②：当点 P 与B 重合时，AP = AB =5，此时AP 最大；•••四边形 EPFD 为菱形的x 的取值范围是：2< x w 5.D F ( P F CP/ 图②DF = DB •••点F 在以D 为圆心，BD 为半径的圆上，如解图，作O D连接AD 交O D 于点F ,此时AF 值最小，：•点 D 是边BC 的中点，•CD= BD= 3; 而 AC = 4，由勾股定理得： AD = AC 2 + CD ,「. AD= 5，而 FD= 3, • FA = 5-3= 2，即线段 AF 长的最小值是 2，如解图，连接 BF ,过F 作FH 丄BC 于 H,T / ACB= 90°,二FH// AC,256. 5或6或5 【解析】由题意可知 AP = 2t ，当AB= AP 时，有2t = 10,解得t = 5;当 AB = BP 时，则可知 AC = CP,贝U AP = 12,即 2t = 12,解得 t = 6;当 AP = BP 时，CP = 2t —6, BP = 2t ，在 Rt △ BPC 中，由勾股定理可得 BC + CP = BF 2, 即卩 64 + (2t — 6)2 = 4t 2，解得 2525 t =—;综上可知t 的值为5s 或6s 或^s .7. 2或典【解析】当厶CEB 为直角三角形时，有两种情况：①当点 B'落在矩形内部时，如解图①，连接 AC,在Rt △ ABC 中，AB= 3, BC = 4,二AC = 5, v/ B 沿AE 折叠，使点B 落在点B'处，•/ AB' E =/ B = 90°,当厶CEB 为直角三角形时，能得到/ EB' C =90°,二点A 、B'、C 共线，即/ B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线 AC 上的点B'处，• EB= EB' , AB = AB' = 3,二CB = 5 — 3= 2;②当点 B '落在 AD 边上时，如解图②，此时四边形 ABEB 为正方形，• B ' E = AB = 3, • CE = 4— 3= 1, • Rt △ B ' CE 中，CB' = ,;12 + 32 =.10.综上所述，BE 的长为2或.10.A D AB r Db 1 N \ D图① 图②& 4,2 — 2 【解析】v •在矩形 ABCD 中,/ A =/ D =/ B =/ EGH= 90°, •/ AG &Z图①5.¥【解析】由题意得:DF DH HF DFH TA ACD • A D = CD =A C , 12 9 24 HF =〒，DH = 5，• BH =百，• BF =崩+ H F = ^5^.AEG=Z AGEF Z DGH k90°,二/ AEG=Z DGH，：△ EGH为等腰三角形，二EG= GH,在厶AEG / A=Z D与厶DGH中, / AEG=Z DGH「.A AEG^A DGH，二DG= AE,v AB= 8, AD= 6,将矩形ABCD EG= GH折叠，使得点B落在边AD上，••• BE= GE 二BE= 8-AE,「. AG= 6-AE,v A G+AE^= G E, •••(6 —AE)2+ A E"= (8 —AE)2,.・.AE= 4 :'2 —2,「. AE= 4 ,;2 —2 时，△ EGH为等腰三角形•259. 6或【解析】分2种情况讨论：①当DE= AE时，作EM L AD,垂足为M AN L BC6111 11 1 于N,则四边形ANEM是矩形，• AM= NE AM= 2AD=㊁“ CN^ 2BO 3,二㊁讨㊁叱6 —(3 —㊁1于N,则直线MN是矩形ABCD的对称轴，• AM= BNhqAD= 1 , •/△ ABE沿BE折叠得到厶A BE • A E= AE A B= AB= 1,「. A N= ;A/B2—BN T = 0，即A'与N重合，• A M= 1 , • A E"=E M+A，M2,• A E2= (1 —A E)2+ 12,解得：A E= 1 , • AE= 1;②如解图②，过A'作PQ// AD1交AB于P,交CD于Q 则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，• PQ1 AB, AP= gAB, AD// PQ//BC • A' B= AB= 2PB,.・./PA' B= 30°, A BC= 30°, EBA' = 30°, • AE= A'E=A B - ta n30°= 1X# ;综上所述：AE的长为1或11. 2 或5 【解析】T Rt A ABC纸片中，/ C= 90°, AC= 6, BC= 8,二AB= 10,v 以AD为折痕将厶ABD折叠得到厶AB' D, • BD= DB , AB'= AB= 10.如解图①所示：当/B' DE=90° 时，过点B'作B' F L AF,垂足为 F.设BD= DB = x，则AF= 6+ x, FB'= 8—x.在2 2 2 2 2 2Rt A AFB 中，由勾股定理得：AB' = AF + FB'，即(6 + x) + (8 —x) = 10 .解得：X1= 2,X2 = 0(舍去).••• BD= 2;如解图②所示：当/ B' ED= 90°时，C与点E重合.T AB' = 10,AC= 6,二B ' E= 4.设B» DB = x，贝U CD= 8—x.在Rt△ B ' DE中，DB' 2= D E + B' E2,即25• m= 25.综上所述：当625m= 6或6时，△ ADE是等腰三角形*m),「. m= 6,②当AD= AE= m时，•••将△ ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△ DEF •••四边形ABED是平行四边形，• BE= AD= m •- NE= m- 3, •/ A N+N E=A E,• 42+ (m —3) 2= ni,10. 1或J 【解析】分两种情况：①如解图①，过3A'作MN/ CD交AD于M,交BC2 2 2x = (8 —x) + 4 .解得：x= 5. ••• BA 5.综上所述，BD的长为2或5.。

中考数学专题复习学案：折叠类题目中的动点问题含答案

专题：折叠类题目中的动点问题折叠问题是中考的热门也是难点问题，平时与动点问题联合起来，这种问题的题设平时是将某个图形按必定的条件折叠，经过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理、全等三角形性质、相似三角形性质、三角函数等知识进行解答。

此类问题立意新奇，充满着变化，要解决此类问题，除了能依据轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。

种类一、求折叠中动点运动距离或线段长度的最值例 1.着手操作：在矩形纸片ABCD 中， AB=3，AD =5.如图例1-1所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A’处，折痕为PQ ，当点在BC边上挪动时，折痕的端点、也随之挪动 . 若限制点、分别在、边上挪动，则点A’A ’P Q P Q AB AD在 BC 边上可挪动的最大距离为.图例 1-1【答案】 2.【分析】此题依据题目要求正确判断出点A'的最左端和最右端地点.当点Q与点D重合时，A '的地点处于最左端，当点P 与点 B 重合时，点 A'的地点处于最右端. 依据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种状况下的BA'或 CA'的长度，两者之差即为所求.①当点 Q 与点 D 重合时， A '的地点处于最左端，如图例1-2 所示 .确立点 A'的地点方法：由于在折叠过程中， A 'Q= AQ ，因此以点 Q 为圆心，以 AQ 长为半径画弧，与BC 的交点即为点A '.再作出∠ A' QA 的角均分线，与AB 的交点即为点P.图例 1-2图例1-3由折叠性质可知，AD = A' D=5，在 Rt△A' CD 中，由勾股定理得，A'C A' D2CD252324②当点 P 与点 B 重合时，点A'的地点处于最右端，如图例1-3 所示 .确立点 A'的地点方法：由于在折叠过程中， A 'P= AP，因此以点P 为圆心，以AP 长为半径画弧，与BC 的交点即为点A '.再作出∠ A' PA 的角均分线，与AD 的交点即为点Q.由折叠性质可知，AB= A' B=3，因此四边形AB A' Q 为正方形.因此 A'C= BC－A'B=5－3=2.综上所述，点 A 挪动的最大距离为4－2=2.故答案为： 2.【点睛】此类问题难度较大，主要观察学生的分析能力，作图能力。

中考数学第二轮总复习课件专题09探究题运动问题(全国通用)

底边BC出发,以2cm/s的速度沿DA方向匀速平移,分别交于AB,AC,AD于点
E,F,H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为ts(t＞0)
(1)当t=2时,连接DE,DF,求证:四边形AEDF为菱形；
AБайду номын сангаас
(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存
E H Fm
在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长.
(1)在旋转过程中,BD的最小值为__2___； (2)当α=30º,试判断BD与⌒CD的位置关系,并给予证明；
A
(3)当C、D、B在同一直线上时,求BC的长。
A
A
D
D
D
C
O
B
O
O
C
B
E
B
D
C
强化训练
运动问题
提升能力
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90º,AC=BC=5,在AC、BC边上分别截取CD=CE=3,
边形中,使OK与AB重合,按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺
时针旋转,使KM与BC重合,完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转,使MN与
CD重合,完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中,点B,M间的距
离可能是( D ) A.1.4 B.1.1 C.0.8
D.0.5
E
D
FN MC
A(0) B(K)
(即P、D、Q三点在同一直线上)；
P
E
B
(3)当4＜t≤10时,求y与t之间的函数关系式．
D
OQ
Cx
01
知识点
02
03
点的运动线段的运动图形的运动

春中考数学总复习第二轮中考题型专题专题复习(六)几何综合题试题-人教版初中九年级全册数学试题

专题复习(六) 几何综合题1．(2016·某某)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． (1)如图1，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD.点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明)图1 图2解：(1)证明：连接BD. ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点， ∴EH ＝12BD ，EH ∥BD.∵F 、G 分别是BC 、CD 的中点， ∴FG ＝12BD ，FG ∥BD.∴EH ＝FG ，EH ∥FG.∴中点四边形EFGH 是平行四边形． (2)中点四边形EFGH 是菱形．证明：连接AC 、BD.∵∠APB ＝∠CPD，∴∠APB ＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠BPD＝∠APC. 又∵PA＝PB ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD(SAS )．∴AC＝BD.∵点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点， ∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD.∴EF＝FG.又∵四边形EFGH 是平行四边形， ∴中点四边形EFGH 是菱形．图3(3)当∠APB＝∠CPD＝90°时，如图3，AC与BD交于点O，BD与EF，AP分别交于点M，Q，中点四边形EFGH是正方形．理由如下：由(2)知：△APC≌△BPD，∴∠PAC＝∠PBD.又∵∠AQO＝∠BQP，∴∠AOQ＝∠APB＝90°.又∵EF∥AC，∴∠OMF＝∠AOQ＝90°.又∵EH∥BD，∴∠HEF＝∠OMF＝90°.又∵四边形EFGH是菱形，∴中点四边形EFGH是正方形．2．(2016·某某)如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.(1)如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数；(2)如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE＝23CM＋233BN.图1 图2解：(1)①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE. ∵∠CAB＝∠CBA＝∠C DE＝∠CED，∴∠ACB＝∠DCE.∴∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE.②由①得△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC＝180°－∠CDE＝130°.∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.(2)证明：在等腰△DCE 中，∵CD ＝CE ，∠DCE ＝120°，CM ⊥DE ， ∴∠DCM ＝12∠DCE＝60°，DM ＝EM.在Rt △CDM 中，DM ＝CM·tan ∠DCM ＝CM·tan 60°＝3CM ，∴DE ＝23CM. 由(1)，得∠ADC ＝∠BEC＝150°，AD ＝BE ， ∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝120°. ∴∠BEN ＝60°. 在Rt △BEN 中，BE ＝BN sin 60°＝233BN.∴AD ＝BE ＝233BN.又∵AE＝DE ＋AD ，∴AE ＝23CM ＋233BN.3．(2016·东营)如图1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD 、AF 上，此时BD ＝CF ，BD ⊥CF 成立．(1)当△ABC 绕点A 逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图2，BD ＝CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长DB 交CF 于点H ，交AF 于点N. ①求证：BD⊥CF；②当AB ＝2，AD ＝32时，求线段DH 的长．图1 图2 图3解：(1)BD ＝CF 成立．证明：∵AB＝AC ，∠BAD ＝∠CAF＝θ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF(SAS )．∴BD ＝CF. (2)①证明：由(1)得，△ABD ≌△ACF ， ∴∠HFN ＝∠ADN. 又∵∠HNF＝∠AND， ∴∠NHF ＝∠NAD＝90°. ∴HD ⊥HF ，即BD⊥CF.②连接DF ，延长AB 交DF 于点M. 在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA＝45°， ∴∠BMD ＝90°.∵AD ＝32，四边形ADEF 是正方形， ∴MA ＝MD ＝322＝3，FD ＝6.∴MB ＝3－2＝1，DB ＝12＋32＝10. 在Rt △BMD 和Rt △FHD 中， ∵∠MDB ＝∠HDF， ∴△BMD ∽△FHD. ∴MD HD ＝BD FD ，即3HD ＝106.∴DH＝9105.4．(2016·某某)在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，动点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿AB 向点B 移动；同时点P 从点B 出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C 移动，连接QP ，QD ，PD.若两个点同时运动的时间为x 秒(0＜x≤3)，解答下列问题：(1)设△QPD 的面积为S ，用含x 的函数关系式表示S ；当x 为何值时，S 有最大值？并求出最小值； (2)是否存在x 的值，使得QP⊥DP？试说明理由．解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ＝AD ＝4，CD ＝AB ＝3. 当运动x 秒时，则AQ ＝x ，BP ＝x ， ∴BQ ＝AB －AQ ＝3－x ，CP ＝BC －BP ＝4－x. ∴S △ADQ ＝12AD ·AQ＝12×4x＝2x ，S △BPQ ＝12BQ·BP＝12(3－x)x ＝32x －12x 2，S △PCD ＝12PC·CD＝12·(4－x)×3＝6－32x.又S 矩形ABCD ＝AB·BC＝3×4＝12，∴S ＝S 矩形ABCD －S △ADQ －S △BPQ －S △PCD ＝12－2x －(32x －12x 2)－(6－32x)＝12x 2－2x ＋6＝12(x －2)2＋4，即S ＝12(x －2)2＋4.∴S 为开口向上的二次函数，且对称轴为直线x ＝2.∴当0＜x≤2时，S 随x 的增大而减小；当2＜x≤3时，S 随x 的增大而增大，又当x ＝0时，S ＝6，当S ＝3时，S ＝92.但x 的X 围内取不到x ＝0，∴S 不存在最大值．当x ＝2时，S 有最小值，最小值为4.(2)存在，理由：由(1)可知BQ ＝3－x ，BP ＝x ，CP ＝4－x. 当QP⊥DP 时，则∠BPQ＋∠DPC＝∠DPC＋∠PDC， ∴∠BPQ ＝∠PDC.又∵∠B＝∠C， ∴△BPQ ∽△CDP. ∴BQ PC ＝BP CD ，即3－x 4－x ＝x 3，解得x ＝7＋132(舍去)或x ＝7－132. ∴当x ＝7－132时，QP ⊥DP.5．(2016·某某)(1)已知：△ABC 是等腰三角形，其底边是BC ，点D 在线段AB 上，E 是直线BC 上一点，且∠DEC ＝∠DCE，若∠A＝60°(如图1)，求证：EB ＝AD ；(2)若将(1)中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)若将(1)中的“若∠A＝60°”改为“∠A＝90°”，其他条件不变，则EB AD 的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程)图1 图2解：(1)证明：过D 点作BC 的平行线交AC 于点F. ∵△ABC 是等腰三角形，∠A ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．∴∠ABC＝60°. ∵DF ∥BC ，∴∠ADF ＝∠ABC＝60°. ∴△ADF 是等边三角形． ∴AD ＝DF ，∠AFD ＝60°.∴∠DFC ＝180°－60°＝120°.∵∠DBE ＝180°－60°＝120°，∴∠DFC ＝∠DBE. 又∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE ＝∠DEC， ∴∠FDC ＝∠DEC，ED ＝CD. ∴△DBE ≌△CFD(AAS )． ∴EB ＝DF.∴EB＝AD. (2)EB ＝AD 成立．理由如下：过D 点作BC 的平行线交AC 的延长线于点F. 同(1)可证△ADF 是等边三角形， ∴AD ＝DF ，∠AFD ＝60°.∵∠DBE ＝∠ABC＝60°，∴∠DBE ＝∠AFD. ∵∠FDC ＝∠DCE，∠DCE ＝∠DEC， ∴∠FDC ＝∠DEC，ED ＝CD. ∴△DBE ≌△CFD(AAS )． ∴EB ＝DF.∴EB＝AD. (3)EBAD＝ 2.理由如下：如图3，过D 点作BC 的平行线交AC 于点G.图3∵△ABC 是等腰三角形，∠A ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB＝45°， ∴∠DBE ＝180°－45°＝135°. ∵DG ∥BC ，∴∠GDC ＝∠DCE，∠DGC ＝180°－45°＝135°. ∴∠DBE ＝∠DGC. ∵∠DCE ＝∠DEC， ∴ED ＝CD ，∠DEC ＝∠GDC.∴△DBE ≌△CGD(AAS )．∴BE＝GD. ∵∠ADG ＝∠ABC＝45°，∠A ＝90°， ∴△ADG 是等腰直角三角形． ∴DG ＝2AD.∴BE＝2AD.∴EBAD ＝ 2.6．(2016·某某)【探究证明】(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H.求证：EF GH ＝ADAB ；【结论应用】(2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若EF GH ＝1115，则BNAM 的值为________；【联系拓展】(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DNAM 的值．图1 图2 图3解：(1)证明：过点A 作AP∥EF，交CD 于点P ，过点B 作BQ∥GH，交AD 于点Q. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC.∴四边形AEFP 、四边形BHGQ 都是平行四边形．∴AP＝EF ，GH ＝BQ. 又∵GH⊥EF，∴AP ⊥BQ.∴∠QAP ＋∠AQB＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝∠D＝90°. ∴∠DAP ＋∠DPA＝90°.∴∠AQB ＝∠DPA. ∴△PDA ∽△QAB.∴AP BQ ＝AD AB .∴EF GH ＝ADAB .(2)∵EF⊥GH，AM ⊥BN ，∴由(1)中的结论可得EF GH ＝AD AB ，BN AM ＝ADAB ，∴BN AM ＝EF GH ＝1115.故答案为1115. (3)连接AC ，过点D 作AB 的平行线交BC 的延长线于点E ，作AF⊥AB 交直线DE 于点F. ∵∠BAF ＝∠B＝∠E＝90°，∴四边形ABEF 是矩形．易证△ADC≌△ABC，∴∠ADC ＝∠ABC＝90°. ∴∠FDA ＋∠EDC＝90°.又∵∠EDC＋∠EC D ＝90°，∴∠FDA ＝∠ECD. 又∵∠E＝∠F， ∴△ADF ∽△DCE. ∴DE AF ＝DC AD ＝510＝12. 设DE ＝x ，则AF ＝2x ，DF ＝10－x.在Rt △ADF 中，AF 2＋DF 2＝AD 2，即(2x)2＋(10－x)2＝100，解得x 1＝4，x 2＝0(舍去)． ∴AF ＝2x ＝8.∴DN AM ＝AF AB ＝810＝45.7．(2016·某某)在△ABC 中，P 为边AB 上一点． (1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC 2＝AP·AB； (2)若M 为CP 的中点，AC ＝2.①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB ＝3，求BP 的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A ＝∠BMP＝60°，直接写出BP 的长．图1 图2 图3解：(1)证明：∵∠ACP＝∠B，∠CAP ＝∠BAC， ∴△ACP ∽△ABC. ∴AC AB ＝AP AC，即AC 2＝AP·AB. (2)①作CQ∥BM 交AB 的延长线于点Q ，则∠PBM＝∠Q. ∵∠PBM ＝∠ACP，∴∠ACP ＝∠Q. 又∠PAC＝∠CAQ，∴△APC ∽△ACQ. ∴AC AQ ＝AP AC，即AC 2＝AP·AQ. 又∵M 为PC 的中点，BM ∥CQ ，∴设BP ＝x ，则BQ ＝x.∴AP＝3－x ，AQ ＝3＋x. ∴22＝(3－x)(3＋x)，解得x 1＝5，x 2＝－5(不合题意，舍去)．∴BP ＝ 5. ②BP ＝7－1.作CQ⊥AB 于点Q ，作CP 0＝CP 交AB 于点P 0. ∵AC ＝2，∴AQ ＝1，CQ ＝BQ ＝ 3.设AP 0＝x ，则P 0Q ＝PQ ＝1－x ，BP ＝3－1＋x ， ∵∠BPM ＝∠CP 0A ，∠BMP ＝∠CAP 0， ∴△AP 0C ∽△MPB ，∴AP 0MP ＝P 0CBP.∴MP ·P 0C ＝12P 0C 2＝（3）2＋（1－x ）22＝AP 0·BP ＝x(3－1＋x)．解得x ＝7－3或x ＝－7－3(舍去)． ∴BP ＝3－1＋7－3＝7－1.8．(2016·某某)数学活动——旋转变换(1)如图1，在△ABC 中，∠ABC ＝130°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接B B′.求∠A′B′B 的大小；(2)如图2，在△ABC 中，∠ABC ＝150°，AB ＝3，BC ＝5，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△A ′B ′C ，连接BB′.以A′为圆心，A ′B ′长为半径作圆．①猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论； ②连接A′B，求线段A′B 的长度；(3)如图3，在△ABC 中，∠ABC ＝α(90°＜α＜180°)，AB ＝m ，BC ＝n ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转2β角度(0°＜2β＜180°)得到△A′B′C，连接A′B 和BB′.以A′为圆心，A ′B ′长为半径作圆．问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由．并求此条件下线段A′B 的长度．(结果用角α或角β的三角函数及字母m 、n 所组成的式子表示)图1 图2 图3解：(1)由旋转得：∠A′B′C＝∠ABC＝130°，CB ＝CB′，∠BCB ′＝50°， ∴∠BB ′C ＝12(180°－∠BCB′)＝65°.∴∠A ′B ′B ＝∠A′B′C－∠BB′C＝130°－65°＝65°. (2)①猜想：直线BB′与⊙A′相切．证明：由旋转得：∠A′B′C＝∠ABC＝150°，CB ＝CB′，∠BCB ′＝60°， ∴∠BB ′C ＝12(180°－∠BCB′)＝60°.∴∠A ′B ′B ＝∠A′B′C－∠BB′C＝150°－60°＝90°，即B′B⊥A′B′. 又A′B′为半径， ∴直线BB′与⊙A′相切．②由旋转得：A′B′＝AB ＝3，B ′C ＝BC ＝5，∠BCB ′＝60°， ∴△BCB ′为等边三角形．∴BB′＝BC ＝5.在Rt △A ′B ′B 中，A ′B ＝（A′B′）2＋（BB′）2＝32＋52＝34. (3)满足的条件：α＋β＝180°.理由：在△BB′C 中，∠BB ′C ＝180°－2β2＝90°－β，∴∠A ′B ′B ＝α－∠BB′C＝α－(90°－β)＝α＋β－90°.∵α＋β＝180°，∴∠A ′B ′B ＝α＋β－90°＝180°－90°＝90°，即B′B⊥A′B′. ∴直线BB′与⊙A′相切．过点C 作CD⊥BB′于点D. ∴∠B ′CD ＝12∠BCB′＝β.在Rt △B ′CD 中，B ′D ＝B′C·s in β＝B C·sin β＝n sin β，∴BB ′＝2B′D＝2n sin β. 由α＋β＝180°得到△A′B′B 为直角三角形，∴A ′B ＝（A′B′）2＋（BB′）2＝m 2＋（2n sin β）2＝m 2＋4n 2sin 2β.9．(2016·某某)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10.D 是△ABC 内部或BC 边上的一个动点(与B ，C 不重合)．以D 为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k>1)，EF ∥BC. (1)求∠D 的度数；(2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.①连接GH ，AD ，当GH⊥AD 时，请判断四边形AGDH 的形状，并证明； ②当四边形AGDH 的面积最大时，过A 作AP⊥EF 于P ，且AP ＝AD ，求k 的值．解：(1)∵AB 2＋AC 2＝62＋82＝102＝BC 2，∴∠BAC ＝90°.又∵△DEF∽△ABC，∴∠D ＝∠BAC ＝90°.(2)①四边形AGDH 是正方形．证明：延长ED 、FD 分别交BC 于点M 、N.∵△DEF ∽△ABC ，∴∠E ＝∠B.又∵EF∥BC，∴∠E ＝∠EMC.∴∠B＝∠EMC.∴ED∥BA.同理FD∥AC.∴四边形AGDH 是平行四边形．又∵∠FDE＝90°，∴四边形AGDH 是矩形．又∵AD⊥GH，∴四边形AGDH 是正方形．②当D 点在△ABC 内部时，四边形AGDH 的面积不可能最大．其理由是：如图1，点D 在内部时，延长GD 到D′，过D′作MD′⊥AC 于点M ，则四边形GD′MA 的面积大于矩形AGDH 的面积，∴当点D 在△ABC 内部时，四边形AGDH 的面积不可能最大．按上述理由，只有当D 点在BC 边上时，面积才有可能最大．图1 图2如图2，D 在BC 上时，易证明DG∥AC，∴△GDB ∽△ACB.∴BG BA ＝GD AC ，即BA －AG BA ＝AH AC . ∴6－AG 6＝AH 8，即AH ＝8－43AG. ∴S 矩形AGDH ＝AG·AH＝AG×(8－43AG)＝－43AG 2＋8AG ＝－43(AG －3)2＋12. 当AG ＝3时，S 矩形AGDH 最大，此时DG ＝AH ＝4.即当AG ＝3，AH ＝4，S 矩形AG DH 最大．在Rt △BGD 中，BD ＝BG 2＋DG 2＝5，则DC ＝BC －BD ＝5.即D 为B C 上的中点时，S 矩形AGDH 最大．∴在Rt △ABC 中，AD ＝BC 2＝5，∴PA ＝AD ＝5. 延长PA 交BC 于点Q ，∵EF ∥BC ，QP ⊥EF ，∴QP ⊥BC.∴QP 是EF 、BC 之间的距离．∴D 到EF 的距离为PQ 的长．在Rt △ABC 中，12AB·AC＝12BC·AQ， ∴AQ ＝4.8.又∵△DEF∽△ABC，∴k ＝PQ AQ ＝PA ＋AQ AQ ＝5＋4.84.8＝4924.10．(2016·某某)(1)发现如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b.填空：当点A 位于CB 延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为a ＋b ．(用含a ，b 的式子表示)图1(2)应用点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE. ①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值．(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且PA ＝2，PM ＝PB ，∠BPM ＝90°.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．图2 图3 备用图解：(2)①DC＝BE.理由如下：∵△ABD和△ACE为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CA E＝60°.∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴DC＝BE.②BE长的最大值是4.(3)AM的最大值为3＋22，点P的坐标为(2－2，2)．提示：如图3，构造△BNP≌△MAP，则NB＝AM，易得△APN是等腰直角三角形，AP＝2，∴AN＝2 2.由(1)知，当点N在BA的延长线上时，NB有最大值(如备用图)．∴AM＝NB＝AB＋AN＝3＋2 2.过点P作PE⊥x轴于点E，PE＝AE＝ 2.又∵A(2，0)，∴P(2－2，2)．。

中考数学复习专题之折叠问题

中考数学复习专题之折叠问题1．如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把BCM ∆沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF EC ⊥，垂足为F ，若1CD =，2CF =，则线段AE 的长为( )A ．52-B ．31-C ．13D ．122．如图，直线EF 是矩形ABCD 的对称轴，点P 在CD 边上，将BCP ∆沿BP 折叠，点C 恰好落在线段AP 与EF 的交点Q 处，43BC =，则线段AB 的长是( )A ．8B ．82C ．83D ．10 3．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，点C ，D 的对应点分别为点E ，F ，且点F 在矩形内部，MF 的延长线交边BC 于点G ，EF 交边BC 于点H ．2EN =，4AB =，当点H 为GN 的三等分点时，MD 的长为．4．如图，对折矩形纸片ABCD ，使得AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A 的对应点A '落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，连接MF ，若MF BM ⊥，6AB cm =，则AD 的长是 cm ．5．如图，正方形ABCD 的边长为10，点G 是边CD 的中点，点E 是边AD 上一动点，连接BE ，将ABE ∆沿BE 翻折得到FBE ∆，连接GF ，当GF 最小时，AE 的长是．6．如图，正方形ABCD 的边长为10，点G 是边CD 的中点，点E 是边AD 上一动点，连接BE ，将ABE ∆沿BE 翻折得到FBE ∆，连接GF ，当GF 最小时，GF 的长是． 7．如图，四边形ABCD 为矩形，2,3AB AD ==，点E 为边BC 上一点，将DCE ∆沿DE 翻折，点C 的对应点为点F ，过点F 作DE 的平行线交AD 于点G ，交直线BC 于点H ．若点G 是边AD 的三等分点，则FG 的长是．8．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 为边AD 上一动点，连接OP ，以OP 为折痕，将AOP ∆折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ．若PDF ∆为直角三角形，则DP 的长为．9．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，6BC =，点M ，N 分别在AD ，BC 上，且13AM AD =，13BN BC =，E 为直线BC 上一动点，连接DE ，将DCE ∆沿DE 所在直线翻折得到△DC E '，当点C '恰好落在直线MN 上时，CE 的长为．10．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将AMN ∆沿MN 所在直线折叠，得到△A MN '，连接A C '，则A C '的最小值是．11．如图，在Rt ABC ∆的纸片中，90C ∠=︒，5AC =，13AB =．点D 在边BC 上，以AD 为折痕将ADB ∆折叠得到ADB ∆'，AB '与边BC 交于点E ．若DEB ∆'为直角三角形，则BD 的长是．12．如图，四边形ABCD 为矩形，23AB =，22AD =，点P 为边AB 上一点，以DP 为折痕将DAP ∆翻折，点A 的对应点为点A '，连接AA '，AA '交PD 于点M ，点Q 为线段BC 上一点，连接AQ ，MQ ，则AQ MQ +的最小值是．13．如图，将正方形纸片ABCD 沿PQ 折叠，使点C 的对称点E 落在边AB 上，点D 的对称点为点F ，EF 交AD 于点G ，连接CG 交PQ 于点H ，连接CE ．下列四个结论中：①PBE QFG ∆∆∽；②CEG CBE CDQH S S S ∆∆=+四边形；③EC 平分BEG ∠；④22EG CH GQ GD -=⋅，正确的是（填序号即可）．14．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是第三象限抛物线上一点，直线PB 与y 轴交于点D ，BCD ∆的面积为12，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E 是线段BC 上点，连接OE ，将OEB∆沿直线OE 翻折得到OEB '∆，当直线EB '与直线BP 相交所成锐角为45︒，时，求点B '的坐标．15．如图1，抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于(2,0)A -，(6,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，PD 交直线BC 于点E ，设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的表达式；（2）设线段PE 的长度为h ，请用含有m 的代数式表示h ；（3）如图2，过点P 作PF CE ⊥，垂足为F ，当CF EF =时，请求出m 的值；（4）如图3，连接CP ，当四边形OCPD 是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q ，使原点O 关于直线CQ 的对称点O '恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q 的坐标．16．（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使BC 落在对角线BD 上，折痕为BE ，点C 落在点C '处，若46ADB ∠=︒，则DBE ∠的度数为 ︒．（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD ，4AB =，9AD =．【画一画】如图2，点E 在这张矩形纸片的边AD 上，将纸片折叠，使AB 落在CE 所在直线上，折痕设为MN （点M ，N 分别在边AD ，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕MN （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；【算一算】如图3，点F 在这张矩形纸片的边BC 上，将纸片折叠，使FB 落在射线FD 上，折痕为GF ，点A ，B 分别落在点A '，B '处，若73AG =，求B D '的长；【验一验】如图4，点K 在这张矩形纸片的边AD 上，3DK =，将纸片折叠，使AB 落在CK 所在直线上，折痕为HI ，点A ，B 分别落在点A '，B '处，小明认为B I '所在直线恰好经过点D ，他的判断是否正确，请说明理由．17．如图1，折纸做60︒，30︒，15︒的角步骤①：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．步骤②：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．同时得到了线段BN．【问题解决】（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BM交EF于点O，求证：30∠=︒；ABM【拓展探究】（3）如图2，若点M是射线AD上一个动点，将ABM∆沿BM折叠，使点A的对应点N，连接AN、DN，若5AB=，8∆是等腰三角形时，求AM的长．BC=，当AND18．综合与实践：在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动--折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”)线段AN的垂直平分线；请判断图中ABN∆是什么特殊三角形？答：；进一步计算出MNE∠=︒；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则GBN∠=︒；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，10AB=，26AD=，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．19．如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是边AD，BC上的点，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的点E处（不与点C，D重合），连接BE，过点M作MH BC⊥于点H．（1）如图①，若BC AB=，求证：EBC NMH∆≅∆；（2）如图②，当2BC AB=时．①求证：~EBC NMH∆∆；②若点E为CD的三等分点，请求出AMBN的值．参考答案1．解：BC CE =，90EDC CFB ∠=∠=︒，DEC BCF ∠=∠， ()EDC CFB AAS ∴∆≅∆，2DE CF ∴==，CE BC AD ∴====，2AE AD DE ∴=-=，故选：A ．2．解：四边形ABCD 是矩形，90C ∴∠=︒，由题意得：12BF BC =，//EF AB ， ABQ BQF ∴∠=∠，由折叠的性质得：90BQP C ∠=∠=︒，BQ BC =， 90AQB ∴∠=︒，12BF BQ =，30BQF ∴∠=︒，30ABQ ∴∠=︒，在Rt ABQ ∆中，2AB AQ =，BQ == 4AQ ∴=，8AB =；故选：A ．3．解：当13HN GN =时，2GH HN =，将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ， MF MD ∴=，CN EN =，90E C D MFE ∠=∠=∠=∠=︒，DMN GMN ∠=∠，//AD BC ， 90GFH ∴∠=︒，DMN MNG ∠=∠，GMN MNG ∴∠=∠，MG NG ∴=，90GFH E ∠=∠=︒，FHG EHN ∠=∠，FGH ENH ∴∆∆∽， ∴2FG GH EN HN==，24FG EN ∴==，过点G 作GP AD ⊥于点P ，则4PG AB ==，设MD MF x ==，则4MG GN x ==+，6CG x ∴=+，6PM ∴=，222GP PM MG +=，22246(4)x ∴+=+，解得：4x =，4MD ∴=；当13GH GN =时，2HN GH =，FGH ENH ∆∆∽， ∴12FG GH EN HN ==，112FG EN ∴==，1MG GN x ∴==+， 3CG x ∴=+，3PM ∴=，222GP PM MG +=，22243(1)x ∴+=+，解得：4x =，4MD ∴=；故答案为：4或4．4．解：四边形ABCD 为矩形，6AB cm =，90A ∴∠=︒，由折叠性质可得：3BE DF cm ==，6A B AB cm '==，90A EB ∠'=︒，ABM A BM ∠=∠'，在Rt △A BE '中，2A B BE '=，30BA E ∴∠'=︒60A BE ∴∠'=︒，30ABM ∴∠=︒，60AMB ∠=︒， 3tan306233AM AB cm ∴=︒⋅=⨯=，M F BM ⊥，90BMF ∴∠=︒， 30DMF ∴∠=︒，60DFM ∴∠=︒，在Rt DMF ∆中，tan 603333MD DF cm =︒⋅=⨯=， 233353AD AM DM cm ∴=+=+=．故答案为：53．5．解：将ABE ∆沿BE 翻折得到FBE ∆，10BF BA ∴==， ∴点F 在以B 为圆心，10为半径的圆上运动，∴当点G 、F 、B 三点共线时，GF 最小，连接EG ，设AE x =，由勾股定理得，55BG =，EDG ABE EBG ABGD S S S S ∆∆∆=++梯形， ∴1111(510)105(10)10552222x x x +⨯=⨯⨯-+⨯+⨯，解得555x =， 555AE ∴=，故答案为：555．6．解：正方形ABCD 的边长为10，90C A ∴∠=∠=︒，10BC CD ==，点G 是边CD 的中点，5CG DG ∴==，2255BG BC CG ∴=+ 将ABE ∆沿BE 翻折得到FBE ∆，10BF BA ∴==， ∴点F 在以B 为圆心，10为半径的圆上运动，∴当点G 、F 、B 三点共线时，GF 最小，5510GF BG BF ∴=-=．故答案为：5510-．7．解：①如图，过点E 作EM GH ⊥于点M ，//DE GH ，//AD BC ，∴四边形HEDG 是平行四边形，∴113HE GD AD ===，折叠， FED CED ∴∠=∠，90MED ∠=︒，即90FEM FED ∠+∠=︒， 90CED HEM ∴∠+∠=︒，HEM FEM ∴∠=∠，90EMF EMH ∠=∠=︒，ME ME =，()HEM FEM ASA ∴∆≅∆， HM M F ∴=，1EF HE ==，1EF EC ∴==，四边形ABCD 是矩形， ∴90,2C DC AB ∠=︒==，Rt EDC ∆中，2222(2)13DE DC EC +=+=， ∴3GH DE ==，ME HG ⊥，//HG DE ，∴1122DEF DEC S ME DE S DC EC ∆∆=⨯==⨯， ∴2163DC EC ME DE ⨯⨯==Rt HME ∆中，222631()3HM HE ME --， ∴232333FG HG HF HG HM =-=-=-， ②如图，当113AG AD ==时，同理可得312HE GD AD AG ==-=-=，2EC EF HE ===， ∴222(2)6DE =+=，∴222336DC EC ME DE ⨯⨯===， Rt HME ∆中，222223262()33HM HE ME =-=-=， ∴4662633FG HF HG HM HG =-=-=-=，故答案为：33或63． 8．解：如图1，当90DPF ∠=︒时，过点O 作OH AD ⊥于H ，四边形ABCD 是矩形，BO OD ∴=，90BAD OHD ∠=︒=∠，8AD BC ==， //OH AB ∴，∴12OH HD OD AB AD BD ===， 132OH AB ∴==，142HD AD ==，将AOP ∆折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ， 45APO EPO ∴∠=∠=︒，又OH AD ⊥，45OPH HOP ∴∠=∠=︒，3OH HP ∴==，1PD HD HP ∴=-=；当90PFD ∠=︒时，6AB =，8BC =，22366410BD AB AD ∴=++=，四边形ABCD 是矩形，5OA OC OB OD ∴====，DAO ODA ∴∠=∠，将AOP ∆折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ， 5AO EO ∴==，PEO DAO ADO ∠=∠=∠，又90OFE BAD ∠=∠=︒， OFE BAD ∴∆∆∽，∴OF OEAB BD=，∴5610OF =，3OF ∴=，2DF ∴=， PFD BAD ∠=∠，PDF ADB ∠=∠， PFD BAD ∴∆∆∽，∴PD DF BD AD =，∴2108PD =，52PD ∴=，综上所述：52PD =或1，故答案为52或1． 9．解：四边形ABCD 是矩形，5DC AB ∴==，90A ∠=︒，6AD BC ==， 123AM AD ==，123BN BC ==，AM BN ∴=，//AM BN ，∴四边形ABNM 的矩形，90NMA NMD ∴∠=∠=︒，5MN AB ==，将DCE ∆沿DE 所在直线翻折得到△DC E '， 5DC DC ∴'==，C E CE '=，2AM =，624DM AD AM ∴=-=-=，如图1，在Rt △C MD '中，2222543C M DC DM ''-=-， 532C N MN C M ∴'=-'=-=， 90CDM DCN NMD ∠=∠=∠=︒，∴四边形CDMN 是矩形，4CN DM ∴==，90CNM ∠=︒， 4NE CN CE CE =-=-，在Rt △C NE '中，222NE C N C E +'='，222(4)2CE CE ∴-+=，解得：52CE =．如图2，在Rt △C MD '中，2222543C M DC DM '='-=-=， 538C N MN C M ∴'=+'=+=， 90CDM DCN NMD ∠=∠=∠=︒，∴四边形CDMN 是矩形，4CN DM ∴==，90CNM MNE ∠=∠=︒， 4NE CE CN CE =-=-，在Rt △C NE '中，222NE C N C E +'='，222(4)8CE CE ∴-+=，解答：10CE =，故答案为：52或10．10．解：四边形ABCD 是矩形，3AB CD ∴==，2BC AD ==，M 是AD 边的中点，1AM MD ∴==将AMN ∆沿MN 所在直线折叠，1AM A M '∴==∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A C '有最小值，2210MC MD CD =+A C ∴'的最小值101MC MA '=-=-故答案为：101-11．解：在Rt ABC ∆中，222213512BC AB AC =-=-=，（1）当90EDB ∠'=︒时，如图1，过点B '作B F AC '⊥，交AC 的延长线于点F ，由折叠得：13AB AB ='=，BD B D CF ='=，设BD x =，则B D CF x '==，12B F CD x '==-，在Rt AFB ∆'中，由勾股定理得：222(5)(12)13x x ++-=，即：270x x -=，解得：10x =（舍去），27x =，因此，7BD =．（2）当90DEB ∠'=︒时，如图2，此时点E 与点C 重合，由折叠得：13AB AB ='=，则1358B C '=-=，设BD x =，则B D x '=，12CD x =-，在Rt △B CD '中，由勾股定理得：222(12)8x x -+=，解得：263x =，因此263BD =．故答案为：7或263．12．解：如图，作点A 关于BC 的对称点T ，取AD 的中点R ，连接BT ，QT ，RT ，RM ，MT ．四边形ABCD 是矩形，90RAT ∴∠=︒，2AR DR ==243AT AB ==，2222(2)(43)52RT AR AT ∴+=+，A ，A '关于DP 对称，AA DP ∴'⊥，90AMD ∴∠=︒，AR RD =，12RM AD ∴=MT RT RM -，42MT ∴， MT ∴的最小值为QA QM QT QM MT +=+，42QA QM ∴+QA QM ∴+的最小值为13．解：①四边形ABCD 是正方形，90A B BCD D ∴∠=∠=∠=∠=︒．由折叠可知：90GEP BCD ∠=∠=︒，90F D ∠=∠=︒．90BEP AEG ∴∠+∠=︒， 90A ∠=︒，90AEG AGE ∴∠+∠=︒， BEP AGE ∴∠=∠．FGQ AGE ∠=∠，BEP FGQ ∴∠=∠．90B F ∠=∠=︒， PBE QFG ∴∆∆∽．故①正确；②过点C 作CM EG ⊥于M ，由折叠可得：GEC DCE ∠=∠，//AB CD ，BEC DCE ∴∠=∠，BEC GEC ∴∠=∠，在BEC ∆和MEC ∆中，90B EMC BEC GEC CE CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEC MEC AAS ∴∆≅∆．CB CM ∴=，BEC MEC S S ∆∆=．CG CG =，Rt CMG Rt CDG(HL)∴∆≅∆，CMG CDG S S ∆∆∴=， CEG BEC CDG BEC CDQH S S S S S ∆∆∆∆∴=+>+四边形，∴②不正确；③由折叠可得：GEC DCE ∠=∠，//AB CD ，BEC DCE ∴∠=∠，BEC GEC ∴∠=∠，即EC 平分BEG ∠．∴③正确； ④连接DH ，MH ，HE ，如图，BEC MEC ∆≅∆，CMG CDG ∆≅∆，BCE MCE ∴∠=∠，MCG DCG ∠=∠， 1452ECG ECM GCM BCD ∴∠=∠+∠=∠=︒，EC HP ⊥，45CHP ∴∠=︒．45GHQ CHP ∴∠=∠=︒．由折叠可得：45EHP CHP ∠=∠=︒，EH CG ∴⊥．222EG EH GH ∴-=．由折叠可知：EH CH =．222EG CH GH ∴-=．CM EG ⊥，EH CG ⊥，90EMC EHC ∴∠=∠=︒，E ∴，M ，H ，C 四点共圆，45HMC HEC ∴∠=∠=︒．在CMH ∆和CDH ∆中，CM CD MCG DCG CH CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CMH CDH SAS ∴∆≅∆．45CDH CMH ∴∠=∠=︒， 90CDA ∠=︒，45GDH ∴∠=︒，45GHQ CHP ∠=∠=︒，45GHQ GDH ∴∠=∠=︒． HGQ DGH ∠=∠，GHQ GDH ∴∆∆∽，∴GQ GHGH GD=．2GH GQ GD ∴=⋅． 22GE CH GQ GD ∴-=⋅．∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．故答案为：①③④． 14．解：（1）将(1,0)A -，(0,2)C 代入212y x bx c =-++，∴2102c b c =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，213222y x x ∴=-++；（2）令0y =，则2132022x x -++=，解得1x =-或4x =，(4,0)B ∴，4OB ∴=，14(2)122BCD S OD ∆∴=⨯⨯+=，4OD ∴=，(0,4)D ∴-，设直线BD 的解析式为y kx b =+， ∴440b k b =-⎧⎨+=⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，联立方程组2413222y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得37x y =-⎧⎨=-⎩或40x y =⎧⎨=⎩， (3,7)P ∴--；（3）如图1，当B '在第一象限时，设直线BC 的解析式为y k x b ''=+，∴240b k b '=⎧⎨''+=⎩，解得122k b ⎧'=-⎪⎨⎪'=⎩，122y x ∴=-+，设1(,2)2E t t -+，OH t ∴=，122EH t =-+，(0,4)D -，(4,0)B ，OB OD ∴=，45ODB ∴∠=︒，直线EB '与直线BP 相交所成锐角为45︒，//EB CD '∴，由折叠可知，4OB BO '==，BE B E '=，在Rt OHB '∆中，B H '11(2)222B E t t '∴-+-，122BE t ∴-，在Rt BHE ∆中，222112)(4)(2)22t t t -=-+-+，解得t =，04t，t ∴，B '∴；如图2，当B '在第二象限，45BGB '∠=︒时，45ABP ∠=︒，//B G x '∴轴，将OEB ∆沿直线OE 翻折得到OEB '∆，BE B E '∴=，OB OB '=，BOE B OE '∠=∠，BOE B EO '∴∠=∠，//B E B O ''∴，B E BO '=，∴四边形B OBE '是平行四边形，4B E '∴=，1(4,2)2B t t '∴--+，由折叠可知4OB OB '==，∴平行四边形OBEB '是菱形，BE OB ∴=，∴4=，解得4t =4t =-， 04t，4t ∴=-(B '∴；综上所述：B '的坐标为或(．方法2：在Rt BCO ∆中，BC =::1:2CO OB BC =，BP 与x 轴和y 轴的夹角都是45︒，BP 与B E '的夹角为45︒，//B E x '∴轴或//B E y '轴，当//B E y '轴时，延长B E '交x 轴于F ，B F OB '∴⊥，CBA OB E '∠=∠，∴△OB F CBO '∆∽， ::1:2:5OF FB B O ''∴=，4OB OB '==，455FO ∴=，855B F '=，45(5B '∴，85)5；当//B E x '轴时，过B '作B F x '⊥中交于F ， B F OF '∴⊥，//B E OB '，B E '和BE 关于OE 对称，OB 和OB '关于OE 对称，//BE OB '∴，FOB OBC '∠=∠，∴△OB F BCO '∆∽， ::1:2:5B F FO OB ''∴=，4OB OB '==，455B F '∴=，855OF =，85(5B '∴-，45)5；综上所述：B '坐标为45(5，85)5或85(5-，45)5．15．解：（1）抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于(2,0)A -，(6,0)B 两点， ∴4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得：143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的表达式为2134y x x =-++；（2）抛物线2134y x x =-++与y 轴交于点C ，(0,3)C ∴，设直线BC 的解析式为y kx b =+，把(6,0)B 、(0,3)C 代入，得：603k b b +=⎧⎨=⎩，解得：123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为132y x =-+，设点P 的横坐标为m ，则21(,3)4P m m m -++，1(,3)2E m m -+，2211133(3)4242h m m m m m ∴=-++--+=-+，点P 是第一象限内抛物线上的一个动点， 06m ∴<<，213(06)42h m m m ∴=-+<<；（3）如图，过点E 、F 分别作EH y ⊥轴于点H ，FG y ⊥轴于点G ，21(,3)4P m m m -++，1(,3)2E m m -+，21342PE m m ∴=-+，PF CE ⊥，90EPF PEF ∴∠+∠=︒，PD x ⊥轴，90EBD BED ∴∠+∠=︒，又PEF BED ∠=∠，EPF EBD ∴∠=∠，90BOC PFE ∠=∠=︒， BOC PFE ∴∆∆∽，∴EF OCPE BC=，在Rt BOC ∆中，22226335BC OB OC =++ 2213513))424235OC EF PE m m m m BC ∴=⨯=-+=-+， EH y ⊥轴，PD x ⊥轴，90EHO EDO DOH ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ODEH 是矩形，EH OD m ∴==，//EH x 轴，CEH CBO ∴∆∆∽，∴CE BCEH OB=，即35CE m ，52CE m ∴=，CF EF =，1524EF CE m ∴==， ∴25513()4542m m m =-+，解得：0m =或1m =，06m <<，1m ∴=；（4）抛物线2134y x x =-++，∴抛物线对称轴为直线1212()4x =-=⨯-，点Q 在抛物线的对称轴上，∴设(2,)Q t ，设抛物线对称轴交x 轴于点H ，交CP 边于点G ，则3GQ t =-，2CG =，90CGQ ∠=︒，①当点O '恰好落在该矩形对角线OP 所在的直线上时，如图，则CQ 垂直平分OO '，即CQ OP ⊥，90COP OCQ ∴∠+∠=︒，又四边形OCPD 是矩形，4CP OD ∴==，3OC =，90OCP ∠=︒， 90PCQ OCQ ∴∠+∠=︒，PCQ COP ∴∠=∠，4tan tan 3CP PCQ COP OC ∴∠=∠==， ∴4tan 3GQ PCQ CG =∠=，∴3423t -=，解得：13t =，1(2,)3Q ∴；②当点O '恰好落在该矩形对角线CD 上时，如图，连接CD 交GH 于点K ，点O 与点O '关于直线CQ 对称，CQ ∴垂直平分OO '， OCQ DCQ ∴∠=∠，//GH OC ，CQG OCQ ∴∠=∠，DCQ CQG ∴∠=∠，CK KQ ∴=，C 、P 关于对称轴对称，即点G 是CP 的中点，////GH OC PD ，∴点K 是CD 的中点，3(2,)2K ∴，32GK ∴=，32CK KQ t ∴==-，在Rt CKG ∆中，222CG GK CK +=，222332()()22t ∴+=-，解得：11t =（舍去），21t =-，(2,1)Q ∴-； ③当点O '恰好落在该矩形对角线DC 延长线上时，如图，过点O '作O K y '⊥轴于点K ，连接OO '交CQ 于点M ，点O 与点O '关于直线CQ 对称，CQ ∴垂直平分OO '， OCM O CM ∴∠=∠'，90OMC O MC ∠=∠'=︒，3O C OC '==， 90O KC DOC ∠'=∠=︒，O CK DCO ∠'=∠，∴△O CK DCO '∆∽，∴O K CK CO OD CO CD ''==，即3435O K CK '==，125O K ∴'=，95CK =，924355OK OC CK ∴=+=+=， 12(5O ∴'-，24)5，点M 是OO '的中点，6(5M ∴-，12)5，设直线CQ 的解析式为y k x b ='+'，则612553k b b ⎧-'+'=⎪⎨⎪'=⎩，解得：123k b ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，∴直线CQ 的解析式为132y x =+，当2x =时，12342y =⨯+=， (2,4)Q ∴；综上所述，点Q 的坐标为1(2,)3或(2,1)-或(2,4)．16．解：（1）如图1中，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，46ADB DBC ∴∠=∠=︒，由翻折不变性可知，1232DBE EBC DBC ∠=∠=∠=︒，故答案为23．（2）【画一画】，如图2中，【算一算】如图3中， 73AG =，9AD =，720933GD ∴=-=，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，DGF BFG ∴∠=∠，由翻折不变性可知，BFG DFG ∠=∠，DFG DGF ∴∠=∠，203DF DG ∴==，4CD AB ==，90C ∠=︒， ∴在Rt CDF ∆中，22163CF DF CD =-=，113BF BC CF ∴=-=，由翻折不变性可知，113FB FB ='=，2011333DB DF FB ∴'=-'=-=．【验一验】如图4中，小明的判断不正确．理由：连接ID ，在Rt CDK ∆中，3DK =，4CD =，22345CK ∴=+=， //AD BC ，DKC ICK ∴∠=∠，由折叠可知，90A B I B ∠''=∠=︒，90IB C D ∴∠'=︒=∠，CDK ∴∆∽△IB C '， ∴CD DK CK IB B C IC ==''，即435IB B C IC==''，设3CB k '=，4IB k '=，5IC k =，由折叠可知，4IB IB k ='=，459BC BI IC k k ∴=+=+=，1k ∴=，5IC ∴=，4IB '=，3B C '=，在Rt ICB ∆'中，3tan 4CB B IC IB '∠'=='，连接ID ，在Rt ICD ∆中，4tan 5DC DIC IC ∠==， tan tan B IC DIC ∴∠'≠∠， B I ∴'所在的直线不经过点D ．17．（1）证明：四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，//AB CD ，90A ∠=︒，AE EB =，DF FC =，AE DF ∴=，//AE DF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，90A ∠=︒，∴四边形AEFD 是矩形；（2）证明：如图2，设BM 与EN 交于点O ，四边形AEFD 是矩形，EF 是折痕，////EF AD BC ∴，ONB CBN ∴∠=∠，BE AE =，BO OM ∴=，由翻折可知，90MNB A ∠=∠=︒，OM OB ON ∴==，OBN ONB ∴∠=∠，OBN CBN ABM ∴∠=∠=∠， 90ABC ∠=︒，30ABM ∴∠=︒；（3）解：如图31-中，当NA ND =时，连接BN ，过点N 作NH AD ⊥于H 交BC 于F ．NA ND =，NH AD ⊥，4AH HD ∴==，90BAH ABF AHF ∠=∠=∠=︒， ∴四边形ABFH 是矩形，4BF AH ∴==，5AB FH ==，90BFN ∴∠=︒，5BN BA ==，223FN BN BF ∴=-=，532HN HF FN ∴=-=-=，90ABM AMB ∠+∠=︒，90NAH AMB ∠+∠=︒，ABM NAH ∴∠=∠，90BAM AHN ∠=∠=︒，ABP HAM ∴∆∆∽，∴AM AB HN AH =，∴524AP =，52AP ∴=；如图32-中，当AN AD =时，连接BN ，设BM 交AN 于F ．8AD AN ==，5BA BN ==，BF AN ⊥，4AF FN ∴==，223BF AB AF ∴=-=，tan AP AF ABF AB BF ∠==， ∴453AP =，203AP ∴=；如图33-中，当DA DN =时，因为BD 是线段AN 的垂直平分线，BM 也是线段AN 的垂直平分线，所以，BM 与BD 重合，所以点M 与点D 重合，8AM =；如图34-中，当NA ND =时，连接BN ，过点N 作NH AD ⊥于H 交BC 于F ． 5BN =，4BF =，3FN ∴=，358NH =+=，由ABM HAN ∆∆∽，∴AM AB HN AH =，∴584AM =，10AM ∴=，综上所述，满足条件的AM 的值为52或203或8或10． 18．解：（1）如图①对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，EF ∴垂直平分AB ，AN BN ∴=，AE BE =，90NEA ∠=︒，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点N 处，BM ∴垂直平分AN ，90BAM BNM ∠=∠=︒，AB BN ∴=，AB AN BN ∴==，ABN ∴∆是等边三角形， 60EBN ∴∠=︒，30ENB ∴∠=︒，60MNE ∴∠=︒，故答案为：是，等边三角形，60；（2）折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点H 处， 45ABG HBG ∴∠=∠=︒，15GBN ABN ABG ∴∠=∠-∠=︒，故答案为：15︒；（3）折叠矩形纸片ABCD ，使点A 落在BC 边上的点A '处， ST ∴垂直平分AA '，AO A O '∴=，AA ST '⊥，//AD BC ，SAO TA O '∴∠=∠，ASO A TO '∠=∠，ASO ∴∆≅△()A TO AAS 'SO TO ∴=，∴四边形ASA T '是平行四边形，又AA ST '⊥，∴四边形SATA '是菱形；（4）折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A '处， AT A T '∴=，在Rt △A TB '中，A T BT '>，10AT AT ∴>-， 5AT ∴>，点T 在AB 上，∴当点T 与点B 重合时，AT 有最大值为10， 510AT ∴<，∴正确的数值为7，9，故答案为：7，9．19．（1）证明：如图①，BE 与MN 的交点记作点O ，由折叠知，90BON ∠=︒， 90CBE BNM ∴∠+∠=︒，MH BC ⊥，90MHN ∴∠=︒，90HMN BNM ∴∠+∠=︒，CBE HMN ∴∠=∠，四边形ABCD 为矩形，90A ABC C BHM ∴∠=∠=∠=︒=∠， ∴四边形ABHM 是矩形，AB MH ∴=，BC AB =，BC MH ∴=，在EBC ∆和NMH ∆中，C BHM BC MH CBE HMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EBC NMH ASA ∴∆≅∆；（2）①证明：同（1）的方法得，C BHM ∠=∠，CBE HMN ∠=∠， EBC NMH ∴∆∆∽；②解：设(0)DE x x =>，点E 为CD 的三等分点， Ⅰ、当2CE DE =时，2CE x ∴=，3CD x =，2BC BA =，6BC x ∴=，同①的方法得，四边形CDMH 是矩形， 3MH CD x ∴==，由①知，EBC NMH ∆∆∽， ∴EC BC NH MH =，∴263x x NH x =，NH x ∴=，设(0)AM y y =>，同①的方法得，四边形AMHB 是矩形， BH AM y ∴==，BN x y ∴=+，5CN BC BN x y ∴=-=-，由折叠知，EN BN x y ==+，在Rt ECN ∆中，根据勾股定理得，222CN CE EN +=， 222(5)(2)()x y x x y ∴-+=+，73y x ∴=或0x =（舍去），73AM x ∴=，103BN x y x =+=，∴77310103x AM BN x ==， Ⅱ、当2DE CE =时，同Ⅰ的方法得．3137AM BN =，即710AM BN =或3137．。

中考数学第二轮专题突破能力提升专题5 折叠问题课件

解：如图，过点 M 作 MF⊥DC 于点 F， ∵在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A＝60°， M 为 AD 中点，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°， ∴∠FMD＝30°，MD＝1，∴FD＝12MD＝12，
∴FM＝DM×cos30°＝ 23，∴MC＝ FM2＋CF2＝ 7， ∴EC＝MC－ME＝ 7－1
4．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，求∠DAF的度数．
解析：由△ABE沿AE折叠到△AEF，得出∠BAE＝∠FAE，由∠AEB＝55°， ∠ABE＝90°，求出∠BAE.
解：∵△ABE沿AE折叠到△AEF， ∴∠BAE＝∠FAE.∵∠AEB＝55°，∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝90°－55°＝35°， ∴∠DAF＝∠BAD－∠BAE－∠FAE＝90°－35°－35°＝20°
1．以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是( C ) A．如图1，展开后测得∠1＝∠2 B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．如图3，测得∠1＝∠2 D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD
解析：根据折叠后图形的不变性得出等量关系，对每一选项逐一进行判断．
7．如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB＝8 cm，BC＝10 cm，求 tan∠EAF.
解：∵四边形 ABCD 为矩形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝10， ∵折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处， ∴AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝6，∴FC＝BC－BF＝4，设 EF＝x，则 DE＝x，CE＝CD－DE＝8－x，在 Rt△CEF 中，∵CF2＋CE2＝EF2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得 x＝5，即 EF＝5，在 Rt△AEF 中，tan∠EAF＝AEFF＝150＝12

中考数学二轮复习专题二跨学科问题-人教版初中九年级全册数学试题

跨学科问题一、中考专题诠释所谓“跨学科”型问题，主要是指在问题中渗透了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，或者说借用了高一级学科或者同阶段中另外学科知识，引导学生在理解的基础上能对学过知识的灵活运用，这就要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，这贵在重视学生应用新的知识解决问题的能力培养。

二、解题策略和解法精讲“跨学科问题专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理运用已学知识点进行迁移．三、中考典例剖析考点一：推理与论证例1 .（2014•某某某某，第26题6分）A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A 队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．考点：推理与论证．分析：根据题意每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛，根据规则每场比赛，两队得分的和是3分或2分，据此对A队的胜负情况进行讨论，从而确定．解答：每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛．若A队两胜一平，则积7分．因此其它队的积分不可能是9分，依据规则，不可能有球队积8分，每场比赛，两队得分的和是3分或2分．6场比赛两队的得分之和最少是12分，最多是18分，∴最多只有两个队得7分．所以积7分保证一定出线．若A 队两胜一负，积6分．如表格所示，根据规则，这种情况下，A 队不一定出线．同理，当A 队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．总之，至少7分才能保证一定出线．点评：本题考查了正确进行推理论证，在本题中正确确定A 队可能的得分情况是关键．对应训练1．（2015某某崇左第18题3分）4个数a ，b ，c ，d 排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：=ad ﹣bc ．若=12，则x=．解析：33-+x x 33+-x x =12，即(x+3)2-(x-3)2=12,12x=12,x=1. 点评：对于新定义的题，首先要看懂运算的法则，把新定义问题转化为常规的数学问题来解决.本题新定义的实质是将四个整式交叉相乘再求差，运用完全平方公式，去括号、合并同类项法则等进行化简，最后转化为解方程确定结果.考点二：与物理学科有关的问题例2 （2014•某某某某,第8题3分）如图，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（）第1题图A．12B．23C．13D．512考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，∴小灯泡发光的概率为：=12．故选A．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．对应训练2．（2015•某某，第10题3分）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F（kg）与时间t （s）的函数图象大致是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．分析：开始一段的弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称的读数逐渐增大，直到全部进入空气，重量保持不变．解答：解：根据铁块的一点过程可知，弹簧称的读数由保持不变﹣逐渐增大﹣保持不变．故选：A．点评：本题考查了函数的概念及其图象．关键是根据弹簧称的读数变化情况得出函数的图象．考点三：超出课标X围问题例3 （2014•某某某某,第20题8分）解方程：．考点：高次方程分析：先把方程组的第二个方程进行变形，再代入方程组中的第一个方程，即可求出x，把x的值代入方程组的第二个方程，即可求出y．解答：解：，由方程x﹣2y=2得：4y2=15x2﹣60x+60（3），将（3）代入方程5x2﹣4y2=20，化简得：x2﹣6x+8=0，解此方程得：x=2或x=4，代入x﹣2y=2得：y=0或，即原方程组的解为或．点评：本题考查了解高次方程的应用，解此题的关键是能得出关于x定的一元二次方程，题目比较好，难度适中．对应训练3. （2014·某某，第23题3分）若有一等差数列，前九项和为54，且第一项、第四项、七项的和为36，则此等差数列的公差为何？( )A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6分析：由等差数列的性质可知：前九项和为54，得出第五项＝54÷9＝6；由且第一项、第四项、第七项的和为36，得出第四项＝36÷3＝12，由此求得公差解决问题．解：∵前九项和为54，∴第五项＝54÷9＝6，∵第一项、第四项、第七项的和为36，∴第四项＝36÷3＝12，∴公差＝第五项﹣第四项＝6﹣12＝﹣6．故选：A．点评：此题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用．考点四：开放题型中的新定义例4 （2014•某某某某，第25题14分）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标．解答：（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），∴﹣4=a•1﹣3，解得 a=﹣1，∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．设衍生直线为y=kx+b，∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），∴，∴，∴衍生直线为y=﹣x﹣3．（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得，解得或，∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），∴1=a（0﹣1）2﹣1，解得 a=2，∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．（3）∵N（0，﹣3），∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．设点P坐标为（x，﹣2），∵O（0，0），M（1，﹣4），∴OM2=（x M﹣x O）2+（y O﹣y M）2=1+16=17，OP2=（|x P﹣x O|）2+（y O﹣y P）2=x2+4，MP2=（|x P﹣x M|）2+（y P﹣y M）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）．②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得 x=9，即P（9，﹣2）．③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．综上所述，当P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．点评：本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是“利用其表示坐标系中两点距离”是近几年考试的热点，学生需熟练运用．对应训练4．（2015•某某庆阳，第27题，12分）定义运算max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如max{﹣3，2}=2．（1）max{，3}=；（2）已知y1=和y2=k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{，k2x+b}=，结合图象，直接写出x的取值X围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：新定义．分析：（1）根据3＞和已知求出即可；（2）根据题意得出≥k2x+b，结合图象求出即可；（3）分为两种情况：当2x+1≥x﹣2时，当2x+1＜x﹣2时，结合已知求出即可．解答：解：（1）max{，3}=3．故答案为：3；（2）∵max{，k2x+b}=，∴≥k2x+b，∴从图象可知：x的取值X围为﹣3≤x＜0或x≥2；（3）当2x+1≥x﹣2时，max{2x+1，x﹣2}=2x+1，当2x+1＜x﹣2时，max{2x+1，x﹣2}=x﹣2．点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，能读懂题意是解此题的关键．四、中考真题演练1. (2012某某六盘水，8，3分)定义：(,)(,)f a b b a =，(,)(,)g m n m n =--，例如(2,3)(3,2)f =，(1,4)(1,4)g --=，则((5,6))g f -等于（）A ．(6,5)-B ．(5,6)--C ．(6,5)-3D ．(5,6)-2. （2013某某某某，5，3分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是（）A ．.B ．C ．D ．3.(2013某某某某，25，4分)如图，A ，B ，C 为⊙O 上相邻的三个n 等分点，AB ＝BC ，点E 在BC 上，EF 为⊙O 的直径，将⊙O 沿EF 折叠，使点A 与A ′重合，点B 与点B ′重合，连接EB ′，EC ，EA ′．设EB ′＝b ，EC ＝c ，EA ′＝p ．现探究b ，c ，p 三者的数量关系：发现当n ＝3时，p ＝b ＋c ．请继续探究b ，c ，p 三者的数量关系：当n ＝4时，p ＝______；当n ＝12时，p ______．(参考数据：sin15°＝cos75624-cos15°＝sin75624+)4. （2012某某随州，9,3分）定义：平面内的直线1l 与2l 相较于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线1l ，2l 的距离分别为a 、b ，则称有序非负实数对（a,b ）是点M 的“距离坐标”。

第四章第05讲难点探究专题：线段上的动点问题七年级数学上册同步学与练(北师大版2024)[含答案]

第05讲难点探究专题：线段上的动点问题（4类热点题型讲练）目录【考点一线段上含动点求线段长问题】【考点二线段上含动点求定值问题】【考点三线段上含动点求时间问题】【考点四线段上含动点的新定义型问题】【考点一线段上含动点求线段长问题】例题：（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）1．点C 在线段AB 上满足2AC BC =，点D 和点E 是线段AB 上的两动点（点D 在点E 的左侧）满足21cm DE =，36cm AB =．(1)当点E 是BC 的中点时，求AD 的长度；(2)当53AD CE =时，求CD 的长度．【变式训练】（2023七年级上·全国·专题练习）2．（1）如图，已知12cm AB =，点C 为线段AB 上的一个动点，D 、E 分别是AC 、BC 的中点；①若点C 恰为AB 的中点，则DE = cm ；②若4cm AC =，则DE = cm ；（2）如图，点C 为线段AB 上的一个动点，D 、E 分别是AC BC 、的中点；若AB a =，则DE = ；（23-24七年级上·浙江宁波·期末）3．如图，已知线段12AB =，点C 为线段AB 上一动点，点D 在线段CB 上且满足:1:2CD DB =．(1)当点C 为AB 中点时，求CD 的长．(2)若E 为AD 中点，当2DE CE =时，求AC 的长．（23-24七年级上·河北承德·期末）4．应用题：如图，已知线段12AB =cm ，点C 为线段AB 上的一个动点，点D 、E 分别是AC 和BC 的中点．(1)若4AC =，求DE 的长；(2)若C 为AB 的中点，则AD 与AB 的数量关系是______；(3)试着说明，不论点C 在线段AB 上如何运动，只要不与点A 和B 重合，那么DE 的长不变．（2023七年级上·全国·专题练习）5．如图，P 是线段AB 上一点，18cm AB =，C ，D 两动点分别从点P ，B 同时出发沿射线BA 向左运动，到达点A 处即停止运动．(1)若点C ，D 的速度分别是1cm/s ，2cm/s ．①若2cm 14cm AP <<，当动点C ，D 运动了2s 时，求AC PD +的值；②若点C 到达AP 中点时，点D 也刚好到达BP 的中点，求:AP PB ；(2)若动点C ，D 的速度分别是1cm/s ，3cm/s ，点C ，D 在运动时，总有3PD AC =，求AP 的长度．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）6．综合与实践已知数轴上A 、B 两点所表示的数分别为3-和9．(1)观察发现：直接写出线段AB=__________．(2)情境探究：情境①：当点P为线段AB的中点时，且M为PA的中点，N为PB的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段MN=__________；情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为PA的中点，N为PB的中点，试通过计算判断MN的长度是否发生变化？(3)迁移类比：当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为PA的中点，N为PB的中点，直接写出线段MN的长．【考点二线段上含动点求定值问题】例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）7．如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为6-，3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．(1)若点P表示的有理数是0，那么MN的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为___________．(2)点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．【变式训练】（23-24七年级上·湖南湘西·期末）8．如图，M 是线段AB 上一动点，沿A B A ®®以1cm/s 的速度往返运动1次，N 是线段BM 的中点，5cm AB =，设点M 运动时间为t 秒()010t ££．(1)当2t =时，①AM =______cm ，②此时线段BN 的长度=______cm ；(2)用含有t 的代数式表示运动过程中AM 的长；(3)在运动过程中，若AM 中点为C ，则CN 的长度是否变化？若不变，求出CN 的长；若变化，请说明理由．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）9．如图，B 是线段AD 上一动点，沿A D A ®®的路线以2cm /s 的速度往返运动1次，C 是线段BD 的中点，10cm AD =，设点B 的运动时间为()s 010t t ££．(1)当2t =时，则线段AB =________cm ，线段CD =________cm ；(2)当t 为何值时，AB CD =？(3)点B 从点A 出发的同时，点E 也从点A 出发，以cm /s(02)a a <<的速度向点D 运动，若当运动时间t 满足05t ££时，线段EC 的长度始终是一个定值，求这个定值和a 的值．（23-24七年级上·全国·单元测试）10．A ，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为4-，且10AB =．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t 秒（t 0>）．(1)当1t =时，AP 的长为，点 P 表示的有理数为；(2)当2PB =时，求t 的值；(3)M 为线段AP 的中点，N 为线段PB 的中点．在点 P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段MN 的长．（23-24七年级上·福建福州·期末）11．如图，线段24AB =，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 运动，M 为AP 的中点．点P 的运动时间为x 秒．x=时，求BM的长；(1)若5(2)当P在线段AB上运动时，2BM PB-是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由；(3)当P在射线AB上运动时，N为BP的中点，求MN的长度．（23-24七年级上·河南南阳·期末）AB=，C、D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧，且都12．如图，已知线段16不与端点A、B重合），2CD=，E为BC的中点．AC=时，求DE的长；(1)如图1，当4(2)如图2，F为AD的中点．、在线段AB上移动过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；①点C D若不会，请仅以图2为例求出EF的长；CF=时，请直接写出线段DE的长．②当0.5【考点三线段上含动点求时间问题】例题：（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）AE=，点B、C、D在线段AD上，且13．如图1，已知线段48cmAB BC CD DE=．:::1:2:1:2(1)BC =__________cm ，CD =__________cm ；(2)已知动点M 从点A 出发，以2cm /s 的速度沿A B C D E ----向点E 运动；同时动点N 从点E 出发，以1cm /s 的速度沿E D C B A ----向点A 运动，当点M 到达点E 后立即以原速返回，直到点N 到达点A ，运动停止；设运动的时间为t ．①求t 为何值，线段MN 的长为12cm ；②如图2，现将线段AE 折成一个长方形ABCD （点A 、E 重合），请问：是否存在某一时刻，以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形面积与以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形面积相等，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）14．定义：在同一直线上有,,A B C 三点，若点C 到,A B 两点的距离呈2倍关系，即2AC BC =或2BC AC =，则称点C 是线段AB 的“倍距点”．(1)线段AB 的中点该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”）(2)已知9AB =，点C 是线段AB 的“倍距点”，直接写出AC = ．(3)如图1，在数轴上，点A 表示的数为2，点B 表示的数为20，点C 为线段AB 中点．①现有一动点P 从原点O 出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t 秒(0)t >，求当t 为何值时，点P 为AC 的“倍距点”？②现有一长度为2的线段MN （如图2，点M 起始位置在原点），从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点N 为MC 的“倍距点”时，请直接写出t 的值．【考点四线段上含动点的新定义型问题】例题：（23-24七年级上·福建龙岩·期末）15．已知线段20AB =，点C 在线段AB 上，且35AC AB =．(1)求线段AC，CB的长；=．(2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为D，设AP a①请用含有a的式子表示线段PC，DC的长；②若三个点D，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称D，P，C三点为“和谐点”，求使得D，P，C三点为“和谐点”的a的值．【变式训练】（22-23七年级上·山东青岛·期末）AB AC和BC，若其中一条16．如图1，点C在线段AB上，图中有三条线段，分别为线段,线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．(1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；AB=，点C为线段AB的“巧点”，则AC=_______；(2)若线段18cmAB=，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，点(3)如图2，已知．18cmQ从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段AQ的“巧点”？并说明理由．（23-24七年级上·安徽·期末）17．（1）【新知理解】如图1，点C在线段AB上，图中有3条线段，分别是AC，BC，AB，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点C是线段AB的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”）（2）【新知应用】-，点B对应的数为7，若点C在线段AB 如图2，A，B为数轴上的两点，点A对应的数为5上，且点C为线段AB的“妙点”，当点C在数轴的负半轴上时，点C对应的数为______．（3）【拓展探究】已知A，B为数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足()2-++=，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，若点P的运动速度840a b为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒3个单位长度，当点P，Q相遇时，运动停止．求当点P恰好为线段AQ的“妙点”时，点P在数轴上对应的数．1．(1)9cm (2)33cm 2【分析】本题考查线段的和差，线段的中点．（1）由2AC BC =，36cm AC BC AB +==可得24cm AC =，12cm BC =，由点E 是BC 的中点，得到16cm 2CE BC ==，从而15cm CD DE CE =-=，9cm AD AC CD =-=；（2）设cm CE x =，则55cm 33AD CE x ==，()524cm 3CD AC AD x =-=-，根据21cm CD CE DE +==即可得到方程，求解即可解答．【详解】（1）∵2AC BC =，36cm AC BC AB +==，∴24cm AC =，12cm BC =，∵点E 是BC 的中点，∴()11126cm 22CE BC ==´=，∵21cm DE =，∴()21615cm CD DE CE =-=-=，∴()24159cm AD AC CD =-=-=；（2）设cm CE x =，则55cm 33AD CE x ==，()524cm 3CD AC AD x =-=-，∵21cm CD CE DE +==，∴524213x x -+=，解得92x =，∴()559332424cm 3322CD x =-=-´=．2．（1）①6；② 6；（2）2a【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段的中点等知识点，掌握同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半成为解题的关键．（1）①根据线段的中点性质可得162AC CB AB ===、132CD AC ==、132CE CB ==,然后根据线段的和差即可解答；②由线段的和差可得1248CB =-=，再根据线段的和差可得122CD AC ==,142CE CB ==,然后根据线段的和差即可解答；（2）根据线段的中点性质可得AD DC CE EB ==，，再根据线段的和差即可解答．【详解】解：（1）①∵12cm AB =，点C 恰为AB 的中点，∴()162AC CB AB cm ===,∵D 、E 分别是AC 、BC 的中点,∴()132CD AC cm ==,()132CE CB cm ==,∴336(cm)DE =+=；②∵12cm AB =，4cm AC =，∴()1248CB cm =-=,∵D 、E 分别是AC 、BC 的中点,∴()122CD AC cm ==,()142CE CB cm ==,∴246(cm)DE =+=，故答案为：6，6；（2）∵点D 、E 分别是AC 、BC 的中点，∴AD DC CE EB ==，，∴()111222DE DC CE AC BC AB a =+=+==．故答案为：12a ．3．(1)2(2)6【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形．（1）根据线段中点的性质计算即可；（2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算．【详解】（1）解：∵点C 为AB 中点，12AB =∴162BC AB ==，∵:1:2CD DB =∴123CD BC ==；（2）解：如图，∵E 为AD 中点，∴12AE DE AD ==∵2DE CE =，∴CD CE =，∵12CD DB =：：，∴22BD CD CE DE ===，∴143AE DE BD AB ====，∴122CE DE ==，∴426AC AE CE =+=+=．4．(1)6cmDE =(2)14AD AB =(3)见解析【分析】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系．（1）首先根据线段的和差关系求出8BC AB AC =-=，然后根据线段中点的概念求出2DC =，4CE =，进而求和可解；（2）根据线段中点的概念求解即可；（3）根据线段中点的概念求解即可．【详解】（1）Q 4AC =，\8BC AB AC =-=，Q 点D 是AC 的中点，\2DC =，Q 点E 是BC 的中点，\4CE =，\6DE DC CE =+=(cm )；（2）Q C 为AB 的中点，\12AC AB =，Q 点D 是AC 的中点，\11112224AD AC AB AB ==´=；（3）Q 点D 是AC 的中点，\12DC AC =，Q 点E 是BC 的中点，\12CE CB =，\1116222DE DC CE AC CB AB =+=+==(cm )，\DE 的长不变．5．(1)①12cm ；②1:2；(2)9cm 2．【分析】（1）①先计算BD PC ，，再计算AC PD +即可；②利用中点的性质求解即可；（2）设运动时间为s t ，则cm PC t =，3cm BD t =，得到3BD PC =，又由3PD AC =，得到3PB AP =，进而得到14AP AB =即可求解；本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键．【详解】（1）解：①由题意得：()224cm BD =´=，()122cm PC =´=，()182412cm AC PD AB PC BD \+=--=--=；②∵点C 到达AP 中点时，点D 也刚好到达BP 的中点，设运动时间为t ，则：22AP PC t ==，24BP BD t ==，:2:41:2AP PB t t \==；（2）解：设运动时间为s t ，则cm PC t =，3cm BD t =，3BD PC \=，3PD AC=Q ()3333PB PD BD PC AC PC AC AP \=+=+=+=，()19cm 42AP AB \==．6．(1)12(2)情境①：图见解析，6；情境②：MN 的长度不变．(3)6【分析】本题考查了两点间的距离，线段的中点，理解中点的定义是解答本题的关键．（1）根据两点间的距离求解即可；（2）情境①：先根据点P 为线段AB 的中点求出6AP BP ==，再根据M 为PA 的中点，N 为PB 的中点求出3MP =，3NP =，然后相加即可；情境②：根据M 为PA 的中点，N 为PB 的中点求出12MP AP =，12NP BP =，然后相加即可；（3）根据中点的定义得12PM AP =，12PN BP =，然后根据MN PN PM =-求解即可．【详解】（1）()9312MN =--=．故答案为：12；（2）情境①：如图，∵点P 为线段AB 的中点，∴162AP BP AB ===．∵M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，∴132MP AP ==，132NP BP ==，∴6MN MP NP =+=．故答案为：6；情境②：∵M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，∴12MP AP =，12NP BP =，∴6MN MP NP =+=．∴()11622MN MP NP AP BP AB =+=+==，∴MN 的长度不变；（3）∵M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，∴12PM AP =，12PN BP =，∴()11622MN PN PM PB PA AB =-=-==．7．(1)6；6(2)不会，MN 的长为定值6【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．（1）根据题意求出AP BP 、的长度，根据三等分点的定义求出NP MP 、的长度，即可得到答案；（2）分63a -<<及3a >两种情况分类讨论即可得到答案．【详解】（1）解：若点P 表示的有理数是0，根据题意可知：6,3AP BP ==，Q M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点，224,233MP AP NP BP \====，6MN MP NP \=+=；若点P 表示的有理数是6，12,3AP BP \==，Q M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点，228,233MP AP NP BP \====，6MN MP NP \=-=；故答案为：6；6；（2）解：MN 的长不会发生改变；设点P 表示的有理数为a （6a >-且3a ¹），当63a -<<时，6AP a =+，3BP a =-，Q M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点，2222(6),(3)3333MP AP a NP BP a \==+==-，6MN MP NP \=+=；当3a >时，6AP a =+，3BP a =-，Q M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点，2222(6),(3)3333MP AP a NP BP a \==+==-，6MN MP NP \=-=；综上所述，点P 在射线AB 上运动（不与点A ，B 重合）的过程中，MN 的长不会发生改变，长是定值6．8．(1)①2，②1.5；(2)当05t ££时，cm AM t =，当510t <£时，()10cm AM t =-；(3)CN 的长度不变，为2.5cm【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义，列代数式：（1）①根据路程等于速度乘以时间进行求解即可；②根据线段的和差关系和线段中点的定义可得答案；（2）分当05t ££时，当510t <£时，两种情况讨论求解即可；（3）根据线段中点的定义得到1122CM AM NM BM ==，，再由线段的和差关系可得1 2.5cm 2CN CM MN AB =+==．【详解】（1）解；①由题意得，212cm AM =´=；②∵5cm AB =，2cm AM =，∴3cm BM AB AM =-=，∵N 是线段BM 的中点，∴1 1.5cm 2BN BM ==；（2）解：当05t ££时，cm AM t =，当510t <£时，()10cm AM t =-；（3）解：∵点C 和点N 分别是AM BM ，的中点，∴1122CM AM NM BM ==，，∴111 2.5cm 222CN CM MN AM BM AB =+=+==，∴CN 的长度不变，为2.5cm ．9．(1)4；3(2)5S 3或25S 3(3)1a =，定值为5【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系（1）根据2t =可求出AB 的长以及BC 的长，再由C 是线段BD 的中点，即可求得；（2）分情况讨论，当A D ®时，存在AB CD =；当D A ®时，存在AB CD =，考虑两种情况即可；（3）根据点B 和点E 的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段EC ，即可求得．【详解】（1）解：∵10cm AD =，点B 以2cm /s 的速度运动，∴2t =时，4cm AB =，6cm BD =，∵C 是线段BD 的中点，∴3cmBC CD ==故答案为：43，（2）解：∵C 是线段BD 的中点，∴12BC CD BD ==，∵AB CD =，∴AB BC CD ==，∴310AB =，10cm 3AB CD ==，当点B 从A D ®时，()1052s 33t =¸=当点B 从D A ®时，∵点B 沿A D A ®®的路线需要()()1010210s +¸=故()52510s 33t =-=综上所述，当t 为5s 3或25s 3时，AB CD =．（3）解：如图，由题意得：点E 的速度是cm /s a ，点B 速度为2cm /s∵02a <<，∴点B 在点E 右侧，由题意可知2,,102AB t AE at BD t===-∴2EB t at=-∵C 是线段BD 的中点∴152BC BD t ==-即25EC EB BC t at t=+=-+-∵线段EC 的长度始终是一个定值∴()15EC a t =-+故10a -=解得1a =，定值为510．(1)2，2-；(2)4t =或6t =；(3)5MN =【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面．（1）根据点P 的运动速度，即可求出；（2）当2PB =时，要分两种情况讨论，点P 在点B 的左侧或是右侧；（3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变．【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度，所以当1t =时，AP 的长为2，因为点 A 对应的有理数为4-，2AP =，所以点P 表示的有理数为2-；（2）解：当2PB =，要分两种情况讨论，点P 在点B 的左侧时，因为10AB =，所以8AP =，所以4t =；点P 在点B 的是右侧时，12AP =，所以6t =；（3）解：MN 长度不变且长为5．理由如下：当P 在线段AB 上时，如图，∵M 为线段AP 的中点，N 为线段PB 的中点，∴12MP AP =，12NP BP =，∴ ()1122MN AP BP AB =+=，∵10AB =，∴5MN =．当P 在线段AB 的延长线上时，如图，同理可得：()11522MN MP NP AP BP AB =-=-==；综上：5MN =．11．(1)19cm(2)2BM PB -是定值，定值为24(3)12cm【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键．（1）当5x =时，2510AP =´=，则152AM AP ==，根据BM AB AM =-，计算求解即可；（2）由题意知，12AM AP =，BM AB AM =-，根据()()22BM PB AB AM AB AP AB -=---=，求解作答即可；（3）由题意知，分当P 在线段AB 上运动时，如图1，根据()1122MN MP NP AP BP AB =+=+=，计算求解即可；当P 在线段AB 的延长线上运动时，如图2，根据()1122MN MP NP AP BP AB =-=-=，计算求解即可．【详解】（1）解：当5x =时，2510AP =´=，∵M 为AP 的中点，∴152AM AP ==，∴19BM AB AM =-=，∴BM 的长为19．（2）解：当P 在线段AB 上运动时， 2BM PB -是定值；由题意知，12AM AP =，BM AB AM =-，∴()()22224BM PB AB AM AB AP AB AP AB AP AB -=---=--+==，∴2BM PB -是定值，定值为24；（3）解：当P 在线段AB 上运动时，如图1，图1由题意知，1122PN BP MP AP ==，，∴()1112cm 22MN MP NP AP BP AB =+=+==；当P 在线段AB 的延长线上运动时，如图2，图2由题意知，1122PN BP MP AP ==，，()1112cm 22MN MP NP AP BP AB =-=-==；综上所述，MN 的长度为12cm ．12．(1)4(2)①不会发生变化，EF 的长是7；②4.5或5.5【分析】本题考查两点间的距离，（1）先求出12BC =，再根据线段中点的定义得到6CE =，最后根据DE CE CD =-可得答案；（2）①根据()12EF AB AB CD =-+可得结论；②分两种情况讨论即可；熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键．【详解】（1）解：∵4AC =，16AB =，∴16412BC AB AC =-=-=，∵E 为BC 的中点，∴1112622CE BC ==´=，∵2CD =，∴624DE CE CD =-=-=，∴DE 的长为4；（2）①∵E 是BC 的中点，F 是AD 的中点，16AB =，2CD =，∴12AF FD AD ==，12CE BE BC ==，∴EF FD DE=+1122AD BC CD =+-()12AD BD CD CD =++-1122AB CD =-1116222=´-´7=，∴线段EF 的长度不会发生变化，7EF =；②当点F 在点C 的左侧时，∵0.5FC =，2CD =，∴ 2.5FD FC CD =+=，由①知：7EF =，∴7 2.5 4.5DE EF FD =-=-=；当点F 在点C 的右侧时，∵0.5FC =，CD =2，∴ 1.5FD CD FC =-=，由①知：7EF =，∴7 1.5 5.5DE EF FD =-=-=，综上所述，当0.5CF =时，线段DE 的长为4.5或5.5．13．(1)16，8(2)①12t s =或20s 或36s ；②存在，8t s=【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题，线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形．（1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果；（2）①分为相遇前，相遇后以及M 点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M 在BC 上，N 在AD 上），此时CM AN =即可列出方程求得，当M 点返回时，点M 在AD 上，点N 在BC 上，此时AM CN =，列出方程求得，【详解】（1）解：248161212BC cm =´=+++，14881212CD cm =´=+++，故答案是：16，8；（2）①当M 、N 第一次相遇时，481612t s ==+，当M 到达E 点时，48242t s ==，如图1，当016t <<时，21248t t ++=，∴12t =，如图2，当1224t <<时，21248t t -+=，∴20t =，如图3，当2448t <<时，24812t t =-+，∴36t =，综上所述：12t s =或20s 或36s ；②如图4，当016t <<时，由AN CM =得，242t t -=，∴8t =，如图5，当2432t £<时，24824t t -=-，∴24t =，此时不构成四边形，舍去综上所述：8t s =．14．(1)不是(2)3或6或9或18(3)①52或4或10；②5t =或8或10或13【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差，（1）根据中点的意义可得AP BP =，不满足“倍距点”定义，即可作答；（2）分情况讨论当点C 在线段AB 上时，当点C 在线段AB 延长线上时，当点C 在线段BA 延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可；（3）①由题意得，2OP t =，表示出22,211AP t CP t =-=-，根据点P 为AC 的“倍距点”，可得2AP CP =或2CP AP =，得出222211t t -=-或211222t t -=-，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M 表示的数为t ，点N 表示的数为2t +，表示出2119NC t t =+-=-，根据点N 为MC 的“倍距点”，可得2NC MN =或2MN NC =，进而得出94t -=或91t -=，解绝对值方程求解即可；熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键．【详解】（1）假设点P 是线段AB 的中点，∴AP BP =，∴线段AB 的中点不是该线段的“倍距点”，故答案为：不是；（2）当点C 在线段AB 上时，9AB AC BC =+=，若2AC BC =，则6AC =，若2BC AC =，则3AC =；当点C 在线段AB 延长线上时，2AC BC =，则9AB BC ==，则18AC =当点C 在线段BA 延长线上时，2BC AC =，则9AB AC ==；故答案为：3或6或9或18；（3）∵在数轴上，点A 表示的数为2，点B 表示的数为20，点C 为线段AB 中点，∴点C 表示的数为11，①由题意得，2OP t =，∴22,211AP t CP t =-=-，若点P 为AC 的“倍距点”，则2AP CP =或2CP AP =，即222211t t -=-，解得4t =或10；或211222t t -=-，解得 2.5t =（负舍）；综上，t 的值为52或4或10；②由题意得点M 表示的数为t ，点N 表示的数为2t +，∴2119NC t t =+-=-，∵点N 为MC 的“倍距点”，∴则2NC MN =或2MN NC =，即94t -=或91t -=，解得5t =或8或10或13．15．(1)12cm AC =，8cmCB =(2)①当点P 在线段AC 上时，()12cm PC a =-，112cm 2DC a æö=-ç÷èø；当点P 在线段BC 上时，()12cm PC a =-，112cm 2DC a æö=-ç÷èø；②a 的值为8或16【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键．（1）由线段15cm AB =，点C 在线段AB 上，且35AC AB =，可得答案；（2）①分当点P 在线段AC 上时和当点P 在线段BC 上两种情况分别计算即可；②分情况列方程可得a 的值．【详解】（1）解：解：∵线段20cm AB =，点C 在线段AB 上，且35AC AB =，∴32012cm 5AC =´=，2208cm 5CB =´=；（2）解：①当点P 在线段AC 上时，∵点D 是AP 的中点，∴1122AD AP a ==，()12cm PC AC AP a =-=-，112cm 2DC AC AD a æö=-=-ç÷èø；当点P 在线段BC 上时，∵点D 是AP 的中点，∴1122PD AP a ==，()12cm PC AP AC a =-=-，112cm 2DC AC AD a æö=-=-ç÷èø；②当点P 在线段AC 上时，则DP PC =，∴1122a a =-，解得：8a =，当点P 在线段BC 上时，则DC PC =，∴112122a a -=-，解得：16a =，综上：a 的值为8或16．16．(1)是；是(2)6cm 或9cm 或12cm (3)18s 7或18s 5或9s 2，理由见解析【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论．（1）根据线段“巧点”的定义进行判断即可；（2）根据点C 为线段AB 的中点或三等分点时，点C 是线段AB 的“巧点”进行解答即可；（3）分三种情况：当13AP AQ =时，当12AP AQ =时，当23AP AQ =时，分别列出方程求出结果即可．【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”；故答案为：是；是．（2）解：∵当点C 为线段AB 的中点或三等分点时，点C 是线段AB 的“巧点”，∴()11189cm 22AC AB ==´=，或()11186cm 33AC AB ==´=，或()221812cm 33AC AB ==´=．故答案为：6cm 或9cm 或12cm ．（3）解：由题意得：2AP t =，BQ t =，18AQ t =-，t 的范围应该在0~9秒之间，∵点P 为AQ 的巧点，∴点P 应该在点Q 的左边，t 的范围应该在0~6秒之间，当13AP AQ =时，P 为AQ 的巧点，∴()1218t 3t =- ，解得：187t =；当12AP AQ =时，P 为AQ 的巧点，∴()t 21218t =-，解得：185t =；当23AP AQ =时，P 为AQ 的巧点，∴()2218t 3t =- ，解得：92t =；所以当t 为18s 7或18s 5或9s 2时，点Р为线段AQ 的“巧点”．17．（1）是；（2）1-；（3）163或4【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用．（1）根据“妙点”的定义即可判断；（2）根据点C 为线段AB 的“妙点”，且点C 在数轴的负半轴上，则2BC AC =，设C 为x ，建立方程求解即可；（3）设当点P 恰好为线段AQ 的“妙点”时，,P Q 的运动时间为t ，13AP AQ =或13PQ AQ =，利用方程的思想解得t ，继而求得点P 在数轴上对应的数．【详解】（1）如图1，∵C 为线段AB 的三等分点，∴2BC AC =，∴点C 为线段AB 的“妙点”故答案为：是（2）如图2，∵点A 对应的数为5-，点B 对应的数为7，∴7(5)12AB =--=，又点C 为线段AB 的“妙点”，当点C 在数轴的负半轴上时，设C 为x ，∵2BC AC =，∴72(5)x x -=+，解得：1x =-，点C 对应的数为1-，故答案为：1-（3）()2840a b -++=Q ，∴8,4a b ==-，∴8(4)12AB =--=设当点P 恰好为线段AQ 的“妙点”时，,P Q 的运动时间为t ，则2,3,123,125AP t BQ t AQ t PQ t ===-=-，依题意：13AP AQ =或13PQ AQ =，即12(123)3t t =-或1125(123)3t t -=-，解得：43t =或2t =，又当点P ，Q 相遇时，2312t t +=，得125t =，即1205t ££，当43t =时，48233AP =´=，故点P 在数轴上对应的数为816833-=，当2t =时，224AP =´=，故点P 在数轴上对应的数为844-=，故答案为：163或4。

探究题-折叠问题-中考数学第二轮总复习课件(全国通用)

3
折叠问题常用方法1：
B
F5
C
找出折叠后出现的等角、等边并结合图形
本身的特点借助于勾股定理构造方程求解.
知识梳理
题型概述
考点归纳
【折法3】将矩形ABCD沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上的点F处
(1)△ABF与△FCE相似吗？;
A
D
(2)求EC的长.
3
E
【分析】∠D=∠AFE=90º,得Rt△ABF∽Rt△FCE
①用相似三角形列方程 ②把条件集中到一直角三角形，根据勾股定理列方程
知识点
01 利用折叠求角度 02 利用折叠求线段 03 动态折叠问题
知识梳理
题型概述
考点归纳
全等形
相等的边
求
相等的角
角
本质轴对称
的
折
叠
对称性
对称轴的垂大
直平分线
小
问Байду номын сангаас
题数学思想
方程思想
利用相似
线段的
利用直角三角形
与∠BEG相等的角的个数为_3__. E
知识点一
E
D
50º 65º
65º
D´
65º
G
FC
C´
D
H
B
GC
知识点
01 利用折叠求角度 02 利用折叠求线段 03 动态折叠问题
典例精讲
利用折叠求线段
知识点二
【例2】如图,折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm，
AD=10cm,求EC的长.
矩形折叠问题的常用方法
一、找出折叠后出现的等角、等边并结合图形本身的特点借助于勾股定理构造方程求解。二、利用相似三角形由相似比列方程求解。

八年级数学期末专题复习-四：“动点”、“翻折”、“重叠”问题例谈(Word版-含解析、点评和练习)

八数下期期末专题四：“动点”、“翻折”、“重叠”问题例谈第 1页（共 16页）第 2页（共 16页）2017-2018下学期八年级数学专题复习四：“动点”、“翻折”、“重叠”问题例谈编写：赵化中学郑宗平八年级数学下册中的含“动点”、“翻折”以及“重叠”的题型主要集中在《勾股定理》、《平行四边形》和《一次函数》的三个章节中,且常常是这三个章节综合起来的题型比较多;含“动点"、“翻折”以及“重叠”的题型一直统考和中考的热点题型，下面我精选一部分典型题分专题进行分析、解答、点评并附有少量追踪练习,希望同学们能从中悟出一些道理，总结破题的思路，同时感受到这类题型所蕴含的数学魅力.题目一.“动点”问题例谈一.在动点中求最小值例.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 上的一点，BE 2AE 3BE ==，; P 是AC 上一动点,则PB PE +的最小值是多少？分析: 如分析图所示,过B 作关于AC 的对称点,根据正方形的性质其对称点恰好在D 点处,连结ED 交AC 于点'P ,根据轴对称的性质、三角形三边之间的关系以及连接D E 、两点之间线段最短，可以知道此时的''P B P E +值最小.（这里我有个“将军饮马”的故事与同学们分享.）略解：过B 作关于AC 的对称点，根据正方形的性质其对称点恰好在D 点处，连结ED 交AC 于点'P ，连接'P B ∵BE 2AE 3BE ==， ∴AE 6= ∴AB 8=.根据正方形的性质的性质可知：AD AB 8DAB 90==∠=，. 在Rt △DAE 中勾股定理易求2222ED AE AD 6810=+=+=。

∵B 和D 关于AC 对称，根据轴对称的性质可知：''P B P D =,∴''P B P E +=''P D P E DE 10+==。

变式.正方形ABCD 的边长为4，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若P Q 、分别是AD 和AE 上的动点，则DQ PQ +的最小值是 .点评:在一直线上求作一点,使其到直线同一侧的两定点的距离之和最小，往往要通过作其中一个点关于此直线的对称点,把两定点转化到直线的两侧，连接对称点和另一定点就可以找到这个动点的使其有最小值的位置，根据的是“两点之间，线段最短”、“垂线段最最短"。