均值不等式常考题型
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用之羊
若含玉创作
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则
22
2b a ab +≤（当且仅当
b a =时取“=”）
2. (1)若*
,R b a ∈，则ab b
a ≥+2 (2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b
a =时取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则
2
2⎪⎭⎫
⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）
0x >，则
12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1
2x x +≤- (当且仅
当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则
111
22-2x x x x x x +
≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
0>ab ，则2
≥+a b
b a (当且仅当b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两
个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值规模、证明不等式、解决实际问题方面有普遍的应用． 应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2
＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用之公
保含烟创作
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则
22
2b a ab +≤（当且仅事先
b a =取“=”）
2. (1)若*
,R b a ∈，则ab b
a ≥+2 (2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅事先
b a =取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则
2
2⎪⎭⎫
⎝⎛+≤b a ab (当且仅事先b a =取“=”）
0x >，则
12x x +
≥ (当且仅事先1x =取“=”）;若0x <，则1
2x x +≤- (当且仅
事先1x =-取“=”）
若0x ≠，则
111
22-2x x x x x x +
≥+≥+≤即或 (当且仅事先b a =取“=”）
0>ab ，则2
≥+a b
b a (当且仅事先b a =取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅事先b a =取“=”）
R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤+（当且仅事先b a =取“=”）
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个
正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最年夜”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”
(3)均值定理在求最值、比拟年夜小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有普遍的应用．
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋1
2x 2 （2）y ＝x ＋1
(完整版)均值不等式常考题型
均值不等式及其应用
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”
） (3)若*
,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当
b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取
“=”）;若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 4.若R b a ∈,，则2
)2(
2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的
积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值
例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用之樊
仲川亿创作
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则
22
2b a ab +≤（当且仅当
b a =时取“=”）
2. (1)若*
,R
b a ∈，则
ab b
a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当
b a =时取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则
2
2⎪⎭⎫
⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）
0x >，则
12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1
2x x +≤- (当且仅
当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则
111
22-2x x x x x x +
≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
0>ab ，则2
≥+a b
b a (当且仅当b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正
数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2
＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用
一．均值不等式
1。（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ （2）若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b a =时取
“=")
2. （1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2
（2）若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”
） (3）若*
,R b a ∈，则2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”) 3。若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <，则1
2x x
+≤- （当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 （当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a
b
b a (当且仅当b a =时取“="）
若0ab ≠,则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 4.若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的
积的最小值，正所谓“积定和最小,和定积最大"． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等”
(3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
(1）y ＝3x 2＋1
2x
2 （2）y ＝x ＋错误!
均值不等式的题型和方法
均值不等式的题型和方法
- 题型一：配凑定和。通过因式分解、纳入根号内、升幂等于段等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，配凑定和，求积的最大值。
- 题型二：配凑定积。通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。
- 题型三：配凑常数降幂。
- 题型四：配凑常数升幂。
- 题型五：约分配凑。通过“1”变换或添项进行配凑，使分母能约去或分子能降次。
- 题型六：引入参数配凑。某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”和“定”的条件，建立方程组，解得待定系数，可开辟解题捷径。
- 题型七：引入对偶式配凑。根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。
- 题型八：确立主元配凑。在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当配凑，可创造性地使用均值不等式。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用
一.均值不等式
2 2
1. （1）若a,b € R ，则 a 2
+b 2
>2ab （2）若a,b 亡 R ，则 a^
a b
（当且仅当 a = b 时取
“二”）
2
（2） 若a,b 壬R *，则a + b > 2（当且仅当a = b 时取“=”）
x=1时取“=”）;若X c 0，则X + —仝2 （当且仅当x = —1时取
“=”）
x
若XHO ，则x +- >2即x +->2或x +-<-2 （
当且仅当a = b 时取“=”
3.若ab >0，贝y >2 （当且仅当a =b 时取“=”）
b a
a b a b a b —+ — >2即一
+— >2或一+— <-2 (当且仅当a=b 时取“=”
b a b a
4.若a,b 忘R ，则（王^）2
2
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小
值，正所谓“积定和最小，和定积最大”
.
（2） 求最值的条件“一正，二定，三相等”
（3） 均值定理在求最
值、
应用一：求最值 例1 :求下列函数的值域
2
步=V 6 •••值域为［76 ,+ m
(2)当 x >0 时，y = X +
1
>2p x - X
1
当 X <0 时，y = x +- = —（— X —
•••值域为（一s,— 2] U [2 ,
2
.
（1）
若
a
,^R
*，则宁鼻"
£ a
⑶若a,b 壬R ，则ab 兰丨a +b i （当且仅当a = b 时取“=”）
1 3.若X A O ，则X +— >
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用之袁
州冬雪创作
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则
22
2b a ab +≤（当且仅当
b a =时取“=”）
2. (1)若*
,R b a ∈，则ab b
a ≥+2 (2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅
当b a =时取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则
2
2⎪⎭⎫
⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）
0x >，则
12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1
2x x +≤- (当
且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则
111
22-2x x x x x x +
≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
0>ab ，则2
≥+a b
b a (当且仅当b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当
两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、处理实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2
＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用之阿
布丰王创作
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则
22
2b a ab +≤（当且仅当
b a =时取“=”）
2. (1)若*
,R
b a ∈，则
ab b
a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当
b a =时取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则
2
2⎪⎭⎫
⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）
0x >，则
12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1
2x x +≤- (当且仅
当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则
111
22-2x x x x x x +
≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
0>ab ，则2
≥+a b
b a (当且仅当b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正
数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2
＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
均值不等式题型汇总
均值不等式题型汇总
均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。
类型一：证明题
1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1125()()4a b a b +
+≥
2. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：2222222()a b b c a c a b c +++++≥
++
3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222
b c a a b c a b c
++≥++
4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222
a b c ab bc ac ++≥++
5. 已知实数,,x y z 满足：2221x y z ++=，求xy yz +得最大值。
6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =求证：1818189a b c +++++≥
7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：2222111()63a b c a b c
++++
+≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。
类型二：求最值： 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。
1. 设11,(0,)1x y x y
∈+∞+=且，求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求
112x y +的最小值。 3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab
+的最小值。 4. 求函数11(01)1y x x x
均值不等式常考题型
均值不等式及其利用之杨
若古兰创作
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则
22
2b a ab +≤（当且仅当b
a =时取“=”） 2.
(1)若*
,R b a ∈，则ab
b
a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b
a =时取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则
2
2⎪⎭⎫
⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）
0x >，则
12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1
2x x +≤- (当且仅当
1x =-时取“=”）
若0x ≠，则
111
22-2x x x x x x +
≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
0>ab ，则2
≥+a b
b a (当且仅当b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）
注：（1）当两个负数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个
负数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证实不等式、解决实际成绩方面有广泛的利用． 利用一：求最值
例1：求以下函数的值域
（1）y ＝3x 2
＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
x
均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题20道-带答案
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（均值不等式专题20道-带答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为均值不等式专题20道-带答案的全部内容。
均值不等式专题3
学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________
一、填空题
1．若则的最小值是__________．
2．若，且则的最大值为______________.
3．已知，且，则的最小值为______．
4．已知正数满足，则的最小值是_______。
5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．
6．设正实数满足，则的最小值为________
7．已知,且，则的最小值是________
8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______
9．已知，函数的值域为,则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．
11．若正数x,y满足，则的最小值是______．
12．已知正实数x，y满足,则的最小值为______．
13．若，,，则的最小值为______．
14．若，则的最小值为________。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用
一．均值不等式
1.〔1〕假设R b a ∈,，那么ab b a 22
2
≥+ (2)假设R b a ∈,，那么2
2
2b a ab +≤〔当且仅当b
a =时取“=〞〕
2. (1)假设*,R b a ∈，那么ab b a ≥+2
(2)假设*
,R b a ∈，那么ab b a 2≥+〔当且仅当b a =时
取“=〞〕
(3)假设*
,R b a ∈，那么2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=〞〕 0x >，那么1
2x x
+
≥ (当且仅当1x =时取“=〞〕;假设0x <，那么12x x +≤- (当且仅当1x =-时
取“=〞〕
假设0x ≠，那么11122-2x x x x x x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=〞〕
0>ab ，那么2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时取“=〞〕
假设0ab ≠，那么
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=〞〕 R b a ∈,，那么2
)2(2
22b a b a +≤
+〔当且仅当b a =时取“=〞〕 注：〔1〕当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的
积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大〞． 〔2〕求最值的条件“一正，二定，三相等〞 (3)均值定理在求最值、比拟大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值
例1：求以下函数的值域
〔1〕y ＝3x 2＋12x 2 〔2〕y ＝x ＋1
中考补充专题27.均值不等式
专题27.均值不等式
一．知识点:
1.在a b +≥2ab (a 、b 均为正实数)中,若ab 为定值p,则a b +≥2p ,只有当a=b 时,a+b 有最小值
2p .
二．典型例题
1.阅读理解：对于任意正实数a 、b,
(
)
2
a b -≥
0,2a ab b ∴-+≥0,a b ∴+≥2ab ,只有当a=b 时，等号成立。
结论：在a b +≥2ab (a 、b 均为正实数)中,若ab 为定值p,则a b +≥2p ,只有当a=b 时,a+b 有最
小值2p .
根据上述内容，回答下列问题： (1)若m>0,只有当m=______时,1
m m
+有最小值______.
(2)若m>0,只有当m=______时,8
2m m
+
有最小值______.
(2)思考验证：
①如图1,AB 为半圆O 的直径,C 为半圆上任意一点,(与点A,B 不重合).过点C 作CD ⊥AB,垂足为D,AD=a,DB=b.试根据图形验证a b +≥2ab ，并指出等号成立时的条件； ②探索应用：如图2,已知A(−3,0),B(0,−4)P 为双曲线12
y x
=
(x>0)上的任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D. 求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状。
三．变式练习
1.（绵阳2017年第17题）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点，若CA=5，AB=6，AD ：AB=1：3，则12
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用
一.均值不等式
1、(1)若R b a ∈,,则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,,则2
2
2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”)
2、 (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”)
(3)若*
,R b a ∈,则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当
b a =时取“=”) 3、若0x >,则1
2x x
+
≥ (当且仅当1x =时取
“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”)
3、若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4、若R b a ∈,,则2
)2(2
22b a b a +≤
+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的与的最小值,当两个正数的与为定植时,可以求它们的积的
最小值,正所谓“积定与最小,与定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值
例1:求下列函数的值域
(1)y ＝3x 2＋12x 2 (2)y ＝x ＋1
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”
） (3)若*
,R b a ∈，则2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a
b
b a (当且仅当b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 4.若R b a ∈,，则2)2(2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的
积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
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均值不等式及其应用
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”
） (3)若*
,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当
b a =时取“=”） 3.若0x >，则1
2x x
+
≥ (当且仅当1x =时取
“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 4.若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的
积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
x
解：（1）y ＝3x 2＋1
2x
2 ≥2
3x 2·1
2x
2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）
（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1
x ）≤－2
x ·1
x
=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1
(42)
45
x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，
5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭
231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=
-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当
时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2
3
0<
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=
23,043x 时等号成立。 技巧三： 分离
例3. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
当
,即
时,4
21)591
y x x ≥+⨯
+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t
-+-++==++）
当,即t=时,4
259y t t
≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最
值。即化为()(0,0)()
A
y mg x B A B g x =+
+>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a
f x x x
=+的单调性。
例：求函数2
y =
的值域。
(2)t t =≥，则2
y =1
(2)t t t =
=+≥
因1
0,1t t t >⋅=，但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52
y ≥。 所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）231
,(0)x x y x x ++=
> （2）12,33
y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈
2．已知01x <<，求函数y =.；3．2
03
x <<
，求函数y =. 条件求最值
1.若实数满足2=+b a ，则b
a
33+的最小值是 .
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且b
a
33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： b
a
33和都是正数，b
a
33+≥632332==⋅+b a b a
当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b
a 33+的最小值是6． 变式：若44log log 2x y +=，求
11
x y
+的最小值.并求x,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且
19
1x y
+=，求x y +的最小值。
错解．．
：0,0x y >>，且191x
y +
=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭
故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥等号成立条件是x y =，在19x
y
+≥条件是
19
x y
=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。