同济版大一高数第八章第一节

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要求： 要求：
1、不缺席，有事必须请假。 2、上课认真听,关闭手机。 3、独立完成作业，将教学内容弄清楚后再做。 4、按时交作业，有错及时改。 5、有问题及时与教师交流，同学中互助。
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第八章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 坐标, 方程（ 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标法;
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空间解析几何 是用代数方法来研究空间的几何的问题 它将几何问题化为代数运算来研究， 又将代数问 题用几何图形来解释。 使“数”和“形”密切地结合起来 这种结合是建立在坐标系的基础上，即用有序数组来 表示点、 用代数方程来表示几何图形。 另外还采用了向量法， 其与空间解析几何的关系 甚为密切： 一方面向量代数需要用解析几何的坐标法 来计算向量的大小和方向； 另一方面，采用向量可使 解析几何中有关问题的解法得到更加简化。
z
R (0,0, z )
B (0, y , z )
C ( x , o, z )
o
r
M
y
Q (0, y,0)
x P (x,0,0)
A( x, y,0)
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z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
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2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. r r r 以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M 的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
OM = ON + NM = OA + OB + OC
C
z
r r r r r = x i + y j + z k = (x , y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 , 坐标分解式
r r r r M k j B ro y i A N x
有序数
沿三个坐标轴方向的分向量 分向量. 分向量 r 称为向量 r 的坐标，记为
bx b y bz = = ax a y az
bx = λ a x by = λ a y bz = λ a z
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例2. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为 如图所示
及实数 λ ≠ −1,
A M B
AM = λ MB AM = OM − OA MB = OB − OM
中点公式: 中点公式
x1 + x2 , 2
y1 + y2 , 2
z1 + z 2 2
B M
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五、向量的模、方向角、投影 向量的模、方向角、 z R 1. 向量的模与两点间的距离公式 M r r 设 r = ( x , y , z ), 作 OM = r , Q o r y 则有 r = OM = OP + OQ + OR P N x 由勾股定理得 r = x2 + y2 + z 2 r = OM z 对两点 与 因
s = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
a4
a5 a3
s
a2
r r （或共线） 特别：a b r r r c = a + b 方向一致 指向相同 r r r 指向相反 c = a − b 方向与模大的一致
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a1
2. 向量的减法 两向量 a 与 的差为
具体的做法：把 a 与
a 移到共同的起点后，从减
解得 思考: 思考
3 + 5 + ( −2 − z )
2 2
2
14 故所求点为 M (0 , 0 , ) . 9
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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提示: 提示 (1) 设动点为 M ( x , y , 0) , 利用 M A = M B , 得 且 (2) 设动点为 M ( x , y , z ) , 利用 M A = M B , 得
r x o x i 在 ox 轴上任取一点 P 对应有向量 op op 对应由实数 x （坐标） r r Q op i ∴ op = x i
P
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三、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. z z 轴(竖轴) Ⅱ • 坐标原点 Ⅲ • 坐标轴
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4、练习 将布置的作业及时独立完成， 练习 有余力可以 做一些未布置的题， 及时总结解题的方法和技巧。 5，阶段小结 每学完一章必须加以总结、记忆、 阶段小结 理解， 用自己的语言把主要内容表达出来，使知识条 理化、系统化、了如指掌，融会贯通。 高等数学是由基本概念理论、性质、运算和应用 基本概念理论、 基本概念理论 性质、 四部分组成。 做到基本概念清楚，基本理论、性质 要弄懂，基本运算要熟练才能做到应用自如，有所 创新。 学数学最好的方式是做数学. 学数学最好的方式是做数学
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第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
第八章 八
四、利用坐标作向量的线性运算 向量的模、方向角、 五、向量的模、方向角、投影
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一、向量的概念
向量: 向量 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). M2 如：力、力矩、位移、速度、加速度 表示法: 表示法 有向线段 M1 M2 , 或 a , （数量（标量）：与方向无关的量 如：长度、面积、时间、质量、温度） 向量的模 : 向量的大小, （几何上为有向线段的长度） 矢径): 向径 (矢径 起点为原点的向量. 矢径 自由向量: 自由向量 与起点无关的向量. （简称向量） 单位向量: 单位向量 模为 1 的向量, 零向量: 零向量 模为 0 的向量, 其方向是任意的 9
高等数学
第一讲
1
下册教学内容和学时安排
第八章 第九章 第十章 第十一章 空间解析几何与向量代数 多元函数微分法及其应用 重积分 曲线积分与曲面积分 （12） （16） （12） （13） 13 （16） （14） （6）
第十二章 无穷级数 第七章 微分方程 总复习
共计88 共计 学时
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学习方法
因今后的工作中用到更多的知识不可能在大学 中都学习到，因此在学习过程中不但要学会应学的 知识外，还必须培养自己的读书能力。 1、预习 大学里教学进度快， 理论性强应先预习， 预习 做到带着问题有目的地听课。 2、听课 认真听，在不影响听课的原则下尽可 听课 能记笔记， 听完课后必须知道这堂课的重点， 关键思路 是什么，解决的方法是什么。 把所讲内容全部搞懂， 3、复习 趁热打铁及时复习， 复习 重要问题要记熟， 在可能的条件下看参考书。
a
14
定理1. 定理
设 a 为非零向量 , 则 a∥b (λ 为唯一实数)
“
” 已知 b＝λ a , 则 b＝0 a , b 同向 a , b 反向 a∥b
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例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .
解: a + b = AC
= −2 MA
ϕ = ( AB , U )
ϕ
0≤ϕ ≤π
B
A
u
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向量在轴上的投影 1）点A在U轴上的投影. •A 过点A作一平面垂直于U轴, 平面与 U轴的交点为 A′, 则 A′ 称为点A A′ 在U轴上的投影。 2）向量 AB 在U轴上的投影 设点 A、B 在U轴上的投影分别是A′、B′。 则在U轴上的有向线段 A′B′的值 A′B′ 称为 AB 在U轴上的投影。 uuu r r 记为 Prj u AB = A′B ′ A
o
得两点间的距离公式 两点间的距ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公式: 两点间的距离公式
y
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x = ( x2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) + ( z 2 − z1 ) 2
2 2
例3. 在 z 轴上求与两点 离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M (0 , 0 , z ) , 因为 M A = M B ,
(−4) 2 + 12+ (7 − z ) 2 =
例4. 已知两点 uuu r 解: AB = (3,1, −2)
和
uuu r AB = 14
求
AB =
o
AB
AB
1 3 1 −2 = , , (3 ,1, − 2)= ( 14 14 14 14
27
)
设有两点 则
特别
28
一般令： 一般令：
称
为向量 分别为向量 在
的三个分向量
轴上的投影。
29
2. 向量与轴的夹角 设空间有一向量 AB 和一轴 U ,
向量的终点向被减向量的终点引有向线段为差。
三角不等式
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3. 向量与数的乘法
r λ 是一个数 , λ 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 λ a .
规定 :
可见 r r r r 总之: λa = λ a 1a = a ; r r r r r 运算律 : 结合律 λ ( µ a ) = µ (λ a ) = λ µ a − 1 a = − a ; 分配律 r r r r λ(a + b ) = λ a + λ b 1 r ro r r r a. 因此 a = a a o 则有单位向量 a = r
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四、利用坐标作向量的线性运算 r r 设 a = ( a x , a y , a z ), b = (bx , b y , bz ) , λ 为实数， r r (a ± b , a ± b , a ± b ) a ±b = x 则 x y y z z r (λ a , λ a , λ a ) λa = x y z 平行向量对应坐标成比例: r r 当 a ≠ 0 时,
M1
相等, 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, , , 记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算 1. 向量的加法 向量是从物理、力学中有方向的量抽象出来的。 根据两个力合成的平行四边形法则对向量的加法： r 平行四边形法则: r F2 c F (a + b) + c r b+c b a+b F1 a + (b + c ) a a+b b a+b 三角形法则: b a a 运算规律 : 交换律 a + b = b + a 结合律 ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c 11 三角形法则可推广到多个向量相加 .
o
A
B M
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OM − O A = λ ( OB − OM )
得 即
OM = 1 ( OA + λ OB ) 1+ λ 1 (x + λx , y + λ y , z + λz ) 1 2 1 2 1 2 1+ λ
说明: 说明 由
1 (x + λ x , y + λ y , z + λz ) 2 1 2 1 2 1+ λ 1 A 得定比分点公式 定比分点公式: 定比分点公式 M x1 + λ x2 y1 + λ y2 , , B 1+ λ 1+ λ z1 + λ z 2 o 1+ λ A 当 λ = 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
Ⅳ
yoz 面
Ⅰ
• 坐标面 • 卦限(八个) Ⅶ
o xoy面
y
y轴(纵轴) Ⅵ
x
x轴(横轴) Ⅴ Ⅷ
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在直角坐标系下
1− − ← 1→ 向径 r 点 M ← → 有序数组 ( x, y , z ) 1− −1
(称为点 M 的坐标 坐标) 坐标 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
D
C
b
A
a
b − a = BD
∴ MA = − 1 ( a + b ) 2 MC = 1 ( a + b ) 2
= −2 MB
M
B
MB = − 1 ( b − a ) 2 MD = 1 ( b − a ) 2
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4、数轴上的点、向量、实数之间的关系 、数轴上的点、向量、 数轴:给定了原点 o, 方向和单位长度的直线。 由于一个单位向量即确定了方向，又确定了单位长度 因此，只要给定了原点和一个单位向量就确定了一个 数轴。 r ox 轴由原点 o 和单位向量 i 所确定
A′B′ ′B ′ = A − A′B′ A′B′ 与 u 轴同向 A′B′ 与 u 轴反向
A′ B′
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u