组合数学教案第2讲.

合集下载

人教版数学二年级上册(2013年新编)第八单元_第02课时_简单的组合(教学设计)

人教版数学二年级上册（2013年新编）第八单元第02课时简单的组合（教学设计）一、教学目标1.知识与能力：–能够认识和解读简单的组合问题。

–能够运用简单的组合方法解决问题。

2.过程与方法：–通过实际情境引入，激发学生学习兴趣。

–采用示例演练，引导学生学习思路。

–组织小组合作，培养学生合作意识和团队精神。

3.情感态度与价值观：–培养学生敢于探索和实践的学习态度。

–培养学生积极主动解决问题的能力。

二、教学重点简单的组合问题的解决方法。

三、教学难点引导学生灵活运用组合方法解决问题。

四、教学准备1.课件：包括简单的组合问题示例。

2.实物道具：用于实际情境引入。

3.小组合作材料：让学生在小组中共同解决问题。

五、教学过程第一步：导入（5分钟）1.利用实物道具引入简单的组合问题，激发学生兴趣。

2.提出一个简单的组合问题，让学生思考可能的解决方法。

第二步：示范与讲解（15分钟）1.通过课件示例演练简单的组合问题解决方法。

2.讲解组合方法的基本原理和步骤。

第三步：小组合作（20分钟）1.将学生分成小组，让他们共同解决几个组合问题。

2.引导学生讨论和协作，培养团队精神。

第四步：总结（10分钟）1.收集学生解决问题的方法和答案。

2.总结组合方法的应用场景和意义。

六、教学反思本节课通过实际情境引入和小组合作的方式，有效激发了学生的学习兴趣和合作意识。

在今后的教学中，可以进一步丰富教学方法，提高学生的动手能力和创新思维。

以上是本节课的教学设计，希望能够帮助学生更好地掌握简单的组合方法解决问题的技巧。

五年级奥数春季实验班第讲组合数学之染色与覆盖

第二讲组合数学之染色与覆盖例1．有一次车展共36个展室，以下列图，每个展室与相邻的展室都有门相通，进口和出口以下图。

观光者（填“能”或“不可以”）从人口进去，不重复地观光完每个展室再从出口出来。

解：答：不可以；如图将展室黑白相间染色，进口为白色，出口也是白色，而走遍36个展室，从白到黑，再从黑到白，共走了35步，最后应当走到黑格，而出口仍旧是白格，矛盾，所以没法达成。

例2．棋盘由下列图所示的9个小圆圈摆列而成，用1~9编号，在3号和9号的小圆圈中各方一枚棋子，分别代表警察和小偷。

若两个小圆圈之间有线相连，则棋子能够从此中一格走入另一格，此刻由警察先走，两人轮番，每人每次走一步，每步能够从一格走到有线相连的临格之中。

假如在6步以内警察走入小偷所在的格子中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；假如警察走了6步还没有抓住小偷，就算他渎职而失败。

问警察应怎样取胜。

147369258解：警察先从3走到1，则小偷从9走到7（或8）；第2步，警察走到2，小偷走到6（或9）；第3步，警察走到3，小偷走到7或8；第4步，警察走到4，小偷走到9；第5步，警察6，小偷不论是走到7（或8），警察在第6步必定能够获胜。

例3．空间六点任三点不共线，任四点不共面，成对地连结它们获得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色），求证：不论这么染，总存在一个同色的三角形。

解：设六点为A、B、C、D、E、F，从A点出发的五条线段AB、AC、AD、AE、AF中起码有3条是同色的，不如设AB、AC、AD为红色，我们再看△BCD的三边，假如都是蓝色，那么存在同为蓝色的△BCD，若△BCD中有一条边不是蓝色，而是红色，不如设BC是红色，则AB、AC、BC都是红色，这是一个红色三角形。

所以总存在一个同色的三角形。

例4．下列图是由14个大小同样的方格构成的图形，试问方格构成的长方形。

（“能”或“不可以”）剪裁成7个由相邻两个解：答：不可以；如图，将图形黑白相间染色，则出现8个黑格，6个白格，而相邻的两个方格构成的长方形必定是一黑一白，矛盾，所以没法裁成7个小长方形。

二年级上册数学教案-第八单元第2课时简单的组合人教版

二年级上册数学教案-第八单元第2课时简单的组合人教版教学内容本课时为二年级上册数学第八单元“图形与几何”的第2课时，内容为简单的组合。

通过本课时的学习，学生将理解组合的概念，学会将简单的图形进行组合，并能描述组合后的图形特征。

教学目标1. 知识与技能：学生能够识别并命名基本的几何图形，理解组合的概念，并能够将简单的图形进行组合。

2. 过程与方法：通过观察、操作和讨论，学生能够发展空间想象力，提高解决问题的能力。

3. 情感、态度和价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生的创造力和探索精神。

教学难点1. 学生对组合概念的理解和运用。

2. 学生在组合图形时的空间想象和操作能力。

教具学具准备1. 教具：多媒体教学设备，用于展示图形组合的动画或图片。

2. 学具：学生自备基本的几何图形模具，如三角形、正方形、圆形等。

教学过程1. 导入：利用多媒体展示一些简单的图形组合，引导学生观察并提问，激发学生的好奇心和学习兴趣。

2. 新授：讲解组合的概念，通过具体的例子让学生理解什么是图形的组合，并引导学生尝试自己组合图形。

3. 实践：学生分组，每组尝试用基本的几何图形进行组合，形成新的图形，并描述组合后的图形特征。

4. 讨论：每组分享自己的组合成果，全班讨论组合的方法和组合后的图形特征。

5. 总结：教师总结本课时的学习内容，强调组合的概念和组合图形的方法。

板书设计板书将简洁明了地展示本课时的重点内容，包括组合的定义、组合图形的示例以及组合图形的特征。

作业设计1. 学生回家后，用基本的几何图形进行组合，形成一个新的图形，并描述其特征。

2. 家长参与，鼓励学生发挥想象，创造不同的组合图形。

课后反思通过本课时的教学，观察学生在组合图形时的操作能力和空间想象力，以及对组合概念的理解程度。

根据学生的表现，调整教学方法，以更好地满足学生的学习需求。

---本教案旨在通过严谨的教学设计和流畅的段落衔接，确保学生在二年级上册数学第八单元第2课时关于简单组合的学习中，能够达到教学目标，并有效克服教学难点。

二年级上册数学教案8.2 简单的组合人教新课标版

第八单元数学广角——搭配(一)教学设计第2课时简单的组合教学内容教材第98页例2及“做一做”。

内容简析例2 紧密结合学生已有知识,让学生从3个数中任取2个求和,确定得数的种类数。

两个数相加之和与数的位置无关,是组合问题。

其编排层次有2层,第一层次是找出所有满足条件的和,第二层次是数出满足条件的和的个数。

教学目标1.让学生在摆一摆、写一写、画一画等活动中了解并发现最简单事物的组合数的基本思路和解决方法,培养学生有序、全面地思考问题的意识,初步体会组合的思想方法。

2.在发现最简单事物的组合数的过程中,培养学生初步的观察、分析、推理能力,以及恰当地进行数学表达的能力。

3.在排列问题和组合问题的对比中,感悟两类问题的联系与区别,进一步体会解决问题的策略与方法。

4.使学生初步感受组合的思想方法在日常生活中的应用,初步感受数学与生活的密切联系。

教学重难点经历探索最简单事物的组合过程,并掌握其解决方法。

教法与学法1.基于学生已有的排列问题的解题策略和方法,让学生在操作中探究组合问题的解决方法,引导学生有序、全面地思考问题,在解法交流的过程中体会解法多样化,同时能比较出排列问题和组合问题的相同点和不同点。

2.通过操作、观察、猜测等活动,使学生了解发现最简单事物的排列数和组合数的基本思路、基本方法。

承前启后链教学过程复习:最简单事物的排列。

学习:探索最简单事物的组合。

延学:发现图形排列的规律。

一、情景创设,导入课题复习导入:1.复习“排列”。

师:用数字卡片1、2能摆出几个不同的两位数? 生:能摆出两个不同的两位数:12和21。

2.引出“组合”。

师:如果把这两张数字卡片上的数字相加,和会有几种呢? 学生讨论汇报。

师:因为是求两张卡片的和,调换位置的和都是3,和不会变化,得数只有一种。

这种不受位置影响的方式叫“组合”。

(板书:组合)今天我们就来研究“简单的组合”。

(把板书补充完整)【品析．．．:．让学生回顾解决排列问题的策略和方法．．．．．．．．．．．．．．．．．,．调动学生已有的知识经验．．．．．．．．．．．,．并通过两张数．．．．．．字卡片求和引出“组合”．．．．．．．．．．．,．突出强调“组合”与“排列”的不同点．．．．．．．．．．．．．．．．．:．不受位置影响。

人教版二年级数学上册第7单元第2课时《简单的组合》教案

人教版二年级数学上册第7单元第2课时《简单的组合》教案一、教学目标1.理解什么是组合。

2.能够通过列举方法求出简单的组合。

3.能够解决生活中简单的组合问题。

4.培养学生的逻辑思维和观察力。

二、教学重点1.理解组合的概念。

2.掌握列举方法求简单的组合。

三、教学难点1.理解组合的概念对学生可能有一定挑战。

四、教学准备1.教材：人教版二年级数学上册。

2.教具：贝壳、小球、图示卡片等。

五、教学过程1. 导入教师出示一个小盒子，里面装有不同颜色的小球和贝壳，让学生观察并回答：如果任意拿出两个物品，你们认为会有多少种组合方式？2. 学习1.引导学生讨论什么是组合，并给出组合的定义。

2.通过具体例子，讲解如何用列举方法求出简单的组合。

3.让学生自己实践，通过不同的图示卡片组合问题，锻炼他们的组合能力。

3. 拓展1.让学生自己设计一个简单的组合问题，并邀请同学尝试解答。

2.老师根据学生设计的问题，引导同学互相交流和讨论解法，拓展学生的思维。

4. 实践设计一些生活中简单的组合问题，让学生进行实际操作，并分享解题思路和答案。

六、课堂总结通过本节课的学习，学生应该掌握了什么是组合，能够通过列举方法求出简单的组合，并且能够解决生活中一些简单的组合问题。

老师对学生的表现进行肯定和激励，鼓励他们在日常生活中多发挥组合的能力。

七、课后作业1.思考：在您的日常生活中，有哪些情景可以应用到组合的思维？2.练习：完成课后练习册上关于组合的题目。

3.发挥想象：设计一个更复杂的组合问题，让家人或同学来解答。

通过本节课的学习，相信学生对组合的概念有了更深的理解，而且在日常生活中也能够灵活运用这种思维方式。

高中数学第一章计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合(第2课时)教案新人教A版选修2-

1.2.2 组合第二课时教学目标知识与技能了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学过程引入新课提出问题1：判断以下问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系．(1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．活动设计：教师提问．活动成果：(1)是组合问题，(2)是排列问题．1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合与排列的区别和联系：(1)区别：①排列有顺序，组合无顺序．②相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列那么需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．(2)联系：①都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；②排列可以看成先组合再全排列．设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况．提出问题2：利用上节课所学组合数公式，完成以下两个练习：练习1：求证：C m n ＝n m C m －1n －1.(本式也可变形为：mC m n ＝nC m －1n －1)练习2：计算：①C 310和C 710；②C 37－C 26与C 36；③C 411＋C 511. 活动设计：学生板演．活动成果：练习2答案：①120,120 ②20,20 ③792.1．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C mn 表示．2．组合数的公式：C m n＝A mn A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或C mn ＝n ！m ！(n －m)！(n ，m∈N ，且m≤n)．设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础．探索新知提出问题1：由问题2练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充．活动成果：1．性质：(1)C mn ＝C n －mn ；(2)C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .2．证明：(1)∵C n －mn ＝n ！(n －m)！[n －(n －m)]！＝n ！m ！(n －m)！，又C mn ＝n ！m ！(n －m)！，∴C m n ＝C n －mn .(2)C m n ＋C m －1n ＝n ！m ！(n －m)！＋n ！(m －1)！[n －(m －1)]！＝n ！(n －m ＋1)＋n ！m m ！(n －m ＋1)！＝(n －m ＋1＋m)n ！m ！(n －m ＋1)！＝(n ＋1)！m ！(n －m ＋1)！＝C mn ＋1，∴C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质．运用新知类型一：组合数的性质 1(1)计算：C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (2)求证：C nm ＋2＝C nm ＋2C n －1m ＋C n －2m .(1)解：原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210；(2)证明：右边＝(C nm ＋C n －1m )＋(C n －1m ＋C n －2m )＝C nm ＋1＋C n －1m ＋1＝C nm ＋2＝左边． [巩固练习]求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC nn ＝n2n －1.证明：左边＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC nn ＝C 11C 1n ＋C 12C 2n ＋C 13C 3n ＋…＋C 1n C nn ，其中C 1i C in 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选一个的组合数．设某班有n 个同学，选出假设干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长．把这种选法按取到的人数i 分类(i ＝1,2，…，n)，那么选法总数即为原式左边．现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定剩下的n －1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n －1种，所以选法总数为n2n －1种．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．[变练演编]求证：C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C nn ＝n(n ＋1)2n －2.证明：由于i 2C in ＝C 1i C 1i C in 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选两个(可重复)的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长(可兼职)的组合数．对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况．假设组长和副组长是同一个人，那么有n2n －1种选法；假设组长和副组长不是同一个人，那么有n(n－1)2n －2种选法．∴共有n2n －1＋n(n －1)2n －2＝n(n ＋1)2n －2种选法．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．类型二：有约束条件的组合问题2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有 C 3100＝100×99×981×2×3＝161 700种．(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C 12×C 298＝9 506种．(3)解法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12×C 298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C 12×C 298＋C 22×C 198＝9 604种．解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C 3100－C 398＝161 700－152 096＝9 604种．点评：“至少〞“至多〞的问题，通常用分类法或间接法求解． [巩固练习]1．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C 34，C 24×C 16，C 14×C 26种方法，所以，一共有C 34＋C 24×C 16＋C 14×C 26＝100种方法．解法二：(间接法)C 310－C 36＝100.2．按以下条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ (1)甲、乙、丙三人必须当选； (2)甲、乙、丙三人不能当选； (3)甲必须当选，乙、丙不能当选； (4)甲、乙、丙三人只有一人当选； (5)甲、乙、丙三人至多2人当选；(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；解：(1)C 33C 29＝36；(2)C 03C 59＝126；(3)C 11C 49＝126；(4)C 13C 49＝378； (5)方法一：(直接法)C 03C 59＋C 13C 49＋C 23C 39＝756，方法二：(间接法)C 512－C 33C 29＝756；(6)方法一：(直接法)C 13C 49＋C 23C 39＋C 33C 29＝666，方法二：(间接法)C 512－C 03C 59＝666. [变练演编]有翻译人员11名，其中5名精通英语、4名精通法语，还有2名英、法语皆通．现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少X 不同的？解：分三类：第一类：2名英、法语皆通的均不选，有C 45C 44＝5种；第二类：2名英、法语皆通的选一名，有C 12C 35C 44＋C 12C 45C 34＝60种；第三类：2名英、法语皆通的均选，有A 22C 35C 34＋C 25C 44＋C 45C 24＝120种．根据分类加法计数原理，共有5＋60＋120＝185种不同的． [达标检测]1．计算：(1)C 399＋C 299；(2)2C 38－C 39＋C 28.2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求X 、王两人中至多有一个人参加，那么有不同的选法种数为________．3．从7人中选出3人参加活动，那么甲、乙两人不都入选的不同选法共有______种．答案：课堂小结1．知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题． 2．方法收获：化归的思想方法． 3．思维收获：化归的思想方法．补充练习[基础练习]1．求证：(1)C mn ＋1＝C m －1n ＋C mn －1＋C m －1n －1；(2)C m ＋1n ＋C m －1n ＋2C mn ＝C m ＋1n ＋2.2．某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有______．3．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．(1)都不是次品的取法有多少种？(2)至少有1件次品的取法有多少种？(3)不都是次品的取法有多少种？4．从编号为1,2,3，…，10,11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，那么一共有多少种不同的取法？38＝56；3．解：(1)C490＝2 555 190；(2)C4100－C490＝C110C390＋C210C290＋C310C190＋C410＝1 366 035；(3)C4100－C410＝C190C310＋C290C210＋C390C110＋C490＝3 921 015.4．解：分为三类：1奇4偶有C16C45；3奇2偶有C36C25；5奇有C56，所以一共有C16C45＋C36C25＋C56＝236种不同的取法．[拓展练习]现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，那么有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C24C23；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C34C13；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C34C23.所以一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42种方法．设计说明本节课是组合的第二课时，本节课的主要目标有两个，一个是学生在教师的问题驱动下自主探究组合数的性质，并在老师的带领下，体会组合数公式的应用；另一个是体会把具体计数问题化归为组合问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．备课资料相同元素分组分配问题解决方法：档板法．(1)参加联赛的10个名额要分配到高三年级的8个班级中，那么每个班级至少一个名额的分配方法有______种；(2)10个相同的小球全部放入编号为1、2、3的盒子中，那么使每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数的方法有______种．解析：利用档板法．(1)相当于在排成一排的10个“1〞所形成的9个空隙中，选出7个插入7块档板的方法，每一种插板方法对应一种名额分配方法，有C79种方法；(2)可以首先在2、3号盒子中先分别放入1、2个球，然后在剩余的7个球排成一排形成的6个空隙中选出2个空隙各插入一块板，有C26种方法．注：档板法的使用比较灵活，且对数学思想方法要求较高，现利用档板法证明一个不定方程的自然数解的组数的结论：方程x1＋x2＋…＋x m＝n(m，n∈N，m，n≥2)的自然数解有C m－1n＋m－1组．简证：转化为正整数解的组数，利用档板模型有：作代换y i＝x i＋1(i＝1,2，…，m)，那么方程x1＋x2＋…＋x m＝n的自然数解的组数，即y1＋y2＋…＋y m＝n＋m的正整数解的组数，相当于把n＋m个球分成m份，每份至少1个的方法数，即在n＋m－1个球的间隙中放置m－1个档板的方法种数，即C m－1n＋m－1.。

人教B版新教材高中数学选择性必修第二册教案设计-组合数的性质及应用

第2课时组合数的性质及应用学习目标核心素养1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点)2.能解决无限制条件的组合问题．(难点)通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养.某国际会议中心有A 、B 、C 、D 和E 共5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小4种型号，总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号．问题：会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种？组合数的性质(1)C m n ＝C n －mn ； (2)C m ＋1n ＋C m n ＝C m ＋1n ＋1.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C 1m ＋C 2m ＝C 3m ＋1(m ≥2且m ∈N *)．( )(2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有C 12C 16种． (3)把4本书分成3堆，每堆至少一本共有C 24种不同分法．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．若C x 6＝C 26，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．0D ．2或4D [由C x 6＝C 26可知x ＝2或x ＝6－2＝4.故选D.] 3．C 58＋C 68的值为________． 84 [C 58＋C 68＝C 69＝9！6！×3！＝9×8×73×2×1＝84.]4．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．96 [甲选修2门，有C 24＝6(种)不同方案．乙选修3门，有C 34＝4(种)不同选修方案．丙选修3门，有C 34＝4(种)不同选修方案．由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)．]组合数的性质81007(2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55；(3)C n n ＋1·C n －1n (n ＞0，n ∈N )．[解](1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. (3)原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n .性质“C m n ＝C n －mn ”的意义及作用[跟进训练]1．(1)化简：C 9m －C 9m ＋1＋C 8m ＝________； (2)已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，求n 的值．(1)0 [原式＝(C 9m ＋C 8m )－C 9m ＋1＝C 9m ＋1－C 9m ＋1＝0.] (2)[解] 根据题意，C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，变形可得C7n＝C8n＋C7n，＋1由组合数的性质，可得C7n＋1＝C8n＋1，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.有限制条件的组合问题出3名同学参加活动．(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？[思路点拨]可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决．[解](1)从余下的34名学生中选取2名，有C234＝561(种)．∴不同的选法有561种．(2)从34名可选学生中选取3名，有C334种．或者C335－C234＝C334＝5 984种．∴不同的选法有5 984种．(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215＝2 100种．∴不同的选法有2 100种．(4)选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方法N＝C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种．∴不同的选法有2 555种．(5)选取3名的总数有C335，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝C335－C315＝6 545－455＝6 090种．∴不同的选法有6 090种．常见的限制条件及解题方法1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．[跟进训练]2．“抗击疫情，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴抗击疫情前线，其中这10名医疗专家中有4名是内科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是内科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名内科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名内科专家的抽调方法有多少种？[解](1)分步：首先从4名内科专家中任选2名，有C24种选法，再从除内科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90(种)抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．法一：按选取的内科专家的人数分类：①选2名内科专家，共有C24·C46种选法；②选3名内科专家，共有C34·C36种选法；③选4名内科专家，共有C44·C26种选法．根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185(种)抽调方法．法二：不考虑是否有内科专家，共有C610种选法，考虑选取1名内科专家参加，有C14·C56种选法；没有内科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185(种)抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．①没有内科专家参加，有C66种选法；②有1名内科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名内科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115(种)抽调方法.分组分配问题1．把3个苹果平均分成三堆共有几种分法？为什么？[提示]共1种分法．因为三堆无差异．2．若把3个不同的苹果分给三个人，共有几种方法？[提示]共有A33＝3×2×1＝6种分法．【例3】(教材P20例5改编)6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．[思路点拨](1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．[解](1)根据分步乘法计数原理得到：C26C24C22＝90种．(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C26C24C22种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A33种方法．根据分步乘法计数原理可得：C26C24C22＝x A33，所以x＝C26C24C22A33＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．(3)这是“不均匀分组”问题，一共有C16C25C33＝60种方法．(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C16C25C33A33＝360种方法．(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有C26C24C22＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有C16C25C33A33＝360种方法；③“1、1、4型”，有C46A33＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种1．完全均匀分组，每组的元素个数均相等．2．部分均匀分组，应注意不要重复，有n 组均匀，最后必须除以n ！. 3．完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．[跟进训练]3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．36 [分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有C 24·C 12·C 11A 22种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有C 24·C 12·C 11A 22·A 33＝36(种)．]1．在组合数的计数中，恰当利用组合数的性质解题可以使问题简化． 2．对于含有限制条件的组合问题，要合理分类，必要时可用间接法． 3．对于分组问题应注意避免计数的重复或遗漏，对于分配问题解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关．1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )A ．120种B ．84种C ．52种D ．48种C [间接法：C 38－C 34＝52种．]2．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )A ．A 45种B ．45种C ．54种D ．C 45种D [由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C 45种．]3．方程C x 14＝C 2x －414的解为________．4或6[由题意知⎩⎨⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎨⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6.]4．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________．7 315 [原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821＝C 15＋C 25＋…＋C 1821＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315.]5．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．[解] (1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有C 35C 23＋C 45C 13种，后排有A 55种，共(C 35C 23＋C 45C 13)·A 55＝5 400种． (2)除去该女生后，先选后排，有C 47·A 44＝840种． (3)先选后排，但先安排该男生，有C 47·C 14·A 44＝3 360种．(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C 36种，再安排该男生有C 13种，其余3人全排有A 33种，共C 36·C 13·A 33＝360种．。

《组合数学》教案 2章(母函数)《组合数学》教案 2章(母函数)

第二章母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法比较麻烦（参见表2.0.1）。

新方法：母函数方法。

基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。

2.1 母函数（一）母函数（1）定义【定义2.1.1】对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。

（2）例【例2.1.1】有限数列rn C （r ＝0, 1, 2, …, n ）的普母函数是：()x G ＝nn n n n n x C x C x C C ++++ 2210＝()nx +1【例2.1.2】无限数列{1, 1. …, 1, …}的普母函数是()x G ＝ +++++n x x x 21＝x-11（3）说明● n a 可以为有限个或无限个。

● 数列{}n a 与母函数一一对应。

{0, 1, 1, …, 1, …}↔ +++++nx x x 20＝xx-1● 将母函数视为形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。

（4）常用母函数（二）组合问题（1）组合的母函数【定理2.1.1】组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋n 2＋…＋n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j j i x 10＝∑=n r rr x a 0其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0, 1, 2, …, n 。

理论依据：多项式的任何一项与组合结果一一对应。

优点：● 将无重组合与重复组合统一起来处理； ● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。

（2）特例【推论1】{}n e e e S ,,,21 =，则r 无重组合的母函数为G (x )＝ (1＋x )n组合数为r x 之系数rn C 。

2.组合二-人教版三至四年级教案

组合二-人教版三至四年级教案一、教学目标1.知道组合二的含义；2.掌握数的分解方法；3.能够用分解的方法求出组合数；4.能够在实际问题中应用组合数的概念。

二、教学重难点1.掌握数的分解方法；2.理解组合数的概念。

三、教学过程1. 导入（5分钟）教师可以通过做题或者口头问答的形式，先让学生回想学过的排列和组合的概念，为接下来的学习做铺垫。

2. 讲解（20分钟）1.首先让学生认识组合二的概念，即从n个不同元素中取出r个元素，不考虑顺序的所有可能性。

2.掌握数的分解方法，即如何将一个数字分解成两个数字的和。

教师可以通过数学拼图或其他教具等方式进行展示，让学生们能真正理解。

3. 实践演练（25分钟）1.通过实例的形式，让学生体会数的分解、组合数的计算。

比如：从5个不同元素中取出2个元素，有多少种取法？2.然后让学生自己尝试解决一些类似的题目，巩固计算方法。

4. 拓展应用（25分钟）1.将组合数的概念应用到实际生活中，让学生思考如何用组合数的方法解决某些问题，如从班级里选出一支足球队，有多少种不同的选法。

2.在此基础上，再给学生一些拓展的题目，挑战他们的思维和计算能力。

5. 总结（5分钟）教师对当堂课的教学内容进行总结，并进行引导式提问，帮助学生回忆今天学习的内容，巩固知识点。

四、教学反思1.教育者要善于借助教具，让学生在生动的视觉效果中理解抽象概念。

2.学生在学习过程中，需要不断的练习和运用所学的知识，才能够真正地将知识传承下去。

3.教育需要不断的创新，增加学生的学习兴趣，帮助他们更好地掌握知识。

排列组合教案二：运用创意拓展学生的思维视野

排列组合教案二：运用创意拓展学生的思维视野学科：数学年级：小学五年级主题：排列组合一、教学目标1.了解排列组合的概念和意义2.学会应用排列组合的原理，解决相关问题3.发展创新思维，拓展学生的思维视野二、教学重点和难点1.重点：掌握排列组合的原理及其应用2.难点：创新思维发展，培养学生的创新能力三、教学准备1.学生教材：小学数学五年级上册2.教学课件：PowerPoint3.教学用具：白板、白板笔、彩色粘纸、贴纸等四、教学过程第一步：导入（5分钟）1.利用彩色粘纸和贴纸制作如下几个物品：红气球、蓝海豚、黄狗狗、紫小兔、绿小鸭。

2.教师将这些物品放入一个有打孔的盒子里，让学生们一一摸出并大声说出物品的名称。

3.教师问学生：你们觉得这些物品一共有多少种不同的排列组合？第二步：概念讲解（10分钟）1.教师向学生们解释什么是排列组合。

排列就是按一定的顺序进行的选取，“像一列战士一样排出队列”。

组合则是不管顺序如何，“同团结合，不管站在哪里”。

2.举例子，教师让学生计算：由A、B、C三个字母组成的所有不同的三位组合有几个？共六种，分别是ABC、ACB、BCA、BAC、CAB和CBA。

第三步：应用练习（25分钟）1.教师可以展示一些跟排列组合相关的经典问题，例如“班里有5个男生和4个女生，从其中选出3个人去参加一次模拟演习，问有多少种不同的组合方式”。

2.利用屏幕投影仪，将题目显现在大屏幕上，轻松独立完成的学生可以进行下一步符号计算，而结构思维较弱的学生则可以用图形排列的方式，以直观的方式理解排列组合。

3.教师还可以以数学游戏的形式引导学生学习排列组合，例如：让学生们模拟拼图，按照每个的部件分类，计算每个的个数。

第四步：创新思维（10分钟）1.教师可以将学生分成小组，提供一个题目，让学生通过创新思维从多方面尝试解决问题。

2.比如班里有10个同学，其中4个男生和6个女生，从中选出2个一男一女组成一支乐队。

这个问题只要进行一定的计算，就可以得到结果。

人教版二年级上数学第八单元第2课时《简单的组合》优质课说课稿

人教版二年级上数学第八单元第2课时《简单的组合》优质课说课稿一. 教材分析《简单的组合》是人教版二年级上数学第八单元第2课时的一节课。

这部分内容是在学生已经学习了简单的加法和减法的基础上进行的，主要是让学生学会通过组合来求两个数相加的结果。

教材通过生动的图片和实际生活中的例子，引导学生发现组合的方法，并运用到实际的计算中。

二. 学情分析二年级的学生已经具备了一定的数学基础，对加法和减法有一定的了解。

但是，他们对于组合的概念可能还比较陌生，需要通过实际的操作和例题来理解和掌握。

同时，学生对于抽象的数学概念可能还有一定的困难，需要通过具体的图片和生活实际的例子来帮助他们理解和掌握。

三. 说教学目标1.让学生理解组合的概念，能够通过实际的例子来理解和掌握组合的方法。

2.能够运用组合的方法来求两个数相加的结果。

3.培养学生的观察能力，能够通过观察和操作来发现组合的方法。

四. 说教学重难点1.重点：让学生理解和掌握组合的方法，能够运用组合的方法来求两个数相加的结果。

2.难点：让学生能够通过观察和操作来发现组合的方法，并能够运用到实际的计算中。

五.说教学方法与手段在这节课中，我将采用直观演示法、引导发现法和练习法进行教学。

通过具体的图片和实际的例子，让学生直观地理解组合的概念。

通过引导发现法，让学生通过观察和操作来发现组合的方法。

通过练习法，让学生在实际操作中巩固和运用组合的方法。

六. 说教学过程1.导入：通过出示一些图片，如水果、动物等，让学生观察并说出它们的名字。

引导学生发现，将这些图片组合在一起，可以组成一个新的整体。

2.新课导入：引入组合的概念，让学生理解组合就是将几个事物放在一起，形成一个新的整体。

3.例题讲解：出示一些实际的例子，如2个苹果加上3个苹果，让学生通过实际的操作，发现可以将2个苹果和3个苹果组合在一起，形成一个新的整体，即5个苹果。

4.总结归纳：引导学生总结组合的方法，即通过将几个事物放在一起，形成一个新的整体。

第二课图形的魔术组合(教案)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解图形组合的基本概念。图形组合是指通过拼接、重叠等手法，将简单图形组合成新的、复杂的图形。它是几何学中的重要组成部分，可以帮助我们更好地理解图形的性质和空间结构，同时也能激发我们的创造力和想象力。
案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过将两个等腰三角形组合，我们可以得到一个正方形。这个案例展示了图形组合在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
这些核心素养目标与新教材要求相符，有助于学生在掌握知识的同时，提升综合素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握图形的基本组合方法：教师需引导学生掌握三角形、正方形、长方形等基本图形的组合方法，如拼接、重叠等，以便于创作出新的图形。
举例：通过将两个三角形组合成一个正方形，或用一个长方形和一个三角形组合成一个梯形。
还有一点值得反思的是，课堂总结环节的时间安排。今天的时间有些紧张，导致总结不够充分。在以后的教学中，我需要注意时间分配，确保课堂总结环节能够让学生充分消化所学知识，巩固学习成果。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对图形的组合有着浓厚的兴趣。他们积极参与到课堂讨论和实践中，这让我感到很欣慰。通过这节课的学习，我看到了一些值得反思的地方。
首先，关于教学内容的安排，我觉得将图形组合与现实生活相结合的做法很受学生欢迎。他们在动手操作的过程中，不仅掌握了基本概念，还学会了如何将所学知识应用到实际问题中。在今后的教学中，我将继续关注学生的兴趣点，将生活实例融入课堂，提高他们的学习积极性。
3.运用所学的图形组合知识，解决实际问题，培养学生的创新意识和动手操作能力。
本节课将通过实际操作、小组合作、讨论交流等形式，让学生在轻松愉快的氛围中掌握图形组合的技巧，激发他们对几何图形的兴趣。

高中数学排列与组合教案

高中数学排列与组合教案教学目标：1. 理解排列与组合的概念。

2. 能够应用排列与组合的知识解决实际问题。

3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 排列的概念及其性质。

2. 组合的概念及其性质。

3. 排列与组合的应用。

教学过程：第一课时：1. 引入排列与组合的概念，通过实际例子引发学生对排列与组合的认识。

2. 讲解排列的定义和性质，例如排列中元素不重复出现的特点。

3. 给学生布置一些排列练习题，让他们熟悉排列的运算方法和规律。

第二课时：1. 复习排列的概念和性质。

2. 讲解组合的定义和性质，例如组合中元素可重复出现的特点。

3. 给学生布置一些组合练习题，让他们熟悉组合的运算方法和规律。

第三课时：1. 复习排列与组合的概念和性质。

2. 讲解排列与组合的应用，例如在排队、选做题目等实际问题中的运用。

3. 给学生布置一些综合排列与组合的练习题，让他们能够灵活运用排列与组合的知识解决问题。

教学反馈：1. 对学生在排列与组合方面的理解进行总结和反馈。

2. 引导学生思考排列与组合在日常生活中的应用，并展开讨论。

教学评价：通过作业、课堂表现和练习题的表现评价学生对排列与组合的掌握程度和应用能力。

教学延伸：鼓励学生深入学习排列与组合知识，并拓展到更高级的数学领域，如概率论等。

教学资源：教科书、课件、练习题。

教学提醒：教师应注意引导学生通过实例来理解排列与组合的概念，激发学生的学习兴趣和思考能力。

同时，要关注学生的学习状态，及时调整教学方法，确保学生的学习效果。

高中数学人教版组合教案

高中数学人教版组合教案
主题：组合
一、教学目标
1.了解组合的概念和性质。

2.学习组合的计算方法。

3.掌握组合问题的应用技巧。

二、教学内容
1.组合的基本概念和性质。

2.组合的计算方法和公式。

3.组合问题的解决方法和应用。

三、教学重点和难点
重点：组合的基本概念和计算方法。

难点：组合问题的应用技巧。

四、教学过程
1.导入：引入组合问题的背景及相关实例，激发学生学习兴趣。

2.讲解：介绍组合的概念、性质和计算方法，并演示相关例题。

3.练习：布置一定数量的练习题，引导学生独立解题，并进行讲解和讨论。

4.应用：引导学生运用组合知识解决实际问题，拓展学生思维。

5.总结：总结本节课的学习内容，强调重点和难点。

六、作业布置
1.完成课堂练习题。

2.独立解答一定数量的组合问题，并写出解题过程。

七、教学反思
通过本节课的教学，学生对组合的概念和计算方法有了更深入的理解和掌握，同时培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。

需要引导学生关注组合问题的应用，提高其数学思维和实际应用能力。

组合数学第02讲_砝码问题(教师版)A4

一．单边砝码问题综述：要用一架天枰称出已知的n 个重量数，且天枰只有一端可以放砝码，则最少需要几个砝码？解决思路：由于每次称物时，每个砝码的选择有两种情况（可放、可不放），所以m个砝码总共最多可以称出21m -种不同的重量，且砝码的重量分别为1、2、4、……、12m -，只要使选取的m 满足212m m n -≤≤即可．二．两边砝码问题综述：要用一架天枰称出已知的n 个重量数，且天枰两端都可以放砝码，则最少需要几个砝码？解决思路：由于每次称物时，每个砝码的选择有三种情况（可不放、可放左边、可放右边），所以m 个砝码总共最多可以称出31m -种不同的重量，且砝码的重量分别为1、3、9、……、13m -，只要使选取的m 满足313m m n -≤≤即可．重难点：砝码的选择性决定了砝码能称出的重量数．题模一：单边砝码例1.1.1老师把9颗糖分给丽丽和阿强，使得他俩每人都有糖，有__________种不同的分法．【答案】8【解析】丽丽可以分到1，2，3，4，5，6，7或8颗糖，对应阿强分到8，7，6，5，4，3，2或1颗糖．所以有8种不同的分法．例1.1.2一台天平在称物时，只允许在天平的一边放砝码．现在给你2克、4克和6克的砝码各一个，下列哪种重量的物体不能在这个天平上称出？A ．2克B ．8克C ．11克D ．12克【答案】C【解析】用2克的砝码就能称出2克，A 选项可以．用2克和6克的砝码就能称出8克，B 选项可以．用2克、4克和6克的砝码就能称出12克，D 选项可以．2克、4克和6克的砝码只能称出偶数克，所以C 选项称不出，答案为C ．例1.1.3现有1克，2克，3克和5克的砝码各一枚，能够称出1至11克的重量，某些重量可以有不止一种称量方法，比如3克，可以用3克的砝码称量，也可以用1克与2克的砝码称量．那么，至少需要用到3个砝码才能够称出的重量是________________（克）．【答案】9【解析】3克和5克最大可以称出8克，所以想称出9克至少需要3个砝码．同时可验证1克到8克均可由两个砝码称出．1克、2克、3克、5克已有，413=+，615=+，组合数学第02讲_砝码问题725=+，815=+．综上所述，至少需要用到3个砝码才能够称出的重量是9克．例1.1.4今有1克、2克、4克、8克、16克的五个砝码，却因为丢了一个砝码而使天平无法称出12克和23克的重量，请问：丢了哪个砝码？【答案】4【解析】丢的是4克的砝码．而()()()()102221211001000100==+，()()()()()()1022222231011110000100101==+++，由题意，导致12克和23克的重量不能被称量的是两式中的公共加数()21004=．例1.1.5一台天平在称物时，只允许在天平的一边放砝码．现在要求能一次性地分别称出从1克到60克之间任意整克数重量的物体，至少需要__________个砝码．【答案】6【解析】首先必须有1克、2克、4克的砝码，这时最大能称1247++=克，还需要8克的砝码，就可以称出15克．再有16克的砝码，就可以称出31克的物体．还需要32克的砝码，就可以称出1克到60克之间任意整克数重量的物体，所以至少需要6个砝码．题模二：两边砝码例1.2.1如图1，有10克、25克、50克的砝码各一个，若在天平上只称量一次，则可以称出的重量有__________种．【答案】10【解析】天平的砝码可以放在一边，也可以放在两边．放在一边时只能称重若干砝码的和，放在两边时可以称重若干砝码的差．所以10克、25克、50克的砝码各一个，可以称重有10克、15克、25克、35克、40克、50克、60克、65克、75克和85克，共计10种．例1.2.2如果一台天平在称物时，可在天平的两边放砝码．（1）现在给你1克、2克和3克的砝码各一个，那么在天平上能称出几种不同重量的物体？（2）现在给你3个砝码，要求能一次性地分别称出从1克开始整克重的物体．请问能称出的物体最大重量是多少克？这时这3个砝码的重量分别是多少克？【答案】（1）6（2）13克，1、3、9克【解析】（1）一个砝码可称出1、2、3克，两个砝码可称出4、5克，三个砝码可称出6克，所有能称出6种不同重量的物体．（2）必须有1克的砝码，再有3克砝码，就可以称出2克和4克．如果再有9克，就可以称出5克，6克，7克，8克，9克，10克，11克，12克和13克，所以最多可称到13克，三个砝码分别为1、3、9克．例1.2.3一台天平在称物时，可在天平的两边放砝码．现在给你5个砝码，要求能一次性地分别称出从1克开始整克重的物体．请问能称出的物体最大重量是_________克．【答案】88【解析】首先要有1克，再有3克，就可称出2、3、4克．再有9克，可称出5至14克．增加一个29克，可称出15克至29克的重量，最后有59克的砝码，则可称出30至图188克的重量．所以能称出的物体最大重量是88克．例1.2.4一台天平在称物时，可在天平的两边放砝码．现在给你3个砝码，要求能一次性地分别称出2、4、6、8、10……26克重的物体．这时这几个砝码的重量分别是多少克？【答案】2、6、18【解析】首先要有2克，再有6克，就可称出2、4、6、8克．如果有18克，就可称出10、12、14、16、18、20、22、24、26克．综上，这时这几个砝码的重量分别是2、6、18克．例1.2.510个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总重量最少为_________克．【答案】1023【解析】10个砝码的重量分别为1克、2克、4克、8克、16克、32克、64克、128克、256克、512克时符合题意，这堆砝码的总重量为+++++++++=克．12481632641282565121023随练1.1一台天平在称物时，只允许在天平的一边放砝码．现在给你1克、2克和3克的砝码各一个，下列哪种重量的物体不能在这个天平上称出？A．3克B．5克C．6克D．7克【答案】D【解析】用1克和2克的砝码就能称出3克，A选项可以．用2克和3克的砝码就能称出5克，B选项可以．用1克、2克和3克的砝码就能称出6克，C选项可以．1克、2克和3克的砝码最多称出6克，所以D选项称不出，答案为D．随练 1.2一台天平在称物时，只允许在天平的一边放砝码．现在要求能一次性地分别称出从1克到7克之间任意整克数重量的物体，至少需要__________个砝码．【答案】3+=克，还需要4克的砝码，就【解析】首先必须有1克、2克的砝码，这时最大能称123可以称出1克到7克之间任意整克数重量的物体，所以至少需要3个砝码．随练1.3如果一台天平在称物时，只允许在天平的一边放砝码，现在给你4克、5克和8克的砝码各一个，那么在天平上能称出__________种不同重量的物体．【答案】7【解析】一个砝码可称出4、5、8克，两个砝码可称出9、12、13克，三个砝码可称出17克，所以在天平上能称出7种不同重量的物体．随练1.4如果一台天平在称物时，可以在天平的两边放砝码，现在给你4克、5克和8克的砝码各一个，那么在天平上能称出___________种不同重量的物体．【答案】10【解析】一个砝码可称出4、5、8克，两个砝码还可称出1、3、9、12、13克，三个砝码还可称出7、17克，所以在天平上能称出10种不同重量的物体．随练1.5一台天平在称物时，允许在天平的两边放砝码．现在给你1克、4克和6克的砝码各一个，下列哪种重量的物体不能在这个天平上称出？A．3克B．4克C．8克D．11克【答案】C【解析】A选项两边分别放1克和4克的砝码就能称出．B选项用4克的砝码就能称出．D选项一边用1克、4克和6克的砝码就能称出．1、4、6凑不出8克，所以正确答案为C．作业1一台天平在称物时，只允许在天平的一边放砝码．现在给你2克、3克和5克的砝码各一个，下列哪种重量的物体不能在这个天平上称出？A．7克B．8克C．9克D．10克【答案】C【解析】用2克和5克的砝码就能称出7克，A选项可以．用3克和5克的砝码就能称出8克，B选项可以．用2克、3克和5克的砝码就能称出10克，C选项可以．2克、3克和5克的砝码称不出9克，所以C选项称不出，答案为C．作业2一台天平在称物时，可在天平的一边放砝码．现在给你3个砝码，要求能一次性地分别称出从1克开始整克重的物体．能称出的物体最大重量是_________克，这时这3个砝码的重量分别是_________克．【答案】7克，1、2、4克的砝码【解析】因为要称出1克和2克，所有必须有1克和2克的砝码，这时已经能称3克的物体了，接下来需要4克砝码，最多称到7克，三个砝码分别为1、2、4克的砝码．作业3一台天平在称物时，只允许在天平的一边放砝码．现在要求能一次性地分别称出从1克到31克之间任意整克数重量的物体，至少需要__________个砝码．【答案】5++=克，还需要8克【解析】首先必须有1克、2克、4克的砝码，这时最大能称1247的砝码，就可以称出15克．再有16克的砝码，就可以称出1克到31克之间任意整克数重量的物体，所以至少需要5个砝码．作业4如果一台天平在称物时，可在天平的两边放砝码．现在给你2克、3克和4克的砝码各一个，那么在天平上能称出几种不同重量的物体？【答案】8【解析】一个砝码可称出2、3、4克，两个砝码可称出1、5、6、7克，三个砝码可称出9克，所以可以在天平上称出8种不同重量的物体．作业5一台天平在称物时，允许在天平的两边放砝码．现在要求能一次性地分别称出从1克到121克之间任意整克数重量的物体，至少需要__________个砝码．【答案】5【解析】因为天平两端可以放砝码，所以可以做减法．必须有1克、3克，这时最大能称4克．+=克．要称5克还需要9克的砝码，且最大可称出4913+=克．而要称出14克，要有27克的砝码，且最大可称出132740+=克．要称出41克，要有81克的砝码，且最大可称出4081121所以要求能一次性地分别称出从1克到121克之间任意整克数重量的物体，至少需要1克、3克、9克、27克和81克这5个砝码．。

二年级上册数学教案-《组合问题》人教新课标

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调组合与排列的区别以及组合问题的解决策略这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与组合相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示组合的基本原理。
在实践活动中，学生分组讨论和实验操作的过程较为顺利。他们能够将所学的组合知识应用到实际问题中，并提出自己的观点和想法。这让我觉得，我们的教学目标——培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，正在逐步实现。
然而，我也发现了一些需要改进的地方。在小组讨论环节，有些学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是对组合知识掌握得不够牢固。针对这个问题，我计划在今后的教学中，更加关注学生的个体差异，给予他们更多的引导和鼓励，提高他们的参与度。
教学内容与教材紧密相关，旨在帮助学生掌握组合的基本概念和方法，为后续学习打下基础。同时，注重培养学生的实际操作能力和问题解决能力，提高学生对数学学科的兴趣。
二、核心素养目标
《组合问题》教学旨在培养学生的数学核心素养，具体目标如下：
1.培养学生逻辑推理能力：通过探索组合问题，让学生理解事物之间的逻辑关系，提高逻辑推理能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解组合的基本概念。组合是指从一定数量的物体中，按照一定的规则选取若干个物体形成的集合。它在生活中有广泛的应用，如服装搭配、饮食选择等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了组合在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解组合的概念：组合是指从一定数量的物体中，按照一定的规则选取若干个物体形成的集合。重点在于让学生掌握组合的基本要素和概念。

高中数学组合数教案

高中数学组合数教案
教学目标：
1.了解组合数的概念及计算方法。

2.掌握组合数的性质和应用。

3.能够灵活运用组合数解决实际问题。

教学重点和难点：
1.组合数的定义和计算方法。

2.组合数应用题的解答。

教学准备：
1.教材《高中数学》。

2.白板、彩色粉笔。

3.课件和习题。

教学步骤：
一、引入：通过一个简单的例子引导学生了解组合数的概念并激起他们学习兴趣。

二、讲解：讲解组合数的定义和计算方法，并说明组合数在数学和生活中的应用。

三、练习：设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。

四、拓展：引导学生思考组合数的拓展应用，并结合实际问题进行讨论和解答。

五、总结：回顾本节课的重点内容，并指导学生如何进一步学习和应用组合数。

教学反馈：布置作业以巩固所学知识，并根据学生的表现调整教学方法和内容。

教学延伸：鼓励学生通过网上资源和参考书籍深入学习组合数，并尝试解决更复杂的组合
数问题。

教学评价：通过课堂实际表现和作业成绩评价学生的学习情况，及时调整教学内容和方法。

教学反思：根据学生的学习情况和反馈意见，不断完善教学内容和方法，提高教学质量和
效果。

人教版二年级上数学第八单元第2课时《简单的组合》优质课教案

人教版二年级上数学第八单元第2课时《简单的组合》优质课教案一、教学目标1.知识与技能：掌握简单的组合数学知识，能够灵活运用组合方法解决实际问题。

2.过程与方法：培养学生的逻辑思维能力，训练学生的团队合作意识。

3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作精神和团队意识。

二、教学内容1.理解组合的概念2.掌握组合的计算方法3.运用组合方法解决实际问题三、教学重点1.理解组合的概念2.掌握组合的计算方法四、教学难点1.运用组合方法解决实际问题五、教学过程第一步：导入教师通过一个简单的问题引入组合的概念，让学生了解什么是组合。

第二步：讲解1.讲解组合的概念及计算方法。

2.举例说明组合的应用场景。

第三步：练习学生进行小组讨论，解决一些简单的组合问题，培养他们的团队合作意识。

第四步：总结教师总结本节课的重点内容，强调组合在解决实际问题中的重要性。

六、教学作业布置一些与组合相关的练习题，巩固学生的知识。

七、教学反思本节课在教学过程中，学生的表现较好，大部分学生能够理解组合的概念，并能够初步运用组合方法解决简单问题。

但在培养学生团队合作意识方面，仍需进一步加强。

八、延伸拓展学生可以通过更复杂的组合问题进行拓展，挑战他们的思维能力。

九、教学心得通过本节课的教学，我发现学生对组合这一概念有了初步的理解，但在实际运用中还存在一定困难。

我会继续努力探索更好的教学方法，帮助学生更好地掌握组合知识。

以上就是本节课的教学内容，希望能对您有所帮助。

感谢阅读！。

初中数学组合教案

初中数学组合教案
教学目标：
1. 理解组合的概念，掌握组合的计算公式。

2. 能够运用组合知识解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：
1. 组合的概念和计算公式。

2. 运用组合知识解决实际问题。

教学难点：
1. 理解组合的计算公式。

2. 灵活运用组合知识解决实际问题。

教学准备：
1. 教学课件或黑板。

2. 练习题。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入组合的概念，让学生举例说明生活中常见的组合现象。

2. 引导学生思考组合的计算方法。

二、新课讲解（15分钟）
1. 讲解组合的定义和计算公式。

2. 通过例题讲解组合的计算方法。

3. 引导学生总结组合的计算规律。

三、课堂练习（15分钟）
1. 让学生独立完成练习题，巩固组合的知识。

2. 讲解练习题的答案，解析解题思路。

四、应用拓展（10分钟）
1. 让学生运用组合的知识解决实际问题。

2. 引导学生思考组合知识在其他学科中的应用。

五、总结（5分钟）
1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结组合的概念和计算方法。

2. 强调组合知识在实际生活中的重要性。

教学反思：
本节课通过讲解组合的概念和计算公式，让学生掌握了组合的计算方法，并能够运用组合知识解决实际问题。

在教学过程中，注意引导学生思考组合知识在其他学科中的应用，培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

同时，通过课堂练习和应用拓展环节，巩固了组合的知识，提高了学生的学习效果。

幼儿简单的组合数学教案

幼儿简单的组合数学教案一、教学目标。

1. 让幼儿了解组合数学的概念。

2. 培养幼儿的逻辑思维能力。

3. 提高幼儿的数学计算能力。

二、教学重点和难点。

1. 重点，让幼儿了解组合数学的基本概念。

2. 难点，培养幼儿的逻辑思维能力。

三、教学准备。

1. 教学用具，彩色积木、数字卡片、计数器、画板、彩色粉笔。

2. 教学素材，数字图案、组合数学相关图片。

四、教学过程。

1. 导入新知识。

教师向幼儿展示一些数字图案，让幼儿观察并思考这些数字图案有哪些规律。

然后向幼儿介绍组合数学的概念，让幼儿了解组合数学是研究元素的组合和排列的数学分支。

2. 学习基本概念。

教师用彩色积木向幼儿展示不同颜色的积木，让幼儿观察并思考有多少种不同的颜色组合。

然后教师向幼儿介绍组合数学中的排列和组合的概念，让幼儿了解排列是指从给定的元素中取出一部分元素，按照一定的顺序排成一列；组合是指从给定的元素中取出一部分元素，不考虑元素的顺序。

3. 游戏学习。

教师让幼儿用彩色积木进行排列和组合的游戏，让幼儿动手操作，体会排列和组合的不同。

然后教师给幼儿出一些排列和组合的题目，让幼儿进行计算和思考。

4. 拓展练习。

教师让幼儿用数字卡片进行排列和组合的练习，让幼儿通过数字卡片的组合来理解排列和组合的概念。

然后教师给幼儿出一些更复杂的排列和组合题目，让幼儿进行拓展练习。

五、总结。

教师对本节课的内容进行总结，让幼儿复习本节课学到的知识点，并对幼儿进行表扬和鼓励。

六、作业布置。

教师布置相关的排列和组合的作业，让幼儿进行巩固练习。

七、教学反思。

教师对本节课的教学效果进行反思，总结教学中存在的问题，并对下节课的教学进行调整和改进。

以上就是本节课的教学内容，通过本节课的学习，相信幼儿对组合数学有了更深入的理解，也培养了他们的逻辑思维能力和数学计算能力。

希望幼儿能够在今后的学习中继续努力，取得更好的成绩。