跃峰奥数PPT1代数组合7-3(模型方法之双元表)
跃峰奥数PPT1代数组合3-4(研究特例建立递归之分拆递归)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创代数组合3-4（研究特例建立递归之分拆递归）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第3专题（研究特例建立递归）的第4小节（分拆递归），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【代数组合】（研究特例，建立递归）关于自然数n的组合问题，可先考虑n的简单取值，发掘它们之间的递归关系，使问题顺利获解。
它包括三种情形和两个选择：【三种情形】（1）初值递归（穷举初值的所有构造发现递归）（2）“分段”递归（n的不同取值递归方式不同）（3）“分拆”递归（将相关对象分拆成多个对象）【两个选择】（1）选择归纳对象（多元选一、分批归纳）（2）选择递归跨度（通常取1，有时取r）本节介绍“分拆递归”的相关例子。
通过直线y=x上方的点，例如S（2）=6，S（3）=22。
求证：3|S（2n）（n∈N+）。
【题感】从目标看【1】，本题并无需求S（2n）的通式，否则人为地增加了难度。
但可以求“隐式”通式：表现为“求和”形式或方程形式，其中方程形式包括递归方程。
于是，我们立足于建立S（n）的一个递归关系，然后证明初值、及递归关系中每一个项都是3的倍数即可。
为叙述问题方便，称从A0到An的合乎条件的路径【1】为n阶路径■。
通过直线y=x 上方的点，例如S （2）=6，S （3）=22。
跃峰奥数PPT1代数组合13-3(符号化方法之重复编号)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创代数组合（符号化方法之重复编号）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第13专题（符号化方法）的第3小节（重复编号），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【符号化方法】有些数学问题，涉及的条件或目标比较别扭，或者描述非常复杂，则用一些特定的符号来代替有关对象，可使题中各种相互关系变得直观明了。
符号化主要包括以下四种基本方法。
（1）直观记号用一些比较形象的直观记号代替所研究的对象。
比如，用点表示人；用“√”、“×”分别表示出席与缺席，或者表示正确与错误等等。
一个典型的简单问题：设|X|=n ，求X 的子集的个数。
采用“点名法”（记号“√”、“×”），则非常简单。
X ：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，a n ，将子集A 看成是一次课的点名表【1】，如果a i 来了（属于A ）【1】，则在a i 的对应位置记上“√”【1】，否则记上“×”（表示缺席【5】）。
A ：√×√√√×这样，子集A 与长为n 的“√”、“×”排列一一对应，答案显然为2n 。
【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创【符号化】（1）直观记号用一些比较形象的直观记号代替所研究的对象。
高等代数第一讲代数系统PPT课件
称K为F的子域，F称 而为K的扩域。 则有 deg (fg)=deg f+deg g
C的子域被称作数域，
有理数Q域 是最小的数 --是 域任意数域的子
II Polynomial form
§1- 1基本概念与运算
定义1：（i）设F为一个域X是 ，不属F于 的 任一个符号，则形如
例3：n阶可逆方阵的全体通（常按矩阵的 乘法）是乘法群。一称般为线性.－ 群－ generallineargrou简 p 记为 GLn(F).
而 SLn(F＝ ) ｛AMn(F)detA＝1｝ 称为特殊线性群S－ pe－ ciaLl ineargroup
定义中的恒元和逆是元乘都在左边的， 可以证明，乘在右有边相也同的性质。 即 aa－1＝e, ae＝a.
X5 4 X 4 3 X 3 2 X 2 X 1
4X 3
4 45
23 X 2
23 X 3
117 X
23 5 23
586
117 X 2
117 5 117
586 X 586 5 586
r(X)= 2931
于是 q(X)4X323 X211X758,r6(X)29,3 f(X)q(X)(X5)r(X) . r(X)f(5)
若 defgdegg ，则 q令 0。 rf即可
记 fanXnan 1Xn 1 a1Xa0， an0
gbm Xmbm 1Xm 1 b1Xb0，令
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相同
q1
an bm
Xnm,
则gq1与f 的首项相
f gq1 f1的次数 f 低 比，f1对 同样讨
存在 q1,,qs使 de r0 g de g或 g r00
跃峰奥数PPT1代数组合13-4(符号化方法之序号函数)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创代数组合（符号化方法之序号函数）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第13专题（符号化方法）的第4小节（序号函数），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【符号化方法】有些数学问题，涉及的条件或目标比较别扭，或者描述非常复杂，则用一些特定的符号来代替有关对象，可使题中各种相互关系变得直观明了。
符号化主要包括以下四种基本方法。
（1）直观记号用一些比较形象的直观记号代替所研究的对象。
比如，用点表示人；用“√”、“×”分别表示出席与缺席，或者表示正确与错误等等。
一个典型的简单问题：设|X|=n ，求X 的子集的个数。
采用“点名法”（记号“√”、“×”），则非常简单。
X ：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，a n ，将子集A 看成是一次课的点名表【1】，如果a i 来了（属于A ）【1】，则在a i 的对应位置记上“√”【1】，否则记上“×”（表示缺席【5】）。
A ：√×√√√×这样，子集A 与长为n 的“√”、“×”排列一一对应，答案显然为2n ■。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创【符号化】（1）直观记号用一些比较形象的直观记号代替所研究的对象。
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
组合与组合数公式课件
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
跃峰奥数PPT1代数组合13-5(符号化方法之单一赋值)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创代数组合（符号化之直接单一赋值）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第13专题（符号化方法）的第5小节（直接单一赋值），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【符号化方法】有些数学问题，涉及的条件或目标比较别扭，或者描述非常复杂，则用一些特定的符号来代替有关对象，可使题中各种相互关系变得直观明了。
符号化主要包括以下四种基本方法。
（1）直观记号用一些比较形象的直观记号代替所研究的对象。
比如，用点表示人；用“√”、“×”分别表示出席与缺席，或者表示正确与错误等等。
一个典型的简单问题：设|X|=n ，求X 的子集的个数。
采用“点名法”（记号“√”、“×”），则非常简单。
X ：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，a n ，将子集A 看成是一次课的点名表【1】，如果a i 来了（属于A ）【1】，则在a i 的对应位置记上“√”【1】，否则记上“×”（表示缺席【5】）。
A ：√×√√√×这样，子集A 与长为n 的“√”、“×”排列一一对应，答案显然为2n ■。
【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创【符号化】（1）直观记号用一些比较形象的直观记号代替所研究的对象。
跃峰奥数PPT6组合计数3-7(递归方法之局部递归)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
组合计数3-7（递归方法之局部递归）●冯跃峰本讲内容本节为第6板块（组合计数）第3专题（递归方法）的第7小节（局部递归），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
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【递归方法】所谓递归，就是建立“n”的问题与“小于n”的【1】若干同构子问题之间的等量关系。
通常有如下7种递归方式：七种递归方式（1）增减递归增加（减少）元素，得到“n-1”（或“n+1”）的情形（2）容斥递归an=I n-f（a n-1）（3）分拆递归将存在域分解为若干同构子区域（4）分段递归n属于不同类时，表达式不同（5）分类递归将Xn划分为两类：Xn=A n∪B n，则f（X n）= f（A n∪B n）= f（A n）+ f（B n）-f（A n∩B n）=g（f（X n-1））+φ（f（X n-1））-μ（f （X n-1））。
（6）局部递归某个局部之间存在递归本节介绍“局部递归”跃峰奥数【题感】从目标看，本题属于计数问题，只能从条件入手。
表面上看，有2个条件，但第一个条件仅仅是对题给对象的限定【1】：“颜色互不相同”意义在于方格互异，旋转、翻转后不同，无需剔除重复。
因此，对解题起关键作用的是另一个条件：“任两个邻格的积为0”【1】。
该条件能给我们提供什么信息呢？什么时候两个数的积为0？——需要对【条件转换】由条件可知，任何相邻2个格中至少一个0。
跃峰奥数PPT2组合几何1-7(离散点集之捆绑极端)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创组合几何1-1（离散点集之捆绑极端）●冯跃峰本讲内容本节为第2板块（组合几何）第1专题（离散点集）的第7小节（捆绑极端），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创以几何知识为背景的组合问题称为组合几何问题。
所含的几何知识通常是位置关系与几何度量两个方面。
本讲介绍组合几何中一个基本问题：离散点集。
【离散点集】所谓离散点集，就是平面上一些孤立的点组成的集合，有3种研究方式。
三种常用方式恰当选择对象拟对象、极端对象与“撒网捕捉”。
控制存在域将点集控制在一定的范围内。
代数刻画将几何关系用代数符号描述。
本节介绍“考察极端”的相关例子■。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【几何1-7】给定平面上n 条直线，每两条直线交于一点，每一个交点都至少是其中3条直线的公共点，求证：所有直线相交于一点。
【题感】题目似增相识，稍作思考，即可发现它实际上是希尔维斯特定理的对偶命题：点、线交换。
两线交于一点←→两点连一直线【1】每个点在至少3条直线上←→每条直线过3个点【1】所有直线相交于一点←→所有点在一条直线上【1】但它并不能直接利用希尔维斯特定理的结论完成证明。
每两点连一直线每直线至少通过3点所有点共线我们先介绍希尔维斯特定理的证明■。
跃峰奥数PPT1代数组合3-5(研究特例建立递归之数阵构造)
【两个 （1）选择归纳对象（多元选一、分批归纳） 选择 】 （2）选择递归跨度（通常取1，有时取r）
本节介绍“初值递归”的 相关例子■。
【代数3-5】证明存在无穷多个正整数n具有以下性 质：数1，2，…，n2可以排成一个n×n正方形数阵， 这些数中任意两个的算术平均不包含在包含它们的最 小矩形中；即aij和akt的算术平均值不是某个已知数ars。 其中 min（i，k）≤r≤max（i，k），min（j，t） ≤s≤max（j，t）。【】 跃峰奥数PPT经典原创
冯跃峰奥数系列讲座——
代数组合3-5（研究特例建立递归之数阵构造）
● 冯跃峰
本讲内容
本节为第1板块（代数组合）第3专题（研究特例建立递归） 的第5小节（数阵构造），包含如下3个部分内容：
第一部分，概述问题涉及的知识方法体系； 第二部分，思维过程剖析。这是课件的核心部分，重在发掘 问题特征，分析如何找到解题方法。按照教师场景授课互动效 果设计，立足于启发思维； 第三部分，详细解答展示。提供笔者重新书写的解答（简称 “新写”），力求严谨、流畅、简练。
1 7
跃峰奥数
即使可以构造，我们也略去，因为它可能构造较复杂，也无法利用 n=2的构造进行递归。
遗而憾我的们是又，无这需一证构明造所并有不n是合好乎的要，求否。则比人如为，地含增有加1、了7难的度最。小当矩然形可是略左 上去角这的一2情×形3数。表【1】，表中包含4【1】，它是1、7的平均值。
但这并不意味着n=4是坏的，我们期望发现其它形式的构造合乎要求。 为了方便建立递归关系，我们将上述构造的M4中除M2外的另外3个子表 都用M2表出【1】。为此，需要引入数表的运算■。
先验证M2k的连续性。 再证M2k是好的。 注意到好数阵满足的条件是“任意型”的（任何两个数的平均数不在 这两数之间），可取“代表”进行验证■。
跃峰奥数PPT1代数组合12-5(更换结构之元素分解)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
代数组合12-5（更换结构之元素分解）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第12专题（更换结构）的第5小节（元素分解），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、简练。
【更换结构】一个数学对象往往包含特定的结构，有时从固有的结构思考问题难以获解，这时要对原有的结构进行改造。
它通常有如下4种方式：●捆绑将若干对象捆绑在一起，看成一个新对象。
●分解将一个对象，按照目标结构分解为若干新对象。
●关联将若干个对象，按照目标要求强制建立某种新的联系。
●定义特征值对对象所含参数定义一个运算，使之与一个函数值对应。
本节介绍元素分解【题感】从目标看，问题可以简化。
因为我们只关心各个数的奇偶性【1】，从而可以用0表示其中的偶数，1表示其中的奇数，则题中的状态都可以表示为一个长为n 的0、1排列（a 1，a 2，…，a n ）（a i ∈{0，1}）。
对于问题（1）【1】，由特例不难发现，可交错的状态（a 1，a 2，…，a n ）有很多，而不可交错的状态则只有两个，而且是“平凡”状态：（0，0，…，0），（1，1，…，1）。
由此猜想其他状态都是可交错的。
【代数12-5】对于由n 个整数构成的有序数组（a 1，a 2，…，a n ），定义如下运动T ：（a 1，a 2，…，a n ）→（a 1+a 2，a 2+a 3，…，a n +a 1）。
简要版PPT1代数组合7-6(表格模型之双元表)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
代数组合7-6（表格模型之双元表）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第7专题（表格模型）的第6小节（双元表），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
1、代数组合（模型方法）所谓模型化方法，就是将题中的对象用一些形象直观代替；并用相应的规则描述各对象间的相互关系。
（两个要点【2】；四种常用模型）（使问题变简单）（可行性，选择模型的原则）（1）几何模型（图形转换）（2）表格模型（表格转换）【4】（3）函数模型（函数转换）（4）组合模型（事件转换）单族表（一类子集族）双族表（两类子集族）拼合表（若干个状态或元素）四种常用模型双元表（两类元素）本节介绍表格模型中双元表的相关例子■。
表格模型：双元表若问题含有两类不同元素，则可构造以下双元表【1】：用行头表示m个元素a1，a2，…，am【1】，用列头表示n个元素b1，b2，…，bn【1】，在第i行与第j列交叉格【1】标注一个符号【1】，表示元素ai、bj之间的关联方式【1】。
a1 a2 a i …a m b1b2b3…b j b n√√如果关联方式有r种类型【1】，则可对方格r-染色【1】，称之为“加权”双元表■。
√【题感】从条件看【1】，题中涉及两类对象：2n个人与2n个科目，且人与科目的关系是测试“通过”与“未通过”【1】这两种情形之一（可标0、1来区分），它恰好符合矩形表格的特征【1】，可用表格来刻画【1】。
跃峰奥数PPT1代数组合1-3（研究特例特征迁移之关键结构）
跃峰奥数PPT1代数组合1-3（研究特例特征迁移之关键结构）【阅读指南】（2）该平台只能上传PPT课件的照⽚版，被遮挡的⽂本可在⽂末提供的word⽂档中查看。
但因兼容性，相关公式出现缺省或格式错误，可参照PPT照⽚修正。
也可关注微信公众号“跃峰奥数”，那⾥发布的⽂档word格式⽐较完整。
（3）如果需要课件的动画播放版，可百度搜索“跃峰奥数”，点击相关⽂档进⼊阅读界⾯，再点击（作者）主页”，下载所需内容。
【代数1-3】设n为给定的⼤于2的整数，对所有由正整数组成的严格递增的等差数列a1，a2，…，an，求集合A△B的元素个数的最⼩值。
其中，A={ai|1≤i≤n}，B={ai+2aj|1≤i，j≤n，i≠j}，A△B=（A∪B）\（A∩Ｂ）。
（2015中国西部数学竞赛试题）【题感】从⽬标看，⾸先要理解|A△B|的意义。
由于|A△B|=|A∪B|-|A∩Ｂ|=|A|+|B|-2|A∩Ｂ|，⽽A={a1，a2，…，an}是相对确定的（|A|=n），只需求|B|与|A∩Ｂ|，其中关键是求|B|。
尽管B={ai+2aj|1≤i，j≤n，i≠j}也是确定的，但不便计算元素个数，“ai+2aj”有很多重复。
由于变化因素太多，给计数造成困难，可先“消元”将a1，a2，…，an⽤“主元”表出。
因为{an}是等差数列，只有2个⾃由量，⾃然想到⽤其⾸项a1和公差d来刻画，借以发现B的元素特征，进⽽求出|B|。
但⼀般情形不易发现B的元素特征，可先研究特例。
【研究特例】取等差数列1，2，…，n，则B中最⼩元为2+2×1=4，最⼤元为（n-1）+2×n=3n-1，易知此时B={4，5，6，…，3n-1}；取等差数列2，4，…，2n，则B中最⼩元为4+2×2=8，最⼤元为（2n-2）+2×2n=6n-2，易知此时B={8，10，12，…，6n-2}；取等差数列1，3，…，2n-1，则B中最⼩元为3+2×1，5，最⼤元为（2n-3）+2×（2n-1）=6n-7，易知此时B={5，7，9，…，6n-7}。
奥数的七大模块介绍
奥数的七大模块介绍模块一：计算模块1、速算与巧算2、分数小数四则混合运算及繁分数运算3、循环小数化分数与混合运算4、等差及等比数列5、计算公式综合6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳7、比较与估算8、定义新运算9、解方程模块二：数论模块1、质数与合数2、因数与倍数3、数的整除特征及整除*质4、位值原理5、余数的*质6、同余问题7、*剩余定理（逐级满足法）8、完全平方数9、奇偶分析10、不定方程11、进制问题12、最值问题模块三：几何模块（一）直线型1、长度与角度2、格点与割补3、三角形等积变换与一半模型4、勾股定理与弦图5、五大模型（二）曲线型1、圆与扇形的周长与面积2、图形旋转扫过的面积问题（三）立体几何1、立体图形的面积与体积2、平面图形旋转成的立体图形问题3、平面展开图4、液体浸物问题模块四：行程模块1、简单相遇与追及问题2、环形跑道问题3、流水行船问题4、火车过桥问题5、电梯问题6、发车间隔问题7、接送问题8、时钟问题9、多人相遇与追及问题10、多次相遇追及问题11、方程与比例法解行程问题模块五：应用题模块1、列方程解应用题2、分数、百分数应用题3、比例应用题4、工程问题5、浓度问题6、经济问题7、牛吃草问题模块六：计数模块1、枚举法之分类枚举、标数法、树形图法2、分类枚举之整体法、对应法、排除法3、加乘原理4、排列组合5、容斥原理6、抽屉原理7、归纳与递推8、几何计数9、数论计数模块七：杂题1、从简单情况入手2、对应与转化思想3、从反面与从特殊情况入手思想4、染*与覆盖5、游戏与对策6、体育比赛问题7、逻辑推理问题8、数字谜9、数独。
跃峰奥数PPT1代数组合2-5(研究特例归纳通式之换维通式)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创代数组合2-5（归纳通式之换维通式）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第2专题（归纳通式）的第5小节（换维通式），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【研究特例归纳通式】先考察特殊情况，由此发现规律，寻找解决一般问题的途径。
它有如下三种表现形式：实现目标的三种形式特征迁移功能与属性，不是具体数值归纳通式适合所有对象的“统一”表达式，它包括三种常见方式【1】。
解析式特征式【1】各对象所含元素及表现形式结构式【1】对象各元素间的相互关系建立递归寻找“n”情形与“小于n”的若干情形之间的关系。
本节介绍“归纳通式”的研究方式■。
【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创如何归纳通式？有如下五种常用方式：五种归纳方式（1）个体思考（发掘个体共同特征）（1）换形思考（将研究对象换一种表现形式）同构表示序号表示（3）分块思考（分为若干组分别研究）（4）捆绑思考（捆绑“整体元”，引入整体函数）（5）换系思考（改变现有体系，比如模理解，p进制等）■【归纳通式】【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创对给定的正整数r，求最小的正整数n，使得f（n）=2r+1。
【研究特例】f（0）=1，f（1）=0，f（2）=1，f（3）=0，f（4）=3，f（5）=2，f（6）=1，f（7）=0，f（8）=7，f（9）=6，f（10）=5，…【题感】从条件看，所给的递归关系是分段形式，不能直接求解，可先研究特例，考察最初的几个函数值，寻找规律。
跃峰奥数PPT1代数组合10-4(发掘引理之选择参照)
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代数组合10-4（发掘引理之选择参照）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第10专题（发掘引理）的第4小节（选择参照），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、简练。
代数组合10：发掘引理数学解题中，为了实现解题目标，有时需要用到一个或多个关键的结论，我们称之为引理。
它通常有以下2种情形：引理的2种情形（1）核心结论：问题解决的前提条件，或需要反复用到的一个结论。
（2）命题分拆：将原问题分割为几个较为简单的问题，然后各个击破。
如何发掘引理？通常是分析解题目标，考察在怎样的前提条件下问题能够获解。
即找结论成立的一个充分条件（较难）。
此外，分析题目条件，直接推出反复使用的结论也是常见形式（较易）。
本节讨论涉及核心结论的有关问题。
能，给出比赛方案，其中所有马速度恒定，且不考虑匹马疲劳等因素。
（2009年清华大学自主招生试题），本题的实质是要排列出给定的64个数的【题感】从目标看【1】大小顺序。
），可以排出8个数从条件看，每次比赛（我们称为数的排序【1】的大小顺序。
为了叙述问题方便，先给出如下定义：如果n个数已知它们的大小顺序，则称它们构成一个长为n的串。
这样，条件变成每次排序可以得到一个长为8的串。
为实现目标，自然的想法是：寻求最小的排序次数，使两个串合并成一个串。
能，给出比赛方案，其中所有马速度恒定，且不考虑匹马疲劳等因素。
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【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创代数组合7-3（模型方法双元表）●冯跃峰本讲内容本节为第1板块（代数组合）第7专题（模型方法）的第3小节（表格模型之双元表），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
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【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创1、代数组合（模型方法）所谓模型化方法，就是将题中的对象用一些形象直观代替；并用相应的规则描述各对象间的相互关系。
（两个要点【2】；四种常用模型）（使问题变简单）（可行性，选择模型的原则）（1）几何模型（图形转换）（2）表格模型（表格转换）【4】（3）函数模型（函数转换）（4）组合模型（事件转换）单族表（一类子集族）双族表（两类子集族）拼合表（若干个状态或元素）四种常用模型双元表（两类元素）本节介绍表格模型中单族表的相关例子■。
【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创表格模型：双元表若问题含有两类不同元素，则可构造以下双元表【1】：用行头表示m 个元素a 1，a 2，…，a m 【1】，用列头表示n 个元素b 1，b 2，…，b n 【1】，在第i 行与第j 列交叉格【1】标注一个符号【1】，表示元素a i 、b j 之间的关联方式【1】。
a 1a 2a i …a mb 1b 2b 3…b j b n√如果关联方式有r 种类型【1】，则可对方格r-染色【1】。
√√■【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创F”。
求n 的最大值。
（2016联赛吉林省预赛）【题感】本题虽是预赛题，但有联赛难度，且是典型的双元表格模型问题：一类元素是题目，另一类元素是考生。
从条件看，“对任意两道题，恰有两名考生答“F ，F”…” ，这是一种“通性”描述，自然想到“通性叠合”：考察答案中所有“F ，F ”等的总数S 。
因为对任意题对【1】，在8个答案中“F ，F ”出现两次【1】，所以S=2C n 2。
从目标看，要建立关于n 的式子，需要“换维思考”：从另一个维度计算S 。
注意题给“答案”有2个维度：题目、考生。
前面的计算是从“题目”出发的，现在改为考察“同一个考生对两道题的答案”。
这采用表格更为直观■。
【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创F”。
求n 的最大值。
（2016联赛吉林省预赛）由条件，对任意两道题【1】，恰有两人答“F ，F ”【1】，恰有两人“T ，T ”【1】，恰有两人答“F ，T ”【1】，恰有两人答“T ，F ”【1】。
F F F F T T TTT F T F F T F T 以下计算行、列对S 的贡献，但计算过程中有陷阱！从而本题有一定的难度■。
【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创恰有两名考生答“F ，F”，恰有两名考生答“T ，T”，恰有两名考生答“F ，T”，恰有两名考生答“T ，F”。
求n 的最大值。
（2016联赛吉林省预赛试题）【表格转换】构造一个8×n 的方格棋盘（a ij ）8×n 【1】，如果第i 个学生对第j 个题的答案为F 【1】，则在格a ij 中填上F 【1】，记为a ij =F ，否则填a ij =T 。
【关系刻画】依题意，任意两列【1】，同行字母对有2个（F ，F ），两个（T ，T ），两个（F ，T ），两个（T ，F ）【1】。
我们称这样的棋盘具有性质p 。
F F F F T T TTT F T F F T F T 【通性叠合】因为共有C n 2个2-列对，于是棋盘中横向（位于同一行中）“F ，F”对有2C n 2个，横向“T ，T”对有2C n 2个，横向“异色”（F ，T 或T ，F ）格对有4C n 2个。
【整体性质】此外，由棋盘的性质p 可知，棋盘中每列都是有4个F 格，4个T 格。
（以下进行“换维思考”，考察行的贡献■）F【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创FTTTFTFFx i 个Fy i 个T因为第i 行x i 个F 格构成C xi 2个“F ，F”对，所以Σi=18C xi 2=2C n 2。
类似地，有Σi=18C yi 2=2C n 2，Σi=18x i y i =4C n 2。
我们期望将“平方和”：Σi=18C xi 2 【1】变成“和”的平方，以利用：Σi=18x i =4n 【1】。
——这利用柯西不等式即可■。
FTTTFTFFx i 个Fy i 个T因为第i 行x i 个F 格构成C xi 2个“F ，F”对，所以Σi=18C xi 2=2C n 2。
类似地，有Σi=18C yi 2=2C n 2，Σi=18x i y i =4C n 2。
【放缩消元】4C n 2 = 2Σi=18 C xi 2= Σi=18 x i 2 -Σi=18 x i = Σi=18 x i 2-4n ≥（1/8）（Σi=18x i ）2-4n =（1/8）（4n ）2-4n=2n 2-4n ，（*）陷阱：这是一个“绝对不等式”（左边大）【1】，估计无效！（如果3个等式相加，则是恒等式）【1】，需要优化估计。
恒等式优化估计有两种常用方式，一种是“加权”（计算含有特定性质的对象），另一种是“取局部估计”，它类似于不等式放缩中的“起点后移”■。
FTTTFTFFx i 个Fy i 个T因为第i 行x i 个F 格构成C xi 2个“F ，F”对，所以Σi=18C xi 2=2C n 2。
类似地，有Σi=18C yi 2=2C n 2，Σi=18x i y i =4C n 2。
【放缩消元】4C n 2 = 2Σi=18 C xi 2= Σi=18 x i 2 -Σi=18 x i = Σi=18 x i 2-4n ≥（1/8）（Σi=18x i ）2-4n =（1/8）（4n ）2-4n=2n 2-4n ，（*）恒等式这里无法“加权”，但可以采用“起点后移”：从第二行开始利用Cauchy 不等式放缩【1】，这是本题的难点。
这就要知道第一行中“F ，F ”对的个数，也就是F 的具体个数。
——为简单，可想象第一行全为F ■。
【容量参数】设第i 行有x i 个F 格【1】，y i 个T 格【1】（i=1，2，…，8），则x i +y i =n ，x 1+x 2+…+x 8=4n ，y 1+y 2+…+y 8=4n 。
我们将“对子”用上述参数表示。
FTTTFTFFx i 个Fy i 个T因为第i 行x i 个F 格构成C xi 2个“F ，F”对，所以Σi=18C xi 2=2C n 2。
类似地，有Σi=18C yi 2=2C n 2，Σi=18x i y i =4C n 2。
【放缩消元】4C n 2 = 2Σi=18 C xi 2= Σi=18 x i 2 -Σi=18 x i = Σi=18 x i 2-4n ≥（1/8）（Σi=18x i ）2-4n =（1/8）（4n ）2-4n=2n 2-4n ，（*）恒等式【优化假设】为使估计最优，从极端考虑，“不妨设”第一行全为“F ”【1】。
——这就要论证“不妨设”的合法性。
F F F F F F F F假定第一行中出现“T ”，如何让其变成F ？而这里的“变”，要保证棋盘仍然具有原来的性质p （对任何两列，每一种对子都出现两次）。
行与行交换显然不行，因为这个T 变成F ，可能有另外的T 换到第一行；列与列交换更不行，因为第一行的T 仍在第一行；如果T 与同列的F 交换，则破坏了性质p 。
为了保证性质p 不变，必须该列中所有F 、T 同时交换（不仅仅是一个F 与一个T 交换）■。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【化归】若某列的第一格不是F 【1】，则将该列所有F 与T 互换（角色互换）【1】。
这种变换是“合法的”：棋盘性质p 不变。
T F F T F F T T F T T F T T F F 【合法性验证】考察第i 、j （i<j ）两列【1】，不妨设第j 列字母更换。
这两列的“横向”字母对中，2个（F ，F ）【1】与2个（F ，T ）【1】互换；以及2个（T ，T ）【1】与2个（T ，F ）【1】互换。
所以调整后各类字母对的个数不变，仍为2。
ij F F T T 于是，不妨设第一行都是F 【1】，此时，x 1=n ，y 1=0，x 2+x 3+…+x 8=3n ，y 2+y 3+…+y 8=4n 。
C x12=C n 2（第一行“FF ”对的个数），C y12=0，x 1y 1=0。
代入前述3个等式，得到i=18C xi 2 【1】= 2C n 2【1】，Σi=18 C yi 2【1】=2C n 2，Σi=18x i y i 【1】=4C n 2。
Σi=2=C n 2Σi=28Σi=28由于后两式右边数值没变【1】，我们立足于运用第一个等式【1】■。
F F F F F F F【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创2C n 2=2Σi=28C xi 2 = Σi=28x i 2-Σi=28x i = Σi=28x i 2-3n ，两边同乘以7，得7（n 2-n ）=7Σi=28x i 2-21n ≥（Σi=28x i ）2-21n=（3n ）2-21n=9n 2-21n ，所以，2n 2-14n≤0，得n≤7。
【等号入手】若n=7，则x 1=n=7，且Cauchy 不等式成立等号，可知x 2=x 3=…=x 8=3。
此外，每列4个F ，4个T 【1】。
F F F F F F F 【局部扩展】设第一行全为F 【1】，第一列前4格为F 【1】，后4格为T 【1】。
F F F 由于前2列的前4行中【1】，有2个横向“F ，F”对，2个“F ，T”对。
所以第2列前4格有2个F 和2个T 【1】，进而后4格也有2个F 和2个T 【1】。
T T T T为简单，设第2、3列前4格是F ，F ，T ，T 【1】，而后4格分别为F ，F ，T ，T 【1】，或者，T ，T ，F ，F 【1】。
F T T F F T TT T F FF T T 后面各列第2i-1格与第2i 格字母不同，得到如下构造【8】：T F T F T F TT F T F T FT T F T F T F TT F T F T FT ■【百度文库】跃峰奥数PPT 【新写】构造一个8×n 的方格棋盘（a ij ）8×n ，如果第i 个学生对第j 题的答案为F ，则将格a ij 填F ，否则a ij 填T 。