14-15-2淮海工学院高等数学A2期末总复习 (1)

第１页 共4页14 – 15学年 第 二 学期 高等数学A （2） 期末总复习 一、选择题（每题4分） 1. 在空间直角坐标系中，点),,(c b a 关于y 轴的对称点坐标为-----------------------（B ） （A ）),,(c b a --- （B ）),,(c b a -- （C ）),,(c b a -（D ）),,(c b a - 注1：在该题中，试求点),,(c b a 分别关于x 轴与z 轴的对称点坐标？ 注2：在该题中，试求点),,(c b a 分别关于三个坐标平面的对称点坐标？2．22220(,)()tan()f x y x y y x x y =+-+，则00(,)x f x x =---------------------------（C ） （A ）30x （B ）40x （C ）302x （D ）304x注：二元初等函数求偏导数值，将另一变量的附值先代入，在对该变量求导. 如： 20(,)(f x y xy y x =+-求x f .又如：220(,)(f x y xy y x =+-求20(,1)y f y .3. (,)zz x y =各偏导存在是该函数可微的-----------------------------------------------（B ）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充分且必要条件（D ）既不充分也不必要条件 注1：(,)z z x y =连续是该函数可微的必要非充分条件. 注2：(,)z z x y =各偏导连续是该函数可微的充分非必要条件. 4．二次积分⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(的另一种积分次序为----------------------（B ）（A ） x d y x f dy ye e ⎰⎰10),( （B ） x d y x f dy eey ⎰⎰1),(（C ）x d y x f dy ee ey⎰⎰1),( （D ） x d y x f dy e eey ⎰⎰1),(注：在直角坐标系下，交换二次积分的积分次序，需熟练描绘积分区域的图形，并将其表示成另一种积分区域. 如：10(,)ydy f x y dx ⎰的另一种积分次序为-------------------------------------------（C ） （A ）10(,)x dx f x y dy ⎰（B ）10(,)x dx f x y dy ⎰（C ）210(,)x x dx f x y dy ⎰⎰（D ）210(,)x x dx f x y dy ⎰⎰5．2252(21)(1)x y x y ds +=++=⎰----------------------------------------------------------------（D ）注：第一种曲线积分的计算需利用(,),L Lx y L ds s ∈=⎰与对称奇偶性来完成.如：设L 为椭圆2215x y +=，其周长为l ，则()(5)Lx y x yd s ++=⎰----------------（D ） （A ）15l （B ） l （C ） （D ） 5l6．当0>k 时，级数∑∞=+-12)1(n nnnk 是---------------------------------------------------（A ） （A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性与k 值有关注1：若11,nnn n u v∞∞==∑∑绝对收敛，则1()nn n uv ∞=±∑也绝对收敛.注2：若1nn u∞=∑绝对收敛，1nn v∞=∑条件收敛，则1()nn n uv ∞=±∑仅条件收敛.注3：在本题中，若k 为任意实数，则∑∞=+-12)1(n nn nk 仍条件收敛. 注4：若k 为任意实数，则21(1)n n k nn ∞=+-∑仍条件收敛. 7．幂级数21117n n n n x ∞+-=∑的收敛半径为------------------------------------------------------（C ）（A ）17 （B （C （D ）7 注：幂级数12117n n n n x ∞-+=∑.8．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为21,0()3,0x x f x x x ππ⎧--<≤=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(8)S π=-----（C ） （A ）1 （B ）32 （C ）2 （D ）3注：以π2为周期的)(x f 满足狄利克雷收敛条件，若0x 为)(x f 的第一类间断点，则)(x f 的傅里叶级数001()[()()]2S x f x f x +-=+.如：在该题中，24(7)2S πππ--+=.第２页 共4页二、计算题（每题7分）1. 设(,)z f x y y x =，其中(,)f u v 可微，求,x y z z 以及x y xz yz +.解：12x u v z y f x yf --=----------------------------------------------------------------------------321y u v z xy f x f --=-+------------------------------------------------------------------------2 0x y xz yz +=.--------------------------------------------------------------------------------2注：设(cos ,sin )z f x y x y =， 其中(,)f u v 可微， 求（1）cos sin x y u xz y z y xf --；（2）u v x uf vf xz +-.解：（1）cos sin x u v z yf yf =+，sin cos y u v z x yf x yf =-+， 则cos sin x y u xz y z y xf -=，故cos sin 0x y u xz y z y xf --=； （2）因cos sin x u v u v xz x yf x yf uf vf =+=+，则0u v x uf vf xz +-=. 2．σd yx D⎰⎰22，其中D 是由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域. 解：2222211x x Dx x d dx dy y y σ=⎰⎰⎰⎰----------------------------------------------------------------4 []22119.14x x x y dx =-=⎰.----------------------------------------------------3 注：设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2．【简解】原式122368222202334163x xx xD D x dxdy x dxdy x dx dy x dx dy -=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 3．取L 为22132x y +=的顺时针方向，用格林公式求422(2)(1)23L x y dy y dxx y +-++⎰.解：原式41(2)(1)6L x y dy y dx =+-+⎰-------------------------------------------------------2221321(21)6Green x y d σ+≤=-+⎰⎰2213212x y d σ+≤=-=⎰⎰.-------------------------5 注：用格林公式求LPdx Qdy +⎰时，若,P Q 含分母，利用(,)x y L ∈将分母变为常数，再用格林公式进行计算，注意L 的逆（顺）时针方向. 如：设L 是221x y +=的逆时针边界曲线，则=+--+⎰Ly x dyy x dx y x 22)()(π2-. 4．设空间闭区域Ω{}22(,,)1,12x y z x y z =+≤-≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的外侧，用高斯公式计算2()2()(1)x y dydz y z x dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰． 解: 2,2(),(1)P x y Q y z x R z z =+=-=+------------------------------------------1Ω是半径为1、高为3的圆柱体 ------------------------------------------------1 原式=()xyz Pdydz Qdzdx Rdxdy P QR dxdydz ∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰-------------------2dv Ω=⎰⎰⎰3π=．------------------------------------------------------------------------3 注：第二种曲线积分的计算需利用高斯公式与kdv kvΩΩ=⎰⎰⎰来完成，注意内外侧.如：设空间闭区域{}(,,)1,2,||3x y z x y z Ω=≤≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算得23xdydz ydzdx zdxdy ∑-+=⎰⎰ 96- .三、计算题（8分）设3(,,)ln xy F x y z e y z -=+-，（1）求(,,)F x y z 在点(0,1,1)P 处的梯度()gradF P ；（2）求空间曲面(,,)0F x y z =在点(0,1,1)P 处的切平面的方程. 解： xy x F ye -'=-，1y F y '=，23z F z '=-------------------------------------------------------3则()(,,)(1,1,3)x y z p gradF P F F F '''==-------------------------------------------------------2 （2）所求曲面在(0,1,1)P 处的法向量()(1,1,3)n gradF P ==------------------------1则切平面方程为()()()01310x y z -+---=，即320x y z +-+=，--------------2四、证明题（本大题８分）当x ＜31时，求证：201[(1)3]4321n n nn x x x x ∞=--=+-∑.证明： 21113214113x x x x x ⎛⎫=- ⎪+-+-⎝⎭------------------------------------------------------2001(1)34n n n n n n x x ∞∞==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑，x -＜1且 3x ＜1--------------------------4 01[(1)3]4n n nn x ∞==--∑ ， x ＜31.---------------------------------------------2 注：令2321113x a bx x x x=++-+- ，可由待定系数法求出,a b .第３页 共4页五、计算题（本题8分）若23(32)(2)y y x e x ky dx x e x y dy +-+-+为某二元函数(,)u x y 的全微分， 求常数k ，并求(,)u x y ．解: 23(,)32,(,)2y yP x y x e x ky Q x y x e x y =+-=-+ ---------------------------------1223,31y y y x P x e k Q x e =-=-------------------------------------------------------------1由题意知，y x P Q =，则1k =；---------------------------------------------------------------2(,)u x y =(,)23(0,0)(32)(2)x y y y x e x y dx x e x y dy C +-+-++⎰----------------------1230(32)(2)x y y x x dx x e x y dy =++-+⎰⎰---------------------------------------2 322y x e x xy y C =+-++．-----------------------------------------------------------1注：x y LPdx Qdy du Q P Pdx Qdy +=⇔=⇔+⎰与积分路径L 无关，且000(,)0(,)(,)(,)x y xyx y x y u Pdx Qdy P x y dx Q x y dy C =+=++⎰⎰⎰，一般取00(,)x y 为原点.如：证明：dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++在整个xoy 平面内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数． 简要解答: 因2sin 2cos y x P x y y x Q =-+=，则命题得证；(,)2(0,0)2(2sin sin )x y x yu Pdx Qdy C xdx y x x y dy C=++=+-+⎰⎰⎰22sin cos y x x y C =++．又如：对计算题五，若23(32)(2)y y LI x e x ky dx x e x y dy =+-+-+⎰与积分路径L无关,仅与L 的起点(0,0)A 与终点(,)B x x 有关，求常数k ，并求出I ． 简要解答: 由题意知，y x P Q =，则1k =；(,)23(0,0)(32)(2)x x x xy I Pdx Qdy x x dx x e x y dy =+=++-+⎰⎰⎰32x x e x =+．六、计算题（本题8分）求22{(,)|1}D x y x y =+≤上的连续函数),(y x f ，使2(,)3()16(,)Df x y x y xy f x y d σ=++⎰⎰．解：设(,)Df x y d A σ=⎰⎰，则2(,)3()16f x y x y A x y=++------------------------------2因D 关于y 轴对称，xy 关于x 为奇函数，则有0Dxyd σ=⎰⎰------------------------------2故223()(616)D DA xy d A xyd σσ=+++⎰⎰⎰⎰-------------------------------------------------221300332d r dr πθπ==⎰⎰．-------------------------------------------------------------------2 注：求22{(,)|1}D x y x y =+≤上的连续函数),(y x f ，使21(,)3()(,)Df x y x y f x y d σπ=+-⎰⎰．（23(,)3()4f xy x y =+-）七、应用题（本题8分）现将一根长为2p 的硬质金属细杆截为三段，组装成一个三角形构件,问怎样截法可使该三角形构件的面积S 最大?(提示：设∆三边为,,x y z ，记p z y x 2=++，则S 解: 设细杆截为三段的长分别为 z y x ,,， 则y x ++-----------------1则其组装的三角形构件面积S =我们需求)((),,(p x p z y x f -=在条件p z 2=下的最大值，--1 由 p z y x 2=++解出 y x p z --=2 -----------------------------------1 其化为 ))()((),(p y x y p x p y x h -+--=的普通极值问题，-----------------1由 ⎩⎨⎧=---==---=0)22)((),(0)22)((),(y x p x p y x h y x p y p y x h y x ----------------------------------2得在 0,0>>y x 时只有一个解223x p y p ==，-----------------------1 但由问题知，最大值存在，而判别点唯一，----------------------------------1 得2x y z p ===时三角形面积最大．------------------------------------1第４页 共4页八、微分方程复习题1、y x e y +='的通解为----------------------------------------------------------------------（ B ）（A ）C e e yx =-- （B ）C e e y x =+- （C ）C e e y x =+- （D ）C e e y x =+ 注1：一阶可分离变量微分方程()()y f x g y '=的解法为()()dy f x dx g y =⎰⎰.对选择题1，,x yy e e '=yxedy e dx -=⎰⎰，则选（ B ）.如：求23x yy e-'=的通解.2、12x y C C e =+是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（ A ） （A ）0='-''y y （B ）0='+''y y （C ）0=-''y y （D ）0=+''y y 注1：0y py qy '''++=的特征方程为20r pr q ++=，0,∆<不要求； 若0,∆>特征方程有两个不同实根12r r ≠，原方程通解为1212r xr xy C eC e =+；若0,∆=特征方程有两个相同实根r ，原方程通解为12()rx y C C x e =+.对选择题2，因011,xxxe e e ==为该微分方程的两个特解，则120,1r r ==为其特征方程有两个不同实根，其特征方程为2(1)0r r r r -=-=，故选（A ） 如：0=-''y y 的通解为12x x y C e C e -=+； 通解为12x x y C e C e -=+，则微分方程为0=-''y y . 又如：20y y y '''++=的通解为12()x y C C x e -=+； 通解为12()x y C C x e -=+，则微分方程为20y y y '''++=. 3、 微分方程xxe y y y 244-=+'+''的一个特解可设为---------------------------（C ）（A ）2()xax b e-+ （B ）xeb ax x 2)(-+ （C ）xeb ax x 22)(-+ （D ）xex 23-注1：xy py qy ce λ'''++=的特解可设为*k xy ax e λ=，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.注2：()x y py qy cx d e λ'''++=+的特解可设为*()k xy ax b x e λ=+，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.对选择题3，因2λ=-为其相应特征方程2440r r ++=的重根，取2k =，其特解可设为*22()x y ax b x e -=+；1y y '''+=的特解可设为*y ax =.4、解微分方程.0)0(222⎩⎨⎧==+'-y xe xy y x注1：y Py Q '+=的通解可用公式法()Pdx Pdxy e Qe dx C -⎰⎰=+⎰，也可用构造法，利用()'PdxPdxye Qe ⎰⎰=求其通解.解（一）：公式法：22)(,2)(x xex Q x x P -==⎰=∴2)(x dx x P ，2)(222)(x dx e xe dx e x Q x x dxx P =⋅=⎰⎰⎰-故通解为)(22C x e y x +=-由0)0(=y 得0=C ， 因此 22x e x y -=.解（二）：构造法：222()'2xdxxdxx ye xe e -⎰⎰=，则2()'2x ye x =，于是222x yexdx x C ==+⎰,有22()x y e x C -=+，下与解（一）相同.如：求解微分方程2111y x y x x +'-=++． 简要解答: 公式法， 111121()1dx dx x x x y e e dx C x -+++⎰⎰=++⎰ ln(1)ln(1)21()1x x x e e dx C x +-++=++⎰21(1)()1x dx C x =+++⎰(1)(arctan )x x C =++ 构造法：111121()'1dx dx x x x e y e x --+++⎰⎰=+，则ln(1)ln(1)21()'1x x x e y e x -+-++=+，化简得21()'11y x x =++， 则21arctan 11y dx x C x x ==+++⎰，有(1)(arctan )y x x C =++． 注意：ln u e u =，如311ln ln ln ln 23ln 22311,,u x x x x x x x e u e e e e e e x x --=====．。