第三章 刚体定轴转动定律
第三章 刚体的定轴转动
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
大学物理第三章知识点
t2 Mdt
t1
2 d(J) J
1
2 1
d
J2
J1
冲量矩
---角动量定理(积分式)
X. J. Feng
作用于刚体上冲量矩等于刚体角动量的增量
3.角动量守恒定律
t2
t1
Mdt
J2
J1
M 0时，J2 J1
若转动物体的合外力矩为零，则系统的角动量守恒
转动系统由两个或两个以上物体组成时：
X. J. Feng
M合 0时 Jii 常数
若系统的合外力矩为零，则系统的角动量守恒
讨论：1. J、ω均不变， J ω=常数 2. J、ω都改变， 但 J ω不变
注意: 1).运用角动量守恒时,系统中各物体均绕同一转轴转动
2).角动量定理、角动量守恒定律中各角速度或速度均需 相对同一惯性参照系。
花样滑冰运动员通过改变 身体姿态即改变转动惯量 来改变转速
ω
X. J. Feng
猫的下落
例: 杆( m,l ),可扰固定端O在竖直平面内自由转动, X. J. Feng
一子弹( m,v0 )射入杆的下端,求杆上摆的最大角度?
O 判断:
m,l
mv0 (m m)V
1 2
mv 0 2
刚体定轴转动定律: 功能关系:
M 合 J
刚体转动动能定理:
A
1 2
J2 2
1 2
J12
刚体重力势能： EP mghc
机械能守恒定律:
若W外+ W内非=0 则Ek +Ep =常量
X. J. Feng
大学物理上第3章 刚体的定轴转动
z
(ω, β )
r fi
F 两边乘以r 两边乘以ri ,有： it ri + f it ri = ∆mi ait ri
对所有质元的同样的式子求和， 对所有质元的同样的式子求和，有：
fit
∆mi
Fit
r Fi
Fir
o
Fit ri + ∑ f it r i = ∑ ∆mi ait ri = β ∑ ( ∆mi ri 2 ) ∑
表示合外力矩，记作M ∑ F r 表示合外力矩，记作 表示内力矩之和， ∑ f r 表示内力矩之和，其值等于零
it i
it i
(∆mi ri 2 ) 称为刚体对轴的转动惯量，记作J 称为刚体对轴的转动惯量，记作 ∑
则上式可简写成： 则上式可简写成：M = Jβ
11
M = Jβ
刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动 轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 说明: 说明: 1. 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、J、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 上式反映了力矩的瞬时效应。M = Jβ = J dω 上式反映了力矩的瞬时效应。 dt 4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 5. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。
2
§3.1
3.1.1 刚体的运动
刚体定轴转动的描述
刚体的平动：刚体在运动过程中， 刚体的平动：刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终保持平行。 上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法 来处理刚体的平动问题。 来处理刚体的平动问题。 刚体的定轴转动： 刚体的定轴转动：刚体上各点都绕同 一直线作圆周运动， 一直线作圆周运动，而直线本身在空 间的位置保持不动的一种转动。 间的位置保持不动的一种转动。这条 直线称为转轴 转轴。 直线称为转轴。
刚体的定轴转动和转动定律
受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章 刚体的转动
3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章 刚体的转动
大小： d
dt
方向： 若 2 > 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：
m V
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三 转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS
第3章刚体的定轴转动
绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
大学物理 第3章 刚体力学基础
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF
第03章 刚体定轴转动01-转动定律
作用于刚体内每一质元上的内力矩的矢量和为零，即
fr 0
i i i
14
F r
i i
i
为作用于刚体内每一质元上的外力矩的矢量和。
M Fi ri
i
定义：刚体的转动惯量J (moment of interia) 则有：
2 m r ii i
M J
即：
M J
刚体定轴转动的转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所 受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比。 —— 刚体定轴转动的基本动力学规律。
dm 2 π r dr
P
3 2
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 J 2π r dr π R 4 0 2 1 2 而 m π R 所以 J mR 2
圆盘对P 轴的转动惯量
R
R
O O
r dr
1 J P mR 2 mR 2 2
19
15
三、转动惯量
J mi ri
i
2
物理意义：刚体转动惯性的量度。 对于质量离散分布刚体的转动惯量
J mi ri 2 m1r12 m2r22
i
质量连续分布刚体的转动惯量
J lim
mi 0
2 2 m r r i i dm i
P1 y
P2
23
（3）如图所示,不计绳子的质量，滑轮的质量与半径分别为M
和R，滑轮与绳间只滚不滑，不计滑轮与轴间的摩擦力。 且 m1 m2 。 求重物释放后，物体的加速度和绳的张力。 A
m1 FN m1 FT1
O
C
取坐标如图
M
第三章刚体的定轴转动
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
二、刚体定轴转动的动能定理 B、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，
一对内力矩的代数和为零；∴内力矩的功总和为零。另一角度，内力的功相对位移为零 .）
3、功率：
d A F 2d r
pdAMdM
dt dt
当 与 M 同方向， 和 为正 当 与 M 反方向， 和 为负
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
1 2 其中(：1 3M h 2 1 m l2l(12) ca 2o M s) 1( 3g )m h 2g(h 2 ) h 2 a (1 co )s(4 )
由（2）（3）（4）式求得：
2Mg(1lcos)/22mg(1acos)
M2l/3m a2
(Ml 2ma)g(1cos)
2
25
整理，得：
1 10 gh,
b7
vcb
10 gh 7
§3.2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
（2）小球到达A点不脱离轨道，要求小球在A点的速 度vA 和角速度A满足：
m v a A 2 m g v A 2 a,gA 2 v b A 2 2 a b 2 g (4 )
由机械能守恒：
b<<a
飞轮作变加速转动
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 例题3-1-2：一长为 l ，重为W的均匀梯子，靠墙放置，如图。墙光滑，地面粗糙, 当梯子与地面成角 时，处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力。
解：刚体平衡同时要满足两个条件：
Fi 0
Mi 0
列出分量方程：
O
水平方向：
f1N2 0
竖直方向：
3-3刚体定轴转动定律
o
解：分析：杆在运动过程中 分析： 受到变力矩作用！ 受到变力矩作用！则其角加 速度为变值， 速度为变值，由 求β 要用 积分
θ l ,m
v mg
ω
l 设杆在某一位置时， 设杆在某一位置时， M = mg ⋅ cosθ 2
刚体的转动
刚体定轴转动定律
由转动定律， 由转动定律，
l dω dθ mg ⋅ cosθ = Jα = J ⋅ 2 dt dθ l dω mg ⋅ cosθ = Jω o 2 dθ θ l ,m
′ 切向 Fit + Fit = ∆mi ⋅ at = ∆mi ⋅ ri ⋅ β
乘以
ri
′ Fit ⋅ ri + Fit ⋅ ri
= ∆mi ⋅ ri ⋅ β
2
刚体的转动
刚体定轴转动定律
′ ∑ Fit ⋅ ri + ∑ Fit ⋅ ri
′ it i
对刚体
= ∑(∆mi ⋅ ri ) ⋅ β
2
it
∑F ⋅ r = 0 ∑F
v v M = Jβ
刚体的转动
刚体定轴转动定律
设刚体绕定轴oz转动 设刚体绕定轴oz转动 oz 任取一质元 ∆mi ，其绕轴作 半径为 r 的圆周运动
v v′ 受力分析： 受力分析： 外力F 内力F i i
由牛顿第二定律
z v v Βιβλιοθήκη i Fi′ov ri ∆mi
v v′ v Fi + Fi = ∆mi ⋅ a
（为什么？） 为什么？）
⋅ ri = M
M = ∑(∆mi ⋅ ri ) ⋅ β
2
2
M = J ⋅β
其中
J = ∑∆mi ⋅ ri — 转动惯量
第三章 刚体定轴转动基本定律
此时角加速度
θ
A
mg
又由 得
β=
dω dω dθ dω = =ω dt dθ dt dθ
βdθ = ω dω
图例３ －９
两边取积分，并代入始、末条件，得
∫ βdθ = ∫ ω dω
0
π 2 0
ω
3g 1 2 2 [ − cos θ ] 0 = ω −0 2l 2 ω = 3g l
π
解法二：棒由竖直位置运动到地面，重力矩所做的功为
dL = rυdm = m rυdr 2l
2l
Ｏ
．
2L 图例３ －１ ０
整个杆对圆孔的动量矩为
L=
∫ dL = ∫ 2l rυdr
0 0
2l
m
= mυl
设小钉穿入后杆做定轴转动的角速度为ω，在此过程中杆对轴的动量矩守恒，即
mυl = Iω = 1 m(2l ) 2 ω 3 3υ 4l
7
则
ω =
在杆定轴转动时，距轴为 r，长为 dr 的一小段杆受到的向心力为
rF = Iβ rF I= β
Ｏ ． Ｆ
当悬挂 m 时，设下落 2m 时速度为υ，且此时圆盘转动的 角速度为ω，因只有重力做功，系统的机械能守恒。
mgh = υ = rω 1 1 mυ 2 + Iω 2 2 2
Ｏ．
由以上各式可得
υ2 = 2mgh F m+ rβ 2 × 1 × 9 .8 × 2 = 13.5 1+ 0 .3 × 5
小球与细杆系统在碰撞前后动量矩守恒设细杆逆时针转动为动量矩正方向碰撞后细杆获得角速度为则细杆转动中受到平面的摩擦力矩以o为原点沿杆长方向建ox处取长度dx的一小段杆则杆转动时dx受到摩擦力为dxdmgdf方向如图该力的力矩为dmxdf整个杆受到的摩擦力矩为gmlxdx设开始转动后t秒停下则由动量矩定理df图315dx17所以mgmg
第03章 刚体定轴转动
各质量元速度不同， 但角速度相同
刚体的总动能
1 1 2 E k E ki m iv i m i ri 2 2 2 2
令
1 J 2 2
J m r
2 i i
刚体绕定轴的转动惯量
2
2 2 0
v v 2a (r r0 )
2 2 0
例 一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t的变 化关系为=(2+4t3)rad,式中t以s计。试求： （1）在t=2s时，砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度 的大小。 （2）当角为多大时,该质点的加速度与半径成45o角。
对m：
R
m0
mg T ma
（1）
对m0 ：
TR J
T
（2）
m
W
又
a R
1 J m0 R 2 2
（3）
联立（1）、（2）、（3）解得：
mg a m0 m 2
由初始条件： v0 0
——恒矢量，与时间无关
，得
mgt v at m0 m 2
14.4t 2 2.4t
t 0.55s
此时砂轮转过的角度
=(2+4t3)=2+4(0.55)3=2.67(rad)
1.力对转轴的力矩
力对转轴上参考点O的力矩矢量:
z
M r F
力对转轴OZ的力矩矢量:
O
F d r P
Mz r F
大小： M
z
rz
Fr sin 方向： 方向沿r F，即沿转动轴方向
刚体定轴转动定律公式
刚体定轴转动定律公式
刚体定轴转动定律是描述刚体绕定轴转动的物理规律。
其中，定轴转动指围绕一个固定轴心旋转，而刚体则指形状不变的物体。
该定律的公式可以表示为：
τ= Iα
其中，τ表示刚体所受的力矩，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
转动惯量是描述刚体绕定轴转动惯性的物理量，具体定义为：
I = ∫r2dm
其中，r表示离定轴的距离，dm表示质量元素。
这个公式的意义是，刚体所受到的力矩与刚体的转动惯量和角加速度成正比。
因此，当转动惯量越大或角加速度越大时，刚体所受到的力矩也相应增大。
需要注意的是，该公式适用于定轴转动的刚体，而对于非定轴转动的刚体，需要使用更为复杂的公式来描述其运动规律。
大学物理第3章 刚体定轴转动与角动量守恒
第3章 刚体定轴转动和角动量守恒定律在前几章质点运动中，我们忽略了物体自身大小和形状，将物体视为质点，用质点的运动代替了整个物体的运动。
但是在实际物体运动中，不仅物体在大小和形状千差，而且运动又有平动和转动之别。
这时我们需要另一个突出主要特征，忽视其次要因素，既具有大小又具有形状的理想模型——刚体。
在受力的作用时，其形状和体积都不发生任何变化的物体，称做刚体。
本章将介绍刚体所遵从的力学规律，重点讨论刚体的定轴转动这种简单的情况。
由于刚体转动的基本概念和原理与前几章质点运动的基本概念和原理相似，因此我们将刚体转动与质点运动对比学习一会事半功倍。
§3-1 刚体定轴转动1. 刚体运动的形式刚体的运动可以分为平动、转动及平动与转动的叠加。
平动的定义为，在刚体在运动过程中，刚体中任意两点的连线始终平行。
如图5-1所示。
由于平动时刚体内各点的运动情况都是一样的，因此描述刚体平动只需要描写刚体内一点的运动，也就是说刚体的平动只要用其中一个点的运动就可以代表它整体的运动。
转动的定义为，刚体运动时，刚体中所有质点都绕同一条直线作圆周运动，这条直线称为转轴。
转轴可以是固定的，也可以是变化的。
若转轴固定，称为刚体定轴转动。
若转轴不固定，运动比较复杂。
刚体的一般运动可以看作是平动和转动的叠加。
平动在前几章已经研究过，本章我们主要研究定轴转动。
2. 刚体的定轴转动研究刚体绕定轴转动时，选与转轴垂直的圆周轨道所在平面为转动平面。
由于描述各质元运动的角量，如角位移、角速度和角加速度都是一样的，因此描述刚体运动时用角量较为方便。
因为刚体上各质元的半径不同，所以各质元的速度和加速度不相等。
角速度和角加速度一般情况下是矢量，由于刚体定轴转动时角速度和角加速度的方向沿转轴方向，因此可用带有“+、-”的标量表示角速度和角加速度。
这种方法我们并不陌生，质点作直线运动时我们也是用带有“+、-”的标量表示速度和加速度。
角速度的大小为 dtd θω= （3-1） 它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。
刚体的定轴转动及转动定律
解 由题意，令ct，即 d ct，积分
dt
dc
t
tdt
得
1 ct 2
0
0
2
当t=300s 时
18r0 m 0 1 i6 0 nπ 0 r0 a s 1 d
所以
c22 6π 0r0 a s d 3πra s d 3
转过的圈数 N 75π37.5r
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度
0 t (5 π π 6 6 )ra s 1 d 4 π ra s 1 d
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v r 0 .2 4 π m s 2 2 .5 m s 2
该点的切向加速度和法向加速度
JP
1mR2 mR2 2
P
ROm
精品
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
精品
第三章 刚体的转动
竿 子 长 些 控还 制是 ？短 些 较 容 易
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消。
M ij
O
rj
dri
j
i Fji
Fij
M ji
MijMji
精品
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
二 转动定律
1、 单个质点 m 与转轴刚性连接（ F 在转动平面内）
受力： FFt Fn
力矩：Mr(F tF n)
r Ft rFt k
a t r 0 .2 ( π 6 )m s 2 0 .1m 0s 5 2
an r 2 0.2 ´ (4 π)2 m ×s2 31.6 m ×s2
《大学物理》第三章 刚体的定轴转动
P
t
=
1 2
ω J 2 自
t
=
ω J 2 自 2P
=
2×105× (30π)
2×736×103
2
=
1.21×103s
(2) ω进 = 1度 秒 = 0.0175rad/s
ω进 =
M
Jω自
M = Jω进ω自
M = 2×105×0.0175×30π= 3.3×105 N返回.m退出
3-14 在如图所示的回转仪中，转盘的 质量为 0.15kg , 绕其轴线的转动惯量为： 1.50×10-4 kg.m2 ,架子的质量为 0.03kg, 由转盘与架子组成的系统被支持在一个支柱 的尖端O，尖端O到转盘中心的距离为0.04 m , 当转盘以一定角速度ω 绕其轴旋转时， 它便在水平面内以1/6 rev/s的转速进动。
为25cm，轴的一端 A用一根链条挂起，如
果原来轴在水平位置，并使轮子以ω自=12 rad／s的角速度旋转，方向如图所示，求：
（1）该轮自转的角动量；
（2）作用于轴上的外力矩；
（3）系统的进动角速度， ω
并判断进动方向。
AO
B
R
l 返回 退出
解：
(1)
J
=
m
R
2
回
=
5×(0.25 )2
ω
= 0.313 kg.m2
a
=
m
1+
m m
1g 2+
J
r2
T1 =
m 1g (m 2+ J m 1+m 2 + J
r 2) r2
T2 =
m 1m 2g m 1+m 2 + J
刚体的定轴转动定律
而
m π R
2
2
πR
4
所以
1 2 I mR 2
例题、均匀分布的质量为m、半径为R的球体绕其直径做定 轴转动的转动惯量。
Z
R z
2
2
dz
z
R
x
例 有两个半径相同、质量相等的细圆环A和B， A环的质量均匀分布，B环的质量分布不均匀， 它们对通过环心且垂直于环面的轴的转动惯量 分别为IA和IB，则：【 】 （A）A环的转动惯量大于B环的转动惯量； （B）A环的转动惯量小于B环的转动惯量； （C）两个圆环的转动惯量相等； （D）无法判断。
I mi ri m r m r
2 2 11 2 2 2 i
r
dm
质量连续分布刚体的转动惯量
I r dm
2
dm
：质量元
计算转动惯量: m a
m a
m
m
m
m a
m
m
y
2 3a 2 2 2a 2
a a
2 a 2
a
x
2 2 2 2 2 2 I m( a) m( 2a) m( 3a) 2 2 2
I mi ri 2
i
转动惯量
转动惯量是刚体转动惯性大小的量度,转动 惯量大，则刚体的转动惯性大；转动惯量小， 则刚体的转动惯性小。 转动惯量一般与两个因素有关： （1）转动轴的位置； （2）转动刚体的质量；
r2 m2 m1
m3
r3
r4
r1
ri
r5
m4
mi
m5
质量离散分布系统的转动惯量
m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r
3第三章_刚体的定轴转动
d dt
J
,
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等 于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1 和m2 的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无 相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳 子的张力. o 解: 受力图如下， 设 m 2 >m 1 r
(m 2 m1 ) g (m1 m 2 1 2
1 2 1 2 m m)g
1 2
m
m )r
m)g T2
T1
m 2 (2 m1
m1 m 2
m1 m 2
3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律
预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是
认识刚体
在研究物体的运动时，根据问题的性质和要求， 有时需要考虑物体的形状和大小，而忽略物体在力 的作用下引起的形变，即把物体看作是形状、大小 不会改变的物体—刚体：在外力作用下形状和大小 保持不变的物体(ideal model） 刚体特征： 构成刚体任意两质点间的距离，在运动过程中恒保 持不变。是一种“速冻”质点系。 研究任务： 刚体的运动，突出转动，将其上升为研究的主要问 题和对象。忽略了振动及其它变形运动。
J J
i
m i ri
2
2
m
r dm
例：如图质点系
J
m3 r3
r1 m 1
m2 r2
i3
m i ri
2
2
i 1
刚体定轴转动定律
F ma
(2) 列方程: 对于刚体：定轴转动定律 M J
线量与角量的关系：at R
(3) 解方程.
例题. 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，滑轮可视为
圆 盘 ， 绳 的 两 端 分 别 悬 有 质 量 为 m1 和 m2 的 物 块 ， 且 m1<m2. 设滑轮的质量为M，半径为R，绳与轮之间无 相对滑动，求物块的加速度和绳中张力.
本次课所讲知识点是刚体力学这部分内容的重点， 希望大家课后好好复习，多多练习，熟练掌握。
切向分量式： Fit fit miait
ait ri Fit fit miri
ri
作圆周运动. z
o
f Fit
i fit
ri mi
Fir
Fi
上式两端同乘以ri再对所有质点求和：
Fit ri fit ri miri2
i
i
i
合外力矩M 内力矩之和 =0 转动惯量J
M J
刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所 获得的角加速度的乘积.
二、 刚体定轴转动定律与牛顿第二定律的比较
定律方程
牛顿第二定律 F ma
促使运动状态发 生变化的因素
合外力：F
阻碍运动状态发 生变化的因素
产生的物理量
质量：m
加速度：a
刚体定轴转动定律
M J
合外力矩：M
ห้องสมุดไป่ตู้转动惯量：J
角加速度：
三、 刚体定轴转动定律的应用
解题思路:
(1) 受力分析;
对于质点：牛顿第二定律
刚体定轴转动定律
一、 刚体定轴转动定律的证明
刚体可看成是由n个质点组成的连续质点系.
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1. 刚体是质点与质点之间的相对位置保持不变的质点系。
………………………………[ ]
2. 刚体中任意质点都遵循质点力学规律。
…………………………………………………[ ]
3. 定轴转动的刚体上的每一个质点都在作圆周运动，都具有相同的角速度。
…………[ ]
4. 刚体对轴的转动惯量越大，改变其对轴的运动状态就越困难。
………………………[ ]
5. 刚体质量一定，其转动惯量也就一定。
…………………………………………………[ ]
6. 当作用在刚体上的两个力合力矩为零时，则它们的合力也一定为零。
………………[ ]
7. 当作用在刚体上的两个力合力为零时，则它们的合力矩也一定为零。
………………[ ]
8. 平行于转轴的力对刚体定轴转动没有贡献。
……………………………………………[ ]
9. 刚体所受合外力矩为零时，刚体总角动量守恒。
………………………………………[ ]
10. 刚体对某一轴的角动量守恒，刚体的所受合外力矩为零。
……………………………[ ]
二、填空题
11. 质量为m 的质点沿半径为r 的圆周以速率v 运动，质点对过圆心的中心轴转动惯量
J = ，角动量L = ；质量为m 的质点沿着直线以速率v 运动，它相对于直线外距离为d 的一点的角动量为L = 。
12. 长度为l 的均匀细棒放在Oxy 平面内，其一端固定在坐标原点O 位置，另一端可在平面内
自由转动，当其转动到与x 轴正方向重合时，在细棒的自由端受到了一个34F i j =+ 牛顿
的力，则此力对转轴的力矩M =__________。
13. 在Oxy 平面内有一个由3个质点组成的质点系，其质量分别为1m 、2m 、3m ，坐标分别为
()11,x y 、()22,x y 、()33,x y ，则此质点系对z 轴的转动惯量J =__________。
14. 质量为m 半径为r 的均匀圆盘绕垂直于盘面的中心轴转动，转动惯量J = ； 质量为m 长度为l 的细棒，对于经过细棒一端且垂直于棒的轴的转动惯量J = ； 质量为m 长度为l 的细棒，对于与细棒中心轴平行、相距为4l 的轴的转动惯量J = ；
15. 如图1，一长为l 的轻质细杆，两端分别固定质量为m 和2m 的
小球，此系统在竖直平面内可绕过其中心点O 且与杆垂直的水
平固定轴转动。
开始时，杆与水平成60 角，处于静止状态，无
初速度地释放，杆球系统绕O 转动，杆与两小球为一刚体，绕O
轴转动惯量J = 。
释放后当杆转到水平位置时，刚体收
到的合外力矩M = ,角加速度α= 。
16. 花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J ，角速度为0ω。
然后他将两臂收回，使转动惯量减小为J/3。
这时他的角速度变为__________。
17. 10m 高的烟囱因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度，设倾倒时底部未移
动，可近似认为烟囱为细均匀杆。
18. 在自由旋转的水平圆台边上站一质量为m 的人，圆台的半径为R ，转动惯量为J ，角速
度为0ω。
当人从盘边走到盘心时，角速度改变了多少？
19. 如图2所示，重物的质量12m m >，定滑轮半径为r 轻质软绳与滑轮之间无相对滑动，滑
轮的轮轴处无摩擦，物体2与水平支撑面之间的摩擦系数为μ。
计算重物加速度的大小。
20. 图3所示为麦克斯韦滚摆，已知转盘质量为m ，对盘轴的转动惯量为c J ，盘轴直径为2r ，
求下降时的加速度和每根绳的张力。
21. 如图4，质量为M 长度为L 的匀质木杆以无摩擦的铰链悬挂在天棚
上，初始时木杆在竖直状态。
一质量为0m 的子弹沿水平方向射入木
杆下端，二者绕铰链一起运动，求开始时刻二者共同的角速度。
22. 如图5，从一个半径为R 的均匀薄板上挖去一个直径为R 的圆板，所形成的圆洞中心在距原薄板中心2R 处，所剩薄板的质量为m 。
求此薄板对于通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量。
23. 如图6，质量为m 长度为l 的均质杆，其B 端放在桌面上，A 端用
手支柱，使杆成水平。
突然释放A 端，在此瞬时，求：
（1） 杆质心的加速度；（2）杆B 端所受的力。