考研高数微分方程课本精细笔记
6考研数学大纲知识点解析(第六章微分方程和差分方程(数学一))
满足初始条件
的特
【解析】令
，则
，原方程化为
，即
，
于是 因
，得
，故
，由
，
知，应取
.
即
，解得
，又由
，得
，故
．
（3）型如： 间变量，即
.方程的特点是不显含自变量 ．令 ，由复合函数求导的链式法，则有
，视 为中
将之代入方程，得 这是函数 关于变量 的一阶微分方程．若能求出其通解
则可再由方程
或
两边积分后求得方程的通解
【解析】 将
代入方程
（D）
．
，得
由题设可知 从而有
类似地，将
代入方程
解得
，故选（A）．
．
，得
，
【例题】（89 年，数学一/数学二/数学三）设线性无关的函数
都是二阶非齐次线性
方程 ．
的解，
是任意常数，则该非齐次方程的通解是
（A）
．
（B）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
（C）
． （D）
．
【答案】（D）．
【解析】根据解的性质，
均为齐次方程的解，且线性无关，因此
；
（2） 求出特征根 和 ；
（3） 根据特征根的不同情形按下表写出方程（1）的通解：
表 二阶常系数线性齐次微分方程的通解
特征根情形
通解形式
相异实根 相同实根 共轭复根
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次微分方程的通解为
的通解．
，解特征根为
．
．其中
为任意常数．
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次方程的通解为
．
设非齐次方程
微分方程全部知识点
微分方程全部知识点微分方程是数学中一个重要的分支，研究的是含有未知函数及其导数的方程。
微分方程的研究对于理解和描述自然界中的各种现象有着重要的意义。
本文将介绍微分方程的基本概念、分类、解法以及一些常见的应用领域。
一、基本概念1. 微分方程的定义：微分方程是一个方程，其中未知函数的某个导数和它本身以及自变量之间存在关系。
2. 微分方程的阶：微分方程中最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
常见的微分方程有一阶、二阶和高阶微分方程。
3. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程中只涉及一个自变量的导数，而偏微分方程涉及多个自变量的导数。
4. 初值问题和边值问题：初值问题是指在给定初始条件下求解微分方程的问题，边值问题是指在给定边界条件下求解微分方程的问题。
二、微分方程的分类1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离到等式的两边，然后进行积分得到解。
2. 齐次微分方程：如果一个微分方程中的所有项都是同一个函数的同一个函数的倍数，可以通过变量替换的方法将其转化为分离变量的形式。
3. 线性微分方程：如果一个微分方程中的未知函数及其导数出现的次数均为1次，并且未知函数的系数只依赖于自变量，可以使用常数变易法或特解法求解。
4. 高阶线性微分方程：高阶线性微分方程可以通过降阶的方法解决。
5. 常系数线性齐次微分方程：常系数线性齐次微分方程可以通过特征方程的求解方法得到解。
6. 变参法：对于一些特殊的微分方程，可以引入适当的参数来构造方程的解。
7. 常见的特殊微分方程：如常微分方程中常见的一阶线性微分方程、二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程、高阶常系数齐次和非齐次线性微分方程等。
三、微分方程的解法1. 分离变量法：将微分方程中的变量分离，进行积分得到解。
2. 积分因子法：对于某些形式的微分方程，可以通过乘以适当的积分因子来将其转化为恰当方程，然后进行积分得到解。
3. 常数变易法：对于线性微分方程，可以通过假设待求解的解为一个常数的形式，然后带入原方程求解。
高数知识汇总之微分方程
第六章微分方程微分方程的基本概念微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。
微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。
微分方程的通解：如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
微分方程的特解：在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。
初始条件：用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件。
积分曲线：微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。
一阶微分方程的求解方法分离变量法可分离变量的微分方程：形如 )()(y g x f dxdy =的微分方程，称为可分离变量的微分方程。
特点：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有x 的函数，另一个是只含有y 的函数． 解法：当0)(≠y g 时，把)()(y g x f dxdy =分离变量为)0)((,)()(≠=y g dx x f y g dy 对上式两边积分，得通解为 ()()dy f x dx Cg y =+⎰⎰（这里我们把积分常数C 明确写出来，而把()dy g y ⎰，⎰dx x f )(分别理解为)(1y g 和)(x f 的一个确定的原函数。
） 齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考。
一阶线性微分方程一阶线性微分方程：如果一阶微分方程(,,)0F x y y '=可以写为()()y p x y q x '+=则称之为一阶线性微分方程，其中()p x 、()q x 为连续函数．当()0q x ≡时，此方程为()0dy p x y dx+=，称它为对应于非齐次线性方程的齐次线性微分方程；当()0q x ≡时，称为非齐次线性微分方程。
解法：用常数变易法可得其通解为：()()(())p x dx p x dx y e q x e dx c -⎰⎰=+⎰（注：其中每个积分，不再加任意常数C 。
高数考研知识点总结
高数考研知识点总结一、微积分微积分是一门研究变化的学问。
微积分包括微分学和积分学两个部分。
微分学主要包括导数的概念和性质、高阶导数、隐函数及参数方程求导，微分中值定理，泰勒公式及其应用，不定积分和定积分的概念，不定积分和定积分的计算方法，微分方程的基本概念和初等解法，以及常见微分方程的应用等知识点。
积分学主要包括定积分的概念和性质，定积分的计算方法，换元积分法，分部积分法，定积分的几何应用，定积分的物理应用，不定积分和定积分的基本定理，微分方程的解法和应用，广义积分，数列的敛散，函数项级数的一致收敛性等知识点。
二、级数级数是指由一列数按照一定规律相加而得到的一种算术运算。
级数分为数列和级数的概念，各种级数的审敛性的判别法，幂级数，傅里叶级数，函数项级数的一致收敛性，泰勒级数和洛朗级数等知识点。
三、空间解析几何空间解析几何是指研究空间内点、直线、平面、曲线、曲面及它们之间的相互位置关系等问题的一门数学学科。
空间解析几何主要包括三维空间中的向量及其运算，直线和平面的向量方程和参数方程，空间曲线的方程和参数方程，空间曲面的方程和参数方程，以及常见空间曲线和曲面的性质及应用等知识点。
四、常微分方程常微分方程是指自变量只有一个的微分方程，它是描述动力系统中的基本方程。
常微分方程包括一阶常微分方程的基本概念和解法，高阶常微分方程的概念和求解方法，常系数线性微分方程的解法，解微分方程的初值问题，二阶常微分方程常见的特殊解法，欧拉方程，伯努利方程，克莱罗方程，常见的非齐次线性微分方程的解法等知识点。
五、多元函数微分学多元函数微分学是研究多变量函数的导数、偏导数及其应用的一门数学学科。
多元函数微分学包括二元函数的概念及性质，多元函数的极值及其应用，隐函数存在定理，非线性方程组的解法，多元函数的泰勒公式，梯度、散度、旋度及拉普拉斯算子，二元函数积分学，重积分的概念和性质，重积分的计算方法，重积分的几何物理应用，累次积分的计算次序等知识点。
数学笔记-同济第七版高数（上）-第二章-导数与微分-函数的微分
数学笔记-同济第七版高数（上）-第二章-导数与微分-函数的微分一、定义y=f(x)，(x∈D), x0∈D, x0+Δx∈DΔy=f(x0+Δx)-f(x0)若Δy=AΔx+o(Δx)，称y=f(x)在x=x0可微意思是Δy若能表示为一个常数乘以Δx和一个Δx的高阶无穷小的和，就称y=f(x)在x=x0可微称AΔx为y=f(x)在x=x0这点的微分dy|x=x0=AΔx=Adx, dx也是微分二、Notes1、可导 <=> 可微证明：“=>”:设lim(Δx->0)f(x)=A则Δy/Δx=A+α, α->0(Δx->0)Δy=AΔx+Δxα,lim(Δx->0)[Δxα/Δx]=0,即Δxα=o(Δx)所以Δy=AΔx+o(Δx)所以y=f(x)在x=x0点可微“<=”:设Δy=AΔx+o(Δx)Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx因为lim(Δx->0)[o(Δx)/Δx]=0所以Δy/Δx=A+α, α->0, (Δx->0)所以y=f(x)在x=x0点可导2、y=f(x)，x=x0，Δy=AΔx+o(Δx)，则A为f'(x0)，A为该点导数3、y=f(x)，x=x0，Δy=AΔx+o(Δx)，则(dy|x=x0)=AΔx=f'(x0)Δx=f'(x0)dx若y=f(x)可导，dy=df(x)=f'(x)dx如：d(x^3)=(x^3)'dx=3x^2dxd(e^3x)=3e^3xdxx^2dx=d(1/3*x^3+C)1/(1+x^2)*dx=d(arctanx+C)4、若y=f(x)在x=x0可微，则：Δy=f'(x0)Δx+o(Δx), dy|x=x0 = f'(x0)dx=> Δy-dy=o(Δx)5、设y=f(x)在x=x0可微，则dy=f'(x)Δxf'(x)为y=f(x)在x=x0对应点的斜率三、微分的几大工具1、公式d(c)=0d(x^n)=nx^(n-1)dxd(a^x)=a^x*lna*dxd(sinx)=cosxdx, d(cosx)=-sinxdxd(loga(x))=1/(xlna)*dx......2、四则d(u±v)=du±dvd(uv)=dudvd(u/v)=(vdu-udv)/v^23、复合y=f(u)(1)dy=f'(u)du(2)若u=g(x), dy=f'(u)du=f'(u)g'(x)dx四、近似计算设y=f(x)在x=x0可微Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f'(x0)Δx+o(Δx)=>Δy≈f'(x0)Δx=>f(x0+Δx)≈f(x0)+f'(x0)Δx。
【精品】考研高数第七章总结
微分方程（一）基本概念和一阶微分方程1、 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；有时也称为一般解但不一定是全部解。
特解：不含有任意常数或任意常数确定后的解。
（有的是用隐函数表示！！！）2、几阶微分方程就有几个初始条件。
微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条几分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。
3、可分离变量的微分方程：dx x f dy y g )()(=推广形式：齐次方程)1(:⎰⎰+=+=-=+===Cx C x dxu u f du u dxdux u dx dy u x y x y dx dy ||ln )()(,),(ϕϕ则令形。
属于可分离变量方程情则令则令情形当属于齐次方程情形。
，则令的解情形，先求出当则令)(,),)((,,0|b a b a |2)()(,),,(000|b a b a |1)()3()()(,),0,0)(()2(2111111121111112122211221122112221112211222111c u c u f b a dx dy b a dx du y b x a u c y b x a c y b x a f dx dyb b a a uv b a u yb a f vb u a v b u a f du dv y v x uc y b x a c y b x a c y b x a c y b x a f dx dyc x dx u bf a du u bf a dx du u c by ax b a c by ax f dx dy+++=+=+=++++=====∆><++=++=-=-==++=++≠=∆><++++=+==+⇒+==++≠≠++=⎰⎰λλλβαβα4、一阶线性微分方程及其推广))((),(,)(),()()2(,,0)(:)1()()()()(C dx e x Q e y x C e x C y x Q y x P dxdyC Ce y y x P dxdydxx P dx x P dx x P dxx P +⎰⎰=⎰==+⎰==+⎰---则得代入方程求出令解公式用常数变易法可求出通一阶线性非齐次方程：为任意常数）（通解公式为，它也是可分离变量方程一阶线性齐次方程(3)（3）见下页方程求解。
(完整版)高等数学考研知识点总结10,推荐文档
@ 第十讲 常微分方程一、 考试要求1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法。
会解伯努力方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
会用降阶法解下列形式的微分方程：y(n)=f(x),y //=f(x,y /)和y //=f(y,y /).3、掌握(会解)二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
4、理解(了解)线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程 。
5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
6、掌握一阶常系数线性差分方程的解法。
7、会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。
8、会解欧拉方程。
9、会用微分方程解决一些简单的应用问题。
二、内容提要（一）、一阶微分方程'=y f x y (,), y y y x y x x ===0000,()1 可分离变量微分方程'==y f x y f x g y (,)()()或 f x dx g y dy ()()+=0直接积分： f x dx g y dy C ()()+=⎰⎰2 齐次方程'=y f y x (), u y x= 3 一阶线性微分方程'+=y p x y q x ()() 或 '+=x p y x q y ()()y e q x e dx C p x dx p x dx =⎰⎰+-⎰()()[()] 4 贝努里方程'+=y p x y q x y n ()() , z y n =-15 全微分方程M x y dx N x y dy N x M y (,)(,)+=⇔=0∂∂∂∂ M x y dx N x y dy C y yx x(,)(,)000+=⎰⎰ 6 可用简单变量代换求解的微分方程（二）、可降阶的高阶微分方程1 y f x n ()()=, 连续积分n 次2 ''='y f x y (,), '=y u3 ''='y f y y (,), '=''=⋅y u y du dyu , （三）、高阶线性微分方程1、''+'+=y p x y q x y f x ()()() (1)''+'+=y p x y q x y ()()0 (2)解的性质、结构2、常系数线性齐次方程(1) ''+'+=y py qy 0特征方程，特征根三种情况：λλ12,(2) y p y p y p y n n n n ()()+++'+=--1110Λ3、二阶常系数线性非齐次方程''+'+=y py qy f x ()(1) f x P x e n x ()()=α, 特解：(2) f x e a x b x x ()[cos sin ]=+αββ, 特解：(3) f x f x f x ()()()=+12, 特解：y x y x y x *()()()=+124、 欧拉方程)(2x f by y ax y x =+'+''令 dt dy dty d y x dt dy y x x t e x t-=''='⇒==222,ln , )()(22t e f by dt dy a dt dy dty d =++-⇒ 5、 微分方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=)()(22211211t y a x a dt dy t y a x a dt dx ψϕ，一般化为二阶常系数线性微分方程求解. 三、 典型题型与例题题型一、一阶微分方程的求解解题步骤： (1) 判断方程的类型； (2) 注意'+=x p y x q y ()()；(3) 若不能确定类型，考虑用适当的变量代换.例1、 (98 1) 已知函数y=y(x)在任意点x 处的增量∆∆y y x x =++12α, 且当∆x →0时，α是∆x 的高阶无穷小量，y ()0=π, 则y(1)= .例2、求的通解xy dxdy 2=。
微分方程全部知识点
微分方程全部知识点微分方程是数学中一个重要的分支，用于描述变量之间的关系以及其之间的变化规律。
其在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
下面将介绍微分方程的全部知识点。
一、基本概念和分类：1. 微分方程的定义和形式。
2. 微分方程的阶数和线性性。
3. 独立变量和因变量的概念。
4. 常微分方程和偏微分方程的区别。
二、常微分方程：1. 一阶常微分方程的解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程、一阶伯努利方程、可化为可分离变量的方程。
2. 高阶常微分方程的解法：常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程、二阶常系数齐次方程的特征方程、二阶线性非齐次方程的特解法。
3. 微分方程的解的存在唯一性定理。
4. 常微分方程的初值问题和边值问题。
三、偏微分方程：1. 常见的偏微分方程类型：椭圆型、抛物型、双曲型方程。
2. 二阶线性偏微分方程的分类和通解求法。
3. 常用偏微分方程的具体应用：热传导方程、波动方程、扩散方程等。
四、数值解法：1. 欧拉法和改进的欧拉法。
2. 龙格-库塔法。
3. 有限差分法和有限元法。
五、应用领域：微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域有广泛的应用。
例如：1. 牛顿运动定律中的微分方程。
2. 电路中的微分方程。
3. 生物种群数量变化的微分方程。
4. 经济增长模型中的微分方程。
总结：微分方程是数学中一个重要的分支，主要包括基本概念和分类、常微分方程、偏微分方程、数值解法以及应用领域等知识点。
掌握微分方程的解法和应用，对于理解自然和社会现象的规律具有重要作用。
微积分知识点总结(期末考研笔记)
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
20XX考研暑假数学复习高数微分方程部分重点解析.doc
理解其收敛的相关概念并掌握各种收敛性
判别法。
2. 幂级数
考试有三方面的要求：幂级数收敛域的计算，幂级数求和，幂级数展开。
考生应通过一定量训练使自己具备这三方面的能力——给定幂级数，准确计算其收敛半径进而得到收敛域，能求其和函数，能将一个简单函数在指定点展开成幂级数。
3.傅里叶级数
考试出现频率和考试要求均较低，掌握傅里叶系数的求法，再了解狄利克雷定理的内容即可。
如何有效地复习考研数学?如果我们也视其为一道数学题，我想我们应该明白：我们要做微分运算——拿着放大镜把每个考点弄清，也要做积分运算——持续地投入，积跬步以至千里;我们要有严谨的态度——一张数表里有一个数不同结果就变了，还要有灵活的思维——于点、线、面，数、表、空间，常量、变量、随机变量间自由游弋;面对逝去的光阴不要悔恨——函数都可以不单调，人却要让过去决定未来吗，面对不如意的现状要接纳——作为考生，我们无权更改微分方程的初始条件，我们能做的是接受它，把题漂亮地解出来。
微分方程复习要点
微分方程复习要点微分方程是数学中重要的分支之一，它是研究描述变量之间关系的方程。
微分方程在自然科学、工程技术、经济学等领域中有广泛的应用。
下面是微分方程的复习要点：1.微分方程的基本概念-求解微分方程即找到满足方程的函数表达式。
-通解是包含未知常数的解，可以通过给定的初始条件确定常数值得到特解。
-初值问题是给定初始条件的微分方程求解问题。
2.微分方程的分类-一阶微分方程：方程中最高阶导数为一阶。
-二阶微分方程：方程中最高阶导数为二阶。
-高阶微分方程：方程中最高阶导数为大于二阶的正整数。
3.常见类型的微分方程-分离变量型微分方程：方程中将变量分离后，两边可以分别积分得到解。
-齐次型微分方程：方程中将变量替换后，可以化为分离变量型微分方程。
-线性微分方程：方程中改写成导数形式后，可以通过积分因子或公式求得通解。
- Bernoulli微分方程：方程中通过变形后可以化为线性微分方程。
-恰当微分方程：方程中通过判断系数矩阵的偏导数可以判断是否为恰当微分方程。
4.高阶线性微分方程- 高阶线性微分方程的标准形式为$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=f(x)$。
-特征方程的解给出了对应齐次线性微分方程的解的形式。
-利用特解的方法可以得到非齐次线性微分方程的通解。
5.常用的求解微分方程的方法-变量分离法：通过对方程中的变量进行分离积分得到解。
-齐次型微分方程的解法：通过变量变换将方程化为分离变量型微分方程。
-线性微分方程的解法：通过积分因子或公式求解。
-分步求解法：将高阶微分方程转化为一系列的一阶微分方程求解。
-变参数法：通过适当的参数选择将微分方程化为可解的形式。
6.常见的微分方程应用-弹簧振动方程：通过微分方程描述弹簧振动的行为。
-温度分布方程：通过微分方程描述材料的温度传导和热流。
-人口增长方程：通过微分方程描述人口数量的变化。
微分方程全部知识点
微分方程全部知识点微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述自然现象中涉及到变化的规律及其演化过程。
微分方程广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学、生物学等。
本文将全面介绍微分方程的全部知识点，帮助读者更好地理解和掌握微分方程的理论和应用。
一、微分方程的定义和基本概念微分方程是描述数学模型中变化的规律的方程，其中涉及到未知函数及其导数。
微分方程分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程中只包含一元函数的导数，偏微分方程中包含多元函数的偏导数。
微分方程的解是指能够使方程成立的未知函数，通常表示为y(x)。
微分方程的解可以是一个函数，也可以是一组函数。
二、一阶常微分方程一阶常微分方程是指只含一元函数y及其一阶导数y'的微分方程。
一阶常微分方程的一般形式为：y'=f(x,y)通过分离变量法、全微分法或者常数变易法等方法可以求得一阶常微分方程的通解和特解。
一阶常微分方程的应用广泛，如在物理学中描述运动的规律，在经济学中描述增长的规律等。
三、高阶常微分方程高阶常微分方程是指含有未知函数y和其多次导数的微分方程。
高阶常微分方程的一般形式为：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)其中y'和y''分别表示y的一阶和二阶导数。
通过特征方程法或常数变易法等方法可以求解高阶常微分方程的通解和特解。
高阶常微分方程的应用也很广泛，如描述物理学中的振动问题、电路分析问题等。
四、偏微分方程偏微分方程是指包含多元函数及其偏导数的微分方程。
偏微分方程的一般形式为：F(x,y,u,u_x,u_y,...,u_{xy},...)=0其中u表示未知函数，u_x和u_y分别表示u对于x和y的偏导数。
偏微分方程的求解方法通常是根据具体问题选择合适的方法，如叠加法、分离变量法、变数分离法等。
五、常用的一些微分方程模型除了上述的常微分方程与偏微分方程之外，微分方程还有一些常用的模型，如：1. 简单利率模型这个模型描述的是在简单利率下的本金增长规律。
上海市考研数学复习微积分基础知识点总结
上海市考研数学复习微积分基础知识点总结微积分是数学的一个重要分支，也是高等数学的基础内容之一。
作为考研数学的一部分，微积分的基础知识点在考试中占据了很大的比重。
为了帮助考生更好地复习微积分，下面将对上海市考研数学复习微积分的基础知识点进行总结。
一、极限与连续1. 极限的基本概念和性质- 数列的极限：数列的极限定义、极限定理、夹逼定理等- 函数的极限：函数极限的定义、性质、无穷大与无穷小等2. 连续与间断- 连续函数的定义与性质- 间断点的分类与判定方法二、导数与微分1. 导数的概念和求导法则- 导数的定义、求导法则、高阶导数等- 高阶导数的应用：泰勒展开式、极值与拐点判断等2. 微分的概念及其应用- 微分的定义、微分近似、微分中值定理等- 最值问题的应用：最大值、最小值的判定与求解等三、积分与定积分1. 不定积分与定积分的定义- 不定积分的定义、基本积分表、换元法等- 定积分的定义、性质、积分中值定理等2. 积分的应用- 曲线长度与曲线面积的计算- 牛顿-莱布尼兹公式的应用四、微分方程1. 一阶微分方程- 可分离变量的微分方程- 齐次与一阶线性微分方程- 变量可分离的 Bernoulli 微分方程2. 二阶线性微分方程- 齐次和非齐次线性微分方程- 常系数线性微分方程的求解方法五、多元函数微积分1. 多元函数的极限与连续- 多元函数的极限定义、连续性判定等2. 偏导数及其应用- 偏导数的定义、求导法则、高阶偏导数等- 隐函数与参数方程的偏导数求导3. 多元函数的极值与条件极值- 多元函数的极值判断与求解- 多元函数的条件极值的求解方法以上是上海市考研数学复习微积分基础知识点的总结。
希望考生们能够认真复习，掌握这些基础知识，并能够灵活运用于解题中。
祝愿大家考试顺利，取得好成绩！。
微分方程之考点分析 (1)
微分方程之考点分析文章来源：文都教育考研数学中考查的微分方程是常微分方程，常微分方程与微积分有着紧密联系的一门数学分支，在实际问题中有重要的应用，利用常微分方程建立实际问题的数学模型和方程的求解是这部分内容得两个核心问题。
这部分内容若单单考查方程的通解或特解等问题，往往是比较简单的题目，但是若是与实际问题或是最值问题或是级数相结合，题目往往是与解答题的形式出现的，相对来说难度稍微大一些。
数一、数二、数三公共部分的考试内容如下：常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程，微分方程的简单应用。
对于数一、数二、数三同学来说，都要求掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程的求解。
至于数一和数二同学还要求掌握可降阶的微分方程的求解。
此外，数一同学专享的内容还有伯努利方程、全微分方程和欧拉方程的求解，数三同学专享的内容有差分与差分方程的概念，差分方程的通解与特解，一阶常系数线性差分方程的求解。
文都教育老师在这里提醒大家，一定要清楚自己所要考查的范围，进行相应的复习，避免多余复习和遗漏复习。
本部分重点考查的内容如下：1.解方程问题，具体在以下几个方面和角度进行考查：（1）考试内容中要求的各种类型微分方程的求解和初值问题。
（2）线性微分方程解得结构。
（3）已知解，反过来求相应的方程的形式。
2. 关于微分方程的应用题，是历年考试中考查的重点内容之一，也是学生复习时的一个难点。
（1）能够根据题意和问题的性质，建立方程。
主要体现为积分方程向微分方程的转化；利用原函数与全微分的概念建立并求解方程；利用曲线积分与路径无关的充要条件建立方程；利用函数项级数的分析性质建立方程等。
（2）应用问题一般多是初值问题，要能够从题设条件中确定初始条件。
同学们复习过程中，一定要清楚自己考试的范围，对于历年真题中出现频率比较高的题目类型，复习时要着重突破一下此类型题目。