Bernoulli方程推导思路应注意些问题

Bernoulli方程的推导思路及应注意的一些问题

【摘要】bernoulli（伯努利）方程是理想流体作稳定流动的动力学方程，它的一般推导都是基于做功和能量转换之间的关系，实质上是能量守恒定律在理想流体稳定流动中的表现，用功能原理亦或动能定理均可得出，但在推导过程中容易忽视几个问题。本文着重就其推导思路及需注意的几个问题展开讨论。

【关键词】理想流体伯努利方程稳定流动

一、概述

伯努利方程是理想流体作稳定流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流管中任意截面位置处的动压和静压之和为一个常量。这个理论是由瑞士数学家d.（bernoulli，daniel）在1738年提出的，当时被称为伯努利原理。后人又将重力场中欧拉方程在定常流动时沿流线的积分称为伯努利积分，将重力场中无粘性流体定常绝热流动的能量方程称为伯努利定理。这些统称为伯努利方程，是流体动力学基本方程之一。

对于重力场中的不可压缩均质流体，伯努利方程为：

式中p、ρ、v分别为流管中任一截面处流体的压强、密度以及流速；h为截面所处的高度；g重力加速度。

从能量的角度来理解伯努利方程，则上式等式左边从左向右依次表示为单位体积流体的压强能、动能和重力势能，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。显然，二、推导思路及注意的问题

（一）推导思路

从作功和能量的转换关系出发，结合图1，假设流体从左往右流（图1所示为从下往上）对伯努利方程的推导思路总结如下：

1.首先，需要对研究对象（一段流体）进行受力分析，如果用功能原理来推导，则重力当成是内力不需考虑，但若用动能定理来推导的话，则需要考虑重力，它是属于外力范畴的。很明显，除了重力以外，流体还受到了来自周围流体或管壁的压力及前后流体的压力作用。

2.接着在1的基础上，再对各力的作功情况进行分析，即在所有的外力中，哪些力是作功的，哪些是不作功的，由于功是有正负之分的，所以在作了功的外力中，还要分清楚哪些力是作正功的，哪些是作负功的。在图1中，重力作负功，周围或管壁所施的压力垂直于流管的侧面，因此是不作功的；来自后面流体的压力起到推动流体往前流动的作用，因此作正功，而前面流体起到阻碍流动的作用，因此其施加的压力在流动的过程中是作负功的。

3.接着在完成步骤2后，把每个外力作功的结果用数学表达式表示出来，即可得出“净功δw”，注意它是所有外力所作功的“代数和”。

4.根据功能原理或动能定理写出最后的结果。

（二）需注意的一些问题

1.我们在理想流体流动的空间中取出一段流管，为什么假设流体是从下往上流而不是从上往下流的呢？因为如果取成从上往下流

的话，很明显，由于流体是理想流体，在流动的过程中，流体之间是不存在摩擦力的，这样势必会存在一个往下的加速度，从而使得流体加速流动，也就是说，这样的结果是为：不能保证在同一个位置不同的流体粒子前后不同时刻经过该位置时，保持流速是不变的。换句话说，这样的流动并不是稳定流动。

2.运用动能定理的时候要注意，δw=ek2-ek1，其中（ek2-ek1）表示的是该段流体末初两状态的动能差，图中所示的v2和v1分别表示的是y和x这两个位置处的截面处的平均流速，它们不能代表整段研究流体的总的末初两态的平均流速，所以不能直接利用动能的定义式来表示该段流体所具有的初末两态的动能。但是

（ek2-ek1）最终写成与是相等时，而这里的m则表示的不是整段流体的质量，而仅表示为xx′或yy′段流体的质量，这两段流体的质量和体积都是相等的。

3.图中所示的h1和h2表示的是x和y两个位置截面所处的高度，它们并不能代表所研究的这段流体的初态和末态的重心高度。所以写重力作功表达式的时候得注意，不能直接利用重力势能的定义式mgh来表示初末态的重力势能。但重力所做的功的最终结果表示为（mgh1-mgh2），这里的m与上2中的意思相同。

三、结束语

伯努利方程在流体动力学中非常重要，虽然它的对象是针对理想流体的，是理想流体就需满足两个绝对化的条件：①绝对不可压缩；

②完全没有粘性。而对于实际的流体而言，并不完全满足以上两个

条件，但是在压缩性和粘性都很小的情况下，实际的液体或气体可近似看成是理想流体，当它们作稳定流动时，伯努利方程同样是可以用来描述其运动规律。文章针对伯努利方程的推导思路进行了分析总结，并从细节方面对需注意的地方进行了探讨。

参考文献

[1]徐爱英.伯努利方程的推导.科技信息

[2]陈燕黎.伯努利方程的原理及运用浅析.漯河职业技术学院学报

[3]张惠安何建军等.医学物理学.人民邮电出版社

作者简介：唐燕妮，女，出生于1980年11月，籍贯湖南永州，就职于长沙医学院，担任计算机物理教研室副主任。