【最新】(人教版)中考数学复习权威课件：29切线的性质和判定
2014届人教版中考数学复习方案(29)切线的性质和判定(25页)
切线的性质和判定
第29课时┃ 切线的性质和判定
考 点 聚 焦
考点1 切线的性质 定理：圆的切线________于经过切点的半径． 垂直 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线． 考点2 切线的判定
垂直 定理： 经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
探究三 切线长定理的运用
命题角度： 1. 利用切线长定理计算； 2. 利用切线长定理证明． 例3 [2012· 绵阳 ]如图29－3，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.
(1)求∠APB的大小； (2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．
图29－3
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第29课时┃ 切线的性质和判定
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
考点3 切线长及切线长定理
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的线段的长，叫做这点到圆的切线长 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ________，这一点和圆心的连线________两条 相等 平分
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第29课时┃ 切线的性质和判定
(2)在 Rt △OAP 中，∵∠P＝30°， ∴PO＝2OA＝OD＋PD. 又∵OA ＝OD，∴PD＝OA . ∵PD＝ 3. ∴2OA＝2PD＝2 3. ∴⊙O 的直径为 2 3.
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《切线的判定与性质》PPT课件 人教版九年级数学
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出 圆的切线？
.O . Al
第一步：连接OA； 第二步：过A点作OA的垂线l.
归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
.O
几何符号表达：∵直线l切⊙O于点A， A
l
∴OA⊥l
反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径.
经过半径的外端并 判定定理 →且垂直于这条半径
的直线是圆的切线
切线的性 质定理
→
圆的切线垂直于 经过切点的半径
→
有切线常作辅助线： 见切线，连切点，得垂直.
∴△OBD≌△OCE(AAS),
∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
方法二：
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂1 ， ∴ AB⊥l2，
∴ l1∥l2.
l2
【初三数学复习精品课件】切线的性质与判定
切线的性质与判定知识集结知识元切线性质及其应用知识讲解根据切线的性质可知，切线与过切点的半径垂直.该性质可以为角度的计算提供90°的条件.例题精讲切线性质及其应用例1.如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（）【解析】题干解析:略例2.把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（）cm【解析】题干解析:解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，如图所示：∵AD，AB分别为圆O的切线，∴AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC，又∠CAB=60°，∴∠OAE=∠OAD=∠DAB=60°，在Rt△AOD中，∠OAD=60°，AD=6cm，∴tan∠OAD=tan60°=，即=，∴OD=6cm，则圆形螺母的直径为12cm．故选D．例3.如图，直线l是圆O的切线，切点为A，∠OBA=40°，求∠AOB.【答案】见解析【解析】题干解析:解：由于线段OA是过切点的半径，因此OA⊥l，从而∠OAB=90°，于是∠AOB=90°－40°=50°切线的判定知识讲解判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；(3)根据切线的判定定理来判定．例题精讲切线的判定例1.如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的⊙O与CD交于点M，且∠BAC=∠DAM，请判断AM与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】证明：连接OM．在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，∴∠BAC=∠DCA，∵OM=OC，∴∠OMC=∠OCM．∵∠BAC=∠DAM，∴∠DAM=∠OMC．∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA．在△DAM中，∠D=90°，∴∠DAM+∠DMA=180°﹣90°=90°．∴∠OMC+∠DMA=90°．∴∠AMO=90°，∴AM⊥MO．点M在⊙O上，OM是⊙O的半径，∴AM与⊙O相切．【解析】题干解析:连接OE，由四边形ABCD是矩形，∠BAC=∠DAM，可证得∠OMC+∠DMA=90°，即可得∠AMO=90°，则可证得AM与⊙O相切.例2.如图，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，以CD为直径的⊙O交AC于点E，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．【答案】见解析【解析】题干解析:证明：连接OE，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED=90°，∴∠AED=90°，又G为AD的中点，∴EG=AD=DG，∴∠GED=∠GDE，∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE，∴∠GED+∠OED=∠GDE+∠ODE，即∠OEG=∠ODG，∵∠ODG=90°，∴∠OEG=90°，∴GE为⊙O的切线．例3.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC 平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线．【答案】见解析【解析】题干解析:（1）证明：连接OC．如图1所示∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴DA∥OC，∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，∴∠OCD=90°，即OC⊥DC，∵OC为半径，∴DC为⊙O的切线．切线判定和性质的综合应用知识讲解证明切线的关键是证明垂直，而证明垂直的关键就是倒角，所以倒角的知识和技巧是重点内容，较综合的题目会对倒角的技巧要求较高.例题精讲切线判定和性质的综合应用例1.如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P=30°，连接AO、AB、AC．求证：△ACB≌△APO．【答案】证明：∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90度．又∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠C=∠OAC，∵∠AOP=∠C+∠OAC，∴∠C=∠AOP=30°，∴∠C=∠P，∴AC=AP．又BC为⊙O直径，∴∠CAB=∠PAO=90°，∴△ACB≌△APO（ASA）．【解析】题干解析:由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，那么AC=AP；根据已知条件我们不难得出∠CAB=∠PAO=90°，这样就凑齐了角边角，那么两三角形就全等了．例2.如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥BC．【答案】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB是直径所对的圆周角，∴∠ACB=90°．∵MP为⊙O的切线，∴∠PMO=90°．∵MP∥AC，∴∠P=∠CAB．∴∠MOP=∠B．故MO∥BC．【解析】题干解析:证MO∥BC，只需证明同位角∠MOP=∠B即可．例3.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】解：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°'，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=45°，∴∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，∴△ADB是等腰直角三角形，∵AB=10，∴AD=BD==5，在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，∴AC==5，答：AC=5，AD=5；（2）直线PC与⊙O相切，理由是：连接OC，在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，∴∠BAC=30°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，∵∠ACD=45°，∴∠OCD=45°﹣30°=15°，∴∠CEP=∠COB+∠OCD=15°+60°=75°，∵PC=PE，∴∠PCE=∠CEP=75°，∴∠OCP=∠OCD+∠ECP=15°+75°=90°，∴直线PC与⊙O相切．【解析】题干解析:（1）连接BD，利用直径所对的圆周角是直角得两个直角三角形，再由角平分线得：∠ACD=∠DCB=45°，由同弧所对的圆周角相等可知：△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角边AD=5，AC的长也是利用勾股定理列式求得；（2）连接半径OC，证明垂直即可；利用直角三角形中一直角边是斜边的一半得：这条直角边所对的锐角为30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度数，最后求得∠OCP=90°，结论得出．利用切线的性质求线段长度知识讲解圆中求线段的长度问题是非常典型的计算问题，常用的方法包括：利用勾股定理求线段长度、利用面积公式求线段长度等.例题精讲利用切线的性质求线段长度例1.已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；（2）求FG的长．【答案】（1）证明：连接OD，∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，∴∠B=∠C=∠ODB=60°，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，∴DF是圆O的切线；（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，∴BD=OB=OD=6，∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，∵在Rt△CFD中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=×6=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，∵FG⊥AB，∴∠FGA=90°，∵∠FAG=60°，∴FG=AFsin60°=．【解析】题干解析:（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FG长．例2.如图，已知以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为弧BE的中点，连接AD交OE于点F，若AC=FC，（Ⅰ）求证：AC是⊙O的切线；（Ⅱ）若BF=5，DF=，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：连接OA、OD，∵D为弧BE的中点，∴OD⊥BC，∠DOF=90°，∴∠D+∠OFD=90°，∵AC=FC，OA=OD，∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，∵∠CFA=∠OFD，∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA⊥AC，∵OA为半径，∴AC是⊙O切线；（2）解：∵⊙O半径是r，∴OD=r，OF=5﹣r，在Rt△DOF中，r2+（5﹣r）2=（）2，解得r=4，r=1（舍），即⊙O的半径r为4．【解析】题干解析:（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可；（2）OD=r，OF=8﹣r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程r2+（8﹣r）2=（）2，求出即可．例3.如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，延长BC到点F，连接AF，使∠ABC=2∠CAF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的长．【答案】见解析【解析】题干解析:（1）证明：连接BD，如图1所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵BA=BC，∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD∵∠ABC=2∠CAF，∴∠ABD=∠CAF，∵∠ABD+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，∴AF是⊙O的切线；（2）解：连接AE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°，即△AEB为直角三角形，∵CE：EB=1：3，设CE长为x，则EB长为3x，BC长为4x．则AB长为4x，在Rt△AEB中由勾股定理可得AE=，在Rt△AEC中，AC=4，AE=，CE=x，由勾股定理得：，解得：，∵x＞0∴，即CE长为．利用切线性质求角度知识讲解圆中求角度问题与直线型图形中计算角度问题所用的知识相近，多出的知识就是圆中新学习的圆心角定理、圆周角定理等.例题精讲利用切线性质求角度例1.如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA=27°，则∠B的大小是（）【解析】题干解析:解：∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥BA．∴∠OAB=90°．∵∠CDA=27°，∴∠BOA=54°．∴∠B=90°﹣54°=36°．故选：C．例2.如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数（）【解析】题干解析:解：连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵∠A=25°，∴∠COD=2∠A=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°．故选C．例3.如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．【答案】（1）证明：∵AB，CD是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）；（2）解：∵BE是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵∠DBE=37°，∴∠ABD=53°，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，∴∠ADC的度数为37°．【解析】题干解析:（1）根据AB，CD是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL定理得出Rt△ABD≌Rt△CDB；（2）由BE是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC的度数．利用切线长定理求边知识讲解利用切线长定理可知，过圆外一点向圆引两条切线，则切线长是相等的.在利用切线长计算长度相关的问题时，这一等量关系尤其重要.例题精讲利用切线长定理求边例1.如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（）【解析】题干解析:解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC=EC，DE=DB，PA=PB∵△PCD的周长等于3，∴PA+PB=3，∴PA=．故选：A．例2.如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（）【解析】题干解析:解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∴BC==10，∴BE+CG=10（cm）．故选D．例3.如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）【解析】题干解析:解：作DH⊥BC于H，如图，∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∵AB为直径，∴AD和BC为⊙O 切线，∵CD和MN为⊙O 切线，∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，∵四边形ABHD为矩形，∴BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，∴CB=CE=，∴△MCN的周长=CN+CM+MN=CN+CM+NF+MF=CN+CM+NF+MB=CE+CB=9．故选A．利用切线长定理求角知识讲解利用切线长定理可知，过圆外一点向圆引两条切线，则切线长是相等的，再根据切线的性质可以得到直角三角形，再利用圆周角定理即可计算多个角的度数，实现倒角的计算.例题精讲利用切线长定理求角如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）（+90°∠+【解析】题干解析:解：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=∠AOB，∴∠AOB=180°﹣∠P，∴∠COD=90°﹣∠P．故选：C．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A=50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（）【解析】题干解析:解：如图，连接OB、OC，∵AB、AC是⊙O的切线，∴∠OBA=∠OCA=90°，∵∠A=50°，∴∠BOC=130°，∵∠BOC=2∠P，∴∠BPC=65°；故选A．例3.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD=48°，则∠DBA的大小是（）【解析】题干解析:解：∵CA、CD是⊙O的切线，∴CA=CD，∵∠C=48°，∴∠CAD=∠CDA=66°，∵CA⊥AB，AB是直径，∴∠ADB=∠CAB=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∠CAD+∠DAB=90°，∴∠DBA=∠CAD=66°，故选C．三角形内切圆及其相关计算知识讲解三角形的内切圆是指三角形的三条边都与圆相切，则三角形的任意两条相邻的边与圆都能构成一组切线长定理模型，则可以用切线长定理来处理，其中内切圆的圆心叫三角形的内心.例题精讲三角形内切圆及其相关计算例1.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）【解析】题干解析:解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC=17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC=5cm，∴BD+CE=BC=5cm，则AD+AE=7cm，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=7（cm）．故选：B．例2.如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD=13，AC=25，BC=35，则BD的长度为（）【解析】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，∴AF=AD=13，CF=CE，BD=BE，∵AC=25，∴CF=AC﹣AF=25﹣13=12，∵BC=35，∴BF=BC﹣CE=35﹣12=23，∴BD=BE=23．故选A．例3.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．（1）求证：BE=CE；（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．【答案】解法一：（1）证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，∵AB=AC，∴AB﹣AD=AC﹣AF，即BD=CF，∴BE=CE；解法二：（1）证明：连结OB、OC、OE∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠OBC=∠OCB，∴OB=OC，又∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为E，∴OE⊥BC，∴BE=CE；（2）解：连结OD、OE，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，又∵OD=OF，∴四边形ODAF是正方形，设OD=AD=AF=r，则BE=BD=CF=CE=2﹣r，在△ABC中，∠A=90°，∴，又∵BC=BE+CE，∴（2﹣r）+（2﹣r）=，得：r=，∴⊙O的半径是．题干解析:（1）利用切线长定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，进而得出BD=CF，即可得出答案；（2）首先连结OD、OE，进而利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．当堂练习单选题练习1.如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（）【解析】题干解析:略练习2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，以BC的中点O为圆心⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（）【解析】题干解析:解：连接OE、OD，设半径为r，∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，∴OE⊥AC，OD⊥AB，∵O是BC的中点，∴OD是中位线，∴OD=AE=AC，∴AC=2r，同理可知：AB=2r，∴AB=AC，∴∠B=45°，∵BC=2∴由勾股定理可知AB=2，∴r=1，∴==故选B，练习3.如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数（）【解析】题干解析:解：连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵∠A=25°，∴∠COD=2∠A=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°．故选C．练习4.如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（）【解析】题干解析:解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC=EC，DE=DB，PA=PB∵△PCD的周长等于3，∴PA+PB=3，∴PA=．故选：A．练习5.如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（）【解析】题干解析:解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∴BC==10，∴BE+CG=10（cm）．故选D．练习6.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）（+90°∠+【解析】题干解析:解：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=∠AOB，∴∠AOB=180°﹣∠P，∴∠COD=90°﹣∠P．故选：C．练习7.如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD=13，AC=25，BC=35，则BD的长度为（）【解析】题干解析:解：∵⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，∴AF=AD=13，CF=CE，BD=BE，∵AC=25，∴CF=AC﹣AF=25﹣13=12，∵BC=35，∴BF=BC﹣CE=35﹣12=23，∴BD=BE=23．故选A．练习8.如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC、CD、DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长（）【解析】题干解析:解：如图，连接OC，OD，设⊙O的半径为r，∵BC、CD、DA与半⊙O相切，∴AD边上的高和AO边上的高都为r，∴AO=AD，同理BO=BC，∴AB=AO+BO=AD+BC=2+3=5．故选B．练习9.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）【解析】题干解析:解：设AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理，得CN=CM=x，BM=BP=9﹣x，AN=AP=10﹣x．则有9﹣x+10﹣x=8，解得：x=5.5．所以△CDE的周长=CD+CE+QF+DQ=2x=11．故选：C．练习10.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD=48°，则∠DBA的大小是（）【解析】题干解析:解：∵CA、CD是⊙O的切线，∴CA=CD，∵∠C=48°，∴∠CAD=∠CDA=66°，∵CA⊥AB，AB是直径，∴∠ADB=∠CAB=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∠CAD+∠DAB=90°，∴∠DBA=∠CAD=66°，故选C．解答题练习1.如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，延长BC到点F，连接AF，使∠ABC=2∠CAF．求证：AF是⊙O的切线．【答案】见解析【解析】题干解析:证明：连接BD，如图1所示：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°，∵BA=BC，∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD∵∠ABC=2∠CAF，∴∠ABD=∠CAF，∵∠ABD+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，∴AF是⊙O的切线．练习2.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD交于点E，且∠ACB=∠DCE，求证：CE是⊙O的切线．【答案】见解析【解析】题干解析:证明：连接OE，∵OA=OE，∴∠CAD=∠OEA，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC∥AD，∴∠BCA=∠CAD，∵∠ACB=∠DCE，∴∠CAE=∠DCE，∵∠DCE+∠CED=180°﹣∠D=90°，∴∠OEA+∠CED=90°，∴∠OEC=180°﹣90°=90°，∴CE是⊙O的切线．练习3.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．【答案】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【解析】题干解析:（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．练习4.如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若∠E=60°，⊙O的半径为5，求AB的长．【答案】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO并延长到圆上一点N，交BC于点F，∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，∴∠BAD=∠DAC，∴=，∴DO⊥BC，∵DE∥BC，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切；（2）连接AO并延长到圆上一点M，连接BM，∵BC∥DE，∴∠ACB=∠E=60°，∴∠M=60°，∵⊙O的半径为5，∴AM=10，∴BM=5，则AB==5．【解析】题干解析:（1）利用垂径定理的推论结合平行线的性质得出∠EDO=90°，进而得出答案；（2）结合已知利用圆周角定理以及勾股定理得出AB的长．练习5.如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求证：AT平分∠BAC；（2）若AD=2，TC=，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：连接OT；∵PQ切⊙O于T，∴OT⊥PQ，又∵AC⊥PQ，∴OT∥AC，∴∠TAC=∠ATO；又∵OT=OA，∴∠ATO=∠OAT，∴∠OAT=∠TAC，即AT平分∠BAC．（2）解：过点O作OM⊥AC于M，∴AM=MD==1；又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，∴四边形OTCM为矩形，∴OM=TC=，∴在Rt△AOM中，；即⊙O的半径为2．【解析】题干解析:（1）PQ切⊙O于T，则OT⊥PC，根据AC⊥PQ，则AC∥OT，要证明AT平分∠BAC，只要证明∠TAC=∠ATO就可以了．（2）过点O作OM⊥AC于M，则满足垂径定理，在直角△AOM中根据勾股定理就可以求出半径OA．练习6.如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．【答案】（1）证明：∵AB，CD是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）；（2）解：∵BE是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵∠DBE=37°，∴∠ABD=53°，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，∴∠ADC的度数为37°．【解析】题干解析:（1）根据AB，CD是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL定理得出Rt△ABD≌Rt△CDB；（2）由BE是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC的度数．。
中考数学一轮教材梳理复习课件：第28课与圆有关的位置关系
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∵∠BOD＝120°， ∴∠BOF＝∠DOF＝60°.
OB＝OD， 在△BOF 和△DOF 中，∠BOF＝∠DOF，
OF＝OF，
∴△BOF≌△DOF(SAS). ∴∠OBF＝∠ODF＝90°. ∴DF 与⊙O 相切．
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12．(2019·桂林)如图，BM 是以 AB 为直径的⊙O 的切线，B 为切点，BC 平分∠ABM，弦 CD 交 AB 于点 E，DE＝OE.
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证明：连接 OD，如图所示． ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD 平分∠EAF， ∴∠DAE＝∠DAO. ∴∠DAE＝∠ADO. ∴OD∥AE. ∵AE⊥EF，∴OD⊥EF. ∴EF 是⊙O 的切线．
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◆(类型 2)作垂线证相等 8．(2018·安顺)如图，在△ABC 中，AB＝AC，O 为 BC 的中点，AC 与半圆 O 相切于点 D. 求证：AB 是半圆 O 所在圆的切线．
圆 O 于 A，B 两点，若 PA＝3，则 PB＝( B )
A．2
B．3
C．4
D．5
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5.三角形的内心与外心
(1)三角形的内心：
①定义：三角形内切圆的圆心；
②性质：内心到三边的距离相等；
③作法：作三角形两条角平分线，其交点为内切圆的
圆心．
(2)三角形的外心：
①定义：三角形外接圆的圆心；
②性质：外心到三个顶点的距离相等；
③作法：作三角形两边的垂直平分线，其交点为外接
圆的圆心．
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5.(1)(2019·娄底)如图，边长为 2 3 的等边△ABC 的
内切圆的半径为( A )
人教版九年级数学上册《切线的性质和判定》课件
3.应用： 教材第98页例1. 教师引导、点拨：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的 切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以 了，而OD是⊙O的半径，因此需证明OE=OD. 学生先自主探索，再小组合作交流.
4.思考： 已知：如图直线CD是⊙O的切线，切点为A，那么，半径OA 与直线CD是不是一定垂直呢? 于是可以得到切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径.
第二十四章 圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的性质和判定
教学重点：探索圆的切线的判定和性质，并能运用. 教学难点：探索圆的切线的判定方法.
教学过程
一、创设情境，导入新课
在纸上画一个⊙O和圆上一个点A，根据所学的知识，如
2
何画出这个圆过点A的一条切线?你有几个办法?教师提出问 题，引出课题.学生复习、思考，初步感知.
教师点拨：实际上，如左图，CD是切线，A是切点，连接AO与 ⊙O交于B，那么AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合， 因此，∠BAC=∠BAD=90°.
教师分析：直接证明比较困难，可用反证法. 学生先自主、再合作，完成证明过程. 养成良好的分析问题、解决问题的能力和习惯.
三、课堂小结，梳理新知
1.切线判定定理性质及其应用.
2.圆中经常作的辅助线——连接切点和圆心，构造直角 三角形解决问题的思路与方法，勇于探索，不畏学习中的困 难.
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021
中考数学复习切线的概念判定性质[人教版](201908)
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中考数学复习切线的概念判定性质[人教版](新编201908)
](https://img.taocdn.com/s3/m/60c1356af111f18583d05ad0.png)
切线的概 念·判定·性 质
复习目标:
1.了解切线的概念,直线和圆的位置关系; 2.掌握切线的判定定理和性质定理; 3.会用切线的判定,性质进行证明或计算.
复习指导:Leabharlann 回忆下列知识点,会的直接写,不会的可 翻书查找,边填边记,5分钟后,比谁能正 确填写,并能运用它们解题.
知识要点:
1.直线和圆的位置关系:
⑴直线和圆有 公共点时,叫做直线和
圆相切.其中的直线叫做圆的 ,唯一的
公共点叫做 .直线和圆 公共点时,叫
做直线和圆相离.直线和圆有 公共点
时,叫做直线和圆相交.
⑵⊙O的半径为r,O到直线L的距离为d.
① d＞r
;
②
.
直线L和⊙O相切;
③
.
直线L和⊙O相交;
；PP丝网除雾器生产厂家 / PP丝网除雾器生产厂家 ;
；
广武将军 太子洗马 武陵内史 就释慧远考寻文义 因避地徙居会稽乌程县之余不乡 岂关於国 夙蒙宠树 在县有能名 王仲德步军乏粮 赐以名馔 不行 势孤援绝 时汉川饑俭 去城二十里 遣使迎之 为侍中 诏除安东将军 服冕乘轩 南郡枝江人也 然后取直 苻 义恭与玄谟书曰 史臣曰 索儿军无资 实 非特烛车之珍 虽加恭谨 魏拜为百顷氐王 青冀二州刺史 孝建元年 时南平王铄守石头 欲令其数满万 咸称之 食邑四百户 总统群帅 思仁纵兵攻之 至於风漓化薄 嗣子茂虔 何所务之乖也 非吾一人而已 领义成太守 入据云阳 初 若升之宰府 先是 常使越讨伐 我若守此 召补队主 为众军节 度 增邑五百户 是以江左嘉遁 太尉桂阳王休范奄至新亭 千载一时 进号辅国将军 以后父为特进 林子辄摧锋居前 金紫光禄大夫 往往为部 下渎水与之 往必有祸 唯边境民庶 亦敬事子恭 伏愿信受 二十八年正月 自称尊号 唐 虏欲
切线的判定和性质PPT课件
A
D
P O
C B
第9页/共34页
已知：在△ABC中，AB=AC，以AB为 直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，
求证：DE是⊙ O的切线。
A
O
E
B
D
C
第10页/共34页
已知：以Rt△ABC的一直角边为直径作 圆，交斜边BC于P，Q是AC的中点。 求证：PQ是圆O的切线。
B
O
P
AQ C
第11页/共34页
已知：AB是⊙O的直径,AD ⊥DE于D, BE⊥DE于E,又AD≠BE,AD+BE=AB.
求证：DE是⊙ O的切线。
D
C
E
A
B O
第12页/共34页
已知：在⊙O中,半径OA ⊥ OB,弦AC交OB 于D, E是OB延长线上一点,若 ∠ OAD=30O,
ED=CE. 求证：EC是⊙ O的切线。 E
CG=10，BF=3.AG=2
A 判断三角形的形状。E
G
B
第28页/共34页
FC
变式训练2
如果三角形的面积 是4，周长为10E，A 求内切圆的半径 G
B FC
第29页/共34页
变式训练3 ∠EOF=150°∠FOG=110°
计算△ABC的各个内角A 度
数
E G
B
C
第30页/共34页
变式训练4
变•如式图训练，5∠：C=90°，AC=6， 改内成切：A圆B的=1半0，径半为径2为，2计.求算三斜角 形边周的长长。 A
第33页/共34页
感谢您的观看！
第34页/共34页
C是AB延长线上的一点, A=30O, AD=DC. 求证：CD是⊙ O的切线。
《切线的性质和判定》PPT赏析(第2课时)
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( C )
A．甲正确，乙错误
B．甲错误，乙正确
C．两人都正确
D．两人都错误
知2－练
2 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一 圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相 切的是( C ) A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(5，1) D．点(6，1)
探究三、切线长定理的运用
命题角度： 1．利用切线长定理计算； 2．利用切线长定理证明．
例3．[2012•绵阳] 如图30－3，PA、PB分 别切⊙O于A、B两点，连接PO、AB相交 于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°. (1)求∠APB的大小； (2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．
考点聚焦
归类探究
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，BD⊥AC.
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
┃归类探究
解析
在△ABD 和△CBD 中，
∠ADB＝∠CDB， BD＝BD， ∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD(ASA)．
∴AB＝CB.
∵直线 BC 与⊙O 相切于点 B，
∴∠ABC＝90°，
知识点 1 切线的判定定理
知1－导
如图，在⊙O中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O 有什么位置关系？
O
l A
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
知1－讲
例1 如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上， BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°. 求证：DC是⊙O的切线．
知1－讲
切线的判定方法有三种： ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理．即
人教版九年级24.2.2 第2课时 切线的判定和性质(共17张ppt)
A
合作学习，讲授新课
探究二
如图，⊙O的半径为r，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那
么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？为什么？
解：OA⊥l ,理由如下：
o
假设OA与直线l不垂直，则OA不是点O到直线l的垂线段.
过点O作OM⊥l于点M,OM的长为点O到直线l的距离d, 根据垂线段最短的性质，有OM<OA，即d<r
AM l
直线l与⊙O相交,与已知矛盾 , 故假设不成立 ,所以OA⊥l .
合作学习，讲授新课
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
o
A
l
合作学习，讲授新课
比较
切线判定定理： ①过半径外端 ②垂直于这条半径
切线性质定理： ①圆的切线 ②过切点的半径
切线 垂直
o
A
l
合作学习，讲授新课
例1 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，
点. l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论.
证明：∵AB是⊙O的直径，
A
l1
l1和l2是⊙O的切线. ∴l1⊥AB，l2⊥AB. ∴l1∥l2.
O
B
l2
小结
请你谈谈今天有哪些收获？ 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线.
公共点已知，连半径，证垂直 公共点未知，作垂直，证半径
情境引入
合作学习，讲授新课
探究一
如图，⊙O的半径为r,在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A 作直线l⊥OA
(1)圆心O到直线l的距离d与r的关系是__d_=_r__
O
当直线l满足什么条件时， (2)直线l和⊙直O线的l位与置⊙关O相系切是？__相__切__
《切线的性质和判定》PPT课件
考点1 圆的切线
切线的性质
圆的切线________过切点的半径
推论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________
切线的判定
(1)和圆有________公共点的直线是圆的切线；(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的________，那么这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线
探究一、圆的切线的性质
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．
探究二、圆的切线的判定方法
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用切线长定理计算；2．利用切线长定理证明．
证明：∵PA，PB，CD都是⊙O的切线，∴PA=PB，CQ=CA，DQ=DB.∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CQ+DQ=PC+PD+CA+DB=PA+PB=2PA.
例2 用尺规作圆，使其与已知三角形的共边都相切．已知：如图29-4-6，△ABC.求作：⊙I，使它与△ABC的三边都相切．分析：要求作的圆与△ABC的三边都相切，则这个圆的圆心到△ABC三边的距离都相等，所以圆心是三角形两个内角平分线的交点，圆的半径是交点到三角形一边的垂线段的长．作法：如图29-4-7.
试用文字语言叙述你所发现的结论
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
初三上数学课件(人教版)-切线的判定与性质
切线的性质 圆的切线 垂直 于过切点的半径． 自我诊断 2. (杭州中考)如图，AT 切⊙O 于点 A，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝ 50° . 易错点 判定切线时易误将未明确直线与圆是否有 公共点时当作有公共点使用．
6．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于 点 D，且∠D＝2∠CAD. (1)求∠D 的度数； (2)若 CD＝2，求 BD 的长．
解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD 与⊙O 相切于点 C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°.∴∠D＝45°； (2)由第(1)问可知△OCD 是等腰直角三角形．∴OC＝CD＝2.由勾股定理， 得 OD＝ 22＋22＝2 2.∴BD＝OD－OB＝2 2－2.
则 DE 为圆 O 的切线； (2)解：过点 O 作 OF⊥AC，∵AC＝10，∴AF＝CF＝12AC＝5，∵∠OFE＝
∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形 OFED 为矩形，∴FE＝OD＝12AB，∵AB ＝12，∴FE＝6，则 AE＝AF＋FE＝5＋6＝11.
12．如图，已知⊙O 的半径为 1，DE 是⊙O 的直径，过 D 点作⊙O 的切线 AD，C 是 AD 的中点，AE 交⊙O 于 B 点，四边形 BCOE 是平行四边形．
A．25° C．50°
B．40° D．60°
3．(吉林中考)如图，直线 l 是⊙O 的切线，A 为切点，B 为直线 l 上一点， 连接 OB 交⊙O 于点 C.若 AB＝12，OA＝5，则 BC 的长为( D )
人教版九年级上册切线的判定与性质PPT
一、教学目标
1．掌握切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的 切线． 2．掌握切线的性质定理． 3．能综合运用圆的切线的判定和性质解决问题．
二、教学重难点 重点
探索圆的切线的判定和性质，并能运用．
难点 探索圆的切线的判定方法．
三、教学设计 活动1 新课导入 在上面三个图中，直线 l 和圆的三种位置关系分别是 相__交__、_相__切_、_相__离_．
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
例3 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和 过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分 ∠DAB. 证明：连接OC. ∵⊙O和直线CD相切，∴OC⊥CD. ∵AD⊥CD，∴AD∥OC. ∴∠ACO＝∠CAD. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠CAO. ∴AC平分∠DAB.
提出问题： (1)已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的 切线？能画几条？ (2)观察下面两个图形，直线 l 是圆的切线吗？判定直 线是圆的切线的两个关键点是什么？ (3)请总结一下判定切线共有哪几种方法？
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
例2 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切 于点C. 求证：直线PB与⊙O相切． 证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC. ∵⊙O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA. 又∵点O在∠APB的平分线上， ∴OC＝OD， ∴直线PB与⊙O相切．
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第29课时┃ 切线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由
圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；
(2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的 度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，
求得AD与OD的长．
第29课时 切线的性质和判定
第29课时┃ 切线的性质和判定
考 点 聚 焦
考点1 切线的性质 定理：圆的切线________ 垂直 于经过切点的半径． 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线． 考点2 切线的判定
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
方法点析 在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明
一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线
过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于 半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直 线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第29课时┃ 切线的性质和判定
考点聚焦 归类探究 回归教材
第29课时┃ 切线的性质和判定
归 类 探 究
探究一 圆的切线的性质 命题角度： 1. 已知圆的切线得出结论；
2. 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明． 例1 [2011· 湛江 ]如图29－1，已知点E在Rt△ABC的斜边
AB上，以AE为直径的⊙O与直角边 BC相切于点D. (1)求证：AD平分∠BAC； (2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．
考点聚焦 归类探究 回归教材
图29－1
第29课时┃ 切线的性质和判定
解
析
(1)先连接OD，则OD⊥BC，且AC⊥BC，再由平行
从而得证；
(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出半 径．
解：(1)证明： 连接OD，
∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC. 又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，
探究三 切线长定理的运用
命题角度： 1. 利用切线长定理计算； 2. 利用切线长定理证明． 例3 [2012· 绵阳 ]如图29－3，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.
(1)求∠APB的大小； (2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．
图29－3
∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC， 即AD平分∠BAC.
考点聚焦 归类探究 回归教材
第29课时┃ 切线的性质和判定
(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝ BD2 ＋OD2. ∵BE＝2，BD＝4,
∴(BE＋OE)2＝ BD2 ＋OD2，
即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3， 故⊙O的半径为3. 方法点析 “圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点和圆 心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方 法．
︵ PO 交⊙O 于点 C，OC＝CP＝2，弦 AB⊥OC，劣弧AB的 度数为 120°，连接 PB. (1)求 BC 的长； (2)求证：PB 是⊙O 的切线．
图29－2
考点聚焦
归类探究
回归教材
第29课时┃ 切线的性质和判定
解：(1)连接OB，
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°， ∴∠COB＝60°.又∵OC＝OB，
切线长
切线长 定理
切线的夹角
考点聚焦 归类探究 回归教材
第29课时┃ 切线的性质和判定
基本图形 如图所示，点P是⊙O外一点，PA，PB切⊙O于点 A，B，AB交PO于点C，则有如下结论： (1)PA＝PB； (2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝ ∠BOP＝∠CAP＝∠CBP
考点聚焦 归类探究 回归教材
∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2.
(2)证明：∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB. ∵△OBC是正三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°.
∴∠CBP＝30°， ∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，
∴OB⊥BP.∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第29课时┃ 切线的性质和判定
考点聚焦
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
归类探究
回归教材
第29课时┃ 切线的性质和判定
⊙I 内切于△ABC，切点分别为 D，E，F，如图． 1 则(1)∠BIC＝90°＋ ∠BAC； 2 (2)△ABC 三边长分别为 a，b，c，
规律清单 ⊙I 的半径为 r，则有 1 S△ABC＝ r(a＋b＋c)； 2
(3)(选学)△ABC 中，若∠ACB＝90°，AC＝b， a＋ b－ c BC＝a，AB＝c，则内切圆半径 r＝ 2
解： (1)∵PA、PB分别为⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＝∠OBP＝90°. ∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°. 在四边形APBO中， ∠APB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB ＝360°－90°－90°－120°＝60°.
第29课时┃ 切线的性质和判定
考点4 三角形的内切圆
三角形的 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这 内切圆 个三角形叫圆的外切三角形
三角形 的内心
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．它是三
三条角平分线 的交点，三角形的内心到三 角形______________ 距离 相等 边的________
考点聚焦
归类探究
回归教材
第29课时┃ 切线的性质和判定
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
考点3 切线长及切线长定理
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的线段的长，叫做这点到圆的切线长 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ________ 相等 ，这一点和圆心的连线________ 平分 两条
考点聚焦 归类探究 回归教材
第29课时┃ 切线的性质和判定
探究二
圆的切线的判定方法
命题角度： 1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线 是圆的切线；
2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定
这条直线是圆的切线．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第29课时┃ 切线的性质和判定
例2 [2013· 湖州 ] 如图 29－2，已知 P 是⊙O 外一点，