2020届高考数学一轮总复习课时跟踪练(五十三)直线的交点坐标与距离公式理(含解析)新人教A版

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【成功方案】高考数学一轮复习课时检测第八章第二节直线的交点坐标、距离公式与对称问题理

第八章第二节直线的交点坐标、距离公式与对称问题一、选择题1．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值等于 ( )A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12解析：依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，∴|3m ＋5|＝|m －7|，∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m . ∴m ＝－6或m ＝12.答案：B2．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是 ( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0x ＝1得交点A (1,1)，且可知所求直线斜率为－12.∴方程为x ＋2y －3＝0.答案：D3．(2012·南昌模拟)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为 ( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2) 解析：设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－2＝2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2，∴x ＝1或x ＝2，∴P (1,2)或(2，－1)．答案：C4．直线l 1：3x ＋4y －7＝0与直线l 2：6x ＋8y ＋1＝0间的距离为 ( ) A.85 B.32 C ．4D ．8解析：因为直线l 2的方程可化为3x ＋4y ＋12＝0.所以直线l 1与直线l 2的距离为|12＋7|32＋42＝32. 答案：B5．使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0,2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值最多有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可．若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0平行，则m ＝4；若4x ＋y ＝4与2x －3my ＝4平行，则m ＝－16；若mx ＋y ＝0与2x －3my ＝4平行，则m 值不存在；若4x ＋y ＝4与mx ＋y ＝0及2x －3my ＝4共点，则m ＝－1或m ＝23.综上可知，m 值最多有4个．答案：D6． (2012·济南模拟)当直线y ＝kx 与曲线y ＝|x |－|x －2|有3个公共点时，实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：依题意得，当x <0时，y ＝－x ＋(x －2)＝－2；当0≤x ≤2时，y ＝x ＋(x －2)＝2x －2；当x >2时，y ＝x －(x －2)＝2.在直角坐标系中画出该函数的图象(如图)，将x 轴绕着原点沿逆时针方向旋转，当旋转到直线恰好经过点(2,2)的过程中，相应的直线(不包括过点(2,2)的直线)与该函数的图象都有三个不同的交点，再进一步旋转，相应的直线与该函数的图象都不再有三个不同的交点，因此满足题意的k 的取值范围是(0,1)．答案：A 二、填空题7．过两直线x ＋3y －10＝0和y ＝3x 的交点，并且与原点距离为1的直线方程为________________．解析：设所求直线为(x ＋3y －10)＋λ(3x －y )＝0，整理，得(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0.由点到直线距离公式，得λ＝±3. ∴所求直线为x ＝1和4x －3y ＋5＝0. 答案：x ＝1或4x －3y ＋5＝08．(2012·苏州检测)已知实数x 、y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为解析：x 2＋y 2表示点(x ，y )到原点的距离．根据数形结合得x 2＋y 2的最小值为原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝55＝ 5.答案： 5 9．函数y ＝a2x －2(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为________．解析：法一：由指数函数的性质可得：函数y ＝a 2x －2(a >2，a ≠1)的图象恒过点A (1,1)，而A ∈l ，∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1，由基本不等式可得：m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＝12.O 到直线l 的距离d ＝1m 2＋n2≤122＝2，∴O 到直线l 的距离的最大值为 2.法二：∵直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A (1,1)， ∴坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为|OA |＝ 2. 答案： 2 三、解答题10．已知直线l 经过点P (3,1)，且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l 的方程．解：法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A (3，－4)和B (3，－9)，截得的线段AB 的长|AB |＝|－4＋9|＝5.符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －＋1，x ＋y ＋1＝0，得A (3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －＋1，x ＋y ＋6＝0，得B (3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1)由|AB |＝5，得(3k －2k ＋1－3k －7k ＋1)2＋(－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋1)2＝52. 解之，得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1. 综上可知，所求l 的方程为x ＝3或y ＝1.法二：由题意，直线l 1、l 2之间的距离为d ＝|1－6|2＝522，且直线l 被平行直线l 1、l 2所截得的线段AB 的长为5(如图所示)，设直线l 与直线l 1的夹角为θ，则sin θ＝5225＝22，故θ＝45°.由直线l 1：x ＋y ＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l 的倾斜角为0°或90°，又由直线l 过点P (3,1)，故直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.11．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0. 求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．解：(1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a1－a . 故l 1和l 2的方程可分别表示为： (a －1)x ＋y ＋a －a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0，又原点到l 1与l 2的距离相等． ∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.12．两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d ，求：(1)d 的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．解：(1)当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，最大值为d＝|AB|＝＋2＋＋2＝310，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d≤310，即所求的d的变化范围是(0,310]．(2)当d取最大值310时，两条平行线都垂直于AB，所以k＝－1k AB ＝－12－－6－－＝－3，故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6) 和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.。

2020高三数学一轮复习(人教版理)：两条直线的交点与距离公式

第二节两条直线的交点与距离公式2019考纲考题考情JICHU WE1SHUJ I1. 两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：对于两条不重合的直线11、12，其斜率分别为k 「k 2,则有11 /门2? k 1 土。

特别地，当直线1「12的斜率都不存在时，11与12平行与Ax + By + C = 0平行的直线，可设为Ax + By + m = 0(m ^ C) (2)两条直线垂直：如果两条直线 11、12斜率存在，设为匕、k 2，贝V 11丄12? k 1_k 2=- 1。

特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直与Ax + By + C = 0垂直的直线可设为 Bx -Ay + n = 0。

2. 两直线相交(1)交点：直线 11: A 1X + B 〔y + C 1 = 0 和 12: A2X + B 2y + C 2= 0考纲姜求琴題举例1考向标遷1.惟用卅用理剽角h 肚衆冋集朗殳l'l线附处点节标T 折点刑也此两BT 馬处代.：:求两T3. tn m 据阿壬宜規的斜屮讥W 这两ft 肯线平打成乖it2C18 *」匕京禹岑•点封直掘距陽的載艾值)4用鶴n 点別总线的即离|机15 •广康豪奇* T,(平就EQ2514 *懈建楣占* 丁注两条直捷塞直》命SS 阳AG1*两果注舞的Afijig2-R^直慢的交点与即宮何團乱对称问老-基础微楡理-微知识•小题练教村［■叫|也础⑵相交？方程组有唯二解，交点坐标就是方程组的解。

(3) 平行？方程组无解。

(4) 重合？方程组有无数个解。

3. 三种距离公式(1)点 A (X 1, y 1)、B (X 2, yj 间的距离为 |AB|= "\1［乂2—xj 2 + y ^J 2。

的公共点的坐标与方程组A 〔x +B 〔y +C 1 = 0,A 2X +B 2y +C 2 = 0的解对应⑵点P(X o, y o)到直线l: Ax+ By+ C= 0的距离为|Ax o + By o+ C|=-A2+ B2 Od⑶两平行直线11: Ax + By + C i = 0 与 S: Ax + By + C2 =0(C i M C2)间的距离为d=量2囂4. 对称问题(1) 点P(x o, y o)关于点A(a, b)的对称点为P(2a-x o,2b-y0)⑵设点P(X0, y。

2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练：(五十三)直线的交点坐标与距离公式含解析

解析：设A′(x，y)，
由已知得
解得故A′ .
答案：
11．(20xx·唐山模拟)若直线l与直线2x－y－2＝0关于直线x＋y－4＝0对称，则l的方程是________．
解析：由得
即两直线的交点坐标为(2，2)，
在直线2x－y－2＝0上取一点A(1，0)，
设点A关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(a，b)．
|A′B|＝＝3.
答案：C
8．(20xx·安阳一模)两条平行线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是()
A．(5，＋∞)B．(0，5]
C．( ，＋∞)D．(0， ]
解析：当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为＝，
15．以点A(4，1)，B(1，5)，C(－3，2)，D(0，－2)为顶点的四边形ABCD的面积为________．
解析：因为kAB＝＝－，
kDC＝＝－ .
kAD＝＝，kBC＝＝ .
则kAB＝kDC，kAD＝kBC，所以四边形ABCD为平行四边形．
又kAD·kAB＝－1，即AD⊥AB，
故四边形ABCD为矩形．
所以l1，l2之间距离的取值范围是(0， ]．故选D.
答案：D
9．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
解析：由题意知＝ ≠ ，所以m＝8，所以直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，所以两平行线之间的距离d＝＝2.
答案：2
10．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．

直线的交点坐标和距离公式

第二节直线的交点坐标与距离公式[备考方向要明了]考什么怎么考1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出现在相关的位置关系中．2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与圆或圆锥曲线的问题中来考查.[归纳·知识整合]1．两条直线的交点设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解，(1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立．[探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合．2．距离点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝ x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2[探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2D.5解析：选D d ＝|－5|12＋22＝5.2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8D ．6解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝6－02＋0－82＝36＋64＝10.3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1B ．－12C ．2D.12解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________．解析：设直线l 1的方程为x ＋y ＋λ＝0，则2＝|－1－λ|12＋12＝|λ＋1|2，解得λ＝1或λ＝－3.即直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x＋y －3＝0.答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝05．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．解析：设对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.答案：(－4，－3)两条直线的交点问题[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是________________．(2)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数m ，n 满足的条件是__________．[自主解答] (1)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2,1)，∵l 3⊥l ，∴k ＝－12，∴直线l 的方程为y －1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＝0.法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x ＋y ＋1＋λ(x －y ＋3)＝0，即(1＋λ)x ＋(1－λ)y ＋1＋3λ＝0.∵l 与l 3垂直，∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－13.∴直线l 的方程为23x ＋43y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)因为两直线l 1与l 2相交，所以当m ＝0时，l 1的方程为y ＝－n8，l 2的方程为x ＝12，两直线相交，此时m ，n 满足条件m ＝0，n ∈R ；当m ≠0时，由两直线相交．所以m 2≠8m ，解得m ≠±4，此时，m ，n 满足条件m ≠±4，n ∈R .[答案] (1)x ＋2y ＝0 (2)m ≠±4，n ∈R若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l 的方程．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即点P (－2，1)．又l ∥l 3，即k ＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x ＋2)，即2x －y ＋5＝0. ——————————————————— 经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)或m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0.1．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法：假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，则有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0得k 21＝k 22＝－2，显然不成立，与已知矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1，即交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．距离公式的应用[例2] 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．[自主解答] (1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过P 点与原点O 的距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5.(3)由(2)可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线． ——————————————————— 求两条平行线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．2．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. ∵点P (a ，b )在上述直线上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.对称问题[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [自主解答] (1)设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. ——————————————————— 求点关于直线对称问题的基本方法(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直； (2)已知点与对称点的中点在对称轴上．利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题．3．直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，求点C 的坐标．解：把A ，B 两点的坐标代入y ＝2x 知，A ，B 不在直线y ＝2x 上，因此y ＝2x 为∠ACB 的平分线，设点A (－4,2)关于y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )，则k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －42，b ＋22，∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4·2＝－1，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴A ′(4，－2)．∵y ＝2x 是∠ACB 平分线所在直线的方程，∴A ′在直线BC 上，∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴C (2,4)．1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.1种思想——转化思想在对称问题中的应用一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决．2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；(2)运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为分别相等.创新交汇——新定义下的直线方程问题1．直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中．2．解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中．[典例] (2013·上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义[OP ]＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点．对于以下结论：①符合[OP ]＝1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则[OP ]的最小值为1；其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)． [解析] ①由[OP ]＝1，根据新定义得，|x |＋|y |＝1，上式可化为y ＝－x ＋1(0≤x ≤1)，y ＝－x －1(－1≤x ≤0)，y ＝x ＋1(－1≤x ≤0)，y ＝x －1(0≤x ≤1)，画出图象如图所示．根据图形得到四边形ABCD 为边长是2的正方形，所以面积等于2，故①正确；②当点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25，0时，[OP ]＝|x |＋|y |＝25＋0<1，所以[OP ]的最小值不为1，故②错误；所以正确结论有①.[答案] ① [名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新．(2)考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同．2．解决本题的关键有以下两点(1)根据新定义，讨论x 的取值，得到y 与x 的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP ]的最小值为1是假命题． 3．在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何．[变式训练]四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0,0)，A (6,2)，B (4,6)，C (2,6)，直线y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<k <3把四边形OABC 分成两部分，S 表示靠近x 轴一侧那部分的面积． (1)求S ＝f (k )的函数表达式；(2)当k 为何值时，直线y ＝kx 将四边形OABC 分为面积相等的两部分．解：(1)如图所示，由题意得k OB ＝32.①当13<k <32时，直线y ＝kx 与线段AB ：2x ＋y ＝14相交，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，2x ＋y ＝14，解得交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ＋2，14k k ＋2.因为点P1到直线OA：x－3y＝0的距离为d ＝143k－1 10k＋2，所以S＝12|OA|·d＝143k－1k＋2；②当32≤k<3时，直线y＝kx与线段BC：y＝6相交于点P2⎝⎛⎭⎪⎫6k，6，所以S△OP2C＝12|P2C|·6＝63－kk.又因为S四边形OABC＝S△AOB＋S△OBC＝14＋6＝20，所以S＝S四边形OABC－S△OP2C＝26－18k.故S＝f(k)＝⎩⎪⎨⎪⎧143k－1k＋2⎝⎛⎭⎪⎫13<k<32，26－18k⎝⎛⎭⎪⎫32≤k<3.(2)若要直线y＝kx平分四边形OABC的面积，由(1)，知只需143k－1k＋2＝10，解得k＝1716.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )A.12B.32C.322D.22解析：选C d ＝|1－－1×1＋1|12＋－12＝322.2．(2013·海口模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：选D 由题意知，直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，令x ＝0，得y ＝3，即点P 的坐标为(0,3)．3．(2013·南昌模拟)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为 2，则P 点坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋－12＝2，|4x －6|＝2,4x －6＝±2，即x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．4．(2013·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.5.直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10.则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2,2)，设l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0， ∵|5k －1＋2－2k |k 2＋－12＝10，解得k ＝3.∴l 的方程为3x －y －4＝0.6．曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．m >4或m <－4B ．－4<m <4C ．m >3或m <－3D ．－3<m <3解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．与直线y ＝2x ＋m 有两个交点．则m >4或m <－4.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，0，那么这两点之间距离的最小值是________．解析：d ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －222＋ 2－x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －3242＋14≥12. 即最小值为12.答案：128．与直线x －y －2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________________．解析：设与直线x －y －2＝0平行的直线方程为x －y ＋c ＝0，则22＝|c ＋2|12＋－12，得c ＝2或c ＝－6，即所求直线方程为x －y ＋2＝0或x －y －6＝0.答案：x －y ＋2＝0或x －y －6＝09．平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________(将你认为所有正确的序号都填上)．①0 ②12③1 ④2 ⑤3解析：三条直线将平面分为6部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当k ＝0,1,2时均符合题意．答案：①③④三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.11．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P ， (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． ∴d max ＝|PA |＝10.1．记直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时m 的取值集合为M ，直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行时n 的取值集合为N ，则M ∪N ＝________.解析：当直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直时，m 满足(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，解得m ＝12或m ＝－2，故M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12；直线x ＋ny ＋3＝0与直线nx ＋4y ＋6＝0平行，当n ＝0时，显然两直线不平行；当n ≠0时，两直线平行的充要条件是1n ＝n 4≠36，即n ＝－2，所以N ＝{－2}．故M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，122．已知 A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，则AC 所在直线方程是________________．解析：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－3＝－1，y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝4，即A ′(0,4)．故直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，即C (－3，－2)．故直线AC 的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝03．已知直线l 过点P (3,1)且被两平行线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．解：法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别是A (3，－4)，B (3，－9)，截得的线段长|AB |＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，分别与直线l 1，l 2的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －3＋1，x ＋y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4k k ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －3＋1，x ＋y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9k k ＋1. 由两点间的距离公式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9k k ＋12＝25，解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1. 综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.法二：设直线l 与l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0. 两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5.① 又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25，②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5，y 1－y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0，y 1－y 2＝5，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1. 法三：因为两平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522，如图，直线l 被两平行线截得的线段为5，设直线l 与两平行线的夹为角θ，则sin θ＝22，所以θ＝45°.因为两平行线的斜率是－1，故所求直线的斜率不存在或为零．又因为直线l 过点D (3,1)，所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.4．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，求直线l的方程．解：(1)当直线l 在两坐标轴上的截距不为零时，可设方程为x ＋y ＋m ＝0(m ≠0)，由已知|1＋3＋m |12＋12＝2，解得m ＝－2或m ＝－6，故所求的直线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距为零时，可设方程为y ＝kx ，由已知|k －3|k 2＋－12＝2，解得k ＝1或k ＝－7，故所求的直线方程为x －y ＝0或7x ＋y ＝0. 综上，所求的直线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0或x －y ＝0或7x ＋y ＝0.。

高三数学直线的交点坐标与距离公式

(－2≤k≤0)① • 当 E 与 D 重合时， E 点坐标为 (0,1) ，由①式得k＝－1.
• 当 F 与 B 重合时， F 点坐标为 (2,0) ，由①式
得k＝－2＋
• 当k∈[－2＋大值为f(－2＋
，0]时，f(k)递减，f(k)的最 )＝32－16 ；
• 当k∈[－1，－2＋
－ • 在 [－ 2<f(－2＋ ]上递减；，－2＋
• 2．点到直线距离公式
• 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
为： • 3．两平行线间的距离公式 • 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：
• 1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y ＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
•
A． 6 D．不能确定
B.
C．2
•
)时，可证f(k)在[－1，
)上递增，f(－1)＝ .
)＝32－16
【分析点评】
• 本题对直线方程，两点间的距离公式和分段函数问题进行了综合考查，在考查
• 直线方程时是以折叠为背景，实质是考查对称问题．
• (1)点与点关于点对称，图形与图形关于点对称，主要利用中点坐标公式解决． • (2)图形与图形对称问题可转化为点与点对称解决，对于点与点关于直线x＝0，
B2y＋C2＝0的交点：
• 1．可通过解方程组若方程组有唯一解，则l1与l2相 • 交；若方程组无解，则直线 l ∥l ；若方求得，
• 【例 1】直线 l 被两条直线 l1 ： 4x ＋ y ＋ 3 ＝ 0
和 l2 ： 3x － 5y － 5 ＝ 0 截得的线段的中点为
P(－1,2)，求直线l的方程． • 解答：解法一：设直线 l 与 l1 的交点为 A(x0 ， y0) ，由已知条件，则直线 l 与 l2 的交

直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，直线是直角坐标系中的基本图形之一、直线的交点坐标和距离公式在解决直线的相关问题时非常有用。

接下来，我将详细介绍直线的交点坐标和距离公式。

1.直线的交点坐标公式：设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2、若L1和L2有交点，则交点的坐标(x0,y0)满足以下等式：k1x0+b1=k2x0+b2解上述等式可以得到交点的横坐标x0。

将x0带入其中一个直线的方程，可以求得交点的纵坐标y0。

如果两条直线平行，则它们没有交点。

2.直线的距离公式：设点P到直线L的距离为d。

L的一般方程为Ax+By+C=0。

点P的坐标为(x0,y0)。

则点P到直线L的距离d可以由以下公式计算：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)以上就是直线的交点坐标和距离公式的基本内容。

下面我们将通过具体的例子来进一步理解和应用这些公式。

例1：求直线y=2x+3和y=-x+4的交点坐标。

解：将两个方程相等，得到：2x+3=-x+43x=1x=1/3将x=1/3带入其中一个方程，可以求得y的值：y=2*(1/3)+3=7/3因此，这两条直线的交点坐标为(1/3,7/3)。

例2：求点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离。

解：由于A=3，B=-4，C=5，将这些值代入距离公式中，可以得到：d=，3*1-4*(-2)+5，/√(3^2+(-4)^2)=，3+8+5，/√(9+16)=16/√25=16/5因此，点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为16/5通过以上两个例子，我们可以看到直线的交点坐标和距离公式在解决直线相关问题时的重要性。

它们能够帮助我们简单、快速地求解直线的交点和距离，为我们的几何计算提供便利。

除了直线的交点坐标和距离公式，还有其他的直线相关的公式和定理，如直线的斜率公式、两直线垂直的判定等等。

通过深入学习和理解这些公式和定理，我们将能够更好地应用它们解决各种几何问题，提高我们的数学能力。

北师大版高考数学(理科)一轮复习测试：直线的交点坐标与距离公式

核心素养测评五十三直线的交点坐标与距离公式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共35分)1.已知直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx-y=0平行，则实数m的值为( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选A.由题意，=，即m=.2.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m= ( )A.-4B.-1C.1D.4【解析】选C.k1=，k2=-，因为直线互相垂直，所以k1·k2=-1，即·=-1，所以m=1.3.点P(a，b)关于l:x+y-1=0对称的点仍在l上，则a2+b2的最小值= ( )A. B.1 C.2 D.0【解析】选A.因为点P(a，b)关于l:x+y-1=0对称的点仍在l上，所以点P(a，b)在直线l上，所以a+b-1=0，解得a+b=1.又≤a2+b2，所以a2+b2≥(当且仅当a=b时，等号成立).4.P点在直线3x+y-5=0上，且P到直线x-y-1=0的距离为，则P点坐标为( )A.(1，2)B.(2，1)C.(1，2)或(2，-1)D.(2，1)或(-1，2)【解析】选C.设P(x，5-3x)，则d==，解得x=1或x=2，故P(1，2)或(2，-1).5.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点( )A.(0，4)B.(0，2)C.(-2，4)D.(4，-2)【解析】选B.直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2).又由于直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2).6.若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是( )A.-6<k<-2B.-5<k<-3C.k<-6D.k>-2【解析】选A.解方程组得因为直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，所以k+6>0且k+2<0，所以-6<k<-2.7.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m+n等于( ) 世纪金榜导学号A. B. C. D.【解析】选A.由题意可知，纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y=2x-3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故m+n=.二、填空题(每小题5分，共15分)8.已知直线3x+4y-3=0与6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是________________.【解析】由题意得=，m=8，即6x+8y+14=0⇒3x+4y+7=0，所以它们之间的距离是=2.答案:29.已知点A(-3，-4)，B(6，3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为________________. 世纪金榜导学号【解析】由已知及点到直线的距离公式，得=，解得a=-或-.答案:-或-10.已知坐标原点关于直线l1:x-y+1=0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，-1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为________________.世纪金榜导学号【解析】设A(x0，y0)，依题意可得解得即A(-1，1).设点B(2，-1)到直线l2的距离为d，当d=|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又-=，所以直线l2的方程为y-1=(x+1)，即3x-2y+5=0 .答案:3x-2y+5=0(15分钟35分)1.(5分)已知直线l1:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0与l2:(m-1)x+(m+2)y+1=0，则“m=-2”是“l1∥l2”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【解析】选B.m=-2时，可得l1:-6x-8=0，l2:-3x+1=0，l1∥l2时，可得(m-4)(m+2)+(2m+4)(m-1)=0，解得m=2或m=-2，所以“m=-2”是“l1∥l2”的充分不必要条件.2.(5分)已知动直线l:ax+by+c-2=0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则+的最小值为( )A. B. C.1 D.9【解析】选B.因为动直线l:ax+by+c-2=0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a+bm+c-2=0，设点Q(4，0)到直线l的距离为d，当d=|PQ|时取最大值，所以=3，解得m=0.所以a+c=2，则+=(a+c)·=·≥=，当且仅当c=2a=时取等号.3.(5分)点A(1，3)，B(5，-2)，点P在x轴上使|AP|-|BP|最大，则P的坐标为( )A.(4，0)B.(13，0)C.(5，0)D.(1，0)【解析】选B.如图，作出点A(1，3)关于x轴对称的点A′(1，-3)，则|PA|-|PB|=|PA′|-|PB|≤|A′B|，当且仅当点P在A′B的延长线上时，取等号.由两点式可得直线A′B的方程为:y=x-.令y=0得x=13，所以点P的坐标为(13，0).4.(10分)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点. 世纪金榜导学号(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程.(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.【解析】(1)经过两条已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0，即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.所以=3.即2λ2-5λ+2=0，所以λ=2或.所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.(2)由解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).(其余距离d与PA构成直角三角形，PA为它们的斜边)，所以d max=|PA|=.5.(10分)已知直线l1的方程为3x+4y-12=0，求l2的方程，使得: 世纪金榜导学号(1)l2与l1平行，且过点(-1，3).(2)l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4.【解题指南】(1)由l2与l1平行可设l2:3x+4y+m=0(m≠-12)，再代入点(-1，3)得m的值.(2)由l2与l1垂直可设l2:4x-3y+n=0，再得与坐标轴的交点，由面积公式求解.【解析】(1)设l2:3x+4y+m=0(m≠-12)，因为l2过点(-1，3)，将点(-1，3)代入得-3+4×3+m=0，解得m=-9，所以l2的方程为3x+4y-9=0.(2)设l2:4x-3y+n=0 ，设l2与x轴交于点A-，0，与y轴交于点B0，.所以S△AOB=·=4.n2=96，n=±4，所以l2的方程为4x-3y+4=0或4x-3y-4=0.关闭Word文档返回原板块。

人教版高中数学高考一轮复习--直线的交点坐标与距离公式(课件共32张PPT)

据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b.
2.点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点
A'(x0,y0)的坐标,主要根据直线l是线段AA'的垂直平分线,分别以垂直和平分
关系列出方程,得到关于x0,y0的方程组.
3.直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l'的问题,主要根据
C.y=-1
D.3x+4y-5=0
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,满足原点到直线l的距离为1.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0.
由原点到直线 l 的距离为 1,得
故直线 l 的方程为
|-2|
=1,解得
2 +1
3
y+2= (x+1),即
命题角度3 直线关于点对称
例4 直线y=-4x+1关于点M(2,3)对称的直线方程为
4x+y-21=0
.
(方法一)设P(x,y)为所求直线上任意一点,Q(x0,y0)为点P关于点M(2,3)的
对称点,则点Q在直线y=-4x+1上.所以y0=-4x0+1,
且
+0
2
+0
2
= 2,
= 3,
0 = 4-,
4
3
k= .
4
3x-4y-5=0.
综上可得,直线 l 的方程为 x=-1 或 3x-4y-5=0.
1
(3)已知直线y=kx+2k+1与直线 y=-2x+2 的交点位于第一象限,则实数k的

2020届高三数学第一轮复习两条直线的交点坐标与距离公式课件新人教B版精品

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考向预测
从近两年的高考试题来看，两条直线的位置关系、两条直线的平行与垂直、点到直线的距离、两条平行线间的距离、两点间的距离是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档题.客观题主要考查距离公式的应用；主观题主要是在知识交汇点处命题，全面考查基本概念、基本运算能力.
3 3 3
(2)当斜率存在时,设为k,则所求直线的方程为y-2=k(x-
1),它与两已知直线分别联立,求出它与两已知直线的交
点坐标分别是
A( 3k 7 , 5k 8 )，B(3k 12 , 8 10k ).
3k 4 3k 4
3k 4 3k 4
由|AB|2=
5
2
5k
2
=2,
3k 4 3k 4
【分析】确定一条直线需两个独立条件，本题中已知直线l过点P（1，2），故只需再求出直线的斜率即可.
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【解析】（1）当斜率不存在时，直线方程为x=1,与两
直线的交点为A(1, 5 ),B(1, 10 ),
3
3
∴|AB|= 5 10 5 2 .∴x=1不是所求直线.
预测2012年高考仍将以点到直线的距离、两点间的距离、两条直线的平行与垂直为主要考点，题型以选择题、填空题为主，重点考查运算能力与对概念的理解能力.
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1、两直线的交点
两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组
{A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
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高中数学-直线的交点坐标与距离公式 (知识导学+例题解析+达标训练)

高中数学-直线的交点坐标与距离公式一、知识导学：1、理解求两条直线交点的方法思想，能正确地通过解方程组确定交点坐标并通过求交点坐标判断两条直线的位置关系；2、通过沟通方程组的解的情况与相应两条直线的交点个数（位置关系）情况，进一步渗透数形结合、坐标法思想。

3、掌握直角坐标系中两点间、点到直线和两条平行线的距离公式的推导及应用，会用坐标法证明简单的几何问题。

二、基础知识：1、点的坐标与直线方程的关系：已知两条直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=相交。

几何元素及关系代数表示点A A （a ，b ）直线l l ：0=++C By Ax 点A 在直线l 上0Aa Bb C ++=直线1l 、2l 的交点是A 点A 的坐标是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解2、判断两条直线1l 、2l 的位置关系：通过解方程组确定交点坐标。

已知两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，将方程联立，得⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A ，对于这个方程组解的情况有三种：（1）若方程组有唯一解⎩⎨⎧==00y y x x ，则1l 、2l 有___________的公共点，此解就是交点坐标),(00y x P ，即1l 与2l 相交。

1l 与2l 相交111221220A B A B A B A B ⇔≠⇔-≠ （2）若方程组无解，则1l 、2l _________公共点，即_________，1l 与2l 平行1221111122122200A B A B A B C B C B C A B C -=⎧⇔=≠⇔⎨-≠⎩ （3）若方程组有_________解，则1l 、2l 有_______公共点，即重合。

1l 与2l 重合1221111122122200A B A B A B C B C B C A B C -=⎧⇔==⇔⎨-=⎩ 例1、判断下列各对直线的位置关系。

2020高考数学理科大一轮复习导学案《直线的交点与距离公式》

直线的交点与距离公式知识点一两条直线平行与垂直的判定1．两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．2．两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔ k 1·k 2＝－1.1．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( D ) A ．－3 B ．－43 C ．2D ．3解析：由2a ＋2×(－3)＝0，得a ＝3.2．已知直线(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，那么k 的值为( C )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2解析：法1：把k ＝1代入已知两条直线，得－2x ＋3y ＋1＝0与－4x －2y ＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k ≠1，排除A ，B ，D.法2：因已知两条直线平行，所以k ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠3，k －32(k －3)＝4－k －2≠13，解得k ＝3或k ＝5.知识点二两条直线的交点设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立．3．直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为23.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，代入y ＝ax －2得a ＝23. 4．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是(－b －1，－a －1)．解析：设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0－bx 0－a＝1，a ＋x 02＋b ＋y2＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b ＝x 0－a ，x 0＋y 0＋a ＋b ＋2＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－b －1，y 0＝－a －1.即对称点坐标为(－b －1，－a －1)．知识点三两种距离1．点到直线的距离点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 2．两条平行线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.5．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是324.解析：先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.6．已知点A (3,2)和B (－1,4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为12或－4.解析：由平面几何知识得AB 平行于直线ax ＋y ＋1＝0或AB 中点在直线ax ＋y ＋1＝0上，所以a ＝12或－4.1．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.2．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.4．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．考向一两条直线的平行与垂直【例1】 (1)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2(2)已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________.【解析】 (1)若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.(2)因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1.即(－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝－2. 【答案】 (1)D (2)－2(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.(1)若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( D )A.12B.32C.14D.34(2)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为25.解析：(1)由已知得3(a －1)＋a ＝0，解得a ＝34.(2)由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6ba ≥13＋26ab ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25. 考向二两条直线的交点【例2】 (1)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．(2)已知直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．【解析】 (1)解法1：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.解法2：因为直线l 过直线l 1和l 2的交点，所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.因为l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.(2)直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．【答案】 (1)4x ＋3y －6＝0 (2)(2，－2)(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)过定点问题把直线方程整理成m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0的形式，由⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0可求定点坐标．(1)经过两直线2x ＋y ＋4＝0和x －2y －3＝0的交点P (－1，－2)，且斜率是直线x －2y ＋5＝0的斜率的2倍的直线l 的方程为x －y －1＝0.(2)不论k 为何实数，直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标是(2,3)．解析：(1)由题意得，两直线的交点P (－1，－2)，直线l 的斜率k ＝1，所以直线l 的方程为y ＋2＝x ＋1，即x －y －1＝0.(2)直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0，即k (2x －y －1)＋(－x －3y ＋11)＝0，根据k 的任意性可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，－x －3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴不论k 取什么实数，直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0都经过定点(2,3)．考向三距离问题【例3】 (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为______________________．【解析】 (1)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)设所求直线的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得 |－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，解得k ＝2或k ＝－23，即所求直线的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 【答案】 (1)C (2)2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x ，y 的系数化为对应相等.(1)若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.(2)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( A )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2解析：(1)方法1：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．方法2：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)．∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.(2)依题意知，线段AB 的中点M 在到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线(设为l )上，则M 到原点的距离的最小值为原点到直线l 的距离．设点M 所在直线l 的方程为x ＋y ＋m ＝0.根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2，即|m ＋7|＝|m ＋5|，得m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2. 考向四对称问题【例4】已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎨⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413.∴A ′(－3313，413)．(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′(613，3013)．设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)解法1：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上，易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)．再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 解法2：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)．∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9.∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.解法3：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)点关于点的对称问题．利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2m－a,2n－b)；(2)点关于线的对称点．点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)；(3)线关于线的对称线．一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称；(4)特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y＝x的对称问题采用代入法，如(1,3)关于y＝x＋1的对称点为(3－1,1＋1)，即(2,2)．(1)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为x＋4y－4＝0.(2)如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(C)A．3 3 B．6C．210 D．2 5解析：(1)设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P 的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.(2)直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.。

高考数学一轮总复习课时跟踪练(五十三)直线的交点坐标与距离公式理(含解析)新人教A版-新人教A版

课时跟踪练(五十三)A 组基础巩固1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C.答案：C2．已知点A (1，－2)，B (m ，2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是()A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：因为线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3. 答案：C3．已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的()A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：由l 1⊥l 2，得m (m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.答案：A4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点()A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，所以直线l 2恒过定点(0，2)．答案：B5．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝() A.12B ．－12C ．2 D ．－2解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以a ＋b ＝2. 答案：C6．若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝()A ．7 B.172C ．14D ．17 解析：直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172，故选B. 答案：B7．(2019·某某一中月考)若点P 在直线l ：x －y －1＝0上运动，且A (4，1)，B (2，0)，则|PA |＋|PB |的最小值是()A.5B.6C ．3 D ．4解析：设A (4，1)关于直线x －y －1＝0的对称点为A ′(2，3)，所以|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |，当P ，A ′，B 三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，|A ′B |＝（2－2）2＋（3－0）2＝3.答案：C8．(2019·某某一模)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1，2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值X 围是()A ．(5，＋∞)B ．(0，5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]解析：当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为（－1－2）2＋[2－（－3）]2＝34，所以l 1，l 2之间距离的取值X 围是(0，34 ]．故选D.答案：D9．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：由题意知63＝m 4≠14－3，所以m ＝8，所以直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，所以两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 答案：210．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413 11．(2019·某某模拟)若直线l 与直线2x －y －2＝0关于直线x ＋y －4＝0对称，则l 的方程是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(2，2)，在直线2x －y －2＝0上取一点A (1，0)，设点A 关于直线x ＋y －4＝0的对称点的坐标为(a ，b )．则⎩⎪⎨⎪⎧b a －1＝1，a ＋12＋b 2－4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b －1＝0，a ＋b －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，即对称点的坐标为(4，3)，则l 的方程为y －23－2＝x －24－2，整理得x －2y ＋2＝0.答案：x －2y ＋2＝012．l 1，l 2是分别经过点A (1，1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当AB ⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大，由k AB ＝－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－12. 所以直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0B 组素养提升13．(2019·某某模拟)设直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ；P ，Q 分别为l 1，l 2上的点，点M 为PQ 的中点，若AM ＝12PQ ，则m 的值为()A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：在△APQ 中，M 为PQ 的中点，且AM ＝12PQ ，所以△APQ 为直角三角形，且∠PAQ ＝90°，所以l 1⊥l 2，所以1×m ＋(－2)×1＝0，解得m ＝2.故选A.答案：A14．(2019·某某模拟)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根，且0≤c ≤18，则这两条直线间距离的最大值为() A.24B.22C.12D. 2 解析：因为a ，b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以a ＋b ＝－1，ab ＝c .因为直线x ＋y ＋a ＝0和x ＋y ＋b ＝0之间的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝（a ＋b ）2－4ab 2＝1－4c 2，因为0≤c ≤18，所以12≤1－4c ≤1，所以14≤1－4c 2≤12，即d 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，所以这两条直线之间的距离的最大值为22.故选B. 答案：B15．以点A (4，1)，B (1，5)，C (－3，2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________．解析：因为k AB ＝5－11－4＝－43， k DC ＝2－（－2）－3－0＝－43. k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S ＝|AB |·|AD |＝（1－4）2＋（5－1）2×（0－4）2＋（－2－1）2＝25. 答案：2516．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易知A (0，0)，B (1，3)且两直线互相垂直，即△APB 为直角三角形，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝|AB |22＝102＝5. 当且仅当|PA |＝|PB |时，等号成立．答案：5。

2020年高考数学(理)一轮复习考点题库-考点测试50 两条直线的交点与距离公式

2020年高考数学（理）一轮复习考点题库-考点测试50 两条直线的交点与距离公式第1步狂练小题•练基础一、基础小题1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1 B. 3C．2 D.5答案D解析由点到直线的距离公式得d＝|－5|1＋22＝ 5.2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0答案A解析设直线方程为x－2y＋c＝0(c≠－2)，又经过(1,0)，故c＝－1，所求方程为x－2y－1＝0.3．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直⇔1＋1×(－a )＝0，所以选C.4．已知直线3x ＋y －1＝0与直线23x ＋my ＋3＝0平行，则它们之间的距离是( ) A ．1 B.54 C ．3 D ．4答案 B解析 ∵323＝1m ≠－13，∴m ＝2，两平行线之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－323＋1＝54.选B.5．已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则|PM |的最小值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 |PM |的最小值即点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离，又|3－3－2|1＋3＝1，故|PM |的最小值为1.选B.6．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．3x ＋y －6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．x －3y －2＝0答案 B解析设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，则k ′＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3，对比四个选项可知选B.7．已知直线l 的倾斜角为π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (－a ，1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案 B解析由题知，直线l 的斜率为1，则直线l 1的斜率为－1，所以2－13＋a ＝－1，所以a ＝－4.又l 1∥l 2，所以－2b ＝－1，b ＝2，所以a ＋b ＝－4＋2＝－2，故选B.8．已知实数x 、y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．210 答案 A 解析x 2＋y 2表示点(x ，y )到原点的距离．根据数形结合得x 2＋y 2的最小值为原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝55＝ 5. 9．已知直线l 过点M (3,4)，且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0 答案 D解析易知直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0.由已知得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，解得k ＝2或k ＝－23，故直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.10．设A ，B 是x 轴上的两点，点M 的横坐标为3，且|MA |＝|MB |，若直线MA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线MB 的方程是( )A ．x ＋y －7＝0B ．x －y ＋7＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0答案 A解析解法一：由|MA |＝|MB |知，点M 在A ，B 的垂直平分线上．由点M 的横坐标为3，且直线MA 的方程为x －y ＋1＝0，得M (3,4)．由题意，知直线MA ，MB 关于直线x ＝3对称，故直线MA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线MB 上，∴直线MB 的方程为x ＋y －7＝0.选A.解法二：由点M 的横坐标为3，且直线MA 的方程为x －y ＋1＝0，得M (3,4)，代入四个选项可知只有3＋4－7＝0满足题意，选A.11．已知点A (3,1)，在直线y ＝x 和y ＝0上分别找一点M 和N ，使△AMN 的周长最短，则最短周长为( )A ．4B ．2 5C ．2 3D ．22答案 B解析设点A 关于直线y ＝x 的对称点为B (x 1，y 1)，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋12＝x 1＋32，y 1－1x 1－3＝－1，解得⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝3，即B (1,3)，同样可得点A 关于y ＝0的对称点C (3，－1)，如图所示，则|AM |＋|AN |＋|MN |＝|BM |＋|CN |＋|MN |≥|BC |，当且仅当B ，M ，N ，C 共线时，△AMN 的周长最短，即|BC |＝1－32＋3＋12＝2 5.选B.12．经过两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点，且与直线x －3y －1＝0平行的直线的一般式方程为________．答案 x －3y ＝0解析两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点为(－3，－1)，所以所求直线为y ＋1＝13(x ＋3)，即x －3y ＝0.二、高考小题13．[2016·全国卷Ⅱ]圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34 C. 3 D ．2答案 A解析圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.故选A. 14．[2015·山东高考]一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35 B ．－32或－23 C ．－54或－45 D ．－43或－34 答案 D解析如图，作出点P (－2，－3)关于y 轴的对称点P 0(2，－3)．由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y ＝k (x －2)－3，即kx －y －2k －3＝0.∴圆心到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|1＋k 2＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.15．[2015·广东高考]平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析设与直线2x ＋y ＋1＝0平行的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠1)，因为直线2x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，即点(0,0)到直线2x ＋y ＋m ＝0的距离为5，所以|m |5＝5，|m |＝5. 故所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.16．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．答案2555解析圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x ＋2y －3＝0的距离为d ＝|2＋2×－1－3|12＋22＝35，所求弦长l ＝2r 2－d 2＝24－95＝2555.17．[2014·重庆高考]已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案 4±15解析由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|1＋a2＝3，即a 2－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15. 三、模拟小题18．[2016·河北邯郸质检]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (0,4)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( )A ．x ＋2y ＋3＝0B ．2x ＋y ＋3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0答案 C解析因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线．又A (2，0)，B (0,4)，所以AB 的中点为(1,2)，k AB ＝－2.故AB 的中垂线为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0，应选C.19．[2017·杭州月考]已知P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1的解的情况是( )A ．无论k 、P 1、P 2如何，总是无解B ．无论k 、P 1、P 2如何，总有唯一解C ．存在k 、P 1、P 2，使之恰有两解D ．存在k 、P 1、P 2，使之有无穷多解答案 B解析由题意，直线y ＝kx ＋1一定不过原点O ，P 1、P 2是直线y ＝kx ＋1上不同的两点，则OP 1→与OP 2→不平行，因此a 1b 2－a 2b 1≠0，所以二元一次方程组⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝1，a 2x ＋b 2y ＝1一定有唯一解．20．[2016·韶关模拟]“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析若点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，则有|1＋3＋C |12＋32＝3，解得C ＝2或C ＝－10，故“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，选B.21．[2017·宜昌模拟]在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合，则直线l 与直线l 1的距离是________．答案 115解析设直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，依题意可得l 1：a (x －3)＋b (y －5)＋c ＝0，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位得直线l ：a (x －4)＋b (y －3)＋c ＝0，故a ＝－34b ，则直线l 与直线l 1的距离d ＝|－3a －5b ＋c ＋4a ＋3b －c |a 2＋b 2＝|a －2b |a 2＋b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34b －2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34b 2＋b 2＝115.22．[2017·淮安调研]已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．答案 6x －y －6＝0解析设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.23．[2016·衡阳一模]已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)解析依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化为x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，设y 0x 0＝k OM ，如图当点M位于线段AB(不包括端点)上时，k OM>0，当点M位于射线BN上除B点外时，k OM<－13.所以y0x0的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．24．[2016·河南焦作一模]著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x－a2＋y－b2可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝x2＋4x＋20＋x2＋2x＋10的最小值为________．答案52解析∵f(x)＝x2＋4x＋20＋x2＋2x＋10＝x＋22＋0－42＋x＋12＋0－32，∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝－1＋22＋3＋42＝52，即f(x)＝x2＋4x＋20＋x2＋2x＋10的最小值为5 2.第2步精做大题▪练能力一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2016·保定月考]已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0. (2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)．如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． ∴d max ＝|P A |＝10.2．[2017·江西九江月考]已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解 (1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0，所以ab＝a＋1a，|ab|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a＋1a≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.。

2020届高三文科数学一轮复习核心素养提升练 10.2直线的交点坐标与距离公式

核心素养提升练四十五直线的交点坐标与距离公式(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m等于( )A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3【解析】选C.直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则有=≠,所以m=2或-3.2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为( )A.-24B.24C.6D.±6【解析】选A.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为(a,0),则即3.点P到点A(1,0)和到直线x=-1的距离相等,且点P到直线y=x的距离等于,这样的点P共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.设点P(x,y),由题意知=|x+1|,且=,所以即①或②解①得或解②得因此,这样的点P共有3个.4.若直线l1:x+3y+m=0(m>0)与直线l2:2x+6y-3=0的距离为,则m= ( )A.7B.C.14D.17【解析】选B.直线l1:x+3y+m=0(m>0),即2x+6y+2m=0,因为它与直线l2:2x+6y-3=0的距离为,所以=,解得m=.【变式备选】(2018·郑州模拟)已知直线l1的方程为3x+4y-7=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,则直线l1与l2的距离为 ( )A. B. C.4 D.8【解析】选B.因为直线l1的方程为3x+4y-7=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,即3x+4y+=0,所以直线l1与l2的距离为=.5.直线x-2y+1=0关于x=1对称的直线方程是( )A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0【解析】选D.由已知,直线x-2y+1=0与x=1的交点坐标为(1,1),又直线x-2y+1=0上的点(-1,0)关于直线x=1对称的点为(3,0),由直线方程两点式得=,即x+2y-3=0.6.(2019·南充模拟)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:ax-y+2=0.若l1∥l2,则实数a 的值是( )A.0或-3B.2或-1C.0D.-3【解析】选A.因为l1∥l2,所以a×(-1)=a(a+2),即a2+3a=0,所以a=0或a=-3,经检验都符合题意.7.在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m变化时,d的最大值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.方法一:由已知d===≤|sin(θ+φ)|+||≤1+2=3.当且仅当=2,且sin(θ+φ)=-1时取=,此时m=0,d=|cos θ-2|,cos θ能取到-1,所以d的最大值为3.方法二:由已知及sin2θ+cos2θ=1,得点P(cos θ,sin θ)在圆x2+y2=1上.又直线x-my-2=0过定点(2,0),当d取得最大值时,即圆x2+y2=1上的动点P到动直线x-my-2=0的距离最大, 此时圆x2+y2=1的圆心(0,0)到动直线x-my-2=0的距离最大,数形结合,可知动直线为x=2时,圆心(0,0)到动直线x-my-2=0距离最大值为2,所以圆x2+y2=1上的动点P到动直线x-my-2=0的距离最大值为2+1=3,即d的最大值为3.二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2018·忻州模拟)已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,若l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等,则a+b=________.【解析】由已知.解得或经检验,两种情况均符合题意,所以a+b的值为0或. 答案:0或9.(2018·南昌模拟)已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为________.【解析】由已知及点到直线的距离公式,得=,解得a=-或-. 答案:-或-三、解答题10.(15分)已知△ABC的一个顶点为A(5,1),AB边上的中线CM所在直线的方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0,求直线BC的方程. 【解析】由已知,k AC=-2,又A(5,1),所以直线AC的方程为2x+y-11=0,由解得C(4,3).设B(x0,y0),则AB的中点M的坐标为,代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0,由可解得所以B(-1,-3),所以k BC=,所以直线BC的方程为y-3=(x-4),即6x-5y-9=0.【变式备选】若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,则k的取值范围是 ( )A.[-11,-1]B.[-11,0]C.[-11,-6)∪(-6,-1]D.[-1,+∞)【解析】选C.两平行直线为2x+y-4=0和2x+y+k+2=0,所以d=≤,解得-11≤k≤-1,又k+2≠-4,得k≠-6,所以k的取值范围是[-11,-6)∪(-6,-1].(20分钟40分)1.(5分)已知直线l的倾斜角为π,直线l1经过P(-2,),Q(m,0)两点,且直线l 与l1垂直,则实数m的值为 ( )A.-2B.-3C.-4D.-5【解析】选D.由已知,k l=tan π=-,=,所以-×=-1,即m=-5.2.(5分)(2019·南昌模拟)已知直线l1:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0与l2:(m-1)x+(m+2)y+1=0,则“m=-2”是“l1∥l2”的________条件. ( )A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分又不必要【解析】选B.l1∥l2,若两直线斜率均不存在,则m=-2;若两直线斜率均存在,则斜率相等,即=-,解得m=2,经检验此时两直线不重合.所以m=-2或m=2. 【变式备选】(2018·泉州模拟)直线l1:ax+y-a+1=0,直线l2:4x+ay-2=0,则“a=±2”是“l1∥l2”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【解析】选C.若l1∥l2,则两条直线的斜率相等,即-a=-,解得a=±2.经检验得a=2时两条直线重合,所以a=-2.所以“a=±2”是“l1∥l2”的必要不充分条件.3.(5分)(2018·兰州模拟)一只虫子从点O(0,0)出发,先爬行到直线l:x-y+1=0上的P点,再从P点出发爬行到点A(1,1),则虫子爬行的最短路程是( ) A. B.2 C.3 D.4【解析】选B.点O(0,0)关于直线x-y+1=0的对称点为O′(-1,1),则虫子爬行的最短路程为|O′A|==2.4.(12分)已知直线l1的方程为3x+4y-12=0,求l2的方程,使得:(1)l2与l1平行,且过点(-1,3).(2)l2与l1垂直,且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4.【解题指南】(1)由l2与l1平行可设l2:3x+4y+m=0(m≠-12),再代入点(-1,3)得m 的值.(2)由l2与l1垂直可设l2:4x-3y+n=0,再得与坐标轴的交点,由面积公式求解. 【解析】(1)设l2:3x+4y+m=0(m≠-12),因为l2过点(-1,3),将点(-1,3)代入得-3+4×3+m=0,解得m=-9,所以l2方程为3x+4y-9=0.(2)设l2:4x-3y+n=0 ,设l2与x轴交于点A-,0,与y轴交于点B0,.所以S△AOB=·=4.n2=96,n=±4,所以l2的方程为4x-3y+4=0或4x-3y-4=0.5.(13分)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行.(2)当l1⊥l2时,求a的值.【解析】(1)当a=1时, l1:x+2y+6=0,l2:x=0, l1与l2不平行;当a=0时, l1:y=-3, l2:x-y-1=0, l1与l2不平行;当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:y=-x-3, l2:y=x-(a+1),l1∥l2⇔解得a=-1(a=2舍去),综上,当且仅当a=-1时, l1∥l2.(2)当a=1时, l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1与l2不垂直,不合题意;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1与l2不垂直,不合题意;当a≠1且a≠0时,l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由-·=-1,得a=.综上,a=.【一题多解】(1)由A1B2-A2B1=0得a(a-1)-1×2=0,由A1C2-A2C1≠0得a(a2-1)-1×6≠0,所以l1∥l2⇔⇔解得a=-1,所以当且仅当a=-1时,l1∥l2.(2)由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,所以a=.。

高三数学一轮复习直线的交点坐标、距离公式与对称问题练习试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校华侨高三年级第一轮复习直线的交点坐标、距离公式与对称问题练习题一、选择题1．两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，那么m 的值等于 ( )A ．0或－12 B.12或－6 C ．－12或12 D ．0或122．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是 ( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝03．(模拟)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，那么P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)4．直线l 1：3x ＋4y －7＝0与直线l 2：6x ＋8y ＋1＝0间的距离为 ( )A.85B.32 C ．4 D ．85．使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0,2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值最多有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，那么m 的取值范围是 ( ) A ．m >4或m <－4B ．－4<m <4C ．m >3或m <－3D ．－3<m <3二、填空题7．过两直线x ＋3y －10＝0和y ＝3x 的交点，并且与原点距离为1的直线方程为________________．8．(检测)实数x 、y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为9．1a＋1b＝1(a>0，b>0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为________．三、解答题10．直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程．11．两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求分别满足以下条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．12．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．。

新教材高考数学一轮复习课时规范练39直线的交点坐标与距离公式(含解析)新人教A版

课时规范练39 直线的交点坐标与距离公式基础巩固组1.“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的 ( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 2.(多选)已知直线l :√3x-y+1=0,则下列结论正确的是 ( )A.直线l 的倾斜角为π6B.若直线m :x-√3y+1=0,则l ⊥mC.点(√3,0)到直线l 的距离为2D.过点(2√3,2),且与直线l 平行的直线方程为√3x-y-4=0 3.点(3,9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为 ( )A.(-1,-3)B.(17,-9)C.(-1,3)D.(-17,9)4.(2020重庆西南大学附中期末)已知直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,且ax+by+1=0在y 轴上的截距为13,则a+b 的值为( ) A.-7B.-1C.1D.75.已知直线3x+2y-3=0与直线6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( ) A.4B.2√1313C.5√1326D.7√13266.已知直线l 1:ax+y-6=0与l 2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P ,若l 1⊥l 2,则a= ,此时点P 的坐标为 .7.已知正方形的两边所在直线的方程分别为x-y-1=0,x-y+1=0,则正方形的面积为 .综合提升组8.(2020吉林朝阳长春外国语学校期末)已知点P 是曲线y=x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线x-y-2=0的最短距离为( ) A.√3B.3√32C.2√23D.√29.(多选)(2020江苏苏州第十中学高二期中)已知直线l 1:ax-y+1=0,l 2:x+ay+1=0,a ∈R ,以下结论正确的是( )A.不论a 为何值,l 1与l 2都互相垂直B.当a 变化时,直线l 1,l 2分别经过定点A (0,1),B (-1,0)C.不论a 为何值,直线l 1与l 2都关于直线x+y=0对称D.若直线l 1与l 2交于点M ,则|MO|的最大值为√210.(2020上海大同中学期中)若关于x ,y 的二元一次方程组{mx +9y =m +6,x +my =m 无解,则实数m 的值为 .11.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(1,3)到直线l的距离为√2,则直线l的条数为.12.(2020江苏广陵扬州中学月考)已知直线x+my-2m-1=0恒过定点A.(1)若直线l经过点A,且与直线2x+y-5=0垂直,求直线l的方程;(2)若直线l经过点A,且坐标原点到直线l的距离为1,求直线l的方程.创新应用组13.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P,使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线是“切割型直线”的有.①直线y=x+1;②直线y=2;③直线y=4x;④直线y=2x+1.3.已知点P1,P2到直线l的有14.定义点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的有向距离d=00√A2+B2向距离分别为d1,d2,给出以下命题:①若d1-d2=0,则直线P1P2与直线l平行;②若d1+d2=0,则直线P1P2与直线l 平行;③若d 1+d 2=0,则直线P 1P 2与直线l 垂直;④若d 1d 2<0,则直线P 1P 2与直线l 相交.其中真命题的个数为 .参考答案课时规范练39 直线的交点坐标与距离公式1.B 由点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3,得√32+42=3,解得C=5或C=-25,故“C=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+C=0的距离为3”的充分不必要条件.故选B .2.CD 对于A,直线l :√3x-y+1=0的斜率k=√3,故直线l 的倾斜角为π3,故A 错误;对于B,因为直线m :x-√3y+1=0的斜率k'=√33,kk'=1≠-1,故直线l 与直线m 不垂直,故B 错误; 对于C,点(√3,0)到直线l 的距离d=√3×√3-√(√3)+(-1)=2,故C 正确;对于D,过点(2√3,2),且与直线l 平行的直线方程为y-2=√3(x-2√3),即√3x-y-4=0,故D 正确.故选CD .3.A 设点(3,9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为(a ,b ),则{a+32+3×b+92-10=0,b -9a -3×(-13)=-1,解得{a =-1,b =-3. 故所求点的坐标为(-1,-3).故选A .4.A 因为直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,所以4b=3a.又直线ax+by+1=0在y 轴上的截距为13,所以13b+1=0,解得b=-3.所以a=-4,所以a+b=-7.故选A .5.D 因为直线3x+2y-3=0与直线6x+my+1=0平行,所以3m-12=0,解得m=4.直线方程6x+4y+1=0可转化为3x+2y+12=0,则两平行线之间的距离d=|12-(-3)|√32+22=7√1326.6.1 (3,3) ∵直线l 1:ax+y-6=0与l 2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P ,且l 1⊥l 2,∴a·1+1·(a-2)=0,解得a=1.由{x +y -6=0,x -y =0,解得{x =3,y =3.∴P (3,3).7.2 由题意可知正方形的边长等于两条平行直线之间的距离,所以正方形的边长为√2=√2,所以正方形的面积为2.8.D 当过点P 的切线与直线x-y-2=0平行时,点P 到直线x-y-2=0的距离最短.因为y=x 2-ln x ,x>0,所以y'=2x-1x .令2x-1x =1,解得x=1.所以P (1,1),所以点P 到直线x-y-2=0的最短距离d=√2=√2.故选D .9.ABD 对于A,因为a·1+(-1)·a=0恒成立,所以不论a 为何值,直线l 1与l 2互相垂直恒成立,故A 正确;对于B,易知直线l 1恒过点A (0,1),直线l 2恒过点B (-1,0),故B 正确;对于C,在直线l 1上任取点(x ,ax+1),其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x ),代入直线l 2的方程x+ay+1=0,可知左边不恒等于0,故C 不正确;对于D,由{ax -y +1=0,x +ay +1=0,解得{x =-a -1a 2+1,y =-a+1a 2+1.所以M -a -1a 2+1,-a+1a 2+1, 所以|MO|=√(-a -1a 2+1) 2+(-a+1a 2+1) 2=√2a 2+1≤√2,所以|MO|的最大值为√2,故D 正确.故选ABD . 10.-3 因为关于x ,y 的二元一次方程组{mx +9y =m +6,x +my =m 无解,所以直线mx+9y=m+6与直线x+my=m 平行,所以m 2-9=0,解得m=±3.经检验,当m=3时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=-3时,两直线平行,符合题意.故m=-3. 11.4 若直线l 在两坐标轴上的截距为0,则设直线l 的方程为y=kx (k ≠0).由题意知√k 2+1=√2,解得k=1或k=-7,故直线l 的方程为x-y=0或7x+y=0.若直线l 在两坐标轴上的截距不为0,则设直线l 的方程为x+y-a=0(a ≠0).由题意知√12+12=√2,解得a=2或a=6.故直线l 的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.综上,直线l 的方程为x-y=0或7x+y=0或x+y-2=0或x+y-6=0.故直线l 的条数为4. 12.解由x+my-2m-1=0,得x-1+m (y-2)=0,当x=1时,y=2,所以恒过定点A (1,2).(1)因为直线2x+y-5=0的斜率为-2,直线l 与直线2x+y-5=0垂直,所以直线l 的斜率为12.又直线l 经过点A ,所以直线l 的方程为y-2=12(x-1),即x-2y+3=0.(2)当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=1,符合题意. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-2=k (x-1),即kx-y+2-k=0. 由坐标原点到直线l 的距离为1,得√k 2+1=1,解得k=34.所以直线l 的方程为34x-y+2-34=0,即3x-4y+5=0. 综上所述,直线l 的方程为x=1或3x-4y+5=0. 13.②③ ①点M 到直线y=x+1的距离d=√2=3√2>4,故该直线上不存在点P ,使|PM|=4,该直线不是“切割型直线”;②点M 到直线y=2的距离d=2<4,故该直线上存在点P ,使|PM|=4,该直线是“切割型直线”; ③点M 到直线y=43x 的距离d=4,故该直线上存在点P ,使|PM|=4,该直线是“切割型直线”;④点M到直线y=2x+1的距离d=√5=11√55>4,故该直线上不存在点P,使|PM|=4,该直线不是“切割型直线”.14.1设点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则d1=11√A2+B2,d2=22√A2+B2.当d1=d2=0时,11√A2+B2=22√A2+B2=0,即Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0,则点P1,P2都在直线l上,此时直线P1P2与直线l重合,故命题①②③均为假命题.当d1d2<0时,点P1,P2在直线l的两侧,故直线P1P2与直线l相交,故命题④为真命题.。