辽宁省沈阳铁路实验中学2019届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

辽宁省沈阳铁路实验中学2019届上学期期中考试
高三数学（理）试题
时间：120分钟 分数：150分
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．)
1z 为z ）
A ．2-
B ． 0
C ． 2 2．已知集合}023|{2
≥+-=x x x A ,}01
|
{≥-=x x
x B ，则集合=B A （ ） A ．}1|{≤x x B ．2|{≥x x 或}0≤x C ．}21|{≤<x x D ．}21|{≤≤x x 3．已知命题x
x
R x p 32,:<∈∀，命题2
3
1,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．q p ∧ B ．q p ∧⌝ C ．q p ⌝∧ D ．q p ⌝∧⌝ 4．函数()sin 6f x x πω⎛⎫
=A +
⎪⎝
⎭
（0ω>）的图象与x 轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为
2
π
的等差数列，若要得到函数()sin g x x ω=A 的图象，只要将()f x 的图象（ ）个单位
A ．向左平移
6π B ．向右平移6π
C ．向左平移12π
D ．向右平移12
π
5．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布2
(100,5)N ，且(110)0.98P ξ<=，则(90100)P ξ<<的值为（ ）
A ．0.49
B ．0.52
C ．0.51
D ．0.48 6．如图给出的是计算
11111
24640304032
+++++
…的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）
A ．4030i ≤
B ．4030i ≥
C ．4032i ≤
D ．4032i ≥ 7．设()0
cos sin a x x dx π
=
-⎰
，则二项式6
2a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中的3
x 项的系数为（ ）
A ．160-
B ．20
C ．20-
D ．160
8．已知函数f （x ）=a ﹣x 2
（1≤x ≤2）与g （x ）=x+2的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[﹣，+∞）
B ．[﹣，0]
C ．[﹣2，0]
D ．[2，4] 9．已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的值为（ ）
A ．19-
B
C ．
D ．1
9
10．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为n m ,，则函数13
23
+-=nx mx y 在[)∞+,1上为增函数的概率是（ ） A ．
21 B ．65 C ．43 D ．3
2 11．把座位编号为6,5,4,3,2,1的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为（ ）
A.240
B. 144
C.196
D. 288
12．设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'
()f x ，且有'
2
2()()f x xf x x +>，则不等式2
(2016)(2016)4(2)0x f x f ++-->的解集为（ ）
A ．(,2016)-∞-
B ．(,2018)-∞-
C ．(2018,0)-
D ．(2016,0)-
第Ⅱ卷 (共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.) 13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()
1
2f x f x +=-
，当12x ≤≤时，()f x x =，则112f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
____________． 14．曲线x
y 2
=
与直线1-=x y 及4=x 所围成的封闭图形的面积为_________. 15．设函数()(0)22x
f x x x =
>+，观察： 1()()22
x
f x f x x ==
+， 21()(())64x
f x f f x x ==
+， 32()(())148
x
f x f f x x ==
+， 43()(())3016
x
f x f f x x ==
+， ……，
根据以上事实，当*
n N ∈时，由归纳推理可得：(1)n f = .
16．已知()()()2
,1x
f x xe
g x x a ==-++,若[]12,2,0x x ∃∈-,使得()()21f x g x ≤成立, 则实数a 的取
值范围是 ．
三、解答题：（满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.） 17．(本小题满分12分)已知函数21cos 2()sin sin()42sin()2
x f x x a x x π
π+=
+++-
（Ⅰ）求函数y = f （x ）的单调递增区间； （Ⅱ）当x ∈ ［0，512
π
］ 时，函数 y = f （x ）的最小值为
12+，试确定常数a 的值．
18．(本小题满分12分)2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾， 5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户
居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：
（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民损款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，投抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；
（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
附：临界值参考公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
k
a b c d a c b d
-
=
++++
，n a b c d
=+++.
19．(本小题满分12分)已知函数()ln a f x x x
=-
. （1）若a>0,试判断()f x 在定义域内的单调性; （2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为32
,求a 的值;
20．(本小题满分12分)已知向量(cos ,1)2x m =-，2(3sin ,cos )22
x x
n =，函数()1f x m n =⋅+． （1）若0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，11()10f x =，求cos x 的值； （2）在△ABC 中，角A ，B ，
C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2cos 2b A c ≤，求角B 的取值范围．
21．(满分12分)已知函数()()()()()2
22220,6x
f x e
x
x a a g x x x c c R =-+->=++∈.
（1）若曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为42y x =--,求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）当1a =时, 对[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-,使得()()12f x g x <成立, 求实数c 的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域指定位置．．．．．．．．．．．．答题．．，并用．．2B ．．铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．．．．．．．．．．．．．．．．．.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.
22．(本小题满分10分)选修
4—4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程式122
x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t
是参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4
π
ρθ=+．
（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于A 、B 两点，若P 点的直角坐标为(1,0)，求||||PA PB +的值．
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数()|1|||f x x x a =+-+．
（1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集；
（2）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围。

辽宁省沈阳铁路实验中学2019届高三上学期期中考试
数学（理）试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．D【解析】：，所以，所以，故选D.
2．B 因为,,所以
，故选B.
3．B【解析】当时，，故命题是假命题.命题：，设函数与
，利用函数的图象，得到函数在第三象限有交点．所以：存在一个，使，所以：
命题是真命题．故：非且是真命题．故选：B.
4．D【解析】由题意知，所以，因为，所以，所以
，因为，所以要得到函数的图象，只要将的图象向右平移个单位，故选D．
5．D【解析】.
6．C【解析】试题分析：第一次循环：；第二次循环：；直至
时结束循环，所以可填入，选C．
7．A因为，所以，设第
项中有，所以，令，所以展开式中的项的系数为，故选A．
8．C【解析】若函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+2的图象上存在关于x轴对称的点，则方程a ﹣x2=﹣（x+2）⇔a=x2﹣x﹣2在区间[1，2]上有解，
令h（x）=x2﹣x﹣2，1≤x≤2，由h（x）=x2﹣x﹣2的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故当x=1时，h（x）取最小值﹣2，当x=2时，函数取最大值0，
故a∈[﹣2，0]，
9．C【解析】由，可得，所以，则，
所以.
10．B【解析】，由得或.由得：.满足
的结果有：（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6）.所以所求概率为.
11．B【解析】由题意得，可分为两步进行：（1）先将票分为复合条件的份，人分张票，其每人至少一张，至多两张，则其中两人一张，两人张，且分得的票必须是连号的，相当于将，这六个数字分用个板子隔开，分为四部分且不存在三个连号，易得在各空位中插入个板子，共有种情况，但其中四种是一人张票，所以共有种情况；（2）将分好的四份对应分为人，共有
中，所以共有种不同的分法.
12．B【解析】构造函数，，由于，
故，为减函数.原不等式即，故
.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【解析】由条件可得，所以函数的周期为4，并且函数是奇函数，满足，所以．
14．4-2ln2【解析】易知曲线与在第一象限内交点为，因此
．
15．.【解析】通过条件归纳推理可知，∴，故填：.
16．【解析】，当时，，当时，
时，在有最小值．由,使得成立得．
三、解答题：本大题共70分.
17．（Ⅰ）【解析】试题解析：
由，得
，∵
∴∴函数的单调递增区间是
．
（Ⅱ）当时，
∴当时，函数取得最小值为
∴由已知得=，∴．
18．【解析】解：（1）记每户居民的平均损失为元，则：
（2）由频率分布直方图可得，损失超过4000元的居民共有
户，损失超过8000元的居民共有
户，因此，可能取值为0，1，2
，，，
的分布列为
（3）如图：
,
所有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关.
19．【解析】（1）由题意知的定义域为,且,
∴, 故在上是单调递增函数
（2）由（1）可知, .①若,则,即在上恒成立, 此时在
上为增函数, ∴ (舍去)
②若,则,即在上恒成立, 此时在上为减函数, ∴
(舍去)
③若令得当时, ∴在上为减函数; 当
时, ,∴在上为增函数, ∴.综上所述,
20．解（1）
．
∵，∴，又，∴，∴．
∴．
（2）由得，
∴，
∴，
∴，∴，∴.
21．【解析】：（1）,由于曲线在点处的切线方
程为,所以解得.
（2）令,即,解得,由,得,或, 由,得,所以的单调增区间为,单调减区间为. （3）“对, 使成立”等价于“在上的最大值
小于在上的最大值”.当时,. 由（2）可得与
在上的情况如下：
由上表可知在上的最大值.因为在上恒成立，所以
在上单调递增. 所以最大值为.由,即,得,故的取值范围为.
22．【解析】（1）直线消去参数，得，
即直线的普通方程为．由，得，
∴，∴圆的直角坐标方程为．
（2）点在直线上，且在圆内，
把代入，
得，
设两个实根为，，则、两点所对应的参数为，，
则，，
∴．
23．【解析】（1）时，
∴当时，不合题意；
当时，，解得；
当时，符合题意．
综上，的解集为．
（2）设，的图象和的图象如图，
易知的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而
．。