基于backstepping的一类多输入非线性系统的控制设计
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使 整个 系统 是 渐 近 稳 定 的 ．最 后 通 过 实 例 验 证 了 结 果 的正 确 性 ． 关 键 词 ：非 线 性 系 统 ；ｂ ｃｓ ｐ ｉｇ ａｋｔ ｐｎ ；状 态 反 馈 ；Ｌ ａｕ ｏ ｅ ｙｐ ｎｖ方法 ；渐 近稳 定 中 围分 类号 ：Ｔ ２ ３ Ｐ ７ 文 献 标 识 码 ：Ａ
第２ 期
ＶＯ ．２ １２ Ｎｏ２ ．
文 章编 号 ：１ ０ — ２ ７ ２ ０ ） ２ ０ ｌ — ７ ０ １ ４ １ （０ ７ ０ — Ｏ １ ０
基于 ｂｃ ｓ ｐ ｉｇ的一类 多输入 非线性 系统 ａｋｔ ｐｎ ｅ 的控 制设计
王 银 河 ， 史 永 杰
（ 头 大 学 数 学 系 ，广 东 汕 汕头 ５５６） １ ０ ３
作者简介：王银河（ ９ ２ ） １６ 一 ，男 ，内蒙古包头市人 ，教授 ，博士生导师．Ｅｍａ ：ｙｎ ｅ ａ ｇ ｉａｃｒ — ｉ ｉｈｗ ｎ ＠ｓ ． ｎ ｌ ｎ ｏ 基金项 目：广东省 自然科学基金资助项 日（ ｏ ３０ ５ Ｎ ：０ ２３ ）
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值得注意的是 ，这些控制设计都是针对整个系统 ，而且要求系统必须满足严格三角结
构 或 者 间接 满 足 三角 结 构 ． 由于许 多实 际 被控 系 统 的复 杂性 和 技术 原 因 ，特 别是 许 多 复杂 的大 系统 ，常 常 可 以得 到 其 某 一子 系 统 相对 精确 的模 型 ，并且 可 以对 其 进行 控 制 设 计口 一 个 有 意义 的控 制 问题 是 ：如 何 根 据 已得 到 的子 系 统控 制 器 来设 计 整个 系 统 】 ． 的控 制器 ， 目前 这 方 面 的研 究 还 很鲜 见 ．本 文对 此 类 控 制 问题 进行 了初 步 探讨 ，主要 是 运 用 ｂ ｃｓ ｐｉｇ 法 ，先设 计 出非 线 性 系统 的子 系 统控 制 器 ，再 在 该控 制 器 的基 ａｋｔ ｐｎ 方 ｅ 础 上推 导 出整 个非 线 性 系统 的 控 制器 ．
０ 引 言
非 线性 系统 的控 制 设计 研究 一 直 是 控 制 理论 研 究 的热 点 ． 唐功 友 等 人 【 非 线性 １ 】 对 系统 的研 究 取得 了较 好 的成果 ． 针对 具 有 严 格三 角 结构 的非线 性 系统 ，Ｋ ｋｔｖ ｏｏｏｉ ｃ及其 合 作 者【 提 出 了 ｂ ｃｓ ｐ ｉｇ方 法 ， 由于其 在 设 计 控 制器 过程 中 的系 统性 和结 构性 而 ２ ＿ ａｋｔ ｐｎ ｅ 受 到 广泛 关 注 ，近 年 来 ，运 用 该 方法 研 究 非线 性 控 制 系统 已经 得 到 了很 多 的结果 ［ ４． ．
而得出的控制器对摆有非常好的控制效果．因此 ，如果能够 由已经设计好 的倒立摆 子
系统 控 制 器 设 计 出整 个 倒 立 摆 系 统 的 控 制 器 ， 即该 控 制 器 既 能 保 证 摆 有 很 好 的稳 定 性 ，也 能够 使 得 小 车 达 到要 求 的 控制 效 果 ，那 么 将是 非 常有 实 际意 义 的．
以达 到镇 定 整个 系统 的 目的 ．事 实 上 ，系 统 （ ） ３ 也可 以看 作是 由于 系 统 （ ） １ 的模 型 不精 确 而通 过 模 型 补偿 （ ） 到 的 系统 ．为 叙述 方 便 ，以下 将 系统 （ ） 为 （ ） ２得 １称 ３ 的嵌 入 子 系
统．
上述 控 制 问题 可 由倒 立 摆 系统 （ 车 和倒 立摆 ） 小 的镇 定 控制 设计 来 加 以说 明．例 如 ， 文献 ［】 ８只讨 论 了倒 立 摆 系 统 中倒 立摆 子系 统 的控 制 器 设 计 ，但 没 有得 到小 车 的控 制 ，
１ ２
汕头大学学报（ 自然 科学 版 ）
第２ ２卷
这 里 ＝（ｌ ２ ， ，… ， ）∈皿 ，Ｕ∈皿 为系 统 的 控制 输 入 ．
谢 ＝（
… ， ）∈ 是其余 ｎ ｍ个未建模 的状态变量 ，在这里我们 瑰 —
考虑其未建模模型 的近似模型 ，假设近似模型 的动态方程为 ： ｆ ｘ ，Ｕ ） （， ， 其 中 ， ∈瑰口 其 控 制输 入 ，ｒ 是 ，ｇ，ｍ，１∈ ７ ． ，
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２０ ０ ７年 ５月
Ｍ ａ ２０ ７ ｙ ０
汕 头大 学 学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｈ ｎｏ ｉｅｓ ｙ（ ｔｒｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＳ ａ ｔｕ Ｕｎｖ ｒｉ Ｎａｕａ ｃｅｃ ） ｔ
第２ ２卷
摘
要 ：基 于 ｂｃ ｓ ｐ ｉｇ设 计 方 法 ，讨 论 ～ 类 非 线 性 系统 的状 态反 馈 镇 定 问 题 ． 针 对 这类 ａｋｔ ｐｎ ｅ
非 线 性 系 统 的 特 殊 情 形 ，运 用 ｂｃ ｓ ｐｉｇ方 法 ，先 设 计 其 具 有严 格 三角 结 构 形 式 的 嵌 入 子 ａｋｔ ｐｎ ｅ 系 统 的 控 制 器 ， 进 而 推 出 整 个 系 统 的 控制 器 ，并 利 用 Ｌ ａｕ ｏ 方 法 证 明所 设 计 的控 制 器 能 ｙｐ ｎ ｖ
＝
（） ２
现 在 的控 制 问题 是 ：如 何 利 用 已设 计 好 的 系统 （ ） 镇 定 控 制 器 Ｕ，来 设 计 整 个 １的 控 制 系 统ｆ ） 的控 制 器 （ ， ） ３ Ｕ ，
（ ｆ ，ｌ ） （） ３
ｌ ＝厂 ， ，ｌ ） ． ｘ （ ｆ ，
‘
１ 问题 描 述
假设现有一个被控对象 ，它可 以用 ｎ 个状态变量描述 ，但 由于客观条件和技术原 因 ，首先得到关于其 中 ｍ（ ｎ 个状态变量 Ｘ＝（ ， ： ｍ＜ ） 戈 戈，…， 的一个动态方程 （ 戈１ ０ ６ ０ －０
第２ 期
ＶＯ ．２ １２ Ｎｏ２ ．
文 章编 号 ：１ ０ — ２ ７ ２ ０ ） ２ ０ ｌ — ７ ０ １ ４ １ （０ ７ ０ — Ｏ １ ０
基于 ｂｃ ｓ ｐ ｉｇ的一类 多输入 非线性 系统 ａｋｔ ｐｎ ｅ 的控 制设计
王 银 河 ， 史 永 杰
（ 头 大 学 数 学 系 ，广 东 汕 汕头 ５５６） １ ０ ３
作者简介：王银河（ ９ ２ ） １６ 一 ，男 ，内蒙古包头市人 ，教授 ，博士生导师．Ｅｍａ ：ｙｎ ｅ ａ ｇ ｉａｃｒ — ｉ ｉｈｗ ｎ ＠ｓ ． ｎ ｌ ｎ ｏ 基金项 目：广东省 自然科学基金资助项 日（ ｏ ３０ ５ Ｎ ：０ ２３ ）
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值得注意的是 ，这些控制设计都是针对整个系统 ，而且要求系统必须满足严格三角结
构 或 者 间接 满 足 三角 结 构 ． 由于许 多实 际 被控 系 统 的复 杂性 和 技术 原 因 ，特 别是 许 多 复杂 的大 系统 ，常 常 可 以得 到 其 某 一子 系 统 相对 精确 的模 型 ，并且 可 以对 其 进行 控 制 设 计口 一 个 有 意义 的控 制 问题 是 ：如 何 根 据 已得 到 的子 系 统控 制 器 来设 计 整个 系 统 】 ． 的控 制器 ， 目前 这 方 面 的研 究 还 很鲜 见 ．本 文对 此 类 控 制 问题 进行 了初 步 探讨 ，主要 是 运 用 ｂ ｃｓ ｐｉｇ 法 ，先设 计 出非 线 性 系统 的子 系 统控 制 器 ，再 在 该控 制 器 的基 ａｋｔ ｐｎ 方 ｅ 础 上推 导 出整 个非 线 性 系统 的 控 制器 ．
０ 引 言
非 线性 系统 的控 制 设计 研究 一 直 是 控 制 理论 研 究 的热 点 ． 唐功 友 等 人 【 非 线性 １ 】 对 系统 的研 究 取得 了较 好 的成果 ． 针对 具 有 严 格三 角 结构 的非线 性 系统 ，Ｋ ｋｔｖ ｏｏｏｉ ｃ及其 合 作 者【 提 出 了 ｂ ｃｓ ｐ ｉｇ方 法 ， 由于其 在 设 计 控 制器 过程 中 的系 统性 和结 构性 而 ２ ＿ ａｋｔ ｐｎ ｅ 受 到 广泛 关 注 ，近 年 来 ，运 用 该 方法 研 究 非线 性 控 制 系统 已经 得 到 了很 多 的结果 ［ ４． ．
而得出的控制器对摆有非常好的控制效果．因此 ，如果能够 由已经设计好 的倒立摆 子
系统 控 制 器 设 计 出整 个 倒 立 摆 系 统 的 控 制 器 ， 即该 控 制 器 既 能 保 证 摆 有 很 好 的稳 定 性 ，也 能够 使 得 小 车 达 到要 求 的 控制 效 果 ，那 么 将是 非 常有 实 际意 义 的．
以达 到镇 定 整个 系统 的 目的 ．事 实 上 ，系 统 （ ） ３ 也可 以看 作是 由于 系 统 （ ） １ 的模 型 不精 确 而通 过 模 型 补偿 （ ） 到 的 系统 ．为 叙述 方 便 ，以下 将 系统 （ ） 为 （ ） ２得 １称 ３ 的嵌 入 子 系
统．
上述 控 制 问题 可 由倒 立 摆 系统 （ 车 和倒 立摆 ） 小 的镇 定 控制 设计 来 加 以说 明．例 如 ， 文献 ［】 ８只讨 论 了倒 立 摆 系 统 中倒 立摆 子系 统 的控 制 器 设 计 ，但 没 有得 到小 车 的控 制 ，
１ ２
汕头大学学报（ 自然 科学 版 ）
第２ ２卷
这 里 ＝（ｌ ２ ， ，… ， ）∈皿 ，Ｕ∈皿 为系 统 的 控制 输 入 ．
谢 ＝（
… ， ）∈ 是其余 ｎ ｍ个未建模 的状态变量 ，在这里我们 瑰 —
考虑其未建模模型 的近似模型 ，假设近似模型 的动态方程为 ： ｆ ｘ ，Ｕ ） （， ， 其 中 ， ∈瑰口 其 控 制输 入 ，ｒ 是 ，ｇ，ｍ，１∈ ７ ． ，
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２０ ０ ７年 ５月
Ｍ ａ ２０ ７ ｙ ０
汕 头大 学 学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｈ ｎｏ ｉｅｓ ｙ（ ｔｒｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＳ ａ ｔｕ Ｕｎｖ ｒｉ Ｎａｕａ ｃｅｃ ） ｔ
第２ ２卷
摘
要 ：基 于 ｂｃ ｓ ｐ ｉｇ设 计 方 法 ，讨 论 ～ 类 非 线 性 系统 的状 态反 馈 镇 定 问 题 ． 针 对 这类 ａｋｔ ｐｎ ｅ
非 线 性 系 统 的 特 殊 情 形 ，运 用 ｂｃ ｓ ｐｉｇ方 法 ，先 设 计 其 具 有严 格 三角 结 构 形 式 的 嵌 入 子 ａｋｔ ｐｎ ｅ 系 统 的 控 制 器 ， 进 而 推 出 整 个 系 统 的 控制 器 ，并 利 用 Ｌ ａｕ ｏ 方 法 证 明所 设 计 的控 制 器 能 ｙｐ ｎ ｖ
＝
（） ２
现 在 的控 制 问题 是 ：如 何 利 用 已设 计 好 的 系统 （ ） 镇 定 控 制 器 Ｕ，来 设 计 整 个 １的 控 制 系 统ｆ ） 的控 制 器 （ ， ） ３ Ｕ ，
（ ｆ ，ｌ ） （） ３
ｌ ＝厂 ， ，ｌ ） ． ｘ （ ｆ ，
‘
１ 问题 描 述
假设现有一个被控对象 ，它可 以用 ｎ 个状态变量描述 ，但 由于客观条件和技术原 因 ，首先得到关于其 中 ｍ（ ｎ 个状态变量 Ｘ＝（ ， ： ｍ＜ ） 戈 戈，…， 的一个动态方程 （ 戈１ ０ ６ ０ －０