2017高考数学一轮复习解答题增分专项3 高考中的数列课件理北师大版

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北师版高考总复习一轮理科数精品课件第6章数列高考解答题专项三数列

(2)若对任意的正整数n都有Sn≤S6,求实数k的取值范围.
解:(1)由题意得
1 +3 2 +…+(2-1)
2=
,所以

a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,
所以 a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2n-2(n≥2),
两式相减得(2n-1)an=2,则
2
an=2-1(n≥2).
用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.
对点训练1(2021重庆新华中学高三月考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,
且an+1=2Sn+2,数列{bn}满足b1=2,(n+2)bn=nbn+1.
(1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为cn的等差数列,
=(3×60+3×61+3×62+…+3×6n-1)-(31+32+33+…+3n)
=3×
1×(1-6 )
3×(1-3 )
−
1-6
1-3
=
3×6
5
−
3 +1
2
+
9
.
10
突破技巧1.对于等差、等比数列,求其通项公式及求前n项的和时,只需利
用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.
2.有些数列可以通过变形、整理,把它转化为等差数列或等比数列,进而利
3n],
两式相减得-2Tn=4(30+31+32+…+3 -n·

【第7-9章】2017版高考数学北师大版(理)一轮复习配套课件共2083张PPT

同向可加性同向同正可乘性
a>b ⇒ a＋c>b＋d c>d
⇒ ⇒
a>b>0 ⇒ ac>bd c>d>0
可乘方性可开方性
a>b>0⇒ an>bn
(n∈N＋)
n a b (n∈N ) a>b>0⇒_____________ ＋ n
a，b同为正数
答案
3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 1 1 ①a>b，ab>0⇒a<b. 1 1 ②a<0<b⇒a<b. a b ③a>b>0,0<c<d⇒ c>d. 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒b<x <a.
(2)有关分数的性质若 a>b>0，m>0，则 b b＋m b b－m ①a< ；a> (b－m>0)． a ＋m a－m a a＋m a a－m ②b> ；b< (b－m>0)． b ＋m b－m
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a>b⇔ac2>bc2.( × )
1
2 3
4
5
解析答案
4.(教材改编)下列各组代数式的关系正确的是________. ①x2＋5x＋6<2x2＋5x＋9； ②(x－3)2<(x－2)(x－4)； ③当x>1时，x3>x2－x＋1； ④x2＋y2＋1>2(x＋y－1).
1
2
3
4
5
解析答案
1 2 ＋ b2 从小 5.(教材改编)若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b，， 2 ab ， a 2 到大排列为__________________.

【高优指导】2017高考数学一轮复习解答题增分专项3 高考中的数列课件理北师大版

(1)证明:∵bn=log2an, �� ∴bn+1-bn=log2 �� +1=log2q 为常数.
∴数列{bn}为等差数列,且公差 d=log2q.
(2)解 :设数列{bn}的公差为 d, ∵b1+b3+b5= 6,∴ b3= 2. ∵a1>1,∴ b1=log2a1> 0. �� + 2�� = 2, �� = 4, ∵b1b3b5=0,∴b5=0.∴ 1 解得 1 ��1 + 4�� = 0, �� = -1.
解:(1)∵3S1,2S2,S3 成等差数列,∴4S2=3S1+S3,
∴4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3), 即 a3=3a2,∴公比 q=3,∴an=a1qn-1=3n.
(2)由(1)知,bn=log3an=log33n=n,
∵b2n-1b2n-b2n��2 �� +1 =(2n-1)2n-2n(2n+1)=-4n, ∴Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+…+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)
1
即 Tn+6 = 6· 3 =2· 3n-1.
n
1 -3 1 1 1 6 1 2
= · (3n-1),
6 1
1 6 1 �� -1 + 61源自又 T1+ = ,
�� +
=3,n≥2,n∈N+,
1
∴数列 �� + 6 是以2为首项,3 为公比的等比数列.

【6份】2017版高考数学北师大版(理)一轮复习高考专题突破共436张PPT

1 ＝k－ x ≥0 在(1，＋∞)上恒成立. 1 1 由于 k≥ x，而 0< x<1，所以 k≥1.
A.(－∞，－2]
即k的取值范围为[1，＋∞).
1 2 3 4 5
解析答案
3.函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是(A
)
A.0
B.1 C.2D.无数个
解析函数定义域为(0，＋∞)，
1
2
3
4
5
解析答案
e2x2＋1 e2x gx1 5.设函数 f(x)＝ x ，g(x)＝ ex ，对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，不等式 k fx2 ≤ 恒成立，则正数 k 的取值范围是________. k＋1
1
2
3
4
5
解析答案
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题型分类
题型一
利用导数研究函数性质
例1 (2015· 课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x). (1)讨论f(x)的单调性；
1 在a，＋∞ 上单调递减.
解பைடு நூலகம்答案
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.
由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值； 1 当 a＞0 时，f(x)在 x＝a取得最大值， 1 1 1 1 －最大值为 fa＝lna＋a ＝－ln a＋a－1. a 1 因此 f ＞2a－2 等价于 ln a＋a－1＜0. a 解令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增， g(1)＝0.
第三章导数及其应用
考专题突破一高考中的导数应用问题
内容索引
考点自测题型分类练出高分
快速解答自查自纠

【第13-14章】2017版高考数学北师大版(理)一轮复习配套课件共686张PPT

答案
2.类比推理
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象
的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推
理过程称为类比推理.简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理.
类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；
B：具有属性a′，b′，c′；
结论：B具有属性d′.
答案
2
考点自测
1.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5 ＝11，„，则a10＋b10等于( C ) A.28 解析 B.76 C.123 D.199 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，
后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律， a10＋b10＝123.
1 2 3 4 5
解析答案
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题型分类深度剖析
题型一
归纳推理
(2015· 陕西)观察下列等式：
命题点1 与数字有关的等式的推理
例1 1 1 1－2＝2， 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＝3＋4， 1 1 1 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＋5－6＝4＋5＋6， „，
据此规律，第n个等式可为____________________________________.
(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
答案
3.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确 .
4.演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到
新结论的推理过程.
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( × ) (2) 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( √ ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( × )

2017版高考数学北师大版(理)一轮复习第6章数列高考专题突破三高考中的数列问题文档

1．设等差数列{a n }和等比数列{b n }首项都是1，公差与公比都是2，则12354b b b b b a a a a a ++++等于( ) A ．54 B ．56 C ．58 D ．57答案 D解析由题意得，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，∴1ab ＋…＋5ab ＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.2．已知等比数列的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，则数列lg a 1,2lg a 2,22lg a 3,23lg a 4，…，2n －1lg a n ，…的前n 项和S n 等于( )A ．n ·2nB ．(n －1)·2n －1－1C ．(n －1)·2n ＋1D ．2n ＋1答案 C解析 ∵等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，∴a 2n ＝102n ，即a n ＝10n ，∴2n －1lg a n ＝2n －1lg10n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，②∴①－②得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )·2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.3．数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N ＋都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2013等于( ) A.20122013B.40262014C.40242014D.20132014答案 B解析因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，所以a n ＋1－a n ＝n ＋1.用累加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，所以1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2013＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋12013－12014 ＝2⎝⎛⎭⎫1－12014＝40262014，故选B.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100答案 A解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎨⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和为⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝1－1101＝100101. 5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N ＋都有S n ＝23a n －13，若1<S k <9 (k ∈N ＋)，则k的值为________．答案 4解析当n >1时，S n －1＝23a n －1－13，∴a n ＝23a n －23a n －1，∴a n ＝－2a n －1，又a 1＝－1，∴{a n }为等比数列，且a n ＝－(－2)n －1， ∴S k ＝(－2)k －13，由1<S k <9，得4<(－2)k <28，又k ∈N ＋，∴k ＝4.题型一等差数列、等比数列的综合问题例1 已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N ＋)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N ＋，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n . 显然2n ＜60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时， S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0，解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，且n 的最小值为41. 题型二数列的通项与求和例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n .(1)证明：数列{a nn }是等比数列；(2)求通项a n 与前n 项的和S n . (1)证明因为a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，当n ∈N ＋时，a nn≠0.又a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝12(n ∈N ＋)为常数，所以{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)解由{a n n }是以12为首项，12为公比的等比数列，得a n n ＝12·(12)n －1，所以a n ＝n ·(12)n .∴S n ＝1·12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n ·(12)n ，12S n ＝1·(12)2＋2·(12)3＋…＋(n －1)(12)n ＋n ·(12)n ＋1， ∴12S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －n ·(12)n ＋1＝12－(12)n ＋11－12－n ·(12)n ＋1，∴S n ＝2－(12)n －1－n ·(12)n＝2－(n ＋2)·(12)n .综上，a n ＝n ·(12)n ，S n ＝2－(n ＋2)·(12)n .思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息．(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等．在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，a 1＞1，公比q ＞0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求{a n }的通项a n ；(2)若c n ＝1n (b n －6)，求{c n }的前n 项和S n .解 (1)因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝6，所以log 2(a 1a 3a 5)＝6，所以log 2(a 31q 6)＝6，所以log 2(a 1q 2)＝2，即b 3＝2，a 1q 2＝4＝a 3. 因为a 1＞1，所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1b 3b 5＝0，所以b 5＝0＝log 2a 5，a 5＝1，所以a 5a 3＝14＝q 2，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝4，q 2＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，q ＝12.所以a n ＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1＝25－n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知a n ＝25－n ，所以b n ＝5－n (n ∈N ＋)，所以c n ＝1n (5－n －6)＝－1n (n ＋1)，所以S n ＝－[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝－(1－1n ＋1)＝－nn ＋1 (n ∈N ＋)．题型三数列与其他知识的交汇命题点1 数列与函数的交汇例3 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图像过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N ＋，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝⎛⎭⎫1a n，且a 1＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)f ′(x )＝2ax ＋b ，由题意知b ＝2n ， 16n 2a －4nb ＝0， ∴a ＝12，b ＝2n ，则f (x )＝12x 2＋2nx ，n ∈N ＋.数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝⎛⎭⎫1a n ，又f ′(x )＝x ＋2n ，∴1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n ，由叠加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2－n ，化简可得a n ＝4(2n －1)2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝4也符合， ∴a n ＝4(2n －1)2(n ∈N ＋)．(2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1 ＝4n2n ＋1. 命题点2 函数与不等式的交汇例4 已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围．解 (1)设公差为d ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n . (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝32n (n ＋1)，∴T n ＝n (n ＋1)2n，∴T n ＋1－T n ＝(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1－n (n ＋1)2n＝(n ＋1)(2－n )2n ＋1，∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值是32，故m ≥32.命题点3 数列应用题例5 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1000万元． (1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元．解设a n 为(2010＋n )年年底分红后的资金，其中n ∈N ＋，则a 1＝2×1000－500＝1500， a 2＝2×1500－500＝2500，…， a n ＝2a n －1－500(n ≥2)． ∴a n －500＝2(a n －1－500)(n ≥2)，即数列{a n －500}是以a 1－500＝1000为首项，2为公比的等比数列． ∴a n －500＝1000×2n －1， ∴a n ＝1000×2n －1＋500.(1)∵a 4＝1000×24－1＋500＝8500，∴该企业2014年年底分红后的资金为8500万元． (2)由a n ＞32500，即2n －1＞32，得n ＞6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32500万元．思维升华数列与其他知识的交汇问题，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前n 项和公式或递推关系式，建立数列模型．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N ＋)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，得b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2. 解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)f ′(x )＝2x ln2，f ′(a 2)＝2a 2ln2，故函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝2a 2ln2(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln2.由题意，得a 2－1ln2＝2－1ln2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1. 从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n2n＝2n ＋1－n －22n.所以T n ＝2n ＋1－n －22n.1．在等差数列{a n }中，a 2＝4，其前n 项和S n 满足S n ＝n 2＋λn (λ∈R )．(1)求实数λ的值，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ＋b n 是首项为λ，公比为2λ的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2＝S 2－S 1＝(4＋2λ)－(1＋λ)＝3＋λ，∴3＋λ＝4，∴λ＝1.∴a 1＝S 1＝12＋1×1＝2，∴d ＝a 2－a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)由(1)知λ＝1，∴1S n＋b n ＝1×2n －1＝2n －1， ∴b n ＝2n －1－1n (n ＋1)＝2n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝(1＋21＋…＋2n －1)－[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝1－2n 1－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n －2n ＋1n ＋1. 2．(2015·课标全国Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3(2n ＋3). 3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2)求证：数列{a n ＋23(－1)n }为等比数列，并求出{a n }的通项公式．解 (1)在S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N ＋)中分别令n ＝1,2,3得： ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2a 1－1，a 1＋a 2＝2a 2＋1，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 2＝0，a 3＝2.(2)由S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N ＋)得：S n －1＝2a n －1＋(－1)n －1(n ≥2)，两式相减得：a n ＝2a n －1－2(－1)n (n ≥2)，a n ＝2a n －1－43(－1)n －23(－1)n ＝2a n －1＋43(－1)n －1－23(－1)n (n ≥2)， ∴a n ＋23(－1)n ＝2[a n －1＋23(－1)n －1](n ≥2)．故数列{a n ＋23(－1)n }是以a 1－23＝13为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋23(－1)n ＝13×2n －1，a n ＝13×2n －1－23×(－1)n ＝2n －13－23(－1)n . 4．(2015·湖南)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3, n ∈N ＋.(1)证明：a n ＋2＝3a n ；(2)求S n .(1)证明由条件，对任意n ∈N ＋，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，因而对任意n ∈N ＋，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3.两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1，故对一切n ∈N ＋，a n ＋2＝3a n .(2)解由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列．因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1. 于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝3(3n －1)2. 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)．综上所述，S n ＝⎩⎨⎧ 32(5×3n －32－1)，n 是奇数，32(3n 2－1)，n 是偶数.5．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.(1)当n ∈N ＋时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N ＋，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜2；(3)设b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )，n ∈N ＋，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值． (1)解令x ＝n ，y ＝1，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )， ∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列， ∴f (n )＝⎝⎛⎭⎫12n .(2)证明设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·⎝⎛⎭⎫12n ， ∴T n ＝12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ， 12T n ＝⎝⎛⎭⎫122＋2×⎝⎛⎭⎫123＋3×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫12n ＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1，两式相减得12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴T n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1－n ×⎝⎛⎭⎫12n ＜2. 即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2.(3)解 ∵f (n )＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )⎝⎛⎭⎫12n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＝9－n 2， ∴当n ≤8时，b n ＞0；当n ＝9时，b n ＝0；当n ＞9时，b n ＜0.∴当n ＝8或9时，S n 取得最大值．。

【第10-12章】2017版高考数学北师大版(理)一轮复习配套课件共877张PPT

同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( A )
再排第二列，其中第二列第一行的字母共有 2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法. 因此共有6×2×1＝12种不同的排列方法.
解析答案
(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________ 120 种不同的报名方法. 解析每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120种.
由分步乘法计数原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种).
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解析答案
返回
题型分类深度剖析
题型一
分类加法计数原理的应用
高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男
例1
生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人. (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？解完成这件事有三类方法：
A.6
C.3 解析
B.5
D.2 5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法.
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解析答案
3. 设集合 A ＝ {0,1,2,3,4,5,6,7} ，如果方程 x2 － mx － n ＝ 0(m ， n∈A) 至少有一个根x0∈A，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为( C ) A.13 C.17 解析 B.15 D.19 当m＝0时，取n＝0,1,4，方程为合格方程；当m＝1时，取n＝
若万位是 4，则有 2×A3 4＝48 个，

【高优指导】2017高考数学一轮复习解答题增分专项1 高考中的函数与导数课件理北师大版

e
-13题型一题型二题型三题型四
突破策略三寻求导函数零点法若使用策略一或策略二解答时,遇到令f'(x)=0,但无法解出导函数的零点x0时,可利用函数零点存在性定理,设出某一区间的导函数的零点x0,判断f(x)在x0处取得最值,并求出最值,然后通过对最值的处理使问题得到解决. 例3已知函数f(x)=ex+mx-2,g(x)=mx+ln x. 证明:在区间(0,+∞)上,函数y=f(x)的图像恒在函数y=g(x)的图像的上方. 证明:由题意可得,本题即证:当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x)恒成立. 令F(x)=f(x)-g(x)=ex-ln x-2(x>0),
5
则 b=2 a2 +2a2 -3a2ln a=2 a2-3a2 ln a.
-8题型一题型二题型三题型四
(2)证明:设 F(x )=f (x )-g(x )= x 2 +2ax-3a2ln x-b(x>0),
2
1
则 F'(x )=x+2a-
3 �� 2 ��
=
( �� -�� )( ��+3�� ) ��
e e��
(1)解:由题意知 2xln x≥-x2+ax-3 对一切 x∈(0,+∞)恒成立, 则 a≤2ln x+x+ ,设 h(x)=2ln x+x+ (x>0), 则
3 �� (��+3)(��-1) h'(x)= , ��2 3 ��
①当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减, ②当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,

高考数学一轮复习专题讲座3 数列在高考中的常见题型

2n1＋1－2n1＋3
＝3（2nn＋3）.
栏目导引
专题讲座三数列在高考中的常见题型与求解策略
(1)求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，本题选用的裂项相消法，常用的还有分组转化求和，错位相减求和等.
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专题讲座三数列在高考中的常见题型与求解策略
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专题讲座三数列在高考中的常见题型与求解策略
(2)由
an＝ 2n＋ 1
可知
bn＝ana1n＋
＝ 1（
2n＋
1 1）（
2n＋
3）＝12
1 2n＋
1－2n1＋
3.
设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，则
Tn＝ b1＋ b2＋…＋ bn
＝1213－
1 5
＋15－17
＋…＋
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
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专题讲座三数列在高考中的常见题型与求解策略
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专题讲座三数列在高考中的常见题型与求解策略
专题二数列的通项与求和
(2015·高考全国卷Ⅰ)Sn 为数列{an}的前 n 项和．已知 an＞0，a2n＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设
bn＝ana1n＋
，求数列
1
{
bn}的前
n
项和．
栏目导引
专题讲座三数列在高考中的常见题型与求解策略

2017届高考数学大一轮复习专题3 数列综合题的解答课件文北师大版

[例1] 设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn} 的前n项和Sn.
【审题】关键点：①公比为正数；②等比数列
【转化】 (1)求出基本量后，直接求an. (2)采用分组转化法求和
所以 an＝45an－1＋r(500－an－1)，故 an＝45－ran－1＋500r.
(2)因为 r＝130，且选 A 套餐的学生人数保持不变，故 an＝12an －1＋150＝an－1，
解得 an－1＝a1＝300. (3)an－k是等比数列，an－k＝45－r(an－1－k)，得 an＝45－ran －1＋15＋rk，故15＋rk＝500r，得 k＝255r＋001r；因为 k∈[250,300]，故 250≤255r＋001r≤300，所以15≤r≤130.
专题三数列综合题的解答
数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，是高考考查学生数学综合素质的良好素材，是数十年来高考试题中的一棵常青树．其命题不仅常与不等式交汇，还与函数、方程、复数等相联系，同时还与三角、立体几何密切相关．数列在实际问题中也有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险等问题，其中，以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体和有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点．
【反思】解决此类题目仅靠单一知识点，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重要作用
探究三
数列实际应用问题
数列作为一种特殊的函数，是高考考查学生数学综合素质的
良好素材，数列在实际问题中也有着广泛的应用，如增长率、银

高考数学一轮复习高考大题增分课3数列中的高考热点问题教学案理含解析北师大版

三
全国卷中的数列与三角基本上是交替考查，难度不大，题目多为常规题．从五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的基本运算；二是等差、
等差、等比数列的基本运算主要涉及两个数列的通项与求和公式，求解的关键是充分借
－
＝
1－2
等差、等比数列的判定与证明
等差(比)数列的判定与证明是高考中的常见题型之一，其基本方法是利用等差
＋
＋q＋＝－
解得q＝－2，a1＝－
故{a n}的通项公式为
－
1－q
由于S n＋2＋S n＋1＝－
－
n，S n＋2成等差数列．
数列的通项与求和问题
数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本问题，常涉及等差、等比数列的
≥S 1＝1
2；
＋…＋b n ＝12＋2×
⎭⎪⎫－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋
＋
≥2时，由2S n ＝2n ＋1
＋m (m ∈R )得22n
，即a n ＝2
n －1
(n ≥2)，
＋
－
＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝
⎛1－13
－
⎝ 2＝2n ＋1
2n
＝2，则数列＝－
1－2
＝。

2017届高考数学大一轮复习第五章数列理北师大版

第1课时数列的概念与简单表示法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．` 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的概念按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为数列{a n }，其中数列的第1项a 1也称首项；a n 是数列的第n 项，也叫数列的通项．2．数列的分类3.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为N ＋或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式． [基础自测]1．(教材改编题)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝29－9n ，则在下列各数中，不是{a n }的项的是( ) A ．20 B ．11 C ．－2D ．－7解析：由29－9n ＝－2得n ＝319∉N ＋，故选C.答案：C2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( ) A ．30 B ．31 C ．32D ．33解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1a n ＝2a n －1＋1得a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝15，a 5＝2a 4＋1＝31，故选B.答案：B3．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．不确定解析：∵a n ＋1－a n ＝3>0，∴a n ＋1>a n ，故数列{a n }为递增数列．答案：A4．已知数列{a n }的前n 项的和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1 ＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，不满足a n ＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －1，n ≥25．下列有四种对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是惟一的．其中说法正确的所有序号是________．解析：由数列与函数的关系可知①③正确，由数列的分类可知②错误，显然④错．答案：①③考点一由数列的前几项求数列的通项公式第五章数列[例1] 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；23456(4)3,33,333,3333，….审题视点先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系．解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3 ，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为：93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n－1)．根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( )A.n2n ＋1 B.n 2n －1 C.n 2n －3D.n 2n ＋3解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n －1.答案：B2．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；248163264(4)32，1，710，917，…； (5)0,1,0,1，…； (6)9,99,999,999 9，….解析：(1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n－32n .(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{}n 2，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数1 n 为偶数或a n ＝1＋－n2或a n ＝1＋cos n π2.(6)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1,10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n－1.考点二由递推公式求数列的通项公式[例2] 根据下列条件，求数列的通项公式a n . (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n； (2)在数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2na n ； (3)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1； (4)在数列{a n }中，a n ＋1＝3a 2n ，a 1＝3； (5)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1.审题视点 (1)由a n ＋1＝a n ＋2n 得a n ＋1－a n ＝2n，可采用累加求和的方法； (2)由a n ＋1＝n ＋2n a n 得a n ＋1a n ＝n ＋2n，可采用累乘的方法； (3)可构造等比数列求解；(4)由条件可知a n >0，可采用两边取对数的方法求解； (5)利用a n ＝S n －S n －1求解．解 (1)由a n ＋1－a n ＝2n，把n ＝1,2,3，…，n －1(n ≥2)代入，得(n －1)个式子，累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋22＋23＋…＋2n －1，所以a n －a 1＝－2n －11－2，即a n －a 1＝2n－2，所以a n ＝2n －2＋a 1＝2n－1.当n ＝1时，a 1＝1也符合，所以a n ＝2n－1(n ∈N ＋)． (2)由递推关系a n ＋1＝n ＋2n a n ，a 1＝4，有a n ＋1a n ＝n ＋2n，于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝nn －2，a n a n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n n ＋2.所以当n ≥2时，a n ＝n n ＋2a 1＝2n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝4符合上式，所以a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N ＋)．(3)由a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，令b n ＝a n ＋1，所以{b n }是以2为公比的等比数列．所以b n ＝b 1·2n －1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝b n －1＝2n ＋1－1(n ∈N ＋)．(4)由已知，a n >0，在递推关系式两边取对数，有lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 3.令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 3. 所以b n ＋1＋lg3＝2(b n ＋lg 3)，所以{b n ＋lg 3}是等比数列．所以b n ＋lg 3＝2n －1·2lg 3＝2nlg 3.所以b n ＝2nlg 3－lg 3＝(2n－1)lg 3＝lg a n . 所以a n ＝32n－1.(5)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＋1＝0；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n ＋1)－2(n －1)2＋3(n －1)－1＝4n －5；又n ＝1时，a n ＝4×1－5＝－1≠a 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，4n －5，n ≥2.(1)数列递推关系形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，其中{f (n )}的前有限项可求和．此种类型的数列求通项公式时，常常是相邻两项作差，然后对差式求和，这是求通项公式的一种重要方法．(2)数列递推关系形如a n ＋1＝g (n )a n ，其中{g (n )}的前n 项的乘积容易化简．此数列求通项公式一般采用累乘法． (3)数列递推关系形如a n ＋1＝c ·a n ＋d (c 、d 为常数)求通项公式常用构造新数列法．(4)数列的递推关系形如a n ＋1＝pa rn (p 、r 为常数，且p >0，a n >0)，求a n 时一般采用递推关系式两边取对数的方法．(5)数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．1．(2016·菏泽高三检测)已知数列{}a n 中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则数列{}a n 的通项公式a n ＝__________. 解析：由(n ＋1)a n ＝na n ＋1，可得a n ＋1a n ＝n ＋1n. ∴当n ≥2时，a n a n －1＝n n －1，a n －1a n －2＝n －1n －2，…，a 3a 2＝32，a 2a 1＝2. 将以上各式累乘求得a na 1＝n ， ∴a n ＝n ，而n ＝1也适合． ∴数列的通项公式为a n ＝n . 答案：n2．(2016·山东临沂模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．解析：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)． ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}是等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.答案：a n ＝2·3n －1－1考点三数列的函数特性[例3] 已知函数f (x )＝x 2x 2＋1，设f (n )＝a n (n ∈N ＋)．(1)求证：a n <1；(2){a n }是递增数列还是递减数列？为什么？审题视点 (1)分式分解；(2)作差：a n ＋1－a n 后判断．解析 (1)证明：a n ＝f (n )＝n 2n 2＋1＝n 2＋1－1n 2＋1＝1－1n 2＋1.∵n 2＋1>0，∴1n 2＋1>0，∴1－1n 2＋1<1. 即a n <1.(2)法一：a n ＋1－a n ＝n ＋2n ＋2＋1－n 2n 2＋1＝n ＋2n 2＋－n2n ＋2＋1]n 2＋n ＋2＋1]＝2n ＋1n 2＋n ＋2＋1]. ∵n ∈N ＋，∴上式>0，即a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . 故数列{a n }是递增数列．法二：由(1)知a n ＝1－1n 2＋1，易判断该函数是增函数， ∴{a n }是递增数列．(1)数列是一类特殊的函数，解题时注意函数与方程思想的应用，以及转化思想也是解题的常用方法．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图像等方法．(3)若求最大项a n ，则a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1a n ≥a n －1；若求最小项a n ，则a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.1．(2016·福州八中质检)已知数列{a 2n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2016＝________. 解析：∵a 1＝1， ∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1， a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的周期数列，∴a 2016＝a 2＝0. 答案：02．(2016·大连市高三检测)已知数列{}a n 是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a na n，若对任意的n ∈N ＋，都有b n ≥b 8成立，则实数a的取值范围为__________．解析：依题意得b n ＝1＋1a n ，对任意的n ∈N ＋，都有b n ≥b 8，即数列{}b n 的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{}a n 是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0a 9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7<0a ＋8>0，由此解得－8<a <－7，即实数a 的取值范围是(－8，－7)．答案：(－8，－7)由递推关系求通项公式[典例] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解题指南 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1S n ＝n ＋23a n 赋值求解．(2)利用累乘法求解．【解】 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.2分由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.4分(2)由题设知a 1＝1. 当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.8分于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.10分将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋2.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋2.12分【思维流程】逐步赋值，求a 2，a 3.作差、整理．累乘求a n .阅卷点评本题主要考查了利用赋值法求数列中的项，以及利用a n 与S n 的关系及累乘法求a n 等，要求考生有一定的分析问题和解决问题的能力，难度适中．失分警示 (1)做题不得法，没有掌握正确的推理方法，惊慌失措，欲速则不达． (2)思路不明，想不到用累乘法，致使无从下手．备考建议 (1)在复习备考中，应该掌握求通项公式最基本、最常用的规律和方法，如观察法、累加法、累乘法、构造新数列的方法等，并能在解题时熟练应用；(2)对有些求通项公式的题目，可能无法直接看出选择哪种方法求解，此时一方面要看题目中的提示信息(解答题中)，另一方面，也可以采用归纳—猜想—证明的方法．◆一个联系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．◆三种思路已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列； (3)逐项累加或累乘法．课时规范训练 [A 级基础演练]1．(2016·三亚模拟)在数列1,2，7，10，13，…中，219是这个数列的第________项．( ) A ．16 B ．24 C ．26D ．28解析：因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C. 答案：C2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析：根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C ，故选C. 答案：C3．(2016·保定高三调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( ) A ．2n－1 B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2n －2解析：由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n，∴a n ＝2n－1. 答案：A4．(2016·江南十校联考)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{}a n 的通项公式为__________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥25．(2016·云南文山检测)设S n 是数列{a n }的前n 项和，如果S n ＝3a n －2，那么数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3a 1－2，解得a 1＝1.当n ≥2时，S n ＝3a n －2，S n －1＝3a n －1－2，两式相减得a n ＝3a n －3a n －1，故a n a n －1＝32，数列{a n }为首项为1，公比为32的等比数列，其通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －16．(2016·山东日照模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________. 解析：因为(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0，所以(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. 又a n ＋1＋a n >0，所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a na n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，所以a n ＝1n.答案：1n7．(2016·汉中调研)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N ＋，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N ＋，a ∈R ，且a ≠0)，a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性．可知1>a 1>a 2>a 3>a 4；a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N ＋)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋n －＝1＋12n －2－a 2.∵对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，并结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，∴5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n n ，23n ＝(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<0，即c n ＋1<c n ，∴{c n }是递减数列．[B 级能力突破]1．(2016·长春质量检测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1B.2n n ＋C.6n ＋n ＋D.5－2n 3解析：由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，∴(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n n ＋，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n n ＋，故选B.答案：B2．(2016·东北三校联考)已知数列{a n }满足：a n ＝13n 3－54n 2＋3＋m ，若数列的最小项为1，则m 的值为( )A.14 B.13 C ．－14D ．－13解析：令f (x )＝13x 3－54x 2＋3＋m ，x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝x 2－52x ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞时，f ′(x )>0，故x ＝52为函数f (x )的极小值点，也是最小值点．由于n ∈N ＋，且a 2＝23＋m ，a 3＝34＋m ，故a 2<a 3，即a 2为数列{a n }的最小项，故23＋m ＝1，解得m＝13，故选B.答案：B3．(2016·南昌一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n －a n －1|＝13n (n ∈N ，n ≥2)，且{a 2n －1}是递减数列，{a 2n }是递增数列，则12a 10＝( )A ．6－1310 B ．6－139C ．11－1310D ．11－139解析：由于{a 2n －1}是递减数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1<0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)<0 ①.因为132n ＋1<132n ，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1| ②.由①②知a 2n －a 2n －1<0.因为{a 2n }是递增数列，所以a 2n ＋2－a 2n >0，a 2n ＋2－a 2n ＋1＋a 2n ＋1－a 2n >0，|a 2n ＋2－a 2n ＋1|<|a 2n ＋1－a 2n |，所以a 2n ＋1－a 2n >0，所以a 10＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 10－a 9)＝1－132＋133－…－1310＝1＋－132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1391＋13＝112×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－139，故12a 10＝11－139，∴选D.答案：D4．函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N ＋.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________ 解析：函数y ＝x 2(x >0)在点(a 1，a 21)处(a 1＝16)即点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0，得a 2＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(a 2，a 22)处(a 2＝8)即点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)．令y ＝0，得a 3＝4，依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：215．(2016·大连模拟)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n －a n －1＝2(n －1)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(2n －2)＋(2n －4)＋…＋2＋33＝n 2－n ＋33(n ≥2)，又a 1＝33适合上式，∴a n ＝n 2－n ＋33，∴a n n＝n ＋33n－1.令f (x )＝x ＋33x －1(x ＞0)，则f ′(x )＝1－33x2，令f ′(x )＝0得x ＝33.∴当0＜x ＜33时，f ′(x )＜0，当x ＞33时，f ′(x )＞0，即f (x )在区间(0，33)上递减；在区间(33，＋∞)上递增．又5＜33＜6，且f (5)＝5＋335－1＝535，f (6)＝6＋336－1＝212，∴f (5)＞f (6)，∴当n ＝6时，a n n 有最小值212.答案：2126．(2015·高考课标卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝__________. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.答案：－1n7．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a >0，x ∈R )，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N ＋)，定义所有满足c m ·c m ＋1<0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，∴a ＝0或a ＝4. 又由a >0得a ＝4， ∴f (x )＝x 2－4x ＋4. ∴S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝，2n －n(2)由题设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3 n ＝，1－42n －5 n由1－42n －5＝2n －92n －5可知，当n ≥5时，恒有a n >0. 又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，即c 1·c 2<0，c 2·c 3<0，c 4·c 5<0， ∴数列{c n }的变号数为3.第2课时等差数列及其前n 项和1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋)．2．等差数列的有关公式数列{a n }是等差数列，公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n n －2d ＝n a 1＋a n2.3.(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)已知等差数列中任意两项a m 、a n ，则d ＝a m －a nm －n. (3)等差数列的单调性设d 为等差数列{a n }的公差，则当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列． (4)①若数列{a n }成等差数列，则{pa n ＋q }(p ，q 为常数)也成等差数列； ②若数列{a n }成等差数列，则{a pn ＋q }(p ，q ∈N ＋)也成等差数列； ③若数列{a n }和{b n }成等差数列，则{a n ±b n }也成等差数列；④等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等差数列． [基础自测]1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：∵d ＝a 3－a 2＝2，∴a 10＝a 2＋(10－2)d ＝2＋8×2＝18. 答案：D2．(教材改编题)已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：∵2a 5＝a 2＋a 8＝12，∴a 5＝6. 答案：C3．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33D ．34解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝a 1＋5d ＝2S 5＝5a 1＋5×42d ＝30解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263d ＝－43∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×263－28×43＝32.答案：B4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.解析：由题意知6⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －5⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝15a 1＋45d ＝15(a 1＋3d )＝15a 4＝5，故a 4＝13. 答案：135．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项的和S 10＝________.解析：根据⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，故a 10＝a 1＋9d ＝1＋9×2＝19. ∴S 10＝a 1＋a 102＝＋2＝100.答案：100考点一等差数列的判定或证明[例1] 若数列{a n }满足：a 1＝23，a 2＝2,3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2.(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等差数列；(2)求使1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＞52成立的最小的正整数n .审题视点由题设条件构造(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)的值，并累加求和．解 (1)证明：由3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2可得a n ＋1－2a n ＋a n －1＝23，即(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝23，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝43为首项，23为公差的等差数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝43＋23(n －1)＝23(n ＋1)，于是累加求和得：a n ＝a 1＋23(2＋3＋…＋n )＝13n (n ＋1)，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝3⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＞52， ∴n ＞5，n 的最小值为6.等差数列的判断方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N ＋)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．1．(2016·河南内黄月考)已知函数y ＝f (x )对任意的实数x 都有1fx ＋＝1f x ＋＋1，且f (1)＝1，则f (2 016)＝( )A.12 015 B.12 016C ．2 014D ．2 015解析：由已知可得1fx ＋－1fx ＋＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fx为等差数列，又1f ＝1，d ＝1，则1f x＝x ，即1f＝2 016，故f (2 016)＝12 016. 答案：B2．设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d ，若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．依题意有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－na 1a n ＋1. 在上式两端同乘以a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )．即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以{a n }是等差数列．考点二等差数列基本量的计算[例2] (1)等差数列{a n }的前7项和等于前2项和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. (2)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11审题视点在等差数列{a n }的a n ，S n ，a 1，d ，n 的五个量中，知其三，求其二．解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得7×1＋7×62d ＝2＋d ，解得d ＝－14，则a k ＋a 4＝2＋(k ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝0，由此解得k ＝6. (2)由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10，选择C. 答案 (1)6 (2)C①此类问题的通法是把条件转化为a 1与d 的方程(组)，进而可求其它问题． ②结合性质求解，可简化计算．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.192 C ．10D ．12解析：∵等差数列的公差为1， ∴S 8＝8a 1＋－2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B.答案：B2．(2015·高考陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5.答案：5考点三等差数列的性质及应用[例3] (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 015(a 4－1)＝1，(a 2 012－1)3＋2 015(a 2 012－1)＝－1，则下列结论中正确的是( )A ．S 2 015＝2 015，a 2 012＜a 4B ．S 2 015＝2 015，a 2 012＞a 4C ．S 2 015＝2 014，a 2 012≤a 4D ．S 2 015＝2 014，a 2 012≥a 4(2)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( ) A ．18 B ．19 C ．20 D.21审题视点 (1)S 2 015＝a 1＋a 2 0152＝a 4＋a 2 0122.(2)求S n 为n 的二次函数，求最值．解析 (1)设f (x )＝x 3＋2 015x ，显然f (x )为奇函数和增函数，由已知得f (a 4－1)＝－f (a 2 012－1)，所以f (a 4－1)＝f (－a 2 012＋1)，a 4－1＝－a 2 012＋1，a 4＋a 2 012＝2，S 2 015＝a 1＋a 2 0152＝2 015，显然1＞－1，即f (a 4－1)＞f (a 2 012－1)，又f (x )为增函数，故a 4－1＞a 2 012－1，即a 4＞a 2 012.(2)a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.答案 (1)A (2)C(1)本题的解题关键是将性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 与前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．(2)等差数列的最值的处理方法：①利用S n ＝an 2＋bn 转化为二次函数最值时要注意n 的取值． ②若{a n }是等差数列，求其前n 项和的最值时，(ⅰ)若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1＜0，前n 项和S n 最大．(ⅱ)若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1＞0，前n 项和S n 最小．1．(2015·高考课标卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：法一：因为{a n }是等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，即a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1， ∴S 5＝a 1＋a 52＝5a 3＝5，故选A.法二：设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ， ∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3， ∴a 1＋2d ＝1，∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A.答案：A2．(2015·高考广东卷)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 解析：因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，所以5a 5＝25，即a 5＝5.所以a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案：10整体思想在数列解题中的应用[典例] 在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176解题指南在等差数列中若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n 进而得到a 1＋a 11＝a 4＋a 8，再用等差数列的前n 项和公式计算即可．解析由于{a n }为等差数列，所以a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，∴S 11＝a 1＋a 112＝a 4＋a 82＝16×112＝88.故选B.答案 B阅卷点评本题应用了等差数列的性质，实质是把a 4＋a 8看作了一个整体进行应用，避免了复杂的求a 1和d 的过程，解起来很方便，整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这要求学生要熟练掌握公式，理解其结构特征．失分警示本题的易错点是，不能正确运用整体思想的运算方法，不能建立数量间的关系，导致错误．备考建议 (1)熟练掌握等差数列各项性质，悉心研究每条性质的使用条件及其应用方法； (2)要认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．◆两种方法等差数列的证明方法：(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. ◆两个整体设S 奇、S 偶分别是等差数列{a n }中所有奇数项的和与所有偶数项的和．则 (1)当数列项数为偶数2n 时，有S 偶－S 奇＝nd ； (2)当数列项数为奇数2n ＋1时，有S 偶＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，S 奇＝n ＋a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 奇－S 偶＝a n ＋1，S 奇S 偶＝n ＋1n.课时规范训练 [A 级基础演练]1．(2014·高考福建卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14解析：由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.答案：C2．(2016·石家庄质检)已知等差数列{}a n 满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10. 答案：C3．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0D ．a 1d >0解析：把2a 1a n 看成一个整体b n ，利用递减数列的关系式b n >b n ＋1求解．设b n ＝2a 1a n ，即b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋1.∵y ＝2x是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.答案：C4．(2016·保定调研)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 7＝__________. 解析：设数列{}a n 的公差为d ，则由已知得(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝13 ①，S 7＝a 1＋a 1＋6d2＝35 ②.联立①②，解方程组得a 1＝2，d ＝1， ∴a 7＝a 1＋6d ＝8. 答案：85．(2016·日照模拟)等差数列{a n }的前m 项和为30，前3m 项和为90，则它的前2m 项和为________．解析：法一：由S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，可得2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，即S 2m ＝3S m ＋S 3m 3＝3×30＋903＝60.法二：由S n ＝na 1＋n n －2d ，得S n n ＝a 1＋(n －1)×d2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以a 1为首项，d2为公差的等差数列，从而S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m成等差数列，所以S m m ＋S 3m 3m ＝2×S 2m 2m ，所以S 2m ＝S 3m3＋S m ＝30＋30＝60. 答案：606．(2014·高考北京卷)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．解析：∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0. ∴数列的前8项和最大，即n ＝8. 答案：87．设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．解：(1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4，即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3，由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2. (2)证明：法一：对任意k ∈N ＋，S k ＋2＋S k ＋1－2S k＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k ) ＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1 ＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2)＝0，所以，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．法二：对任意k ∈N ＋，2S k ＝2a 1－q k1－q ， S k ＋2＋S k ＋1＝a 1－q k ＋21－q＋a 1－q k ＋11－q＝a 1－q k ＋2－q k ＋11－q，2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 1－q k1－q－a 1－q k ＋2－q k ＋11－q＝a 11－q[2(1－q k)－(2－qk ＋2－q k ＋1)]＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0，因此，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．8．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解：(1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *)． (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.[B 级能力突破]1．(2016·济南一模)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 016，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 016的值等于( )A ．－2 014B ．－2 015C ．－2 013D ．－2 016解析：∵S 1212－S 1010＝2，∴a 1＋a 12212－a 1＋a 10210＝2，故a 12－a 10＝4，∴2d ＝4，d ＝2.∴S 2 016＝2 016a 1＋－2＝－2 016.答案：D2．(2016·山西四校联考)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 8>0且S 9<0，则当S n 最大时n 的值是( ) A ．8 B ．4 C ．5 D ．3解析：a 1＋a 82＝a 4＋a 52>0，a 1＋a 92＝2a 52<0，所以a 4>0，a 5<0，即数列的前4项都是正数，所以选B.答案：B3．(2016·佳木斯模拟)若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1<0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24D ．23解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，由a n ＝－23n ＋473>0得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23.答案：D4．(2016·广州模拟)已知数列{a n }是等差数列，若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77，且a k ＝13，则k ＝________. 解析：∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7，∴a 7＝173，∵a 4＋…＋a 14＝11a 9，∴a 9＝7，d ＝23，a k －a 9＝(k －9)d,13－7＝(k －9)×23，k ＝18.答案：185．(2016·河南郑州模拟)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，所以a 6b 6＝1941.答案：19416．(2016·江苏无锡一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析：由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，所以数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.答案：2117．(2014·高考大纲全国卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1－3n－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n－3n.第3课时等比数列及其前n 项和1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的相关概念及公式(1)等比数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<00<q <1时，{a n }是递增数列；满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>00<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0q >1时，{a n }是递减数列．(2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． (3)对任意正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .特别地，若m ＋n ＝2p ，则a 2p ＝a m ·a n . [基础自测]1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：∵q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.答案：D2．在等比数列{a n }中，a 5＝3，则a 3·a 7等于( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．18解析：a 3·a 7＝a 25＝9. 答案：C3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11解析：由8a 2＋a 5＝0得a 1q (8＋q 3)＝0即q 3＝－8，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝1－q 51－q 2＝－11.答案：A4．(教材改编题)设{a n }是等比数列，a 1＝2，a 8＝256，则a 2＋a 3等于________．解析：∵a 8＝a 1q 7，∴q 7＝128，∴q ＝2，∴a 2＋a 3＝a 1q ＋a 1q 2＝4＋8＝12. 答案：125．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则S n 等于________．解析：∵a n ＋1＝2a n 即a n ＋1a n ＝2(n ∈N ＋)，∴{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列．∴S n ＝1－2n1－2＝2n－1.答案：2n－1考点一等比数列的判定及证明[例1] 已知数列{a n }中，a 1＝23，a 2＝89.当n ≥2时，3a n ＋1＝4a n －a n －1(n ∈N ＋)．(1)证明：{a n ＋1－a n }为等比数列； (2)求数列{a n }的通项．审题视点构造a n ＋1－a n 与a n －a n －1的关系用累加法求a n . 解 (1)证明：数列{a n }中a 1＝23，a 2＝89，当n ≥2时，3a n ＋1＝4a n －a n －1(n ∈N ＋)． ∴当n ≥2时，3a n ＋1－3a n ＝a n －a n －1，即a n ＋1－a n ＝13(a n －a n －1)．∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝29为首项，以13为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，。

2017高考数学一轮复习 解答题增分专项3 高考中的数列课件 理 北师大版

北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第6章 数列 高考解答题专项三 数列

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