高一数学向量的加法

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6.2.1向量的加法运算-高一数学(人教A版必修第二册)之第六章平面向量

起
D
C 则 AC a b
点
作平移,共起点,四边形,对角线
B
C
b
b
b
b
b
O
a
a
a
a
作法：(1)在平面内任取一点O，作
A
= a, =b OOAB
(2) 以OA，OB为邻边做平行四边行OACB
OC
(3)则 = a + b .
这叫做向量加法的平行四边形法则
起点相同，连对角
力的合成可以看作向量加法平行四边行法则的物理模型
b
有 ab a b
CA
B
因___此___，__我___们___有_____a. b a b a b
课堂练习（一）１.如图,已知a、b，用向量加法的三角形法则作出a+b．
(1)
a+b
b
(2)
b
a
a
AaB b
a+b
C
(３) a
(4) a
b C
Bb a a+b A
b
ba B
C
a
+
A b
课堂练习
根据相等向量的定义得：
D
DC a, BC b AC AB BC a b
AC AD DC b a
a b b a
b
a
A
a+b
C
a
b
B
结合律：(a b) c a (b c)
b
A
B
a
c
O
C
例如：
(a b) (c d) (b d) (a c) a b c d e [d (a c) (b e)]
２.如图,已知a、b，用向量加法的平行四边形法则作出a+b．

【课件】向量的加法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

E
C
B
c
b
D
a＋b
O
乙
法二：平行四边形法则
a
A
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
多维探究
变式1 在本例(1)条件下，求＋.
1 2 ＋2 3 ＋3 4 ＋…＋−1
= 1
[例1]
(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F
为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么
(在横线上只填一个向量)：

①＋＝________；
＋＝＋＝

②＋＝________；
(3)向量加法的运算律有哪两条？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
课前小测
1．下列各式不一定成立的是( D )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
2. ＋＋等于(
A.
C)
B.
C.
D.
(1) ＋；
＋=
(2) ＋；
= = =
＋ =+ =
本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是
统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点
时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照
行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．

高一数学向量加法

指向被减数
例2平行四边形 ABCD中AB a，AD b 用 a, b 表示向量 AC 、DB 。
变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂直？
变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |ab| ？
.
.
.
.
.
.
.；知识产权律师知源自产权律师3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a-b ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
作 OA = a, OB = b, 则 BA = a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。
注意：1 AB 表示a b。强调：差向量“箭头”
2．向量加法的交换律：a+b=b+a 3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
ba
bca
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。例1如图，一艘船从A点出发以2km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 3km/ h ，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).

高一数学向量的加减法

B
A
. O
. N
2, 填空
AB - AD = DB BA - BC = CA
BC - BA =
OD - OA =
AC
AD
BA
OA - OB =
(3)填空
(1) (2) (3) AB - AC - CB = 0
AB + BC - AD
AB + BC - DC AB - AC + BC
=
= =
DC
AD
先复习向量的加法
b
a
a 三角形法则
-----首尾相接首到尾
平行四边形法则
----相同起点对角线
同学们学习了向量的加法，接下来我们要学习
向量的减法
c
b
如图:
a+b= c
c-a = b
移项得:
a
c a b
这么说来，向量c与向量a进行了减法运算，得到向量b。像这样求两个向量的差的运算叫做向量的减法。那么向量的减法有什么规律呢？
(4)
0
课堂小结:
(1)向量减法的概念.
(2)向量减法可以看作一个向量加上另一个向量的相反向量. (3)a-b 几何作法:平移同起点,方向指向被减数a 。 a a-b
o
b
作业: (1)课本105页第6 题
(2)同步做练习册
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一串地响了起来在这些不协调的声音中，其狐朋狗友们起身准备离开了。围堵在酒店门口的人们看到他们要走了，只给他们让开了一条不够一人通过的小缝隙，他们只好一个接一个地侧着身子灰溜溜地挤出去走掉了。随后，那两桌衣着阔绰的外地大商人也站起来准备走了。临走时，他们还都没有忘了对站在前台的耿正兄妹三人或拱拱手，或点点头。那些围堵在酒店门口的人看到他们出来，就让开了更大一些的缝隙。他们也走了。90第五十二回献艺期将满遇难坎儿|（酒店老板虽仁义，卑劣小人现丑行；兄妹献艺期将满，到底还是遇难坎儿。）耿家兄妹仨与“盛元酒店”老板签署的三月期献艺契约眼见着就要到期了。老板提出来增加薪金续签，但耿正婉言谢绝了。他真诚地对老板说：“非常感谢您的知遇之恩！不过，我们做完上次签的契约，就已经攒够做小生意的本钱了。在贵酒店献艺固然不错，但我们更愿意改做生意！”这位老板人本不错，见耿正如此说，只能深表惋惜，别的也就不再说什么了。但实践已经证明，这种拉奏演艺说唱班形式的艺人组合是非常有特色，也很吸引人的。为了确保酒店能够继续沿用这种组合形式的艺人班子，老板就在酒店门口张贴出一张另招募一组这种艺人组合的启示。不成想，就是这个再平常不过的小小启示，却引来了一场天大的麻烦！说起来，出麻烦的那天距离契约期满只差一天了。那天的晚饭当口，耿正兄妹三人像往常一样有条不紊地在演唱台上拉奏演唱着。但很快，情况就有些不对劲了：坐在台前主桌上的一个阔佬明显有意刁难，一个接一个地点一些先前不曾演唱过的怪异节目，和他同桌吃饭的几个食客也帮着起哄，搞得整个大厅内的气氛骤然紧张起来。献艺三个月来，耿家兄妹仨第一次遭遇到了如此难以应付的尴尬场面。酒店的伙计们原本知道这个姓吴的阔佬仗着自己很有钱，经常做一些为富不仁蛮不讲理的事情。和他同桌吃饭的几个食客都是他的狐朋狗友，全都不是地道人儿。此时，看到形势不对劲儿了，领班的伙计头儿赶快吩咐一个机灵的小伙计去后面告知老板。听了小伙计的述说，老板一点儿不敢怠慢，赶快整整衣冠来到前台，举止谦恭地去见那姓吴的阔佬。只见他人还没有走到那张饭桌前，就已经开始拱手施礼了，并且以热情的笑脸连声说：“在下不知吴大员外光临，有失远迎啊，恕罪，恕罪！您也看到了，这三兄妹还年幼呢，他们技艺不精，会演唱的曲目有限，还请大员外多多光照啊，不要难为他们！”但这蛮横的阔佬根本就不买这个账，反而傲慢地斜眼儿瞧着谦恭的酒店老板，皮笑肉不笑地嘿嘿两声以后，这才阴阳怪气地说：“老板啊，你这个演唱班不错嘛，在咱们这个小小的景德镇上还算有些名气呢！我嘛，实不相瞒，最近已经慕名来过你

【课件】向量的加法运算向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

第六章平面向量及其应用
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式：（1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ，作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线上的向量 AC a b .如图.

平面向量加减法口诀

向量的加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指向末向量。

以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的和向量。

二、向量的减法两向量做减法运算，图像如下图所示：向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。

以第一个向量的终点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的差向量。

向量的学习是高一数学必修四第二章的内容，要求同学们会向量的基本运算，其中就包括加法、减法、数乘。

要求大家能根据运算法则解决基本的向量运算，学会运用图像解决向量加减法，向量的数乘等问题。

向量的相关题目难度也不是很大，只要大家认真学习，认真做好笔记，认真做做题目，总结做题规律，那么当我们遇到类似题目时就会似曾相识，做起来也很顺手，再细心点的话，得满分也没有问题。

学习方法很多，重要的事找到适合自己的方法，当然适合自己方法就是最好的方法。

附一；三角形定则解决向量加减的方法将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

注:两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同;差向量的终点指向被减向量的终点。

平行四边形定则解决向量加法的方法实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ 3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.4、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.。

高一数学-6.2.1-2向量加减法运算及其几何意义

B
a b BA
B OA
一般地 a
O A
b
b
三、几何意义
ab
B
a b 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a 的终点的向量
注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。
练习：
(1) AB AD DB (2) BA BC CA
(3) BC BA AC (4) OD OA AD (5) OA OB AB (6) AO BO AB
(2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)
0 ＝(A→C＋B→A)－(O→C－O→B)＝B→C－B→C＝0.
例4 在 ABCD 中， AB a, AD b,
D
C
你能用 a, b表示 AC, DB 吗？ b
AC a b DB a b
A
aB
变式一本例中当 a,满b足什么条件时，
2 怎样表示向量？
用有向线段表示向量 A
B 记作 AB
有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向
3 什么是相等向量？
大小相等且方向相同的向量叫做相等向量
同向且等长的有向线段表示相等的向量
高一数学
引入
问题：
向量具有大小和方向两个要素，两个向量相加是不是等于它们的大小相加？
向量的加法怎么定义？
二、向量的减法：a b a (b)
高一数学
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a (b) 吗？
设 AB b, AC a
B ab
AE a (b) a b
又 b BC a 所以 BC a b
bAa
C
ab
b
D
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？

高一必修一向量知识点总结

高一必修一向量知识点总结一、向量的定义向量是具有大小和方向的物理量，通常用有向线段来表示。

向量的大小叫做模，用|a|表示，向量的方向是一个单位向量所指的方向。

在笛卡尔坐标系中，一个向量可以用它在坐标系中的投影来表示，也可以用坐标表示。

一个二维向量可以表示成 (x, y)，一个三维向量可以表示成 (x, y, z)。

二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。

如果有两个向量 a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2)，那么 a + b= (x1 + x2, y1 + y2)。

2. 向量的减法向量的减法可以看作向量的加法的逆运算。

如果有两个向量 a 和 b，那么 a - b = a + (-b)。

3. 向量的数量积（点积）向量的数量积等于两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。

如果有两个向量 a 和b，它们的数量积表示为a·b = |a| * |b| * cosθ。

其中θ 表示 a 和 b 之间的夹角。

4. 向量的数量积的几何意义向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角或者一个向量在另一个向量上的投影。

如果向量 a 在向量 b 上的投影是 p，那么a·b = |a| * |b| * cosθ = |b| * p。

5. 向量的数量积的性质- 数量积满足交换律：a·b = b·a。

- 数量积满足分配律：a·(b + c) = a·b + a·c。

- 与数量积的夹角θ有关：当θ = 0 时，a与b同向，a·b = |a| * |b|；当θ = π 时，a与b反向，a·b = -|a| * |b|。

6. 向量的向量积（叉积）向量的向量积等于两个向量的模的乘积再乘以它们的夹角的正弦值，并且方向符合右手定则。

如果有两个向量 a 和 b，它们的向量积表示为a×b = |a| * |b| * sinθ * n。

高一数学向量公式大全

高一数学向量公式大全一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。

向量的加法满足交换律和结合律。

1. 两向量相加的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的和向量c为：c=a+b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量b的终点所在的点。

2. 向量的加法满足交换律和结合律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。

向量的减法也满足交换律和结合律。

1. 两向量相减的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P 和点Q，则向量a和向量b的差向量c为：c=a-b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量-b的终点所在的点。

2. 向量的减法满足交换律和结合律：交换律：a-b=-(b-a)结合律：(a-b)+c=a-(b-c)三、数量积数量积又称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量。

数量积的结果是一个标量（即实数），数量积满足交换律和分配律。

1. 两向量的数量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的数量积为：a·b=|a|·|b|·cosθ。

其中，|a|和|b|分别为向量a和向量b的模，θ为向量a和向量b的夹角。

2. 数量积满足交换律和分配律：交换律：a·b=b·a分配律：(k·a)·b=k·(a·b)四、向量积向量积又称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量。

向量积的结果是一个垂直于原来的两个向量的向量，其大小等于原来两个向量围成的平行四边形的面积。

向量积满足反交换律和分配律。

1. 两向量的向量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的向量积为：a×b=|a|·|b|·sinθ·n。

向量加法实际应用课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

解：(1)如图所示，作―O→A ＝a，―A→B ＝b，则 a＋b＝―O→A ＋―A→B ＝―O→B ，所以|a＋b|＝|―O→B |＝6 2 km . (2)因为|a|＝|b|，所以∠AOB＝45°，所以 a＋b 的方向是东北方向．
解析：根据题意得，由于向量 a 表示向东航行 3 km，向量 b 表示向南航行 3 km，那么可知 a＋b 表示“向东南航行 3 2 km”．
答案：向东南航行 3 2 km
3.一架直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地,再由 B地沿正北方向飞行40 km到达C地,求此时直升飞机与A地的相对位置.
【解】作出图形，如图．设船速 v 船与岸的方向成 α 角，由图可知 v 水＋v
船＝v 实际，结合已知条件可知，四边形 ABCD 为平行四边形，
在 Rt△ACD 中，|C→D |＝|A→B |＝|v 水|＝10 m/min，
→ |AD
→ |＝|v 船|＝20 m/min，所以 cos α＝|C→D|
|AD|
＝1200
＝12
，
所以 α＝60°，从而船与水流方向成 120°的角．
故船行进的方向是与水流的方向成 120°的角的方向．
变式练习： 1．(变设问)若本例条件不变，求经过 3 小时，该船的实际航程是多少千米？
解：由本例解图可知|A→C
|＝
3 2
→ |AD
|＝
3 2
×20
＝10
3
(m/min)＝3
检测
1．正方形 ABCD 的边长为 2，则|―A→B ＋―A→D |＝
A．1
B． 2
C．3
D．2 2
()
解析：在正方形 ABCD 中，AB＝2，易知 AC＝2 2，所以|―A→B ＋―A→D |＝|―A→C |＝AC ＝2 2.

向量的加法运算课件-高一下学期数学人教A版2

(2)D→B＋A→C＋B→D＋C→A；解 D→B＋A→C＋B→D＋C→A＝(D→B＋B→D)＋(A→C＋C→A)＝0＋0＝0.
(3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A. 解 A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A＝A→C ＋C→D＋D→F＋F→A＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
反思感悟
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
表示
用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.
运算
应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题.
还原
根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.
跟踪训练3 如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
解 (1)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(1). (2)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(2). (3)作O→A＝a，A→B＝b，则O→B＝a＋b，如图(3).
3
共线向量的加法与向量加法的运算律
问题二
如果向量a，b共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能做出向量a＋b吗？
解方法一可先作a＋c，再作(a＋c) ＋b，即a＋b＋c.如图：
C
O
B
A
例2 如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
解方法二三个向量不共线，用平行四边形法则来作Biblioteka 如图：DEB
O
C
A
反思感悟

向量运算与相加减

向量运算与相加减向量运算是线性代数中的基本操作之一，它包括向量的加法和减法。

在实际应用中，向量运算广泛用于解决各种问题，比如力学、电磁学、计算机图形学等领域。

本文将对向量运算的原理、方法和应用进行详细介绍。

一、向量的表示和性质在数学中，向量可以用坐标表示，比如二维平面中的向量可以表示为(x, y)，三维空间中的向量可以表示为(x, y, z)。

向量的性质包括长度、方向和起点等，其中长度表示向量的大小，方向表示向量的指向，起点表示向量的起点位置。

二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

它的原理是将两个向量的相应分量进行相加。

例如，对于二维向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，其相加结果为C(x1+x2, y1+y2)。

同理，对于三维向量和更高维度的向量，也可以按照相应分量进行相加。

向量的加法具有以下性质：1. 交换律：A + B = B + A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 零向量：对于任意向量A，有 A + 0 = A三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

它的原理是将两个向量的相应分量进行相减。

例如，对于二维向量A(x1,y1)和B(x2, y2)，其相减结果为C(x1-x2, y1-y2)。

同理，对于三维向量和更高维度的向量，也可以按照相应分量进行相减。

向量的减法具有以下性质：1. 减法的定义：A - B = A + (-B)，其中-A表示向量B的方向相反、大小相同的向量。

2. A - A = 0，即一个向量减去自身等于零向量。

四、向量相加减的应用1. 平面几何：向量相加减可以用于计算平面上的点的移动和变换，如平移、旋转等操作。

2. 物理学：力可以用向量表示，向量相加减可以用于求解多个力的合力、分解力的分力等问题。

3. 计算机图形学：向量相加减可以用于计算机图形学中的坐标变换、曲线的绘制等操作。

4. 电磁学：电场和磁场可以用向量表示，向量相加减可以用于计算电场和磁场的叠加效应。

高一数学人教B版必修4课件：2-1-2 向量的加法

→ |＝60，在△ADC 中，∠ADC＝90° ，|DC → |＝ |AD―→|2＋|DC―→|2 所以|AC ＝ (20 3)2＋602＝40 3(n mile)． → |＝2|AD → |，所以∠CAD＝60° 因为|AC .
答：轮船此时位于 A 港东偏北 60° ，且距 A 港 40 3n mile 的 C 处．
• (3)对于向量求和的三角形法则与平行四边
形法则，要注意它们的应用条件．当两个向量不共线时，它们是一致的．但当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则就不适用了．向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义． • (4)向量加法适合交换律和结合律，这两个运算律可以推广到多个向量的加法运算．
)
→ A.BC → C.AB
→ B.DA → D.AC
[解析]
→ ＝AB → ，∴DC → ＋BA → ＝0，故选 A. ∵DC
• [答案] A
→ ＋BC → 等于( 3．若 C 是线段 AB 的中点，则AC → A.AB C．0 → B.BA D．以上均不正确
)
• [答案] C
→ 与BC → 模相等而方向相反，因此AC → ＋BC → ＝0. [解析] AC
• [例3] 轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了
→ → 分别表示轮船的两次位移， → [解析 ] 如图， AB 、 BC 则AC 40n mile( 海里 )到达 B处，再由B处沿正北方向行驶40n mile 到达处．求此时轮船关于 A → →C →. 表示轮船的和位移， AC ＝AB ＋ BC 港的相对位置． → |＝40，在△ADB 中，∠ADB＝90° ，∠DAB＝30° ，|AB → |＝20，|AD → |＝20 3. 所以|DB

【人教A版】向量的加法运算(数学)

答案uuu：r ①uuur uuur u②uur uuur
①AB DF＝AB BC＝AC. uuur uur uuur uuur uuur
②AD FC＝AD DB＝AB.
uuur
uuur
AC
AB
2.①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1； ②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确，即③正确. 答案：①③
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2 DB CD BC＝BC CD DB＝ BC CD DB＝BD DB＝0.
【加练·固】
在平行四边形ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O，
则
①
【类题·通】利用向量解决几何问题的方法用向量法证明几何问题的关键是把几何中的线段转化为向量，通过向量的运算得到结论，然后把向量问题还原为几何问题.
(1)a+0=a. ( )
uuur uuur uuur
(2) AB BA＝2AB.
()
uuur uuur uuur uuur
(3) AB BD DC AC. (
)
(4)a+(b+c)=c+(a+b). ( )
提示：(1)×.两个向量的和仍然是一个向量，所以 a+0=a.
uuur uuur
【发散·拓】向量求和的多边形法则 (1)已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这
uuuuur uuuuur uuuuur
称u为uuu向uuu量uur求u和uuu的uuu多r 边uuu形uur法则.即 A0A1 A1A2 A2A3

高一数学下学期向量的加法课件

BC 2 3
2 2
AC
AB BC 2 2 3 4
2 2
B 2 3 tan CAB 3 CAB 60 2 答：船实际航行速度为 4km/h ，方向与流速间的夹角为 60 ．
A
5.2 向量的加法
练习（1）一架飞机向西飞行100 km 然后改变方向向南飞行100 km , 则飞机两次位移的和为向西南方向飞行 100来自2 km ．A a b b
a +b
a
B b
C
o
a
5.2 向量的加法
向量的运算律：交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 验证： D 若向量a与b是不共线向量，将向量 a与b的起点平移到同一 a+b+c 对角线 OB 是两向量和．点O，作平行四边形OABC ． c C b+c 三角形法则平行四边形法则 a+b b a A C a+b C a a+b O b B b B b a A a A B
5.2 向量的加法
C a+b a
b
a
a+b
b
B 不共线向量
同向共线
C
a+b
b A A 异向共线
a B
C
5.2 向量的加法
|a+b |与|a|+|b|的大小
1、当向量a与向量b不共线时，a+b的方向与a，b都不同
向，且|a+b|<|a|+|b|．
2、当a与b同向时，则a+b ，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|

9.2.1 向量的加减法-高一数学(苏教版2019必修第二册)(解析版)

9.2.1 向量的加减法知识点一、向量加法运算1.向量加法：已知向量和，如图所示，在平面内任取一点O，作，则向量就是向量与的和，即.这种通过几何作图构造三角形计算向量加法也叫做向量加法的三角形法则.规定：.2.向量加法的平行四边形法则如图所示，以点A为起点分别作向量，以AB、AD为邻边作，则以A 为起点的对角线表示的向量就是与的和，记作.3.向量求和的多边形法则已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，即.特别地，当与重合时，即形成一个封闭的多边形，此时有.4.向量加法的运算律（1）交换律：；（2）结合律：.5.向量的三角不等式（1）当不共线时，；（2）当同向且共线时，有；（3）当反向且共线时，若，则与；若，则与同向，.例：如图，正方形ABCD 的边长为1，则|AB →+BC →+CD →+DA →+AC →+BD →|＝（）A ．0B ．√2C ．2D ．2√2【分析】先化简可得|AB →+BC →+CD →+DA →+AC →+BD →|=|AC →+BD →|，再将|AC →+BD →|平方后计算即可得解．【解答】解：|AB →+BC →+CD →+DA →+AC →+BD →|=|AC →+BD →|， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC →⊥BD →，即AC →⋅BD →=0，由正方形的性质可知，对角线|AC|=|BD|=√1+1=√2， ∴|AC →+BD →|2=AC →2+2AC →⋅BD →+BD →2=2+2=4， ∴|AC →+BD →|=2．故选：C ．【点评】本题考查平面向量的加法，模长的计算，同时还涉及了两向量垂直的性质，属于基础题．知识点二、向量减法1. 相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作－. （1）零向量的相反向量仍是零向量；（2）若互为相反向量，则有.2. 向量减法：若，则向量就叫做与的差，记作.两个向量的差仍是一个向量.3. 对向量减法的理解（1）两个向量的与的差可以理解为与的相反向量的和，即；（2）已知向量与，如图所示，在平面内任取一点O ，作，则.方法：把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量.（共起点，连终点，指向被减）. 例：化简AC →−AB →=（） A ．BC →B ．CA →C ．CB →D ．0→【分析】根据向量减法的几何意义即可得出AC →−AB →=BC →．【解答】解：AC →−AB →=BC →．故选：A ．【点评】考查向量减法的几何意义．巩固练习一．选择题（共7小题）1．在△ABC 中，点D 为AC 的中点，点E 在线段BC 上，且BC ＝3BE ，则DE →=（） A ．56AC →+23AB →B ．−16AC →+23AB →C ．56AC →+AB →D ．−56AC →+43AB →【分析】直接根据向量的线性运算以及三角形法则求解即可．【解答】解：如图：∵△ABC 中，点D 为AC 的中点，点E 在线段BC 上，且BC ＝3BE ，则DE →=DA →+AE →=−12AC →+AB →+BE →=−12AC →+AB →+13BC →=−12AC →+AB →+13（AC →−AB →）=−16AC →+23AB →；故选：B ．【点评】本题考查的知识点是向量加减运算及数乘运算的几何意义，向量加法和向量减法的三角形法则． 2．如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →=（）A ．AC →−AD →B ．2AC →−2AD →C ．AD →−AC →D ．2AD →−2AC →【分析】根据条件可得出CD ∥AB ，AB ＝2CD ，从而得出AB →=2CD →=2AD →−2AC →．【解答】解：∵C ，D 是半圆弧的两个三等分点， ∴CD ∥AB ，且AB ＝2CD ，∴AB →=2CD →=2(AD →−AC →)=2AD →−2AC →．故选：D ．【点评】考查向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算．3．如图，四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等腰直角三角形，F 为线段AE 的中点，设向量BC →=a →，BA →=b →，则CF →=（）A ．−14a →+32b →B ．34a →+32b →C ．−34a →+54b →D ．14a →+54b →【分析】由条件可得BD ∥AE ，且BD ＝2AE ，然后根据CF →=CB →+BA →+AF →=−BC →+BA →+12AE →可进一步将CF →用BC →和BA →表示．【解答】解：连接BD ，∵四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等腰直角三角形，F 为线段AE 的中点， ∴BD ∥AE ，且BD ＝2AE ，∴CF →=CB →+BA →+AF →=−BC →+BA →+12AE →=−BC →+BA →+14BD →=−BC →+BA →+14(BC →+BA →)=−34BC →+54BA →．∵向量BC →=a →，BA →=b →，∴CF →=−34a →+54b →．故选：C ．【点评】本题考查了平面向量基本定理和向量的运算，考查了运算能力，属基础题． 4．如图，△ABC 中，E ，F 分别是BC ，AC 边的中点，AE 与BF 相交于点G ，则AG →=（）A ．12AB →+12AC →B ．13AB →+23AC →C ．13AB →+13AC →D ．23AB →+13AC →【分析】根据题意即可知道，G 为△ABC 的重心，根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义即可得出AG →=13AB →+13AC →．【解答】解：据题意得，G 为△ABC 的重心；∴AG →=23AE →=13AB →+13AC →．故选：C ．【点评】考查重心的性质，向量加法的平行四边形法则，以及向量数乘的几何意义．5．△ABC 所在平面上一点P 满足PA →+PB →+PC →=AB →，则△P AB 的面积与△ABC 的面积比为（） A ．2：3B ．1：3C ．1：4D ．1：6【分析】如图所示，由于点P 满足PA →+PB →+PC →=AB →，可得PA →+PC →=AB →−PB →=AP →，化为PC →=2AP →．即可得到△P AB 的面积与△ABC 的面积比＝AP ：AB ．【解答】解：如图所示，∵点P 满足PA →+PB →+PC →=AB →， ∴PA →+PC →=AB →−PB →=AP →， ∴PC →=2AP →．∴△P AB 的面积与△ABC 的面积比＝AP ：AC ＝1：3．故选：B ．【点评】本题考查了向量的三角形法则、共线定理，属于中档题．6．在△ABC 中，AB →=c →，AC →=b →，若点D 满足BD →=12DC →，则AD →=（）A ．23b →+13c →B ．12b →+12c →C ．13b →+23c →D ．13b →+43c →【分析】由AD →=AB →+BD →，BD →=12DC →=13BC →，BC →=AC →−AB →，代入化简即可得出．【解答】解：∵AD →=AB →+BD →，BD →=12DC →=13BC →，BC →=AC →−AB →，∴AD →=23AB →+13AC →=23c →+13b →，故选：C ．【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．如图，在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则下列结论正确的是（）A ．AB →+AC →=AD →B ．AB →−AC →=BC →C ．AB →+DC →=AD →D ．AB →−DC →=BC →【分析】利用平面向量的三角形法则对选项分别分析选择．【解答】解：由已知及图形得到AB →+AC →=2AD →，故A 错误； AB →−AC →=CB →；故B 错误；AB →+DC →=AB →+BD →=AD →；故C 正确； AB →−DC →=AB →−BD →≠BC →故D 错误；故选：C ．【点评】本题考查了平面向量的三角形法则的运用；注意向量的起点与终点位置；属于基础题．二．多选题（共3小题）8．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是（）A ．AB →=DC →B ．AD →+AB →=AC →C ．AB →−AD →=BD →D ．AD →+CB →=0→【分析】应用熟悉的几何图形进行有关向量加减运算的问题，这种问题只要代入验证即可，有的答案非常清晰比如A 和D 答案，B 符合平行四边形法则．【解答】解：在平行四边形ABCD 中，根据向量的减法法则知AB →−AD →=DB →，所以结论中错误的是C ． ABD 均正确．故选：ABD ．【点评】数学思想在向量中体现的很好，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题． 9．如图，在平行四边形ABCD 中，下列计算正确的是（）A ．AB →+AD →=AC →B ．AC →+CD →+DO →=OA →C ．AB →+AD →+CD →=AD →D ．AC →+BA →+DA →=0【分析】根据向量加法的平行四边形法则、向量加法的几何意义以及相反向量的定义即可判断每个选项的正误．【解答】解：根据向量加法的平行四边形法则知AB →+AD →=AC →，∴A 正确； AC →+CD →+DO →=AO →，∴B 错误；AB →+AD →+CD →=AC →+CD →=AD →，∴C 正确； AC →+BA →+DA →=BC →+DA →=0→，∴D 错误．故选：AC ．【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，相反向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．10．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |，AD 与BC 相交于点O ，则下列结论正确的是（）A ．AD →−AC →=12AB →B ．AB →+BC →+CD →+DA →=0→C ．|OA →+2OD →|=0D ．OA →=23DC →+13DB →【分析】直接利用向量的线性运算的应用和向量的模的应用求出结果．【解答】解：如图所示：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |，所以：对于选项A ：AD →−AC →=CD →=12AB →，故选项A 正确．对于选项B ：利用向量的线性运算AB →+BC →+CD →+DA →=0→．故选项B 正确．对于选项C ：由于DO AO=12，所以OA →+2OD →=0→，故|OA →+2OD →|=|0→|=0，故选项C 正确．对于选项D ：OA →=23DA →=23(DC →+CA →)=23(DB →+2DC →)=23DB →+43DC →，故选项D 错误．故选：ABC ．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，向量的模的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三．填空题（共4小题）11．在矩形ABCD 中，|AB →|＝2，|BC →|＝4，则|CB →+CA →−DC →|＝ 4√5 ．【分析】可画出图形，根据向量加法的平行四边形法则即可得出CB →+CD →=CA →，从而得出CB →+CA →−DC →=CB →+CD →+CA →=2CA →，在R t △ABC 中，根据条件可求出|CA →|=2√5，从而可求出|CB →+CA →−DC →|=4√5．【解答】解：如图，CA →=CB →+CD →；∴CB →+CA →−DC →=CB →+CB →+CD →+CD →=2(CB →+CD →)=2CA →； ∵|AB →|=2，|BC →|=4； ∴|CA →|=√20=2√5；∴|CB →+CA →−DC →|=2|CA →|=4√5．故答案为：4√5．【点评】考查向量加法的平行四边形法则，相反向量的概念，以及勾股定理． 12．计算 4（a →+b →）﹣3（a →−b →）−b →= a →+6b →．【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出【解答】解：4（a →+b →）﹣3（a →−b →）−b →=（4﹣3）a →+（4+3﹣1）b →=a →+6b →，故答案为：a →+6b →【点评】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题 13．AB →+DA →+BD →−BC →−CA →= AB →．【分析】首先利用平面向量的三角形法则，将各向量的顺序调整为首尾相连，然后进行运算即可．【解答】解：AB →+DA →+BD →−BC →−CA →=AB →+BD →+DA →−(BC →+CA →)=0→−BA →=AB →；故答案为：AB →．【点评】本题考查了平面向量的加减法运算；属于基础题．14．已知OM →=23OA →+13OB →，则AM →= 13AB →．【分析】设AM →=k AB →，化为OM →=(1−k)OA →+k OB →，与OM →=（1−13）OA →+13OB →比较，可得k ．【解答】解：设AM →=k AB →，则OM →−OA →=k(OB →−OA →)，化为OM →=(1−k)OA →+k OB →，与OM →=（1−13）OA →+13OB →比较，可得k =13，∴AM →=13AB →．故答案为：13．【点评】本题考查了向量共线定理、向量共面定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四．解答题（共4小题）15．如图，已知向量a →，b →，请化简并求作出向量：（3a →−2b →）﹣2（a →+12b →）．【分析】根据向量的数乘运算去括号，再由加减运算化简即可．【解答】解：（3a →−2b →）﹣2（a →+12b →）＝3a →−2b →−2a →−b →=a →−3b →．作出向量（3a →−2b →）﹣2（a →+12b →）如下图：【点评】本题考查平面向量的线性运算．16．计算下列各式：（1）3（2a →−b →）﹣2（4a →−3b →）；（2）13（4a →+3b →）−12（3a →−b →）−32b →；（3）2（3a →−4b →+c →）﹣3（2a →+b →−3c →）．【分析】利用向量的线性运算即可得出．【解答】解：（1）3（2a →−b →）﹣2（4a →−3b →）=6a →−3b →−8a →+6b →=−2a →+3b →；（2）13（4a →+3b →）−12（3a →−b →）−32b →=43a →+b →−32a →+12b →−32b →=−16a →；（3）2（3a →−4b →+c →）﹣3（2a →+b →−3c →）=6a →−8b →+2c →−6a →−3b →+9c →=−11b →+11c →．【点评】本题考查了向量的线性运算，属于基础题．17．如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB →=a ，BC →=b ，OD →=c ，证明：c +a −b =OB →．【分析】利用平行四边形ABCD 的性质找出相等的向量，再利用向量的运算性质：MN →+BP →=MP →和 MN →=−NM →，化简等式的左边．【解答】解：∵O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，AB →=a ，BC →=b ，OD →=c ， ∴c →+a →−b →=OD →+AB →+CB →=OD →+DC →+CB →=OC →+CB →=OB →，∴c +a −b =OB → 成立．【点评】本题考查2个向量加减法的混合运算及其集合意义，注意利用：MN →+BP →=MP → 和 MN →=−NM →．18．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →=a →，AC →=b →，试用a →，b →表示向量AO →．【分析】延长AO 交BC 于点E ，利用重心定理及其向量的平行四边形法则可得：点E 为BC 的中点，AO →=23AE →，AE →=12(AB →+AC →)，即可得出．【解答】解：延长AO 交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点．∴AO →=23AE →，AE →=12(AB →+AC →)． ∴AO →=23×12×(a →+b →)=13a →+13b →．【点评】熟练掌握重心定理及其向量的平行四边形法则是解题的关键．。

向量的加法运算

(2)求船实际航行的速度的大小和方向.
解：如图，设AD 表示船速，AB 表示水的流速，
C
D 以AB，AD为邻边作 ABCD，则AC是船的
实际航行速度.
在 RtABC 中， | AB| 2 BC 5
AC AB 2 BC 2 22 52 29 5.4 A
B
tanCAB 5 CAB 68
(2)向量的加法法则:
a b
A
C
ab
B
则向量AC叫做向量a和b的和,记作a+b,
即 a+ b = AB + BC = AC .
这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. 三角形法特点：“首尾相接，首尾连”
当向量 a,b是共线向量时,a + b又如何作出来?
(1)同向
a
b
(2)反向
a
b
A
B
C
C
A
B
AC a b
AC a b
规定：a 0 0 a a
②向量加法法则:
B
a b
b
O
C
a
A
则以O为起点,C为终点的向量OC就是a和b的和.
这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则.
平行四边形法则特点：同一起点，对角线
例1:已知向量 a 和 b,求作向量 a + b .
A1
An
An
A1
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
例3.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；