2020届高三数学复习 数列解题方法集锦

2020届高三数学复习 数列解题方法集锦

数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出

现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。

一、数列的基础知识 1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系

它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ； 1.1 已知S n 求a n

对于这类问题，可以用公式a n =⎩⎨⎧≥-=-)

2()1(11

n S S n S n n .

1.2 已知a n 求S n

这类问题实际上就是数列求和的问题。数列求和一般有三种方法：颠倒相加法、错位相

减法和通项分解法。

2．递推数列：⎩⎨

⎧==+)

(11n n a f a a

a ，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设

法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。

例1 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n+3,求数列{a n }的通项a n ，并判断数列{a n }是否为

等差数列。

解：由已知：S n =n 2-2n+3，所以，S n-1=(n-1)2-2(n-1)+3=n 2-4n+6,

两式相减，得：a n =2n-3(n ≥2),而当n=1时,a 1=S 1=2,所以a n =⎩⎨⎧≥-=)

2(32)1(2

n n n .

又a 2-a 1≠a 3-a 2，故数列{a n }不是等差数列。

注意：一般地，数列{a n }是等差数列⇔S n =an 2

+bn ⇔S n

2

)

(1n a a n +.

数列{a n }是等比数列⇔S n =aq n

-a.

例2 已知数列{a n }的前n 项的和S n =

2

)

(1n a a n +,求证：数列{a n }是等差数列。 证明：因为S n =

2)(1n a a n +，所以，2

)

)(1(111++++=n n a a n S

两式相减，得：2

)

())(1(1111n n n a a n a a n a +-++=

++，所以

n n n na a n a a -++=++111)1(2，即：11)1(a na a n n n -=-+，同理： 11)1()2(a a n a n n n --=--，即：11)2()1(a a n a n n n +-=--，

两式相加，得：n n n a n a n a n )22()1()1(11-=-+--+，即：

n n n a a a 211=+-+，所以数列{a n }是等差数列。

例3 已知数列{a n }的前n 项的和S n + a n =2n+1,求数列{a n }的通项a n . 解：因为S n + a n =2n+1，所以， S n+1+a n+1=2(n+1)+1,两式相减，得： 2a n+1-a n =2,即：2a n+1-a n +2=4，2a n+1-4= a n -2，所以

21221=--+n n a a ，而S 1+a 1=3，a 1=23，故a 1-2=2

1

-，

即：数列{a n }是以2

1

-

为首项，21为公比的等比数列，所以

a n -2=21-(2

1

)n-1= - (21)n ,从而a n =2 - (21)n 。

例 4 （2000年全国）设{a n }是首项为1的正项数列，且(n+1)a n+12-na n 2+a n+1a n =0，(n=1,2,3,…),则它的通项公式是a n = .

分析：（1）作为填空题，不需要解题步骤，所以可以采用不完全归纳法。 令n=1，得：2a 22+a 2-1=0,解得，a 2=21.令n=2, 得：3a 32+21a 3-21=0, 解得，a 3=3

1

.同理，a 4=

41由此猜想：a n =n

1

. (2)由(n+1)a n+12-na n 2+a n+1a n =0，得：[(n+1)a n+1-na n ](a n+1+a n )=0, 所以(n+1)a n+1=na n ，这说明

数列是常数数列，故na n =1，a n =

n

1

. 也可以由(n+1)a n+1=na n ，得：

1

1+=+n n

a a n n ，所以 n

n n n n a a a a a a a a n n n n n 1

121121112211=⋅⋅⋅--⋅-=⋅⋅⋅⋅=

---ΛΛ。 例5 求下列各项的和 (1)n

n n n n n n C n nC C C C )1(321210++++++-Λ.

(2)1+2⨯21+3⨯22+4⨯23+…+n ⨯2n-1.

(3)1⨯2+2⨯3+3⨯4+…+n(n+1).

(4)

)

2(1421311+++⨯+⨯n n Λ. 解：（1）设 S n =n

n n n n n n C n nC C C C )1(321210++++++-Λ,则

S n =0

112)1(n n n n n n C C nC C n +++++-Λ,

两式相加，得：2S n = (n+2)n

n n n C n C n C )2()2(10+++++Λ =(n+2)(n

n n n C C C +++Λ10)=(n+2)2n ,

所以S n =(n+2)2n-1.

思考：n

n n n n n n n n C C C C C 112102242+-+++++Λ又如何求呢？

（2）设S n =1+2⨯21+3⨯22+4⨯23+…+n ⨯2n-1，则

2 S n = 1⨯2+2⨯22+3⨯23+…+（n-1）2n-1+n2n .

两式相减。得：- S n =1+21+22+…+2 n-1-n2 n =n n

n 22

121⋅---=2n (1-n)-1.

S n =2n (n-1)+1.

(3)1⨯2+2⨯3+3⨯4+…+n(n+1)=(12+1)+(22+2)+(32+3)+ … +(n 2+n) =(12+22+32+ … +n 2)+(1+2+3+ … +n) =

)1(21)12)(1(61++++n n n n n =)2)(1(3

1

++n n n . (4) ∵

)2

1

1(21)2(1+-=+n n n n

∴

)

2(1421311+++⨯+⨯n n Λ =

)2

11111151314121311(21+-++--++-+-+-n n n n Λ =

)2

111211(21+-+-+n n =)2)(1(3243+++-n n n .

二、等差数列与等比数列

1．定义：数列{a n }为等差数列⇔a n+1-a n =d ⇔a n+1-a n =a n -a n-1；

数列{b n }为等比数列⇔

q a b n n =+1⇔1

1-+=n n n n b b

b b 。