巧用向量共线充要条件解题

巧用向量共线充要条件解题

上犹中学数学教研组 刘道生

随着向量在科学研究中的工具性应用，与它在社会生产生活中所起的巨大作用，所以近年来数学高考题中，命入了共线向量内容考题。据有关专家分析，在今后的高考试题中，共线向量必将增长态势。务必引起师生们重视与注意。

大家知道，共线向量定理：对空间任意两个向量b a b b a

//),0(,≠的充要条件

是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=,或如果设),(11y x a = ,),(22y x b = ,则

b a

//的充要条件是21y x -12y x =0。本条件多用于求轨迹方程与证明较难的平面几

何或立体几何题。可以说已形成较为完备的思维定式，十分有利于快速地形成正确的解题思路。

（一）在平面几何证明题中的应用

很多平面几何证明题的说理过程十分繁杂，牵涉的平面几何知识面宽，解题过程冗长，但当我们将条件进行向量处理，变图形中线段为向量，特别是根据实际需要建立直角坐标系，则可将平面几何的推理过程便转化为向量代数的计算过程，从而显得方便快捷，简单明了。 例1、如图点G 是三角形ABO 的重心,PQ 是过G 的

分别交OA 、OB 于P 、Q 的一条线段，且mOA OP =，nOB OQ =,（m 、R n ∈）

。 求证31

1=+n

m

分析：本题是一道典型的平面几何证明，如果用平几方法则过程很复杂，如果我们将题目中的已知条件作向量处理便能使证明过程简单得

多。因为注意到P 、G 、Q 三点在一条直线上，所以我们可以考虑PQ 与PG 共线，于是可以用共线定理得方程组求解。

证明：设a OA =，b OB =，则a m OP

=，b n OQ =

∵)(21)(21b a OB OA OD +=+=，∴)(3

132b a OD OG

+==

∴b a m a m b a OP OG PG

31)31()(31+-=-+=-=，

即a m b n OP OQ PQ

-=-=，

又P 、Q 、G 三点在同一直线上，则PG 与PQ 共线 ∴存在一个实数λ使得PQ PG λ=

O A

B

Q

G

P D

∴a m b n b a m

λλ-=+-31)31(，即：0)3

1()31(=-++-b n a m m λλ

∵a 与b 不共线，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-0

3

103

1

n m m λλ消去λ得311=+n m

例2、如图在三角形ABC 中,AM ﹕AB=1﹕3,AN

﹕AC=1﹕4,BN 与CM 相交于点P ，且a AB

=，

b AC =，试用a 、b

表示AP

分析：本题是以向量为载体的平面几何题，所以我们很容易联想到点M 、P 、C 三点在一条直线上，可用共线定理的充分必要条件求解。

解∵AM ﹕AB=1﹕3,AN ﹕AC=1﹕4,

∴∴a AB AM 3131==，b AC AN

4

141==，

∵M 、P 、C 三点共线，可设)(R MC MP ∈=λλ

于是MC a MP AM AP λ+=+=

31

∴a b AM AC MC

31-=-=

∴b a AP

λλ+-=)3

131(

二、在求动点轨迹中的应用

轨迹方程的很多题目可以用向量共线的充要条件来探求解，这样可简化分类讨论和运算繁琐，也弥补这两种题缺陷，使解题优化。用向量共线的充要条件解决求轨迹问题，最理想的情形是题设中有“向量的数量积”“平行”即共线。向量成为我们处理问题的基本工具。

例3、如图,过A(-1,0),斜率为k 的直线l 与抛物线C:24y x =交于P 、Q 两点，若曲线C 的焦点F 与P 、

Q 、R 三点按图中顺序构成平行四边形，求点R 的轨迹方程。

分析:本题若不用向量法，一般采用联立方程，考虑判别式，结合韦达定理的方法，尽管思路清晰，但计算量大，且技巧性强，不易掌握，而利用向量法解答，简单明快，容易接受。

解：设P 、Q 、R 三点坐标分别为2111(,)4y y ， 2

2

21(,)4

y y ，(,)x y ，则有AP =2111(1,)4y y +，AQ =2221(1,)4y y +，FP =2111(1,)4y y -，2

221(,)4

QR x y y y =--。

P

A B

C

M

N

由A ，P ，Q 三点共线知：AP //AQ ，∴22

121211(1)(1)44

y y y y +=+，

∴1212121

()()4

y y y y y y -=-

12y y ≠，∴124y y =。

由四边形PFQR 为平行四边可知：FP =QR ，

∴22112211(1,)(,)44y y x y y y -=--

∴()[]

()34

112411)(41221212212

221-+=--+=-+=y y y y y y y y x

12y y y =+,∴2412y x =+.

又22

121211()11144

x y y y y =+->-=。

∴点R 的轨迹方程是2412y x =+(1)x >

例4、已知椭圆1162422=+

y x ，直线18

12=+y

x ，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ|•|OP|=2||OR ，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

分析:本题我们注意到点Q 在OP 上，于是存在

OQ 、OR 、OP 共线，因此可借助两个非零向量共线

的充要条件，巧设参数λ、μ转化已知条件|OQ|•|OP|=2||OR 为2λμ=，使得消元过程异常简捷。向量与解题交汇的综合题已成为高考命题的热点

解析：设(,)Q x y （其中x 、y 不同时为0）由非零向量OQ 、OR 、OP 共线，可设OR OQ λ=，Op OQ μ=，

则(,)OR x y λλ=,(,)Op x y μμ=,分别代入椭圆方程、直线方程得：

22212416x y λ

+= （1） 1

128x y μ

+= （2）