指数函数(14)

合集下载

2.1 指数函数的概念课时一等奖创新教学设计

2.1 指数函数的概念课时一等奖创新教学设计第3课时指数函数概念课时教学设计（一）教学内容指数函数的概念.（二）教学目标通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念，发展数学抽象素养.（三）教学重点与难点教学重点：指数函数的概念.教学难点：指数函数的概念.（四）教学过程设计引导语：对于幂( >0)，我们已经把指数的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数．问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自2001年起采取了不同的对应措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.表4.2-1给出了A,B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量.表4.2-1时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次2001 600 2782002 609 9 309 312003 620 11 344 352004 631 11 383 392005 641 10 427 442006 650 9 475 482007 661 11 528 532008 671 10 588 602009 681 10 655 672010 691 10 729 742011 702 11 811 822012 711 9 903 922013 721 10 1005 1022014 732 11 1118 1132015 743 11 1244 126比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？师生活动：（1）追问①：能否作出A,B两地景区游客人次变化的图象，根据图象并结合年增长量，说明两地景区游客人次的变化情况？学生独立思考、讨论交流. 教师利用Excel作出A,B两地景区游客人次变化的图象，直观感受A,B两地景区游客增长的情况.（2）追问②：用“增加量”刻画B地景区人次的变化规律不直观. 能不能换一个量来刻画？教师指出，可以用“增长率”，即从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否发现什么规律？学生动手计算，教师利用Excel算出B地景区游客人次年增长率为常数.（3）追问③：能否求出两地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的函数解析式，并根据解析式说明两地景区游客人次的变化情况.如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么.设计意图：通过寻求A，B两地景区游客人次增加的规律，引出用函数刻画指数增长的问题，为抽象出指数函数作准备.问题2：当生物死亡后，其机体内原有的碳14含量会按确定的衰减比率（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？师生活动：追问①：生物死亡后体内碳14含量每年衰减的比例是多少？追问②：能否求出生物体内碳14含量随死亡年数变化的函数解析式？教师提出问题，并让学生类比问题1对提出的问题进行思考.通过对问题的分析，引导学生用函数刻画碳14衰减的规律.设计意图：通过描述碳14衰减的规律，引出用函数刻画指数衰减的问题，为抽象得到指数函数作准备.问题3：比较问题1,2中的两个实例：B地景区游客人次增长的函数解析式与碳14衰减的函数解析式有什么共同特征？师生活动：从解析式上来看，如果用字母代替底数1.11和，那么上述函数和就都可以表示为=的形式，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常数.从而引出指数函数的概念：一般地，函数=叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R.设计意图：通过分析、比较两个实例，概括它们的共同本质特征，从而得到指数函数概念的本质属性，抽象出指数函数的概念，发展学生数学抽象的核心素养.例1：已知指数函数，且，求，，的值.师生活动：教师引导学生，要求出，，的值，应先求出的解析式，即先求出的值.而已知，可由此求出的值.设计意图：通过求函数解析式，并根据解析式求出不同的函数值，从指数函数的对应关系和变化规律的角度理解指数函数的概念.例2：（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？师生活动：（1）教师引导学生得出A、B两地旅游收入的函数，教师利用geogebra画出图象，得出交点坐标，进而得出两地收入的变化情况.（2）利用geogebra进行计算第（2）小问.（3）教师指出：在实际问题中，经常会遇到类似于例2（1）的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为，经过x次增长，该量增长到y，则=，其中表示增长率；还可以表示为=，其中表示衰减率.形如的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型.设计意图：在引入概念的两个实例基础上，利用指数函数概念进一步解决与两个实例有关的问题，从而巩固对概念的理解.问题6：回顾本节课的学习内容，并回答以下问题：（1）我们是怎样通过实例问题1，问题2得出指数函数的？（2）指数函数的定义是什么？设计意图：回顾本节课的主要知识和研究过程，巩固指数函数概念的理解.（五）目标检测设计1、课堂检测教科书第115页练习1,2,3设计意图：1 ,2题利用函数的三种表示形式，从不同角度推动学生对指数函数概念的理解，进一步明确概念，学会表示指数函数，体会指数增长或衰减；3题考查学生对指数函数概念的理解；三题均属于水平一题目.2. 课后作业教科书第118页习题4.2第1,2,4,7,8题设计意图：考查学生对指数函数概念的理解，1,2,4题属于水平一题目,7,8题属于水平二题目.（六）课后反思。

指数函数教学设计--郝丽娟--14

环节
教师的活动
学生的活动
教学媒体（资源）
设计意图、依据
创设情境，激趣导入
老师通过控制幻灯片来展示细胞分裂，以及“一尺之椎日取其半”的过程。
让学生思考细胞的个数与分裂次数的关系；；木头剩下的长度与截取的次数的关系
PPT
由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力。
互动探究，感悟新知
2在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。
感谢、其他
感谢学校提供的教学设备和学生的自主配合。
课堂教学设计表
章节名称
指数函数及其性质
学科
数学
授课班级
高一年级
授课时数
1
设计者
郝丽娟
所属学校
九江学院
本节（课）教学内容分析
本节（课）教学目标
知识和技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图像和性质。
过程和方法：通过自主探索，让学生经历由“特殊——一般——特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合，分类讨论，归纳推理等数学思想。
以提问的形式让学生自行归纳总结，并进行补充修正
小组讨论，归数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想。
个性化教学
引导——发现教学法、比较法、讨论法
教学反思、总结
1教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数单调性的影响。
1.实例导入：动态演示细胞分裂的实例，引出指数函数的定义，激发学生的学习兴趣

《指数函数》教案

【课题】4．2指数函数【教学目标】知识目标：⑴理解指数函数的图像及性质；⑵了解指数模型，了解指数函数的应用．能力目标：⑴会画出指数函数的简图；⑵会判断指数函数的单调性；⑶了解指数函数在生活生产中的部分应用，从而培养学生分析与解决问题能力．【教学重点】⑴指数函数的概念、图像和性质；⑵指数函数的应用实例．【教学难点】指数函数的应用实例．【教学设计】⑴以实例引入知识，提升学生的求知欲；⑵“描点法”作图与软件的应用相结合，有助于观察得到指数函数的性质；⑶知识的巩固与练习，培养学生的思维能力；⑷实际问题的解决，培养学生分析与解决问题的能力；⑸以小组的形式进行讨论、探究、交流，培养团队精神.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间别用光滑的曲线依次联结各点，得到函数y =2x 和y =1()2x 的图像，如上图所示．归纳观察函数图像发现：1．函数2x y =和y =1()2x 的图像都在x 轴的上方，向上无限伸展，向下无限接近于x 轴；2．函数图像都经过（0，1）点；3．函数y =x2的图像自左至右呈上升趋势；函数y =1()2x 的图像自左至右呈下降趋势．推广利用软件可以作出a 取不同值时的指数函数的图像．展示引导分析说明观察体会理解计算部分可以由学生独立完成引导学生仔细观察函数图象的特点数形结合25*动脑思考明确新知一般地，指数函数xy a =()01a a >≠且具有下列性质：(1) 函数的定义域是(),-∞+∞．值域为(0,)+∞；(2) 函数图像经过点(0,1)，即当0x =时，函数值1y =； (3) 当>1a 时，函数在(),-∞+∞内是增函数；当0<<1a 时，函数在(),-∞+∞内是减函数．归纳强调体会记忆结合图形由学生自我归纳强调关键点30*巩固知识典型例题通过x．10)年该市国内生产总值为（亿元）．年该市国民生产总值为（亿元）．。

指数函数知识点

指数函数一、课程标准1. 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象。

2. 探索并理解指数函数的单调性与特殊点.3.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.二、基础知识回顾指数函数的概念函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 3．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质[常用结论]1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．三、自主热身、归纳总结1、设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a2、函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <03、若函数y ＝(a 2－1)x 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 1<a <2 B. －2<a <－1C. 1<a <2，或－2<a <－1D. 22<a <1，或1<a <24、(2019·山东济宁二中期末）若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]5、已知函数f(x)＝a x －3＋2的图像恒过定点A ，则A 的坐标为． 6. [课本题改编]若不等式223ax axx>13对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是．四、例题选讲考点一指数函数的性质与应用例1、已知f (x )＝2x－2－x ，a ＝⎝⎛⎭⎫79－14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (b )<f (a )<f (c ) B ．f (c )<f (b )<f (a ) C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )变式1、（2019·广东韶关一中期末）设x >0，且1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <aD ．1<a <b变式2、已知函数f （x ）＝（）x ，若a ＝f （20.3），b ＝f （2），c ＝f （log 25），则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a例2、设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x<0，x ，x≥0，若f(a)<1，则实数a 的取值范围是；变式、(2020·包头模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______.例3、（1）函数f(x)＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的单调减区间为．（2）(一题两空)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围为________，f (－4)与f (1)的大小关系是________．（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为________．方法总结指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解．考点二指数函数的图像与性质例4、（2019·广西北海一中月考）函数y ＝a x－1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )变式1、（2019·山西平遥中学模拟）已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a ＜2cD ．1＜2a ＋2c ＜2变式2、已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．变式3、已知f(x)＝|2x －1|. (1)求f(x)的单调区间； (2)比较f(x ＋1)与f(x)的大小；(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x 2的零点的个数．方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用． (1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除； (2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解．考点三指数函数的综合运用例5 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数． (1) 求a ，b 的值；(2) 若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．变式1、设a 是实数，f (x )＝a －22x＋1(x ∈R )．(1) 试证明对于任意a ，f (x )都为增函数； (2) 试确定a 的值，使f (x )为奇函数．变式2、已知函数f(x)＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a 的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a 的值．方法总结：是指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y ＝a f (x )的函数的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关：若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调增(减)区间；若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间五、优化提升与真题演练 1、函数的值域为（）A ．B ．C ．（0，]D ．（0，2]2、2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数3、.函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A.y ＝1－x B.y ＝|x －2| C.y ＝2x －1D.y ＝log 2(2x )4、(2018·上海卷)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫p ，65、Q ⎝⎛⎭⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________．5、(2020·河南商丘模拟)已知函数f (x )＝(a 2－2a －2)a x 是指数函数． (1)求f (x )的表达式；(2)判断F (x )＝f (x )＋1f （x ）的奇偶性，并加以证明．6、已知函数f(x)＝a|x＋b|(a>0，b∈R)．(1)若f(x)为偶函数，求实数b的值；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求实数a，b应满足的条件．7、设函数f(x)＝ka x－a－x(a>0且a≠1，k∈R)，f(x)是定义域为R的奇函数．(1)求k的值，(2)判断并证明．．当a>1时，函数f(x)在R上的单调性；(3)已知a＝3，若f(3x)≥λ·f(x)对于x∈[1，2]时恒成立．请求出最大的整数．．．．．λ．．8、（2019·山东烟台二中模拟）已知函数f(x)＝1－42a x＋a(a>0，a≠1)且f(0)＝0.(1)求a的值；(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；(3)当x∈(0，1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案1、设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【解析】因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c.2、函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0【答案】D【解析】由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1. 函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 3、若函数y ＝(a 2－1)x 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 1<a <2 B. －2<a <－1C. 1<a <2，或－2<a <－1D. 22<a <1，或1<a <2 【答案】C【解析】由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.∴数a 的取值范围是1<a <2或－2<a <－1.故选C. 4、(2019·山东济宁二中期末）若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 5、已知函数f(x)＝a x －3＋2的图像恒过定点A ，则A 的坐标为．【答案】(3，3)【解析】由a 0＝1知，当x －3＝0，即x ＝3时，f(3)＝3，即图像必过定点(3，3)． 6. [课本题改编]若不等式223ax ax-x>13对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】[0，1)【解析】原不等式即为223axax->3－1，则有ax 2－2ax>－1，即ax 2－2ax ＋1>0对一切实数恒成立．当a ＝0时，满足题意；当a>0时，Δ＝(－2a)2－4a<0，即a 2－a<0，解得0<a<1. ∴实数a 的取值范围是[0，1)．五、六、例题选讲考点一指数函数的性质与应用例1、已知f (x )＝2x－2－x ，a ＝⎝⎛⎭⎫79－14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (b )<f (a )<f (c ) B ．f (c )<f (b )<f (a ) C ．f (c )<f (a )<f (b ) D ．f (b )<f (c )<f (a )【答案】 B【解析】易知f (x )＝2x－2－x 在R 上为增函数，又a ＝⎝⎛⎭⎫79－14＝⎝⎛⎭⎫9714>⎝⎛⎭⎫9715＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．变式1、（2019·广东韶关一中期末）设x >0，且10时，11.因为x >0时，b x <a x，所以x >0时，⎝⎛⎭⎫a b x>1.所以ab >1，所以a >b ，所以1<b <a .变式2、已知函数f （x ）＝（）x ，若a ＝f （20.3），b ＝f （2），c ＝f （log 25），则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c ＞b ＞a B ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a【答案】B ．【解析】根据题意，函数f （x ）＝（）x ，则f （x ）在R 上为减函数，又由20.3＜21＜2＜log 25，则a ＞b ＞c ；故选：B ．例2、设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x<0，x ，x≥0，若f(a)<1，则实数a 的取值范围是；【答案】(－3，1)【解析】当a <0时，不等式f (a )<1可化为12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭－7<1，即12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<8，即12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<312-⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴a >－3.又a <0，∴－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1.∴0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3，1)．变式、(2020·包头模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______. 【答案】12.【解析】(1)当a <1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立.故a 的值为12. 例3、（1）函数f(x)＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的单调减区间为．（2）(一题两空)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围为________，f (－4)与f (1)的大小关系是________．（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为________．【答案】（1） (－∞，1] （2）(1，＋∞) f (－4)＞f (1)（3）13或3 【解析】（1）设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝12a⎛⎫⎪⎝⎭在R 上为减函数，∴函数f (x )＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]．（2）因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1.由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)．（3）令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1，1]时，t ＝a x∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3.方法总结指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解．考点二指数函数的图像与性质例4、（2019·广西北海一中月考）函数y ＝a x－1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【答案】D【解析】当a >1时，y ＝a x－1a 是增函数．当x ＝0时，y ＝1－1a ∈(0，1)，A ，B 不满足．当0<a <1时，y ＝a x－1a 在R 上是减函数．当x ＝0时，y ＝1－1a <0，C 错，D 项满足．变式1、（2019·山西平遥中学模拟）已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．2－a ＜2cD ．1＜2a ＋2c ＜2【答案】D【解析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示，因为a ＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0，0＜c ＜1，且|2a －1|＞|2c －1|，所以1－2a ＞2c －1，则2a ＋2c ＜2，且2a ＋2c ＞1，故选D 。

4.2.1 指数函数的概念

有研究的必要性．为了避免上述各种情况的发生，规定a＞0，且a≠1.
有此规定后，对任意的x∈R，ax都有意义，且ax＞0.
返回导航
(2)函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域为什么是R?
指数的范围已经拓展到了实数，当a＞0，且a≠1，x是一个实数时，
ax表示一个确定的实数，即ax(a＞0，且a≠1)对任意实数x都有意义，
因此指数函数y＝ax的定义域是R.
返回导航
【即时练习】
1．下列各函数中，是指数函数的是(
A．y＝(－3)x
B．y＝－3x
)
C．y＝3x－1
1 x
D．y＝( )
3
答案：D
解析：由指数函数的定义可知选项D正确．故选D.
返回导航
1
2 ．若函数 f(x) ＝ ( a － 3)·ax(a>0 ，且 a≠1) 是指数函数，则 a ＝
(2)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________．
答案：2
解析：因为函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，
a2 − 3 = 1，
所以ቊ
解得a＝2.
a > 0且a ≠ 1，
返回导航
学习目标二
例2
求指数函数的解析式或求值
1
x
设f(x)＝a (a＞0，且a≠1)，其图象经过点( ，
定义，故都是指数函数；对⑤：是幂函数，不是指数函数；对⑥：
指数式的系数为－1，不是1，故不是指数函数；对⑦：指数的底数
为－4，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是．综上，是指数函
数的只有③④.故选B.
返回导航
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是

指数函数的概念课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册

目录
概念的理解
指数函数 y=ax（a>0，且 a≠1）和幂函数 y=xα 有什么不同？
指数函数和幂函数的区别：两者虽然都是幂的形式，但不同之处在于指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上．
指数函数 y=ax（a>0，且 a≠1）为什么规定 a>0，且 a≠1？如果 a＜0，那么 x 的取值将受到极大限制，如 x＝12、43、65、…… 等等时，都是没有意义的。
目录
巩固与练习(2)
例 2（2）在问题 2 中，某生物死亡 10 000 年后，它体内碳 14 的含量衰减为原来的百分之几？
解析
(2)设生物死亡 x 年后，它体内碳 14 含量为 h(x). 如果把刚死亡的生物体内碳 14 含量看成 1 个单位，那么
11 h(x)=((2) ) 5730
当
x=10
y=23x y=5x＋1 y=2x－1 等等都不是指数函数。
目录
巩固与练习(1)
例 1 已知指数函数 f(x)=ax（a>0，且 a≠1），且 f(3)=π，求 f(0)，f(1)，f(-3)的值.
分析：要求 f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出 f(x)=ax 的解析式，即先求 a 的值. 解因为 f(x)=ax，且 f(3)=π，
目录
限时小练
1．函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)对于任意实数 x，y 都有( )
目录
时间/年
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
情景引入
A 地景区
人次/万次
年增加量/万次

4.2 指数函数课件ppt

(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
0<a<1
(4)当x<0时,y>1;
(4)当x<0时,0<y<1;当 x>0时, y>1
当x>0时,0<y<1
性
(5) 在R上是减函数
质 (5)在R上是增函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近当x值趋近于正无穷大时,函数值
于正无穷大;
趋近于0;
当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近当x值趋近于负无穷大时,函数值
(2)1.5 ,
8
27
4
;
(3)2.3-0.28,0.67-3.1;
(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解 (1)(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数
y=2.5x在R上是增函数.
又3<5.7,∴2.53<2.55.7.
-7
(2)(化同底)1.5 =
x
4
-2
4
∴a=2.
∴f(4)f(2)=24×22=64.
(2)解由 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,可得
解得
= 1,或 = 2,
故 a=2.
> 0,且 ≠ 1,
2 -3 + 3 = 1,
> 0,且 ≠ 1,
反思感悟指数函数是一个形式定义,其特征如下:
变式训练1下列以x为自变量的函数中,是指数函数的为(
8
27
4
=
4
3
2
3
3 -7
2
=
2
2

指数函数-高考数学复习

数.
（
√
目录
）
2. （多选）下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（
）
A. y ＝ x 2
D. y ＝3 x －1
C. y ＝2 x
解析：
2
2
y ＝ x 的值域为[0，＋∞）； y ＝的值域为（－∞，

0）∪（0，＋∞）； y ＝2 x 的值域为（0，＋∞）； y ＝3 x －1的值域
为（0，＋∞）.
⁠
解析：由结论2，在函数 y ＝ ax －1－1中，当 x ＝1时，恒有 y ＝0，即
函数 y ＝ ax －1－1的图象恒过定点（1，0）.
目录
课堂演练
考点分类突破
精选考点典例研析技法重悟通
PART
2
目录
指数函数的图象及应用
【例1】
（1）函数 f （ x ）＝ ax － b 的图象如图所示，其中 a ， b 为常
⁠
1
解析：依题意，当 x ∈（0，）时， y ＝ ax 与 y ＝
2
1
1
有交点，作出 y ＝的图象，如图，所以

൝
> 1，
1
2
> 2，
解得 a ＞4.
目录
指数型函数性质的综合问题
【例4】（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数 f （ x ）＝2 x （ x － a ）在区间
（0，1）上单调递减，则实数 a 的取值范围是（
解析：由题意知 a ＞1，所以 f （－4）＝ a 3， f （1）＝ a 2，由指
数函数的单调性知 a 3＞ a 2，所以 f （－4）＞ f （1）.
目录
2. 若函数 f （ x ）＝ ax － b 的图象如图所示，则（

指数函数

2x+b
.
例 2：函数y = a + 1 a > 0, 且 a ≠ 1, b ∈ R 的图象恒过定点(1,2),求 b 的值。 8.指数函数的单调性例：讨论函数y =
2 1 x −2x
3
的单调性。
习题 1、比较下列各组数的大小：
（1）若（2）若（3）若（4）若（5）若
，比较，比较，比较
x
当k=0或k 1时, 直线y=k与函数 y | 3 1 | 的图象有唯一的交点，所以方程有一解;
x
当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 y | 3 1 | 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。
函数性质 a 1 0 a 1 函数的定义域为 R 非奇非偶函数函数的值域为 R+ a0 1 增函数减函数
x 0, a x 1
x 0, a x 1
x 0, a x 1
x 0, a x 1
函数值开函数值开始增长较始减小极图象上升图象上升慢，到了快，到了趋势是越趋势是越某一值后某一值后来越陡来越缓增长速度减小速度极快；较慢；注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上， f (x) a x (a 0且a 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ；（2）若 x 0 ，则 f (x) 1 ； f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x R ；（3）对于指数函数 f (x) a x (a 0且a 1) ，总有 f (1) a ；
∞) 上是增函数， ∴函数 y (a2 2a 5) x 在 (∞，
∴ 3 x 1 x ，解得 x

指数与指数函数知识点及题型归纳总结

指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R )；(2)mm n n a a a-=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )；(4)(ab )m =a m b m (m ∈R )；(5)pp a a-=1(p ∈Q ) (6)mm n n a a =(m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 0<a <1图象(1)定义域：R (1)定义域：R 值域(2)值域：(0,+∞) (2)值域：(0,+∞) (3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数. (4)在R 上是减函数. (5)0<y <1⇔x >0y =1⇔x =0 y >1⇔x <0(5)0<y <1⇔x <0y =1⇔x =0 y >1⇔x >0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4()()a a b b ab a b b+÷+--223333311的值； (2)若x x -+=11223，x x x x --+-+-33222232的值； (3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求()n a a +21的值.分析：利用指数运算性质解题.===.当a=2，b=4，原式===12.(2)先对所给条件作等价变形：()x x x x--+=+-=-=11122222327，()()x x x x x x---+=++-=⨯=33111222213618，x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.故x xx x--+--==+--3322223183124723.(3)因为n na--=11201420142，所以()n na-++=11222014201412，n n n nna---+--=-=111112014201420142014201422.所以)na-=12014.变式1 设2a=5b=m，且a b+=112，则m=( ).A. B. 10 C. 20 D. 100二、指数方程例2.49 解下列方程(1)9x-4⋅3x+3=0；(2)()()x x⋅=29643827；分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3x)2；对于()()x x⋅2938，对其底进行化简运算. 解析：(1)9x-4⋅3x+3=0⇒(3x)2-4⋅3x+3=0，令t=3x(t>0)，则原方程变形为t2-4t+3=0，得t1=1，t2=3，即x=131或x=233，故x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1.(2)由()()x x⋅=29643827，可得()x⨯=33294383即()()x=33443，所以()()x-=33344，得x=-3.故原方程的解为x=-3.变式1方程9x-6⋅3x-7=0的解是________.变式2 关于x 的方程()x aa+=-32325有负实数根，则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式例2.50若对x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y =2x 是R 上的增函数，又因为x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，即对∀x ∈[1,2]，不等式x +m >1恒成立⇔函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1，而y =x +m 在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m ，所以1+m >1，即m >0.所以实数m 的取值范围是{m |m >0}.变式1 已知对任意x ∈R ，不等式()x mx m x x -+++>22241122恒成立，求m 的取值范围.变式2 函数()xf x x -=-21的定义域为集合A ，关于x 的不等式ax a x +<222(x ∈R)的解集为B ，求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围.题型2 指数函数的图像及性质思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像例2.51 函数()x bf x a-=的图象如图2-14所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( ).A. a >1，b <0B. a >1，b >0C. 0<a <1，00，得b <0，故选D. 评注：若本题中的函数变为()xf x a b =-，则答案又应是什么？由图2-14可知ƒ(x )单调递减，即0<a <1，函数y =a x 的图像向下平移得到xy a b =-的图像，故00且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ). A. 0<a <1且b >0 B. a >1且b >0 C. 0<a <1且b <0 D. a >1且b <0 变式2 (2012四川理5)函数x y a a=-1(a >0，a ≠1)的图象可能是( ).变式3 已知实数a ，b 满足()()a b =1123，下列5个关系式：①00且a ≠1)的图像过定点_________. 分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a 0=1.解析：因为函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(0,1)，又函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像是由函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点(-1,1). 变式1 函数ƒ(x )=a x +1(a >0且a ≠1)的图像过定点________. 变式2 函数ƒ(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3 ƒ(x )=x a -1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上，则m n+11的最小值为________.二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例2.53 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是_______. 分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0<a <1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上最大值为a ，最小值为a 2，则a a a -=22，得a a =22，又0<a <1，所以a =12；当a >1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a 2，最小值为a ，那么a a a -=22，得aa =232，又a >1，所以a =32. 综上所述，a 的值是12或32.评注：函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)，不论0<a <1还是a >1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得. 所以||a a a -=22，解得a =12或a =32. 变式1 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍，则a =_____.变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ]，值域为[1,2]，则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3 若y =3|x |(x ∈([a ,b ])的值域为[1,9]，则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ).A. [2.4]B. [4,16]D. [4,12]例2.54 函数xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是________.分析：复合函数xx y a --+=+248145内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+∞)上单调递减，在(-∞,-1]上单调递增，且y =a x (0<a <1)是减函数，所以xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是[-1,+∞).变式1 函数()f x 1________.变式2 求函数()()()x x f x =-+11142(x ∈[-3,2])的单调区间及值域.变式3 已知0≤x ≤2，求函数x xa y a -=-⋅++1224212的最大值和最小值.变式4 设函数y =ƒ(x )在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),(),k f x f x k ⎧=⎨⎩()()f x kf x k ≤>，取函数ƒ(x )=2-|x |，当k =12时，函数ƒk (x )的单调增区间为( ). A. (-∞,0] B. [0,+∞) C. (-∞,-1] D. [1,+∞)变式5 若函数||()x y m -=+112的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.变式6 已知函数()||x f x -=-21，x ∈R ，若方程ƒ(x )=a 有两个不同实根，则a 的取值范围是__________. 题型3 指数函数中的恒成立问题思路提示(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.例2.55 设()x x f x a =++⋅124(x ∈R)，当x ∈(-∞,-1]时，ƒ(x )的图象在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 分析：本题等价于当x ≤1时，x x a ++⋅124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ，转化为求解函数的最值. 解析：因为当x ∈(-∞,1]时，ƒ(x )的图像在x 轴上方，所以对于任意x ≤1，x x a ++⋅124>0恒成立，即x x a +>-214(x ≤1)恒成立.令()()()x x x x u x +=-=--2111424(x ≤1)，a >u (x )max ，x ∈(-∞,1].因为()x y =12，()x y =14均是减函数，所以u (x )在(-∞,1]上单调递增，故当x =1时，max ()()u x u ==-314，故a >-34.故实数a 的取值范围为(-34,+∞).变式1 已知函数()()x x af x a a a -=--21(a >0且a ≠1). (1)判断函数ƒ(x )的奇偶性； (2)讨论函数ƒ(x )的单调性；(3)当x ∈[-1,1]时，ƒ(x )≥b 恒成立，求实数b 的取值范围. 变式2定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a,b 的值.（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 变式3 已知函数1()22x xf x =-，若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，则有（）A a=1或a=2B a=1C a=2D 0a >且1a ≠ 2.设0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===，则（）A 312y y y >>B 213y y y >>C 123y y y >>D 132y y y >>3.设函数()f x 定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（）A 132()()()323f f f <<B 231()()()323f f f <<C 213()()()332f f f <<D 321()()()233f f f <<4. 函数()22xxf x -=-是（） A 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减.5.若关于x 的方程9(4)340xxa ++•+=有解，则实数a 的取值范围是（） A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞-6.函数221(0)(1)(0)(){ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调，则a 的取值范围是（）A (,(1,2]-∞B [1)[2,)-+∞C （1）D )+∞7.不等式2223330x x a a •-+-->，当01x ≤≤时，恒成立，则实数a 的取值范围为 .8. 函数1(2y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -⨯+-=有两个不同实数根，则实数k 的取值范围为 .10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程1()()10xf x =，在[0,2014]x ∈上的解的个数是 .11.已知函数()xf x b a =⋅（其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A （1,6），B （3,24）. （1）确定()f x .（2）若不等式11()()0x x m a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a). (1)求h(a);(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①3m n >>；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为22[,]n m .若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由.。

指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)一、指数的性质一）整数指数幂整数指数幂的概念是指：a的n次方等于a乘以a的n-1次方，其中a不等于0，n为正整数。

另外，a的-n次方等于1除以a的n次方，其中a不等于0，n为正整数。

整数指数幂的运算性质包括：（1）a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；（2）a的n次方的m次方等于a的mn次方；（3）a乘以b的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。

其中，a除以a的n次方等于a的n-1次方，a的m-n次方等于a的m除以a的n次方，an次方根的概念是指，如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根，记作x=√a。

例如，27的3次方根等于3，-27的3次方根等于-3，32的5次方根等于2，-32的5次方根等于-2.a的n次方根的性质包括：如果n是奇数，则a的n次方根等于a；如果n是偶数且a大于等于0，则a的正的n次方根等于a，a的负的n次方根等于负的a；如果n是偶数且a小于0，则a的n次方根没有意义，即负数没有偶次方根。

二）例题分析例1：求下列各式的值：（1）3的-8次方；（2）（-10）的2次方；（3）4的（3-π）次方；（4）（a-b）的2次方，其中a大于b。

例2：已知a小于b且n大于1，n为正整数，化简n[（a-b)/(a+b)]。

例3：计算：7+40+7-40.例4：求值：（59/24）+（59-45）/24 + 25×（5-2）/24.解：略。

二）分数指数幂1.分数指数幂当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，例如：$5\sqrt[10]{a^5}=a^{\frac{1}{2}}$，$3\sqrt[12]{a^3}=a^{\frac{1}{4}}$。

当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：$\sqrt[4]{a^5}=a^{\frac{5}{4}}$。

规定：1）正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$。

指数函14

指数函数对数函数测试题11.x y 4log =的定义域为___________，值域为___________.在定义域上，该函数单调递_______.2. xy )21(=的定义域是_____________，值域是______________，在定义域上，该函数单调递_________.3 (1)函数x ay )1(=和)1,0(≠>=a a a y x 的图象关于 _ 对称.(2)函数x a y =和)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象关于对称.4、函数y =12y x =（）得到的。

A. 向左平移1个单位B. 向上平移1个单位C. 向右平移1个单D. 向下平移1个单位5、已知2log (0)()3(0)xxx f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则[(1)]f f =_____________.6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）（A ）R x x y ∈-=,3 （B ） R x x y ∈=,sin （C ） R x x y ∈=, （D ） R x x y ∈=,)21(7．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）测试21、函数25y x =的单调递减区间是（）A 、(,1]-∞B 、(,0]-∞C 、[0,)+∞D 、(,)-∞+∞2、不等式2x+32-x 2＞0的解集是（）．（A ） {}|13x x -<< （B ）{}|31x x x ><-或（C ） {}|31x x -<< （D ）{}|13x x x ><-或 3.设0.70.45 1.512314,8,()2y y y -===，则( ) （A ）312y y y >> （B ）213y y y >>（C ）123y y y >> （D ）132y y y >>4．（2013年高考广东卷（文））函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．[1,1)(1,)-+∞ 5．（2013年高考四川卷（文））___________.6．已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,2,1{=A ，U {4,5,6}C B =，则集合=B A ( )A ．}2,1{B ．}5{C ．}3,2,1{D ．}6,4,3{ 7．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（）A ．x y =B ．x y -=3C ．xy 1=D ．42+-=x y 8、函数2()lg(31)f x x =+的定义域为（） A ．1(,)3-+∞ B ．1(,1)3- C ．11(,)33- D ．1(,)3-∞-。

multisim 14 指数函数

multisim 14 指数函数Multisim 14是一款仿真软件，用于电路设计和分析。

它提供了丰富的电路元件库和强大的仿真功能，可以帮助工程师们设计和测试各种电路。

指数函数在数学中是一类非常重要的函数，它具有许多独特的性质和应用。

在电路设计中，指数函数也扮演着重要的角色，特别是在放大电路和滤波器的设计中。

在本篇文章中，我们将探讨指数函数的定义、性质和应用，并通过Multisim 14来演示一些相关的电路设计。

指数函数是以自然常数e为底的幂函数。

它的数学表示形式为f(x) = e^x，在指数函数中，e的值约等于2.71828。

指数函数具有许多重要的数学性质，例如：1.指数函数的导数等于自身。

即f'(x) = e^x。

2.指数函数具有良好的积分性质。

即∫e^xdx = e^x + C，C为常数。

3.指数函数的图像呈现指数增长或指数衰减的特点。

当x逐渐增大时，函数值也会逐渐增大，但增长速度会逐渐减缓。

指数函数在电路设计中的应用非常广泛。

在放大电路中，指数函数可以用来描述电压或电流的增长或衰减情况。

例如，在放大器电路中，放大倍数可以通过指数函数来描述。

通过控制指数函数的幂指数，可以调节放大倍数的大小。

指数函数还可以用于设计滤波器。

滤波器是一种用于滤除不需要的频率分量的电路。

根据信号频率的不同，滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等。

指数函数可以用来描述滤波器的频率响应特性，并根据需求选择合适的函数形式。

在Multisim 14中，我们可以通过使用电压源、电流源、电阻、电容和电感等元件来构建放大器或滤波器电路。

我们可以通过指定元件的参数和连接关系，来模拟指数函数的行为。

例如，我们可以设计一个简单的放大器电路，使用一个晶体管作为放大器的核心元件。

通过控制晶体管的参数和输入电压的变化，可以观察到指数函数在放大器中的作用。

我们可以通过Multisim 14中的仿真功能，实时显示电压和电流的变化，并通过曲线图来分析放大器的性能。

指数函数的运算法则公式14个

指数函数的运算法则公式14个
1．乘法律：指数函数的乘法运算规则是幂指数相加。

2．除法律：指数函数的除法运算规则是幂指数相减。

3．倍数变换法：指数函数倍数变换规则是幂指数不变。

4．根变换法：指数函数根变换规则是对数指数变化而变换。

5．积分变形法：指数函数积分变形规则是对数指数变化而变换。

6．联立方程解法：指数函数联立方程解法规则是对数指数变化而变换7．曲线匹配原理：指数函数曲线匹配原理规则是幂指数取反而变换。

8．分子分母分解法：指数函数分子分母分解规则是对数指数变化而变换。

9．联立不等式解法：指数函数联立不等式解法规则是对数指数变化而
变换。

10．分块多项式展开法：指数函数分块多项式展开规则是幂指数取反
而变换。

11．二部方程解法：指数函数二部方程解法规则是对数指数变化而变换。

12．几何变换法：指数函数几何变换规则是幂指数取反而变换。

13．展开式变换法：指数函数展开式变换规则是对数指数变化而变换。

14．定积分法：指数函数定积分规则是幂指数取反而变换。

指数函数经典例题(答案)

指数函数1．指数函数的定义：函数 y a x (a 0且a 1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是 R2. 指数函数的图象和性质：x ， y=10 x ，y=1x在同一坐标系中分别作出函数y=2 x，y=1的图象 .2 10x x我们观察 y= 2 x ， y=1， y= 10 x ， y=1 图象特征，就可以得到 210y a x (a 0且a 1) 的图象和性质。

a>10<a<1图象11(1) 定义域： R性（2）值域：（0，+∞）质（3）过点（ 0，1），即 x=0 时， y=1（4）在 R 上是增函数（4）在 R 上是减函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小例 1 已知函数 f (x)x 2 bx c 满足 f (1 x) f (1 x) ，且 f (0) 3 ，则 f (b x ) 与f ( c x ) 的大小关系是_____．分析：先求 b， c 的值再比较大小，要注意b x， c x的取值是否在同一单调区间内．解：∵ f (1 x) f (1 x) ，∴函数 f ( x) 的对称轴是x 1 ．故 b 2，又 f (0) 3 ，∴c 3 ．∴函数 f ( x) 在∞，1 上递减，在1，∞上递增．若 x ≥ 0 ，则 3x≥ 2x≥ 1 ，∴f(3x)≥f(2x)；若 x 0 ，则3x 2 x 1 ，∴f (3x) f (2x ) ．综上可得 f (3x )≥ f (2x ) ，即 f (c x ) ≥ f (b x ) ．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例 2 已知(a22a5)3 x(a22a 5)1 x，则x的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵ a22a 5 ( a 1)24≥4 1，∴函数 y(a22a5)x在(∞，∞)上是增函数，∴ 3x 1x ，解得x 1．∴ x 的取值范围是1，∞．44评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例 3求函数 y 1 6x 2的定义域和值域．解：由题意可得 16x2≥ 0 ，即 6x 2≤ 1 ，∴ x 2 ≤ 0 ，故 x ≤ 2．∴函数 f (x) 的定义域是∞，2 ．令 t6x 2，则 y1t ，又∵ x≤ 2 ，∴ x 2 ≤ 0 ．∴ 0 6x 2≤ 1 ，即 0 t ≤ 1 ．∴ 0 ≤ 1 t 1，即 0 ≤ y 1 ．∴函数的值域是01，．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．4．最值问题例 4函数y a2x2a x1(a 0且a 1)在区间[ 11]，上有最大值14，则 a 的值是 _______．分析：令 t a x可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．解：令t a x，则t0 ，函数y a2 x2a x 1 可化为y(t1)2 2 ，其对称轴为t1．∴当 a 1 时，∵x11，，∴1≤ a x≤ a ，即1≤ t ≤ a ．a a∴当 t a 时，y max(a1)2214．解得 a 3 或 a 5 （舍去）；当 0 a 1 时，∵x11，，∴ a ≤ a x≤1，即 a ≤ t ≤1，a a1时， y max12∴ t1214 ，a a解得 a 1或 a1（舍去），∴ a 的值是 3 或1．353评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．5．解指数方程例 5 解方程3x 232x80 ．解：原方程可化为9 (3x )280 3x9 0 ，令 t3x (t0)，上述方程可化为9t 280t 9 0 ，解得t9或 t1（舍去），∴ 3x9，∴ x 2 ，经检验原方程的9解是 x 2 ．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．6．图象变换及应用问题例 6 为了得到函数y 9 3x 5 的图象，可以把函数y3x的图象（）．A．向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度B．向右平移 9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度C．向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度D．向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度分析：注意先将函数 y9 3x 5 转化为t3x 2 5 ，再利用图象的平移规律进行判断．解：∵ y 9 3x 5 3x 2 5 ，∴把函数y 3 x的图象向左平移2个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数y 93x 5 的图象，故选（C）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．习题1、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（）若，且，比较 a 与 b；4 a 与 b．（）若，且，比较5解：（1）由，故，此时函数为减函数．由，故．（ 2）由，故．又，故．从而．而（3）由．，因，故．又，故．从（4）应有．又因．因若，故，则．从而．又，故，这与已知，这样矛盾．（5）应有．又因．因若，且，则，故．又．从而，故，这样有，这与已知矛盾．小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．2，曲线则分别是指数函数与 1 的大小关系是 ( ).,和的图象 ,(分析 : 首先可以根据指数函数单调性 , 确定, 在轴右侧令, 对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .小结 : 这种类型题目是比较典型的数形结合的题目 , 第(1) 题是由数到形的转化 , 第(2) 题则是由图到数的翻译 , 它的主要目的是提高学生识图 , 用图的意识 . 求最值3，求下列函数的定义域与值域 .1(1)y ＝2 x 3 ; (2)y＝4x +2x+1+1.11解：(1) ∵ x-3 ≠0，∴ y ＝2 x 3 的定义域为｛ x ｜ x ∈R 且 x ≠3｝. 又∵ ≠x 310，∴ 2 x 3 ≠1，1∴y ＝2 x 3 的值域为｛ y ｜y>0 且 y ≠1｝.(2)y ＝ 4x +2x+1+1 的定义域为 R. ∵ 2x >0, ∴ y ＝ 4x +2x+1+1＝ (2 x ) 2+2· 2x +1＝x2(2 +1) >1.∴ y ＝4x +2x+1 +1 的值域为｛ y ｜ y>1｝.4，已知-1≤x ≤2, 求函数 f(x)=3+2 ·3x+1-9 x 的最大值和最小值解：设 t=3 x, 因为 -1 ≤ x ≤ 2，所以1t 9 ，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12, 故当 t=33即 x=1 时， f(x) 取最大值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x) 取最小值 -24 。

指数函数的图象及其性质(xin)

-1
O
y＝0.8x
1 2 3 x
例1 比较下列各题中两个值的大小： y
（1）1.72.5
（2）0.8－0.2
< < 0.8
1.73
y＝1.7x
－1.5
（3）1.70.3
<
0.93.1
y＝0.9x
1
O
y=1
1.70.3
1
0.93.1
2 3 x
变式1: 已知下列不等式，比较m,n的大小
mn （1）2m <2n mn （2）0.2m <0.2n （3）am <an（a>0且a≠1) a 1时，m n
x
-3 -2 -1 O
1 2 3
x
-3 -2 -1 O
1 2 3
x
思考2:不同底数的函数图象有什么特点？
1 x y( ) 10
y 8
y=10x y=3x
7
6 5
1 x y( ) 3
1 x y( ) 2
4
3
y2
x
2 1
0<a<1
4 3 2 1
o
1
2Байду номын сангаас
3
4
x
a>1
例2：指数函数 y a x , y b x , y c x , y d x
的图象如下图所示，则底数 a, b, c, d 与正整数 1
0 b a ________ 1 共五个数，从小到大的顺序是 __________ d c
y
y
y b
x
5
yc
yd
1
x
4
ya

指数函数的概念

的值.
解：∵() = 且(3) =
∴ (3) = 3 = .
1
3
∴ = ，即() = (
0
3
1
3
)

3
= .
1
3
∴(0) = = 1；(1) = =
3
；(−3) =
−3
3
1

= −1 = .
例析&练习
题型三：指数函数的实际应用
例3.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，
Q1:在 = 中，对有要求吗？
∈
Q2:那对有要求吗？
若 = 0，则 ≤
0时，无意义；若
若 = 1，则 = 1无研究的必要.
因此我们规定： > 0且 ≠ 1.
< 0，则 =1Fra bibliotek1，等时，无意义；
2
4
概念生成
一般地，函数 = ( > 0且 ≠ 1)叫做指数函数，其中指数是自变量，
一半，即(1 − ) 5730 =
则(1 −
) =
[1 − (1
1
，那么1 −
2
1
− ( )5730 )] =

=
5730
1 1
(( )5730 )
2
1
2
=
1
( )5730 ，

( ∈ [0, +∞)).

= (( ) ) ( ∈ [0, +∞))

=1−
乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题：（1）写出两城市的人口总数
（万人）与年份（年）的函数解析式；