高考填空题分项练3 立体几何

高考填空题分项练3 立体几何

1．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积为________． 答案 23π

解析 圆锥底面周长为22π，母线长为22＋2＝6，

所以它的侧面积为1

2

×22π×6＝23π.

2．若两球表面积之比是4∶9，则其体积之比为________． 答案 8∶27

解析 设两球半径分别为r 1，r 2，

∵4πr 2

1∶4πr 22＝4∶9，∴r 1∶r 2＝2∶3，

∴两球体积之比为43πr 31∶43πr 32＝⎝⎛⎭⎫r 1r 23＝⎝⎛⎭

⎫233＝8∶27.

3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的个数为________． ①若m ⊥α，α⊥β，则m ∥β； ②若m ⊥α，α∥β，n ⊂β，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α. 答案 2

解析 对于①，若m ⊥α，α⊥β，则m ∥β或m ⊂β，所以不正确； 对于②，若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β，又n ⊂β，所以m ⊥n 正确； 对于③，若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β或α与β相交，所以不正确； 对于④，若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β，又由m ⊥β，所以m ⊥α正确． 综上，正确命题的个数为2.

4.如图，平行四边形ADEF 的边AF ⊥平面ABCD ，且AF ＝2，CD ＝3，则CE ＝________.

答案

13

解析 因为AF ⊥平面ABCD ，

所以AF 垂直于平面ABCD 内的任意一条直线；

又AF ∥ED ，所以ED 垂直于平面ABCD 内的任意一条直线． 所以ED ⊥CD ，所以△EDC 为直角三角形， CE ＝

ED 2＋CD 2＝13.

5．圆柱形容器的内壁底面半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了5

3 cm ，则这个铁球的表面积为________ cm 2.

答案 100π

解析 设该铁球的半径为r cm ， 则由题意得43πr 3＝π×102×5

3，

解得r 3＝53，∴r ＝5，

∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．

6.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1，V 2的两部分，那么V 1∶V 2＝________.

答案 7∶5

解析 设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1＋V 2＝Sh . ∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴S △AEF ＝1

4S ，

V 1＝13h ⎝⎛⎭

⎫S ＋14

S ＋

S ·S 4＝7

12Sh ， V 2＝Sh －V 1＝5

12Sh ，

∴V 1∶V 2＝7∶5.

7．以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________． 答案

22

解析 设底面半径为r ，则圆锥的母线长为2r ，圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为

πr ·2r

2πr ·r ＝2

2

. 8.P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为O ，M 为PB 的中点，给出结论： ①OM ∥PD ；②OM ∥平面PCD ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA ；⑤OM ∥平面PCB . 其中正确的是________．(填序号)

答案 ①②③

解析 由题意可知OM 是△BPD 的中位线，∴OM ∥PD ，①正确；由线面平行的判定定理可知，②③正确；OM 与平面PBA 及平面PCB 都相交，故④⑤不正确．

9.如图，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，现在沿SE ，SF ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3重合，重合后的点记为G .给出下列关系：

①SG ⊥平面EFG ；②SE ⊥平面EFG ； ③GF ⊥SE ；④EF ⊥平面SEG . 其中成立的序号为________． 答案 ①③

解析 由SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，GE ，GF ⊂平面EFG ，GE ∩GF ＝G ，得SG ⊥平面EFG ，①正确；若SE ⊥平面EFG ，则SG ∥SE ，这与SG ∩SE ＝S 矛盾，所以②错；由GF ⊥GE ，GF ⊥GS ，GE ∩GS ＝G ，GE ，GS ⊂平面SEG ，得GF ⊥平面SEG ，所以GF ⊥SE ，③正确；若EF ⊥平面SEG ，则EF ∥GF ，这与EF ∩GF ＝F 矛盾，所以④错．

10．已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AA 1＝2BC ＝4，E ，F ，G 分别为棱AB ，BC ，CC 1的中点，则三棱锥G －A 1EF 的体积为________． 答案 12

解析 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连结A 1C 1，AC ，C 1F ，C 1E ，因为E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，所以A 1C 1∥AC ∥EF ，所以1G A EF V －＝1A GEF V －＝1C GEF V －＝1E C GF V －＝13×

1

2

×1

2CC1×

1

2BC×

1

2AB＝

1

2.

11．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的序号是________．

①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；

②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；

③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；

④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β.

答案④

解析①缺少了条件：l⊂α；②缺少了条件：α⊥β；③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．

12．正△ABC的边长为a，沿高AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，则B到AC的距离为________．

答案

7 4a

解析如图，作DH⊥AC于点H，连结BH.

∵BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC＝D，AD，DC⊂平面ACD，∴BD⊥平面ACD，从而BD⊥DH.

∴DH为BH在平面ACD内的射影，

∴BH⊥AC.

又正△ABC的边长为a，∴DH＝

3

4a，

∴BH＝BD2＋DH2＝

7 4a.

13.如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：