高二数学必修3月考测试题

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广东省中山市普通高中高二数学下学期3月月考试题

下学期高二数学3月月考试题01满分150分.时间120分钟. 第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. f 伽沙处和冋=乙则实数A .— 1B . 1【答案】B【答案】D3.已知物体的运动方程是 s it 4 4t 3 16t 24（t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度为0的时刻是（）A . 0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C. 2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒【答案】D24 .曲线y=2x 在点P （1 , 2）处的切线方程是（）A . 4x-y-2=0B . 4x+y-2=O C. 4x+y+2=O D. 4x-y+2=0【答案】A5•由曲线y = x 2和直线x = 0, x = 1, y = t 2, t € （0,1）所围成的图形（阴影部分）的面积的最小【答案】Asin x6.函数y的导数为（cosx【答案】Ca 等于（）C.-宀D 宀2.若函数f x 满足 f3 ，则xo-Tmo Hh3A . -3B . -6C. -9D. -12A . 2 ■ 2cos x sin x -2cos xC.cos x sin 2x2cos xD.2cos x 2sin x 2 cos x 2・2cos x sin x2 cos x值为（）1 A 1 BB .2x 在x x 0处切线的斜率的乘积为 3，则x 0的值为【答案】11. °2(sinx cosx)dx ()【答案】A【答案】D第n 卷（非选择题共90分）本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）..一 1 2 ，.一一13.若函数f （x ）=尹—ax + Inx 存在垂直于y 轴的切线，贝U 实数a 的取值范围是 __________ 【答案】［2，+^ ）【答案】2f (x)为一次函数，且 f (x) 2x o f (t)dt ,则 f (x)=【答案】f(x) 2x 416.由曲线1,y 1所围成的图形面积是7.已知曲线y 1A . -2B . 2C. D. 1&过点 (0, 1)且与曲线在点（3, 2) 处的切线垂直的直线的方程为A . 【答案】 2x AB . 2x y 1C. x 2y 2D. x 2y9.若1 2x 1 dx xIn 2 a 1 ,则a 的值是（ A . 【答案】 B . 3C.D.10.若曲线1x 2在点 a,a处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18,则（） A . 64 【答案】AB . 32 C. 16D.8A . 0B . 1 C. 2 D. 一212.已知直线 a的值为（）b1r 2 c 2 1B.—C.——D.——3 3 3 3二、填空题（ 14 .已知函数f (x) 3x 22x 1,若11f (x)dx 2f (x 。

天津市高二下学期3月月考数学试题(解析版)

高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．下列导数运算正确的是（） A ． B ．()sin cos x x '=-()33x x '=C ． D ． ()21log ln 2x x '=⋅211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据导数公式运算对选项一一验证即可. 【详解】对于A ，，故A 错； ()sin cos x x '=对于B ，，故B 错； ()33ln 3x x '=对于C ，，故C 正确； ()21log ln 2x x '=对于D ，，故D 错．211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选：C ．2．函数（为自然对数的底数），则的值为（）()sin e xf x x =+e ()0f 'A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】先求出，再求出即可．()f x '(0)f '【详解】∵，()sin e xf x x =+∴， ()cos e x f x x '=+∴． 0(0)cos0e 2f '=+=故选：B ．3．已知，则m 等于（）2188C C m m -=A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．1或4【答案】C【分析】根据组合数的性质即可求解.【详解】由可知:或者,解得:或2188C =C m m -21m m =-2-18m m +=1m =3m =故选：C4．已知函数的定义域为(a ，b )，导函数在(a ，b )上的图象如图所示，则函数在(a ，b )()f x ()f x '()f x 上的极大值点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据极大值点的定义结合导函数的图象分析判断即可【详解】由函数极值的定义和导函数的图象可知，在(a ，b )上与x 轴的交点个数为4，但是在()f x '原点附近的导数值恒大于零，故x ＝0不是函数f (x )的极值点．其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．故选：B5．函数的单调递减区间为（） ()4ln f x x x =-A ． B ．C ．D ．()0,∞+10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由结合定义域即可解出．()0f x '<【详解】因为，所以，由解得：，所()()4ln 0f x x x x =->()14f x x '=-()0140x f x x >⎧=<'⎪⎨-⎪⎩104x <<以函数的单调递减区间为．()4ln f x x x =-10,4⎛⎫⎪⎝⎭故选：B ．6．从6名男医生，5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小组，且至少有一名女医生，则不同的选法共有（） A ．130种B ．140种C ．145种D ．155种【答案】C【分析】由题意知医疗小组中有女医生的情况有名三种情况，分别求出对应的选法数，并加{1,2,3}总即可.【详解】1、小组有1名女医生的选法：种；125675C C =2、小组有2名女医生的选法：种；215660C C =3、小组有2名女医生的选法：种； 3510C =∴共有种选法. 145故选：C7．由0，1，2，3，5这5个数字可以组成三位没有重复数字的奇数个数为（） A ．27 B ．36C ．48D ．21【答案】A【分析】根据题意，要求三位没有重复数字的奇数，分析个位、百位、十位数各有几种情况，应用计数原理，求得结果.【详解】根据题意，要求三位没有重复数字的奇数，则个位数字必须为1、3、5中的一个，则个位数有3种情况，剩下4个数字中，0不能在百位，则百位数字有3种情况，在剩下的3个数字中任选1个，安排在十位，有3种情况，则可以组成三位没有重复数字的奇数有个， 33327⨯⨯=故选：A.【点睛】该题考查的是有关构成没有重复数字的奇数的个数问题，涉及到的知识点有分步计数原理，在解题的过程中，注意奇数的条件，以及最高位不能为零，属于简单题目. 8．若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是()321233f x x x =+-(),3a a +a （） A ． B ．C ．D ．()3,2--()3,1--()2,1--()2,0-【答案】A【解析】利用导数求出在处取得极小值，在处取得极大值，()f x 0x =()203f =-2x =-()223f -=再根据且，结合三次函数的图象列不等式组可求得结果.2(0)3f =-2(1)3f =03132a a <+≤⎧⎨-≤<-⎩【详解】由得或，()22(2)0f x x x x x '=+=+=2x =-0x =可以判断在处取得极小值，在处取得极大值.()f x 0x =()203f =-2x =-()223f -=令，得或，令，得或，()23f x =-3x =-0x =()23f x =2x =-1x =由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，()f x (),3a a +2x =-0x =结合函数的图象可得：，解得，()f x 03132a a <+≤⎧⎨-≤<-⎩32a -<<-故的取值范围是. a ()3,2--故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值和最值，考查了数形结合思想，属于基础题. 9．已知函数，，若对任意的，存在，31()ln 144g x x x x =+--2()24f x x tx =-+1(0,2)x ∈[]21,2x ∈使，则实数的取值范围是（） 12()()g x f x ≥t A ． B ．17[2,817,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ． D ．[)2,+∞[)1,+∞【答案】B【分析】由题意可知，转化为分别求两个函数的最小值，利用导数求函数最()()min min g x f x ≥()g x 小值，对于函数，讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值. ()f x 【详解】由题意可知，因为， ()()min min g x f x ≥31()ln 144g x x x x =+--所以，且， ()()()222213131434444x x x x g x x x x x -----'=--==02x <<当时，，函数单调递减， ()0,1x ∈()0g x '<当时，，函数单调递增， ()1,2x ∈()0g x '>所以当时，取得最小值，， 1x =()g x ()112g =-，，()()222244f x x tx x t t =-+=-+-[]1,2x ∈①当时，函数单调递增，，1t <()()min 152f x f t ==-即，解得：，不成立；1522t -≤-114t ≥②当时，，12t ≤≤()()2min 4f x f t t ==-即，解得：或2142t -≤-t ≥t ≤③当时，函数单调递减，， 2t >()()min 284f x f t ==-即，解得：，成立.1842t -≤-178t ≥综上可知：. 178t ≥故选：B二、填空题10．函数在__________处取得极小值． 32()34f x x x =-+x =【答案】2【详解】试题分析：，当得，当()322()34()3632f x x x f x x x x x =-+∴=-=-'()0f x '>0,2x x 得，所以处函数取得极小值()0f x '<02x <<2x =【解析】函数单调性与极值 11．函数在点处的切线方程为____________． 1()ln f x x x=-(1,1)-【答案】23y x =-【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】， 211()f x x x '=+则，()12f '=所以函数在点处的切线方程为， 1()ln f x x x=-(1,1)-()121y x +=-即.23y x =-故答案为：. 23y x =-12．函数是R 上的单调函数，则m 的范围是_________. 32123y x x mx =+++【答案】 [1,)+∞【解析】是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于或恒小于等于， 32123y x x mx =+++00而导函数是开口向上的二次函数，只可能是恒大于等于0，则用判别式求解即可. 【详解】是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于 32123y x x mx =+++0 2'20y x x m =++≥则， 440m ∆=-≤m 1≥故答案为：[1,)+∞【点睛】若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．13．函数在处有极值10，则的值为________． 322()f x x ax bx a =--+1x =a b +【答案】7a b +=【分析】先根据极值列方程组解得值，再代入验证，即可确定结果. a b ，【详解】解∵函数 322()f x x ax bx a =--+∴，2()32f x x ax b '=--又∵函数，当时有极值10，322()f x x ax bx a =--+1x =∴，∴或 2320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩411a b =-⎧⎨=⎩33a b =⎧⎨=-⎩当时，有不等的实根满足题意； 411a b =-⎧⎨=⎩2()32(1)(311)0f x x ax b x x '=--=-+=当时，有两个相等的实根，不满足题意； 33a b =⎧⎨=-⎩22()323(1)0f x x ax b x '=--=-=∴7a b +=【点睛】本题考查根据极值求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.14．从名男生和名女生中选出人分别担任三个不同学科课代表，若这人中必须既有男生又有3333女生，则不同的选法种数共有_______________．（用数字作答）【答案】108【分析】先求出选人的方法种数，然后再将所选人分配给不同的科目即可，利用分步乘法计数原3理可求得结果.【详解】所选人中必须既有男生又有女生，可以是男女，也可以是男女，再将所选人分312213配给不同的科目，由分类加法计数原理和分步乘法计数原理可知，不同的选法种数为.()1221333333186108C C C C A +=⨯=故答案为：.108【点睛】本题考查分配问题，考查分类加法和分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.15．已知是定义在R 上的偶函数，当时，，且，则不等式()f x 0x >()()0xf x f x '->()20f -=的解集是___________.()0f x x>【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【分析】构造函数，利用导数、函数的奇偶性进行求解即可.【详解】设，因为当时，， ()()''2()()()f x xf x f x g x g x x x -=⇒=0x >()()0xf x f x '->所以当时，单调递增，0x >'()0,()g x g x >因为是定义在R 上的偶函数，所以当时，()f x 0x ≠，所以函数是奇函数， ()()()()f x f x g x g x x x--==-=--()g x 故当时，函数也是增函数，0x <()g x 因为，所以，所以，， ()20f -=()20f =()20g -=()20g =当时，由，0x >()0(2)2g x g x >=⇒>当时，由， 0x <()0(2)220g x g x x >=-⇒>-⇒-<<故答案为：(2,0)(2,)-+∞三、解答题16．甲、乙、丙、丁、戊五人按下列要求站成一排分别有多少种不同站法？（列式并计算） (1)甲不站右端也不站左端；(2)甲，乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端．【答案】(1)72 (2)12 (3)78【分析】（1）甲不在左右两端，故先从其他四人中选两人站两端，余下三人再全排列；（2）甲乙站两端，先排甲乙，余下三人再全排列；（3）先全排列再减去不符合的情况.【详解】（1）因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的4个人中任选两人站在两端，有种24A 12=站法，再让剩下三个人站中间三个位置上，有种站法，由分步乘法计数原理知，33A 6=共有种站法．12672⨯=（2）首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有种站法；22A 2=再让其他3个人在中间3个位置全排列，有种站法，33A 6=根据分步乘法计数原理，共有种站法．2612⨯=（3）甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种，而甲在左端且乙在右端的44A 24=44A 24=站法有种，故共有种站法．33A 6=543543A 2A A 120224678-+=-⨯+=17．已知函数.()()2e xf x x =-(1)求函数的单调区间； ()f x (2)求在上的最值.()f x []1,2-【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减 ()f x ()1,+∞(),1-∞(2)最大值，最小值， 0e -【分析】（1）根据导数的正负得出其单调性；（2）根据第一问的函数单调性得出其最值.【详解】（1）函数，则，()()2e x f x x =-()()1e x f x x '=-当时，，当，，1x >()0f x ¢>1x <()0f x '<故函数在上单调递增，在上单调递减()f x ()1,+∞(),1-∞（2）由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减 ()f x (]1,2[)1,1-且，，()1313e ef --=-=-()20f =则在上的最大值，最小值， ()f x []1,2-()()max 20f x f ==()()min 1e f x f ==-18．一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，46（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？4（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少2157种？【答案】（1）115（2）186【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种． 12490115++=（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有种；41466C C =第二种，3红2白，取法有种，324660C C ⋅=第三种，2红3白，取法有种，2346120C C ⋅=根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有 660120186.++=19．已知函数. ()()212ln R 2f x x ax x a =--∈(1)当时，求函数的单调区间和极值；1a =()f x (2)若函数在区间上单调递增，求实数a 的取值范围.()f x [)1,+∞【答案】(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值 (0,2)(2,)+∞2ln 2-(2) 1a ≤-【分析】（1）先求导，从而得到单调区间，根据单调性可得极值；（2）由条件可知恒成立，再分离变量求最值即可求解. ()0f x '≥【详解】（1）函数的定义域为， ()f x ()0,∞+当时， 1a =()212ln 2f x x x x =--求导得，整理得：. ()21f x x x '=--()()()21x x f x x-+'=由得；由得 ()0f x ¢>2x >()0f x '<02x <<从而，函数减区间为，增区间为 ()f x (0,2)(2,)+∞所以函数极小值为，无极大值. ()f x ()22ln 2f =-（2）由已知时，恒成立，即恒成立， [)1,x ∞∈+()0f x '≥20x a x--≥即恒成立，则.2a x x ≤-min 2a x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭令函数，由知在单调递增， ()()21g x x x x =-≥()2210g x x'=+>()g x [)1,+∞从而.()()min 11a g x g ≤==-经检验知，当时，函数不是常函数，所以a 的取值范围是. 1a =-()f x 1a ≤-20．已知函数．2()(2)ln f x ax a x x =-++(1)当时，求曲线在处的切线方程； 2a =()y f x =()()1,1f (2)求函数的单调区间． ()f x 【答案】(1) 30x y --=(2)答案见解析【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义即可求解.（2）求出导函数，分情况求解不等式和即可得解. ()0f x '>()0f x '<【详解】（1）当时，，， 2a =2()24ln f x x x x =-+0x >，所以，又， ()144f x x x'=-+()11f '=()1242f =-=-所以曲线在点处的切线方程为，即. ()y f x =(1,(1))f 21y x +=-30x y --=（2），()2221(1)(21)()(0)ax a x ax x f x x x x-++--'==>当，令得，由得，由得， 0a ≤()0f x '=12x =()0f x '>102x <<()0f x '<12x >所以的单调递增区间为，单调递减区间为 ()f x 1(0,)21,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当，令得， 0a >()0f x '=1211,2x x a ==当时，由得或，由得， 02a <<()0f x '>102x <<1x a >()0f x '<112x a<<所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； ()f x 1(0,)21,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，所以的单调增区间为，无单调减区间；2a =()221()0x f x x '-=≥()f x (0,)+∞当时，由得或，由得， 2a >()0f x '>10x a<<12x >()0f x '<112x a <<所以的单调增区间为和，单调递减区间为. ()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1(,)2+∞11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

高中数学必修3第一次月考题

任丘一中2013-2014学年高二第一学期第一次阶段考试数学试题考试时间：9月12日命题范围：必修3、选修1-1 命题人：李学武李燕一．选择题（每题5分，共80分，每题只有一个符合题意的选项） 1.用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）.Ａ．3 B ．9 C ．17 D ．512.线性回归方程a bx y+=ˆ表示的直线必经过的一个定点是（）. Ａ．)y ,x ( B ．)0,x ( Ｃ．)y ,0( Ｄ．)0,0(3. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.Ａ．23与26B ．31与26C ．24与30D ．26与304. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 同时发生的概率是（）.A.512 B.712 C.112 D.345.“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要 6. .已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则（）A. 00:,sin 1p x R x ⌝∃∈≥B. 00:,sin 1p x R x ⌝∀∈≥C. 00:,sin 1p x R x ⌝∃∈>D. 00:,sin 1p x R x ⌝∀∈>7. 若地铁列车每10分钟一班，在车站停一分钟，则乘客到达站台立即上车的概率为（） A101 B 51 C 52 D 1098.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁1 2 42 03 5 63 0 1 14 1 20.3 0.1 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2视力频率组距的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要9．如果方程122=+y mx 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围( )A ．()1,0 B.()+∞,1 C. ()()+∞⋃,11,0 D.()+∞,0 10. 右图给出的是计算201...614121++++的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）.A ．21≤iB ．11≤iC ．21≥iD ．11≥i11. 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a, b 的值分别为A.27.0；78B. 27.0；83C.2.7；78D.2.7；8312.在一次歌手大赛上，7位评委为某歌手打分如下：9.4, 8.4, 9.4, 9.9, 9.6, 9.4, 9.7,去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A.9.4 , 0.484B.9.4 ,0.016C.9.5 ,0.04D.9.5 ,0.016 13. 已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则非p 是非q 的( ) A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件14. 调研考试以后，班长算出了某班40人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么NM的值为（）A.4041B.1C.4140D.2 15. 已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[e,4]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]16.在下列结论中，正确的是（）①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件 ②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件 ③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件 ④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 二．填空题（每题5分，共20分）17．某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2,若该校取一个容量为n 的样本，则n= ． 18.经过两点()()2,3,1,6--B A 的椭圆的标准方程 19.命题“0322>--ax ax 不成立”是真命题，则实数a 的取值范围 20. 甲乙两袋中各有大小相同的两个红球、一个黄球，分别从两袋中取一个球，恰有一个红球的概率是 .三．解答题（21-25题每题10分） 21. 已知：p ：523,x ->q ：210,45x x >+-则p 是q 的什么条件？22．一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品。

安徽省高二下学期月考(3月)数学试题(解析版)

一、单选题1．已知函数在处可导，若，则＝（） ()f x 0x x =()()00Δ02Δ2Δlim 2Δx f x x f x x x→+--=0()f x 'A ．1 B ．C ．2D ．812【答案】B【分析】利用导数的定义求解．【详解】. 0()f x '=()()()()0000Δ0Δ02Δ2Δ2Δ2Δ111lim lim 24Δ4Δ42x x f x x f x x f x x f x x xx →→+--+--==⨯=故选：B2．下列结论中正确的是（） A ．若，则πcos3y =1πsin 33y '=-B ．若，则 sin(2)y x =()2cos 2y x ='C ．若，则 ()ln 5y x =15y x'=D ．若，则 2e x y =2e x y '=【答案】B【分析】运用求导法则求函数的导数．【详解】A ：是常数，所以，不正确； π1cos 32=0y '=B ：，正确； cos(2)(2)2cos 2y x x x =⋅=''C ：，不正确； 11(5)5y x x x'='⋅=D ：，不正确. 22e (2)2e x x y x '⋅='=故选：B3．在等比数列中，，则（） {}n a 151,3a a ==3a =A ．BC ．D ．3【答案】B【解析】由结合等比数列的通项公式求出，最后得出.151,3a a ==2q =3a【详解】设的公比为q ，则，所以，所以(如果利用等比{}n a 44513a a q q ===2q =231a a q ==中项性质求的话，要注意等比数列奇数项的保号性特点). 故选：B .4．若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（） 2y x ax b =++b 20x y ++=A ．， B ．， 1a =2b =1a =2b =-C ．， D ．，1a =-2b =1a =-2b =-【答案】D【分析】由可知切线的斜率为，所以切线方程为，又切线方程为2y x a '=+k a =()0y b a x -=-，比较系数可得a ，b 的值．20x y ++=【详解】因为，切点为(0,)，2y x a '=+b 所以切线的斜率为，则切线方程为，即， 0|x k y a ='==y b ax -=y ax b =+又切线方程为，即， 20x y ++=2y x =--所以，. 1a =-2b =-故选：D5．要排一份有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，若任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数是（） A ． B ． 3588A A 5355A A C ． D ．5356A A 5456A A 【答案】C【分析】运用插空法，先排5个独唱节目，再插入3个舞蹈节目，即可得结果. 【详解】三个舞蹈节目不排在一起，可先排独唱节目，有种排法，55A 将三舞蹈节目排在5个独唱节目间，即从6个空位中选3个空位插入舞蹈节目，有种排法， 36A 根据乘法原理，共有种不同的排法. 5356A A 故选：C 6．若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（） 3212()33f x x x =+-1a -5a +a A ．[－5,1) B ．(－5,1) C ．[－2,1) D ．(－2,1)【答案】C【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(,)内存在最小值，只需极小值点在该区间1a -5a +内，且在端点处的函数值不能超过极小值．【详解】由，令，可得或，2()2f x x x =+'()0f x '=2x =-0x =由得：或，由得：，()0f x '><2x -0x >()0f x '<20x -<<所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，()f x (,2)-∞-(2,0)-(0,)+∞所以函数在处取得极小值，0x =2(0)3f =-令，解得或， ()32122333f x x x =+-=-0x =3x =-若函数在(,)内存在最小值，则，得． ()f x 1a -5a +3105a a -≤-<<+21a -≤<故选：C7．一矩形地图被分割成了4块，小刚打算对该地图的4个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）涂不同颜色．现有5种颜色可供选择（5种颜色不一定用完），则不同的涂色方法种数有（）A ．180B ．240C ．80D ．260【答案】D【分析】将图中的地图涂色，最少需要2种颜色，最多可用4种颜色，可对所用颜色的种数分类计数．【详解】四部分分别记为ABCD ，如图所示，由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：第一类，用4种颜色涂色，有种方法．45A 120=第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种．在涂的过程中，选对顶的两部分（A 、C 或35C B 、D ）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法，根据分步计数原理求12C 33A 得共种涂法．313523C C A 120⋅⋅=第三类，用两种颜色涂色．选颜色有种选法，A 、C 用一种颜色，B 、D 涂一种颜色，有种涂25C 22A 法，故共种涂法．2252C A 20⋅=∴共有涂色方法120+120+20＝260种．故选：D ．8．如图，方格蜘蛛网是由一簇正方形环绕而成的图形．除最外边的正方形外，每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且将边长分为3:4两部分．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边正方形的边长为1米，并按由外到内的顺序制作，记由外到内第个正方形的n 边长为，则（）（参考数据：） n a 7lg0.155≈A ．由外到内第二个正方形的周长为 57B ．57nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．完整的正方形最多有7个D ．完整的正方形最多有8个【答案】C【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.【详解】记由外到内的第个正方形的边长为，则，，，…，n n a 11a =257a =2357a ⎛⎫= ⎪⎝⎭157n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．这个正方形所用铁丝的总长为，n 2151555574141415777717nn n -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++=⨯=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦- 令≤，则≥，即≤14，51417n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1357n ⎛⎫ ⎪⎝⎭11475n ⎛⎫ ⎪⎝⎭两边取对数，得≤，则≤，解得≤， 7lg5n 7lg141lg 5=+0.15n 1.15n 273即可制作完整的正方形的个数最多为7，所以C 正确，D 不正确．而第二正方形的周长应为，，所以A ，B 均不正确.22047a =157n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C二、多选题9．在数列中，，，则（）{}n a 11a =11(1)n n a a n n +-=+A ． B ．374a =353=a C ． D ．121n a n =-+12n a n=-【答案】BD【分析】由递推公式、运用累加法可求出数列的通项公式．【详解】由得：，，…，1111(1)1n n a a n n n n +-==-++1111n n a a n n--=--121121n n a a n n ---=---，，321123a a -=-21112a a -=-将各式相加得：，则，当时，. 111n a a n -=-12n a n =-3n =315233a =-=故选：BD10．已知定义在R 上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是()f x ()f x '（）A ．()()()f c f b f a >>B ．函数在处取得极小值，在处取得极大值 ()f x x c =x e =C ．函数在处取得极大值，在处取得极小值 ()f x x c =x e =D ．函数的最小值为 ()f x ()f d 【答案】BD【分析】观察导函数的图象，可得的零点，使中的区间，从而确定函()f x '()f x '()0f x '>()0f x '<数的极值点和单调区间，根据函数的单调性比较函数值的大小，通过分析可得函数极大值、极()f x 小值以及最值情况．【详解】由的图象可知，当时，，当时，，()f x '(,)(,)x c e ∈-∞⋃+∞()0f x '>(,)x c e ∈()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ()f x (),c -∞(,)c e (,)e +∞对于A ，因为，所以，所以A 正确；a b c <<()()()f c f b f a >>对于B ，C ，由单调性可知：为极大值点，为极小值点，所以B 不正确，C 正确； c e 对于D ，由于，则，不是最小值，所以D 不正确. d (,)c e ∈()()()f c f d f e >>()f d 故选：BD ．11．下列等式正确的有（）A ．B ．C C m n mn n -=111C C C m m m n n n -+-=-C ． D ．11C C m m n n m n --=122C C 2C C m m m m n n n n --+=++【答案】ACD【分析】利用组合数公式，进行逐项计算判断，也可以通过取特殊值排除错误答!C !()!mn n m n m =-案．【详解】，故A 正确；()()()!!C C !!!!n mmn n n n n m n n m n m m -===--+-令，，则，而，故B 不正确；5n =2m =25C 10=2212125151645C C C C 15411C -+--=-=-=≠，，所以()()()!!C !!1!!m n m n n m m n m m n m ⨯==---()()()()()111!!C 1!11!1!!m n n n n n m n m m n m --⨯-==---+--，C 正确．11C C m m n n m n --=12C 2C C m m m n n n--++=()()()()()!2!!!!1!1!2!2!n n n m n m m n m m n m ++---+--+()()()()()()()!122!2!1!2!!2!!2!n n m n m n n m m n m m m n m m n m m n m -+-+-+-=++-+-+-+()()()()()!12221!2!n n m n m n m m m m m n m ⎡⎤-+-++-++-⎣⎦=-+，故D 正确． ()()()()()()()22!32!122!C !2!!2!!2!m n n n n n n n n m n m m n m m n m ++++++====-+-+⎡⎤+-⎣⎦故选：ACD12．已知函数，函数，下列选项正确的是（）3e ,1()e ,1x x x x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩()()g x xf x =A ．点是函数的零点；()0,0()f xB ．，，使()10,1x ∃∈2(1,3)x ∃∈12()()f x f x >C ．若关于的方程有一个根，则实数的取值范围是x ()20-=g x a a 222e e ,,e 82⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．函数的值域为 ()f x )1e ,--+∞⎡⎣【答案】BD【分析】由函数零点的定义可判断A 不正确，根据函数的单调性，结合图像可判断B 与D 是()f x 否正确，根据函数的单调性与极值情况，结合图像可确定a 的取值范围，可判断选项C ． ()g x 【详解】令，可得，是函数的零点，零点是实数0，不是点，A 错()0f x =0x =0x =()f x ()0,0误；因为，当时，，当时，，当时，24(1)e ,1()(3)e ,1x x x f x x x x ⎧+<⎪=≥'⎨-⎪⎩1x <-()0f x '<11x -<<()0f x '>13x <<，当时，，()0f x '<3x >()0f x '>所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递()f x (),1-∞-()-11，13（，）()3,+∞增，且的极小值为和，且， ()f x 1(1)e f --=-3e (3)27f =(1)e f =当时，，当时，，如图，作出函数的图像，0x <()0f x <0x >()0f x >()f x观察图像可知，，，使，所以B 正确；()10,1x ∃∈2(1,3)x ∃∈12()()f x f x >函数的值域为，D 正确；()f x )1e ,--+∞⎡⎣对于C ，由，得，因为，则()20-=g x a ()2g x a =22e ,1()()e ,1x x x x g x xf x x x ⎧<⎪==⎨≥⎪⎩23(2)e ,1()(2)e ,1x xx x x g x x x x ⎧+<⎪=⎨-≥'⎪⎩，令，得或或，当变化时，，的变化情况，如下表()0g x '=2x =-0x =2x =x ()g x '()g xx(,2)-∞- 2- (2,0)-0 (0,1) 1(1,2) 2 (2,)+∞()g x '＋ 0－＋－＋()g x 递增24e 递减 0 递增e 递减2e 4递增如图，当或或时，关于的方程有一个根，所以a 的取值范围是224e 2e 4a <<2a e >20a =x ()20-=g x a ，C 不正确.{}222e e ,,0e 82∞⎛⎫⎛⎫⋃+⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：BD ．三、填空题13．在等差数列中，若，，则数列的通项公式为____________． {}n a 513a =6818a a +={}n a 【答案】223n a n =-+【分析】利用等差数列基本量间的关系和性质，求得公差即可．【详解】设的公差为，由，得， {}n a d 687218a a a +==79a =所以， 759132752a a d --===--所以，即． ()()551325n a a n d n =+-=--223n a n =-+故答案为：223n a n =-+14．从四棱锥的5个顶点中任选4个，以这4个点为顶点，可以组成________个四面体．【答案】4【分析】从四棱锥的5个顶点中选出的4个点不共面时，可以组成四面体，用间接法．【详解】从四棱锥的5个顶点中选出的4个不同的点，有＝5种取法， 45C 其中从底面四边形的四个顶点不能组成四面体，故取出的四点能组成四面体的个数为5－1＝4．故答案为：415．若函数在上只有一个零点，则的取值范围是__________．()(1)e x f x x a =--(2,)-+∞a 【答案】{}23,1e ∞⎡⎫-+⋃-⎪⎢⎣⎭【分析】问题化为方程只有一个解，等价于的图象与直线只有一个(1)e x x a -=()(1)e x g x x =-y a =交点，结合函数图象可得的取值范围．a 【详解】由题意，方程在上只有一个解， (1)e x x a -=(2,)-+∞令，则，()(1)e x g x x =-()e x g x x '=当时，，当时，， (2,0)x ∈-()0g x '<,()0x ∈+∞()0g x '>即在上单调递减，在上单调递增， ()g x (2,0)-(0,)+∞所以，又，当趋向于时，趋向， min ()(0)1g x g ==-()232e g -=-x +∞()g x +∞当或时，与的图象只有一个交点，即在上只有一个零点， 23ea ≥-1a =-y a =()g x ()f x (2,)-+∞故的取值范围是．a {}23,1e ∞⎡⎫-+⋃-⎪⎢⎣⎭故答案为：{}23,1e ∞⎡⎫-+⋃-⎪⎢⎣⎭16．已知函数，若存在，使得成立，则ln (),()e x xf xg x x x-==12(0,),∈+∞∈R x x ()()12==f x g x k 下列命题正确的有___________． ①当时，0k >121x x +>②当时，0k >212e 2e xx <+<③当时，0k <121+<x x ④当时，的最小值为0k <21e k x x ⋅1e -【答案】①③④【分析】根据可求得在上单调递增，在上单调递减，则可画出的图像；()f x '()f x (0,e)(e,)+∞()f x 利用同构可知等价于，结合图像则可判断① ②③；当时，12()()f x g x k ==2211ln ln e e x x x k x ==0k <可得，，构造函数可判断④． 21e x x =1(0,1)x ∈【详解】解：①， 21ln ()(0)xf x x x -'=>令得，在上递增，且值域；()0f x '>0e x <<()f x (0,e)1(,)e-∞令得，在上递减，且值域；()0f x '<e x >()f x (e,)+∞1(0,e作图如下：当时，由知：若，使得，则， 0k >(1)=0f 1(0,)x ∃∈+∞1()f x k =11x >当时，若，使得，则， 0k <1(0,)x ∃∈+∞1()f x k =101x <<由得：， ()e x g x x -=1()e xxg x -'=令得，在上递增，且值域；()0g x '>1x <()g x (,1)-∞1(,e-∞令得，在上递减，且值域；()0g x '<1x >()g x (1,)+∞1(0,e作出图象如下：()g x当时，由知：若使得，则， 0k >(0)0g =2x ∃∈R 2()g x k =20x >当时，若使得，则， 0k <2x ∃∈R 2()g x k =20x <∴当时，．故①正确．0k >121x x +>②当时，由得：，即， 0k >()()12==f x g x k 2121ln e x x x x -=2211ln ln e e x x x x =∴可看成的两零点， 21,e x x ln xk x=作出的图象如下： ln xy x=由图象易知：或均可趋向于，故②错误； 1x 2e x +∞③当时，由①的讨论知：，，0k <20x <101x <<．故③正确；121x x ∴+<④当时，此时，由②知：，0k <1(0,1)x ∈21e x x =，则， 21ln x x ∴=2111ln x x k x x ==∴要求的最小值即求的最小值即可， 21e kx x ⋅e k k 令，则，()e (0)k h k k k =<()e e (1)e k k k h k k k '=+=+令，解得：，易知为极小值点，故的最小值为．故④正确． e e 0k k k +=1k =-1k =-()h k 1(1)eh -=-故答案为：①③④．【点睛】关键点点睛：同构找到，通过与的图象及性质判断求解，在处理④时，21e x x =()f x ()g x 要注意消元思想的运用．四、解答题17．某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动．(1)如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？ (2)如果男生甲与女生乙至少有一人参加，有多少种选法？【答案】(1)100 (2)140【分析】（1）分两步完成，第一步先选2名男生；第二步再选2名女生，根据乘法原理求得结果；（2）先求出从10人中任选4人的方法数，再减去男生甲与女生乙都不参加的方法数，即得男生甲与女生乙至少有一个参加的选法种数．【详解】（1）第一步，从5名男生中选2人，有种选法；第二步，从5名女生中选2人，有25C 25C 种选法．根据分步乘法计数原理，共有种选法．2255C C 100=（2）从10人中选取4人，有种选法；男生甲与女生乙都不参加，有种选法．410C 48C 所以男生甲与女生乙至少有1人参加，共有种选法．44108C C 140-=18．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式其中3<x <6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，()21063,ay x x =+--每日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【答案】(1)2a =(2)当销售价格时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 4x =【分析】（1）设，由题有，据此可得答案； ()f x =()21063ax x +--()511f =（2）设商场每日销售该商品所获得的利润为，则由题可得()g x ，后利用导数可得答案. ()32101507201078g x x x x =-+-【详解】（1）设， ()f x =()21063ax x +--则由题有：. ()5101122af a =+=⇒=（2）设商场每日销售该商品所获得的利润为，则由题可得：()g x ，()()()()()232321063101507201078g x f x x x x x x x =-=+--=-+-其中.则，36x <<()()()2303007203046g x x x x x '=-+=--得在上单调递增，在上单调递减， ()g x ()34，()4,6故当销售价格时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 4x =19．已知函数（）．2()ln f x ax x x =+-R a ∈(1)当时，求函数在区间上的最值；1a =()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若在定义域内仅有一个零点，求的取值范围． ()()g x f x x =-a 【答案】(1)，； max ()2f x =()min 3ln24f x =+(2)．(]1,02e ∞⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭【分析】（1）求出函数的极值点，并求极值和端点处的函数值，可得函数最大值与最小值；（2）分离参数，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象仅有一个交a 2ln ()x h x x=y a =()h x 点，求的取值范围．a 【详解】（1）当时，，则，1a =2()ln f x x x x =+-()()()211x x f x x-+'=当时，当时，11,32x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x '<1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0f x '>所以，在上单调递减，在上单调递增，则．()f x 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,12⎛⎤⎥⎝⎦()min 13ln224f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭又，＞，所以． 14ln 339f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)2f =13f ⎛⎫⎪⎝⎭max ()(1)2f x f ==（2）由，得，令，则，()()0g x f x x =-=2ln x a x =2ln ()xh x x =212ln ()x h x x -'=令得，令得 ()0h x '>0x <<()0h x '<x >∴在上单调递增，在)上单调递减， ()h x +∞∴，当趋向于时，趋向，当趋向于时，趋向． max 1()e2h x h ==x 0()h x -∞x +∞()h x 0作出函数的图象和直线， 2ln ()x h x x=y a =如图示，在定义域内有且仅有一个零点,即和有且只有一个交点， ()g x 2ln ()x h x x =y a=由图象知，的取值范围是．a (]1,02e ∞⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭20．已知数列的前项和为，若对任意，都有．{}n a n n S *N n ∈23()n n S a n =-(1)求证：数列为等比数列；32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭(2)记，数列的前项和为，求证：＜1．213n n n n b a a ++={}n b n n T n T 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用得，得，依据等比1n n n a S S -=-123()3(1)n n n a a n a n -=---+133322n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭数列的定义进行证明；（2）运用裂项相消法求，即可证明． n T 1n T <【详解】（1）证明：由， 23()n n S a n =-当时，，解得， 1n =1123(1)a a =-13a =当时，，2n ≥1123(1)n n S a n --=-+则， 11122()3()3(1)333n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=---+=--即，所以，， 133n n a a -=+133322n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭又因为，所以数列是首项为，公比为3的等比数列．133930222a +=+=≠32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭92（2）证明：由（1）可知，，所以，139322n n a -+=⨯3(31)2n n a =-则22111133431129(31)(31)3131(31)(31)4n n n n n n n n n n n n b a a ++++++⨯⎛⎫====- ⎪----⎝⎭--所以 22311111112313131313131n n n T +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．111122123131n n ++⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭由，有，则，即.*n ∈N 1310n +->121131n +-<-1n T <21．已知函数（为自然对数的底数）．21()e xax x f x +-=e (1)若是函数的极值点，求的值； 3x =()f x a (2)若，讨论的单调性．0a ≥()f x 【答案】(1)；13a =-(2)答案见解析.【分析】（1）可导函数在极值点处的导数为0，求得a 的值后，再进行检验；（2）分和两种情况进行讨论，根据符号，研究的单调性．0a =0a >()f x '()f x 【详解】（1）， 2(21)2(1)(2)()e e x x ax a x ax x f x -+-++-=-'=因为是函数的极值点，所以，3x =()f x (3)0f '=即，解得，()()31320a -+-=13a =-经检验，符合题意，故．13a =-13a =-（2）由（1），，若，则，(1)(2)()e xax x f x +-'=-0a =2()e x xf x -=-'当时，当时，2x <()0f x '>2x >()0f x '<所以在上单调递增，在上单调递减； ()f x (,2)-∞(2,)+∞若，令，解得或，且，0a >()0f x '=1x a=-2x =12a -<当时，当或时，12x a-<<()0f x '>1x a <-2x >()0f x '<所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,+∞22．设函数，为的导函数．()e kx f x x a =+()f x '()f x (1)当时，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围； 1k =-0x >()ln f x x x ≥-a (2)当时，设，若，其中，证明：． 1k =()()g x f x '=12()()g x g x =12x x ≠124x x >【答案】(1)11,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(2)证明见解析【分析】（1）当时，存在实数，使得不等式成立，等价于：存在实数1k =-0x >()ln f x x x ≥-，使得不等式成立，构造函数，则等价于，利用0x >ln e x x a x x ≥--()ln e xxx x x φ=--min ()a x φ≥导数求出即可；min ()x φ（2）当时，，则，由此可得函数有极小值点，由函1k =()(1)e x g x x =+()(2)e x g x x '=+()g x 2x =-数单调性可判断在极值点的两侧，不妨假设，则，利用分析法得，()g x 12,x x 12x x <1221x x <-<<-要证明，只需证明，于是构造函数（），利用124x x >224()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭4()()h x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2<<1x --导数证明在上恒成立即可得证．()0h x >()2,1--【详解】（1）当时，存在实数，使得不等式成立， 1k =-0x >()ln f x x x ≥-等价于：存在实数，使得不等式成立， 0x >ln e xxa x x ≥--设， ()()ln 0e xxx x x x φ=-->，当时，，1111()1(1)e ex xx x x x x φ-⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭0x >110e x x +>所以当时，，当时，， 01x <<()0x φ'<1x >()0x φ'>所以在上单调递减，在上单调递增，()x φ()0,1()1,+∞所以，所以，()()min 111e x φφ==-11e a ≥-即实数的取值范围为；a 11,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）当时，，所以，， 1k =()e x f x x a =+()()(1)e x g x f x x '==+()(2)e x g x x '=+当时，，当时，，<2x -()0g x '<2x >-()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()g x (),2-∞-()2,-+∞所以， ()()2min 120e g x g =-=-<且当时，，当时，， 1x <-()0g x <1x >-()0g x >不妨设，则， 12x x <1221x x <-<<-于是要证明，只需证， 124x x >1242x x <<-因为在上单调递减，故只需证，()g x (),2-∞-124()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭又，所以只需证，， 12()()g x g x =224()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭221x -<<-设，，4()()h x g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2<<1x --则， 4443233448(2)2()()(2)e e e (e 8)x x x xx x x h x g x g x x x x x x -++⎛⎫'''=+=++=+ ⎪⎝⎭设，，则，43()e8x xF x x -=+2<<1x --2437()e24x xF x x x -⎡⎤⎛⎫'=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当时，，， 2<<1x --4e0x x->237024x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭所以，在单调递减，所以，()0F x '<()F x ()2,1--()()20F x F <-=又，所以， 43(2)e 0x x x +<()0h x '>所以在单调递增， ()h x ()2,1--所以，()(2)(2)(2)0h x h g g >-=---=即在上恒成立，4()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭()2,1--又，所以成立，2(2,1)x ∈--224()g x g x ⎛⎫> ⎪⎝⎭所以．124x x >【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得()()()h x f x g x =-不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

2019-2020年高二3月月考数学含答案

2019-2020年高二3月月考数学含答案一．选择题（每小题5分，共60分）1.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设，则下列向量中与相等的向量是：( )A、B、C、D、2.下列各组向量中不平行的是（）A. B.C. D.3.，则等于（）A． B． C．0 D．以上都不是4.已知曲线y=x2+1在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标为（）A．（1，3） B．（-4，33） C．（-2，5） D．不确定5.曲线在点（1，-3）处的切线倾斜角为（）A． B．C．D．6.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A． B．1 C．2 D．37.函数导数是（）A． B．C． D．8.二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=1，则CD的长等于（）A．2B． 3 C．2D． 59.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（）A. B. C. D.10.已知正三棱柱的棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11. PA、PB、PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC与平面PAB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12.设是上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是( ). ．．．二．填空题（每小题4分，共16分）13.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为。

14.已知函数，则15.函数y=的单调减区间为。

16.直线是曲线的一条切线，则实数b＝．三．解答题：17.（本题12分）求下列函数的导函数（1）（2）18.（本题12分）求曲线上的点到直线的最小距离19. (本小题满分12分)如图，ABCD是梯形，面ABCD，且AB＝1，AD＝1，CD＝2，PA＝3，E为PD的中点。

山西高二下学期3月月考数学试题(解析版)

高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（） ()*1111,12321n n n n ++++<∈>-N A ． B ． 1122+<111223++<C ．D ．111323++<11113234+++<【答案】B【分析】取即可得到第一步应验证不等式. 2n =【详解】由题意得，当时，不等式为． 2n =111223++<故选：B ．2．若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（）． 73143213983A ．不在此数列中 B ．第13项 C ．第14项 D ．第15项【答案】D【分析】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答.【详解】因，因此符合题意的一个通项公式为，707711472217313,33,33,33⨯⨯⨯⨯====7(1)3n n a -=由解得：， 7(1)9833n -=15n =所以是这个数列的第15项. 983故选：D3．等比数列中，若，则公比为（） {}n a ()1234133a a a a a a +++=+A ．1 B ．－2C ．2D ．2或－2【答案】C【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， {}n a q 因为，()1234133a a a a a a +++=+所以， ()1234131313)3(()a a a a a a a a q a a +++++=+=+即，解得：， 13q +=2q =故选：.C4．在各项均不为零的等差数列中，若，{}n a 2110(2)n n n a a a n +--+=≥则 214n S n --=A ． B ． C ． D ．2-012【答案】A【详解】试题分析：根据等差数列性质可知，所以，因为{}n a ()1122n n n a a a n +-+=≥220n n a a -=，所以，则，故选A. 0n a ≠2n a =()21421242n S n n n --=-⨯-=-【解析】等差数列.5．一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差23是 A ． B ．C ．D ．2-3-4-5-【答案】C【详解】设等差数列的公差为，，又数列前六项均为正数，第七{}n a d 67235,236a d a d ∴=+=+ 项起为负数，，，又数列是公差为整数的等差数列，2350,2360d d ∴+>+<232356d ∴-<<- ，故选C.4∴=-d 6．（）2321777(7)n -+-++-= A ．B ．C ．D ．211(7)8n +--21178n --211(7)8n ---22178n ++【答案】A【分析】利用等比数列前项和公式求解即可.n 【详解】表示以为首项，为公比的前项和， 2321777(7)n -+-++- 17-21n +所以. 21212321(7)1(7)1777(7)1(7)8n n n++-----+-++-==-- 故选：A7．如图第1个图案的总点数记为，第2个图案的总点数记为，第3个图案的总点数记为1a 2a 3a ，…依此类推，第n 个图案的总点数记为，则（）n a 423520223342029999a a a a a a a a ++++=A ．B ．C ．D ．20212022202220212023202220222023【答案】A【分析】由题意可得时，从而可得，再利2n ≥33n a n =-()()19911133311n n a a n n n n n n+===--⨯--用裂项相消求和法可求得答案.【详解】由题意，，当，时，，11a =1n >*n ∈N 33n a n =-又当，时，， 1n >*n ∈N ()()19911133311n n a a n n n n n n+===--⨯--∴ 233445202220239999a a a a a a a a+++⋅⋅⋅+=()()()()1111111112233420212022-+-+-+⋅⋅⋅+-． 12021120222022=-=故选：A8．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示的3×3正方形网格中，每个小方格中只能填一个数，每个数限填一次．考虑网格中每行从左到右、每列从上到下、两条对角线从上到下所填的数各构成一个数列，共计八个数列，则下列结论中不正确的是（）A ．这八个数列有可能均为等差数列B ．这八个数列中最多有三个等比数列C ．若中间一行、中间一列、两条对角线上的数列均为等差数列，则中心小方格中所填的数必为5D ．若第一行、第一列上的数列均为等比数列，则其余数列中至多有一个等差数列【答案】D【分析】逐个分析每个选项即可.【详解】对于A 项，将1，2，3，4，5，6，7，8，9依次填入网格中，如图， 1 2 3 4 5 6 7 8 9则这8个数列均为等差数列，故A 项正确；对于B 项，1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数中，能构成等比数列的有：1，2，4； 2，4，8；4，6，9；1，3，9.但1，2，4与2，4，8这两个等比数列不可能在同一列，同一行，或对角线上，所以这8个数列中最多有3个等比数列，如图， 1 2 4 3 6 5 9 7 8故B 项正确；对于C 项，若三个数a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a +c ，根据题意要有4组数列成等差数列，且中间的b 相同，则只能是b ＝5，因为2×5＝1+9＝2+8＝3+7＝4+6，所以中间一行、中间一列、两条对角线四组数分别为1，5，9；2，5，8；3，5，7；4，5，6时满足条件，如图， 3 2 4 1 5 9 6 8 7当中心数为其他数时，不满足条件，故C 项正确；对于D 项，若第一行为1，2，4，第一列为1，3，9，满足第一行，第一列均为等比数列，第二行为3，5，7，第二列为2，5，8，则第二行和第二列均为等差数列，此时有两个等差数列，如图， 1 2 4 3 5 7 9 8 6故D 项不正确. 故选：D.二、多选题9．已知数列的通项公式为，则（） {}n a 316n na n =-A ．数列为递增数列B ．{}n a 4862+=a a aC ．为最小项D ．为最大项5a 6a 【答案】CD【分析】根据数列的通项公式，利用分离常数法得出，结合及函数的{}n a 11616393n a n =+⎛⎫- ⎪⎝⎭*N n ∈性质即可判断A 、C 、D ；求得即可判断B ．486,a a a +【详解】， 11616316393n n a n n ==+-⎛⎫- ⎪⎝⎭当()时，，且单调递减；当()时，，且单调递减， 5n >*N n ∈0n a >5n ≤*N n ∈0n a <则为最小项，为最大项，故C 、D 正确，A 错误；5a 6a ，，则，故B 错误，4803414863816a a +=⨯-⨯-+=6336616a ⨯==-4862a a a +≠故选：CD ．10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘以3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）如：取正整数，根据上述运算法则得出6m =6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m 为正整数），，若n a 1a m =1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时61a =，则m 所有可能的取值为（） A ．4 B ．5C ．17D ．32【答案】ABD【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可. 【详解】若，则, 61a =52a =则，则或 44a =38a =31a =当时，或5 38a =216,a =132a =当时，， 31a =22a =14a =综上可能的取值为. m 4,5,32故选：ABD11．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故⋅又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则n a n 数列满足：，，记，则下列结论正确的是{}n a 121a a ==21n n n a a a ++=+121ni n i a a a a ==++⋯+∑（） A ． B ．68a =223(3)n n n a a a n -+=+≥C ．D ．202020221i i a a ==∑20232202320241i i a a a ==⋅∑【答案】ABD【分析】利用递推公式逐项计算可得的值，可判断A 选项；推导出，6a 212n n n a a a +-=+，两式相加可判断B 选项；推导出，利用裂项相消法可判断C 选项；21n n n a a a --=-12n n n a a a ++=-+推导出，利用裂项相消法可判断D 选项.21112n n n n n a a a a a ++++=-+【详解】A ：，，，，正确； 3122a a a =+=4233a a a =+=5345a a a =+=6458a a a =+=B ：当时，，①3n ≥21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+，可得，② 12n n n a a a --=+21n n n a a a --=-①②得：，正确；+223n n n a a a +-+=C ：对任意的，，则，N n *∈21n n n a a a ++=+12n n n a a a ++=-+因此，，错误；()()()20202334202120222022220221i i a a a a a a a a a a ==-++-+++-+=-≠∑ D ：，()2112112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-=-+因此，()()()20232211223233420212022202220231i i a a a a a a a a a a a a a a ==+-++-+++-+∑ ()2022202320232024a a a a +-+，正确.211220232024202320242023202411a a a a a a a a a =-+=-+=故选：ABD.【点睛】关键点点睛：利用已知递推式关系推出，、、212n n n a a a +-=+21n n n a a a --=-12n n n a a a ++=-+判断各项正误.21112n n n n n a a a a a ++++=-+12．在平面四边形ABCD 中，点D 为动点，的面积是面积的2倍，又数列满ABD △BCD △{}n a 足，恒有，设的前n 项和为，则（） 12a =()()1122n nn n BD a BA a BC -+=-++ {}n a n S A ．为等比数列B ．为等差数列{}n a 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．为递增数列D ．{}n a ()1326n n S n +=--【答案】BD【分析】连交于，根据面积关系推出，根据平面向量知识推出AC BD E 2AE EC =BE =，结合，推出，即，求1233BA BC + ()()1122n nn n BD a BA a BC -+=-++ 11222n n n n a a +-=-11222n n n n a a +--=-出，，根据等比数列的定义可判断A ；根据等差数列的定义可判断1242nn a n -=-+()22n n a n =-+⋅B ，根据数列的单调性可判断C ；利用错位相减法求出，可判断D. n S 【详解】如图，连交于，AC BD E则，即，1sin 21sin 2ABD BD AE AEBS S BD EC CED ⋅⋅=⋅⋅△△B C DÐÐ=2AE EC =2AE EC =所以，所以，2AE EC =()2BE BA BC BE -=- 所以， BE =1233BA BC +设，BD tBE =(1)t >因为， ()()1122n n n n BD a BA a BC -+=-++ 所以，()()111122n n n n BE a BA a BC t t -+=-++ ，所以， ()()1111231223n n n n a t a t-+⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()11222n n n n a a -++=-所以，即， 11222n n n n a a +-=-11222n nn n a a +--=-又，所以， 12a =122a =所以是首项为2，公差为的等差数列，12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭2-所以，所以， ()1221242n n an n -=--=-+()()124222n n n a n n -=-+⋅=-+⋅因为不是常数，所以不为等比数列，故A 不正确； ()11(1)222222n n n n a n n a n n ++-+⋅-+==-+⋅-+{}n a因为，()()()111122(1)21212222nn n n n n n n n a a n n n ++++-+⋅-+⋅-=-=-+--+=-所以为等差数列，故B 正确；2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭因为，1n n a a +-=()1(1)222n nn n +-+⋅--+⋅=2n n -⋅所以为递减数列，故C 不正确；{}n a 因为，()1231202(1)222nn S n =⨯+⨯+-⨯++-+⋅ 所以， ()234121202(1)222n n S n +=⨯+⨯+-⨯++-+⋅ 所以，()()23412222222n n n S n +-=-++++--+⋅ 所以，()()1142222263212n n n n S n n ++-⨯-=---+⋅=+-⋅-所以，故D 正确.()1326n n S n +=--故选：BD三、填空题13．已知数列中，，则______. {}n a 1111,1n n a a a +==-+2023a =【答案】1【分析】由求出，，，确定数列的最小正周期为3，进而求.11a =212a =-32a =-41a ={}n a 2023a 【详解】因为，所以，，11a =211112a a =-=-+321121112a a =-=-=-+-+43111121a a =-=-=+-+，……，所以数列为循环数列，最小正周期为3， {}n a 故. 20236743111a a a ⨯+===故答案为：114．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪（1906—1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动n n a n 次数，且数列满足，，，则______． {}n a 11a =22a =()1*223,N n n n a a n n --=+≥∈8a =【答案】170【分析】利用累加法可求得的值.8a 【详解】解：因为，，， 11a =22a =()1*223,N n n n a a n n --=+≥∈所以当且时，，3n ≥*N n ∈122n n n a a ---=所以.()()()()435782426486214222217014a a a a a a a a -=+-+-+-=+++==-故答案为：.17015．若数列第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，已{}n a {}n a 知数列是一个二阶等差数列，且，，，则_______________． {}n a 13a =27a =313a =n a =【答案】21n n ++【分析】利用已知条件求出二阶等差数列的首项和公差，再求出二阶等差数列的通项公式，最后利用累加法即可得到数列的通项公式.{}n a 【详解】，，且数列是一个二阶等差数列，214a a -=326a a -={}n a()141222n n a a n n +∴-=+-⋅=+21321462n n a a a a a a n--=⎧⎪-=⎪∴⎨⎪⎪-=⎩ 由累加法得()()2114246222n n n a a n n n -+-=++⋅⋅⋅+==+-．而a 1=3也符合， 22321n a n n n n ∴=++-=++故答案为：21n n ++16．已知数列的前项和为，对任意，，且{}n a n n S n N *∈()1132nn n nS a n =-++-恒成立，则实数的取值范围是__________．()()10n n t a t a +--<t【答案】311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由得,再由当n ⩾2时,,通过讨论n 的奇偶分别得到(n 为正奇n S 1a 1n n n a S S -=-1112n n a +=-数),(n 为正偶数)，从而得到数列的单调性，进而得到若恒成立，则132n na =-()()10n n t a t a +--<,从而得解.12a t a <<【详解】由,令,得； ()1132nn n nS a n =-++-1n =134a =-当n ⩾2时, ()()1111111311322nn n n n n n n n a S S a n a n ----⎡⎤=-=-++---++--⎢⎥⎣⎦， ()()111112nnn n na a -=-+--+若n 为偶数,则,∴(n 为正奇数)； 1112n n a -=-1112n n a +=-若n 为奇数,则 11111112121132222n n n n n n a a -+-⎛⎫=--+=---+=- ⎪⎝⎭∴(n 为正偶数). 132n na =-函数 (n 为正奇数)为减函数,最大值为， 1112n n a +=-134a =-函数 (n 为正偶数)为增函数,最小值为， 132n na =-2114a =若恒成立， ()()10n n t a t a +--<则,即. 12a t a <<31144t -<<故答案为.311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】⑴对于数列递推关系中含有,通常是通过讨论n 的奇偶分情况求数列通项公式, ()1n-⑵根据不等式恒成立，求参数的取值范围.一般的方法是分离变量，转化为数列的最值问题.四、解答题17．下题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？把错误的地方改正确．用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是． 1()2n n n a a S +=证明，①当时，左边=，右边，等式成立． 1n =11S a =1a =②假设当时，等式成立，即．则当时， ()N*n k k =∈1()2k k k a a S +=1n k =+，11231k k k S a a a a a ++=+++++．11121k k k k S a a a a a ++-=+++++ 上面两式相加并除以2，可得， 111(1)()2k k k a a S ++++=即当时，等式也成立．1n k =+由①②可知，等差数列的前n 项和公式是 1()2n n n a a S +=【答案】有错误，答案见解析【分析】根据数学归纳法的证明过程知在第二步没有用假设前提来证明，更改过来应该利用假设的前提证得. 111(1)()2k k k a a S ++++=【详解】有错误，错误在于证明时，没有应用时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法1n k =+n k =的证明过程.②正确的证明方法：假设当时，等式成立，即， ()N n k k *=∈1()2k k k a a S +=则当时， 1n k =+1111()2k k k k k k a a S S a a ++++=+=+111((1))2k a a k d a kd ++-=++ 12(1)(1)2k a k k d +++=()()1112k a a kd ⎡⎤+++⎣⎦=11(1)().2k k a a +++=这表明，当时，等式也成立.1n k =+18．在等差数列中，已知且．{}n a 12318a a a ++=45654a a a =++(1)求的通项公式； {}n a (2)设，求数列的前项和． 14n n n b a a +=⋅{}n b n n S 【答案】(1)42n a n =-(2) 21n n S n =+【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解；（2）由裂项相消求和法即可求解.【详解】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，则,，解得{}n a d 13318a d +=131254a d +=,12a =4d =,；∴24(1)42n a n n =+-=-*n ∈N（2）解：，()()()()14411114242212122121n n n b a a n n n n n n +⎛⎫====- ⎪⋅-+-+-+⎝⎭ . 111111111111233557212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 19．已知数列满足． {}()n a n ∈*N 1221122222n n n a a a n -+++=-+ (1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，求数列前项和．cos πn n b a n =⋅{}n b 2n 2n T 【答案】(1)22n n a =-(2) 2242.3n n T ⋅-=【分析】（1）用数列中前项和与项的关系求解；n n S n a （2）先写出奇数项、偶数项的通项公式，再按奇数项、偶数项分组求和.【详解】（1）由题意122112.2222n n n a a a n -+++=-+ 当时，； 1n =10a =当时，2n ≥-1122-1213,2222n n n a a a n -+++=-+ 两式相减得， 1211112(3)12222n n n n n a n n ---=-+--+=-所以，当时也成立．22n n a =-1n =所以数列的通项公式.{}n a 22n n a =-（2）根据题意，得 22,.cos π(22)cos π,22,n nn n n n b a n n n ⎧-==-=⎨-⎩为奇数为偶数所以2123212...n n n T b b b b b -=+++++123212(222...22)(222...22)n n -=-+-+-++-+--+123212222...22n n -=-+-+-+ 22[1(2)]1(2)n ---=--242.3n ⋅-=所以 2n T 242.3n ⋅-=20．如图，曲线个正三角为坐标原点）的边长为y =n 10(n n n Q P Q Q -A ．n a(1)求，的值；1a 2a (2)记为数列的前项和，求的通项公式．n S {}n a n {}n a 【答案】(1)， 123a =243a =(2) 23n a n =【分析】（1）根据题意求得点和，代入曲线，即可求解；11(2aP 2212()2a P a +y =（2）记为数列的前项和，求得，得到，结合n S {}n a n 111()2n n n n a P S ++++2113142n n n S a a ++=-，化简得到，利用等差数列的通项公式，即可求解. 1n n n a S S -=-123n n a a +-=【详解】（1）由题意知为边长为的等边三角形，可得， 101Q PQ A 1a 11(2aP因为点在曲线，解得， 1P y =1=123a =又由，解得. 2212()2a P a +2=243a =（2）记为数列的前项和，则， n S {}n a n 111()2n n n n a P S ++++，整理得， 1n +2113142n n n S a a ++=-当时，可得， 2n ≥213142n n n S a a -=-所以，即，112213131()4242n n n n n n n a S S a a a a -++=-=---1113()()2n n n n n n a a a a a a ++++-=+因为，所以， 0n a >123n n a a +-=又因为，即数列是以为首项，为公差的等差数列，21422333a a -=-={}n a 2323所以数列的通项公式为． {}n a 222(1)333n n a n =+-⨯=21．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In }，{In }表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足：In +1＝1.02In ﹣0.2．策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：In +1＝1.08In ﹣0.46．当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．(1)设第一周的虫害指数Ⅰ1∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？(2)设第一周的虫害指数Ⅰ1＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？【答案】(1)分类讨论，答案见祥解；(2)第9周.【分析】（1）分三种情况讨论即可； 111131313,[1,],(,8]333I I I =∈∈（2）根据题意，时，选择策略B ，根据策略B 的数列，求出数列的通项公式，根据条件13I ={}n I 列出不等式，解之即可求解.【详解】（1）策略A ：，1 1.020.2n n I I +=-策略B ：，1 1.080.46n n I I +=-当，可得， 1.080.46 1.020.2n n I I -=-1133I =当时，两者相等， 1133I =当时，用策略B 将使第二周的虫害的严重程度更小；113[1,)3I ∈当时，用策略A 将使第二周的虫害的严重程度更小；113(,8]3I ∈（2）由（1）可知：当时，选择策略B ，113[1,3I ∈所以当时，选择策略B ，13I =因为，所以数列是递减数列， 1 1.080.46n n I I +=-{}n I ，也即，1 1.080.46n n I I +=-1 5.75 1.08( 5.75)n n I I +-=-由等比数列的通项公式可得：，12.75 1.08 5.75n n I -=-⨯+正整数范围内解不等式，得12.75 1.08 5.751n --⨯+<9n ≥所以虫害的危机最快在第9周解除．22．已知等比数列是递减数列，的前项和为，且成等差数列，{}n a {}n a n n S 2311,2,8S a a .数列的前项和为，满足21332a a a =+{}n b n n T 2,*.n T n n n N =+∈（1）求和的通项公式：{}n a {}n b （2）若求 ()2,,38,,n n n n n n a b n c n a n b b +⎧⎪=+⎨⎪⎩是奇数是偶数21n i i c =∑【答案】（1），（2） 12n na =2nb n =()111696517294224n n n n -++--⨯+⨯【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式、求和公式列出方程求解即可；（2）分为奇数、偶数时，求奇数项的和，偶数项的和，即可求解. n 【详解】(1)设数列的公比为，{}n a q 依题意知 ()21112111132148a q a a q a a q a q a ⎧=+⎪⎨+=+⎪⎩由是递减数列，解得， {}n a 111,22q a ==所以. 1112n n na a q -==对于数列，当n =1时，；{}n b 112T b ==当时，，因此，且n = 1时同样适用.2n ≥21n T n n -=-12n n n b T T n -=-=故对于n ∈都有.N *2n b n =所以的通项公式为，的通项公式为. {}n a 12n n a ={}n b 2n b n =（2）当n 是奇数时，， 22n n n c =则 ① 211n i i c -=∑13212642222n n --=+++ ② 21114n i i c -=∑35212642222n n +-=+++ ①、②相减得：， 21134n i i c -=∑1352121211114444242565241112222233414n n n n n n n n --++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+++-=+-=-⨯-得到. 211n i i c -=∑12065994n n -+=-⨯当n 是偶数时，, ()()22381122222n n n n n c n n n n +++==-⋅+⋅+⋅则 21n i i c =∑()24462221111112242426222222n n n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯+⨯ , 1118(22)4n n +=-+⨯所以 2212111n n n i i i i i i c c c -====+∑∑∑()111696517294224n n n n -++=--⨯+⨯【点睛】关键点点睛：由求时，需要分为奇偶，分别求出偶数项()2,,38,,n n n n n n a b n c n a n b b +⎧⎪=+⎨⎪⎩是奇数是偶数21n i i c =∑n 的和与奇数项的和，属于中档题.。

高中数学必修三第1次月考试题

200 的样本，则应抽取三年级的学生人
数为 ( )
A ． 80
B ．40
C． 60
D． 20
[答案 ] B
[解析 ] 应抽取三年级的学生人数为
200×
4＋
2 3＋
＝ 2＋1
40.
7．某公司 10 位员工的月工资 (单位：元 )为 x1， x2，…， x10，其均值和方差分别为
x 和 s2，
若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这个 10 位员工下月工资的均值和方差分别为
() A. x ， s2＋ 1002
B. x ＋ 100， s2＋ 1002 C. x ， s2
D. x ＋ 100， s2
[答案 ] D
[解析 ] 每人工资增加 100 元平均增加 100，方差不变．
8．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的
S 的值为 ( )
A ． 15
B． 105
C．245
D． i ≤ 2015?
[答案 ] B [解析 ] 计算 S＝ 1＋ 2＋ 4＋ … ＋ 22014 的值，所使用的循环结构是直到型循环结构，应在 i≥ 2015 时退出，并输出 S.故填 “ i≥ 2015？ ”．
11．经显示，家庭用液化气量 (单位：升 )与气温 (单位：度 )有一定的关系，如图所示，图 (1) 表示某年 12 个月中每个月的平均气温，图 (2) 表示某家庭在这年 12 个月中每个月的用气量，
[答案 ] D
[解析 ] 本题主要考查条件结构．由分段函数的表达式知，当
x＞ 0 时， y＝ x2＋ 1，故①
处填 y＝ x2＋ 1；由②的否执行 y＝ x＋ 6 知②处填 x＝ 0？；当解析式 x＝ 0 时， y＝ 0 知③处填

高二数学月月考试题必修三试题

卜人入州八九几市潮王学校高二数学试卷第一学期第一次月考本卷须知：1、请使用黑水笔书写；2、答案必须写到指定区域。

一、填空题(此题有14小题，每一小题5分，一共70分):1．假设a <－1，那么不等式1()()0x a x a--<的解集是.2．在△ABC 中，A c B c b a cos cos -=-，那么△ABC 的形状是.3．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x 表示的平面区域的面积是4．{a n }是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，那么35a a +=5．两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 那么157202b b a a ++= 6．不等式01222>-+-k x x对一实在数x 恒成立，那么实数k 的取值范围是7．在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+，*n N∈,其中,a b 为常数，那么ab =8．等比数列{a n }的前n 项之和为n S ，假设2:3:23=S S ，那么公比q 的值是9．设{a n }是各项均为正数的等比数列，前4项之和等于其前2项和的10倍，那么该数列的公比为. 10．在△ABC 中，三个角A 、B 、C 的大小成等差数列，假设此三角形的周长为20，面积为310.那么b=11．在锐角△ABC 中，B A 2=，那么的ba取值范围是． 12．数列{a n }中，221+=+n n n a a a 对任意正整数n 都成立，且217=a ，那么=5a ． 13．设数列{}n x 满足1log 1log an a n x x +=+〔0a >且1a ≠，n N +∈〕假设12100100x x x +++=，那么101102200x x x +++的值是14．满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值为三、解答题(此题有6小题，一共90分) 15．〔本小题有14分〕在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．假设4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ． 16．〔本小题有14分〕在等比数列{}126,128,66121===+-n n nn S a a a a a 中，已知，求q n 和公比。

高二数学3月月考试卷试题(共8页)

HY中学(zhōngxué)高二数学3月月考试卷一、选择题：〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共60分〕1．从平面外一点P引与平面相交的直线，使得P点与交点的间隔等于1，那么满足条件的直线条数一定不可能是〔〕A.0条B. 1条C. 2条D. 无数条2. 一条线段的两个端点分别在直二面角的两个面内，那么这条线段与这两个平面所成的角的和一定〔〕A.等于90°90° C.不大于90°°3．棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是〔〕A.棱柱有一条侧棱与底面垂直.B.棱柱有一条侧棱与底面两条边垂直.C.棱柱有一侧面是矩形且与底面垂直.D.棱柱有一条侧棱与底面的一条边垂直.4.设过长方体的一个顶点的三个面的对角线长分别为a.b.c,那么这个长方体的对角线长是A. B. C. D.5．在平行六面体中，关于向量的以下表达式正确的选项是〔〕A. B.C. D.6. 设集合A={正方体}，B={长方体}，C={直四棱柱}，D={直平行六面体}，E={正四棱柱}，那么(nà me)这些集合之间的关系是〔〕A. B. C.D.7．正三棱锥的高为，侧棱长为，那么侧面与底面所成的二面角是〔〕 °°°°8.设正四棱锥的侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为，那么的值是〔〕．A ．B ．C ．D ．9．正四棱锥相邻二侧面所成的二面角为，那么θ的取值范围是〔〕 A.〔0，〕 B.〔,2π〕 C.(,3π) D.(2π,) 10．在△ABC 中，有命题：①；②；③假设，那么为等腰三角形；④假设，那么ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的选项是〔〕A.①②B.①④C.②③D.②③④ 11.假设正棱锥的底面边长与侧棱长相等，那么该棱锥一定不是〔〕 A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥12．两个完全一样的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是〔〕A ．B ．C ．D ．二、填空题〔本大题一一共6小题，每一小题4分，一共24分〕13．在棱长为2的正方体中，是的中点(zh ōn ɡ di ǎn)，那么点到平面的间隔是14．直线a 是平面α的斜线，a 与平面α所成的角为θ，假设平面α⊥β，那么a 与β所成的角的范围是。

高二数学3月月考试卷理含解析试题(共22页)

大学(dàxué)附属中学2021-2021学年高二3月月考〔理〕数学一、选择题：一共12题的倾斜角为，那么A. 等于B. 等于C. 等于D. 不存在【答案】C【解析】【分析】由题意结合倾斜角的定义确定倾斜角即可.【详解】绘制直线如下图，由直线倾斜角的定义可知等于.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察直线方程的理解，直线倾斜角的定义及其确定等知识，意在考察学生的转化才能和概念掌握程度.的导数为〔〕A. B. C. D. 1【答案(dá àn)】B【解析】函数的导数，应选B.，，那么“〞是“〞的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件求得实数x的值，然后确定“〞与“〞的关系即可.【详解】由向量垂直的充分必要条件可得，假设，那么，解得：，，据此可知：“〞是“〞的充分不必要条件.此题选择A选项.【点睛】此题主要考察向量垂直的充分必要条件及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：①假设，，那么②假设，，那么③假设，，那么④假设，，那么.其中(qízhōng)真命题的序号为A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】D【解析】【分析】由题意结合立体几何的结论逐一考察所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考察所给的命题：①如下图，正方体中，取平面为平面，平面，直线为，满足，，但是不满足，题中所给的命题错误；②由面面垂直的性质定理可知假设，，那么，题中所给的命题正确；③如下图，正方体中，取平面为，直线为，直线为，满足，，但是，不满足，题中所给的命题错误；④由面面垂直的性质定理可知假设，，那么，题中所给的命题正确.综上可得：真命题的序号为②④.此题选择D选项.【点睛】此题考察了空间几何体的线面位置关系断定与证明：〔1〕对于异面直线(zhíxiàn)的断定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；〔2〕对于线面位置关系的断定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.和圆没有交点，那么过点的直线与椭圆的交点个数为〔〕A. 0个B. 至多一个C. 1个D. 2个【答案】D【解析】试题分析：由题设可得,即,又,故点在椭圆内,所以过点的直线必与椭圆相交于两个点,故应选D．考点：直线与圆的位置关系及椭圆的几何性质．且与双曲线有一样渐近线的双曲线方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用待定系数法求解双曲线的方程即可.【详解】设双曲线的方程为：，即，①据此可知：，，，据此可得：，解得：，代入①式可得双曲线方程是.此题选择B选项.【点睛】求双曲线的HY方程的根本方法是待定系数法．详细过程是先定形，再定量，即先确定双曲线HY方程的形式(xíngshì)，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．假如双曲线的渐近线方程，求双曲线的HY方程，可利用有公一共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.,三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点D,那么异面直线与所成的角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平移法首先找到异面直线所成的角，然后结合空间几何体的构造特征求解异面直线与所成的角的余弦值即可.【详解】由三棱柱的性质可知：，那么或者其补角为异面直线与所成的角，不妨设三棱柱的棱长为，那么，，，在中，由余弦定理可得：，据此可得：异面直线(zhíxiàn)与所成的角的余弦值为.此题选择D选项.【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其根本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为一共面直线问题来解决，详细步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或者两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．+=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过点F1,假设△ABF2的内切圆周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),那么|y2-y1|的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先确定内切圆半径，然后利用等面积法求解|y2-y1|的值即可.【详解】设内切圆半径为，由题意可得：，那么，由椭圆的方程可知：，那么的周长为：，设的面积为，利用等面积法可得：，即：，解得：.此题选择A选项.【点睛(diǎn jīnɡ)】此题主要考察焦点三角形的处理方法，圆与三角形内切的处理方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.，.假设命题“〞为真命题，那么实数m的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得Z的最小值，然后结合恒成立的条件求得m的取值范围，最后确定m的最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如下图，目的函数表示点与可行域内点的连线的斜率，数形结合可知，目的函数在点处获得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目的函数的最小值为：.由恒成立的条件可得：，即实数m的最大值为.此题选择B选项.【点睛】(1)此题是线性规划(x iàn xìnɡ ɡuī huá)的综合应用，考察的是非线性目的函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目的函数赋于一定的几何意义．10.一个几何的三视图如下图，那么外表积为A. B. 或者C. 或者D.【答案】B【解析】如下列图，三视图复原，有两种可能，图1为一个边长为3正方体切去一个左上角，图2为一个边长为3正方体切去一个左上角，一下右下角。

人教A版高中数学必修三试卷高二年级第一次月考试卷.doc

第一学期高二年级第一次月考试卷一、选择题：（以下每小题有且仅有一个正确答案，每小题5分，共12题合计60分） 1、下列给出的赋值语句正确的是（）A.x =1B. x x 2=C. 2==b aD. 0=+y x 2、372和684的最大公约数是（） A.36 B. 186 C.12 D. 589 3、INPUT 语句的一般格式是( )A.INPUT “提示内容”；表达式B.“提示内容”；变量C. INPUT “提示内容”；变量D. “提示内容”；表达式4、把88化为五进制数是（） A. 324(5) B. 323(5) C. 233(5) D. 332(5)5、下列算法：①x z =；②y x =；③ z y =；④ 输出x,y关于算法作用，下列叙述正确的是（） A ．交换了原来的x,y B. 让x 与y 相等 C. 变量z 与x,y 相等 D. x,y 仍是原来的值 6、．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（）A ．一个算法只能含有一种逻辑结构 B. 一个算法最多可以包含两种逻辑结构 C.一个算法必须含有上述三种逻辑结构D.一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合 7、下列判断正确的是( )A.条件结构中必有循环结构B.循环结构中必有条件结构C.顺序结构中必有条件结构D.顺序结构中必有循环结构 8、下面是判断框的是( )ABC 、D 、9、当3=a 时，下面的程序段输出的结果是（） A ．9 B ．3 C ．10 D ．6 10、当A=1时，下列程序： input"A=";A A=A*2 A=A*3 A=A*4 A=A*5 print A end输出的结果A 是（） A ．5 B. 6 C. 15 D. 120 11、下列程序执行后输出的结果是（）A. –1B. 0C. 1D. 2 12、以下给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图（如图所示），其中判断框内应填入的条件是（）否08~09 高二年级第一次月考试卷答题卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在横线上．13、A=15,A=-A+5,最后A 的值为14、一般来说，一个复杂的流程图都可以分解成_________、_________、__________三种结构； 15、用“秦九韶算法”计算多项式12345)(2345+++++=x x x x x x f ，当x=2时的值的过程中，要经过次乘法运算和次加法运算。

数学必修3月考测试卷及答案

高二数学（必修3）月考测试卷班级：姓名: 分数：考试时间：45分钟满分：100分一、选择题（每题6分，6题共36分））1．已知变量a ，b 已被赋值，要交换a 、b 的值，采用的算法是 ( C ) A ．a ＝b ，b ＝a B ．a ＝c ，b ＝a ，c ＝b C ．a ＝c ，b ＝a ，c ＝a D ．c ＝a ，a ＝b ，b ＝c2．执行右边所示的程序框图，则输出的k 的值是 ( B ) A ．3 B ．5 C ．4 D ．63．(09·宁夏海南理)对变量x ，y 观测数据(x 1，y 1)(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，．( C )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关[答案] C[解析] 用散点图可以判断变量x 与y 负相关，u 与v 正相关4．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样法的方法抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80，则n 为( D ) A ．16 B ．96 C ．112 D ． 192[解析] 由801000＝225，∴n 2400＝225，∴n ＝192.5．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为 ( A ) A.710 B.310 C.35 D.256、设l 是过点A (1,2)斜率为k 的直线，其中k 等可能的从集合{－1，－12，0，12，23，43，2,3}中取值，则原点到直线l 的距离大于1的概率为( B ) A.38B.58C.12D.34[答案] B[解析] l ：y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，由题意|－k ＋2|1＋k2>1，∴k 2－4k ＋4>1＋k 2， ∴k <34，故当k <34时，事件A ＝“原点到直线l 的距离大于1”发生，∴P (A )＝58.频率二、填空题（每题6分，4题共24分）1．用秦九韶算法求多项式f (x )＝4x 4＋2x 2＋x ，当x ＝3时，v 2=2、已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为．113．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.由表中数据得回归方程y ^＝b x ＋a 中b ＝－2，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为________．404．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．14π-三、解答题（每题20分，2题共40分）1、某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30min 抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,100 乙：110,115,90,85,100 (1)这种抽样方法是哪一种？ (2)将这两组数据用茎叶图表示；(3)计算两组数据的平均数，并根据茎叶图，说明哪个车间的产品较稳定．[解析] (1)因为间隔时间相同，故是系统抽样．2、 “交通指数”是反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值.交通指数的取值范围为0至10，分为5个等级：其中[)0,2为畅通，[)2,4为基本畅通，[)4,6为轻度拥堵，[)6,8为中度拥堵，[]8,10为严重拥堵. 晚高峰时段，某市交通指挥中心选取了市区60个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频数分布表及频率分布直方图如图所示：（1）求频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法从交通指数在[0,2)和[)2,4的路段中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽出2个路段，求至少有一个路段为畅通的概率．（3）根据频率分布直方图计算该交通指数数据的平均值。

高二数学3月月考试题文含解析试题

思南中学2021-2021学年高二数学3月月考试题文〔含解析〕一．选择题(一共14小题)的定义域为集合，集合，那么 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可求得集合，然后再求即可【详解】由题可得，那么集合，又因为集合，所以交集【点睛】此题考察集合的交集运算，解题的关键是求出集合A，属于简单题.，那么的虚部为( )A. 1B.C. －1D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法运算法那么计算出z，然后找出虚部。

【详解】，那么虚部是，选C【点睛】此题考察复数的运算，解题的关键是先进展乘法运算将其化成形式，其中实部为,虚部为，属于简单题.3.在线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数依次为0.36、0.95、0.74、0.81，其中回归效果最好的模型的相关指数为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】比拟相关指数的大小，越接近于1，模型的拟合效果越好。

【详解】在两个变量与的回归模型中，它们的相关指数越接近于1，模型的拟合效果越好，在题目所给的四个数据中是最大的相关指数，所以选A。

【点睛】此题考察相关指数，在回归模型中，相关指数越接近于1，模型的拟合效果越好，属于简单题。

4.满足不等式组，那么的最小值等于( )A. 3B. 6C. 9D. 12 【答案】A【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，将目的函数变形为，结合图像得出答案。

【详解】如图，画出满足条件的平面区域由得，当直线过时，有最小值3，所以选A【点睛】线性规划求最值问题，一般由约束条件画出可行域，化目的函数为直线的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目的函数得到答案。

5.以下推理不属于合情推理的是( )A. 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B. 由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电C. 两条直线平行，同位角相等，假设与是两条平行直线的同位角，那么D. 在数列中，，，猜测的通项公式【答案】C【解析】【分析】由合情推理及演绎推理的特征，逐一检验即可．【详解】解：对于A选项：由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质是类比推理，对于B选项：由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电是归纳推理，对于C选项：两条直线平行，同位角相等，假设∠A与∠B是两条平行直线的同位角，那么∠A＝∠B是演绎推理，对于D选项：在数列中，a1＝2，，猜测{a n}的通项公式是归纳推理，应选：C【点睛】此题考察了简单的合情推理及演绎推理，属简单题．6.，那么复数的一共轭复数在复平面内所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算得到z，再由一共轭复数的概念得到结果.【详解】,,一共轭复数为：，对应的点为〔2，-1〕在第四象限.故答案为：D.【点睛】这个题目考察了复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到一共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为一共轭复数，复数z的一共轭复数记作．，那么以下结论正确的选项是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过赋值可以排除AD，根据不等式的性质可判断BC正误.【详解】假设，对于A选项，当a=-2,b=-1,时，不成立；对于B选项，等价于a>b,故不成立；对于C选项，,应选项正确；对于D选项，当c=0时，不正确，故舍掉. 【点睛】这个题目考察了利用不等式的性质比拟大小，常见的方法是将两者做差和0比；或者者赋值，得到大小关系；题目简单.满足，那么( )A. B. C. 5 D. 10【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法那么、模的计算公式即可得出．【详解】∵∴∴应选：B【点睛】此题考察了复数的运算法那么、模的计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．一共4门选修课，一位同学从中随机选取2门，那么与未同时被选中的概率为( ) A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求与同时被选中的概率，再由互为对立事件的概率之和为1，即可求出结果.【详解】记“与同时被选中〞为事件A，所以事件A发生的概率为，所以与未同时被选中的概率为.应选D【点睛】此题主要考察古典概型，属于根底题型.10.甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃。

高二数学3月月考试题含解析

白云高级中学2021-2021学年高二3月月考数学试题一、选择题: 本大题一一共14小题．每一小题4分，一共56分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.函数f(x)＝，那么( )A. 4B.C. －D. －【答案】D【解析】【分析】先对原函数求导，再把-3带入即可求解.【详解】应选D.【点睛】此题考察常见函数的求导，属于根底的计算题.在区间上的平均变化率等于〔〕A. 4B.C.D. 4x 【答案】B【解析】【分析】先由变化量的定义得到，再根据平均变化率的计算公式对化简,即可求出结果.【详解】因为，所以 +4.应选B【点睛】此题主要考察平均变化率的计算，结合概念，即可求解，属于根底题型.在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】，在点〔1，-1〕处的切线斜率为，所以切线方程为y=-3x+2。

的图象与直线相切，那么a等于〔〕A. B. C. D. 1【答案】B【解析】此题考察导数的几何意义.设切点为那么，消去解得应选B5.(05)函数是减函数的区间为 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，易知在区间上,所以函数的单调递减区间为，应选D．考点：利用导数研究函数的单调性6.函数，在处获得极值，那么等于( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】求出，由解方程即可得结果.【详解】因为，所以，因为在处获得极值，所以即，解得，经检验，时，在处获得极大值，符合题意，应选D.【点睛】此题主要考察利用导数求函数的极值，意在考察对根底知识的掌握与应用，属于简单题.7.函数y＝f(x)＝x2＋1，那么在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，代入数据计算即可．【详解】解：应选：B．【点睛】此题主要考察了函数的变化率，属于根底题．有极值的充要条件是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，即，应选答案C。

河北省高二下学期3月月考数学试题(解析版)

一、单选题1．若，则（）()sin f x x =0(2)(0)limt f t f t→-=A ．0 B ．C ．1D ．212【答案】D【分析】利用导数的定义和导数公式进行计算. 【详解】由题意可知，， ()cos f x x '=()01f '=. 020(2)(0)(02)(0)lim2lim 2(0)22t t f t f f t f f t t→→-+-'===故选：D.2．已知等比数列的公比为，且，则（） {}n a 125342a a a =6a =A ． B ．C ．D ．211214【答案】C【分析】利用等比数列下标和性质可得，由等比数列通项公式可求得结果.4a 【详解】，，.253442a a a a == 42a ∴=2641112242a a ⎛⎫∴=⨯=⨯= ⎪⎝⎭故选：C.3．一质点做直线运动，它所经过的路程s 与时间t 的关系为，若该质点在时间段()321s t t t =++内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（）[]1,21v 2t =2v 12v v +=A ．10 B ．16 C ．26 D ．28【答案】C 【分析】利用计算，利用计算，相加可得答案.()()2121s s --1v ()2s '2v 【详解】由题，.()()323212122111110211s s v -++---===-由题，.则.()232s t t t '=+()222322216v s '==⨯+⨯=1226v v +=故选：C4．已知是函数的导函数，若，则（）()f x '()f x ()()23f x x x f '=-⋅()1f =A ． B ． C ． D ．1-2-23【答案】B【分析】求导后，代入可求得，从而求得，代入即可得到结果.3x =()3f '()f x 1x =【详解】，，解得：，()()23f x x f ''=- ()()363f f ''∴=-()33f '=，. ()23f x x x ∴=-()1132f ∴=-=-故选：B.5．已知是等差数列的前项和，若，，则（） n S {}n a n 2015S =6075S =40S =A ．40 B ．45C ．50D ．55【答案】A【分析】根据等差数列和的性质，分析即得解. 【详解】由等差数列的性质得：，，成等差数列，20S 4020S S -6040S S -所以， ()()40402151575S S -=+-解得. 4040S =故选：A6．已知，，实数成等差数列，成等比数列，则的最小值为0a >0b >12,,,a x x b 12,,,a y y b ()21212x x y y +（） A ． B ．C ．D ．2468【答案】B【分析】根据等差数列、等比数列性质可化简所求式子为，利用基本不等式可求得结果.2a bb a ++【详解】成等差数列，成等比数列，，，12,,,a x x b 12,,,a y y b 12x x ab ∴+=+12y y ab =（当且仅当时取等号），()()222212122224x x a b a b a b y y abab b a +++∴==+=++≥=a b =的最小值为.()21212x x y y +∴4故选：B.7．已知数列的前项和为，，，则（）{}n a n n S 111012a =1221012n n n n a a a +++++=2023S =A ． B ．C ．D ．67567413842023【答案】A【分析】采用并项求和的方式，结合等差数列求和公式可求得结果.【详解】()()()()20231234567201820192020202120222023S a a a a a a a a a a a a a =+++++++⋅⋅⋅++++++. ()67512023147202020236751012101210121012101221012⨯+=+++⋅⋅⋅++==⨯故选：A.8．已知是数列的前项和，若，，则（） n S {}n a n 2cos πn n a a n n ++⋅=20355S =1a =A ． B ．C ．D ．0246【答案】B【分析】当为奇数时，利用累加法可求得；当为偶数时，可求得偶数项的和，n ()2114nn a a -=+n 由此得到奇数项的和，由此可构造方程求得. 1a 【详解】当为奇数时，，n 2n n a a n +-=()()()()22453311n n n n n a a a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅+-+-+； ()()()()21111121224124n n n n n a a a -+-⨯-=-+-+⋅⋅⋅++=+=+当为偶数时，，n 2n n a a n ++=，246202610141850a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=++++=又，；20355S =13519305a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=()22211111241810149162536496481444a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++++⋅⋅⋅++=+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：.110285305a =+=12a =故选：B.二、多选题9．下列运算错误的是（）A ．B ．'2(2)2log e x x='=C ．D ． (sin1)cos1'=31(log )ln 3x x '=【答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 错误；(2)2ln 2x x '=对于B ，，B 正确；11221()2x x -'=='=对于C ，，C 错误； (sin1)0'=对于D ，，D 正确. 31(log )ln 3x x '=故选：AC10．设为等差数列的前项和，若，，，则n S {}n a n 1(1)n n n S nS ++<2023202220232021a S a S <202320210S S -<（）A ．数列的公差小于0 {}n aB ．20220a <C ．的最小值是n S 2023S D ．使成立的的最小值是4045 0n S >n 【答案】BD【分析】根据给定条件，结合等差数列前项和公式及等差数列的性质，逐项计算判断作答. n 【详解】在等差数列中，由，得，即{}n a 1(1)n n n S nS ++<111(1)((1)(22))n n n n a a n n a a +++++<1n n a a +<，因此等差数列为递增数列，公差大于0，A 错误；{}n a 又，即，整理得， 2023202220232021a S a S <202320222021()0a S S -<202320220a a <因此，，的最小值是， B 正确，C 错误； 20220a <20230a >n S 2022S 因为，21404440442022203202320212022()2022(04044())2S a a S a a S ==-=+<+，所以使成立的n 的最小值是4045，D 正确.1404540452023404504045()2S a a a +==>0n S >故选：BD11．已知数列满足，，，，数列的{}n a 12a =()121n n n a a a n *+=-∈N 1420b a =()1n n n b a b n *+=∈N {}n b 前项和为，且对，恒成立，则（） n n T n *∀∈N 2400n T n λ+≥A ． B ．数列为等差数列445a =11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭C ．D ．的最大值为16n b n =λ225【分析】根据递推关系式可推导得到，知A 错误；根据可推导得到4a 121n n na a a +-=，可知B 正确；利用累乘法可求得，知C 错误；利用等差数列求和公式可求得111111n n a a +=+--n b ，结合基本不等式可求得的最大值，知D 正确.n T λ【详解】对于A ，由得：，即，解得：； ()121n n n a a a n *+=-∈N 21121a a a =-223a =232a =，即，解得：；23221a a a =-3322a =343a =，即，解得：，A 错误；34321a a a =-44533a =454a =对于B ，由得：，()121n n n a a a n *+=-∈N 121n n n a a a +-=，， 121111n n n n na a a a a +--∴-=-=1111111111n n n n n n a a a a a a +-+∴===+----又，数列是以为首项，为公差的等差数列，B 正确； 1111a =-∴11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭11对于C ，由B 得：，，， 11=-n n a 111n n a n n +∴=+=11n n n b b n++∴=又， 1452020254b a ==⨯=则当时，， 2n ≥1321122113225251221n n n n n b b b b n n b b n b b b b n n ----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯=--满足，，C 错误；125b = 25n b n =()25n b n n *∴=∈N 对于D ，由C 得：， ()()251251232n n n T n +=⨯+++⋅⋅⋅+=由得：，， 2400n T nλ+≥()251400n n n λ++≥400252525n λ∴≤++（当且仅当，即时取等号）， 40025200n n +≥= 40025n n =4n =，则，的最大值为，D 正确.min4002525225n n ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭225λ≤λ∴225故选：BD.12．已知数列是斐波那契数列，，，记是数列的前项和，{}n a 121a a ==21n n n a a a ++=+n S {}n a n n T 是数列的前项和，则下列结论正确的是（）{}2n a n A ． B ． 222023202220242021a a a a -=⋅135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C ．D ．202320251S a =-202320232024T a a =⋅【分析】由平方和公式，结合已知关系式可知A 正确；将B 式中的替换为，结合已知关系式1a 2a 推导可知B 错误；由可推导得到C 正确；根据已知关系式可得21n n n a a a ++-=21121n n n n n a a a a a ++++=-，加和整理即可知D 正确.【详解】对于A ，，，，21n n n a a a ++=+ 202320222024a a a ∴+=202320222021a a a -=，A 正确；()()2220232022202320222023202220242021a a a a a a a a ∴-=+-=⋅对于B ，，121a a == ，B 错误；13520232352023452023a a a a a a a a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=202220232024a a a +=对于C ，，21n n n a a a ++-= ()()()20231232023324354S a a a a a a a a a a ∴=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+()202520242025220251a a a a a -=-=-，C 正确；对于D ，，，，21n n n a a a ++=+ 12n n n a a a ++∴=-()2112121n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++∴=-=-()()2222202312320231223123423T a a a a a a a a a a a a a a ∴=+++⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅+()202320242022202320232024a a a a a a -=，D 正确. 故选：ACD.三、填空题13．在公差不为的等差数列中，为其前项和，若，则正整数0{}n a n S n ()30510532k S a a a =++k =___________. 【答案】29【分析】利用等差数列通项公式和求和公式可直接构造等式求得的值. k 【详解】设等差数列的公差为， {}n a ()0d d ≠由得：， ()30510532k S a a a =++()1111302930543272212a d a d a d a k d ⨯+=+++++-⎡⎤⎣⎦即，，解得：. ()116876229a d a k d +=++22987k ∴+=29k =故答案为：.2914．设等差数列满足，，且，，则___________.{}n a 14a =512a =12b =()1n n n b b a n *+-=∈N 100b =【答案】10100【分析】利用等差数列通项公式可求得公差和，采用累加法可求得，代入即可求得d n a n b 100n =结果.【详解】设等差数列的公差为，则，解得：， {}n a d 5144412a a d d =+=+=2d =，则，()42122n a n n ∴=+-=+()12221n n b b n n +-=+=+当时，∴2n ≥()()()()()1122332211n n n n n n n b b b b b b b b b b b b -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-+， ()()()()121222212n n n n n n n +=+-+-+⋅⋅⋅++=⨯=+⎡⎤⎣⎦又满足，，12b =()1n b n n =+()()1n b n n n *∴=+∈N .10010010110100b ∴=⨯=故答案为：.1010015．若曲线与曲线__________. e x y a =y ==a 【分析】令，，结合导数几何意义可构造方程组()e xf x a =()g x =()00,x y ，由此可解得，进而求得的值. ()()()()0000f x g x f x g x ⎧==''⎪⎨⎪⎩0x a 【详解】令，，()e x f x a =()g x =()e xf x a '=()g x '=设与的公共点为，()f x ()g x ()00,x y 与在公动点处有相同的切线，()f x ()g x ，即， ()()()()0000f xg x f x g x '⎧=∴'⎪⎨=⎪⎩00e e x x aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩=012x =12e a ∴=a ==16．某集团第一年年初给下属企业甲制造厂投入生产资金万元，到年底资金增长了，以400040%后每年资金年增长率与第一年相同.集团要求甲制造厂从投入生产资金开始，每年年底上缴资金800万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底甲制造厂上缴资金后的剩余资金为万n n a 元，若，则正整数的最小值为_____________.（取，） 16000k a ≥k lg 70.845≈lg 50.699≈【答案】6【分析】根据与的关系可推导证得数列为等比数列，利用等比数列通项公式可得n a 1n a -{}2000n a -n a ，进而解不等式可求得的范围.k 【详解】由题意知：； ()14000140%8004800a =⨯+-=当时，， 2n ≥()117140%8008005n n n a a a --=+-=-，又， ()17200020005n n a a -∴-=-120002800a -=数列是以为首项，为公比的等比数列，∴{}2000n a -280075，则，17200028005n n a -⎛⎫∴-=⨯ ⎪⎝⎭17280020005n n a -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭令，则，1728002000160005k k a -⎛⎫=⨯+≥ ⎪⎝⎭1755k -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，解得：，75lg 50.6991log 5 4.8lg 7lg 50.8450.699k ∴-≥=≈≈-- 5.8k ≥正整数的最小值为.∴k 6故答案为：.6四、解答题17．已知等差数列的前n 项和为，，． {}n a n S 413a =7113S a =(1)求数列的通项公式； {}n a (2)求证：是等差数列．【答案】(1) 25n a n =+(2)证明见详解【分析】（1）根据题意列方程组，从而解得，，进而即可得到数列的通项公式；1a d {}n a（2）结合（1）可得到的通项公式，进而即可证明其为等差数列．【详解】（1）设等差数列的公差为d ， {}n a 由，，得，，解得，， 413a =7113S a =1313a d +=11767132a d a ⨯+=17a =2d =所以． 1(1)25n a a n d n =+-=+（2）结合（1）可得， 221(1)762n n n S na d n n n n n -=+=+-=+，3n ==+， 134=+=(4)(3)1n n =+-+=所以数列是以4为首项，以1为公差的等差数列．18．已知数列是由正数组成的等比数列，且，. {}n a 5256a =34220a a a +=(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设数列满足，求数列的前n 项和.{}n b 2log n n n b a a =+{}n b n T 【答案】(1)14n n a -=(2)24133n n T n n =+--【分析】（1）根据等比数列通项得，解出，的值，即可得出其通项；2311120a q a q a q +=q 1a （2），分组求和即可.1422n n b n -=+-【详解】（1）设等比数列的公比为，{}n a (0)q q >由，得，34220a a a +=2311120a q a q a q +=是由正数组成的等比数列，则，，{}n a 10a >0q >则，解得或（舍）， 2200q q +-=4q =5q =-又，5256a =所以，解得，41256a q =11a =所以.1114n n n a a q --==（2），11122log 4log 4422n n n n n n b a a n ---=+=+=+-所以()1(10)(42)(164)422n n T n -=++++++++-()114164(02422)n n -=+++++++++- . ()2114(022)4114233nnn n n n ⨯-+-=+=+---19．已知各项均不为0的数列满足，.{}n a 11a =11n n n n a a a a ++-=(1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a (2)设为数列的前n 项和，求证：. n S {}1n n a a +1n S <【答案】(1)证明见解析，； 1n a n=(2)证明见解析.【分析】（1）利用给定的递推公式，变形推理即可，再求出通项公式作答. （2）由（1）结合裂项相消法求和即可作答.【详解】（1）因为数列的各项均不为0，则， {}n a 10n n a a +≠将两边同时除以，得，又，11n n n n a a a a ++-=1n n a a +1111n na a +-=111a =因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，1{}n a 1n n a =所以数列的通项公式是. {}n a 1n a n =（2）由（1）得，1111(1)1n n n n a n a n +==-++于是， 1111111122311n n n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，则， 101n >+1111n -<+所以.1n S <20．在数列中，，，且. {}n a 16a =()()12142n n n a n a --=+2n ≥n *∈N (1)设，证明：是等比数列； 21nn a b n =+{}n b (2)设为数列的前项和，是否存在互不相等的正整数满足，且，n T {}n a n ,,m n t 2n m t =+2m T -2n T -，成等比数列?若存在，求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.2t T -,,m n t【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）利用已知递推关系式可推导得到，由此可得结论；12n n b b -=（2）假设存在满足题意的，由等比数列定义可构造方程，结合可化简整理得到,,m n t 2n m t =+，由此可得结论.m t =【详解】（1）当时，， 2n ≥1121n n a b n --=-由得：，即， ()()12142n n n a n a --=+122121n n a a n n -=+-12n n b b -=又，数列是以为首项，为公比的等比数列. 1123a b ==∴{}n b 22（2）由（1）得：，， 221n n n a b n ==+()212n n a n ∴=+⋅，()()1231325272212212n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅++⋅，()()23412325272212212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅++⋅()()()31134112126212222621212n n n n n T n n -+++-∴-=-+⋅+++⋅⋅⋅+=-+⋅+-，()()1216212282122n n n n n +++=-+⋅+-=-+-⋅；()12122n n T n +∴=-⋅+假设存在互不相等的正整数满足，且，，成等比数列，则,,m n t 2n m t =+2m T -2n T -2t T -，()()()22211212212212n m t n m t +++-⋅=-⋅⋅-⋅即，又，()()()222221221212n m t n m t +++-⋅=--⋅2n m t =+，整理可得：，()()()212121m t m t ∴+-=--()20m t -=即，与互不相等矛盾， m t =,,m n t 不存在互不相等的正整数满足，且，，成等比数列. ∴,,m n t 2n m t =+2m T -2n T -2t T -21．已知无穷等差数列和中，，，.{}n a {}n b 111a b ==332b a =+5522a b +=(1)求和的通项公式；{}n a {}n b (2)证明：均是中的项，均不是中的项；1321,,,n b b b -⋅⋅⋅{}n a 242,,,n b b b ⋅⋅⋅{}n a(3)若定义集合或，将集合中的元素从小到大排列组成一个新数列，求{n M x x a ==}n x b =M {}n c 数列的前项和.{}n c 4n 4n S 【答案】(1)，21n a n =-32n b n =-(2)证明见解析(3)2412n S n n =+【分析】（1）利用等差数列通项公式可构造方程组求得两个等差数列的公差，由此可得； ,n n a b （2）设是数列的第项，是数列的第项，利用通项公式可构造21n b -{}n a ()*∈N k k 2n b {}n a ()m m *∈N 方程求得，根据可得结论；,k m ,k m **∈∉N N （3）根据数列的定义可推导得到，由此可知数列{}n c 43424142411n n n n c c c c n ---+++=-为等差数列，利用等差数列求和公式可求得.{}4342414n n n n c c c c ---+++4n S 【详解】（1）设等差数列的公差为，等差数列的公差为，{}n a 1d {}n b 2d 由得：，解得：， 3355222b a a b =+⎧⎨+=⎩211212122141422d d d d +=++⎧⎨+++=⎩1223d d =⎧⎨=⎩，.()12121n a n n ∴=+-=-()13132n b n n =+-=-（2）由（1）知：，，2165n b n -=-262n b n =-设是数列的第项，则，解得：， 21n b -{}n a ()*∈N k k 6521n k -=-32k n *=-∈N 则是数列的第项，均是数列中的项；21n b -{}n a 32n -1321,,,n b b b -∴⋅⋅⋅{}n a 设是数列的第项，则，解得：， 2n b {}n a ()m m *∈N 6221n m -=-132m n *=-∉N 则不是数列中的项，均不是数列中的项.2n b {}n a 242,,,n b b b ∴⋅⋅⋅{}n a （3）由（2）知：，322165n n a b n --==-又，，，3163n a n -=-361n a n =-262n b n =-则互不相同，且，3132,,n n n a a b -65636261n n n n -<-<-<-，，，，4365n c n -∴=-4263n c n -=-4162n c n -=-461n c n =-， 43424142411n n n n c c c c n ---∴+++=-数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴{}4342414n n n n c c c c ---+++1324. ()()()4123456784342414n n n n n S c c c c c c c c c c c c ---∴=++++++++⋅⋅⋅+++()211324122n n n n n -=+⨯=+。

云南高二下学期3月月考数学试题(解析版)

一、单选题1．已知全集，集合和（） {2,1,0,1,2}U =--{0,1,2}M =(){1,1},U N M N =-= ðA ． B ．C ．D ．{1}{}1-{2,0,2}-{2,1,0,1}--【答案】B【分析】根据集合补集、交集的定义进行求解即可.【详解】由题意知，， (){2,1},{1}U U M M N =--=- ðð故选：B2．（） (1i)(2i)++=A ． B ． 1i -13i +C ． D ．3i +33i +【答案】B【分析】直接利用复数的乘法计算得解.【详解】解：由题意. 2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+故选：B.3．河北定州中学数学建模社团开展劳动实习，学习加工制作糖果包装盒.现有一张边长为10的cm 正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成底面边长为6的正六棱柱无盖cm 包装盒，则此包装盒的体积为（）3cmA ．648B ．324C ．162D ．108【答案】B【分析】利用正六边形的性质求出正六棱柱的高，再根据棱柱的体积：即可求解.V S h =⋅底【详解】如图：由正六边形的每个内角为， 23π按虚线处折成底面边长为6的正六棱柱，即， cm 6AB =所以，即正六棱柱的高为1062,tan 602BE BF BE -====所以正六棱柱体积：.16663242V =⨯⨯⨯=故选：B4．已知正数，满足，则的最小值为（） a b 1a b +=19a b+A ．6 B ．12C ．16D ．20【答案】C 【解析】根据，展开利用基本不等式即可求解. ()1919a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【详解】由正数，满足， a b 1a b +=则， ()19199191016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，取等号，3b a =13,44a b ==所以的最小值为16. 19a b+故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 5．两条直线，之间的距离为（） 32y x =64130x y -+=ABCD ．13【答案】B【分析】化简两条直线的方程，再利用平行线间的距离公式，即可得答案；【详解】两条直线的方程分别为：，， 320xy -=133202x y -+=两条直线之间的距离， ∴d ==故选：B.【点睛】本题考查平行线间的距离公式，考查运算求解能力，求解时注意将直线方程的系数化,A B 成相同.6．已知，则的值为（）sin 4cos 0αα+=tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ． B ． C ．D ． 45-354535-【答案】D【分析】求出的值，利用两角和的正切公式可求得结果.tan α【详解】因为，则，因此，. sin 4cos 0αα+=tan 4α=-tan 1413tan 41tan 145πααα+-+⎛⎫+===- ⎪-+⎝⎭故选：D.7．设四边形为平行四边形，若点，满足，，ABCD M N 3,2BM MC DN NC == x N y M AB AD =+则（） A ．， B ．， 13x =-14y =14x =13y =C ．，D ．，13x =14y =-13x =14y =【答案】A【分析】根据向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，得到，即可求解.1134MN AB AD =-+【详解】由题意，在四边形为平行四边形，若点，满足， ABCD M N 3,2BM MC DN NC ==可得，1134MN MC CN AB AD =+=-+又由，所以，.x N y M AB AD =+ 13x =-14y =故选：A ．8．已知函数在上是增函数，则的取值范围是（）()22()log 3f x x ax a =-+[2,)+∞a A ． B ． C ． D ．(,4]-∞(,2]-∞(4,4]-(4,2]-【答案】C【分析】若函数f （x ）=log 2（x 2﹣ax+3a ）在[2，+∞）上是增函数，则x 2﹣ax+3a ＞0且f （2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a 的不等式，解不等式即可得到a 的取值范围．【详解】若函数f （x ）=log 2（x 2﹣ax+3a ）在[2，+∞）上是增函数，则当x ∈[2，+∞）时，x 2﹣ax+3a ＞0且函数f （x ）=x 2﹣ax+3a 为增函数即，f （2）=4+a ＞0 22a≤解得﹣4＜a≤4 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a 的不等式，是解答本题的关键．二、多选题9．以下对概率的判断正确的是（）A ．在大量重复试验中，随机事件的概率是频率的稳定值B ．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 23C ．甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是 12【答案】ABD【解析】利用概率定义判断选项A 的正误，利用古典概型概率的计算判断选项BD 的正误，利用互斥事件的和事件的概率计算判断选项C 的正误即可.【详解】选项A 中，随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故正确；选项B 中，从甲、乙、丙三人中任选两名代表，共有甲乙、乙丙、甲丙这3中取法，其中2中有甲，故甲被选中的概率为，故B 正确；23选项C 中，甲、乙两人玩石头，剪刀，布的游戏，玩一局，结果有三种：甲赢，甲输，两人一样（和局），且概率各为，故甲不输的概率为，故错误；13112333+=选项D 中，从三件正品、一件次品中随机取出两件，设 “取出的产品全是正品”为事件A ，则，故正确.232431()62C P A C ===故选：ABD.10．已知函数，则（）()2sin(3)6f x x π=-A ．的最大值是2B ．的最小正周期为()f x ()f x 3πC ．在上是增函数D ．的图像关于点对称 ()f x 06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()f x (0)6π，【答案】AC【分析】对A ，由函数的解析式即可求出函数的最大值，对B ，D 根据正弦函数的周期与对称中心公式，整体代入即可判断；对C ，先求出的单调递增区间，即可判断. ()f x 【详解】解：对A ，，()2sin(3)6f x x π=- 故当时，，故A 正确；sin(316x π-=max ()2sin(3)26f x x π=-=对B ，的最小正周期，故B 错误； ()f x 223T ππω==对C ，令，232,262k x k k z πππππ-+≤-≤+∈解得：， 222,9393k k x k z ππππ-+≤≤+∈故的单调递增区间为：， ()f x 222,,9393k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦当时，的一个单调递增区间为：，0k =()f x 2,99ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故在上单调递增，故C 正确；()f x 06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，对D ，令，3,6x k k z ππ-=∈解得：， ,183k x k z ππ=+∈故的对称中心为：， ()f x ,0183k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭令， 6x π=即， ,6183k k z πππ=+∈解得：，13k z =∉故不是的对称中心，故D 错误. (0)6π()f x 故选：AC.11．已知空间向量，，则下列结论正确的是（） ()211a =--，，()345b = ，，A ．B()56a a b ⊥+C ．D ．在上的投影向量为 ()2//a b a +a b 3211052⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示可判断AC ；直接求向量的模可判断B ；分别求出在a b上的投影和与同向的单位向量，然后根据投影向量的定义计算可判断D.b【详解】因为 56(10,5,5)(18,24,30)(8,19,35)a b +=--+=所以， (56)(2,1,1)(8,19,35)1619350a a b ⋅+=--⋅=--+=所以，A 正确；(56)a ab ⊥+因为，所以B 正确；5a == =，因为，所以与不平行，故C 错误；2(1,2,7)a b +=-211127--≠≠-2a b + a 在上的投影，与同向的单位向量为， a ba b b⋅==bb b = 所以在上的投影向量为，D 正确. a b 321(,,)1052=---故选：ABD12．为预防流感病毒，我校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超过0.25mg 时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量（单位：mg ）随时间（单位：h ）的变y x 化情况如图所示：在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为：y x y x （为常数），则下列说法正确的是（） ay x=aA ．当时， 00.2x ≤≤5y x =B ．当时， 0.2x >15y x=C ．教室内持续有效杀灭病毒时间为小时 45D ．喷洒药物3分钟后开始进行有效灭杀病毒【答案】ABD【解析】A. 根据在药物释放过程中，与成正比,设,由过判断；B. 根据药物释放完y x y kx =()0.2,1毕后，与的函数关系式为：（为常数），由过判断；C. 由时，y x ay x=a ()0.2,100.2x ≤≤，当时，，分别计算出持续时间相加；D. 由时，50.25y x =>0.2x >10.255y x=>00.2x ≤≤计算判断.50.25y x =>【详解】A. 在药物释放过程中，与成正比,设,当，时，，所以y x y kx =0.2x =1y =5k =5y x =，故正确；B. 因为药物释放完毕后，与的函数关系式为：（为常数），当，，所以y x ay x=a 0.2x =1y =，故正确； 15y x=C. 当时，，解得，持续时间为； 00.2x ≤≤50.25y x =>0.05x >0.20.050.15-=当时，，解得，持续时间为，所以总持续时间为0.2x >10.255y x=>0.8x <0.80.20.6-=，故错误；0.60.150.75+=D. 因为当时，，解得小时，即喷洒药物3分钟后开始进行有效灭00.2x ≤≤50.25y x =>0.05x >杀病毒，故正确；故选：ABD三、填空题13．已知幂函数的图象过点（2），则___________()f x (9)f =【答案】13【分析】由幂函数所过的点求的解析式，进而求即可. ()f x (9)f【详解】由题设，若，则，()n f x x =2n =12n =-∴，故. 12()f x x -=121(9)93f -==故答案为：1314．计算：______ 2log 321lg 22log ln1162++++=【答案】12-【分析】利用对数的运算性质即可求解. 【详解】原式. ()1lg 211lg 5340lg 5lg 212222=+-++=+-=-故答案为：12-15．已知满足，求的最小值__. ,x y 30x y ++=()()2212x y ++-【答案】.8【分析】把的最小值转化为点到直线距离的平()()2212x y ++-()()2212x y ++-(1,2)-30x y ++=方，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由于表示点与直线上的点的距离的平方， ()()2212x y ++-(1,2)-转化的最小值为点到直线距离的平方， ()()2212x y ++-(1,2)-30x y ++=由点到直线的距离公式，可得d 所以的最小值为. 22(1)(2)x y -+-8故答案为：.816．如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O 的体积为V2 ，则的值是_____ 12V V【答案】32【详解】设球半径为，则．故答案为． r 213223423V r r V r π⨯==π32点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．四、解答题17．已知内角的对边分别是，若，，. ABC ∆,,A B C ,,a b c 1cos 4B =2b =sin 2sinC A =（1）求；a （2）求的面积. ABC ∆【答案】（1）； 1a =（2【分析】（1）在中，由正弦定理得，再由余弦定理，列出方程，即可求解得值； ABC ∆2c a =a （2）由（1）求得，利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积． 2c =【详解】（1）在中，，，， ABC ∆1cos 4B =2b =sin 2sinC A =由正弦定理得，2c a =由余弦定理得， 22222212cos 422444b ac ac B a a a a a =+-=+-⋅⋅==解得或不合题意，舍去， 1a =1(a =-)（2）由（1）知，所以，2c a =2c =所以的面积为ABC ∆11sin 1222S ac B ==⨯⨯=【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况. 25（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情,,,,,A B C D E F 况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.A 员工项目 ABCDEF 子女教育○○×○×○继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○○×××○（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率. M M 【答案】（I ）6人，9人，10人；（II ）（i ）见解析；（ii ）. 1115【分析】（I ）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；（II ）（I ）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；（ii ）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率. 【详解】（I ）由已知，老、中、青员工人数之比为， 6:9:10由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人. （II ）（i ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为,,,{}{}{}{}{},,,,,,,,,A B A C A D A E A F {}{}{}{},,,,,,,B C B D B E B F {}{}{},,,,,C D C E C F ,共15种；{}{}{},,,,,D E D F E F （ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,{}{}{}{},,,,,,,A B A D A E A F {}{}{},,,,,B D B E B F ,,共11种，{}{},,,C E C F {}{},,,D F E F 所以，事件M 发生的概率. 11()15P M =【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.19．在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，BC ＝CD ＝1，PD（1）证明：AB⊥PD．（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1 3【解析】（1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质进行证明即可；（2）由AD2+BD2＝AB2，可得AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：连结BD，∵在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD=∴BD＝AD，==∴AD2+PD2＝AP2，BD2+PD2＝PB2，∴AD⊥PD，BD⊥PD，∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PD.（2）解：∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A，0，0），B （0，0），C （，0），P （0，0），，（0，），（，）， PA =PB = PC=设平面ABP 的法向量（x ，y ，z ）， n = 则，取x ＝1，得（1，1，1）， 00n PA n PB⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩n= 设平面PBC 的法向量，()111,,m x y z = 则，取，得（﹣1，1，1）， 1111100m PB m PC y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩11z =m = 设二面角A ﹣PB ﹣C 的平面角为θ，则二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值为：cosθ. 13m n m n ⋅==⋅ 【点睛】本题考查了线面垂直判定定理和性质的应用，考查了利用空间向量求二面角问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.20．已知函数是定义在上的偶函数，当时，．现已画出函数在y ()f x R 0x ≤2()2f x x x =+()f x 轴左侧的图像，如图所示．(1)画出函数在y 轴右侧的图像，并写出函数在上的单调增区间；()f x ()f x R (2)求函数在上的解析式．()f x R (3)结合图像分别直接写出：当m 为何值时，关于x 的方程有2个实根？3个实根？4()0f x m +=个实根？0个实根？【答案】(1)图象见详解，单调增区间为和()1,0-()1,+∞(2) 222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩(3)时，关于x 的方程有3个实根；或时，有2个实根；时，0m =()0f x m +=0m <1m =01m <<有4个实根；时，有0个实根.1m >【分析】（1）由函数是偶函数可得函数的图象关于y 轴对称，进而可画出图象，得到单调递增区间. （2）由即可求出时函数的解析式。

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高二数学必修3月考测试题
说明：全卷满分100分，考试时间120分钟，交卷时只需交答题卷，考试时不能使用计算器.
参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式x b y a x
n x y
x n y
x b n i i n
i i i -=-⋅-=
∑∑==,1
2
2
1
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四处备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
”可用于（）
A 、输出a=10 a=10 C 、判断a=10 D 、输入a=10
2、已知甲、乙两名同学在五次数学测验中的得分如下：甲：85，91，90，89，95；乙：95，80，98，82，95。

则甲、乙两名同学数学学习成绩（） A 、甲比乙稳定 B 、甲、乙稳定程度相同 C 、乙比甲稳定 D 、无法确定
3、下列程序语句不正确．．．
的是（） A 、INPUT “MATH=”；a+b+c B 、PRINT “MATH=”；a+b+c C 、c b a += D 、1a =c b -
4、在调查分析某班级数学成绩与物理成绩的相关关系时，对数据进行
统计分析得到散点图（如右图所示），
用回归直线ˆy bx a =+近似刻画其关系，根据图形，b 的数值最有可能是（）
A 、 0
B 、 1.55
C 、 0.85
D 、 —0.24
5、用秦九韶算法求n 次多项式011
1)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，当0x x =时，求)(0x f 需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（） A 、
n n n n ,,2
)
1(+ B 、n,2n,n C 、 0,2n,n D 、 0,n,n
6、为了在运行下面的程序之后得到输出16，键盘输入x 应该是（） INPUT x
IF x<0 THEN
y=(x+1)*(x+1) ELSE
y=(x-1)*(x-1)
END IF
第4题
PRINT y END
A 、 3或-3
B 、 -5
C 、5或-3
D 、 5或-5 7、200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过70km/h 的汽车数量为 A 、2辆 B 、10辆 C 、20辆 D 、70辆
8、在下列各数中，最大的数是（） A 、)9(85 B 、)6(210 C 、)4(1000 D 、)2(11111
9、如图所示的算法流程图中（注：“1A =”也可写成“:1A =” 或“1←A ”, 均表示赋值语句），第3个输出的数是（）
A 、1
B 、
3
2 C 、 2 D 、5
2
10、某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用
简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号
为1,2, ……,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2, ……,270，并将整个编号依次分为10段如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）
A 、 ②、③都不能为系统抽样
B 、 ②、④都不能为分层抽样
C 、 ①、④都可能为系统抽样
D 、 ①、③都可能为分层抽样
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题中相应的横线上． 11、228与1995的最大公约数是。

12、分别写出下列程序的运行结果：
（1）和（2）运行的结果是（1）；（2）。

第9题
13、 )3(102012
)
10(
14、从2005个编号中抽取20个号码入样,若采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为。

15、某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如右下图所示，则中位数与众数分别为
、。

16
、分析下面的程序，该程序框图表示算法的功能是。

17、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表。

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性是0.19。

现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为。

共9个共13个共11个0 1 3 5 6
0 1 2 2 3 4 4 8 90 1 1 1 3 3 3 3 5 5 7 8 81 2 2 2 3 3 4 6 7 8 98 943210（1）
（2）第15题
则全班学生的平均成绩是，标准差是。

三、解答题
19、（满分10分）用秦九韶算法求多项式1235)(46+++=x x x x f 当2=x 时的值。

20、（满分12分）如图是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15,18）内频数为８．求：（1）求样本容量；
（2）若在[12,15）内的小矩形面积
为0.06，求在[12,15）内的频数；（3）求样本在[18,33）内的频率．
（万元）有如下的统计资料：若由资料知y 对x 呈线性相关关系。

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程a bx y +=∧
的回归系数b a ,；（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
22、（满分12分）对任意正整数n )1(>n ，设计一个程序框图求n
S 1
3121+++=
的值，并写出相应程序。

附加题（满分10分）
23、我们把同时被2、4、6整除，但不能被7整除的自然数叫做“理想数”。

第20题
请你设计求区间]1000,10[内所有“理想数”之和的程序框图，并编成计算机程序。

春晖中学高二数学单元测试答题卷
一、选择题
11、。

12、、。

13、。

14、。

15、、。

16、。

17、。

18、、。

三、解答题 19、 20、 21、
考号
姓名
班级
22、
附加题：23、
参考答案
一、选择题
B A A B D D
C B C
D 二、填空题
11、57 12、7，6 13、302 14、100 15、23，23 16、求1000212
2
2
<+++n 的最大正整数n 17、16 18、85，6 三、解答题
19、1)2)))3)5(((((
)(+++=x x x x x x x f 故373)2(=f
20、（1）50=n ；（2）频数是3；（3）0.78
21、（1）略；（2）08.023.1+=∧
x y ；（3）38.12万元 22、
23。