第11讲方差和协方差分析

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协方差分析

协方差分析的作用、意义单向分组资料的协方差分析两项分组资料的协方差分析协方差分析的数学模型和基本假定
协方差分析是将乘积和与平方和按照变异来源进行分解，从而将直线回归与方差分析结合应用的一种统计方法。
在方差分析的过程中，通常是根据变异的来源将平方和和自由度分离，从而进行误差估计和显著性检验。
P
2
0.18667 0.09333 1.04 0.375
组内
18 1.62286 0.09016
总变异
20 1.80952
对y的方差分析
变异来源组间
df
SS
s2
F
P
2
2.201 1.100 0.45 0.646
组内
18
44.251 2.458
总变异
20
46.452
从方差分析结果来看，不论是营养液喷洒前还是喷洒后，瓜苗的高度均没有显著区别！
检验误差项回归系数的显著性（F检验法）：
Ue
F dfe(U ) 25.348 22.8
Qe
18.9
dfe(Q)
17
按df1＝1，df2＝17查F值表，得F（0.01）＝8.40， F值达到极显著水平，故认为喷洒营养液一周
后植株的高度确实受到植株原高度的影响。
检验误差项回归系数的显著性（t检验法）：
C x 2.4 2 2.3 2.2 2 2.9 2.7 16.5 2.35
y 12.9 10.2 12 11 9.5 14.2 13.3 83.1 11.87
总计 x
51.7 2.46
y
240.4 11.44
先对x和y变量分别进行方差分析，得如下结果：
对x的方差分析

《方差和协方差分析》课件

应用优势
方差分析可以帮助我们解释和预测变量之间的关系，并为决策提供科学依据。
方差分析的例子和应用
市场调研
通过方差分析，我们可以比较不同市场的消费者行为差异，为市场定位提供依据。
产品质量
方差分析可用于评估不同生产线或供应商的质量表现，找到出现问题的原因，并进行改进。
教育研究
通过方差分析，我们可以比较不同教育干预措施的效果，为教育政策的制定提供指导。
《方差和协方差分析》 PPT课件
本PPT课件将深入探讨方差和协方差分析的概念、原理以及相关实际应用，的概念和原理
概念理解
方差分析是一种用于比较组间差异的统计方法，帮助我们了解不同因素对观察结果的影响程度。
原理解析
通过计算组内和组间的方差，并进行比较分析，判断差异是否显著。
协方差分析的概念和原理
概念解释
原理介绍
协方差分析是一种用于分析两个或多个变量之间关系的统计方法，帮助我们理解变量之间的相关性。
通过计算变量间的协方差，并对其进行分析，我们可以得出变量之间的相关结构。
应用价值
协方差分析可以帮助我们发现变量之间的关联规律，为决策和预测提供参考依据。
协方差分析的例子和应用
总结和展望
通过本次PPT课件，我们详细介绍了方差和协方差分析的概念、原理、例子和应用，希望能够为大家在统计分析领域提供有力支持。
1
金融领域
通过协方差分析，我们可以研究不同金
医学研究
2
融资产之间的相关性，为投资组合的构建和风险管理提供指导。
协方差分析可用于分析不同治疗方法的
疗效差异，
为医疗决策提供科学依据。
3
社会科学

方差分析和协方差分析协变量和控制变量

方差分析和协方差分析协变量和控制变量方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是用于比较两个或多个组之间差异的一种统计方法。

它常用于实验设计中，特别是当研究者希望判断不同组别对其中一变量的均值是否存在显著差异时。

方差分析的基本思想是通过分析组间变异和组内变异的差异性，来评估不同组别之间的差异是否超出了随机误差的范围。

在执行方差分析时，我们需要计算组间平方和（Sums of Squares Between Groups, SSBG）和组内平方和（Sums of Squares Within Groups, SSWG），并以此计算F值来进行假设检验。

协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）则是在方差分析基础上引入了协变量（covariate）的一种分析方法。

协变量是指与主要变量（研究变量）相关的、可能对变量之间关系产生影响的另一个变量。

协方差分析旨在通过控制协变量的影响，更准确地评估主要变量对因变量的影响。

具体而言，协方差分析会使用协变量与因变量的相关性来对因变量进行线性调整，将其影响减少到最低限度。

这样可以消除协变量对因变量的干扰，使比较组之间的差异更为准确。

在研究设计中，协变量和控制变量是常用的两种概念，用于控制和修正分析过程中的干扰因素。

在实验设计中，控制变量是指研究者通过依据主要变量的研究设计，将一些可能导致干扰的因素保持恒定。

例如，在比较两种不同药物对疾病治疗效果时，研究者可以将患者的性别、年龄、体重等因素作为控制变量，确保不同组别之间的差异主要来自于药物本身的影响。

而协变量则是在非实验研究中常用的，在测量研究变量之前，研究者会对协变量进行测量和记录，并在分析过程中加以控制。

例如，研究人员可能关注不同年龄组中学生的学业成就，但同时也要控制其他因素，如家庭背景、社会经济地位等，这些因素可能会干扰到学业成就与年龄之间的关系。

总之，方差分析和协方差分析是两种常用的统计分析方法，在不同的情境下用于数据的比较和解释。

方差分析与协方差分析58页PPT

方差分析与协方差分析
21、没有人陪你走一辈子，所以你要适应孤独，没有人会帮你一辈子，所以你要奋斗一生。 22、当眼泪流尽的时候，Байду номын сангаас下的应该是坚强。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之首，因为这种德性保证了所有其余的德性。--温斯顿．丘吉尔。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的，它只是让人们的脚放上一段时间，以便让别一只脚能够再往上登。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德谟克利特 67、今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间。 ——歌德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

协方差分析讲课课件

导入所需的库，如 NumPy和SciPy。
02
03
04
读取数据并将其转换为 NumPy数组。
使用SciPy的`cov`函数计算协方差矩阵。
将计算结果存储在变量中或直接打印输出。
06 案例分析
案例一：不同教育程度对收入的影响
总结词
教育程度对收入具有显著影响，但性别和工作经验等因素可能对结果产生干扰。
在进行协方差分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据转换和标准化。数据转换可以将连续变量转换为分类变量，或者将分类变量转换为连续变量。标准化则可以将数据调整到同一量纲，使其具有可比性。
计算协方差和相关系数
总结词
协方差和相关系数是衡量两个变量之间线性关系的统计量。
详细描述
在协方差分析中，需要计算协方差和相关系数，以衡量两个变量之间的线性关系。协方差表示两个变量共同变动的程度，相关系数则表示两个变量之间的线性关系的强度和方向。
通过协方差分析，可以评估分类变量对连续变量的独立影响，以及控制其他变量的影响后，分类变量对连续变量的影响。
协方差分析的适用场景
当需要研究分类变量对连续变量的独立影响时，可以考虑使用协方差分析。
当存在多个控制变量，且需要控制这些变量对连续变量的影响时，协方差分析是一个有效的工具。
当分类变量和连续变量的关系受到其他变量的影响时，协方差分析可以帮助排除这些变量的干扰，更准确地评估分类变量对连续变量的影响。
总结词
显著性差异是协方差分析的主要目的，需要通过F值和概率p值进行判断。
详细描述
在协方差分析中，需要根据F值和概率p值来判断变量之间的显著性差异。如果F值的概率p值小于预设的显著性水平（如0.05），则认为组间存在显著性差异。同时，还需要对每个效应量进行解释，以更深入地了解数据之间的差异。

方差分析(ANOVA)与协方差分析(ANCOVA)

方差分析(ANOVA)与协方差分析(ANCOVA) 第5章方差分析(ANOVA)与协方差分析(ANCOVA)——野外竞争试验Deborah E.GoldbergSamuel M.Scheiner5.1 引言自从达尔文时期，竞争就占据了生态理论的中心，关于竞争的实验在许多来自许多不同环境的多生物种之间开展过(Jackson,1981综述; Connell,1984; Schoener，1984; Hairston，1989; Gurevitch，1992)。

有各种各样的竞争实验，而本章的重点则放在怎样为具体的竞争问题选择适当的实验设计和统计分析。

这类选择取决于所研究问题及系统的许多方面。

对于大多数我们所给出的设计、基本的统计方法、方差分析(ANOVA)和协方差分析(ANCOVA)在实验设计与分析的教科书中也有详尽描述，我们在这里就不像本书其他章节那样提供详细的统计细节。

对于ANOVA的基本介绍见第四章。

虽然我们着重于竞争，但许多观点对其他类型的种间关系实验同样有效，如捕食者—猎物关系或者互惠共生关系。

5.2 关于竞争的生态问题我们可以提出关于竞争的最简单问题莫过于竞争是否在野外存在，要回答这个问题，就必须利用实验处理，使潜在竞争者们的绝对多度可被控制，同时检验处理中存在低多度潜在竞争者时物种是否可能生长的更好。

这类多度处理之间生长的差异即是竞争的量纲(或促进facilitation的量纲如果在较高多度下生长较佳)。

在任何野外竞争调查中，发现是否存在竞争是重要的第一步，但是，就其本身而言，并没有什么意义。

多数关于竞争的重要问题包括竞争强度的比较以及随之而来的实验设计及分析，这比在两种或更多种多度处理间的简单比较更为复杂 (Goldburg 和Barton，1992)。

有一组问题需要比较在不同环境条件下(生境或时间)竞争强度大小。

例如，野外观测结果可能推测出一个物种的分布是由同营养级所有其它物种竞争的总和所决定的假设，检验此假设的野外实验就必须比较中心种(focal sp.)在其多度高的生境和在其多度低或稀少的生境中竞争影响的强度(如 Hairston 1980; Gureritch 1986; Mcgreno 和Chapin 1989)。

方差分析及协方差分析

方差分析及协方差分析方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系和差异。

本文将分别介绍方差分析和协方差分析的基本概念、原理和应用。

一、方差分析（Analysis of Variance）1.基本概念：方差分析是一种通过对不同组之间的差异进行分析，来揭示组间差异是否非随机的统计方法。

它可以用于比较两个或更多个组的均值是否有显著差异。

2.原理：方差分析的原理基于对总体变异的分解。

总体变异可以分解为组间变异和组内变异。

组间变异表示不同组之间的差异，而组内变异表示组内个体之间的差异。

方差分析通过计算组间变异与组内变异之间的比值来判断组间差异是否显著。

3.适用场景：方差分析适用于有一个自变量和一个或多个因变量的情况。

常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果、比较不同教学方法对学生成绩的影响等。

4.步骤：方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的方差分析模型、计算方差分析统计量和p值、进行结果解释。

二、协方差分析（Analysis of Covariance）1.基本概念：协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。

它通过控制一个或多个连续变量（协变量）对组间差异进行调整，来比较不同组之间的差异。

协方差分析不仅考虑到组间差异，还考虑到了协变量的影响。

2.原理：协方差分析的基本原理是通过线性回归模型来估计组间均值的差异，同时考虑协变量的影响。

通过计算协方差矩阵和相关系数，可以得到组间差异的调整后的统计结果。

3.适用场景：协方差分析适用于有一个自变量、一个或多个因变量，以及一个或多个连续变量的情况。

常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果，并控制患者年龄和性别等协变量。

4.步骤：协方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的协方差分析模型、建立回归模型、计算协方差分析统计量和p值、进行结果解释。

总结：方差分析和协方差分析都是常用的统计分析方法，用于研究组间差异和变量之间的关系。

协方差分析

肥料间（组间） 2 356.083 178.042 6.34** 60.750 30.376 <1
肥料内（组内） 21 589.750 28.083
830.875 39.565
总变异
23 945.833
891.625
注： F0.05（2，23）=3.47 F0.01 （2，23） =5.78
从上述方差分析看，施肥前，产量（x）存在显著差异，说明24株树，三个组间存在极显著差异。
矫正平均数（y）间的差异
2 222.84 111.420
F 45.63**
注： F0.01 (2, 20) 5.85
结论：施不同肥料对果树的产量影响差异显著。这种结论与前面的分析不同，前面不作协方差分析时，施不同肥料间对果树产量影响差异不显著。
3）多重比较方法： ① 对观察值 y 的各处理平均数矫正
本例x-y变量间回归系数检验，回归关系极显著，必须对反应量（y）进行矫正。
◆ 测定矫正后 yi (x x) 的差异性
① 计算总变异离回归平方和（即对总变异
进行离回归分析）
QT
SST y
(SPT )2 SST x
765.752 891.625
945.833
271.67
VT n k 2 8 3 2 22
2.44281
1 8
50.875 51.8752
589.75
0.784
t 62.06 64.29 2.844* 0.784
B-C比较：
S d
2.442
1 8
1 8
59.5 51.8752
589.75
0.923
t 59.51 64.29 9.512** 0.923

方差分析与协方差分析

方差分析与协方差分析方差分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 和协方差分析 (Analysis of Covariance, ANCOVA) 是统计学中常用的两种数据分析方法。

它们在比较多个组或处理之间的差异时非常有用，并且可以探究因素对观察结果的影响。

本文将详细介绍方差分析和协方差分析的概念、原理和应用。

一、方差分析的概念和原理方差分析是一种用于比较多个组之间均值差异的统计方法。

它基于对总体方差的分解，将观察结果的变异分解成不同的来源，如组内变异和组间变异。

方差分析的目标是确定组间变异是否显著大于组内变异，进而判断不同组均值之间的差异是否具有统计学意义。

方差分析通常基于以下假设：1. 观察结果服从正态分布；2. 不同组之间的观察结果具有同方差性；3. 观察结果是相互独立的。

方差分析的原理是通过计算不同组之间的均方差（Mean Square, MS）和F统计量来进行推断。

F统计量是组间均方差与组内均方差的比值，如果F值显著大于1，则说明不同组之间存在显著差异。

方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析，其中单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况，而多因素方差分析则适用于有多个自变量的情况。

二、方差分析的应用方差分析在科学研究和实际应用中广泛应用，以下是一些常见的应用场景：1. 实验比较：方差分析可用于比较不同处理、不同实验条件下的实验结果。

例如，在农业领域，可以利用方差分析比较不同肥料、不同温度等对作物产量的影响。

2. 组间比较：方差分析可用于比较不同组别、不同样本间的差异。

例如，在医学研究中，可以利用方差分析比较不同药物对疾病治疗效果的差异。

3. 教育评估：方差分析可用于教育研究中，比较不同学校或不同教学方法对学生学习成绩的影响。

三、协方差分析的概念和原理协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。

它用于比较多个组别或处理之间的差异，同时控制一个或多个协变量的影响。

方差分析与协方差分析

方差分析与协方差分析方差分析和协方差分析是统计学中两种常用的分析方法，它们可以帮助我们理解数据之间的关系，揭示变量之间的差异以及彼此之间的相关性。

本文将对方差分析和协方差分析进行详细介绍和比较。

一、方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种比较多个样本均值是否存在显著差异的统计方法。

它通过计算变量间的方差来判断均值之间的差异是否由随机误差所致。

方差分析通常适用于如下场景：有一个因变量（也称为响应变量），它是一个连续变量，而有一个或多个自变量（也称为因子变量），它们是分类变量。

我们希望通过比较不同分类下的均值来研究自变量对因变量的影响。

方差分析的基本原理是将总的方差分解为两个部分：组内方差和组间方差。

组内方差代表了各组内部个体间的差异，而组间方差代表了不同组别之间的差异。

通过计算组间方差和组内方差的比值，我们可以得到一个统计量F值，通过比较F值与临界值，可以判断各组均值是否显著不同。

二、协方差分析协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）是一种结合了方差分析和回归分析的统计方法。

它可以用于控制一个或多个影响因素（协变量）后，对两个或多个组别之间的均值差异进行比较。

协方差分析一般适用于如下场景：除了一个因变量和一个或多个自变量之外，还存在一个或多个协变量，它们是连续变量。

协方差分析通过对协变量的处理来消除其对因变量的影响，从而更准确地评估组别间的均值差异。

协方差分析的基本原理是在方差分析的基础上，添加一个或多个协变量变量，利用回归的方法建立一个线性模型，通过比较模型中的回归系数来判断组别间的均值差异是否显著。

三、方差分析与协方差分析的比较1. 适用场景：方差分析适用于一个或多个自变量和一个连续因变量的场景，而协方差分析适用于除了自变量和因变量之外，还存在一个或多个协变量的场景。

2. 假设检验：方差分析通过计算F值来进行假设检验，比较的是组间差异占总差异的比重。

第十一章协方差分析

s
d
= V [
' y
1 ni
+
1 ni+源自( x i x j) 2 A
]
教学内容
第一章绪论第二章常用的试验设计第三章试验资料的整理及特征数第四章理论分布与抽样分布第五章统计推断第六章卡平方测验第七章方差分析基础第八章单因素试验的统计分析第九章多因素试验结果的分析第十章直线回归与相关分析第十一章协方差分析
经研究发现：经研究发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。这时可利用仔猪的初始重记为与回归关系。这时可利用仔猪的初始重(记为x)与其增重(记为的回归关系的回归关系，其增重记为y)的回归关系，将仔猪增重都矫正为初始重相同时的增重，为初始重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪增重的影响就消除了。猪增重的影响就消除了。由于矫正后的增重是应用统计方法将初始重控制一致而得到的，故应用统计方法将初始重控制一致而得到的，叫统计控制。统计控制。统计控制是试验控制的一种辅助手段。统计控制是试验控制的一种辅助手段。经过这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效过这种矫正，试验误差将减小，
实例：实例：sas程序程序 data fL; INPUT TRT $ X Y@@; CARDS; A 47 54 A 58 66 …… C 58 69 C 53 66 ; 输出参数的估值 PROC GLM; CLASS TRT; MODEL Y=TRT X/SOLUTION; LSMEANS TRT/STDERR PDIFF; RUN;
第三步：第三步：纠正后的处理间方差分析测验不显著，若F测验不显著，说明除去回归关系后各处理差异不测验不显著显著，分析至此完毕。显著，分析至此完毕。测验显著或极显著，关于x 若F测验显著或极显著，说明各处理经除去关于测验显著或极显著说明各处理经除去y关于的回归关系后合仍存在显著的差异，的回归关系后合仍存在显著的差异，应进行第四步分析。分析。第四步，第四步，用回归关系矫正每处理的平均值再作多重比较。比较。

统计学中的方差分析与协方差分析

统计学中的方差分析与协方差分析统计学中的方差分析和协方差分析是两个重要的统计学方法，被广泛运用于数据分析和研究中。

本文将介绍方差分析和协方差分析的定义、应用场景以及计算方法，以便读者更好地了解和运用这两种统计学工具。

一、方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值差异是否显著的统计方法。

其主要目的是检验不同组之间的均值是否存在显著性差异，从而确定各组之间是否存在显著差异。

在进行方差分析时，需要满足以下几个前提条件：独立性、正态性、方差齐性和组间误差的独立性。

满足这些前提条件的数据可以采用方差分析方法进行分析。

方差分析可以分为单因素方差分析和双因素方差分析。

单因素方差分析是一种比较多个独立样本均值差异的统计方法，而双因素方差分析是一种比较两个或更多个自变量对因变量均值差异影响的统计方法。

方差分析的计算方法主要包括计算组内平方和、组间平方和以及均方和。

利用这些统计指标可以进一步计算F值，并与临界值比较，从而判断差异的显著性。

二、协方差分析协方差分析是一种用于比较两个或多个随机变量之间的差异性的统计方法。

其主要目的是评估变量之间的相关性以及其对因变量的影响程度。

协方差分析通常用于分析两个或多个自变量对一个因变量的影响，从而确定自变量的变化对因变量的差异是否具有显著性影响。

在进行协方差分析时，同样需要满足一定的前提条件，如独立性、线性关系和正态性等。

只有当数据满足这些条件时，才能使用协方差分析进行统计分析。

协方差分析的计算方法主要包括计算协方差矩阵、相关系数以及模型拟合度。

通过对这些统计指标的计算和分析，可以判断变量之间的相关性以及自变量对因变量的影响程度。

三、方差分析与协方差分析的应用场景方差分析和协方差分析在实际数据分析和研究中有着广泛的应用。

在社会科学研究中，方差分析通常用于比较不同组别之间的差异，如教育水平对收入的影响、治疗方法对病情的影响等。

而协方差分析则更多地应用于经济学、金融学以及市场调研等领域。

协方差分析

当作随机因素
• 当我们考虑动物窝别对增重的影响时，一般我们可把它当作随机因素处理，这一方面是由于它不容易数量化，另一方面是同一窝一般有几只动物，可分别接受另一因素不同水平的处理
• 如果我们考虑试验开始前动物初始体重的影响，这时一般方法是选初始重量相同的动物作为一组，分别接受另一因素的不同水平处理，此时用方差分析也无问题。
a2 = 54.570,
b2 = 2.332,
SS
G e
2
32.431
Syy3 = 566.875, Sxy3 = 245.375, Sxx3 = 115.875,
a3 = 43.131,
b3 = 2.118,
SS
G3 e
47.273
组内剩余平方和：,其自由度=18
3
SSeG SSeGi 179 .577
• 从调整后的数据看来，第二种饲料效果最好，第一种稍差，而第三种差得较多。但从调整前的数据看是第二种最好，第三种几乎与第二种相同，而第一种差得多。这种调整前的差异是不正确的，因为它包含了初始体重的影响。第三组初始体重明显偏大，而第一组偏小，这影响了对两种饲料的正确评价。
对各调整后的平均数据作统计比较
（8）为比较各饲料好坏，计算调整平均数 y'i.
y'i. yi. b* ( xi. x..), i 1,2,3
• 代入数据，得：
y'1. 81.750 2.402 (13.750 19.25) 94.961 y'2. 98.000 2.402 (18.625 19.25) 99.501 y'3. 96.875 2.402 (25.375 19.25) 82.163
S

方差分析及协方差分析

方差分析方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称"变异数分析〞或"F检验〞，是R.A.Fisher创造的，用于两个及两个以上样本均数差异的显著性检验。

由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。

造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。

方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。

方差分析的作用一个复杂的事物，其中往往有许多因素互相制约又互相依存。

方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最正确水平等。

方差分析是在可比拟的数组中，把数据间的总的"变差〞按各指定的变差来源进展分解的一种技术。

对变差的度量，采用离差平方和。

方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的局部离差平方和，这是一个很重要的思想。

经过方差分析假设拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均数不相等或不全相等。

假设要得到各组均数间更详细的信息，应在方差分析的根底上进展多个样本均数的两两比拟。

方差分析的分类及举例一、单因素方差分析〔一〕单因素方差分析概念理解步骤是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。

这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。

例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。

这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。

单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。

例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。

单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。

方差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。

据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两局部，用数学形式表述为：SST=SS A+SSE。

方差与协方差理解

* *§2方差、协方差与有关系数2.1 方差例1比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数散布为：789678910： 01. 0.6 01.： 01.01..问哪一个技术较好？第一看两人均匀击中环数，此时EE8，从均值来看没法辩解孰优孰劣. 但从直观上看，甲基本上稳固在8 环左右，而乙却一会儿击中10 环，一会儿击中 6环，较不稳固 .因此从直观上能够讲甲的射击技术较好.上例说明：对一随机变量，除考虑它的均匀取值外，还要考虑它取值的失散程度 .称 - E为随机变量关于均值E的离差 (deviation)，它是一随机变量. 为了给出一个描述失散程度的数值，考虑用EE，但因为EE=EE=0 对全部随机变量EE我们改用EE2均建立，即的离差正负相消，所以用是不适合的 .描绘取值的失散程度，这就是方差 .若EE2定义 1存在，为有限值，就称它是随机变量的方差 (variance)，记作 Var ,Var = EE2(1)但 Var的量纲与不一样，为了一致量纲，有时用Var，称为的标准差 (standarddeviation).E2方差是随机变量函数的数学希望，由§1的 (5) 式，即可写出方差的计算公式i( x i E)2P(x i ),失散型 ,( x E2( x E)2，连续型.Var=) dF (x)p (x)dx(2)=进一步，注意到* *2E22 EE 22 2EE==EE即有=E2E2Var. (3)很多状况，用 (3) 式计算方差较方便些 .例 1(续) 计算例 1 中的方差 Var与 Var .解利用 (3) 式E 2x i 2 P(x i )82 ×0.8+ 92 ×0.1=64.2,=i= 7 2 ×0.1+E2E2Var= =64.2-- 82 =0.2.=E2E2同理 , Var= 65.2-64 = 1.2 > Var, 所以取值较分别 . 这说明甲的射击技术较好 .例 2试计算泊松散布P(λ)的方差 .2k2kkEeke解k 0k!k 1( k 1)!kk(k 1) eek 1( k 1)!k 1 (k 1)!2jjj eej 0j !j 0j !2所以 Var22.例 3设听从 [ a, b ] 上的均匀散布 U [a, b] ，求 Var .E2b1 dx 1 a 2ab b2x2,解a b a31 a 21a b2ab b 21 b a 2Var3212.* *听从正态散布N a,2例 4 设，求 Var .解此时用公式 (2) ，因为Ea ,E(a) 2(x a)21e ( x a)2 /2 2 dxVar22z 2/ 22 dzz e22ze z 2 /2e z 2 /2dz22222.2就是标准差 .可见正态散布中参数就是它的方差 , 方差也有若干简单而重要的性质 . 先介绍一个不等式 .切贝雪夫 (Chebyshev)不等式若随机变量的方差存在，则对随意给定的正数ε，恒有P E Var证设的散布函数为Fx，则2. (4)P E(x E )2dF ( x)2dF ( x)= |x E || x E |1( x E )2dF ( x)Var22= /.这就得 (4) 式 .切贝雪夫不等式不论从证明方法上仍是从结论上都有必定意义. 事实上，该式断言落在,E与 E,内的概率小于等于Var/，或许说，落在区间2E, E内的概率大于1- Var2/，进而只用数学希望和方差便可对上述概率进行预计 . 比如，取ε=3Var，则* *2P E Var1Var 3 Var≈0.89.自然这个预计仍是比较粗拙的（当N a,2～时，在第二章曾经指出 , P(| ξ- E|3 Var)=P(| ξ-a| 3 σ)≈）.性质 1Var=0的充要条件是 P(ξ=c) =1，此中 c 是常数 .证明显条件充足 . 反之，假如Var= 0，记E= c,由切贝雪夫不等式 ,P(| ξ-E |ε)=0对全部正数ε建立 . 进而P c 1 P c01lim P c 1 n1n.性质 2设c,b都是常数，则Var( c+b)= c2 Var.(5)证 Var( c+ b )= E(c+ b - E(c+ b))2= E(c+ b -cE-b) 2 = c2E( E )2= c2Var.若cE则 Var E c2性质 3,.证因 Var= E2- ( E) 2, 而E(ξ-c )2= E2-2 cE+ c2,两边相减得Var220.这说明随机变量ξ对数学希望E的失散E c E c度最小 .n nE(E i )( E j )Var(i )Var i i j性质 4i 1= i 1+2 1i j n(6)特别若 1 ,,n 两两独立，则n nVar(i)Var ii 1= i1.(7)nnnnE i )) 2i )ii )2(( i证Var(i 1= E ( i1-E ( i 1) = E i 1nE i ) 2(( i2( iE i )( jE j ))= E i11 i j nnE(Ei)(jE j )Varii= i1+2 1 ij n,得证 (6) 式建立 . 当1,,n两两独即刻，对任何1 i , j n 有 E i jE i E j ，故E(iEi)(jE j )=E(i jiEjjEiEiE j )= Ei jE i Ej=0,这就得证 (7) 式建立 .利用这些性质，可简化某些随机变量方差的计算.例 5设ξ听从二项散布 B (n , p ), 求 Var.解如§1 例 12 结构 i,i1, , n, 它们互相独立同散布，此时VariE i2( E i ) 2 12 p 0 2 q p 2 =pq.因为互相独立必是两两独立的，由性质4nnVarVar(i )Var inpq .i 1i 1例 6设随机变量1 ,, n互相独立同散布 , E ia2, Var i =,1n(i1, , n ). 记= ni, 求E, Var.i 1解由§1 性质 2 和本节性质 2 和 4 有1n E iEn ia ,11 n122Var iVarn 2n 2nn .i 1这说明在独立同散布时，作为各i 的算术均匀，它的数学希望与各i 的数学希望同样，但方差只有i的 1/ n 倍 .这一事实在数理统计中有重要意义.例 7设随机变量ξ的希望与方差都存在 ,Var0. 令*EVar,称它为随机变量ξ的标准化 . 求E*与 Var*.解由均值与方差的性质可知E *E( E )0Var,Var *Var( E )Var1Var Var.2.2 协方差数学希望和方差反应了随机变量的散布特点. 关于随机向量(1,,n),除掉各重量的期望和方差外，还有表示各重量间互相关系的数字特点—协方差.定义 2记i 和j 的结合散布函数为F ij(x, y) .若 E (i E i )(j E j )，就称E( i E i)(j E j )(x E i )( y E j )dF ij ( x, y)(8)为 i ,j的协方差 ( covariance)，记作 Cov(i ,j ).明显，Covi,j Var i.公式 (6) 可改写为n nCov(i,j)i Var i'Var(i 1)i 1+21 i j n.(6)简单考证，协方差有以下性质：性质 1 Cov(,) = Cov(,)E E E.性质 2设a, b是常数，则Cov( a, b )abCov(, ) .n nCov(i , )Cov(i , )性质 3i1i 1.关于 n 维随机向量ξ=( 1,,n)，可写出它的协方差阵b11b12b1nb21b22b2nB E E E bn1bn2bnn,(9)此中bij Cov(i,j).由性质 1 可知B是一个对称阵，且对任何实数t j, j1,, n, 二次型n n nE j )) 2b jk t j t k t j t k E( j E j )( k E k )E(t j ( j0 j ,k 1j , k1j 1,即随机向量ξ的协方差阵 B 是非负定的.性质 4设c11c1nξ=(1,, n ), C = c m 1c mn,则C的协方差阵为CBC，此中 B 是ξ的协方差阵.因为EC(C )'EC' C 'CE' C '，所以 CBC 的第i, j元素就是C的第 i 元素与第 j 元素的协方差 .2.3 有关系数协方差虽在某种意义上表示了两个随机变量间的关系，但Cov,的取值大小与ξ , 的量纲有关 .为防止这一点，用ξ ,的标准化随机变量（见例7）来议论 .定义3称E(E)( E)r=Cov( , )Var Var(10)为ξ,的有关系数 (correlation coefficient).为了议论有关系数的意义，先看一个重要的不等式.柯西—许瓦茨(Cauchy — Schwarz) 不等式对随意随机变量ξ ,有E2E2E2等式建立当且仅当存在常数t0使.(11) P t01.(12)证对随意实数 tu (t ) E (t)2t 2 E 22tE E 2是t的二次非负多项式，所以它的鉴别式(E )2E2 E20 ,证得 (11)式建立. (11) 式中等式建立当且仅当多项式u ( t)有重根t0，即u t0 E (t 0)20 .又由 (3)Var t 0 E t02,故得Var t,同时有E t. 所以由方差的性质 1 就证得P t001，此即(12) 式 .由此即可得有关系数的一个重要性质.性质 1对有关系数r有r1.(13)r=1 当且仅当r* *E E 1PVarVar;=-1 当且仅当E E 1PVarVar.(14)证由 (11) 式得rEE 2 E2Var Var1 证得 (13)rr 式建立 . 证明第二个结论 . 由定义,**E **. 由柯西 - 许瓦兹不等式的证明可知| r| 1等价于u(t)= t 2 E * 22tE * *E* 2有重根,t 0 2E **/( 2e *2) = E **.所以由 (12)式得r1当且仅当(**) 1；r1当且仅当 (** )1.注性质 1 表示有关系数r1时，ξ与以概率 1 存在着线性关系 . 另一个极端是r=0 ，此时我们称ξ与不有关 (uncorrected).性质 2 对随机变量ξ和, 以下事实等价：(1) Cov( ξ, )=0;(2) ξ与不有关 ;(3)EE E ;(4)VarVarVar .证明显 (1) 与 (2) 等价 . 又由协方差的性质1 得(1)与(3) 等价 . 再由(6) '式，得 (1) 与 (4) 等价 .性质 3 若ξ与独立，则ξ与不有关 .明显 , 由ξ与η独立知(3) 建立，进而ξ与不有关 .但其逆不真 .例 8设随机变量θ听从均匀散布U [0, 2 ]，ξ= cos ,sin ,明显221, 故ξ与不独立. 但E Ecos21 d 0cos2,* *EEsin =2 sin 1 0 02d,EEcos sin = 2sin1 d 00 cos2,故 Cov ,=EE E，即ξ与不有关 .注性质 2 不可以推行到n3个随机变量情况 . 事实上从n3个随机变量两两不有关只nnVar( i )Vari,不可以推得 E1nE 1E n. 反之，从这两个等式也不能推得 i 1i 1能推得1 ,, n 两两不有关 . 详细例子不列出了 . 关于性质3, 在正态散布情况，独立与不有关是一致的，这将在下边进行议论.例 9 设 (ξ, )听从二元正态散布N a, b; 12 ,22, r, 试求 Cov,r和.解Cov,( x a)( y b) p( x, y)dxdy11 xa y b2b)2=(x a)( y b) exp( y dxdyr 2 2(1 r 2 )r2 2221 2112,zx ay bty bx azrt J ( x, y)r( z, t)12令 12 ,2, 则1,,于是1 22z 2/ 2(1 r 2)t 2/ 2( zt) ee dzdtCov,21r2rt1 21 te t 2 / 2dt1r 2ze z 2 / 2(1 r 2 ) dz=2·21r1 2t 2e t 2/ 21e z 2/ 2(1 r 2)dz2dt21 r2+= 0+r1 2 .故得* *r Cov(, )r Var Var.这就是说二元正态散布中参数r 就是ξ,的有关系数 . 所以对二元正态散布，ξ、不有关等价于 r = 0.但在第二章已证ξ与互相独立等价于r = 0.这样我们有性质 4 对二元正态散布，两个重量不有关与互相独立是等价的.2.4 矩矩(moment)是最宽泛的一种数字特点，常用的矩有两种，一种是原点矩, 对正整数k ,m k E称为ξ的k阶原点矩 . 数学希望就是一阶原点矩.另一种是中心矩, 对正整数k，称kc k E( E ) k为ξ的k阶中心矩 . 方差是二阶中心矩.除此之外，三阶与四阶中心矩也是常用的，它们分别表示随机变量的性状. 常常用他们的相对值.称 c3 / c23 / 2为偏态系数，当它大于0 时为正偏态，小于0 时则为负偏态 .称c4/ c223为峰态系数，当它大于0 时表示该散布密度比正态散布更加尖峭.例 10设ξ为听从正态散布 N ( 0,2)的随机变量，此时E0，且1x2m n c n x n e 2 2dx20,n2k 1,1 3( n 1) n , n2k.特别m4c4 3 4.故不论σ为多少，正态散布的偏态系数与峰态系数都为0.我们能够用原点矩来表示中心矩：k c kr 0k( 1) r m1r m k r ; r* *反过来，我们也能够用中心矩来表示原点矩：k m kr 0k( 1)r m1r c k r . r我们也定义阶绝对矩M k E || ,此中是实数 .关于例 10中的随机变量E | |n 2 2k k !2k1 , n 2k11 3(n 1) n , n2k利用上述结果，能够求出其余某些散布的矩.如瑞利散布,拥有密度R ( x)x x222e2, x 0，那么E n x n x2 ex21 2| x |x 1ex22 2dx 2 2dx02.所以，E n 1 3nn ,n2k1,22 k k! 2 k n2k.E222( 2)22 ， E2. 所以，方差2.特别，2x22 2, x0p( x)s x2e再如，马克斯威尔散布拥有密度，那么E n2x n 2e x21| x |n 2x22 2dx02 2dx3e32所以，13(n 1)n ,E n2k1)!2k1,n2k,2 (k n2k 1.* *E2 2 ,232特别，E.例 11.假如听从参数为的指数散布，那么关于k1，E k0x k e x dx k E k 1.依据递推关系得k k !E k.即指数散布的随意阶矩存在.。

方差、标准差、协方差和Pearson相关系数及其间的关系

方差、标准差、协方差和Pearson相关系数及其间的关系方差、协方差和Pearson相关系数在机器学习的理论概念中经常出现，本文主要理一下这几个概念及其相互间的关系。

（一）方差：方差是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数，公式如下：上式中mui为样本均值。

方差可以反应样本数据的离散程度，由上式可以看出，方差越大，样本离散程度也越大。

机器学习中，如果某一特征值的离散程度很小，即表示该特征取值很少，可以认为样本在这个特征上基本没有差异，那这个特征对于样本区分没有什么作用，可以将这个特征去除，从而做到特征选择。

（二）标准差：标准差即方差的开平方，不展开了，下面是公式：（三）协方差：协方差描述的是两个变量间的相关性，计算公式如下：也可以用以下公式表示，两者是等价的：cov(X, Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]上式中E[ ]表示求期望，其中E[X]为X特征期望或均值，E[Y]为Y 特征期望或均值。

对比方差和协方差的公式可以看出两者很像，但方差的结果是大于等于0的，当等于0时，说明样本的x特征取值唯一，反应的样本的x特征的离散程度；协方差的取值则可以大于零也可以小于零，当大于零时，说明对应的两个变量x和y与其均值相比都同大于或同小于，即两个变量的变化趋势相同（正相关）；当小于零时，说明对应的两个变量x和y不同时大于或小于其均值，即两个变量的变化趋势相反（负相关）；而当均方根接近零时，说明两个变量基本没有相关性，接近相互独立。

从以上描述可以看出，协方差可以衡量两个变量相关性大小，绝对值越大，说明越相关。

但是，却不好比较多个变量与另外同一个变量间相关性的相对大小，因为量纲没有统一。

为了便于比较不同变量与另外同一个变量间相关性的相对大小，Pearson相关系数被提出了。

Pearson相关系数：如上所述，Pearson相关性系数是为了比较不同变量与另外同一变量间相关性的相对大小，这里要注意的是：Pearson相关性系数衡量的是定距变量间的线性关系，可以用Pearson相关系数来进行特征特征选择。

第11讲 方差和协方差分析

协方差分析

《方差和协方差分析》课件

方差分析和协方差分析协变量和控制变量

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方差分析(ANOVA)与协方差分析(ANCOVA)

方差分析及协方差分析

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第十一章 协方差分析

统计学中的方差分析与协方差分析

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第十一章协方差分析