无锡新领航教育特供：2013年高考数学 易错点点睛与高考突破 专题02 函数和反函数
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(1)若函数f(x)= ,g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式;
(2)求问题(1)中函数h(x)的值域．
【错误答案】(1)∵f(x)的定义域Df为(-∞，1)∪(1，+∞)，g(x)的定义域Dg为 2．(2013模拟题精选)记函数f(x)= 的定义域为A，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为B.
【解析】(1)运用函数奇偶性和条件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式．(2)利用导数可求得f(x)的最大值．令最大值等于12可知是否存在正实数a．
【答案】 (1)当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]
f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax
得f(x)=4x3-2ax(x∈[-1，0])
无锡新领航教育特供：2013年高考数学易错点点睛与高考突破专题02函数和反函数
1．已知定义域为[0，1)的函数f(x)同时满足①对任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)．
(1)求f(0)的值；
(2)求函数f(x)的最大值．
2．函数y=f(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[2，3]时,f(x)=x-1．在y=f(x)的图像上有两点A、B，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上，定点C的坐标为(0，a)，(其中a＞2)，求△ABC面积的最大值．
当 >2，即a>3时，函数S在[1，2]上单调递增，∴S有最大值S(2)=a-2．
难点2综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题
1．设f(x)是定义在[-1，1]上的偶函数．当x∈[-1，0]时，f(x)=g(2-x)，且当x∈[2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x -2)3，
(1)求f(x)的表达式；
(2)是否存在正实数a(a＞6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，若存在，求出正实数a的值；若不存在，请说明理由．
(3)解不等式f-1(x2+x)·f-1(x+2)≤ (x∈[0，2])．
【解析】由给定的函数性质，证明自变量x是属于还是不属于集合"， 最后利用反函数的概念、性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式．
【答案】
(1)证明：∵ ∈M，又 = × ,f( )=1．∴f( )=f( × )=f( )+f( )=1+1=2∈[0，2]，
(2)若该函数的值域为R，试求实数m的取值范围．
答案：由题设，得不等式△=（-2m）2-4(m+2)≥0解得m≤1或m≥2.
3.已知函数f(x)=Байду номын сангаасog3 的定义域为R，值域为[0，2]，求实数m，n的值．
或
解得，a∈Ø．
(2)若f(x)在[-1，1]上是单调递减函数，
则f′(x)≤0在[-1，1]上恒成立．
【例1】设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是()．
【变式】函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()．
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：令1－x＝t，则x＝1－t.
【易错点点睛】
易错点1函数的定义域和值域
1．(2013模拟题精选)对定义域Df、Dg的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=
难点3反函数与函数性质的综合
1．在R上的递减函数f(x)满足：当且仅当x∈M R+函数值f(x)的集合为[0，2]且f( )=1；又对M中的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)．
(1)求证： ∈M，而 M；
(2)证明:f(x)在M上的反函数f-1(x)满足f-1(x1)·f-1(x2) =f-1(x1+x2)．
∴ex[x2+2(1-a)x -2a]≤0在[-1，1]上恒成立．
∵ex>0．∴h(x)=x2+2(1-a)x-2a≤0在[-1，1]上恒成立．
则有
∴当a∈[ ，+∞]时，f(x)在[-1，1]上是单调函数．
2．(2013模拟题精选)已知函数f(x)=ax+ (a＞1)
(1)求A；
(2)若B A，求实数a的取值范围．
3．(2013模拟题精选)记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M，函数g(x)= 的定义域为集合N．求
集合M，N；
集合M∩N．M∪N.
∴x≥3或x<1．∴N={x|x≥3或x<1}．
【特别提醒】
对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能为空集。2．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．
2．设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，k是正常数，且对任意的x∈(0，+∞)，恒有f[f(x)]=kx成立．
若f(x)是(0，+∞)上的增函数，且k=1，求证：f(x)=x．
(2)对于任意的x1、x2∈(0，+∞)，当x2>x1时，有f(x2)-f(x1)＞x2-x1成立，如果k=2，证明： ＜ ＜ ．
答案：D解析：f(x-2)的图象是把f(x)的图象向右平移2个单位.因此f(x-2)的值域不变.
3已知函数f(x)=lg(x2-2mx+m+2)
(1)若该函数的定义域为R，试求实数m的取值范围．
解析：(1)由题设，得不等式x2-2mx+m+2>0对一切实数x恒成立，
∴△=（-2m）2-4(m+2)<0,解得-1<m<2.
【变式探究】
1若函数y=lg(4-a·2x)的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A．(0，+∞) B．(0，2)
C．(-∞，2) D．(-∞，0)
答案：D解析：∵4-a
2已知函数f(x)的值域是[-2，3]，则函数f(x-2)的值域为( )
A．[-4，1] B．[0,5]
C．[-4，1]∪[0，5] D．[-2，3]
∴ ∈M，
【学科思想与方法】
2.函数中的数形结合思想
“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，并综合图象的特征得出结论．
(2)求问题(1)中函数h(x)的值域．
【错误答案】(1)∵f(x)的定义域Df为(-∞，1)∪(1，+∞)，g(x)的定义域Dg为 2．(2013模拟题精选)记函数f(x)= 的定义域为A，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a≤1)的定义域为B.
【解析】(1)运用函数奇偶性和条件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式．(2)利用导数可求得f(x)的最大值．令最大值等于12可知是否存在正实数a．
【答案】 (1)当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]
f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax
得f(x)=4x3-2ax(x∈[-1，0])
无锡新领航教育特供：2013年高考数学易错点点睛与高考突破专题02函数和反函数
1．已知定义域为[0，1)的函数f(x)同时满足①对任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)．
(1)求f(0)的值；
(2)求函数f(x)的最大值．
2．函数y=f(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[2，3]时,f(x)=x-1．在y=f(x)的图像上有两点A、B，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上，定点C的坐标为(0，a)，(其中a＞2)，求△ABC面积的最大值．
当 >2，即a>3时，函数S在[1，2]上单调递增，∴S有最大值S(2)=a-2．
难点2综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题
1．设f(x)是定义在[-1，1]上的偶函数．当x∈[-1，0]时，f(x)=g(2-x)，且当x∈[2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x -2)3，
(1)求f(x)的表达式；
(2)是否存在正实数a(a＞6)，使函数f(x)的图像的最高点在直线y=12上，若存在，求出正实数a的值；若不存在，请说明理由．
(3)解不等式f-1(x2+x)·f-1(x+2)≤ (x∈[0，2])．
【解析】由给定的函数性质，证明自变量x是属于还是不属于集合"， 最后利用反函数的概念、性质证明反函数的一个性质和解反函数的不等式．
【答案】
(1)证明：∵ ∈M，又 = × ,f( )=1．∴f( )=f( × )=f( )+f( )=1+1=2∈[0，2]，
(2)若该函数的值域为R，试求实数m的取值范围．
答案：由题设，得不等式△=（-2m）2-4(m+2)≥0解得m≤1或m≥2.
3.已知函数f(x)=Байду номын сангаасog3 的定义域为R，值域为[0，2]，求实数m，n的值．
或
解得，a∈Ø．
(2)若f(x)在[-1，1]上是单调递减函数，
则f′(x)≤0在[-1，1]上恒成立．
【例1】设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是()．
【变式】函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()．
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：令1－x＝t，则x＝1－t.
【易错点点睛】
易错点1函数的定义域和值域
1．(2013模拟题精选)对定义域Df、Dg的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=
难点3反函数与函数性质的综合
1．在R上的递减函数f(x)满足：当且仅当x∈M R+函数值f(x)的集合为[0，2]且f( )=1；又对M中的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)．
(1)求证： ∈M，而 M；
(2)证明:f(x)在M上的反函数f-1(x)满足f-1(x1)·f-1(x2) =f-1(x1+x2)．
∴ex[x2+2(1-a)x -2a]≤0在[-1，1]上恒成立．
∵ex>0．∴h(x)=x2+2(1-a)x-2a≤0在[-1，1]上恒成立．
则有
∴当a∈[ ，+∞]时，f(x)在[-1，1]上是单调函数．
2．(2013模拟题精选)已知函数f(x)=ax+ (a＞1)
(1)求A；
(2)若B A，求实数a的取值范围．
3．(2013模拟题精选)记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M，函数g(x)= 的定义域为集合N．求
集合M，N；
集合M∩N．M∪N.
∴x≥3或x<1．∴N={x|x≥3或x<1}．
【特别提醒】
对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能为空集。2．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．
2．设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，k是正常数，且对任意的x∈(0，+∞)，恒有f[f(x)]=kx成立．
若f(x)是(0，+∞)上的增函数，且k=1，求证：f(x)=x．
(2)对于任意的x1、x2∈(0，+∞)，当x2>x1时，有f(x2)-f(x1)＞x2-x1成立，如果k=2，证明： ＜ ＜ ．
答案：D解析：f(x-2)的图象是把f(x)的图象向右平移2个单位.因此f(x-2)的值域不变.
3已知函数f(x)=lg(x2-2mx+m+2)
(1)若该函数的定义域为R，试求实数m的取值范围．
解析：(1)由题设，得不等式x2-2mx+m+2>0对一切实数x恒成立，
∴△=（-2m）2-4(m+2)<0,解得-1<m<2.
【变式探究】
1若函数y=lg(4-a·2x)的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A．(0，+∞) B．(0，2)
C．(-∞，2) D．(-∞，0)
答案：D解析：∵4-a
2已知函数f(x)的值域是[-2，3]，则函数f(x-2)的值域为( )
A．[-4，1] B．[0,5]
C．[-4，1]∪[0，5] D．[-2，3]
∴ ∈M，
【学科思想与方法】
2.函数中的数形结合思想
“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，并综合图象的特征得出结论．