-2002年全国初中数学竞赛试题及答案

2002年全国初中数学竞赛试题

一、选择题

1．设a ＜b ＜0，a 2

＋b 2

＝4ab ，则

b

a b

a -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、3

2．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2

＋b 2

＋c 2

－ab －bc －ca 的值为【 】

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

3．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则

A B C D

A G C D S S 矩形四边形等于【 】 A 、

65 B 、54 C 、43 D 、3

2

A

B

C D

E

F G

4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2

－2b ＋3

π

，y ＝b 2

－2c ＋

3

π

，z ＝c 2

－2a ＋

3

π

，则x 、y 、z 中

至少有一个值【 】

A 、大于0

B 、等于0

C 、不大于0

D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2

＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】 A 、72-

＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、11

2

-＜a ＜0

6．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +2

1

D 、a ＋b 二、填空题

7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2

＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。

8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。

9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600

，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。

A

B

C

P

10．如图，大圆O 的直径AB ＝acm ，分别以OA 、OB 为直径作⊙O 1、⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为 cm 2。

A B

11．满足(n 2－n －1)

n ＋2

＝1的整数n 有 个。

12．某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可以用p 表示为 。 三、解答题

13．某项工程，如果由甲、乙两队承包，5

2

2

天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，433天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，7

6

2天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？

14．如图，圆内接六边形ABCDEF 满足AB ＝CD ＝EF ，且对角线AD 、BE 、CF 交于一点Q ，设

AD 与CE 的交点为P 。(1)求证：EC AC ED QD =（2）求证：2

2

CE AC PE CP = A

B

C

D E

F

P

Q

16．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x 的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？

A

B

C

D

E

G

2002年全国初中数学竞赛试题

一、 选择题（每小题5分，共30分） 1. 设a ＜b ＜0，a 2

＋b 2

＝4ab ，则

b

a b

a -+的值为（ ）。 A 、3 B 、6 C 、2 D 、3

答案：A.由题意:

>0，且2

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-+b a b a =

= =3。

2.

已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2

＋b 2

＋c 2

－ab －bc －ca 的值为( )。

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

答案：原式= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]= [1+1+4]=3。

3. 如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则

A B C D

A G C D S S 矩形四边形等于( )。 A 、65

B 、54

C 、43

D 、3

2

答案：设S 矩形ABCD =1。因为E 、F 是矩形ABCD 中边AB 、BC 的中点，

所以S ΔGCF =S ΔGBF ，设为x ；S ΔGAE =S ΔGBE ，设为y 。则

,得2x+2y= .

所以S 四边形AGCD = .从而S 四边形AGCD ∶S 矩形ABCD =2∶3.