1对1个性化教案—(任意角的三角函数及其诱导公式的应用)

1对1个性化教案
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日期：年月日
一对一辅导学案
课题：任意角的三角函数及其诱导公式的应用
一．教学衔接
1．课前交流； 2．了解学生上课的进度及意见。

二．教学内容 1．角的概念的推广
1.1正角，负角,零角，象限角的概念
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

建立直角坐标系内,使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

例1．正角： 210 ； 负角： 660- ； 如果α是零角，那么α=00 。

例2．已知角的顶点与直角坐标系原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，指出它们是哪个
象限的角？
（1）4200； （2）-750； （3）8550； （4）-5100
1.2终边相同的角的表示
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}
Z =∙+==k k s ,3600
αββ,
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

例3．7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300
例4．在 360~00范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角。

（1）
； （2）
； （3）。

2.任意角的三角函数 2.1三角函数定义
任意角的三角函数定义：设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的
距离为(0)r r ==>，那么：sin y r α=，cos x r α=，tan y
x
α=。

2.2
例5．已知角α
例6．求下列各角αsin 、αcos 、αtan 的函数值：（1）0；（2）π；（3）
32
π。

2.3同角三角函数关系式：
（1）商数关系：sin tan cos α
αα= ； （2）平方关系：22sin cos 1αα+= ；
例7．已知4
cos 5
α=-，求sin ,tan αα．
例8．．
3.三角函数的诱导公式
公式一：sin(2)sin ,cos(2)cos ,tan(2)tan ,k k k απααπααπα+⋅=+⋅=+⋅=其中.k Z ∈
公式二：sin()sin ,cos()cos ,tan().πααπααπα+=-+=-+ 公式三: sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- 公式四: sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα-=-=--=-
诱导公式一～四的概括:απαπα±-Z ∈∙+,),(2k k 的三角函数值，等于α的同名函数值，前
面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

公式五：sin()cos ,cos()sin .22π
π
αααα-=-= 公式六：sin(
)cos ,cos()sin .22
ππ
αααα+=+=- 诱导公式五或六的概括:
απ
±2
的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，
前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

例9. 求下列三角函数值：（1）sin 960
； （2）43cos()6
π
-
． 解：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-= （诱导公式一）
sin(18060)sin 60=+=- 2
=-
（诱导公式二） （2）4343cos()cos
66
ππ
-
=（诱导公式三） 77cos(6)cos
66
ππ
π=+=（诱导公式一）
cos()cos 66
ππ
π=+=-2=-．（诱导公式二） 方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为)0,360⎡⎣
内的三角函数； ③化为锐角的三角函数。

可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。

例10.设)cos()180(cos 223)180cos()360(sin cos 2)(223θθθθθθ-+++----+=
f ，求)3
(π
f 的值.
例11.化简
()()()()()11sin 2cos cos cos 22.9cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎛⎫
----+ ⎪
⎝⎭
＋＋
三．教学拓展
三角函数的诱导公式的灵活运用
例12. 求值：①sin 315sin(1260)cos570sin(840)-+- ．
②sin()sin(2)sin(3)sin(102)6666
π
πππ
ππππ+
+++ ．
③已知：1
tan()2
πα+=-
，求sin(7)cos(5)απαπ-+的值。

④化简
sin()sin()
()sin()cos()
n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-
四．教学总结
1.求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值,流程图如下：
2.已知三角函数等式求角，先根据已知条件化简变形，然后求出对应的三角函数值，根据具体条件确定角的范围，常用方法是对条件进行相加、平方相加或相除等.
3.化简条件三角代数式的常见思路有：
若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；
若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的关系为止. 4.特别注意，使用诱导公式时要注意角的象限和注意公式中符号的选取. 5.掌握一些特殊角的三角函数值，要做到“ 见角知值，见值知角”，如：
五． 课堂练习 （一）选择题.
1.=-)6
25
sin(π（ ）
A.21
B.23
C.2
1- D.23-
2.下列三角函数：①)34sin(ππ+n ， ②)62sin(ππ+n ， ③)3
2sin(π
π+n ，
④()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+612cos ππn ， ⑤()⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-+312sin ππn )(Z n ∈.
其中函数值与3
sin
π
的值相同的是（ ）
A .①②
B .①③④
C .②③⑤
D .①③⑤
3.若21)3sin(-=+απ，则=-)2
cos(απ
（ ）
A ．2
1
-
B ．
2
1
C ．
2
3
D ． 2
3-
4.,)90cos()180sin(a -=+︒++︒αα则=-︒+-︒)360sin(2)270cos(αα（ ）
A.32a -
B.23a -
C.32a
D.2
3a . 5.sin 960 的值为（ ）
A.
23 B.23- C.2
1- D.21 6.对于任意的R ∈α，下列等式中不能成立的是（ ） A.=-)2sin(απαcos B.=+)2cos(απ
αsin
C.=+)23sin(απαcos -
D.=-)2
3cos(απ
αsin -
（二）填空题.
7. 43cos()6
π
-= .
8. 若31)cos(-=+απ，则=-)23sin(απ
.
9.设,3)5tan(=+απ则
)
cos()sin()
cos()3sin(απααππα+---+-的值等于 .
10. 已知3
2
)11sin(=+︒θ，则=-︒)79cos(θ . （三）解答题.
1.求下列三角函数值：（1）11sin 6π； （2）17sin()3
π
- ．
2．化简：（1）sin(180)sin()tan(360)
tan(180)cos()cos(180)
αααααα-++--+++-+-
3、已知31cos =
α，且02
<<-απ，求)
2
cos()23sin()2tan()2sin()cos(απαπαπαππα+--+--的值.
六、布置作业
1.=-)3
26
tan(π ( )
A.1
B.3
C.
3
3
D.3- 2.αα，且51cos =是第四象限角，那么=+）（2
cos π
α（ ）
A ． 51
B ． 562
C ． 562-
D ． 5
1
-
3.已知A ）
Z k k k ∈+++=(,cos )
cos(sin )sin(ααπααπ，则A 的值构成的集合为 （ ） A ．{
}2211--，，， B ．{}11，- C ．{}22-， D ．{}22011--，，，， 4.已知α为锐角，,05)2
cos(3)tan(2=++--βπ
απ01)sin(6)tan(=-+++βπαπ，则αs i n 的
值是（ ） A ．
553 B ． 773 C ． 10103 D ． 3
1
5.化简：)2
3cos()25sin()4cos()3sin()
23(
cos )2(
sin 33απαπαπαπαπ
απ
++--+++++.
6.已知
3
sin
5
α=-，且α是第四象限角，求tan[cos(3)sin(5)]
απαπα
--+的值。

7.已知：
1
tan()
2
πα
+=-，求sin(7)cos(5)
απαπ
-+的值。