知识点19 二次函数代数方面的应用
二次函数的性质及应用
二次函数的性质及应用引言：二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将探讨二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。
一、二次函数的定义和图像特点二次函数是指具有形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。
当a > 0时，抛物线开口向上，当a < 0时，抛物线开口向下。
二次函数的图像在抛物线的顶点处取得极值。
二、二次函数的性质1. 零点和因式分解二次函数的零点是指使得f(x) = 0的x值。
根据二次函数的定义，我们可以通过求解ax² + bx + c = 0的根来求得零点。
而对于因式分解，我们可以将二次函数表示为f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)的形式，其中x₁和x₂是二次函数的零点。
2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是指抛物线的轴线，它垂直于x轴，并通过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过求解f(x) = ax² + bx + c = 0的x值来得到。
而抛物线的顶点则是对称轴上的点，它的x坐标由对称轴的方程给出，y坐标可以通过代入x的值计算得到。
3. 极值和最值二次函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
根据二次函数的图像特点，当a > 0时，函数的极小值在顶点处取得；当a < 0时，函数的极大值在顶点处取得。
而最值则是函数在定义域上的最大值或最小值。
三、二次函数的应用1. 物理学中的抛体运动抛体运动是物理学中一个重要的概念，它描述了一个物体在重力作用下的运动轨迹。
当物体的运动轨迹为抛物线时，我们可以通过二次函数来描述其运动状态。
通过分析二次函数的性质，我们可以求解物体的最高点、最远点以及落地点等问题。
2. 经济学中的成本和收益在经济学中，成本和收益是一个重要的概念。
二次函数可以用来描述成本和收益之间的关系。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a ≠ 0。
二次函数是一种重要的函数类型，在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的性质与应用。
一、二次函数的基本性质1. 解析式：二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别代表函数的系数。
a控制开口方向和开口程度，正值使函数开口向上，负值使函数开口向下；b决定了函数的对称轴位置，对称轴的横坐标为-x/b；c是函数的常数项，表示函数与y轴的交点y=c。
2. 零点：二次函数的零点是使f(x) = 0的横坐标值。
一般情况下，二次函数有两个零点，可以用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)求得。
3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点。
顶点的横坐标为-x/b，纵坐标为f(-b/2a)。
对于a > 0，函数的图像开口向上，顶点是最低点；对于a < 0，函数的图像开口向下，顶点是最高点。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负决定。
当a > 0时，函数图像开口向上；当a < 0时，函数图像开口向下。
2. 开口程度：a的绝对值越大，函数图像开口越窄；a的绝对值越小，函数图像开口越宽。
当|a| < 1时，函数图像会比较平缓；当|a| > 1时，函数图像则会比较陡峭。
三、二次函数的应用1. 最值问题：通过观察二次函数的开口方向和顶点，我们可以判断函数的最值。
对于开口向上的函数，最小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的函数，最大值为顶点的纵坐标。
这在实际问题中有很多应用，例如优化问题、成本最小化等。
2. 运动问题：二次函数可以用来描述某些运动的轨迹。
例如，一个物体从某个高度落下，忽略空气阻力的影响，可以用二次函数表示物体的高度随时间的变化。
通过求解函数的零点和顶点，可以确定物体的落地时间和最高高度。
初中数学二次函数的解法与应用知识点总结
初中数学二次函数的解法与应用知识点总结二次函数是初中数学中重要的内容之一，它在代数与几何中都有广泛的应用。
本文将总结二次函数的解法与应用知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、二次函数的标准形式与一般形式二次函数的标准形式为：y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 可以是任意实数。
二、二次函数图像的性质1. 开口方向：- 当 a > 0 时，二次函数开口朝上；- 当 a < 0 时，二次函数开口朝下。
2. 对称轴：对于二次函数 y = ax² + bx + c，其对称轴为 x = -b / (2a)。
对称轴平分了抛物线，并且抛物线上任意两点关于对称轴对称。
3. 最值点：- 当 a > 0 时，二次函数的最小值为 c - (b² / (4a))，对应的 x 坐标为-b / (2a)；- 当 a < 0 时，二次函数的最大值为 c - (b² / (4a))，对应的 x 坐标为-b / (2a)。
三、二次函数的解法1. 求零点：通过解二次方程 ax² + bx + c = 0 来求二次函数的零点。
- 当Δ = b² - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = b² - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ = b² - 4ac < 0 时，方程无实数根。
2. 求顶点：二次函数的顶点为最值点，可通过顶点公式 x = -b / (2a) 来求得。
四、二次函数的应用知识点1. 面积与最值：在给定条件下，一个矩形的面积最大或最小值可以由一个二次函数的最值点确定。
2. 抛物线的运动轨迹：- 在自由落体的问题中，我们可以利用二次函数来建立小球的运动模型；- 在抛体运动的问题中，我们也可以通过二次函数来描述物体的轨迹。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是数学中常见且重要的一种函数类型。
它的特点是含有二次项的多项式函数，一般的形式为y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）。
本文将探讨二次函数的性质与应用，旨在帮助读者更好地理解和运用二次函数。
1. 二次函数的图像特点二次函数的图像一般为抛物线，其开口的方向与二次项系数a的正负有关。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
此外，二次函数的图像在经过顶点，顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
2. 二次函数的对称性二次函数具有关于顶点对称的性质，即当x轴上的一个点关于顶点对称时，对应的函数值也是相等的。
这一特性可以通过函数关于x=-b/2a的对称性来解释。
3. 二次函数与一次函数的关系若将二次函数的一次项系数b取为0，则得到的函数为f(x)=ax²+c，此时就变成了一元二次方程。
一次函数可以看作是二次函数的一种特殊情况，在一次函数中，a=0，即y=c，其中c为常数。
4. 二次函数的零点二次函数的零点即为函数的根，即f(x)=0的解。
对于一般形式的二次函数，可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0来得到它的零点。
根的情况有三种：当判别式b²-4ac>0时，有两个不相等的实根；当判别式b²-4ac=0时，有两个相等的实根；当判别式b²-4ac<0时，没有实根。
5. 二次函数的最值二次函数在抛物线的顶点处取得最值。
当a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
6. 二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。
例如，抛物线的运动轨迹、物体自由落体的高度与时间的关系、利润与销量的关系等都可以用二次函数来描述和分析。
通过建立二次函数模型，可以对实际问题进行预测和优化。
总结：二次函数作为一种重要的数学工具，在数学和实际问题中都扮演着重要的角色。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是一种常见的数学函数形式，由幂次为2的项和常数项组成。
它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将探讨二次函数的性质和应用，并介绍一些相关的数学原理。
一、基本形式和性质二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c（其中a≠0，a、b、c为常数）1. 零点和轴对称性二次函数的零点是方程f(x) = 0的解，可以通过求解ax^2 + bx + c =0来得到。
零点对应于函数图像与x轴相交的点，也称为函数的根。
二次函数的图像是关于一个垂直于x轴的轴对称的，称为二次函数的轴。
轴的方程为x = -b/(2a)。
2. 开口方向二次函数的开口方向由二次项系数a的正负值决定。
当a>0时，函数图像开口向上；当a<0时，函数图像开口向下。
3. 顶点和最值二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，对应于函数的最值。
顶点的横坐标为-x0，其中x0 = -b/(2a)；纵坐标为f(-x0)。
若a>0，则顶点为最小值点；若a<0，则顶点为最大值点。
最小值或最大值为f(-x0)。
二、二次函数的应用二次函数在多个领域中都有实际应用。
以下列举几个常见的应用场景。
1. 物体的抛体运动当一个物体被竖直抛出时，其高度与时间的关系可以用二次函数来表示。
在忽略空气阻力的情况下，物体的高度h随时间t的变化满足h(t) = -16t^2 + vt + h0，其中v是初速度，h0是初始高度。
通过分析二次函数的性质，可以确定物体的最高点、落地时间等信息。
2. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数是描述生产成本与产量之间关系的函数。
二次函数常常被用来表示成本函数。
根据具体情况，成本函数的系数可以代表固定成本、变动成本等。
通过研究二次函数的图像和顶点，可以分析最小成本或最大利润对应的产量。
3. 自然界中的抛物线轨迹许多自然界中的现象都可以用二次函数来解释，例如自由落体运动、流体的喷射轨迹等。
二次函数及其应用
二次函数及其应用二次函数是高中数学中非常重要的一个内容。
它是一种二次方程的图像表现形式，拥有许多优秀的数学性质和广泛的应用领域。
本文将从定义、性质和应用三个方面介绍二次函数的相关内容。
1. 定义和基本性质二次函数是指形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a \neq 0$。
它是二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的图像表示，而二次方程则是解决许多实际问题的重要工具。
对于二次函数，我们可以通过下列方式来研究它的性质。
1.1 斜率二次函数的斜率是它在任意一点处的切线的斜率。
我们可以通过求导来得到它的斜率公式：$$f'(x) = 2ax + b$$通过这个公式，我们可以得到二次函数在$x$处的切线斜率为$2ax + b$。
在二次函数的图像上，随着$x$的增加，我们可以看到切线的斜率逐渐变大或变小，这样的变化和二次函数的开口方向有关。
1.2 零点二次函数的零点是指它的函数值为$0$的$x$值。
通过求解二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，我们可以得到二次函数的零点公式：$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$这个公式中的$\sqrt{b^2 - 4ac}$称为判别式。
当判别式大于$0$时，二次函数有两个不同的实数根；当判别式等于$0$时，二次函数有一个重根；当判别式小于$0$时，二次函数没有实数根，但有两个共轭复数根。
1.3 对称轴二次函数的对称轴是指将它分成两半后，两半部分关于某一直线对称。
我们可以通过二次函数的顶点和斜率公式来确定它的对称轴：$$x = -\frac{b}{2a}$$这个公式中的$-\frac{b}{2a}$就是二次函数的顶点坐标。
1.4 函数值二次函数的函数值可以通过求解$x$来得到。
对于任意一个$x$，我们可以通过将它代入二次函数公式中来得到它的函数值，例如：$$f(2) = 4a + 2b + c$$2. 应用二次函数是许多实际问题的重要数学工具。
九年级下册二次函数知识点讲解
九年级下册二次函数知识点讲解二次函数是我们在数学学习中经常会遇到的一个重要概念。
它是一种代数函数，具有形如f(x) = ax² + bx + c的表达式，其中a、b、c是实数，且a不等于0。
而九年级下册中，我们将进一步学习和探索二次函数的性质和应用。
本文将对九年级下册二次函数的知识点进行讲解。
一、二次函数的图像和性质在学习二次函数的知识时，首先我们需要了解二次函数的图像和性质。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向取决于二次项的系数a的正负。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
在解析式f(x) = ax² + bx + c中，常数c表示抛物线在y轴上的截距，而常数b则与抛物线的轴对称线有关。
二、二次函数的顶点和轴对称线二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，这里也是抛物线的转折点。
顶点的坐标可以通过计算得到，设顶点坐标为（h，k），则h = -b / (2a)，k = f(h) = f(-b / (2a))。
而二次函数的轴对称线则是垂直于x轴的一条直线，过抛物线的顶点。
轴对称线的方程可以通过计算得到，一般形式为x = -b / (2a)。
三、二次函数的零点和解析式二次函数的零点，即函数图像与x轴交点的横坐标。
通过求解二次函数的零点，我们可以得到方程ax² + bx + c = 0的解析式。
一般来说，我们可以使用因式分解、求根公式以及配方法等多种方法来求解二次方程，具体方法根据具体情况选择。
四、二次函数的最值和范围二次函数的最值是指函数的最大值或最小值，也就是抛物线的顶点坐标中的纵坐标。
当二次项系数a大于0时，二次函数的最值为最小值；当二次项系数a小于0时，二次函数的最值为最大值。
而二次函数的取值范围受限于抛物线的开口方向和最值，当a 大于0时，函数的取值范围为（最小值，正无穷）；当a小于0时，函数的取值范围为（负无穷，最大值）。
五、二次函数的应用除了了解二次函数的基本知识和性质外，我们还需要学习和掌握二次函数在实际问题中的应用。
二次函数知识点整理
二次函数知识点整理二次函数，又称为二次方程，是数学中重要的一类函数。
它的一般形式可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数，且a不等于0。
二次函数和二次方程在数学的各个领域，特别是代数、几何和物理中都有广泛的应用。
下面我将对二次函数的知识点进行整理，从定义、图像、性质、解法以及应用等多个方面进行说明。
一、二次函数的定义二次函数是一个关于x的函数，其最高次项是二次项。
一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数，且a不等于0。
a叫做二次函数的二次项系数，决定了二次函数图像开口的方向和大小；b叫做一次项系数，决定了二次函数图像的位置；c叫做常数项，是二次函数图像与y轴的交点。
二、二次函数的图像特点1.开口方向：二次函数图像的开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。
2.对称轴：二次函数图像的对称轴是一个垂直于x轴的直线，对称轴经过顶点。
对称轴的方程为x=-b/2a。
3.顶点坐标：二次函数图像的顶点坐标是对称轴上的一个点，其横坐标为对称轴的坐标，纵坐标为对应x值带入二次函数得出的y值。
顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
4. 判别式：对于二次函数y=ax^2+bx+c，其判别式Δ=b^2-4ac可用来判断二次函数的图像与x轴的交点情况。
若Δ>0，则有两个不同的实根，图像与x轴有两个交点；若Δ=0，则有一个实根，图像与x轴有一个交点；若Δ<0，则没有实根，图像与x轴无交点。
5.图像特征：二次函数图像的增减性、凹凸性和极值情况与二次项系数a的正负有关。
当a>0时，图像是向上开口的，增减性从减到增，形状为“∩”，有最小值；当a<0时，图像是向下开口的，增减性从增到减，形状为“∪”，有最大值。
三、二次函数的性质1. 零点：二次函数y=ax^2+bx+c的零点是使得函数取0值的x值。
一元二次方程ax^2+bx+c=0的解即为二次函数的零点。
二次函数的地位和作用
第一季度招商引资工作汇报尊敬的领导：根据领导交办的任务，我特别就第一季度招商引资工作进行了汇报。
在过去的三个月里，我们全力以赴，积极推进招商引资工作，并取得了一定的成绩。
一、总体情况在第一季度，我们共招商引资XX亿元人民币，超额完成了领导下达的目标。
这份成绩的取得离不开全体同事的共同努力和全力配合，同时也离不开各级领导的大力支持和关心。
二、招商引资项目在招商引资项目方面，我单位共签订了XX个项目，主要涵盖了产业、农业、服务业等多个领域。
其中，大项目XX个，小项目XX个，总体来说，项目规模适中，能够为地方经济的发展带来积极的影响。
三、招商重点领域在招商引资的重点领域方面，我们主要关注了高新技术产业、文化创意产业、现代服务业等领域。
通过各种途径的推广、宣传和洽谈，我们成功吸引了一些龙头企业和跨国公司的投资，为本地经济发展注入了新的活力。
四、招商引资政策为了进一步吸引投资者，我们在第一季度针对招商引资制定了一系列政策。
包括给予税收优惠、提供土地、办理手续等方面的扶持措施。
这些政策的出台和实施，有助于提高投资者的投资意愿和信心，为项目的落地提供了良好的保障。
五、招商引资宣传活动在第一季度，我们还积极组织了一些招商引资宣传活动。
通过组织各类投资洽谈会、项目推介会、考察活动等，我们扩大了项目的知名度和影响力，吸引了更多的投资者和资金。
六、存在的问题和建议尽管我们在第一季度取得了一定的成绩，但仍然存在一些问题需要解决。
首先，我们在招商引资方面的宣传还不够到位，需要进一步加大宣传力度和推广渠道，以吸引更多的投资者。
其次，我们在项目对接和谈判方面还存在一定的困难，需要加强团队协作，提高谈判技巧。
最后，我们在政策落实方面还有待完善，需要更加细化政策内容，提高实施效果。
综上所述，第一季度招商引资工作取得了一定的成绩，但还存在一些问题需要解决。
我将组织团队进一步深入分析和研究，制定针对性的解决方案，以期在第二季度的招商引资工作中取得更好的成绩。
二次函数的解析式与应用
二次函数的解析式与应用二次函数是一种常见的数学函数形式。
它的解析式可以用来描述许多自然和社会现象，而且在工程、经济学、物理学等领域有着广泛的应用。
本文将讨论二次函数的解析式以及它在实际问题中的应用。
一、二次函数的解析式二次函数的一般解析式可以表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
这个解析式中的变量x代表自变量，变量y代表因变量。
二次函数图像为一条开口向上或向下的抛物线，其中a控制了抛物线的开口方向和大小，b控制了抛物线的平移，c为抛物线与y轴的交点。
以一个具体的例子来说明，假设有一条二次函数曲线，其解析式为y = 2x^2 + 3x - 1。
根据这个解析式，我们可以得到多个点的坐标并绘制出曲线。
同时，我们也可以通过解析式计算出该二次函数的顶点、判别式、零点等重要信息，这些信息可以帮助我们更好地理解二次函数的特性和性质。
二、二次函数的应用1. 自然科学领域中的应用二次函数在自然科学领域中有广泛的应用。
以物理学为例，二次函数可以用来描述物体的运动轨迹、抛物线的轨迹等。
在力学中，一个自由落体经过时间t下落的距离h可以用二次函数来表示，解析式为h = -gt^2 + vt + h0，其中g为重力加速度，v为初速度，h0为初始高度。
通过这个二次函数，我们可以计算出物体在不同时间下的高度，从而预测它的轨迹。
2. 经济学领域中的应用在经济学中，二次函数可以用来建模和分析许多经济现象。
例如，成本函数通常以二次函数的形式出现。
通过分析成本函数的最小值，我们可以确定最佳生产量以实现成本最小化。
此外，二次函数还可以用来描述价格与需求之间的关系，帮助我们预测市场行为和做出战略决策。
3. 工程学领域中的应用在工程学中，二次函数被广泛应用于建筑、电子、通信等领域。
例如，二次函数可以用来描述桥梁的抗弯形状，以确保结构的稳定性和安全性。
另外，二次函数还可以用来优化电子电路的设计、天线的指向性、信号传输的衰减等问题。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是高中数学中的重要内容之一，在现实生活中也有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念，并结合实际例子，探讨二次函数在各个领域的应用。
1. 二次函数的基本概念二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个二次曲线，也称为抛物线。
2. 二次函数与图像二次函数的图像具有以下特点：- 当a > 0时，二次函数的图像开口向上，称为正抛物线；当a < 0时，二次函数的图像开口向下，称为负抛物线。
- 二次函数的图像关于x轴对称，称为对称轴。
对称轴的方程为x = -b/(2a)。
- 二次函数的顶点是图像的最低点或最高点，在对称轴上。
顶点的横坐标为-x = -b/(2a)，纵坐标为f(-b/(2a))。
3. 抛物线的应用抛物线作为一种特殊的曲线形状，在工程、物理、经济等领域有广泛的应用。
3.1 物理学中的应用在物理学中，抛物线经常用来描述物体的运动轨迹。
例如，抛出的物体在重力作用下的运动可以用二次函数来描述。
通过分析抛物线的特性和方程，可以推导出物体的最高点、最远点等重要信息。
3.2 工程学中的应用抛物线在工程学中也有许多应用。
例如，在桥梁设计中，二次函数可以用来描述桥梁弯曲的形状，从而确定桥梁的结构和材料；在发射抛物线的炮弹或火箭的轨迹计算中，二次函数可以用来分析飞行轨迹和最佳发射角度。
3.3 经济学中的应用经济学中的需求曲线和供给曲线通常也是二次函数。
通过分析二次函数的方程和图像，可以研究产品的价格和销量之间的关系，从而进行市场预测和经济决策。
4. 求解二次方程二次函数也可以用来解决一些实际问题。
当我们遇到形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程时，可以使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)通过求解二次方程，可以找到方程的根或解，并应用于各个领域的实际问题中。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用二次函数是数学中一种常见的函数形式，由多项式中的二次幂项（最高次数为2）和常数项构成。
本文将探讨二次函数的性质以及其在实际应用中的具体运用。
一、二次函数的定义和基本形式二次函数的一般定义如下：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像特点1. 开口方向：由二次函数的系数a的正负决定。
若a > 0，则二次函数的抛物线开口向上；若a < 0，则抛物线开口向下。
2. 最值与顶点：当二次函数的开口方向向上时，最值为最小值，对应于抛物线的顶点；当开口方向向下时，最值为最大值，也对应于抛物线的顶点。
3. 对称轴和顶点坐标：二次函数的对称轴为经过顶点的直线。
对称轴的方程为x = -b / (2a)。
顶点的坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。
4. 零点：二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解。
可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得。
三、二次函数的应用1. 物理学中的抛体运动：二次函数可以描述抛体运动的轨迹。
通过确定抛物线的方程，可以计算出抛体的高度、飞行时间、最远距离等。
2. 经济学中的成本函数和收益函数：企业的成本函数和收益函数通常采用二次函数来描述。
通过求解最值，可以确定最大利润和最小成本对应的产量。
3. 建筑工程中的拱桥设计：拱桥的形状通常可以用二次函数来描述。
通过调整抛物线的参数，可以使得拱桥的结构更加稳定和美观。
4. 金融学中的期权定价：期权定价模型如Black-Scholes模型中，二次函数被用来描述股票价格的波动性。
这有助于判断期权的价格和风险。
5. 统计学中的回归分析：二次函数可以用来拟合数据，进行回归分析。
通过寻找最佳拟合曲线，可以预测和解释数据的趋势和关系。
四、总结二次函数作为一种常见的函数形式，在数学中具有重要的性质与应用。
通过对二次函数图像特点的了解，我们可以更好地理解和应用二次函数。
二次函数知识点及其应用的总结
二次函数知识点总结知识结构框图一、二次函数的概念形如c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数，其中x ，是自变量，a b c 、、分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二、二次函数的一般表达式1、 一般式：c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2、顶点式：k h x a y +-=2)(（a ，h ，k 为常数，0a ≠）其中2424b ac b h k a a-=-=，； 3、 双根式：21212()()(0,,=)y a x x x x a x x ax bx c x =--≠++其中是y 与轴交点的横坐标二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.三、二次函数2y ax bx c =++的图像性质(轴对称图形)1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-， 顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-． 四、二次函数的图像与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．五、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图像与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根． 12x x ，和的一半恰好是对称轴的横坐标.② 当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图像与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是一种具有特殊形状和特殊性质的函数，在广泛的几何和代数应用中具有重要的地位。
许多几何图形，比如椭圆、双曲线和抛物线，都可以用二次函数表示。
在这里，我们将简要介绍二次函数的基本概念、性质和应用，以及在几何中的使用方法。
一、基本概念二次函数是一种二次项（即幂次为2的项）的多项式，形式为y=ax2+bx+c (a≠0)，其中a，b，c为实数，x表示变量。
函数y=ax2+bx+c 当x取值时，可以得到一个实数y，当y值取值时，可以得到x的值。
因此，二次函数可以看做一个定义在实数域上的映射。
二、性质1、a的正负性决定函数的开关性：改变函数y=ax2+bx+c中a项的系数，可以改变函数的形状。
当a>0，抛物线向上开；当a<0，抛物线向下开。
2、函数的最值：二次函数y=ax2+bx+c的最值位置可以用转折点(x2, y2)来表示，转折点是函数曲线在x轴上的拐点，它的坐标可以通过求函数的导数来解决。
3、函数的对称性：一般地，一个二次函数的图像是封闭的，且具有对称性。
以函数y=x2为例，其图像是一个抛物线，它具有绕着y轴的中心点（0，0）的对称性。
三、应用1、函数的应用二次函数的应用主要在几何和代数方面，它在几何中主要应用于描述形状，比如椭圆、双曲线、抛物线等，在代数方面主要用于解决一元二次方程、独立变量的求解等问题。
2、几何图形的描述椭圆、双曲线和抛物线都可以用二次函数来描述。
椭圆的方程为y2=4a2(x2-a2)，双曲线的方程为y2/a2-x2/b2=1，抛物线的方程为y2=2a（x-x1）。
四、几何中的使用1、直线的垂直平分线当给定直线y=kx+b，可以用二次函数y=k2x2+(2kb-2b2/k)x+(b2-1/k2)来描述垂直于该直线的一条线段，该直线段是给定直线的垂直平分线，其中k表示直线斜率，b为直线截距。
2、椭圆的对称中心当给定一个椭圆，它的方程为y2=4a2(x2-a2)，可以用二次函数y=(2x-2c)2+d2来表示椭圆的对称中心的参数方程，其中c和d分别表示椭圆的一条轴半长和另一条轴半长。
高中数学中的二次函数及其应用
高中数学中的二次函数及其应用引言数学是一门抽象而又实用的学科，它在各个领域都有着广泛的应用。
而在高中数学中，二次函数是一个重要的概念，它在代数、几何、物理等方面都有着重要的应用。
本文将从二次函数的定义、性质和应用三个方面来探讨这个有趣而又重要的数学概念。
一、二次函数的定义和性质1.1 二次函数的定义二次函数是指函数的定义域为实数集，且可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c的函数。
其中，a、b、c为实数，且a不等于零。
1.2 二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向由二次项的系数a的正负决定。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
而抛物线的顶点则是二次函数的最值点，其坐标可以通过求解二次函数的导数来得到。
1.3 二次函数的性质二次函数具有以下几个重要的性质：（1）对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
（2）最值点：二次函数的最值点即为抛物线的顶点，其纵坐标为最值。
（3）零点：二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，可以通过求解二次方程来得到。
（4）增减性：当二次函数的二次项系数a大于零时，函数在抛物线的顶点左右两侧是递增的；当a小于零时，函数在顶点左右两侧是递减的。
二、二次函数的应用2.1 抛物线的运动学应用抛物线是二次函数的图像，而运动学中的抛物线运动正是二次函数的一个重要应用。
例如，一个物体从斜面上抛，其运动轨迹可以用二次函数来描述。
通过解析几何的知识，可以求得物体的抛射高度、飞行时间、最远距离等相关参数。
2.2 二次函数在经济学中的应用二次函数在经济学中也有着广泛的应用。
例如，成本函数、利润函数、需求函数等经济学模型中常常涉及二次函数。
通过对这些函数的分析，可以得到不同经济变量之间的关系，并作出相应的经济决策。
2.3 二次函数在物理学中的应用在物理学中，二次函数也有着重要的应用。
例如，自由落体运动中物体的位移、速度、加速度等物理量的变化都可以用二次函数来描述。
二次函数基础及应用
二次函数基础及应用二次函数，在数学中是一种重要的函数形式。
它的表达式通常为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
本文将介绍二次函数的基础知识，并探讨一些它在实际应用中的使用。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax^2+bx+c。
其中，a代表抛物线的开口方向和狭宽程度，正值表示向上开口，负值表示向下开口；b代表抛物线在x方向的平移；c代表抛物线与y轴的交点。
二、二次函数的图像特点对于二次函数y=ax^2+bx+c，根据a的值的不同，抛物线的图像会有以下几种情况：1. 当a>0时，抛物线向上开口，最低点在顶部，为最小值点；2. 当a<0时，抛物线向下开口，最高点在顶部，为最大值点。
三、二次函数的性质1. 零点和根在二次函数中，零点和根是指使函数等于零的x值。
二次函数的零点可以通过解方程ax^2+bx+c=0来求解。
根据韦达定理，二次函数的判别式Δ=b^2-4ac可以帮助我们判断二次函数的零点个数和性质。
- 当Δ>0时，二次函数有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，二次函数有两个相等的实根；- 当Δ<0时，二次函数没有实根。
2. 对称轴二次函数的对称轴是其抛物线的对称轴。
对称轴的方程可以通过x=-b/(2a)得到。
3. 极值点在二次函数的顶点或者底点，函数取得最大或最小值，称为极值点。
根据抛物线的开口方向，可以判断极值点是最大值还是最小值。
四、二次函数的应用二次函数在现实生活中具有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景：1. 抛物线的建模许多物理问题可以通过二次函数来建模。
例如，一个抛出的物体在空中的高度可以用二次函数来描述，通过分析抛体运动方程可以确定其最高点、最远距离等关键属性。
2. 金融与经济学在金融和经济学中，二次函数经常用于描述成本、收益、利润等与产量或销量相关的指标之间的关系。
通过分析二次函数的图像和性质，可以计算最优产量或者销量，帮助决策者做出最佳决策。
初中数学二次函数的知识点
初中数学二次函数的知识点在初中数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点，它衔接了代数和几何两部分内容，对于初中生来说，掌握好二次函数可以为高中数学学习打下坚实的基础。
本文将详细介绍初中数学二次函数的知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
一、二次函数的定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数。
特别地，当b=0时，二次函数变成了一个二次项系数为a的二次方程，其一般形式为y=ax^2+c。
二、二次函数的图像1. 开口方向：二次函数的图像是一条抛物线，根据a的符号不同，抛物线开口方向也不同。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 顶点：对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），其图像的顶点坐标为（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）。
当b=0时，抛物线顶点为（0，c）。
3. 拐点：在二次函数的图像中，拐点通常是指曲线的凸凹性质发生改变的点，也就是二阶导数为0的点。
对于二次函数y=ax^2+bx+c（a ≠0），其拐点为（b/2a，c-b^2/4a）。
三、二次函数的应用二次函数在日常生活中有着广泛的应用，以下列举几个例子：1. 利润问题：在商业活动中，经常涉及到利润问题。
例如，某种商品的成本为每件100元，售出价格为每件150元，若售出件数为100件，求该商品的利润。
这个问题可以用二次函数来解决，将成本、售价和售出件数作为变量，利润作为因变量，列出二次函数表达式，再通过求解表达式得到利润。
2. 人口问题：在生物学和人口统计学中，通常会研究人口数量随时间的变化情况。
我们可以将人口数量作为因变量，时间作为自变量，列出二次函数表达式，通过观察表达式的变化趋势来分析人口增长情况。
3. 物理问题：在物理学中，很多问题也可以用二次函数来描述。
例如，一个物体从高处自由落体，其下落距离与时间的关系就可以用二次函数来表达。
通过对表达式的计算和分析，我们可以求出物体下落的距离和时间的关系。
二次函数与二次方程的应用详细解析与归纳
二次函数与二次方程的应用详细解析与归纳一. 二次函数的定义和性质二次函数是一种以x的平方项最高次的多项式函数形式，一般表示为y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c是实数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
1. 二次函数的图像特点：- 若a > 0，则抛物线开口向上，表示的是一个向上凸的函数；- 若a < 0，则抛物线开口向下，表示的是一个向下凹的函数；- 抛物线的顶点坐标为(Vx, Vy)，其中Vx = -b / (2a) 为对称轴的x 坐标；- 抛物线在对称轴上的值Vy为二次函数的最小值（最大值）；- 若抛物线与x轴有两个交点，则称为有两个实根；若抛物线与x 轴有一个交点，则称为有一个实根；若抛物线与x轴无交点，则称为无实根。
2. 二次函数在实际生活中的应用：- 物体的抛体运动：根据抛物线的运动特点，可以利用二次函数来描述物体在空中的轨迹；- 成本和收益分析：在经济学中，可以利用二次函数分析成本、收益等问题；- 建模和预测：在数据分析和预测中，可以通过拟合二次函数来获得数据的规律和趋势。
二. 二次方程的定义和性质二次方程是一种由x的平方项和一次项的多项式方程，一般表示为ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c是实数，且a ≠ 0。
二次方程的求解可以通过因式分解、配方法、求根公式等方法来完成。
1. 二次方程的解的性质：- 设二次方程ax^2 + bx + c = 0的解为x1和x2，则有x1 + x2 = -b / a和x1 * x2 = c / a；- 若b^2 - 4ac > 0，则二次方程有两个不相等的实根；- 若b^2 - 4ac = 0，则二次方程有两个相等的实根；- 若b^2 - 4ac < 0，则二次方程无实根，但可以有两个共轭复根。
2. 二次方程在实际生活中的应用：- 物理学：通过二次方程可以求解抛体运动的时间、速度等问题；- 工程问题：通过二次方程可以求解抛物线拱桥的高度、跨度等问题；- 金融领域：通过二次方程可以求解复利、贷款等问题；- 生活中的实际问题：如面积、体积等问题，可以通过二次方程求解其中的未知量。
初中二次函数知识点总结
初中二次函数知识点总结二次函数是一种具有二次项的代数式，通常表示为y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c是常数，a称为二次项系数，决定了函数的开口方向和曲线的陡峭程度；b称为一次项系数，决定了曲线的位置；c称为常数项，决定了曲线与y轴的交点。
在学习二次函数的过程中，我们需要掌握以下几个重要的知识点。
1. 二次函数的图像特征：二次函数的图像通常是一个抛物线，可以是开口向上或开口向下的。
开口向上的抛物线的二次项系数a为正数，开口向下的抛物线的二次项系数a为负数。
二次函数的图像关于y轴对称。
2. 零点和顶点：二次函数的零点是函数曲线与x轴交点的横坐标，可以通过解方程ax^2+bx+c=0求得。
顶点是二次函数曲线的最高点或最低点，可以通过公式x=-b/2a求得。
3. 判别式和根的性质：二次函数方程ax^2+bx+c=0的判别式为Δ=b^2-4ac。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程无实根。
根的性质包括：两个实根之和等于-x1-x2=-b/a，两个实根之积等于x1*x2=c/a。
4. 求解二次函数的最值：最值是指函数的最大值或最小值。
对于开口向上的二次函数，最小值等于顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，最大值等于顶点的纵坐标。
5. 二次函数的平移和伸缩：二次函数可以通过平移和伸缩来改变函数的图像位置和形状。
平移是指将函数的图像沿x轴或y轴移动；伸缩是指改变函数图像的大小。
6. 用二次函数解决实际问题：二次函数可以用来描述许多现实生活中的问题，比如抛物线的轨迹、物体的最高或最低点、经济成本和利润的关系等。
我们可以通过将实际问题转化为二次函数方程来求解问题。
7. 过顶点的对称轴和对称点：二次函数的图像关于其顶点对称，顶点为对称中心。
对称轴是函数图像的镜像中心线，可以通过顶点的横坐标x=-b/2a求得。
对称点是函数图像关于顶点对称的点。
8. 二次函数的定义域和值域：定义域是函数自变量的取值范围，对于二次函数来说，定义域是全体实数。
二次函数与代数
二次函数与代数一、引言代数学是数学的一个分支，研究各种数学对象及其运算规则。
而二次函数则是代数学中的一种重要函数形式，具有广泛的应用。
本文将探讨二次函数与代数的关系，并介绍二次函数的基本性质和应用。
二、二次函数的定义和性质1. 二次函数的定义二次函数是指形如f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中x为自变量，f(x)为因变量。
2. 二次函数的图像根据二次函数的定义，我们可以绘制出其图像。
二次函数的图像呈现出抛物线的形状，开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
3. 二次函数的顶点二次函数的图像在平面直角坐标系中有一个最高或最低点，称为顶点。
顶点的横坐标为-x轴对称点的横坐标，纵坐标为函数值最大或最小的值。
4. 二次函数的对称轴二次函数的图像关于一条直线对称，该直线称为二次函数的对称轴。
对称轴的方程为x=-b/(2a)。
5. 二次函数的零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即函数值为0的点。
根据二次函数的定义，零点可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0得到。
三、二次函数的应用1. 物体的抛体运动在物理学中，抛体运动是指物体在重力作用下，沿着抛物线轨迹运动的现象。
二次函数可以描述抛体运动的轨迹，通过调整函数的参数，可以分析物体的抛体运动轨迹、最高点、飞行时间等。
2. 金融领域中的应用在金融学中，二次函数被广泛应用于衡量风险和收益的关系。
例如，投资组合的效用函数可以用二次函数表示，通过优化该函数可以得到最佳的投资组合。
3. 工程中的应用在工程领域，二次函数也有各种应用。
例如，根据地形的测量数据可以使用二次函数拟合地表曲线，便于工程设计和规划；在控制系统中，二次函数可以用来描述系统的响应特性，从而设计出合适的控制策略。
四、总结通过本文的介绍，我们了解了二次函数的定义和性质，包括图像、顶点、对称轴和零点等重要概念。
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知识点19 二次函数代数方面的应用一、选择题1. （2018内蒙古呼和浩特，6，3分）若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标系的点（x,y ）都在直线上，则常数b=（ ） A.B.2C.-1D.1 【答案】B【解析】根据二元一次方程和一次函数的关系，以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点（x,y ）都在一次函数的图象上，∴，∴b=2. 【知识点】二元一次方程和一次函数的关系2. （2018湖北省襄阳市，9，3分）已知二次函数的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是(▲) A.m ≤5 B.m ≥2 C.m<5 D.m>2 【答案】A【解析】解：∵二次函数的图象与x 轴有交点， ∴△=b ²-4ac=≥0，解得，m ≤5. 故选A.112y x b =-+-121122y x b =-+112b b =-1412-+-=m x x y 1)-m 41(4-2(-1)⨯【知识点】二次函数与一元二次方程的关系3. （2018山东省泰安市，10，3）一元二次方程根的情况是（ ） A ．无实数根 B ．有一个正根，一个负根 C ．有两个正根，且都小于3 D ．有两个正根，且有一根大于3 【答案】D【解析】一是可以利用一元二次方程的求根公式进行计算，再根据结果进行各项判断；二是可以利用一元二次方程与二次函数的图象关系进行判断。
解法一：整理得：，解得：D. 解法二：设，画出草图（如右图）：二次函数与一次函数的交点所对应的横坐标即为方程的根，故选D【知识点】一元二次方程的解法；二次函数与一元二次方程的关系. 二、填空题1. （2018四川遂宁，15，5分） 如图，已知抛物线y=ax 2-4x+c(a ≠0)与反函数y=的图象相交于点B ，且B 点的横坐标为3，抛物线与y 轴交于点C(0，6)，A 是抛物线y=ax 2-4x+c 的顶点，P 点是x 轴上一动点，当PA+PB 最小时，P 点的坐标为 ．(1)(3)25x x x +-=-24+20x x -=122x x =；12(1)(3);25y x x y x =+-=- x9【答案】(,0) 【解析】解：∵B 点的横坐标为3，且点B 在反函数y=的图象上， ∴B(3,3).∵抛物线y=ax 2-4x+c(a ≠0)经过B ，C 两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x 2-4x=6=(x-2)2+2， ∴抛物线的顶点A 坐标为（2，2），∴点A 关于x 轴的对称点A ′的坐标为（2，-2）. 设A ′B 所在的直线方程为y=kx+b ，则，解得，∴直线A ′B 的方程为y=5x-12， 令y=0，解得x=， ∴直线A ′B 与x 轴的交点坐标为(,0). 根据两点之间线段最短，可得当P 的坐标为(,0)时，PA+PB 最小. 故答案为(,0). 512x9⎩⎨⎧==+-63129c c a ⎩⎨⎧==61c a ⎩⎨⎧=+-=+3322b k b k ⎩⎨⎧-==125b k 512512512512【知识点】待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，一次函数与x 轴的交点，两点之间线段最短，在坐标平面内点关于坐标轴对称的问题2. （2018山东省日照市，16，4分）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数y =(m <0)与y =x 2－4在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，则实数m 的取值范围为 . 【答案】－2≤m <-1【解析】当x =1时，y =x 2－4=1－4=－3.所以在第四象限内在二次函y =x 2－4的图象上和图象上方的整点有3个，坐标为（1，－1）、（1，－2）、（1，－3）．当反比例函数y =(m <0)的图象经过点（1，－2）， 即m =xy =－2时，在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2个，当反比例函数y =(m <0)的图象经过点（1，－1）， 即m =xy =－1时，在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为3个， ∵在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2， ∴m 的取值范围为－2≤m <-1.【知识点】反比例函数 二次函数 整点3. （2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，15，5）如图，已知抛物线y 1＝－x 2＋4x 和直线y 2＝2x ．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2．若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1＝y 2，记M ＝y 1＝y 2．①当x ＞2时，M ＝y 2；②当x ＜0时，M随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M ＝2，则x ＝1．上述结论正确的是 （填写所有正确的结论序号）．xm xmxm【答案】②③．【解析】（1）根据规定并结合图形易知，x ＞2时，M ＝y 1，故①错误；（2）易知当x ＜2时，y 1和y 2都随x 的增大而增大，从而当x ＜0时，y 1和y 2都随x 的增大而增大，故x ＜0时，M随x 的增大而增大，从而②正确；（3）∵y 1＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，即当x ＝2，∴y 1的最大值为4．∴使得M 大于4的x 的值不存在．于是，③正确；（4）由图可知，M ＝2，对应的x 的值有两个，故④错误．综上，答案为②③．【知识点】一次函数的图像与性质；二次函数的图像与性质；不等式；数形结合思想；新定义运算4. （2018湖北省孝感市，13，3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是 ．【答案】【解析】∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，∴的解为即方程的解是.2y ax =y bx c =+(2,4)A -(1,1)B 2ax bx c =+，12x =-2x =12y ax =y bx c =+(2,4)A -(1,1)B ⎧⎨⎩2y=ax ,y=bx+c ，，⎧⎪⎨⎪⎩11x =-2y =4，⎧⎪⎨⎪⎩22x =1y =1.2ax bx c =+，12x =-2x =1【知识点】抛物线与一次函数的交点问题；解一元二次方程. 三、解答题1. （2018湖北鄂州，23，10分） 新欣商场经营某种新型电子产品，购进时的价格为20元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售价格为40元/件时，销售量为200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）写出销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2） 写出销售该产品所获利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并写出商场获得的最大利润；（3）若商场想获得不低于4000元的利润，同时要完成不少于320件的该产品销售任务，该商场应该如何确定销售价格．【思路分析】（1）销售件数＝原来的销售量＋；（2）由公式“利润＝销售量×单件利润”得出w 与x 之间的二次函数关系式，再将其化为顶点式即可求出商场获得的最大利润；（3）由题意得销售利润≥4000，销售量≥320，列不等式组计算即可． 【解析】解：（1）；（2），∴当x ＝35时，w 有最大值，且w 的最大值为4500元；（3）由题意得w ≥4000，y ≥320，即，由①得，，，30≤x ≤40，解得由②得-20x ≥-680，解得x ≤34，∴30≤ x ≤34，故若商场想获得不低于4000元的利润，同时要完成不少于320件的该产品销售任务，该商场销售价格应该确定在30～34元之间． 【知识点】一次函数关系式；二次函数关系式；顶点式；最值；不等式组2. （2018湖北黄冈，22题，8分）已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x 2-4x40201⨯－销售单价()20(40)2002010002040y x x x =-+=-+≤≤()2(20)(20)20100020(20)(50)20(701000)w x y x x x x x x =-=--+=---=--+2220(35)22520(35)4500x x =---=--+⎡⎤⎣⎦220(35)45004000201000320x x --+≥-+≥⎧⎪⎨⎪⎩①②220(35)500x --≥-2(35)25,5355x x -≤-≤-≤（1）求证：直线l 与该抛物线总有两个交点；（2）设直线l 与该抛物线两交点为A,B ，O 为原点，当k=-2时，求△OAB 的面积. 【思路分析】（1）根据一元二次方程和二次函数的关系可知，联立方程后，如果△＞0，则直线与抛物线总有两个交点；（2）先求出交点坐标，然后将△ABO 分割成两个三角形，通过坐标求出两个三角形的底和高，利用三角形面积公式进行计算 【解析】（1）联立两个函数，得x 2-4x=kx+1，即x 2-(4+k)x-1=0，其中△=(4+k)2+4>0，所以该一元二次方程由两个不相等的实数根，即直线l 与抛物线总有两个交点；（2）连接AO 、BO ，联立两个函数，得x 2-4x=-2x+1，解得，在一次函数y=-2x+1中，令x=0，得y=1，所以C(0,1)，OC=1，【知识点】一元二次方程和二次函数的关系，一元二次方程，三角形面积3. （2018江西，23，12分）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：1211x x ==ABO AOC 1111+12222A B A B S S S OC x OC x OC x x ==⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅-=⨯⨯=△△△BOC求解体验(1)已知抛物线y＝－x2＋bx－3经过点(－1，0)，则b＝________，顶点坐标为________，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线表达式是________．抽象感悟我们定义：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(2)已知抛物线y＝－x2－2x＋5关于点(0，m)的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决(3)已知抛物线y＝ax2＋2ax－b(a≠0)．①若抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2－2bx＋a2(b≠0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点(0，k＋12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0，k＋22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点(0，k＋n2)的衍生抛物线为y n，其顶点为A n；…(n为正整数)．求A n A n＋1的长(用含n的式子表示)．(备用图)【思路分析】（1）把(－1，0)代入y＝－x2＋bx＝3即可求得b的值，再配方或利用顶点坐标公式求出求出顶点坐标，找出顶点关于(0，1)成中心对称的点的坐标，即可求得新抛物线解析式；（2）用配方法求出抛物线y＝－x2－2x＋5的顶点坐标，找出该顶点坐标关于(0，m)对称点的坐标，从而得到衍生抛物线的解析式，将“两条抛物线有交点”转化为求原抛物线的解析式与衍生抛物线的解析式组成的方程组有解，从而求得m取值范围.（3）分别求出抛物线y＝ax2＋2ax－b(a≠0)和衍生抛物线为y′＝bx2－2bx＋a2(b≠0)的顶点坐标（用含a、b的式子表示），再把原抛物线的顶点坐标代入衍生抛物线解析式，再把衍生抛物线的顶点坐标代入原抛物线解析式，从而组成方程组求得a 、b 的值，即求出两顶点坐标及衍生中心的坐标；根据规律求出顶点(－1，－a －b )关于(0，k ＋n 2)及[0，k ＋(n ＋1)2]的对称点A n 及A n ＋1，再根据两点之间的距离即可求得A n A n ＋1。