1.1.2四种命题及其关系导学案 10.30
1.1四种命题及其关系导学案
1 →→ → 【导学案】§1.1.2四种命题 班级____________姓名___________【学习目标】 1. 由原命题可以写出它的逆命题、否命题和逆否命题；2. 四种命题的真假性之间的关系.【探索新知】 条件p 和结论q1.原命题：若p 则q ┉┉┉┉（符号“￢”叫做否定符号．“￢p ”表示p 的否定；即不是p ；非p ）逆命题：_______________； 否命题：若￢P ，则￢q ；逆否命题：_______________.2. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：（1）原命题：若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数. →真 （2）逆命题：________________________________________ . →. （3）否命题：________________________________________ . →. （4）逆否命题：________________________________________ . →. 归纳：（1）（2）互为 ；（1）（3）互为 ；（1）（4）互为 ；（2）（3）互为 .3.四种命题真假性的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有_______的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________关系．【基础自测】1.将“偶函数的图象关于y 轴对称”写成“若p ，则q ”的形式，则p ：_______________________，q ：_________________2．命题“若a ∉A ，则b∈B”的否命题是 ( )．A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．若a∈A，则b ∉BC ．若b∈B，则a ∉AD ．若b ∉B ，则a ∉A3．命题“若A∩B＝A ，则A∪B＝B”的逆否命题是 ( )．A ．若A∪B＝B ，则A∩B＝A B ．若A∩B≠A，则A∪B≠BC ．若A∪B≠B，则A∩B≠AD ．若A∪B≠B，则A∩B＝A4．命题“对于正数a ，若a>1，则lga>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【合作学习】例1．写出它们的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假。
高二数学1.1.2四种命题及其相互关系学案新人教A版选修1-1
a， b 全不为 0，则 a2＋b2≠ 0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析： 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．
3．已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命
题、逆否命题中，真命题的个数是 ( B)
A． 0 个 B ． 1 个 C．2 个 D ． 3 个
高中数学 1.1.2 四种命题及其相互关系学案
?基础梳理
1．四种命题的概念．
(1) 一般地，对于两个命题，如果一个命题的
条件和结论
分别是另一个命题的 结论和条件 ，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题
叫做原命题，另一个叫做原命题的 逆命题 ．
(2) 如果一个命题的 条件和结论 恰好是另一个命题的 条件的否定和结论的否定 ，我们把这样 、 y 互为相反数”的逆命题； ②“若 a>b，则 a2>b2”的逆否命题；③“若 x≤－ 3，则 x 2＋ x－6>0”的否命题；④“若 ab
是无理数，则 a、 b 是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数是 ( B)
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
(1) 两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性．
(2) 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性
没有关系 ． , ?自测自评
1．命题“若函数 f ( x) ＝ log ax( a>0，a≠ 1) 在其定义域内是减函数，则 log a2<0”的逆否命题
C．若 x， y ∈ R 且 x ， y 全为 1，则 ( x － 1) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 0 D．若 x， y ∈ R 且 xy≠1，则 ( x －1) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 0 2．下列命题中，不是真命题的是 ( D) A．“若 b2－ 4ac>0，则二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 有实根”的逆否命题 B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题 C．“ x 2＝ 9，则 x＝3”的否命题 D．“内错角相等”的逆命题 3．命题“ a， b 是实数，若 | a－ 1| ＋ | b－ 1| ＝ 0，则 a＝ b＝ 1”，用反证法证明时反设为：
高中数学选修1-1教案：1.1.2四种命题及相互关系
1.1.2 四种命题及相互关系三维目标1.通过具体命题的例子了解命题的逆命题、否命题、逆否命题;2.会写一个命题的逆、否、逆否命题;3.会分析四种命题的关系，知道等价关系。
________________________________________________________________________________ 自学探究问题1. 请写出命题“若P，则q ”的逆命题，否命题，以及逆否命题。
问题2. 请自己举一个命题的例子，写出它的逆命题、否命题以及逆否命题并判断其真假关系。
问题3.请填写下表：【技能提炼】1.请同学们自己写一个命题并改写为“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题。
【反思】: 否定的改写需要注意什么?2.写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若x y <，则x m y m +<+；（2）若22a b <，则a b <；（3）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等； （4）偶函数的图象关于y 轴对称。
3．下列说法正确的是( ) ①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②③④【反思】: 四种命题中等价命题有哪些?4.证明：22若0，则x=y=0x y +=。
[。
]【思考】:反证法的步骤是什么?教师问题创生学生问题发现变式反馈1.命题“,a b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是（ ） A 、,a b 都不是奇数，则a b +是偶数 B 、a b +是偶数，,a b 都是奇数C 、a b +不是偶数，,a b 都不是奇数D 、a b +不是偶数，,a b 不都是奇数2.若命题p 的逆命题是q ，命题r 是命题q 的否命题，则p 是r 的（ ） A 、逆命题B 、否命题C 、逆否命题D 、以上都不正确3.“若{}|1P x x =<，则0P ∈”的等价命题是 ；4．(12分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图像与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
1.1.2四种命题及其关系
逆否命题 若﹁ q则﹁p
探究四种命题真假性之间的规律
1）若f ( x)是正弦函数，则 f ( x)是周期函数。 真
假 3）若f ( x)不是正弦函数，则 f ( x)不是周期函数。假
2）若f ( x)是周期函数，则 f ( x)是正弦函数。
4）若f ( x)不是周期函数，则 f ( x)不是正弦函数。真
2013-10-10
逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p
作业：
课本P6 练习 P8 A2
2013-10-10
2013-10-10
2013-10-10
(假) (真) (真) (假) (真) (真) (真) (真)
（假） （假） （假） （假）
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假
想一想？
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假
2013-10-10
几条结论:
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的 真假性； （2）两个命题为互逆命题或者互否命题，它 们的真假性没有关系。
1.1.2~3四种命题 及其相互关系
高二数学 选修2-1
第一章
常用逻辑用语
2013-10-10
1.1.2四种命题
思 考
观察下面四个命题，找一找命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结 论之间分别有什么关系？ （1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数. （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数. （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数. （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.
1.1.2四种命题及其相互关系
x0
四种命题形式 原命题 逆命题
原命题
否命题
逆否命题
（1）若同位角相等，则两直线平行 （2）若x 2, 则x 2 3x 2 0 （3）若x 0, 则x 2 2 x 0
（3）互为逆否命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互 为逆否命题。
作业
1、P8：习题1.1 A组 2、3、4
2、《导学案》P3—4 3.预习：1.2充分条件与必要条件
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判 断它们的真假：
(1)原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (2)原命题：若a=0, 则ab=0。 (真 ) (假 ) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假 ) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真 ) (真 ) (真 ) (真 ) (真 )
例5：写出下列命题的原命题、逆命题、 否命题和逆否命题： 逆命题：如果一个四边形四边
相等，那么它是正方形。
（1）正方形的四条边相 等。
假
原命题：如果一个 四边形是正方形， 那么它的四条边相 等。 真
否命题：如果一个四边
形不是正方形，那么它的 四条边不相等。 假
逆否命题：如果一个
四边形四边不相等，那 么它不是正方形。 真
1. 写出下列命题的原命题、逆命题、否命题、 逆否命题
《1.1.2四种命题及其关系》导学案
《四种命题及其关系》导学案学习目标1、四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命题和逆否命题.2、能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关系转化. 学习重难点重点：分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系；难点：利用等价关系转化.学习过程1、四种命题的概念(1)对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做_____________，其中一个命题叫做________________. 原命题为：“若p ，则q ”，则逆命题为：“____________________”.(2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定， 我们把这样的两个命题叫做____________________，其中一个命题叫做命题，那么另一个命题叫做原命题的________________.若原命题为：“若p ，则q ”，则否命题为：“________________”.(3)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定， 我们把这样的两个命题叫做________________，其中一个命题叫做命题，那么另一个命题叫做原命题的 ________________ .若原命题为：“若p ，则q ”，则否命题为：“________________”. 2. 四种命题间的关系思考：下列四个命题：(1)若()f x 是正弦函数，则()f x 是周期函数；(2)若()f x 是周期函数，则()f x 是正弦函数；(3)若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数；(4)若()f x 不是周期函数，则()f x 不是正弦函数.(1)(2)互为_____________ (2)(3)互为_____________(2)(4)互为_____________ (3)(4)互为_____________通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：四种命题的真假性1°原命题与逆否命题总是具有__________的真假性，逆命题与否命题也总是具有 _____________的真假性．互为逆否的两个命题___________的真假性．2°互逆命题或互否命题，它们的真假性_______________. 3°原命题与它的逆否命题等价. 叫做等价命题.例1 证明:若220x y +=，则0x y ==.变式：判断命题“若220x y +=，则0x y ==”是真命题还是假命题？目标检测1. 命题“若0x >且0y >，则0xy >”的否命题是( ).A .若0,0x y ≤≤，则0xy ≤B .若0,0x y >>，则0xy ≤C .若,x y 至少有一个不大于0，则0xy <D .若,x y 至少有一个小于0，或等于0，则0xy ≤2.命题“如果22x a b ≥+，那么2x ab ≥”的逆否命题是( )A .如果22x a b <+，那么2x ab <B .如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+C .如果2x ab <，那么22x a b <+D .如果22x a b ≥+，那么2x ab <3. 命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方根等于0”的( ).A .逆命题B .否命题C .逆否命题D .等价命题3. ( ).A.B .C .D.4. 若1x >，则21x >的逆命题是______________否命题是_________________5.命题“若a b >，则221a b ≥-”的否命题为________________.。
高中数学选修2《四种命题及其关系》导学案
教师教案模版:高二年级数学（选修2-1）导学案重点：会写四种命题并会判断命题的真假；四种命题之间的相互关系．难点：1.分清命题的条件、结论和判断命题的真假2.命题的否定与否命题的区别；写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；3.分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教学过程任务1：四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.(2)互否命题：对于两个命题，如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题.(3)互为逆否命题：对于两个命题，如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题.【预习评价】“正数a的平方大于零”的逆否命题为________.答案若a的平方不大于零，则a不是正数任务2四种命题的真假性的判断原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个命题的逆命题和否命题是等价命题.()(2)原命题、逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数可能为0，2或4.()1．思考、分析结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？通过此问，学生将发现：①原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②原命题为真，它的否命题不一定为真。
③原命题为真，它的逆否命题一定为真。
原命题为假时类似。
结合以上练习完成下列表格：原命题逆命题否命题逆否命题真真假真假真假假由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．由此会引起我们的思考：一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有。
教学设计3:1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系
一、知识与技能1．了解命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；2．能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法。
3．会用反证法证明简单的数学问题二、过程与方法1．从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；2．由具体事例入手，让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；3．由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假。
三、情感态度与价值观初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。
新课学习第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.2．否命题与逆否命题在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.常见的命题的否定形式有原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意的Ax∈，使()xP真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在Ax∈，使()x P假否定就是唱对台戏，甲说东，乙说西，就是互斥。
你说对，我说就是不对。
如：“三角形有两条相等的边”的否定是“三角形没有两条相等的边”而不是“三角形有两条不相等的边”。
3．原命题与逆否命题在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以这样表述：（原命题为：若p，则q）⑴交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；（逆命题为：若q，则p）⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；（否命题为：若非p，则非q）⑶交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题. （逆否命题为：若非q，则非p）4．四种命题之间的关系：如右图所示参考答案【例1】【答案】解：原命题：若0a =,则0ab =是真命题； 逆命题：若0ab =，则0a =是假命题； 否命题：若0a ≠，则0ab ≠”是假命题； 逆否命题：若0ab ≠，则0a ≠”是真命题；说明：原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真. 【例2】【答案】解：（1）原命题可以写成：若两个三角形全等，则这两个三角形的三边对应相等；（真）逆命题：若两个三角形的三边对应相，则这两个三角形全等；（真） 否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不是三边对应相等；（真） 逆否命题：若两个三角形不是三边对应相等，则这两个三角形不全等；（真） （2）原命题可以写成：若一个四边形四边相等，则它是正方形；（假） 逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；（真） 否命题：若一个四边形四边不相等，则它不是正方形；（真） 逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；（假） (3)原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数； 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数； 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数； 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数.另解：原命题可写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数；（真） 逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方；（假） 否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数；（假） 逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方. （真）【例3】【答案】解：逆命题：当0c >时，若ac bc >，则a b >.它是真命题； 否命题：当0c >时，若a b ≤，则ac bc ≤.它是真命题； 逆否命题：当0c >时，若ac bc ≤，则a b ≤.它是真命题.练习反馈1．【答案】C2．【解析】先明确条件和结论，再根据要求进行转换．【答案】C3．【解析】等价命题即为原命题的逆否命题，故选C.【答案】C4．【解析】原命题与逆否命题是等价命题，所以，命题“若α＝β，则sin α＝sin β”的等价命题是“若sin α≠sin β，则α≠β”．【答案】若sin α≠sin β，则α≠β。
1.1.2 四种命题及其关系 导学案
温馨提示： 由原命题写出其他三种命题 的关键是找到原命题的条件 和结论，根据其他三种命题 的定义，确定所写命题的条 件和结论．
(2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0； (3)对顶角相等．
温馨提示： 若原命题为真命题，则它的 逆命题、否命题可能为真命 题，也可能为假命题． 原命题与逆否命题互为逆 否命题，否命题与逆命题互 为逆否命题．互为逆否命题 的两个命题的真假性相同． 在原命题及其逆命题、否命 题、逆否命题中，真命题的 个数要么是 0，要么是 2， 要么是 4.
等三角形是相似三角形”的否命题；③“若 m≥1，则 mx2－2(m＋1)x＋
m＋3>0 的解集是 R”的逆命题；④“若 a＋7 是无理数，则 a 是无理数”
的逆否命题．其中正确的是( )
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①④
5．命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题
的个数是________，假命题的个数是________．
当代好课堂实验中心导学案
主备人： 学生姓名：
高二年级
班
组
课 题： 四种命题及其关系 课型： 新授课 课时：1 课时 时间：2020 年 3 月 8 日
【学习目标】 1．我了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题
2．我能认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.并会利用命题的等价性解决问题．
方法与要求
温馨提示： 认真阅读课 本 P4-P7，查 阅资料、认真 思考、期待你 们的展示！
表示形式分别是什么？
问题呈现
2 知识点二 四种命题间的相互关系 思考 1 命题与其逆命题之间是什么关系？原命题与其逆命题、否命 题、逆否命题之间又是什么关系？
《1.1.2四种命题》导学案3
《1.1.2四种命题》导学案3教学目标1．了解命题的逆命题、否命题和逆否命题的含义，能写出给定命题的逆命题、否命题和逆否命题；2．会分析四种命题之间的相互关系；3．会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假．重点难点会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假．教学过程：一、复习引入：我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如，（1）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等；（2）如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；（3）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；（4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.二、讲解新课：探究（一）：命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？1．上面的四个命题都是形式的命题，可记p是命题的条件，q是命题的结论．为，其中2．在上面的例子中，命题（2）的分别是命题（1）的，我们称这两个命题为互逆命题．命题（3）的分别是命题（1）的，这两个命题称为互否命题．命题（4）的分别是命题（1）的，这两个命题称为互为逆否命题．知识点1、逆命题、否命题和逆否命题的含义：一般地，设“若p 则q ”为原命题，那么 就叫做原命题的逆命题；就叫做原命题的否命题； 就叫做原命题的逆否命题．2、四种命题之间的关系：三、例题：例1．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．（1）若0a =,则0ab =；（2）若b a =，则b a =．变式1：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题。
（1）如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；（2）当2x =或4x =时，2680x x -+=。
否命题若非p ，则非q逆否命题若非q ，则非p 原命题若p ，则q 逆命题若q ，则p。
高中数学选修1-1优质学案：1.1.2 四种命题 -1.1.3 四种命题间的相互关系
1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系[学习目标] 1.理解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题.知识点一四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题.(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题.知识点二四种命题的真假性的判断原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真.题型一四种命题的概念例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.解(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题.逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题.(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题.否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题.逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题.(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题.否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题.逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题.(4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题.否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题.逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题.反思与感悟(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论.跟踪训练1判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点.解(1)该命题为真命题.逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题.否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题.逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题.(2)该命题为假命题.逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点，则b2－4ac<0，假命题.否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac≥0，则该函数图象与x轴无交点，假命题.逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴无交点，则b2－4ac≥0，假命题. 题型二四种命题的关系例2下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题.其中是真命题的是________.[答案]①②③[解析]①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题.所以真命题是①②③. 反思与感悟要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.跟踪训练2下列命题为真命题的是()①“正三角形都相似”的逆命题；②“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；③“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③B.②③C.①②D.①③[答案] B[解析]①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.②原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”.∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题.③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”.∵x不是无理数，∴x是有理数.又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题.正确的命题为②③，故选B.题型三等价命题的应用例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假.解原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”.判断真假如下：函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真. 反思与感悟因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性.这种证明方法叫做逆否证法，它也是一种间接的证明方法.跟踪训练3判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假.解∵m>0，∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真.又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真.化归思想的应用例4 判断命题“若x 2－y 2≠0，则x －y ，x ＋y 中至少有一个不等于0”的真假.分析 原命题的真假性不容易判断，可以找出其逆否命题，若其逆否命题的真假性容易判断，则根据互为逆否的两个命题的真假性之间的关系，就可以解决原命题的真假性问题了. 解 原命题的逆否命题：若x －y ，x ＋y 都等于0，则x 2－y 2＝0.由x －y ＝0，x ＋y ＝0，得x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝0.因此，原命题的逆否命题是真命题.所以原命题是真命题.解后反思 条件与结论都含有否定词的命题在判断其真假时，会有一定的困难，这时最好转化为判断其逆否命题的真假，这种化归的思想是解题的重要思想方法.根据已知集合求参数范围例5 已知p ：M ＝{x |x 2－2x －80≤0}，q ：N ＝{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0}.如果“若p ，则q ”为真，且“若q ，则p ”为假，求实数m 的取值范围.分析 先求不等式的解集，再根据条件建立不等式组求解即可.解 p ：M ＝{x |x 2－2x －80≤0}＝{x |－8≤x ≤10}，q ：N ＝{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0}＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}.因为“若p ，则q ”为真，且“若q ，则p ”为假，所以M N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－8，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ＜－8，1＋m ≥10，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ≥9，m ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ＞9，m ≥9，解得m ＞9，即实数m 的取值范围是{}m |m ＞9.解后反思 由“若p ，则q ”为真，“若q ，则p ”为假，得M ⊆N ，但N M ，故M N ，即“1－m 与－8”和“1＋m 与10”不能同时取等号.事实上，当m ＝9时，两个集合相等.1.命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( )A.若a ∉A ，则b ∉BB.若a ∈A ，则b ∉BC.若b ∈B ，则a ∉AD.若b ∉B ，则a ∉A[答案] B[解析] 命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，“∈”与“∉”互为否定形式.2.命题“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”的逆否命题是( )A.若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝AB.若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠BC.若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠AD.若A ∪B ≠B ，则A ∩B ＝A[答案] C[解析] 注意“A ∩B ＝A ”的否定是“A ∩B ≠A ”.3.命题“若平面向量a ，b 共线，则a ，b 方向相同”的逆否命题是_______，它是______命题(填“真”或“假”).[答案] 若平面向量a ，b 的方向不相同，则a ，b 不共线 假4.给出以下命题：①“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题.其中为真命题的是________.[答案] ③[解析] ①否命题是“若a ，b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数”.假命题.②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题.③∵Δ＝1＋4m ，m >0时，Δ>0，∴x 2＋x －m ＝0有实根，即原命题为真.∴逆否命题为真.5.“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是________命题(填“真”或“假”).[答案] 若α≠π6，则sin α≠12假 [解析] 逆否命题是“若α≠π6， 则sin α≠12”是假命题.1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定綈p 和结论q 的否定綈q ；(3)按照四种命题的结构写出所求命题.2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论.3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.。
人教版高中数学全套教案导学案命题及其关系
§1.1.1 命题及四种命题一．自主学习预习课本2—6页完成下列问题1、命题：；2、真命题：假命题：。
3、命题的数学形式：。
4、四种命题：。
（1）互逆命题：。
（2）互否命题：。
（3）互为逆否命题：。
注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若p，则q”的形式，但可以将它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，从而得到该命题的条件和结论。
二、自主探究：〖例1〗判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（5）215>（7）明天下雨；（8）312〖例2〗将下列命题改写成“若p，则q”的形式。
（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。
〖例3〗把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：（1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。
课堂小结三、巩固练习：1、下列语句中是命题的是（ ）A 、周期函数的和是周期函数吗？B 、0sin 451=C ．2210x x +->D 、梯形是不是平面图形呢？2、 在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A 、都真B 、都假C 、否命题真D 、逆否命题真 3、设,M N 是两个集合，则下列命题是真命题的是（ ）A 、如果M N ⊆，那么M N M ⋂=B 、如果M N ⊆，那么M N M ⋂=C 、如果M N ⊆，那么M N M ⋃=D 、如果M N M ⋃=，那么M N ⊆ 4、下列命题中为真命题的是A 、命题“若x y >，则x y >”的逆命题B 、命题“若1x >，则21x >”的逆命题C 、命题“若1x =，则220x x +-=”的否命题D 、命题“若20x >，则1x >”的逆否命题5、命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
《1.1.2四种命题》导学案(新部编)1
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《1.1.2四种命题》导学案1【学习目标】了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题的含义，并知道四种命题之间的关系。
【学习重点】掌握四种命题之间的相互转化。
【学习难点】能将四种命题相互转化并判断真假。
【学习指导】指出下列命题中的条件与结论，并（1）同位角相等，两直线平行； （2）两直线平行，同位角相等；（3）同位角不相等，两直线不平行；（4）两直线不平行，同位角不相等．【问题导学】1.探究学习指导中的命题（1）与命题（2）（3）（4）的关系：2.写出互逆命题，互否命题，互为逆否命题的概念。
3.如果原命题为“若p ，则q ”，写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题。
【典型例题】1.例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）矩形的对角线相等；（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（3）若a b >，则a c b c +>+；（4）全等三角形一定是相似三角形；（5）如果直线垂直于平面内两条相交直线，那么这条直线垂直于平面。
(6) 当c>0时，若a b >，则ac bc >【基础练习】1.命题“末位数字为0的整数，可以被5整除”的逆命题是: .2.命题“若b a >，则122b a ->”的否命题为3.命题“若1x 2<，则1x 1<<-”的逆否命题是（ ）A.若1x 2≥，则1x ≥或1x -≤B.若1x 1<<-，则1x 2<C.若1x ≥或1x -≤，则1x 2>D.若1x ≥或1x -≤，则1x 2≥4.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）A.若一个数是负数，则它的平方不是正数。
B.若一个数的平方是正数，则它是负数。
1.1命题及其关系(导学案)2课时 (1)
课 题：1.1命题及其关系 1.1.1四种命题编制人：王远刚 编制时间：2010-11-10学生完成时间：45分钟 班级 姓名 第 小组【学习目标】了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系；会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假. 【重点难点】 四种命题的关系.【知识链接】我们在初中学过命题的概念： 叫命题. 研究以下问题：①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；②如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；③如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；④如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等；命题②，③，④与命题①有何关系？【学习过程】一、自学质疑：上面四个命题都是“如果…，那么…”形式的命题，可记为“ ”，其中 是命题的条件， 是命题的 .互逆命题：互否命题：互为逆否命题：一般的，设“若p 则q ”为原命题，那么， 叫做原命题的逆命题； 叫做原命题的否命题； 叫做原命题的逆否命题。
由此可得四种命题之间的关系可用下图表示,完成下图箭头关系的文字说明.二、精讲点拨：例1.写出命题“若0a =，则0ab =”的逆命题、否命题与逆否命题.反思：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？原命题 若p 则q 否命题 若非p 则非q 逆否命题若非q 则非p逆命题 若q 则p例2.把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：（1）对顶角相等；（2）四条边相等的四边形是正方形；（3）两个偶数的和是偶数；（4）若21x =，则1x =.三、矫正反馈：1.判断下列说法是否正确：（1）一个命题的否命题为真，它的逆命题也一定为真；（2）一个命题的逆否命题为真，它的逆命题不一定为真.2.判断下列命题的真假（1）命题“在⊿ABC 中，若AB ＞AC,则∠C ＞∠B ”的否命题；（2）命题“若0ab =，则0b =”的逆否命题.3.写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：（1）若||||b a =，则b a =； （2）若0x <，则20x >；（3）空间两条平行直线不相交； （4）220x y +=，则,x y 全为0.四、迁移应用（见《同步导学》）【目标反思】课 题：1.1命题及其关系 1.1.2充分条件和必要条件导学案编制人：王远刚 编制时间：2010-11-10学生完成时间：40分钟 班级 姓名 第 小组【学习目标】理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；结合命题学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法；培养学生的辩证思维能力。
高中数学 1.1.2四种命题间的相互关系教案 新人教版选修1-1-新人教版高二选修1-1数学教案
§1．1.2 四种命题间的相互关系[学情分析]：四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难那么反〞培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．[教学目标]：〔1〕知识目标：理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。
〔2〕过程与方法目标：让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。
〔3〕情感与能力目标：通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。
[教学重点]：四种命题之间的关系；[教学难点]：利用互为逆否命题的等价性,通过“正难那么反〞培养自己的逆向思维能力。
[五．体验与运用例1:设原命题是“当c>0时，假设a>b，那么ac>bc〞，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假解：逆命题“当时，假设，那么〞．否命题“当时，假设，那么〞．否命题为真．逆否命题“当时，假设，那么〞．逆否命题为真．课堂练习写出命题：“假设 xy = 6那么 x = 3且 y = 2〞的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假例2：证明：假设022=+yx，那么0==yx。
练习：a,b两直线是异面直线,且点A与B,C与D分别是直线a,b 上的相异点求证:直线AC与BD必异面通过“正难那么反〞培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据六、小结与反思课堂小结1．写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清楚原命题的条件和结论,一般大前提不变．2．在命题真假性的判断中,要借助原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假, 学会利用互为逆否命题的等价性,通过“正难那么反〞培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．通过学生自己的小结，将新知识系统化、重点化。
1.1.2-3、四种命题及其相互关系导学案
1.1.2-3、四种命题及其相互关系导学案【课程标准】了解命题的逆命题、否命题与逆否命题【学习目标】1.理解四种命题的概念，了解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种命题；2.通过对四种命题相互关系的学习，培养学生逻辑推理能力；3.通过学生自编命题，互相交流的学习，培养学生探索创新、合作交流的学习精神。
【自主学习】一、复习回顾1.在数学中,我们把用 、 、或 表达的，可以 _________ 叫做命题.判断一个语句是不是命题的关键是：（1）、_____________________ （2）___________________2.命题的数学形式：“若p ，则q ”，命题中的p 叫做命题的 ，q 叫做命题的 .二、观察下面四个命题：思考：上面四个命题中，命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结论之间分别有什么关系？三、四种命题的概念（1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做 ， 另一个命题叫做_________(2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的 .（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的 .命题形式：原命题为：“若p ，则q ”，逆命题为：“.__________,_____________”否命题为：“___________,_____________”逆否命题：“___________,_____________”四、四种命题间的相互关系是什么？()()f x f x (1)若是正弦函数,则是周期函数.()()f x f x (2)若是周期函数,则是正弦函数.()()f x f x (3)若不是正弦函数,则不是周期函数.()()f x f x (4)若不是周期函数,则不是正弦函数.[小试牛刀]例1、指出命题的条件和结论，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，判断它们的真假性。
学案9：1.1.2 四种命题~1.1.3四种命题间的相互关系
1.1.2四种命题~1.1.3四种命题间的相互关系1．四种命题的概念及表示形式好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”原命题为“若p，好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则q”；逆否命题为“若q，则p”2．四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考2：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？初试身手1．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”2．命题“奇函数的图象关于原点对称”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为()A．0B．2C．4 D．13．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数4．命题“若ab＝0，则a＝0”与命题“若a＝0，则ab＝0”是________命题．(填“互逆”“互否”“互为逆否”)合作探究类型1 四种命题例1把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．规律方法1．写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：1．写出下列各个命题的逆命题、否命题以及逆否命题．(1)若sin α＝12，则tan α＝3；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)当1<x<2时，x2－3x＋2<0；(4)若ab＝0，则a＝0或b＝0．类型2 四种命题的关系及真假判断例2(1)对于原命题：“已知a、b、c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．4个(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．规律方法判断一个命题的真假的两种方法1.分清该命题的条件与结论，直接对该命题的真假进行判断；2.不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题与其逆否命题等价、逆命题与否命题等价，特别是当命题本身不容易判断真假时，通常都通过判断其逆否命题的真假来实现．跟踪训练2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．类型3 等价命题的应用[探究问题]1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立？例3(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0．规律方法1．若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．跟踪训练3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1．课堂小结1．“命题”的三个关注点(1)我们研究四种命题，一般只研究“若p，则q”形式的命题；有些命题虽然不是这种形式，但可以化为“若p，则q”的形式．(2)对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性的了解，定位在具体、简单的数学命题，重点是四种命题的构成形式及其真假判断．(3)四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的，但只要我们事先规定好哪个命题是原命题，那么它的其他形式的命题就确定了．2．“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”与“逆命题”“否命题”“逆否命题”的区别两者具有不同的含义，具体区分如下：前者说的是两个命题的关系，同时涉及两个命题；后者是指与确定的原命题为“互逆”“互否”“互为逆否”关系的那一个命题．课堂检测1．命题“若a A，则b∈B”的逆命题是()A．若a A，则b BB．若a∈A，则b BC．若b∈B，则a AD．若b B，则a A2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是() A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝33．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1B．2C．3 D．44．命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是________．参考答案新知初探思考1：[提示]原命题不是固定的．任何一个命题都可以作为原命题，从而有另外的三种命题．思考2：[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．初试身手1．【答案】B【解析】根据逆命题的定义知，选B ． 2．【答案】C【解析】四个命题均为真命题． 3．【答案】B原命题的条件是f (x )是奇函数，结论是f (－x )是奇函数，同时否定条件和结论即得否命题，即：若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数． 4．【答案】互逆【答案】两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念． 合作探究 类型1 四种命题例1 解：(1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等； 逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似； 否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等； 逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似． (2)原命题：若x >3，则x 2－4x ＋3>0； 逆命题：若x 2－4x ＋3>0，则x >3； 否命题：若x ≤3，则x 2－4x ＋3≤0； 逆否命题：若x 2－4x ＋3≤0，则x ≤3．(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分； 逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形； 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分； 逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形． 跟踪训练1．解：(1)逆命题：若tan α＝3，则sin α＝12． 否命题：若sin α≠12，则tan α≠3． 逆否命题：若tan α≠3，则sin α≠12．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．(3)逆命题：若x2－3x＋2<0，则1<x<2．否命题：若x≤1或x≥2，则x2－3x＋2≥0．逆否命题：若x2－3x＋2≥0，则x≤1或x≥2．(4)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0．类型2 四种命题的关系及真假判断例2(1)【答案】C【解析】当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而其否命题也是真命题，故选C．(2)解：法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0．∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．跟踪训练2．解：(1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角． 类型3 等价命题的应用 [探究问题]1．[提示] 一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．[提示] 根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m ＋n >2，则m 2＋n 2≠2”成立．例3 (1)【答案】[－3,0]【解析】∵命题“对任意x ∈R ，ax 2－2ax －3＞0不成立”等价于“对任意x ∈R ，ax 2－2ax －3≤0恒成立”，若a ＝0，则－3≤0恒成立，∴a ＝0符合题意． 若a ≠0，由题意知⎩⎨⎧ a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，即⎩⎨⎧a <0，－3≤a ≤0， ∴－3≤a <0，综上知，a 的取值范围是[－3,0]．(2)证明：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ． 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题． 跟踪训练3．证明：“若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1， 则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”． ∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1 ＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1 ＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1＝0．∴命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题． 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．课堂检测1．【答案】C【解析】“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a A”．2．【答案】A【解析】同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A．3．【答案】B【解析】原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2．4．【答案】若x2＋y2≠0，则x，y不全为0【解析】x，y全为0的否定应为x，y不全为0．。
(最新整理)高二数学1.1命题及其关系(导学案)
高二数学1.1命题及其关系(导学案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高二数学1.1命题及其关系(导学案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高二数学1.1命题及其关系(导学案)的全部内容。
§1.1 命题及其关系（导学案）命题人：陈文钦班级姓名组别导入新知概念：（一）命题也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符.）是命题）空集是任何集合的子集；若整数是素数，则a小于或等于。
（二）四种命题及其关系思考：研究以下问题:（基础不错的同学可看书本上P6的思考）①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；②如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；③如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；④如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等；命题②,③,④与命题①有何关系？一、自学质疑：上面四个命题都是“如果…,那么…”形式的命题，可记为“ ..。
， ..。
”，其中 是命题的条件， 是命题的 。
一般的，设“若则”为原命题,那么, 叫做原命题的逆命题； p q 叫做原命题的否命题； 叫做原命题的逆否命题.由此可得四种命题之间的关系可用下图表示,完成下图箭头关系的文字说明.二、例题讲解课本p7探究：以若，则为原命题，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，0232=+-x x 2=x 并判断这些命题的真假。
练习1.写出命题“若,则”的逆命题、否命题与逆否命题并判断真假。
0a =0ab =逆命题______________________________________________( ）否命题 （ ）逆否命题 （ ）反思：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？例2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.1.2四种命题及其关系导学案（理普通）
命题人：李玉芹 2010.10.29
一、教学目标：理解四种命题之间的关系
二、教学重点：四种命题之间的关系
三、教学难点：命题的证明
四、教材预习引导
1、四种命题
（1）逆命题
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 和 ，那么这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做 .
如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆命题为“ ”.
（2）否命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 和 ，那么这样的两个命题叫做互否命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做 .
如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的否命题为“ ”.
（3）逆否命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 和 ，那么这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做 .
如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“ ”.
2、四种命题之间的关系
3、四种命题的真假性之间的关系
（1）两个命题互为逆否命题，它们有 真假性.
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 . 思考发现：
如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？
五、例题讲解：
题型一、四种命题之间的转换及真假判断
例1、①若,2
παβ+=则sin cos αβ=. ②若ab=0，则a=0或b=0.
③,,,a b c d R ∈，若a=c ，b=d ，则ab=cd.
解析：①逆命题：若sin cos αβ=，则2παβ+=
假命题 否命题：若2π
αβ+≠，则sin cos αβ≠ 假命题
逆否命题：若sin cos αβ≠，则2π
αβ+≠ 真命题
②逆命题：若a=0或b=0，则ab=0 真命题
否命题：若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠ 真命题
逆否命题：若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠ 真命题
③逆命题：,,,a b c d R ∈，若ad=bc.，则a=c ，b=d 假命题
否命题：,,,a b c d R ∈，若,a c b d ≠≠，则ac bd ≠ 假命题
逆否命题：,,,a b c d R ∈，若ab cd ≠，则,a c b d ≠≠ 真命题
变式：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假.
①若a b >，则22b ac c > ②若0,ab ≤则0a ≤或0b ≤
③当0c >时，若a b >，则ac dc >
题型二、等价命题的应用
例2、判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集非空，则1a ≥”的逆否命题的真假
解析：法一：原命题的逆否命题；已知a ，x 为实数，若a<1，则关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集为空集.抛物线22(21)2y x a x a =++++开口向上. 22(21)4(2)47 1 470a a a a a ∆=+-+=-<-<∵∴∴22(21)2y x a x a =++++与x 轴无交点. ∴关于x 的不等式22
(21)20x a x a ++++≤的解集为空集.
法二、关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集为空集. ∴22(21)4(2)0470a a a ∆=+-+≥-≥，即 ∴74a ≥
∴1a ≥∴原命题为真∴逆否命题为真.
变式：判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集为∅，则2a <”的逆否命题的真假.
题型三、反证法判断命题真假
例3、已知221,,2,12x R a x b x c x x ∈=+
=-+=-+，求证：a ，b ，c 中至少有一个不小于1.
解：假设a ，b ，c 均小于1，则a+b+c<3，又27
222a b c x x ++=-+2
1
2()332x =-+≥与假设矛盾.∴假设不成立.∴a ，b ，c 中至少有一个不小于1.
变式：若a ，b ，c 为实数，222a x y π=-+，222,236
b y z
c z x ππ=-+=-+，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.
过关检测
1、与命题“若a μ∉则b μ∉”等价的命题是（ ）
A. 若b μ∈则a μ∈
B. 若b μ∉则a μ∈
C. 若b μ∉则a μ∉
D. 若a μ∉则b μ∈
2、在命题“若x=3，则2
9180x x -+=”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
3、一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ）
A.真命题的个数一定是奇数
B.真命题的个数一定是偶数
C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数
D.以上判断均不正确
4、若命题p 的逆命题q ，否命题是r ，则命题q 是命题r 的（ ）
A.逆命题
B.否命题
C.逆否命题
D.等价命题
5、命题“若21x <，则－１＜ｘ＜１”的逆否命题是（ ）
A.若21x ≥，则1x ≥或1x ≤-
B.若－１＜ｘ＜１，则21x <
C.若x>1或x<－1,则21x >
D.若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥
6、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.
1）若6x y +=,则4x =且2y =. 2）若220x y +=，则,x y 全为零.
7、判断命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题的真假
（选做题）若330,0,2p q q p >>+=，求证2p q +≤
小结：。