一元三次方程及解法简介

一元三次方程

一元三次方程的标准型为02

3=+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于卡尔丹公式解题存在复杂性，对比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三次方程。

【盛金公式】 一元三次方程02

3=+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且 重根判别式：bd c C ad bc B ac b A 3:9;322-=-=-=，总判别式：Δ=AC B 22

-。 当A=B=0时，盛金公式①： c

d b c a b x x x 33321-=-=-

===，当Δ=AC B 22

->0时，盛金公式②：a y y b x 33

123

111---=

； i a

y y a y y b x 63623

12

3

113

223

1

13,2-±++-=

；其中2

)4(322

,1AC B B a Ab y -±-+

=,12-=i .当Δ=AC B 22

-=0时，盛金公式③：K a b x +-

=1；232K x x -==，其中)0(≠=A A

B

K .当Δ= AC B 22-<0时，盛金公式④：a

Cos

a b x 3321θ

--=

，a

Sin Cos A b x

3)

333(3

,2θ

θ±+-=

； 其中arcCosT =θ，)11,0(),232(

<<->-=T A A

aB Ab T .

【盛金判别法】 ①：当A=B=0时，方程有一个三重实根； ②：当Δ=AC B 22

->0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ③：当Δ=AC B 22

-=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ④：当Δ=AC B 22

-<0时，方程有三个不相等的实根。

【盛金定理】 当0,0==c b 时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A ≤0时，盛金公式④无意义；当T ＜-1或T ＞1时，盛金公式④无意义。当0,0==c b 时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A ≤0的值？盛金公式④是否存在T ＜-1或T ＞1的值？盛金定理给出如下回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。

盛金定理2：当A=B=0时，若b ≠0，则必定有c ≠0（此时,适用盛金公式①解题）。 盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。

盛金定理4：当A=0时，若B ≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。 盛金定理5：当A ＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。 盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。 盛金定理7：当Δ=0时，若B ≠0，盛金公式③一定不存在A ≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。

盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A ≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。

盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T ≤-1或T ≥1的值，即T 出现的值必定是-1＜T ＜1。显然，当A ≤0时，都有相应的盛金公式解题。注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A ＜0。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。当Δ=0(d ≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式bd c C ad bc B ac b A 3;9;322-=-=-=是最简明的式子，由A 、B 、C 构成的总判别式Δ=AC B 22

-也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一

元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子2

42AC B B -±-具有一元二次方程

求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。