第4章 一元线性回归
计量经济学4_一元线性回归
min m ∑ (Yi − m )
i =1
n
2
∑ (Y − b
i =1 i
n
0
− bi X i ) 2
4.6
称最小化 4.6 式中误差平方和的截距和斜率估计量为β0 和β1 的普通最小二乘（OLS）估计量。
7 8
OLS估计量、预测值和残值
斜率β1和截距β 0的OLS估计量分别为 ˆ β1 =
OLS预测值和残值
TestScore = 698.9 – 2.28×STR
ˆ YAntelope = 698.9 – 2.28×19.33 = 654.8
ˆ u Antelope = 657.8 – 654.8 = 3.0
13 14
拟合优度（ Measures of Fit ）
所得到的回归线描述数据的效果如何评价？ 回归变量说明了大部分还是极少部分的因变量变化？ 观测值是紧密地聚集在回归线周围还是很分散？ • 回归的 R2 是指可由 Xi 解释（或预测）的 Yi 样本方差的 比例。回归的 R2 的取值范围为 0 到 1.
——普通最小二乘估计量
前面讨论过，Y 是总体均值μY 的 最小二乘估计量，即在所有 可能的估计量 m 中， Y 使估计误差总平方和最小：
将 OLS 估计量这种思想应用于线性回归模型。令 b0 和 b1 分 别表示β0 和β1 的某个估计量，则基于这些估计量的回归线 为：b0+b1X，于是由这条线得到 Yi 的预测值为：b0+b1Xi。 因而，第 i 个观测的观测误差为：Yi-b0-biXi，n 个观测的观测 误差平方和为：
Yi = β0 + β1Xi + ui, i = 1,…, n 不太可能出现大异常值 Xi 和（或）Yi 的观测中远落在一般数据范围 之外的大异常值是不大可能出现的。 • 表述为：X 和 Y 具有非零有限四阶距: 即 0 < E ( X ) < ∞, 0 < E (Y ) < ∞ • 或表述为：X 和 Y 具有有限峰度。 • 该假设说明 OLS 对异常值是很敏感 的。
一元线性回归
12．9 一元线性回归以前我们所研究的函数关系是完全确定的，但在实际问题中，常常会遇到两个变量之间具有密切关系却又不能用一个确定的数学式子表达，这种非确定性的关系称为相关关系。
通过大量的试验和观察，用统计的方法找到试验结果的统计规律，这种方法称为回归分析。
一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法。
如果两个变量之间的关系是线性的，这就是一元线性回归问题。
一元线性回归问题主要分以下三个方面：（1）通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程。
（2）对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信。
（3）利用已建立的经验公式，进行预测和控制。
12．9．1 一元线性回归方程 1．散点图与回归直线在一元线性回归分析里，主要是考察随机变量y 与普通变量x 之间的关系。
通过试验，可得到x 、y 的若干对实测数据，将这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图叫做散点图。
例1 在硝酸钠（NaNO 3）的溶解度试验中，测得在不同温度x （℃）下，溶解于100解 将每对观察值（x i ，y i ）在直角坐标系中描出，得散点图如图12.11所示。
从图12.11可看出，这些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近。
于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示x 与y 之间的关系，这条直线的方程就叫做y 对x 的一元线性回归方程。
设这条直线的方程为yˆ=a+bx 其中a 、b 叫做回归系数（y ˆ表示直线上y 的值与实际值y i 不同）。
图12.11下面是怎样确定a 和b ，使直线总的看来最靠近这几个点。
2．最小二乘法与回归方程在一次试验中，取得n 对数据（x i ，y i ），其中y i 是随机变量y 对应于x i 的观察值。
我们所要求的直线应该是使所有︱y i －yˆ︱之和最小的一条直线，其中i y ˆ=a+bx i 。
由于绝对值在处理上比较麻烦，所以用平方和来代替，即要求a 、b 的值使Q=21)ˆ(i ni iyy-∑=最小。
一元线性回归方程
北京市城市居民家庭生活抽样调查表1 14 12 10 8 6 4 2 0 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988
Y: 人 均 收 入
x:年份
北京市城市居民家庭生活抽样调查图表 2 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8
Y:人均食品支出
10 12 14 16 18
Fα (1,n-2),得否定域为F >Fα (1,n-2);
4.代入样本信息,F落入否定域则否定原假设, 线性关系显著;落入接受域则接受原假设, 线性关系不显著.
相关系数检验法: 相关系数检验法:
1.提出原假设:H0:b=0; lxy 2.选择统计量 R = lxxl yy 3.对给定的显著性水平α,查临界值rα (n-2), 得否定域为R >rα (n-2); 4.代入样本信息,R落入否定域则否定原假设,线性关 系显著;落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.
第二节
一元线性回归方程
一 回归直线方程
两个变量之间的线性关系，其回归模型为： 两个变量之间的线性关系，其回归模型为：
yi = a + bxi + εi
ε 称为 y称为因变量，x称为自变量，
随机扰动，a,b称为待估计的回归参 数，下标i表示第i个观测值。
对于回归模型，我们假设：
εi ~ N( 0,σ ),i = 1,2,⋯,n E( εiε j ) = 0,i ≠ j
pt
qt
概率 0.25 0.50 0.25 0.25 0.50 0.25 … 0.25 0.50 0.25
qt = 11 − 4 pt+ εt
其中
这时， 这时，方程的形式为
εt
为随机变量. 为随机变量
一元线性回归
由此可推测：当火灾发生地离最近的消 防 站 为 10km 时 ， 火 灾 损 失 大 致 在
ˆ y 10.279 49.19 59.369（千元） 当火 ；
灾发生地离最近的消防站为 2km 时，火灾损 失大致在 20.117（千元）
三、0，1的性质
1, 线性
1
(x x ) y
为 y 关于 x 的一元线性经验回归方程 （简称为回归直
ˆ 线方程） 0 为截距， 1 为经验回归直线的斜率。 ， ˆ
引进矩阵的形式：
y1 1 x1 1 0 y2 1 x2 2 设 y ， X ， ， 1 y 1 x n n n
变量之间具有密切关联 而又不能由一个或某一些变 量唯一确定另外一个变量的 关系称为变量之间的相关关 系.
y
y f ( x)
y
Y f (X )
0
(a) 函数关系
x
0
(b) 统计关系
x
种类
正相关 负相关
一元相关 多元相关
线性相关 曲线相关
y
y
y
y
正相关
x
负相关
x
曲线相关
x
不相关
x
例 2 城镇居民的收入与消费支出之间有很大的关 联，居民的收入提高了，消费也随之潇洒，但居民的 收入不能完全确定消费，人们的消费支出受到不同年 龄段的消费习惯的影响，也受到不同消费理念的影响。 因此居民的收入 x 与消费支出 y 就呈现出某种不确定 性。 我们将上海市城镇居民可支配收入与支出的数据 （1985 年~2002 年）用散点图表示，可以发现居民的 收入 x 与消费支出 y 基本上呈现线性关系，但并不完 全在一条直线上。 附数据与图形。
-第4章-一元线性回归-计量经济学及Stata应用
© 陈强，2015年，《计量经济学及Stata应用》，高等教育出版社。
第4章一元线性回归4.1 一元线性回归模型为什么在青少年时期要选择上学？除了满足好奇心、求知欲及个人成长外，一个重要原因是教育能提高未来的收入水平。
如何从理论上解释教育投资的回报率(returns to schooling)？12Mincer (1958)提出基于效用最大化的理性选择模型：个体选择多上一年学，则需推迟一年挣钱(另需交学费)；为弥补其损失，市场均衡条件要求给予受教育多者更高的未来收入。
由此可得工资对数与教育年限的线性关系：ln w s αβ=+ (4.1)ln w 为工资对数，s 为教育年限(schooling)，而α与β为参数。
α为截距项，表示当教育年限为0时的工资对数水平，因为ln 0w αβα=+⋅=。
3β为斜率，表示教育年限对工资对数的边际效应，即每增加一年教育，将使工资增加百分之几，因为对方程(4.1)两边求导可得ln dw wd w w w ds ds sβ∆==≈∆ (4.2)教育年限只是影响工资的因素之一。
严格来说，方程(4.1)应为ln w s αβ=++其他因素 (4.3)将其他因素记为ε，则有ln w s αβε=++(4.4)方程(4.4)即劳动经济学(labor economics)中著名的明瑟方程(the Mincer equation)的基本形式(Mincer, 1974)。
但多上一年学，究竟能使未来收入提高百分之几？这取决于参数β的取值。
明瑟模型并未提供关于α与β具体取值的信息。
对于这种定量问题(quantitative question)，只有通过数据才能给出定量回答(quantitative answer)。
需要用计量经济学方法，通过样本数据来估计未知参数α与β。
4明瑟模型推断工资对数与教育年限为线性关系，此预言是否与现实数据相符？使用数据集grilic.dta来考察，此数据集包括758位美国年轻男子的教育投资回报率数据。
一元线性回归解法总结
一元线性回归手工法：⎪⎩⎪⎨⎧−−=−=22110ˆˆˆx x y x xy x y βββ 或 ()()()∑∑==−−−=ni ini i ix xy y x x1211ˆβini i n i ini ini iy x n xy x n x y n y x n x ∑∑∑∑========1122111111 此时可以令Y Y y X X x i i i i −=−= , （离差）则∑∑=21ˆiii xy x β（经验）回归方程为: )(ˆˆˆˆ110x x y x y −+=+=βββ 程序法：1．确定回归系数的点估计值：b=regress( Y , X ) 对一元线性回归，取p =1即可01ˆˆˆp b βββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 12n Y Y Y Y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 111212122212111...p p n n np x x x x x x X x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M M程序数据的输入可以参考如下：x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x];Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]';2．回归分析及检验：[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y ,X)b,bint,stats得结果：b = bint =-16.0730 -33.7071 1.5612 0.7194 0.6047 0.8340 stats =0.9282 180.9531 0.0000即7194.0ˆ,073.16ˆ10=−=ββ；0ˆβ的置信区间为[-33.7017，1.5612], 1ˆβ的置信区间为[0.6047,0.834]; r 2=0.9282, F =180.9531, p =0.0000 p <0.05, 可知回归模型 y =-16.073+0.7194x 成立.这个程序可以进行，第一步的拟合优度与相关系数检验， 第三步的方程的整体性检验（F 检验） ，因此第一步的拟合优度 r 平方已算出就根据 r 2 =1意味着完全拟合，r 2 =0意味着被解释变量与解释变量之间没有线性关系，0< r 2 <1时，r 2越接近于1拟合效果越好。
第四章 一元线性回归
n
xi x
2 ( x x ) i i 1
n
( 0 1 xi ) 1
(4.28)
2 ˆ ( x x ) 0, ( x x ) x ( x x ) i i i 证得 1是 1 的无偏估计，其中用到 i ˆ 同理可证 是 0 的无偏估计。
2 (4.9) ˆ ˆ min ( y x ) ( y x ) ˆ ˆ i 0 1 i i 0 1 i Q( 0 , 1 ) ,
n
2
n
ˆ0 , ˆ1 就成为回归参数 0 ， 1 的 • 依照(4.9)式求出的 最小二乘估计。称
xi x
i 1 i 1
其中 ( x
i 1
是 yi 的常数，所以 1 是 yi 的线性组合。同理可 以证明 0是 yi 的线性组合。 ˆ , ˆ 亦为 因为 y i 为随机变量，所以作为 yi 的线性组合， 0 1 随机变量，因此各自有其概率分布、均值、方差、标准差及两 者的协方差。
0
无偏估计的意义是。如果屡次变更数据，反复求 0 , 1 的 估计值，这两个估计值没有高估或低估的系统趋势，他们的 平均值将趋于 0 , 1 。 ˆ ˆ x ) x E y ˆi ) E ( E( y 0 1 i 0 1 i 进一步有， ，表明回归值 是 的无偏估计，也说明 与真实值 的平均值是相同的。
(4.2)
• 这里 E ( )表示 差。
的数学期望，var( )表示
的方
• 对(4.1)式两端求期望，得 E( y) 0 1 x (4.3) 称(4.3)式为回归方程。 • 一般情况下，我们所研究的某个实际 问题，获得的n组样本观测值
一元线性回归
一元线性回归
一、回归分析的基本思想 二、一元线性回归的数学模型 三、可化为一元线性回归的问题 四、小结
一、回归分析的基本思想
确定性关系 变量之间的关系 相 关 关 系
S πr 2
身高和体重
确定性关系 相关关系
相关关系的特征是:变量之间的关系很难用一 种精确的方法表示出来.
确定性关系和相关关系的联系
n
xi x
2 ( x x ) j j 1 n
var( y ) i
2
2
2 ( x x ) j j 1 n
1 xi x ˆ 0 y 1 x ( x ) yi n lxx
1 xi x ˆ Var ( 0 ) x lxx n
由于存在测量误差等原因,确定性关系在实际 问题中往往通过相关关系表示出来;另一方面,当对 事物内部规律了解得更加深刻时,相关关系也有可 能转化为确定性关系. 回归分析——处理变量之间的相关关系的一 种数学方法,它是最常用的数理统计方法.
回 归 分 析
线性回归分析
非线性回归分析
一元线性回归分析
多元线性回归分析 β1 = Nhomakorabea(x
i=1 n
n
i
x )( yi y ) ,
2 ( x x ) i i=1
β0 = y β1 x,
1 n 1 n 其中 x xi , y yi . n i 1 n i 1
记
l xx = ( xi x )2 ,
i=1
n
l yy = ( yi y )2 ,
2 x x x 2 2 i ˆ ˆ ˆ cov(y , 1 ) x cov(1 , 1 ) x nlxx l xx l xx
计量经济学 第4章 一元线性回归模型
注意：
1、如果假设1、2满足，则假设3也满足;
2、如果假设4满足，则假设2也满足
以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯 （Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也 称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。
第二节 最小二乘法（OLS）
利用OLS来估计（4.3）式，可以得到所谓的估计回归直线，
ˆX ˆ a u
残差=实际值—估计值
ˆX ) ˆ Y (a ˆ Y Y ˆ u
2、计算残差的2次方的和，即残差平方和（RSS）,得
ˆX )]2 ˆ 2 [Y (a ˆ u
-973 1314090 1822500 947508 -929 975870 1102500 863784 -445 334050 562500 198381 -412 185580 202500 170074 -159 23910 22500 25408 28 4140 22500 762 402 180720 202500 161283 511 382950 562500 260712 1018 1068480 1102500 1035510 963 1299510 1822500 926599 5769300 7425000 4590020
对于总体回归模型， y f ( x1 , x2 , , xk ) u 特别地,当只有一个自变量且 f ( x) 0 1 x 时，则有： (4.3) y 0 1 x u
0 为直线的截距， 1 为直 其中 0 和 1 为两个待定参数， 线的斜率。我们称（4.3）为一元线性总体回归模型。
函数关系与相关关系的区别
确定的函数关系可以直接用于经济活动，无需分析。
一元线性回归
⼀元线性回归1、概念⼀元线性回归是最简单的⼀种模型，但应⽤⼴泛，⽐如简单地预测商品价格、成本评估等，都可以⽤⼀元线性模型，本节主要讲解scikit-learn⼀元线性回归的使⽤以及作图说明。
y=f(x)叫做⼀元函数，回归的意思就是根据已知数据复原某些值，线性回归(regression)就是⽤线性的模型做回归复原。
那么⼀元线性回归就是：已知⼀批(x,y)值来复原另外未知的值。
⽐如：告诉你(1,1),(2,2),(3,3)，那么问你(4,?)是多少，很容易复原出来(4,4)，这就是⼀元线性回归问题的求解。
当然实际给你的数据可能不是严格线性，但依然让我们⽤⼀元线性回归来计算，那么就是找到⼀个最能代表已知数据的⼀元线性函数来做复原和求解。
2、scikit-learn的⼀元线性回归1import numpy as np2from sklearn.linear_model import LinearRegression3 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]4 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]5print x6print(y)7 model = LinearRegression()8 model.fit(x, y) #训练模型9 predicted = model.predict([13])[0]#预测输出10print predictedView Code结果：1 [[1], [2], [3], [4], [5], [6]]2 [[1], [2.1], [2.9], [4.2], [5.1], [5.8]]3 [ 12.82666667]这⾥⾯的model是⼀个estimator，它通过fit()⽅法来算出模型参数，并通过predict()⽅法来预测，LinearRegression的fit()⽅法就是学习这个⼀元线性回归模型：y = a + bx原数据的图像：1import matplotlib.pyplot as plt2from matplotlib.font_manager import FontProperties3 font = FontProperties()4 plt.figure()5 plt.title('this is title')6 plt.xlabel('x label')7 plt.ylabel('y label')8 plt.axis([0, 25, 0, 25])9 plt.grid(True)10 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]11 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]12 plt.plot(x, y, 'k.')13 plt.show()View Code结果：合在⼀起：1import numpy as np2from sklearn.linear_model import LinearRegression3import matplotlib.pyplot as plt4from matplotlib.font_manager import FontProperties56 x = [[1],[2],[3],[4],[5],[6]]7 y = [[1],[2.1],[2.9],[4.2],[5.1],[5.8]]8 model = LinearRegression()9 model.fit(x, y)10 x2 = [[0], [2.5], [5.3], [9.1]]11 y2 = model.predict(x2)1213 plt.figure()14 plt.title('linear sample')15 plt.xlabel('x')16 plt.ylabel('y')17 plt.axis([0, 10, 0, 10])18 plt.grid(True)19 plt.plot(x, y, 'k.')20 plt.plot(x2, y2, 'g-')21 plt.show()View Code其他相关⽤法⽅差计算:⽅差⽤来衡量样本的分散程度，⽅差公式是⽤numpy库已有的⽅法：1 np.var([1, 2, 3, 4, 5, 6], ddof=1)1 3.5得出⽅差是3.5。
一元线性回归
· · ·· ·· · · ·· ·
2 4 6 8 10
o线附 近, 这告诉我们变量x和y之间大致可看作线 性关系. 从图中还看到, 这些点又不完全在 一条直线上, 这表明x和y的关系并没有确切 到给定x就可以唯一确定y的程度.
其原因在于人有较大的个体差异, 因而身高 和体重的关系, 是既密切但又不能完全确定 的函数关系.
类似的变量间的关系在大自然和社会中 屡见不鲜.
例如 , 小麦的穗长与穗重的关系 ; 某班学生最 后一次考试分数与第一次考试分数的关系;温 度、降雨量与农作物产量间的关系;人的年龄 与血压的关系;最大积雪深度与灌溉面积间的 关系;家庭收入与支出的关系等等.
这种大量存在的变量间既互相联系但又不 是完全确定的关系，称为相关关系. 从数量的角度去研究这种关系，是数 理统计的一个任务. 这包括通过观察和试 验数据去判断变量之间有无关系，对其关 系大小作出数量上的估计 , 对互有关系的 变量通过其一去推断和预测其它,等等. 回归分析就是研究相关关系的一种重 要的数理统计方法.
V=I. R
以上两例的共同点在于，三个量中任意 两个已知，其余一个就可以完全确定. 也就 是说，变量之间存在着确定性的关系，并且 可以用数学表达式来表示这种关系. 然而，在大量的实际问题中，变量之 间虽有某种关系，但这种关系很难找到一 种精确的表示方法来描述.
例如,人的身高与体重之间有一定的关系, 知道一个人的身高可以大致估计出他的体重, 但并不能算出体重的精确值.
y=a+bx+ε, ε ～N(0， )
2
(1)
现对模型(1)中的变量x , y进行了n次独 立观察, 得样本 (x1,y1),…,(xn,yn) (3)
一元线性回归分析和有效应用
TECHNICS ·APPLICATION技术·应用文 李会芳一元线性回归分析和有效应用一、一元线性回归分析基本原理一元线性回归的数学模型为y=β0+β1x+ε。
其中，变量x对因变量y的影响可以用（β0+β1x）表示出来，β0和β1是待定参数，ε则表示其他不确定因素对y造成的影响，通常来说ε是无法确定的，一般将ε假设为方差为σ2，期望是0的正态分布。
回归分析在实际中的应用其实就是一个求解未知数的过程。
它通过给出的一系列样本数值对待定参数β0和β1进行精确估计，并将估计值用β0'和β1'来表示。
在计算时采用最小二乘法对估计值进行计算：计算所给出样本值的平均值，再将相关数据带入上述公式，就可以利用最小二乘法计算出β0'和β1'的值，最后将得出的数值带入一元线性回归的数学模型即可。
二、一元线性回归分析的有效应用（一）一元线性回归分析在经济中的应用利用一元线性回归分析可以对生活中的一些经济关系进行分析，它是经济预测中常用的方法之一。
本文以财政收入和GDP之间的线性关系分析为例来对一元线性回归分析在实际中的应用情况进行探讨。
下面是某十年国家财政收入占国内生产总值的比重图：财政收入和国内经济生产总值之间有直接的关系。
下面以财政收入为自变量x，国内生产总值为因变量y，建立一元线性回归模型来对两者之间的关系进行具体的分析。
假设财政收入x和国内生产总值y的方程为：y=β+β1x1，将上表中的数据输入电脑中，利用SSPS软件进行线性回归分析得出下表。
由上表可以得出β1'=5.110，β0'=19044.809，拟合度为0.944，所以财政收入和国内生产总值的线性方程可以写为：y=19044.809+5.110x1从拟合度就可知线性显著，所以上述方程成立。
可以看出，财政收入和GDP之间成正比，这说明GDP能够迅速增长和财政收入的增加有很大的关系。
（二）一元线性回归分析在工程预测进度中的应用将一元线性回归分析应用于进度控制当中，可以有效地对工程进度进行预测，从而实现有效的事前控制。
湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第4章 统计 一元线性回归模型的应用 分层作业册
^
^
^
∴ =1.6x-0.5,∴ =e1.6x-0.5,当 x=5 时, =e1.6×5-0.5=e 2 .故选 D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
11.某人对一地区人均工资x(单位:千元)与该地区人均消费y(单位:千元)进
^
行统计调查,y与x有相关关系,得到回归直线方程 =0.66x+1.075.若该地
2024年
1月
6
195.4
(1)试求变量y与x的样本相关系数r(结果精确到0.01);
(2)试求y关于x的回归直线方程(回归系数保留一位小数),并据此预测2025
年2月份该公司的销售金额.
^
^ ^
∑ ( -)( -)
^
附:线性回归方程 = bx+,其中 = =1
∑ ( -)
A.y=bx+a
B.y=bex+a
C.y=bsin ωx+a
D.y=bx2+a
解析 由散点图可知,函数先增后减,选项A与选项B的函数单调,所以不符合
图形,故错误;C选项中,散点图与正弦型函数的一部分图象很接近,适合作
为发芽颗数y和温度x的回归方程,故C正确;D选项中二次函数的对称轴为y
轴,与散点图不符,故D错误.故选C.
7.据统计截止到2020年,中国高铁运营里程已经达到3.9万千米.下表是2013
年至2020年中国高铁每年的运营里程统计表,它反映了中国高铁近几年的
飞速发展:
2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份
1
2
3
4
5
一元线性回归模型及其假设条件
§4.2 一元线性回归模型及其假设条件1．理论模型y=a+bx+εX 是解释变量，又称为自变量，它是确定性变量，是可以控制的。
是已知的。
Y 是被解释变量，又称因变量，它是一个随机性变量。
是已知的。
A,b 是待定的参数。
是未知的。
2．实际中应用的模型x b a yˆˆˆ+= ，bˆ，x 是已知的，y ˆ是未知的。
回归预测方程：x b a y += a ,b 称为回归系数。
若已知自变量x 的值，则通过预测方程可以预测出因变量y 的值，并给出预测值的置信区间。
3．假设条件满足条件：（1）E （ε）=0；（2）D （εi ）=σ2；（3）Cov (εi ,εj )=0,i ≠j ; (4) Cov (εi ,εj )=0 。
条件（1）表示平均干扰为0；条件（2）表示随机干扰项等方差；条件（3）表示随机干扰项不存在序列相关；条件（4）表示干扰项与解释变量无关。
在假定条件（4）成立的情况下，随机变量y ～N （a+bx ，σ2）。
一般情况下，ε～N （0，σ2）。
4．需要得到的结果a ˆ，b ˆ，σ2§4.3 模型参数的估计1．估计原理回归系数的精确求估方法有最小二乘法、最大似然法等多种，我们这里介绍最小二乘法。
估计误差或残差：y y e i i i -=，x b a y i +=，e e y y ii i i x b a ++=+= （5.3—1）误差e i 的大小，是衡量a 、b 好坏的重要标志，换句话讲，模型拟合是否成功，就看残差是否达到要求。
可以看出，同一组数据，对于不同的a 、b 有不同的e i ，所以，我们的问题是如何选取a 、b 使所有的e i 都尽可能地小，通常用总误差来衡量。
衡量总误差的准则有：最大绝对误差最小、绝对误差的总和最小、误差的平方和最小等。
我们的准则取：误差的平方和最小。
最小二乘法：令 ()()∑∑---∑======n i ni n i i x b a y y y e i i i i Q 112212 （5.3—2）使Q 达到最小以估计出a 、b的方法称为最小二乘法。
气象统计方法 第四章 一元线性回归分析
yˆ ˆ0 ˆ1x
x
全部观测值与回归估计值的离差平方和记为
n
Q(a, b) ( yi yˆi )2 t 1
它刻画了全部观测值与回归直线偏离程度。
显然，Q值越小越好。a和b是待定系数，根 据
微积分学中的Q极值0 原理，要Q求 ：0
a
b
满足上面关系的Q值最小。整理得到：
反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或 者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取 值变化，也称为可解释的平方和。
3.残差平方和(Q)
反映除 x 以外的其它因素对 y 取值的影响，也称为 不可解释的平方和或剩余平方和。
2
n i 1
(
yi
a
bxi
)
0
n
2 i1 ( yi a bxi )xi 0
＝r2
（2）回归系数b与相关系数之间的关系
b
S xy
S
2 x
Sy Sx
rxy
r与b同号。
6. 回归方程的显著性检验
U
F
1 Q
(n 2)
原假设回归系数b为0的条件下，上述统计量遵从
分子自由度为1，分母自由度为（n-2）的F分布，
若线性相关显著，则回归方差较大，因此统计量F
也较大；反之，F较小。对给定的显著性水平 ,
判决系数R2 (coefficient of determination)
1. 回归平方和占总离差平方和的比例； 2. 反映回归直线的拟合程度； 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间； 4. R2 1，说明回归方程拟合的越好；
R20，说明回归方程拟合的越差； 5. 判决系数等于相关系数的平方，即R2
一元线性回归的基本步骤
一元线性回归的基本步骤一元线性回归分析的基本步骤如下：•1、散点图判断变量关系（简单线性）；2、求相关系数及线性验证；3、求回归系数，建立回归方程；4、回归方程检验；5、参数的区间估计；6、预测；•••请点击输入图片描述•一、什么是回归分析法“回归分析”是解析“注目变量”和“因于变量”并明确两者关系的统计方法。
此时，我们把因子变量称为“说明变量”，把注目变量称为“目标变量址(被说明变量)”。
清楚了回归分析的目的后，下面我们以回归分析预测法的步骤来说明什么是回归分析法：回归分析是对具有因果关系的影响因素（自变量）和预测对象（因变量）所进行的数理统计分析处理。
只有当变量与因变量确实存在某种关系时，建立的回归方程才有意义。
因此，作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的问题。
进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。
二、回归分析的目的回归分析的目的大致可分为两种：第一，“预测”。
预测目标变量，求解目标变量y和说明变量(x1，x2，…)的方程。
y=a0+b1x1+b2x2+…+bkxk+误差（方程A）把方程A叫做(多元)回归方程或者(多元)回归模型。
a0是y截距，b1，b2，…，bk是回归系数。
当k=l时，只有1个说明变量，叫做一元回归方程。
根据最小平方法求解最小误差平方和，非求出y截距和回归系数。
若求解回归方程．分别代入x1，x2，…xk的数值，预测y的值。
第二，“因子分析”。
因子分析是根据回归分析结果，得出各个自变量对目标变量产生的影响，因此，需要求出各个自变量的影响程度。
希望初学者在阅读接下来的文章之前，首先学习一元回归分析、相关分析、多元回归分析、数量化理论I等知识。
根据最小平方法，使用Excel求解y=a+bx中的a和b。
第四章Minitab相关与回归分析
4.点击Stat-Regression-Regression，弹出：
因变量y 自变量x
点击OK
结果输出：
结果输出(续)：
预测方程 系数的t检验 拟合优度R2
方程的F检验
一元线性回归模型预测
回归预测分为点预测和区间预测两部分
1.点预测的基本公式：
yˆ f a bx f
回归预测是一种有条件的预测，在进行回归预 测时，必须先给出xf的具体数值。 2.预测误差及发生预测误差的原因。
关
|r|=0 不存在线性关系或存在非线性相关；
系
数 值： |r|＝1 完全线性相关
0<|r|<1不同程度线性相关(0~0.3 微弱；0.3~0.5 低度；
0.5~0.8 显著；0.8~1 高度)
符号：r>0 正相关；r<0 负相关
相关系数的检验：
相关系数的检验( t 检验)
H0 : ρ=0, H1 : ρ≠0
输入数据，点击
Graph-Scatterplot
绘制散点图：
2.弹出如下对话框：选择销售量资料C2进入因变 量Y，广告费支出C1进入自变量X，点击OK将绘制 Y与X的散点图。
点击OK
散点图结果及意义：
3.从此散点图 可以看出：销 售收入C2与 广告费支出 C1间存在着 明显的线性相 关关系，我们 可以进一步建 立回归模型对 其进行分析。
相关分析及其实现
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联 系的重要统计方法，两者在有关现实经济和管理 问题的定量分析中，具有广泛的应用价值。
变量之间关系 相关关系 函数关系
因果关系 互为因果关系 共变关系 确定性依存关系
随机性 依存 关系
一元线性回归资料
回归分析概述
一、回归分析基本概念 二、总体回归函数 三、随机干扰项 四、样本回归函数
一、回归分析基本概念
1、变量间的相互关系 （1）确定性现象间的关系常常表现为函数关系。 例如：s=πr2 （2）非确定性现象间的关系常常表现为统计相 关关系。 例如：农作物产量Y与施肥量X间的关系。
2、相关分析与回归分析 （1）回归分析是研究一个变量关于另一个（些） 变量的依赖关系的计算方法和理论。其目的在 于通过后者的已知或设定值，去估计和预测前 者的均值。前一个变量称为被解释变量（应变 量），后一个变量称为解释变量（自变量）。
一、线性回归模型的基本假设
假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量； 假设2、随机误差项µ具有零均值、同方差和不序列相 关性： E(µi)=0 i=1,2, …,n Var (µi)=σµ2 i=1,2, …,n Cov(µi, µj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项µ与解释变量X之间不相关： Cov(Xi, µi)=0 i=1,2, …,n 假设4、µ服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 i=1,2, …,n µi~N(0, σµ2 )
∑ xi yi = ∑ ( X i − X )(Yi − ห้องสมุดไป่ตู้ ) = ∑ X iYi −
1 ∑ X i ∑ Yi n
上述参数估计量可以写成： β = Σxi y i ˆ1 2
Σx i β = Y − β X ˆ ˆ 1 0
称为OLS估计量的离差形式（deviation form）。 离差形式（ 离差形式 ）。 由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的， 故称为普通最小二乘估计量（ordinary least 普通最小二乘估计量 普通最小二乘估计量（ squares estimators）。 ）
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估计标准误差
(standard error of estimate)
也称回归标准差
1.
2. 3.
实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根
反映实际观察值在回归直线周围的分散状况
反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小
4.4 回归方程的显著性检验
一、线性关系的检验（F检验）
二、回归系数的检验（t检验）
第4章 一元线性回归
§4.3 一元线性回归方程
§4.3 回归参数的估计
§4.3 最小二乘估计的性质
§4.4 回归方程的显著性检验
§4.5 残差分析 §4.6 预测和控制
2013-8-18
§4.7 建模总结和应注意的问题
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
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1
4.1一元线性回归模型 (regression model)
2 2 i 1 i 1
n
n
2
{
回归平方和 (SSR)
总平方和 (SST)
{
残差平方和 (SSE)
SST = SSR + SSE
{
1.
总平方和(SST—total sum of squares)
反映因变量的 n 个观察值与其均值的总误差 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响， 或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的 取值变化，也称为可解释的平方和 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为 不可解释的平方和或剩余平方和
函数关系
(几个例子)
某种商品的销售额y与销售量x之间的关系 可表示为 y = px (p 为单价)
圆的面积S与半径R之间的关系可表示为 S=R2 企业的原材料消耗额y与产量x1 、单位产量 消耗x2 、原材料价格x3之间的关系可表示为 y = x1 x2 x3
相关关系
(correlation)
函数关系
1. 2.
3.
是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ，变量 y y 随变量 x 一起变化，并完 全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 x 各观测点落在一条线上
时，y 的平均变动值 E( y ) = 0+ 1 x 从平均意义上表达了变量y与x的统计规律 性。
“回归”的由来
估计的回归方程
(estimated regression equation)
1. 总体回归参数 0 1 和 是未知的，必须利用样本数 据去估计
ˆ ˆ 2. 用样本统计量 0 和 1代替回归方程中的未知参 数 0和 1 ，就得到了估计的回归方程 3. 一元线性回归中估计的回归方程为
完全负线性相关
负线性相关
不相关
正线性相关
散点图
(例题分析)
例4.1
相关关系的描述与测度 (相关系数)
相关系数
(correlation coefficient)
1. 2. 3. 4.
度量变量之间关系强度的一个统计量 对两个变量之间线性相关强度的度量称为简单相 关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总 体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数， 简称为相关系数，记为 r
回归方程
(regression equation)
1. 2. 3.
描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程 称为回归方程 一元线性回归方程的形式如下 E( y ) = 0+ 1 x
方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程
0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位
x
最小二乘法
ˆ 的计算公式) ˆ 和 1 ( 0
ˆ和 ˆ 根据最小二乘法，可得求解 0 1的公式如下
例4.1 计算过程见P76
用SPSS进行回归分析
(一)基本操作步骤 (1)菜单选项: Analyze->regression->linear… (2)选择一个变量为因变量进入dependent框 (3)选择一个变量为自变量进入independent框 (4)enter:所选变量全部进入回归方程(默认方法) (5)对样本进行筛选(selection variable) 利用满足一定条件的样本数据进行回归分析
当我们得到一个实际问题的经验回归方程后， 还不能马上用它去分析和预测，因为它是否真正 描述了变量y与x之间的统计规律性，还需要运用 统计方法对回归方程进行统计检验。()
反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的 影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
0 和 1 称为模型的参数
一元线性回归模型
(基本假定)
1. 2. 3.
4. 5.
因变量x与自变量y之间具有线性关系 在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假 定x是非随机的 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即 E(ε)=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) = 0+ 1 x 对于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相 互独立。即ε~N(0 ,σ2 )
判定系数 (例题分析)
【例1】计算粮食产量对化肥施用量回归的判定系数， 并解释其意义
SSR R 0.978 SST
2
判定系数的实际意义是：在粮食产量取值的变差 中，有97.8%可以由粮食产量与化肥施用量之间的线性 关系来解释，或者说，在粮食产量取值的变动中，有 97.8%是由化肥施用量所决定的。可见粮食产量与化肥 施用量之间有较强的线性关系
1. 德国科学家Karl Gauss(1777－1855)提出用最 小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数 2. 使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和 ˆ ˆ 达到最小来求得 0和 1的方法。即
ˆ ˆ ˆ ) 2 ( yi 0 1 xi ) 2 最小 ( yi y
商品销售额y与广告费支出x之间的关系
相关关系
(类型)
相关关系
线性相关
正相关 负相关
非线性相关
完全相关
正相关 负相关
不相关
相关关系的描述与测度 (散点图)
散点图
(scatter diagram)
非线性相关
完全正线性相关
也称为线性相关系数(linear correlation coefficient) 或 称 为 Pearson 相 关 系 数 (Pearson’s correlation coefficient)
相关系数
(计算公式)
样本相关系数的计算公式
r
( x x )( y y ) (x x) ( y y)
2.
3.
回归模型的类型
回归模型
一元回归 线性回归 非线性回归 多元回归 线性回归 非线性回归
一元线性回归模型
1. 2.
描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的 方程称为回归模型 一元线性回归模型可表示为 y = 0 + 1 x +
y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量
ˆ ˆ ˆ y 0 + 1 x
是直线 其中：ˆ 0是估计的回归直线在 y 轴上的截距， ˆ1 ˆ 的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，y 是 y 的估计 值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值
4.2 最小二乘估计 (method of least squares )
SPSS相关分析例题
例.4.1
SPSS相关分析注意的问题
在实际应用中变量间相关性的研究应注意 将绘制散点图与计算相关系数的方法相结 合。
回归分析
(Regression)
1.
从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪 些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 并给出这种预测或控制的精确程度
1.
变量间关系不能用函数关 系精确表达 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定 当变量 x 取某个值时，变 量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周围
y
2.
3.
4.
x
相关关系
(几个例子)
父亲身高y与子女身高x之间的关系
收入水平y与受教育程度x之间的关系
粮食单位面积产量y与施肥量x1 、降雨量 x2 、温度x3之间的关系 商品的消费量y与居民收入x之间的关系
相关系数的经验解释
1. 2. 3.
4.
5.
|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关 0.5|r|<0.8时，可视为中度相关 0.3|r|<0.5时，视为低度相关 |r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度 极弱，可视为不相关 上述解释必须建立在对相关系数的显著性 进行检验的基础之上