第03讲 韦达定理
认识韦达定理：什么是韦达定理？如何应用？
**韦达定理的认识与应用**一、韦达定理的定义与来源韦达定理，也称为韦达公式，是一元二次方程的重要定理之一，由法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年提出。
韦达定理指出，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个根x₁和x₂满足以下关系：1. x₁ + x₂ = -b/a2. x₁ × x₂ = c/a韦达定理不仅是一元二次方程根与系数之间关系的体现，更是代数学中的基本定理之一，具有广泛的应用价值。
二、韦达定理的详细阐述1. 根与系数的关系韦达定理最核心的内容是一元二次方程的根与系数之间的关系。
对于一个标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，其两个根x₁和x₂与系数a、b、c之间存在确定的数学关系。
具体来说，就是x₁和x₂的和等于-b除以a，x₁和x₂的乘积等于c除以a。
2. 定理的证明韦达定理的证明主要依赖于一元二次方程的求根公式。
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为x=(−b±√(b²-4ac))/(2a)。
通过这个求根公式，我们可以直接计算出x₁和x₂的值，然后验证它们与系数a、b、c之间的关系是否满足韦达定理。
三、韦达定理的应用场景1. 解一元二次方程韦达定理最直接的应用就是解一元二次方程。
通过韦达定理，我们可以根据一元二次方程的系数直接得出其根的和与积，这在某些情况下比使用求根公式更加简便。
2. 判断根的情况通过韦达定理，我们还可以判断一元二次方程根的情况。
例如，如果系数b²-4ac大于0，则一元二次方程有两个不相等的实数根；如果b²-4ac等于0，则一元二次方程有两个相等的实数根；如果b²-4ac小于0，则一元二次方程没有实数根。
3. 解决其他问题除了解决一元二次方程本身的问题外，韦达定理还可以应用于其他数学问题和实际问题中。
例如，在代数式求值、方程组的求解、几何问题的计算等方面都可以看到韦达定理的应用。
新课标九年级数学竞赛培训第03讲：韦达定理
．（4分）（2003•杭州）设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根， x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分别等于 （ ） A． 1，﹣3 B． 1，3 C．﹣1，﹣3 D．﹣1，3 10．（4分）（2000•河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是 ∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7=0的两根，那 么AB边上的中线长是（ ） A． B． C． 5 D． 2 11．（4分）方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1、x2，则 的值是（ ） A． 1
（1）若x12+x22=6，求m值； （2）求
的最大值． 20．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、 BC（AB＞BC）的长是关于x的方程x2+2（1﹣m）x+6m=0的两个根． （1）求m的值； （2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积 是△CED的面积的 ，请说明理由．
1552088
专 计算题． 题： 分 根据根与系数的关系，可以写出两根和与两根积，再由两根是正整数及 析： p+q=28，利用提公因式法因式分解可以确定方程的两个根． 解 解：设x1，x2是方程的两个根，则①x1+x2=﹣p，②x1x2=q， 答： ∵②﹣①得：p+q=28， ∴x1x2﹣x1﹣x2=28， ∴x1x2﹣x1﹣x2+1=28+1， ∴x1（x2﹣1）﹣（x2﹣1）=29， 即（x1﹣1）（x2﹣1）=29， ∵两根均为正整数， ∴x1﹣1=1，x2﹣1=29或x1﹣1=29，x2﹣1=1， ∴方程的两个根是：x1=2，x2=30．或x1=30，x2=2． 故答案为：x1=30，x2=2． 点 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系写出两 评： 根和与两根积，再由已知条件用十字相乘法因式分解求出方程的两个根． 15．（3分）已知α、β是方程x2﹣x﹣1=0的两个根，则α4+3β的值为 5 ． 考 根与系数的关系；代数式求值． 点： 专 计算题． 题： 分 先由α、β是方程x2﹣x﹣1=0的两个根可知，α2=α+1，α+β=1，然后代入 析： α4+3β求解即可． 解 解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1=0的两个根， 答： ∴α2=α+1，α+β=1， ∴β=1﹣α， ∴α4+3β=（α+1）2+3（1﹣α）=α2+2α+1+3﹣3α=α+1+2α+4﹣3α=5．
高考数学重要知识点：韦达定理
高考数学重要知识点：韦达定理高考数学重要知识点：韦达定理韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
是高考数学的重要知识点，一起来复习下吧：韦达定理公式：一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中设两个根为x和y则x+y=-b/axy=c/a韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1，X2 (X)我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，∏是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的.16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
定理的证明设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解,高中历史，且不妨令x_1 ge x_2.根据求根公式，有x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}} 所以x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac，x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第3讲-充满活力的韦达定理
A.不大于 1
B.大于 1
C.小于 1
D.不小于 1
（2011 年《数学周报杯》全国初中数学竞赛题）
7.若 ab 1 ，且有 5a 2 2001a 9 0及9b2 2001b 5 0,则 a 的值为（ ） b
9
A．
5
5
B．
9
C． 2001 5
D ． 2001 9
（全国初中数学联赛题）
1
九年级数学培优竞赛辅导讲座
[充满活力的韦达定理] 学历训练
1．已知方程 x 2 px q 0 的两根均为正整数，且 p q 28 ，那么这个方程两根为
．
（“祖冲之杯”邀请赛）
2．已知整数 p,q 满足 p q 2010, 且关于 x 的一元二次方程 67x 2 px q 0 的两个根均为正整数，
值范围是( )
A． 0 m 1
B． m 3 4
（全国初中数学联赛题）
C． 3 m 1 D． 3 m 1
4
4
思路点拨 设方程的根分别为 1、 x1, x2 ，由三角形三边关系定理、韦达定理建立 m 的不等式组。
例 3.设 x1 、 x2 是方程 2x 2 4mx 2m 2 3m 2 0 的两个实数根，当 m 为何值时， x12 x2 2 有最小值?
九年级数学培优竞赛辅导讲座
第 3 讲 充满活力的韦达定理
知识纵横
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称 为韦达定理，这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出 的数学家韦达发现的．
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征 ； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等． 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路． 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解 这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．
韦达定理详细讲解
韦达定理详细讲解韦达定理是数学中的一个重要定理，它被广泛应用于代数、几何和概率等领域。
该定理的内容较为复杂，但通过详细的讲解，我们可以更好地理解和应用韦达定理。
我们来了解一下韦达定理的基本概念。
韦达定理又称作“韦达三角定理”或“韦达方程”，它是代数中关于多项式根与系数之间的关系的一个重要定理。
韦达定理是指对于一个二次方程，其两个根的和等于系数b的相反数，而两个根的乘积等于方程的常数项c。
为了更好地理解韦达定理，我们以一个具体的例子来说明。
假设我们有一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以使用韦达定理来求解该方程的根。
根据韦达定理，我们知道两个根的和等于系数b的相反数，即根的和等于5的相反数，即-5。
所以，我们可以得到一个等式：x1 + x2 = -5。
接下来，根据韦达定理，我们知道两个根的乘积等于方程的常数项c，即根的乘积等于6。
所以，我们可以得到另一个等式：x1 * x2 = 6。
通过这两个等式，我们可以得到一个由根和系数构成的方程组，进一步求解得到方程的根。
在本例中，我们可以得到x1 = 2和x2 = 3，即方程的两个根分别为2和3。
除了二次方程，韦达定理也可以扩展到高次方程。
对于一个n次方程，韦达定理可以表示为：方程的n个根的和等于系数b的相反数，而n个根的乘积等于方程的常数项c。
韦达定理在代数中的应用非常广泛。
它可以用于求解方程的根，进一步用于因式分解、求解多项式的系数和揭示方程与根之间的关系。
通过韦达定理，我们可以更好地理解和解决各种代数问题。
除了代数中的应用，韦达定理在几何和概率中也有重要的应用。
在几何中，韦达定理可以用于求解三角形的边长，利用三角形的边长关系来解决几何问题。
在概率中，韦达定理可以用于计算多个独立事件同时发生的概率，从而帮助我们进行概率分析和计算。
总结一下，韦达定理是数学中的一个重要定理，它可以用于代数、几何和概率等领域。
通过韦达定理，我们可以求解方程的根，进行因式分解，揭示方程与根之间的关系，解决几何问题和计算概率等。
韦达定理与实根
韦达定理与实根介绍韦达定理是代数学中的一项重要定理，用于求解多项式方程的根。
该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达于16世纪提出，并在代数学中得到广泛应用。
本文将详细讨论韦达定理及其与实根的关系。
一、韦达定理的基本概念韦达定理是关于多项式方程根与系数之间的关系的定理。
对于一个n次多项式方程：a n x n+a n−1x n−1+⋯+a1x+a0=0其中，a i为系数，a n≠0，x为未知数。
韦达定理给出了计算方程根与系数之间的关系，即： 1. 多项式方程的根之和等于系数a n−1的相反数除以a n的系数，即−a n−1a n 。
2. 多项式方程的根之积等于系数a0除以a n的系数，即a0a n。
二、韦达定理的应用韦达定理在代数学中有着广泛的应用，可以用于求解多项式方程的根，以及判断多项式方程的根的性质。
下面我们将详细介绍韦达定理的几个常见应用：2.1 多项式方程的根之和对于一个多项式方程，通过韦达定理可以直接计算出根的和。
只需将方程的系数代入韦达定理的公式即可。
例如，对于方程x2−5x+6=0，其中的根之和为5，可以通过韦达定理计算得到。
2.2 多项式方程的根之积通过韦达定理，我们还可以计算出多项式方程的根之积。
同样地，只需将方程的系数代入韦达定理的公式即可。
例如，对于方程x2−5x+6=0，其中的根之积为6，可以通过韦达定理计算得到。
2.3 基于根的判断韦达定理还可以用于判断多项式方程的根的性质。
对于一个多项式方程：1.如果根的和为0，则多项式方程中存在一个或多个正根和负根。
2.如果根的积为正数，那么多项式方程中的所有根都是正数或零。
3.如果根的积为负数，那么多项式方程中的根既有正数也有负数。
三、韦达定理与实根的关系韦达定理在求解多项式方程的实根时具有重要作用。
对于一个多项式方程，实根即为满足方程的实数解。
而韦达定理给出的根之和与根之积的公式可以帮助我们判断方程是否有实根。
3.1 方程有实根的条件根据韦达定理，多项式方程的根之和与根之积的公式可以得知以下结论：1.如果多项式方程的根之和为0，那么方程至少有一个实根。
高中韦达定理
高中韦达定理高中韦达定理是三角形学中的一个重要定理。
它是由法国数学家韦达于1731年发现的，因而得名。
该定理表明，对于任意一个三角形，其三条中线的长度平方之和等于四倍这个三角形的中线所在的三角形面积。
在我们熟悉韦达定理之前，我们需要先了解一下什么是中线。
中线是连接一个三角形的一边中点和对面顶点的直线。
一个三角形有三条中线，分别连接三个顶点的中点。
我们可以通过计算三角形的三条中线的长度平方之和，来验证韦达定理。
韦达定理的公式可以表示为：$(\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4})=4S^2$其中，a、b、c为三角形的三边长，S为三角形的面积。
我们可以通过一个简单的例子来理解韦达定理。
假设一个三角形的三边长分别为3、4、5，我们可以计算出该三角形的面积为6。
此时，该三角形的三条中线分别为2.5、3、3.5。
将这三条中线的长度平方之和相加，得到27.25。
将该三角形的面积6带入到韦达定理公式中，得到27.25。
因此，可以证明韦达定理成立。
在实际应用中，韦达定理可以用于计算三角形面积。
由于韦达定理中涉及到中线的长度，因此我们需要先通过勾股定理求出三角形的三边长，然后再计算中线的长度。
最后，带入韦达定理公式即可计算出三角形的面积。
韦达定理的应用还不止于此。
它还可以用于研究三角形的一些性质。
例如，我们可以通过韦达定理证明，如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形一定是等边三角形。
也可以证明，如果一个三角形的一条中线等于另外两条中线之和，那么这个三角形一定是直角三角形。
高中韦达定理是三角形学中的一个重要定理，它不仅可以用于计算三角形的面积，还可以研究三角形的一些性质。
掌握了韦达定理，可以更好地理解和应用三角形学知识。
第03讲 韦达定理
第3讲 韦达定理没有不能解决的问题. ——韦达知识方法扫描韦达定理，即一元二次方程的根与系数的关系，是方程理论的一个重要的内容。
运用这个定理，我们可以不解方程，就可以确定根的符号、可以求出关于两根的对称式的值，可以构造以某两个数为根的一元二次方程等等在运用韦达定理解题时，首先要注意运用判别式判断这个方程有没有实数根。
必要时要将韦达定理与判别式综合运用。
要掌握将一个关于两根的对称式如x 1n +x 2n 转化为两个基本对称式x 1+x 2与x 1x 2 的方法。
在求关于两根的非对称式的值时，除了运用根与系数的关系得关系外，还要注意运用根的定义来解题。
经典例题解析例1（1999年全国初中数学竞赛试题）设实数s 、t 分别满足19s 2+99s+1=0，t 2+99t+19=0, 并且st≠1。
求41st s t++的值 解 因为s≠0，所以，第一个等式可以变形为 019)1(99)1(2=++ss又因为st≠1, 所以s1，t 是一元二次方程x 2+99x+19=0的两个不同的实根，于是，有,191,991=∙-=+t st s 即st+1=-99s, t=19s. ∴51949914-=+-=++sss t s st . 例2（浙江省第二届初中数学竞赛题）设方程x 2+px+q=0的两实数根为a 、b ，且有I 1=a+b, I 2=a 2+b 2, …I n =a n +b n , 求当n≥3时，I n +pI n-1+qI n-2的值。
分析 直接求解犹如“海底捞针”，若利用方程根的意义求解，不仅能以简驭繁，且有出奇制胜之妙，我们知道x=x 0是方程ax 2+bx+c=0的根2000ax bx c ⇔++=，利用它显得思路清晰，运算简捷。
解 I n +pI n-1+qI n-2=(a n +b n )+p(a n-1+b n-1)+q(a n-2+b n-2) (n≥3) =(a n +pa n-1+qa n-2)+(b n +pb n-1+qb n-2) =(a 2+pa+q) a n-2 +(b 2+pb+q)b n-2 =0+0=0. 例3（1995年第八届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题）已知α、β是方程x 2-7x+8=0的两根，且α＞β，不解方程利用根与系数的关系，求232βα+的值分析 待求式是已知一元二次方程根的非对称式，我们可以设法构造一个待求式相应的代数式一起参与运算，从而使问题迅速获得解决解 设22223,3,A B βααβ+=+=∵α、β是方程x 2-7x+8=0的两根，且α＞β， ∴α+β=7，αβ=8，β-α=-174)(2-=-+αββα ∴A+B=222233βααβ+++=αβαβ)(2++3[（β+α）2-2αβ]=4403① A-B=223232αββα--+=17485))((3)(2-=-++-αβαβαβαβ ② ①+②得：2A=,174854403- ∴A=178858403-故178858403:322-+的值为βα 例4 (2003年山东省初中数学竞赛试题)设方程20022x 2-2003·2001x-1=0的较大根是r ，方程2001x 2-2002x+1=0的较小根是s ，求r-s 的值.解 因20022-2003·2001-1=0，故1是方程20022x 2-2003·2001x-1=0的根，由根与系数的关系知两根之积为负，所以1是方程20022x 2-2003·2001x-1=0的较大根,r=1.因2001x 2-2002x+1=0, 故1也是方程2001x 2-2002x+1=0的根，由根与系数的关系知两根之积为12001，所以12001是方程的较小根s=12001.故r-s=1-12001=20002001. 例5 (2004年全国初中数学竞赛预选赛湖北赛区试题)已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某项系数的符号，误求得两根为-1和4，求23b ca +的值.解 甲看错了二次项系数，设他所解的方程为a′x 2+bx+c=0，于是有：24'b a +=- 24'ca ⨯=，故34bc-= ① 设乙看错了一次项系数的符号，则他所解的方程为ax 2-bx+c=0.于是-1+4=ba. ②由①，②知，△=b 2-4ac=b 2-4·3b ·(43-b)= 259b 2≥0，与题设矛盾.故乙看错的只是常数项，即他所解的方程为ax 2+bx-c=0，则-1+4=ba- ③由①，③可知：232426b c b b ba a a+-==-= 例6 (2003年全国初中数学竞赛预选赛黑龙江预赛试题)设a 2+2a-1=0，b 4-2b 2-1=0,且1-ab 2≠0，求22200421()ab b a a+-+的值。
初中数学韦达定理
初中数学韦达定理韦达定理的介绍：中文名：韦达定理外文名：Vieta theorem提出者：弗朗索瓦·韦达提出时间：16世纪应用学科：数学代数适用范围：方程论初等数学解析几何三角韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理的公式：设一元二次方程中，两根x₁、x₂有如下关系：韦达定理的证明方法：由一元二次方程求根公式知：则有：韦达定理的应用方法：韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，中考(竞赛)试题涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽，在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长，下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用。
一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB 边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．求证：(1)c＋d＝2bcosA；(2)c·d＝b2－a2．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．∴c2－2bccosA＋b2－a2＝0，d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b 可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2 mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．韦达定理的补充资料：韦达定理的发展简史法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。
韦达定理详解
韦达定理详解韦达定理是解决几何中求未知量问题的重要工具之一。
它可以用来求平面上的三角形中各边平方和、角度数等问题。
本文将详细介绍韦达定理的原理、使用方法以及实例计算。
一、韦达定理的原理韦达定理是指：对于一个三角形ABC，它的三个内角所对应的边分别为a、b、c，则有以下公式成立：a²=b²+c²-2bc*cosA其中，cosA、cosB和cosC是表示对应角度余弦值的函数。
该公式由法国数学家韦达在1821年提出。
二、韦达定理的使用方法使用韦达定理时，首先需要明确已知的量和未知的量。
根据已知与未知，可以选择使用上述公式中的哪个。
一般情况下，需要根据题目条件，先确定一个角对应的两条边，再使用韦达公式求出未知边或角。
三、韦达定理的实例计算下面通过几个实例来演示韦达定理的计算方法。
1.已知三角形的三边长分别为3、4、5，求其内角度数。
解：将a=3，b=4，c=5带入公式，得到9=41-40×cosA所以∠A=cos⁻¹0.8≈36.87°，同理可得∠B≈53.13°，∠C=90°。
2.已知一个直角三角形，其中直角边为5，斜边为13，求另一条直角边长。
解：由题目条件可知a=5，c=13。
将这两个数带入公式：5²=b²+13²-2×b×13×cos90°25=b²+169b²=144∴b=12所以，另外一条直角边长为12。
解：将b=12，c=16，角A=120°代入公式：a²=144+256-384×(-0.5)a²=400∴a=20所以，第三边的长度为20。
总之，韦达定理是解决几何问题的常见方法。
通过运用韦达公式，可以求出三角形中的各边长度、角度大小等未知量，帮助我们更好地理解和掌握几何知识。
韦达定理及其应用
韦达定理及其应用
韦达定理是一种基本的数学定理，它描述了一个三角形中两条边的长度与第三边的夹
角之间的关系。
它可以用来求解一个三角形的性质，甚至解决更复杂的几何问题。
韦达定理由法国数学家查尔斯·韦达提出，于1806年于科学期刊《乌拉法叶斯特》
上发表。
它首先被用来证明三角形的直角性质，然后被扩展用来证明更多其它的相关性质。
韦达定理可以用下面的公式表示：
a^2+b^2=c^2-2*c*a*cos(B)
其中a,b,c分别表示三角形ABC的3条边的长度，B表示边AC与BC之间的夹角。
由于韦达定理可以用来求解三角形的特性，因此它可以用来解决几何问题。
例如，如
果我们有一个三角形ABC，我们想求解它的外角A、边BC的长度和边AB的长度，则可以
用韦达定理：
假设a=3,c=4,B°=30°，根据韦达定理，
即 b^2= 16-24*cos(30°)=16-24*3^(1/2)/2
所以b=√5
另外，由余弦定理可以求出A°=60°
因此，三角形ABC的三角形性质为a=3,b=√5,c=4,A=60°,B=30°。
此外，韦达定理还有许多额外的应用。
例如，它可以用来求解由全等三角形的边来确
定的三角形的外角的性质，用来解决椭圆的几何上的直角形之间的关系等等。
它的应用非常广泛，几乎每一门数学和几何课程中都会涉及到它。
韦达定理不但可以
帮助我们在解决几何问题中取得关键性的进展，而且还多次提供了无穷多有用的解法。
初中数学的韦达定理
初中数学的韦达定理一、韦达定理的内容1. 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，设它的两个根为x_{1}，x_{2}。
- 韦达定理指出：x_{1}+x_{2}=-(b)/(a)，x_{1}x_{2}=(c)/(a)。
二、韦达定理的推导1. 由一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，设方程的两个根为x_{1}=frac{-b + √(b^2)-4ac}{2a}，x_{2}=frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}。
2. 计算x_{1}+x_{2}：- x_{1}+x_{2}=frac{-b + √(b^2)-4ac}{2a}+frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}- 通分得到x_{1}+x_{2}=frac{-b+√(b^2)-4ac-b - √(b^2)-4ac}{2a}- 化简后x_{1}+x_{2}=-(b)/(a)。
3. 计算x_{1}x_{2}：- x_{1}x_{2}=frac{-b + √(b^2)-4ac}{2a}×frac{-b-√(b^2)-4ac}{2a}- 根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，这里a=-b，b=√(b^2)-4ac，则x_{1}x_{2}=frac{(-b)^2-(√(b^2)-4ac)^2}{4a^2}- 进一步化简x_{1}x_{2}=frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=(4ac)/(4a^2)=(c)/(a)。
三、韦达定理的应用1. 已知方程的一个根，求另一个根- 例如，已知方程x^2-3x - 4 = 0的一个根为x_{1}=4，设另一个根为x_{2}。
- 对于方程x^2-3x - 4 = 0，这里a = 1，b=-3，c=-4。
- 根据韦达定理x_{1}+x_{2}=-(b)/(a)=3，因为x_{1}=4，所以x_{2}=3 - 4=-1。
初中数学韦达定理
初中数学韦达定理韦达定理是初中数学中的重要内容之一，它被广泛应用于代数求解和几何问题中。
韦达定理又称为韦达三角法则，它的基本思想是通过构造一个带有重心的三角形，利用各边与重心的连线之间的比例关系来求解未知量。
本文将详细介绍韦达定理的定义、原理以及应用实例。
一、定义和原理韦达定理是指在一个三角形中，确定三个顶点所对应边的长度和重心之间的关系。
其中，重心是指三角形三条中线的交点，它将全部三条中线按照长度等分。
韦达定理表示如下：设在一个三角形ABC中，AD为三角形的一条中线，将其分为两条相等的线段，由D可以构造三条平行于三边的线段BE、CF和AG，那么有以下关系成立：AB + AC = 2ADBC + BA = 2BECA + CB = 2CF二、韦达定理的证明我们来证明一下韦达定理。
设三角形ABC的重心为G，连接GD，并且延长至与AB相交于E，与AC相交于F。
由于G是三条中线的交点，所以AG=2GD。
同样的，通过类似的角度对应关系可以得到BE=2AB、CF=2AC。
根据平行线原理，我们知道三角形AGB与三角形GCF是相似的，所以可以写出一个比例等式：AB/AG = GC/CF将AG和CF的值代入后，我们得到：AB/2GD = GC/2AC通过移项可以得到：AC/GD = GC/AB同理，可以得到：AB/GD = GB/AC将这两个等式相加，我们得到：AC/GD + AB/GD = GC/AB + GB/AC化简后得到：(AB + AC)/GD = (GC + GB)/AB再次移项可得：AB + AC = 2GD同样的方法可以得到BC + AB = 2BE和CA + CB = 2CF，证明韦达定理成立。
三、韦达定理的应用实例韦达定理在代数求解和几何问题中具有广泛的应用。
下面给出几个具体的应用实例。
1. 已知三边长求重心若已知一个三角形的三条边的长度为a、b、c，可以利用韦达定理求解重心的坐标。
设重心的坐标为(x, y)，我们可以得到以下关系：x = (ax1 + bx2 + cx3)/(a + b + c)y = (ay1 + by2 + cy3)/(a + b + c)其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是三个顶点的坐标。
韦达定理所有公式
韦达定理所有公式韦达定理是解决三角形中任意三边与其对应的角之间的关系的重要定理。
在本文档中，我们将讨论韦达定理的各种公式及其应用。
一、韦达定理的基本形式韦达定理的一个基本形式是：在一个三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下公式成立：1. a² = b² + c² - 2bc·cosA2. b² = a² + c² - 2ac·cosB3. c² = a² + b² - 2ab·cosC这三个公式是韦达定理的基本形式，可以用来计算三角形中的任意一边的长度。
二、角的余弦定理韦达定理还可以通过角的余弦定理进行推导。
角的余弦定理是说，在一个三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下公式成立：1. cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)2. cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)3. cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)将上述公式代入韦达定理的基本形式，可以得到：1. a² = b² + c² - 2bc·[(b² + c² - a²) / (2bc)]2. b² = a² + c² - 2ac·[(a² + c² - b²) / (2ac)]3. c² = a² + b² - 2ab·[(a² + b² - c²) / (2ab)]经过简化，得到了韦达定理的基本形式。
三、韦达定理的特殊情况1. 直角三角形在一个直角三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，其中角C为直角，则有以下公式成立：1. a² = b² + c²2. b² = a² + c²3. c² = a² + b²这是因为在直角三角形中，余弦函数的值为0，所以角的余弦定理可以简化为上述形式。
韦达定理复习课件
选择题
A. -4 B. -2
C. 0
选择题
D. 2
答案4：D. 2
解答题
总结词
考察韦达定理的综合应用
题目5
已知一元二次方程 x^2 - (k + 1)x + k = 0 的两个根为 x1 和 x2， 且 x1 + x2 = 3，求 k 的值。
答案5
解得 k = 2 或 k = -4。
THANKS
02
韦达定理的内容
韦达定理的公式
韦达定理公式
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，其解的公式为 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)。
解释
该公式用于求解一元二次方程的 根，其中 a、b、c 是方程的系数 ，b^2 - 4ac 是判别式。
。
解释
通过一系列代数变换， 将方程的解表示为根号 下的形式，从而得出解
的公式。
韦达定理的特例
01
02
03
04
特例1
当 b = 0，c = 0 时，方程变 为 ax^2 = 0，其解为 x = 0
。
特例2
当 a = 0 时，方程退化为线 性方程，不适用韦达定理。
特例3
当 b = 0，且 a 与 c 不相等 时，方程有两个相等的实根，
分式方程的实例
总结词
分式方程的解与系数的关系
详细描述
对于分式方程 $frac{x^2}{a} + frac{y^2}{b} = 1$，其解为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$，则有 $x_1 cdot x_2 = pm frac{a}{sqrt{a^2 - b}}$ 和 $y_1 cdot y_2 = pm frac{b}{sqrt{a^2 - b}}$。
初中数学韦达定理
初中数学韦达定理韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它主要用于解二次方程。
通过韦达定理，我们可以快速地求得二次方程的根，并且可以判断根的性质。
韦达定理的表述如下：对于二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a≠0，它的两个根x1和x2的关系为x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。
下面我们通过一个具体的例子来说明韦达定理的应用。
假设有一个二次方程2x^2+3x-2=0，我们想要求解它的根。
首先，我们可以看出a=2，b=3，c=-2。
根据韦达定理，我们可以得到x1+x2=-3/2，x1*x2=-1。
接下来，我们可以利用韦达定理的结果来求解这个二次方程的根。
首先，我们可以通过求和的方式得到x1+x2的值，即-3/2。
然后，我们可以通过求积的方式得到x1*x2的值，即-1。
接下来，我们需要找出两个数，它们的和为-3/2，积为-1。
通过观察，我们可以发现这两个数分别为2和-1/2。
因此，这个二次方程的解为x=2和x=-1/2。
通过这个例子，我们可以看出韦达定理的实际应用价值。
通过韦达定理，我们可以简化求解二次方程的过程，只需要求出x1+x2和x1*x2的值，就可以得到二次方程的解。
这大大提高了我们解题的效率。
除了求解二次方程的根，韦达定理还可以帮助我们判断二次方程的根的性质。
根据韦达定理的结果，如果x1+x2>0且x1*x2>0，那么二次方程的两个根都是正数；如果x1+x2<0且x1*x2>0，那么二次方程的两个根一个是正数，一个是负数；如果x1+x2>0且x1*x2<0，那么二次方程的两个根一个是负数，一个是正数；如果x1+x2<0且x1*x2<0，那么二次方程的两个根都是负数。
这样，我们可以根据韦达定理的结果来判断二次方程的根的性质，从而更好地理解和应用二次方程。
韦达定理是初中数学中的一个基础定理，它在解二次方程和判断根的性质方面起着重要的作用。
数学八下一元二次方程韦达定理课程
数学八下一元二次方程韦达定理课程韦达定理是解一元二次方程的重要工具。
一元二次方程通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中a≠0。
韦达定理给出了一元二次方程解的特性，它的表述为：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，设其两个根为x₁和x₂，则有以下等式成立：x₁ + x₂ = -b / a （①）x₁x₂ = c / a （②）韦达定理是通过将方程两个根的和与积与方程系数之间的关系来推导得出的。
根据韦达定理，我们可以直接通过方程的系数求出方程的根，而不需要进行因式分解或使用求根公式。
下面我们通过一个具体的例子来理解韦达定理的应用。
假设我们有一个一元二次方程x² - 5x + 6 = 0。
首先，我们可以看出方程的系数分别为a = 1，b = -5，c = 6。
根据韦达定理，我们可以计算出方程的两个根的和和积。
根据公式（①）：x₁ + x₂ = -b / a = -(-5) / 1 = 5。
根据公式（②）：x₁x₂ = c / a = 6 / 1 = 6。
得到方程的两个根的和为5，积为6。
现在我们可以利用以上结果解一元二次方程x² - 5x + 6 = 0。
我们需要找到两个数，使得它们的和为5，积为6。
通过观察我们可以发现，这两个数分别为2和3。
因为2 + 3 = 5，2 × 3 = 6。
所以，方程的两个根分别为2和3。
因此，方程x² - 5x + 6 = 0的解为x₁ = 2和x₂ = 3。
这个例子展示了如何利用韦达定理求解一元二次方程。
通过计算方程系数的和与积，我们可以直接得到方程的根。
韦达定理不仅可以解一元二次方程，还可以应用于其他方程问题。
例如，我们可以利用韦达定理来解决一些和根相关的问题，比如找出满足一定条件的根的值。
总结一下，韦达定理是解一元二次方程的一种有效方法，通过计算方程系数的和与积，我们可以直接得到方程的根。
韦达定理优秀课件
那么
x1x2 -b
x1x2 c
4
韦达定理常见题型总结：
1.不解方程，进行变形求值
例1：已知x2-2x-1=0的两根是x1 , x2 ，求
(1)
11 x1 x2
(2) x12+x22 Nhomakorabea(3)x2 x1 x1 x2
(4)| x1-x2 |
本题不能求根公式直接计算，应该应用两根之 和与两根之积进行变形转换。
5
2.利用两根关系，确定方程中未知系数的值
例2：已知方程x2-(k+1) x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k， 使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出 满足条件的k，若不存在，请说明理由。
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3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程
例4：求一元二次方程x2+3x - 2=0的两根之和 与两根之积 为根的一元二次方程。
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 ； 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？
11 （2）以 x 1 , x 2 为两根的方程是？
7
4.已知两数的和与积，求这两个数
例6：解方程： (xx211)(xx211)2
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1 ,
x2，那么
x1 x2
b a
,
c
x1x2
. a
注：能用韦达定理的条件为△≥0即 b24ac0
1
韦达定理的证明：
MSDC.初中数学.根的判别式与韦达定理.第03讲(A级).教师版
知识点基本要求略高要求 较高要求一元二次方程 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题板块一 根的判别式☞定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±． 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．☞判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．中考要求例题精讲根的判别式与韦达定理③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．☞根的判别式的应用：☞⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；【例1】 不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠） 【解析】略【答案】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=> ∴方程有两个不相等的实数根． ⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零 ∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=∵无论b 取任何数，2b 均为非负数 ∴0∆≥，故方程有两个实数根【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【解析】由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根． 【答案】A【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：⑴22340x x +-=；⑵23226x x +=2321x +；⑷22(21)220m x mx +-+=；⑸2210x ax a ++-=23220x x -+=；⑺4(1)30x x +-=；⑻2(1)(2)x x m --=【解析】略【答案】⑴两个不等的实数根；⑵两个相等的实数根；⑶无实数根；⑷无实数根；⑸两个不等的实数根；⑹无实数根；⑺两个不相等的实数根；⑻两个不相等的实数根【例2】 已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++= 的根的情况（ ）． A ．有2个负根 B ．有2个正根 C ．有2个异号的实根 D ．无实根【解析】方程 2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为：2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca =---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+----222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．【答案】D☞⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；【例3】 m 取什么值时，关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根 【解析】略【答案】1m =±【巩固】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >【解析】由题可得363600k k ∆=->⎧⎨≠⎩所以 10k k <≠且【答案】C【巩固】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0 【答案】9k <且0k ≠【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 【解析】注意二次项系数不为0【答案】23m >且1m ≠【巩固】若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ++-=有实数根，则k 的最小整数值为 【解析】注意题目要求以及二次项系数不为0的条件 【答案】2k =-【巩固】已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围． 【解析】注意分两种情况讨论：若0m =，则原方程可化为101x x +=⇒=-满足题意；若0m ≠，则由题意可知221(21)404104m m m m ∆=+-≥⇒+≥⇒≥-．综上可知，14m ≥-【答案】14m ≥-【例4】 关于x 的一元二次方程2(12)2110k x k x --+-=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 【解析】由题意，得4(1)4(12)010120k k k k ++->⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩解得12k -≤<且12k ≠【答案】12k -≤<且12k ≠【巩固】关于x 的方程2210x k x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．【解析】2(2)400k k ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得1k >【答案】1k >【巩固】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：2|1|44m m m --+【解析】∵0>△，∴2m >∴2|1|44|1||2|23m m m m m m -+-+-+-=-【答案】23m -【巩固】已知关于x 的一元二次方程210x mx m --=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【解析】由题意可知，原方程的判别式21(1)41303m m m m ∆=--+=+>⇒>-．又101m m -≥⇒≤，故113m -<≤．【答案】113m -<≤【巩固】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根． 【解析】需要分两种情况来讨论：⑴ 当10k -=时，原方程是一元一次方程，有一个实数根45x =；⑵ 当10k -≠时，方程是一元二次方程，故0∆≥，解得214k ≥-且1k ≠，所以当214k ≥-且1k ≠时方程有两个实数根．综上所述，当214k ≥-时，方程有实数根．【答案】214k ≥-【例5】 关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是 ． 【解析】由一元二次方程根的情况可知240b ac -≥，即()()284660a --⨯⨯-≥，解得263a ≤，故max 8a =． 【答案】8【巩固】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【解析】0∆≥，即()()22414450a a a +-+-≥，解不等式得3a ≤，即123a =，，． 【答案】1，2，3【例6】 已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【解析】∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根．∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+=∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -=∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．【答案】1-【巩固】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【解析】要使关于x 的一元二次方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，则必有0∆≥，即()()22241434420a a ab b +-+++≥，得()()22210a b a ++-≤． 又因为()()22210a b a ++-≥，所以()()22210a b a ++-=，得1a =，12b =-． 【答案】1a =，12b =-【例7】 已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【解析】22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根， ∴240b ac ->，∴220b ac ->，∴422224(2)(2)0b a c b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．【答案】C【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【解析】∵方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，∴20m +=，得2m =-．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=，即为方程2440x x -+-=，∴244(1)(4)0∆=-⨯-⨯-=． ∴方程2(1)220m x mx m +-+-=有2个相等的实数根．故选C ．特别注意方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根．若20m +≠，则方程要么有2个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m +=，且10m +≠．【答案】C☞⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；【例8】 对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根． 【解析】略【答案】∵210m +≠，故方程为一元二次方程．()()()2222422414442016m m m m m m ∆=--++=---()424241616444m m m m =---=-++()222m =-+∵220m +≠，∴0∆<，故方程无实根．【巩固】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根． 【解析】略【答案】∵2(2)10x m x m -+++=是关于x 的一元二次方程∴[]22(2)4(1)m m m ∆=-+-+= ∵20m ≥∴原方程有两个实数根．【巩固】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【解析】略【答案】2(2)4b ac ∆=-，因2b pc ra =+，则222()4()()2(2)pc m ac pc ra ac pr ∆=+-=++-．又2pr >，所以当0ac ≥时，0∆≥；当0ac <时，40ac ->，2()40pc ra ac ∆=+->．因此，一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【巩固】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根【解析】注意分类讨论.【答案】⑴若0m =，则方程为nx n =-，当0n ≠时，有实数根1x =-；当0n =时，方程的根为任意实数⑵当0m ≠时，原方程为一元二次方程 22()4()0m n mn m n ∆=+-=-≥ ∴方程必有实数根综合⑴⑵可知，原结论成立【巩固】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根． 【解析】略【答案】当0m =时，()22250mx m x m -+++=可化为450x -+=，此时方程有根，故0m ≠ 故214(2)4(5)0404m m m m m ∆=+-+<⇒-<⇒>． 方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠的判别式为： 224(2)4(5)4(94)0m m m m ∆=+--=+>故方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠有两个实数根．板块二 韦达定理☞ 如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根， 则12x x p +=-，12x x q ⋅=．☞利用韦达定理求代数式的值【例9】 不解方程22(34)30x x +-=，求两根之和与两根之积 【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥ 【答案】令此方程的两个实数根为1x 、2x由韦达定理得123443x x --+==，12233x x ⋅==【巩固】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -【解析】不解方程，即利用韦达定理将12x x +、12x x 的整体构造出来【答案】由韦达定理得1274x x +=，1234x x ⋅=-⑴12121237(3)(3)3()939344x x x x x x --=-++=--⨯+=；⑵221221112121212121212(1)(1)()2()10111(1)(1)132x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-+++===+++++++ ⑶2221212127397()()4()4()4416x x x x x x -=+-=-⨯-=，∴121974x x -=【巩固】已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x⑴12x x += ；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=【解析】略【答案】⑴2-；⑵32-；⑶43；⑷7【巩固】已知α、β是方程2520x x ++=βααβ的值． 【解析】注意α，β均为负数，很多学生求出的结果均为负值 【答案】由韦达定理可得，5αβ+=-，2αβ=∴22222()25()22a a βαββαβαβαβαβαβαβ+++=++===522βααβ☞利用韦达定理求参数的值【例10】 若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q += 【解析】略 【答案】7-【巩固】若方程210x px ++=的一个根为12，则它的另一根等于 ，p 等于 【解析】部分学生喜欢将12x =p 的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。
韦达定理文档
韦达定理介绍韦达定理（Vieta’s Theorem）是代数学中一个重要的定理，由法国数学家弗朗索瓦·维耶特（François Viète）于16世纪提出。
该定理描述了一元多项式的根与系数之间的关系，是多项式理论的基础之一。
定理内容韦达定理可以简洁地表达为：对于一元多项式$$ f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \\ldots + a_1x + a_0 $$如果 $r_1, r_2, \\ldots, r_n$ 是该多项式的n个根，即满足f(r i)=0，则有以下关系成立：1.和与差的关系：$$ r_1 + r_2 + \\ldots + r_n = -\\frac{a_{n-1}}{a_n} $$$$ r_1r_2 + r_1r_3 + \\ldots + r_{n-1}r_n = \\frac{a_{n-2}}{a_n} $$$$ r_1r_2r_3 + r_1r_2r_4 + \\ldots + r_{n-2}r_{n-1}r_n = -\\frac{a_{n-3}}{a_n} $$ 以此类推，直到第n个根的系数为−a0/a n。
2.一般形式：$$ r_1^{k_1}r_2^{k_2}\\ldots r_n^{k_n} + r_1^{k_1}r_2^{k_2}\\ldots r_{n-1}^{k_{n-1}}r_n^{k_n-1} + \\ldots + r_{n-1}^{k_{n-1}}r_n^{k_n} + r_n^{k_n} = (-1)^{k-n}\\frac{a_{n-k}}{a_n} $$其中k i表示常数k i的幂，而 $k = k_1 + k_2 + \\ldots + k_n$。
证明要理解韦达定理的证明，我们需要先了解复数域和多项式的根与系数之间的关系。
首先，我们知道复数域是包含实数域的，并且复数具有形如a+bi的表示方式，其中a和b是实数，而i是虚数单位。
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第3讲 韦达定理没有不能解决的问题. ——韦达知识方法扫描韦达定理，即一元二次方程的根与系数的关系，是方程理论的一个重要的内容。
运用这个定理，我们可以不解方程，就可以确定根的符号、可以求出关于两根的对称式的值，可以构造以某两个数为根的一元二次方程等等在运用韦达定理解题时，首先要注意运用判别式判断这个方程有没有实数根。
必要时要将韦达定理与判别式综合运用。
要掌握将一个关于两根的对称式如x 1n +x 2n 转化为两个基本对称式x 1+x 2与x 1x 2 的方法。
在求关于两根的非对称式的值时，除了运用根与系数的关系得关系外，还要注意运用根的定义来解题。
经典例题解析例1（1999年全国初中数学竞赛试题）设实数s 、t 分别满足19s 2+99s+1=0，t 2+99t+19=0, 并且st≠1。
求41st s t++的值 解 因为s≠0，所以，第一个等式可以变形为 019)1(99)1(2=++ss又因为st≠1, 所以s1，t 是一元二次方程x 2+99x+19=0的两个不同的实根，于是，有,191,991=∙-=+t st s 即st+1=-99s, t=19s. ∴51949914-=+-=++sss t s st . 例2（浙江省第二届初中数学竞赛题）设方程x 2+px+q=0的两实数根为a 、b ，且有I 1=a+b, I 2=a 2+b 2, …I n =a n +b n , 求当n≥3时，I n +pI n-1+qI n-2的值。
分析 直接求解犹如“海底捞针”，若利用方程根的意义求解，不仅能以简驭繁，且有出奇制胜之妙，我们知道x=x 0是方程ax 2+bx+c=0的根2000ax bx c ⇔++=，利用它显得思路清晰，运算简捷。
解 I n +pI n-1+qI n-2=(a n +b n )+p(a n-1+b n-1)+q(a n-2+b n-2) (n≥3) =(a n +pa n-1+qa n-2)+(b n +pb n-1+qb n-2) =(a 2+pa+q) a n-2 +(b 2+pb+q)b n-2 =0+0=0. 例3（1995年第八届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题）已知α、β是方程x 2-7x+8=0的两根，且α＞β，不解方程利用根与系数的关系，求232βα+的值分析 待求式是已知一元二次方程根的非对称式，我们可以设法构造一个待求式相应的代数式一起参与运算，从而使问题迅速获得解决解 设22223,3,A B βααβ+=+=∵α、β是方程x 2-7x+8=0的两根，且α＞β， ∴α+β=7，αβ=8，β-α=-174)(2-=-+αββα ∴A+B=222233βααβ+++=αβαβ)(2++3[（β+α）2-2αβ]=4403① A-B=223232αββα--+=17485))((3)(2-=-++-αβαβαβαβ ② ①+②得：2A=,174854403- ∴A=178858403-故178858403:322-+的值为βα 例4 (2003年山东省初中数学竞赛试题)设方程20022x 2-2003·2001x-1=0的较大根是r ，方程2001x 2-2002x+1=0的较小根是s ，求r-s 的值.解 因20022-2003·2001-1=0，故1是方程20022x 2-2003·2001x-1=0的根，由根与系数的关系知两根之积为负，所以1是方程20022x 2-2003·2001x-1=0的较大根,r=1.因2001x 2-2002x+1=0, 故1也是方程2001x 2-2002x+1=0的根，由根与系数的关系知两根之积为12001，所以12001是方程的较小根s=12001.故r-s=1-12001=20002001. 例5 (2004年全国初中数学竞赛预选赛湖北赛区试题)已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某项系数的符号，误求得两根为-1和4，求23b ca +的值.解 甲看错了二次项系数，设他所解的方程为a′x 2+bx+c=0，于是有：24'b a +=- 24'ca ⨯=，故34bc-= ① 设乙看错了一次项系数的符号，则他所解的方程为ax 2-bx+c=0.于是-1+4=ba. ②由①，②知，△=b 2-4ac=b 2-4·3b ·(43-b)= 259b 2≥0，与题设矛盾.故乙看错的只是常数项，即他所解的方程为ax 2+bx-c=0，则-1+4=ba- ③由①，③可知：232426b c b b ba a a+-==-= 例6 (2003年全国初中数学竞赛预选赛黑龙江预赛试题)设a 2+2a-1=0，b 4-2b 2-1=0,且1-ab 2≠0，求22200421()ab b a a+-+的值。
解 将a 2+2a-1=0，b 4-2b 2-1=0分别整理得212()10a a--=，(b 2)2-2b 2-1=0，于是可以得到以1a , b 2(1a ≠b 2)为两根的一元二次方程：x 2-2x-1=0。
所以1a +b 2=2, 1a •b 2=-1.故 22200421()ab b a a +-+=2220041(2)b b a a++-=(2-1-2)2004=1 例7 (1993年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题)设方程x 2+px+q=0的两根分别比方程x 2+2qx+21p=0的两根大1，且方程x 2+px+q=0的两根之差与方程x 2+2qx+21p=0两根之差相等，求这两个方程的解。
.解 设方程x 2+2qx+21p=0两根为α，β，则方程x 2+px+q=0的两根为α+1, β+1, 由韦达定理，得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-=+++=-=+q ppq )1)(1()1()1(212βαβααββα ②×2+③, 得： 2αβ+α+β+2=0 ⑤①+④×2, 得： 2αβ+3（α+β）+2=0 ⑥ ⑤×3-⑥，得 αβ=-1 ⑥-⑤，得： α+β=0故α=1，β=-1，α+1 =2，β+1=0。
∴x 2+2qx+21p=0的解为1，-1， x 2+px+q=0的解为2，0例8 （2003年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知实数a ，b ，c 满足：a + b + c =2，abc =4.（1）求a ，b ，c 中的最大者的最小值； （2）求c b a ++的最小值.① ② ④③解（1）不妨设a 是a ，b ，c 中的最大者，即a ≥b ，a ≥c ，由题设知a >0，且 2b c a +=-， a bc 4=.于是b ，c 是一元二次方程04)2(2=+--ax a x 的两实根，aa 44)2(2⨯--=∆≥0，即 164423-+-a a a ≥0，)4)(4(2-+a a ≥0．所以a ≥4．又当a =4，b =c =-1时，满足题意. 故a ，b ，c 中最大者的最小值为4. （2）因为abc >0，所以a ，b ，c 为全大于0或一正二负.① 若a ，b ，c 均大于0，则由（1）知，a ，b ，c 中的最大者不小于4，这与a +b +c =2矛盾.② 若a ，b ，c 为一正二负，设a >0，b <0，c <0，则22)2(-=--=--=++a a a c b a c b a ，由（1）知a ≥4，故2a -2≥6，当a =4，b =c =-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立.故c b a ++的最小值为6.同步训练一．选择题1．（2001年重庆市初中数学竞赛试题)设方程2x 2+ax-2=0的两根之差的绝对值为25，则a 等于(A) 3 (B) -5 (C) ±3 (D) ±5 2．（第七届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）若m 、n 是二次方程x 2+1994x+7=0 的两根，那么，（m 2+1993m+6）(n 2+1995n+8) 等于(A) 2000 (B) 1994 (C) 1986 (D) 73．（2000年江苏省初中数学竞赛试题）已知3m 2 –2m-5=0, 5n 2+2n-3=0, 其中m 、n 为实数，则|m-n1|=(A) 0 (B)38 (C) 35 (D) 0或384．（1997年黄冈市初中数学竞赛试题）若实数a,b,c 满足a+b+c=0, abc=2，c>0, 则( )（A ） ab<0 （B ） |a|+|b|≥2 （C ）|a|+|b|≥4 （D ）0<|a|+|b|≤1 5．（2004年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b ，则baaa b b+的值为（ ）. （A ）23 （B ）23- （C ）2- （D ）13- 二．填空题6．(2004年全国初中数学竞赛预选赛湖北赛区试题)已知实数x 1，x 2满足x 12-6x 1+2=0和x 22-6x 2+2=0，求1221x xx x +的值为______.7．(2002年全国初中数学竞赛预选赛辽宁赛区试题)已知方程m 2x 2-(4m+3)x+4=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，设S=1211x x +，则S 的取值范围是______8．（1998年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题）若x 2-2x+023=的两个根为α、β，它也是方程x 4+px 2+q=0的两个根，则p= .9．（1999年全国初中数学通讯赛试题）设a 、b 是整数，方程x 2+ax+b=0有一个根是347-, 则a+b= 10．（1996年四川省初中数学联赛题）若方程x 2-3x+1=0的两根α、β也是方程x 4-px 2+q=0的根，则p+q= 。
三． 解答题11．(2004年河北省初中数学创新与知识竞赛预赛试题)已知关于x 的一元二次方程x 2-2x-a 2-a=0(a>0)。
(1) 证明这个方程的一个根比2大,另一个根比2小;(2) 若对于a =1,2,3,…2004,相应的一元二次方程的两个根分别为11,βα, 22,βα,33,βα…,20042004,βα,.求1111βα++2211βα++3311βα++…+2004200411βα+的值. 12．（1995年昆明市初中数学竞赛试题）方程(1995x)2-1994×1996x-1=0的较大根为m, x 2+1994x-1995=0较小根为n, 求m-n 的值。