重庆市第一中学2020届高三下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

重庆一中高2020级高三下学期期中考试理科数学试题卷一､选择题：(本大题 12个小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个选项是正确的).1. 已知集合{}0123A =，，，，2{|230},B x x x =--≥则()R A B =（ ）A. (1,3)-B. (1,3]-C. (0,3)D. (0,3] 【答案】B【解析】【分析】 由集合B 中的不等式确定集合B ，再求出B R ，最后运用集合的并集计算求出()R A B 即可.【详解】由2230x x --≥，解得1x ≤-，或3x ≥，所以集合{|1,B x x =≤-或}3x ≥，所以{}|13R B x x =-<<， 则{}()|13R A B x x =-<≤.故选：B【点睛】本题主要考查补集和并集的运算，属于基础题.2. 已知复数z 满足i z z a i ⋅=+⋅(i 为虚数单位)，且2z =a 的值为（ ） A. 2B. 1 2 D. 12【答案】A【解析】【分析】由已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再利用复数求模公式计算即可得到答案.【详解】由()0i z z a i a ⋅=+⋅>， 得()()()111122a i i a i a a z i i i i ⋅--⋅===--+-+--， 又2z所以22222a a⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a=.故选：A【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算和复数模的求法，属于基础题.3. 已知某超市2019年中的12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，则下列说法中，错误的是（）A. 该超市在2019年的12个月中，7月份的收益最高；B. 该超市在2019年的12个月中，4月份的收益最低；C. 该超市在2019年7月至12月的总收益比2109年1月至6月的总收益增长了90万元；D. 该超市在2019年1月至6月的总收益低于2109年7月至12月的总收益.【答案】C【解析】【分析】根据折线图即可判定选项A和B正确，再计算出7月至12月的总收益和1月至6月的总收益，即可得到选项C错误，选项D正确.【详解】对选项A，由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份收入减去支出的值最大，所以收益最高，故正确；对选项B，由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份收入减去支出的值最小，所以收益最低，故正确；对选项C，由折线图可知，2019年7月至12月的总收益为604030305030240+++++=，2019年1月至6月总收益为203020103030140+++++=，所以7月至12月的总收益比1月至6月的总收益增长了100万元，故错误；对选项D，由选项C知，1月至6月的总收益低于7月至12月的总收益，故正确.故选：C【点睛】本题主要考查折线图的应用，属于基础题.4. 冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i=（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】根据循环结构程序框架图依次进行计算，即可得到答案.【详解】由题意，第一次循环，12S Z∉，35116S=⨯+=，011i=+=，1S≠；第二次循环，12S Z∈，11682S=⨯=，112i=+=，1S≠；第三次循环，12S Z∈，1842S=⨯=，213i=+=，1S≠；第四次循环，12S Z ∈，1422S =⨯=，314i =+=，1S ≠； 第五次循环，12S Z ∈，1212S =⨯=，415i =+=，1S =； 此时输出5i =.故选：B【点睛】本题考查循环结构程序框架图的应用，属于基础题.5. 在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,AD C D 的中点，O 为正方形ABCD 的中心，则（ ）A. 直线1,EF OD 是异面直线，且1EF OD =B. 直线11,OD B B 是异面直线且11OD B B ≠C. 直线1,EF OD 是相交直线，且1EF OD =D. 直线11,OD B B 是相交直线且11OD B B =【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图像，再判断EF 和1OD 的位置关系和长度，1OD 和1B B 的位置关系和长度即可得到答案.【详解】根据题意画出图像如图所示，由图像易知，1OD 和1B B 在矩形11BB D D 上，1OD 和1B B 是相交直线，且11OD B B ≠，故选项B 、D 错误；O 为正方形ABCD 的中心，E 为AD 的中点，所以//OE CD ，且12OE CD =， 又点F 为11C D 的中点，所以1//D F CD ，且112D F CD =， 所以1//OE DF ，且1OE D F =，四边形1OED F 是平行四边形，则EF 和1OD 是1OED F 的两条对角线，所以EF 和1OD 是相交直线，且1EF OD =；故选项A 错误，C 正确.故选：C【点睛】本题主要考查空间两直线的位置关系，考查学生数形结合的能力，属于基础题.6. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，则5S =（ ） A. 1123 B. 112 C. 12127 D. 121【答案】D【解析】【分析】利用2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论.【详解】∵数列{}n a 是等比数列，253433a a a a a ==，∴3413a a q ==．∵4a 与79a 的等差中项为2，∴()34749194a a a q +=+=，解得13q =，181a =．∴55181[1()]3121113S ⨯-==-． 故选：D ．【点睛】本题主要考查等差中项及等比数列前n 项和，属于基础题.7. 空间直角坐标系中的点(,,)P x y z 满足,,x y z {2,4,6}∈，则恰有两个坐标相同的点P 有（ ）A. 18个B. 12个C. 9个D. 6个【答案】A【解析】【分析】根据题意，当x 、y 、z 有两个相同时，利用排列组合计算即可得到答案.【详解】根据题意，当x 、y 、z 中有两个相同时，共有11132318C C A =个；故选：A【点睛】本题主要考查排列组合的应用，属于基础题.8. “3a ≥”是“1x =为函数321()(3)12f x x a x ax =-++--的极小值点”的（ ） A . 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】 对()f x 求导，得到()()()31f x x a x '=---，对a 进行分类讨论，求出当1x =为极小值点时a 的范围，即可得到答案.【详解】由题意，()()2()3(3)31f x x a x a x a x '=-++-=---， 0f x ，解得13a x =，或21x =， ①当12x x <，即3a <时，0f x ，解得13a x <<，0f x 时，解得3a x <，或1x >， ()f x 在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和1,上单调递减，13a x =是()f x 的极小值点； ②当12x x =，即3a =时，()0f x '≤恒成立，()f x 无极值；③当12x x >，即3a >时，0f x ，解得13a x <<，0f x 时，解得1x <，或3a x >，21x =是()f x 的极小值点；综上，当1x =为()f x 的极小值点时，3a >所以“3a ≥”是“1x =为函数321()(3)12f x x a x ax =-++--的极小值点”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的极值和充分必要条件的应用，考查了学生分类讨论的思想，属于中档题. 9. 函数22()41x x x f x ⋅=-的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由()()f x f x -=-，得到函数()f x 是奇函数，再代入特殊值计算(1)f 和1()2f 的值，即可得到答案. 【详解】由题意，()222()04122x x x xx x f x x -⋅==≠--， ()22()22(2)2x x x x x f x x f x ----===----， 所以函数()f x 是奇函数，关于原点对称，排除选项B ； 当1x =时，211212(1)0413f =-⨯=>，故排除选项D ；当12 x=时，212122()(1)2214f f⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭==<-，故排除选项C；所以本题正确答案为A.故选：A【点睛】本题主要考查函数图像的性质，注意代特殊值排除法的应用，属于基础题.10. 函数()2sin(),(0,)f x xωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，且()f x的图象过(,1),(,1)2A Bππ-两点，为了得到()2sing x xω=的图象，只需将()f x的图象（）A. 向右平移56πB. 向左平移56πC. 向左平移512πD. 向右平移512π【答案】C【解析】【分析】利用函数图像确定周期T的值，利用周期公式求出ω，再根据函数图像经过点A，确定ϕ的值，求出函数()f x的解析式，再根据三角函数图像的变换即可得到结论.【详解】由图像知，222Tπππ=-=，得Tπ=，由22Tπω==，解得2ω=，又函数经过点,12Aπ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2sin(2)12πϕ⨯+=，即()26k k Zππϕπ+=+∈，解得()526k k Zπϕπ=-∈，又ϕπ<，所以56π=-ϕ，所以5()2sin(2)6f x x π=-， 所以将()f x 的图像向左平移512π个单位得到函数()g x . 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质以及图像变换的应用，属于中档题.11. 已知,O F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的中心和右焦点，以OF 为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点(,A B 异于原点O )，若3AB b =，则双曲线C 的离心率e 为（ ）A. 2B. 3C. 233D. 2 【答案】C【解析】【分析】画出图像，由图像可知OA AF ⊥，由点到直线距离求出AF ，再求出OA ，利用1122OA AF OF AP ⋅=⋅，即可求出离心率. 【详解】根据题意，画出图像如图所示，连接AF ，因为OF 是直径，所以OAF △是直角三角形，且OA AF ⊥，OA 所在的渐近线方程为b y x a =， 由点到直线距离公式22bcAF b a b ==+，又OF c =，所以22OA c b a =-=，设AB 与x 轴的交点为P ，则132AP AB b ==， 由1122OA AF OF AP ⋅=⋅，即11322ab c b =⨯， 解得233c e a ==. 故选：C【点睛】本题主要考查求双曲线离心率，以及双曲线的几何性质，考查学生数形结合能力，属于中档题.12. 已知四棱锥P ABCD -的棱长都是12，,,E F M 为,,PA PC AB 的中点，则经过,,E F M 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面的面积为（ ）A. 542B. 452C. 72D. 96 【答案】B【解析】【分析】先由平面的基本性质找出经过,,E F M 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面图形MNFQE ，先证明QEF △是等腰三角形，并求出QEF S，再证明四边形MNFE 是矩形，并求出MNFE S ，即可得到答案.【详解】根据题意，作出四棱锥P ABCD -的图像如图所示，因为E 、F 分别为PA 和PC 的中点，所以//EF AC ，且12EF AC =，设BC 中点为N ，M 为AB 中点，则//MN AC ，且12MN AC =， 所以//MN EF ，且MN EF =，四边形MNFE 为平行四边形，M 、N 、E 、F 四点共面，设MN 中点为H ，作//HQ PB ，且交PD 于点Q ，交EF 于点I则点Q 在平面MNFE 上，故五边形MNFQE 即截四棱锥P ABCD -所得截面； 因为14BH BD =，所以134PQ PD ==， 又162PF PC ==，3QPF π∠=，由余弦定理QF ==QE = 所以QEF △是等腰三角形，QI EF ⊥，又12EF AC ===所以3QI ===，所以11322QEF S EF QI =⋅=⨯=； 又//EM PB ，//QI PB ，且QI EF ⊥，所以EM EF ⊥，所以四边形MNFE 是矩形，162EM PB ==，所以矩形MNFE 的面积6MNFE S EM EF =⋅=⨯=所以截面积QEF MNFE S SS =+==故选：B 【点睛】本题主要考查平面的基本性质，考查空间直线的关系，并涉及到余弦定理的应用，考查学生数形结合能力，属于中档题.二､填空题：(本大题4个小题，每小题5分，共20分).13. 若()(),2,1,1a x b x ==-，若()()a b a b +⊥-，则x =_____．【答案】-1【解析】2222()()4(1)11a b a b a b x x x+⊥-⇒=⇒+=-+⇒=-答案为：-1.14. 在第35届全国中学生数学冬令营中，某市甲､乙两所学校数学冬令营成绩的茎叶图(05,89,,)x y x y N≤≤≤≤∈如下图：已知甲校成绩的中位数､平均分都比乙校成绩的中位数､平均分少1分，则x y+=_____________.【答案】8【解析】【分析】由茎叶图分别表示出甲乙的中位数和平均数，再根据题意列不等式组即可求解.【详解】由茎叶图知，甲校的中位数为40504522y y++=+，甲校的平均数为47484050505729266y y+++++++=；乙校的中位数为50x+，乙校的平均数为3943454650555660655199x x+++++++++=+；由题意，50145229251196yxx y⎧+-=+⎪⎪⎨+⎪+-=⎪⎩，解得0x=，8y=，所以8x y+=.故答案为：8【点睛】本题主要考查茎叶图、平均数和中位数的应用，属于基础题.15. 设数列{}n a满足()*121,n na a n n N+=++∈，12a=，则数列(){}1nna-的前40项和是_____．【答案】840【解析】【分析】利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式()1n a n n =+，再并项求和求解前40项和即可.【详解】因为()*121,n n a a n n N +=++∈，且12a =，故2n ≥时，214a a -=，326a a -=，…12n n a a n --=，累加可得()()22246 (212)n n n a n n n +=++++==+， 11,2n a ==满足上式，即()1n a n n =+，故(){}1nna -的前40项和1223344 5....39404041S =-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯ 即()20240222 4. (24028402)S ⨯+=⨯+⨯⨯=⨯=. 故答案为：840 【点睛】本题主要考查了累加法求解数列通项公式、并项求和以及等差数列的求和公式等.属于中档题.16. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，过其准线与x 轴的交点E 作直线l ， （1）若直线l 与抛物线相切于点M ，则EMF ∠=_____________.（2）设6p =，若直线l 与抛物线交于点,A B ，且AB BF ⊥，则AF BF -=_____________.【答案】 (1).4π； (2). 12 【解析】【分析】 （1）设直线方程()02p x my m =->，代入抛物线方程并整理得2220y mpy p -+=，因为直线和抛物线相切，所以0∆=，由此可以解出m 的值和点M 的坐标，得到MF x ⊥轴，即可得到答案；（2）由已知，抛物线212y x =，设直线方程()3y k x =+，代入抛物线方程整理，并由韦达定理得到129x x =，由AB BF ⊥可得EB BF ⊥，利用1EB BF k k ⋅=-求出2x ，再求出1x ，利用抛物线的定义即可求解.【详解】（1）由题意知，点,02p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线l 与抛物线相切于第一象限，则()02p x my m =->， 代入抛物线方程并整理得：2220y mpy p -+=，则222440m p p ∆=-=，解得1m =，直线l ：2p y x =+此时2220y py p -+=，解得y p =， 将y p =代入直线方程，解得2p x =， 所以点,2p M p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MF x ⊥轴，又直线l 斜率为1， 所以4MEF π∠=，所以4EMF π∠=；（2）由已知，6p ，则抛物线212y x =，则点()3,0E -，点()3,0F ，设直线l 方程为()3y k x =+，代入抛物线方程并整理得，()222261290k x k x k +-+=， 设点()11,A x y ，点()22,B x y ，由韦达定理，212299k x x k==， 由AB BF ⊥，得EB BF ⊥，所以1EB BF k k ⋅=-，即222200133y y x x --⋅=----， 整理得，22229x y +=，又22212y x =，所以2221290x x +-=，解得26x =，或26x =-（舍去），由129x x =，解得16x =，16392p AF x =+=+=，26332p BF x =+=+=，所以()9312AF BF -=-=. 故答案为：（1）4π；（2）12 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线性质的应用，注意题目中条件的转化以及韦达定理的应用，属于中档题.三.解答题：(本大题6个小题，共70分.各题解答必须在答题卷上作答，在相应题目指定的方框内必须写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程).17. 设函数2()sin(2)2cos 6f x x x π=+-.（1）求()f x 的单调增区间；（2）在ABC 中，若5()264A f π-=-，且2,cos CD DA BD ABD ==∠=求BC 的值.【答案】（1）[,],63k k k Z ππππ-++∈.（2）6 【解析】【分析】（1）由两角和差的正弦公式展开sin(2)6x π+，由二倍角的余弦公式整理22cos x ，再由辅助角公式化简得到()sin(2)16f x x π=--，再由三角函数的性质求出()f x 的增区间即可； （2）由5()264A f π-=-求出cos A 和sin A ，再由正弦定理求出AD ，利用()cos cos BDC ABD A ∠=∠+∠求出cos BDC ∠，再由余弦定理即可求出BC .【详解】（1） 由题意，211cos 2()sin(2)2cos 2cos 226222x f x x x x x π+=+-=+-⨯ ， 化简得，()sin(2)16f x x π=-- ， 由 222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调增区间为[,],63k k k Z ππππ-++∈ ；（2）由（1）知，()sin(2)16f x x π=-- 所以5()sin 12624A f A ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，解得1cos 4A =，所以sin A =由cos ABD ∠=sin ABD ∠=， 在ABD ∆中，由正弦定理可得：sin sin BD AD A ABD=∠，解得2AD =， 由2CD DA =，可得4DC =，()1cos cos 44448BDC ABD A ∠=∠+∠=⨯-=-， 在BCD ∆中，由余弦定理可得：216102436BC =++=，解得6BC =. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角恒等变换的应用，考查学生的分析计算能力，属于中档题.18. 某次数学测验共有12道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分. 在这次数学测验中，考生甲每道选择题都按照规则作答，并能确定其中有9道题能选对；其余3道题无法确定正确选项，在这3道题中，恰有2道能排除两个错误选项，另1题只能排除一个错误选项. 若考生甲做这3道题时，每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答，且各题作答互不影响.在本次测验中，考生甲选择题所得的分数记为x（1）求55x =的概率；（2）求x 的分布列和数学期望.【答案】（1）13.（2）分布列答案见解析，数学期望1553. 【解析】【分析】（1）选对一道能排除2个选项的概率1()2P A =，选对一道能排除1个选项的概率1()3P B =，考生得55分时可以A 对2道，B 对0道或者A 对1道，B 对1道，再由相互独立事件的概率公式计算即可；（2）该考生所得分数45,50,55,60x =，分别求出其概率，即可列出分布列，并求出期望.【详解】（1）能排除2个选项的试题记为A 类试题；设选对一道A 类试题为A ，则1()2P A =， 能排除1个选项的试题记为B 类试题；设选对一道B 类试题为B ，则1()3P B =， 该考生选择题得55分可以为： ①A 对2道，B 对0道，则概率为222122()2312C ⨯=； ②A 对1道，B 对1道，则概率为122112()2312C ⨯=； 则221(55)12123P x ==+=； （2）该考生所得分数45,50,55,60x =022121(45)()236P x C ==⨯=； 12022212115(50)()()232312P x C C ==⨯+⨯=； 022111(60)()2312P x C ==⨯=； ∴X 的分布列为：1511155455055606123123Ex =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查概率的求法、离散型随机变量分布列和数学期望的求法，考查学生分析和计算能力，属于中档题.19. 如图，在由三棱锥E ADF -和四棱锥F ABCD -拼接成的多面体ABCDEF 中，AE ⊥平面ABCD ，平面BCF ⊥平面ABCD ，且ABCD 是边长为BCF △是正三角形.（1）求证：//AE 平面BCF ；（2）若多面体ABCDEF 的体积为16，求BF 与平面DEF 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析.（2）25 【解析】【分析】（1）设点O 为BC 中点，证明OF ⊥平面ABCD ，又AE ⊥平面ABCD ，可以得到//AE OF ，再由线面平行的判定定理，即可得到//AE 平面BCF ；（2）由ABCDEF F ABCD F ADE V V V --=+求出AE 长，再以点A 为原点建立直角坐标系，利用向量法求BF 与平面DEF 所成角的正弦值.【详解】（1）设点O 为BC 中点，BCF ∆是正三角形，所以OF BC ⊥，又平面ABCD ⊥平面BCF ，且平面ABCD 平面BCF BC =，所以OF ⊥平面ABCD ，又AE ⊥平面ABCD ，所以//AE OF ，OF ⊂平面BCF ，AE ⊄平面BCF ，所以//AE 平面BCF ；（2）由题意，ABCDEF F ABCD E ADF F ABCD F ADE V V V V V ----=+=+2111(23)3(23)2316332AE =⨯⨯+⨯⨯⨯=， 解得2AE =，以A 点为原点建立如图直角坐标系，ABCD 是边长为23BCF ∆是正三角形.则(23,0,0)D ，(0,23,0)B ，(0,0,2)E ，3,23,3)F ，(3,3,3)DF =-，(23,0,2)DE =-，(3,0,3)BF =；设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =， 则33302320DF n x z DE n x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则3z =1y =-，所以(1,1,3)n =-，设BF 与平面BEF 所成角为θ， 则||4325sin 523n BF n BF θ⋅===⨯⋅故直线BF 与平面BEF 所成角的正弦值为55. 【点睛】本题主要考查面面垂直的性质、线面平行的判定定理和向量法求线面角，考查空间中线线、线面和面面的关系，考查学生数形结合的能力，属于中档题.20. 已知椭圆C ：2221(0)3x y b b+=>的右焦点为F ，过F 作两条直线分别与圆O ：222(0)x y r r +=>相切于,A B ，且ABF ∆为直角三角形. 又知椭圆C 上的点与圆O 上的点31.（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若不经过点F 的直线l ：y kx m =+(其中0,0k m <>)与圆O 相切，且直线l 与椭圆C 交于,P Q ，求FPQ ∆的周长.【答案】（1）圆O 的方程为：221x y +=；椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）【解析】【分析】（1）由椭圆C 上的点与圆O1，求出1r =；再由ABF ∆为直角三角形，求出c =1b =；即可得到椭圆C 及圆O 的方程；（2）由直线和圆相切，得到221m k =+，联立直线和椭圆方程，由韦达定理求出12x x +和12x x ，用弦长公式求出PQ ，再表示出PF QF +，化简即可得到答案.【详解】（1）由题意，椭圆C 上的点与圆O1，所以1a r +=，又a =1r =；ABF ∆为直角三角形，所以4BFO π∠=，又OB BF ⊥，所以OF =，即c =，解得c =又223b c +=，解得1b =；圆O 的方程为：221x y +=；椭圆C 的方程为：2213x y += （2）由题意，y kx m =+与圆相切：由点到直线距离公式，1=221m k =+；设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得222(13)6330k x kmx m +++-=，由>0∆，得2231k m +>…(※)， 且122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+，由弦长公式，PQ ==， 由1PF a ex =-，2QF a ex =-，得122()PF QF a e x x +=-+=FPQ ∆的周长为PQ PF QF ++=【点睛】本题主要考查圆和椭圆方程的求法，直线和圆、椭圆的位置关系，弦长公式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.21. 已知函数121()(1),02x f x x a e x ax x -=---+> （1）若()f x 为单调增函数，求实数a 的值；（2）若函数()f x 无最小值，求整数a 的最小值与最大值之和.【答案】（1）1a =.（2）3【解析】【分析】（1）求出()'f x ，再令()0f x '=，求出两个根，函数()f x 为单调函数，所以()f x 有两个相同的根，得到1a =，再进行检验即可；（2）由()0f x '=得11x =，或2x a =和a Z ∈，分别当0a ≤、1a =和1a >三种情况进行讨论；0a ≤时不成立，1a =时成立，1a >时，利用函数单调性，当()f x 无最小值时，(0)()f f a <，构造关于a 的函数，求出a 的范围，即可得到答案.【详解】（1） 由题意，11()()()(1)x x f x x a e x a x a e --'=--+=--，()0f x '=，解得11x =，或2x a =，因为函数()f x 为单调函数，所以()f x 有两个相同的根，即1a =，1a =时，()0f x '≥，()f x 为增函数，故1a =适合题意；（2）由（1）知，()0f x '=，解得11x =，或2x a =，①当0a ≤时，则(0,1)()0x f x '∈⇒<⇒()f x 在(0,1]上为减函数，(1,)()0x f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[1,)+∞上为增函数，当1x =时，()f x 有最小值1(1)2f =-， 故0a ≤不适合题意； ②当1a =时，则(0,1)()0x f x '∈⇒>⇒()f x 在(0,1]上为增函数，(1,)()0x f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[1,)+∞上为增函数，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 无最小值，故1a =适合题意；③当1a >时，则(0,1)()0x f x '∈⇒>⇒()f x 在(0,1]上为增函数，(1,)()0x a f x '∈⇒<⇒()f x 在[1,]a 上为减函数，(,)()0x a f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[,)a +∞上为增函数，因为()f x 无最小值，所以(0)()f f a <21121111(1)022a a a a e e a e a e -----⇒<-⇒--+<， ()()()121111112a a g a e a a e a g a e a e ----'=--+>⇒=--，， 由()110a g a e -''=->在()1+∞，上恒成立， ()11a g a e a e --'=--在()1+∞，上单调递增， 且110g e -'=-<（），()()12200g e e g a ->''=--⇒=存在唯一的实根()112a ∈， () g a ⇒在()11a ，上单调递减； () g a 在()1a +∞，上单调递增增， 且()()()2e 439410220302e 2g g e g e e e-=<=--<=-->，， ()0g a ⇒=存在唯一的实根()223a ∈，， 由()12121102a e a a e a a ----+<⇒<， ()f x 无最小值，则21aa <<，()223a ∈，， 综上，21a a ≤<，()223a ∈，， a Z ∈，123min max a a +=+=.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，注意构造函数的应用，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于难题.22. 在平面直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为4x t y kt=-⎧⎨=⎩，(t 为参数)，直线2l 的普通方程为1y x k，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线1C . 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线3l 的方程为:sin()4πρθ-=（1）求曲线1C 的普通方程；（2）设点A 在3l 上，点B 在1C 上，若直线AB 与3l 的夹角为4π，求AB 的最大值.【答案】（1）2240(0)x y x y +-=≠.（2）4+【解析】【分析】 （1）将直线1l 的参数方程转化为普通方程，联立2l 的方程并消去k ，再根据直线12,l l 斜率存在且不为零，即可得到曲线1C 的普通方程；（2）先求出直线3l 的普通方程，点B 到直线3l 的距离为d ，由题意可得AB =，求出B 到直线3l 的距离的最大值，即可求出AB 的最大值.【详解】（1）直线1l 可化为：(4)y k x =--，代入2l ，消去k 可得：2(4)y x x =--，整理得：2240x y x +-=；由直线12,l l 斜率存在且不为零，则0y ≠，曲线1C 的普通方程为：2240(0)x y x y +-=≠.（2）由sin()4πρθ-=sin cos 2ρθρθ-=，所以直线3l 的普通方程为：2y x =+，设点B 到直线3l 的距离为d ，由AB 与3l 的夹角为4π，可得AB ，求AB 的最大值可转化为点B 到直线3l 的距离d 的最大值，d 的最大值即圆心()12,0C 到直线3l 的距离加上半径，所以max 22d =+=+，即max max 4AB ==+.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的转化，考查了轨迹方程的求法以及直线与圆位置关系，考查学生分析转化能力，属于中档题.23. 已知0a >，0b >，23a b +=.（1）求 22a b +的取值范围；（2）求证：3381416a b ab +≤. 【答案】（1）9,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）证明见解析【解析】【分析】 （1）由23a b +=和0b >求出b 的范围，用b 表示a ，将22a b +转化为269555b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再根据b 的范围即可求出22a b +的取值范围；（2）对23a b +=，利用基本不等式求出ab 的范围，再将334a b ab +转化为28194168ab ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用ab 的范围即可证明不等式.【详解】（1）∵0a >，0b >，23a b +=，∴320a b =->，302b <<∴222222699(32)51295555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭， ∴当65b =，3325a b =-=时，22a b +的最小值为95，又22696955095555b ⎛⎫⎛⎫-+<⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴22995a b ≤+<，即229,95a b ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭； （2）0a >，0b >，23a b +=，3∴≥908ab <≤， 当且仅当322a b ==时，取等号， ()3322244(2)4a b ab ab a b ab a b ab ⎡⎤∴+=+=+-⎣⎦22819(94)94()4168ab ab ab ab ab ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭， ∴98ab =时，334a b ab +的最大值为8116， ∴3381416a b ab +≤. 【点睛】本题主要考查解不等式和不等式的证明，利用了基本不等式和一元二次函数的应用，考查学生转化和计算能力，属于中档题.。