2016届广西桂林市、北海市、崇左市高三3月联合调研考试理数试题 解析版

桂林市、北海市、崇左市2016年3月联合调研考试数学理科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）．考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U =R ,集合{}{}13,2A x x B x x =<≤=>,则U A B = ð（ ） A ．{}12x x <≤ B ．{}12x x ≤<C ．{}12x x ≤≤D ．{}13x x ≤≤【答案】A 【解析】试题分析：由U =R 及{}2B x x =>可得{}2U B x x =≤ð,所以U A B = ð{}12x x <≤,故选A.考点：集合的交集与补集运算.2．设复数z 满足3i 3i z z -=+,则z =（ ） A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -【答案】C 【解析】试题分析：由3i 3i z z -=+得,()()33i 1i 33i 3i 1i 2z +++===-,故选C.考点：复数的四则运算.3．等差数列{}n a 中,4810a a +=,106a =,则公差d =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．12-【答案】A 【解析】试题分析：由486210a a a +==得65a =,所以106141.4d a a d =-=⇒=考点：等差数列的性质.4．若函数()ln(f x x =为奇函数,则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1【答案】C 【解析】试题分析：因为()ln(f x x =+为奇函数,所以()()(()22ln ln ln 0f x f x x x a x x a +-=-=+-==,所以1,a =故选C.考点：函数奇偶性。

5．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表,甲被选中的概率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】B 【解析】试题分析：从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表,甲被选中的概率是1324C 1C 2=,故选B. 考点：古典概型 6．已知()()tan 20,παα=∈,则5πcos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35B ．45C ．35-D ．45-【答案】D 【解析】 试题分析：2225π2sin cos 2tan 44cos 2sin 22sin cos tan 1415αααααααα⎛⎫+=-=-=-=-=- ⎪+++⎝⎭,故选D.考点：诱导公式；二倍角公式；同角三角函数的基本关系式.7．如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图,侧视图也称左视图）,其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成,俯视图是直径等于4的圆,该几何体的体积是（ ）A ．41π3B ．62π3C ．83π3D ．104π3【答案】D 【解析】试题分析：该组合体上面是一个半径为2的球,体积31432π2π33V =⨯=,下面是一个底面半径为2,高为4的圆柱,体积222624πV π=⨯⨯=,所以组合体的体积12104π3V V V =+=,故选D.考点：三视图；几何体体积的计算.8．已知如图所示的程序框图,那么输出的S =（ ） A ．45B ．35C ．21D ．15【答案】D 【解析】试题分析：运行程序为：T =1,S =1,i =2；T =3,S =3,i =3；T =5,S =15,i =4；输出S=15,故选D. 考点：程序框图9．已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 上,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,APD ∆为正三角形,24AB AD ==,则球O 的表面积为（ ）A ．323πB ．643πC ．32πD ．64π【答案】B 【解析】试题分析：过点P 作PE ∥AB ,交球面于点E ,连接BE ,CE ,则BE ∥AP ,CE ∥DP ,三棱柱APD-BEC 为正三棱柱,故球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点,因为△PAD 为正三角形,AD =2,所以△PAD 外接圆的半径为3,所以球O 的半径R ==所以球O 的表面积为264π4π3=⎝⎭.考点：球与几何体的切接；球的表面积.10．已知向量AB 与AC的夹角为120︒,且2AB = ,3AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为（ ）A ．37B ．13C ．6D ．127【答案】D 【解析】试题分析：由向量AB 与AC的夹角为120︒,且2AB = ,3AC = ,可得6cos1203AB AC ⋅==-,又AP BC ⊥ ,所以()()22(1)AP BC AB AC AC AB AB AC AC AB λλλ⋅=+⋅-=-⋅+- =1270λ-=,所以127λ=,故选D. 考点：平面向量的线性运算及数量积.11．设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,且122PF PF =,则双曲线的离心率为（ ）A B ．2CD ．2【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得12PF PF ⊥,在Rt △12PF F 中1222a PF PF PF =-=,122c F F =2 ,所以双曲线的离心率22ce a==故选A. 考点：圆与双曲线的性质.12．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()4f x f x =-,且当2x ≠时,导函数()f x '满足()()20x f x '->．若24a <<,则（ ）A ．()()()223log af f f a << B ．()()()23log 2af f a f << C ．()()()2log 32a f a f f <<D ．()()()2log 23af a f f <<【答案】C 【解析】试题分析：由()()20x f x '->可得2x >时()0f x '>,所以()f x 在()2,+∞是增函数,因为24a <<,所以224,24log 3a a ><-<,即2234log 2a a >>->,所以()()()24log 32a f a f f -<<,又()()4f x f x =-,所以()()()2log 32a f a f f <<,故选C.考点：指数函数与对数函数；导数的应用.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21为必考题,每个试题考生都必须作答．第 22－第24题为选考题,考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______．【答案】4- 【解析】试题分析：431x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项()()431241441C 1C ,rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令3r =得常数项为()33441C 4T =-=-.考点：二项式定理.14．已知实数,x y 满足不等式组10,270,250,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为______．【答案】4- 【解析】试题分析：由2z x y =-得1122y x z =-,则当直线1122y x z =-在y 轴上的截距最大时2z x y =-取得最小值,所以当直线经过A （2,3）时,z 最小,即当x =2,y =3,2z x y =-取得最小值-4．考点：线性规划15．已知m 、n 为正实数,向量()(),1,1,1m n ==-a b ,若 a b ,则12m n+的最小值为______．【答案】3+【解析】试题分析：由 a b 得1m n +=,所以12m n +=()122333n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥++ ⎪⎝⎭考点：向量共线；基本不等式应用.16．若数列{}n a 满足()()*1111,2n n n a n a a a n ++=--=-∈N ,则数列{}n a 的通项公式是______． 【答案】32n-考点：数列通项的求法.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．在ABC ∆中,内角A 、B 、C 对应的边长分别为a 、b 、c ,已知221cos 2c a B b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．（1）求角A ；（2）若a =求b c +的取值范围．【答案】 （1）π3；（2）.【解析】试题分析：（1）由余弦定理得1cos 2A =,所以π3A =；（2）利用正弦定理得2sin 2sin b cBC +=+,利用诱导公式和辅助角公式转化为三角函数求范围.试题解析：（1）∵221cos 2c a B b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,由余弦定理 得2222222a c b bc a b +--=-,222a b c bc =+-． (3)分∵2222cos a b c bc A =+-,∴1cos 2A =． ………………5分∵()0,πA ∈,∴π3A =． ………………6分（2）由余弦定理得2sin sin sin a b cA B C===,∴2sin b B =,2sin c C =． ………………7分∴()2sin 2sin 2sin 2sin b c B C B A B +=+=++ ………………8分2sin 2sin cos 2cos sin B A B A B =++12sin 22sin 22B B B =+⨯+⨯π3sin 6B B B ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭； ………………9分∵2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴ππ5π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, ………………10分π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．所以b c +∈………………12分考点：正弦定理、余弦定理、三角变换.18．（本小题满分12分）某市教育部门规定,高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段[)75,80,[)80,85,[)85,90,[)90,95,[]95,100（单位：小时）进行统计,其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生,记X 为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．【答案】 （1）2；（2）随机变量X 的分布列为()65E X =． 【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可得200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人,由此得概率为25P =；（2）根据23,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭可列出分布列,求出期望值. 试题解析：（1）根据题意,参加社区服务在时间段[)90,95的学生人数为2000.06560⨯⨯=（人）； ………………1分参加社区服务在时间段[)95,100的学生人数为2000.02520⨯⨯=（人）． ………………2分∴抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． ……………3分∴从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率为8022005P ==．……4分 （2）由（1）可知,从全市高中生中任意选取1人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率为25． 由已知得,随机变量X 的可能取值为0,1,2,3, ………………5分则()03032327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()21232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()333238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（每个等式给1分）……9分随机变量X 的分布列为………………10分 因为23,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,所有()26355E X =⨯=． ………………12分考点：统计；随机变量的分布列与期望.19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE 中,AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,1AB CD ==,AC =2AD DE ==．（1）在线段CE 上取一点F ,作BF 平面ACD ,（只需指出F 的位置,不需证明）；（2）对（1）中F ,求直线BF 与平面ADEB 所成角的正弦值．【答案】 （1）见试题解析；（2【解析】试题分析：（1）取CE 的中点F ,连接BF ,BF 平面ACD .（2）以C 为原点,CD 、CA 分别为x 、y 轴,过C 垂直于平面ACD 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系,求出1,02BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,平面A D E 的法向量)n = ,然后利用sin θ=cos n BF n BF n BF⋅⋅=⋅ 求直线BF 与平面ADEB 所成角的正弦值． 试题解析：解：（1）取CE 的中点F , ………………2分连接BF ,BF 平面ACD （如图）． ………………4分（注：①作BM AD 交ED 于M ,作BM CD 交EC 于F 连BF ,亦可满分．②按①作法,保留作图痕迹未作说明也得满分．）（2）由已知AC ,1CD =,2AD =,∴222AC CD AD +=．∴AC CD ⊥, ………………5分以C 为原点,CD 、CA 分别为x 、y 轴,过C 垂直于平面ACD 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则()()()1,1,0,0,,,0,12A D B F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ………………6分∴()()11,,0,0,1,,2AD AB BF ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ………………7分设(),,n x y z = 是平面ADEB 的法向量,则00n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即0x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以可取)n = ．…9分故cos n BF n BF n BF⋅⋅==⋅ ………………11分所以BF 与平面ADEB所成角的正弦值为26． ………………12分 考点：线面平行；线面角的求法,空间向量的应用.20．（本小题满分12分）已知圆(()222:0M x y r r +=>,若椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右顶点为圆M 的圆心,离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）若存在直线:l y kx =,使得直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点,与圆M 分别交于G 、H 两点,点G 在线段AB 上,且AG BH =,求圆M 的半径r 的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2 【解析】试题分析：（1）由a =及2c e a ==,可得椭圆的方程为2212x y +=．（2））由22,220y kx x y =⎧⎨+-=⎩得()221220k x +-=,由弦长公式得AB =,再求出点)M 到直线 的距离d =,进一步可得G H =,由AB GH =可得()22422242212211212231k k k r k k k k +⎛⎫=+=+ ⎪++++⎝⎭,转化为函数求值域. 试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c ,由已知a =………………1分2c e a ==,∴1c =． ………………2分 又222a b c =+,∴1b =． ………………3分 ∴椭圆的方程为2212x y +=． ………………4分 （2）设()()1122,,,A x y B x y ,联立方程得22,220y kx x y =⎧⎨+-=⎩,∴()221220k x +-=． 1212220,12x x x x k+==-+, ………………5分 则AB ==． ………………6分又点)M 到直线的距离d =,则GH = ………………7分 显然若点H 也在线段AB 上,则由对称性可知,直线y kx =就是y 轴,与已知矛盾． 所以要使AG BH =,只要AB GH =． ………………8分所以()222228124121k k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭, ()22422242212211212231k k k r k k k k +⎛⎫=+=+ ⎪++++⎝⎭． ………………9分当0k =时,r = ………………10分当0k ≠时,24211212131322r k k ⎛⎫ ⎪⎛⎫=+<+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪++⎝⎭． 又2421213132r k k ⎛⎫ ⎪=+> ⎪ ⎪++⎝⎭显然成立,∴r << ………………11分综上,圆M 的半径r的取值范围是． ………………12分 考点：直线与椭圆；函数值域.21．（本小题满分12分）已知函数()()ln ax f x xe x e a R =+-∈． （1）当1a =时,求函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设()1ln g x x e x=+-,若函数()()()h x f x g x =-在定义域内存在两个零点,求实数a 的取值范围．【答案】（1）()()211y e x =+-；（2）2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 【解析】试题分析：（1）求出()10f =,()121f e '=+,可得()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()211y e x =+-．（2）()h x 在定义域内存在两个零点,即210ax x e -=在()0,+∞有两个实根, 令()21ax x x e ϕ=-,由()()2ax x xe ax ϕ'=+可知当0a ≥时,()()20ax x xe ax ϕ'=+>,()y x ϕ=在()0,+∞上单调递增,()y x ϕ=在()0,+∞至多一个零点,当0a <时,要使()21ax x x e ϕ=-在()0,+∞内有两个零点,则20a ϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,综上,实数a 的取值范围为2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 试题解析：（1）()y f x =的定义域为()0,+∞,∵1a =,∴()ln x f x xe x e =+-,()10f =． ………………1分 ∴()()11x f x x e x'=++． ………………2分∴()121f e '=+． ………………3分∴函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()211y e x =+-． ………………4分（2）()()()2111ln ln ax axax x e h x f x g x xe x e x e xe x x x -⎛⎫=-=+--+-=-= ⎪⎝⎭在定义域内存在两个零点,即210axx e -=在()0,+∞有两个实根． ………………5分令()21ax x x e ϕ=-,()()222ax ax ax x ax e xe xe ax ϕ'=+=+．………………6分①当0a ≥时,()()20ax x xe ax ϕ'=+>,∴()y x ϕ=在()0,+∞上单调递增． 由零点存在性定理,()y x ϕ=在()0,+∞至多一个零点,与题设发生矛盾． ………………7分②当0a <时,令()20ax xe ax +=,则2x =-． ………………8分………………9分因为()01ϕ=-,当(),1x x ϕ→+∞→-（或()110a e ϕ=-<）, ………………10分∴要使()21ax x x e ϕ=-在()0,+∞内有两个零点, 则20a ϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭即可,得224a e <,又因为0a <,所以20a e-<<． ………………11分 综上,实数a 的取值范围为2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ………………12 考点：导数的几何意义；导数的应用.请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分．做答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）如图,四边形ABCD 是O 的内接四边形,延长BA 和CD 相交于点P ,14PA PB =,12PD PC =． （1）求AD BC 的值； （2）若BD 为O 的直径,且1PA =,求BC 的长．【答案】 （1）4；（2）考点：相似三角形与.圆的性质.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =求直线的倾斜角α的值．【答案】（1）()2224x y -+=；（2）4πα=或34π. 【解析】试题分析： （1）把 4cos ρθ=转化为24cos ρρθ= ,再利用222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=转化为 直角坐标方程；（2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程化简得22cos 30t t α--=,12AB t t =-=,求得cos α=,所以4πα=或34π． 试题解析：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． ………………2分 ∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=, ………………3分∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+=； ………………5分（2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=, 化简得22cos 30t t α--=． ………………6分设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩ ………………7分 ∴12AB t t =-===． ………………8分∴24cos 2α=,cos 2α=±, ………………9分 4πα=或34π． ………………10分考点：参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化及应用.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知()11f x x x =++-,不等式()4f x <的解集为M ．（1）求M ；（2）当,a b M ∈时,证明：24a b ab +<+【答案】（1）()2,2M =- ；（2）见试题解析.【解析】试题分析：（1）用零点分区间法求解,再取并集；（2）两边平方,用分析法证明. 试题解析：：（1）①当1x ≥时,解得12x ≤<； ………………1分②当11x -≤<时,解得11x -≤<； ………………2分 ③当1x <-时,解得21x -≤<-． ………………3分 综上,不等式的解集()2,2M =-． ………………5分（2）要证明原不等式成立,则需证明：()222242816a ab b a b ab ++<++． ………………6分 只需证明222244160a b a b --+>,即需证明()()22440ab -->． ………………8分 ∵(),2,2a b ∈-,∴24a <,24b <．∴()240a -<,()240b -<． ………………9分∴()()22440a b -->,所以原不等式成立． ………………10分 考点：.绝对值不等式的解法；不等式的证明.。