第17章章勾股定理教材分析用

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第 一 类
三、勾股定理学习中常见错解
忽视勾股定理的存在条件
例2 已知在△ABC中，若AB＞BC＞AC，且AB ＝10，BC＝8．试求偶数AC的长． 错解 在△ABC中，因为AB＞BC＞AC，所以 AB是斜边，由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2，即 AC2＝AB2－BC2， 又因为AB＝10，BC＝8，所以 AC＝ AB2 BC2 102 82＝６ 即偶数AC的长是6． 剖析 勾股定理适用的范围必须是在直角 三角形中才能成立．然而本题中并没有说明 是直角三角形，所以不能利用勾股定理求解 探索
二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 的 逆 定 理
题型分析 已知：如图,四边形ABCD，AB=1， BC=2，CD=2，AD=3， 且AB⊥BC.求S四边形ABCD. 点评：本题要 恰当的添加辅 助线，利用勾 股定理的逆定 理判断三角形 的形状即可。
2
A B
D
C
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二、教学内容分析及建议
题型分析
A
B
D
C
Leabharlann Baidu
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二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 第 四 节
内容: 会用勾股定理解决较综合的问题。 2）结合折叠的问题
①
如图，有一块直角三角形纸 片，两直角边AC＝6 cm，BC ＝8 cm， 现将直角边AC沿直线AD折叠 ，使它落在斜边AB上，且与 AE重合，则CD等于（ ）
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二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 第 四 节
内容: 会用勾股定理解决较综合的问题。
4）简单的斜化直的问题 已知：如图，在△ABC中， ∠B=45°，∠C=60°，AB=3 求（1）BC的长；（2）S△ABC
B A
2
C
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二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 的 逆 定 理
第一节内容: 体会勾股定理的逆定理得出过程， 掌握勾股定理的逆定理；
所以BD =
2
第 五 类
AB AD
2 2
2
4
3 23 8 55 4 4
四、勾股定理学习中常见错解
忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论
例5 已知：等腰三角形中，一边长是 6cm，另一边是8cm，求一腰上的高．
剖析 对于已知等腰三角形的两边应分类 讨论，漏解的原因可能是只对图3中的一 种情况计算，而忽视了如图4的情形．
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二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 第 二 节
2)知一边及另两边关系型
建议: 这个题型也是相当重要的,应 注意引导学生利用方程思想解决问题, 但此处应避免使用一元二次方程解决 问题的题型
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二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 第 二 节
3)分类讨论的题型
1.对三角形边的分类: 已知一个直角三角形的两条边是3cm 和4cm，求第三条边的长．
1.“知二求一型” 在教学注意变换 题目所给的条件
2.知一及两边关系型的(但此处应避 免使用一元二次方程的题型) 3.分类讨论的题型
4.数形结合的题型
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二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 第 二 节
1)知二求一型
建议:在教学中注意引导学生理解勾股定理的条
件、结论及适用范围和作用,掌握公式变形的各种 形式，.变换题目所给的条件,可以是边的条件,也 可以是角的条件,使学生达到灵活运用的目的.但 应注意计算不要太复杂
2.对三角形高的分类: 已知：在△ABC中，AB＝15cm， AC＝13cm，高AD＝12cm，求S△ABC．
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二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 第 二 节
4)数形结合的题型
A
D
建议: 这个题型的教学 帮助学生认识基本图形, 能说出基本图形的性质
B
C
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二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 第 三 节
A B C D 图2
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四、勾股定理学习中常见错解
忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论
例5 已知：等腰三角形中，一边长是 6cm，另一边是8cm，求一腰上的高．
错解 如图3，作BD⊥AC于D，则在Rt△ABD 和Rt△CBD中，分别由勾股定理，得BD2＝AB2 －AD2＝BC2－CD2，即AB2－AD2＝BC2－(AC－ 23 2 2 2 2 2 AD) ，所以8 －AD ＝6 －(8－AD) ，即AD＝
教学建议: 1)在教学中不但要使学生掌握勾股定理逆定理的 运用,还应掌握公式变形后的各种形式.例如:如 果三条线段长a,b,c满足a2=b2- c2,这三条线段组 成的三角形是不是直角三角形
2)注意它和勾股定理的条件和结论,勾股定理是 由形到数,而勾股定理的逆定理是由数到形,补充 了直角三角形的判定方法. 3)注意及时总结.并归纳直角三角形的边角关系 的有关定理,纳入知识体系
A
D B
E
C
借用以上这样的题型，让学生进一步体会 勾股定理及其逆定理之间的关系
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三、勾股定理学习中常见错解
忽视利用勾股定理的解题格式
例1 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB ＝15cm，BC＝12cm，求AC的长． 错解 在Rt△ABC中，因为∠C＝90°， AB＝15cm，BC＝12cm，所以由勾股定 理，得AB2＝AC2+BC2，所以 AC2＝AB2－BC2＝ 152 122 81 9 即AC的长是9cm．
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四、勾股定理学习中常见错解
忽视对图形中高的分类讨论
例4 已知：在△ABC中，AB＝15cm， AC＝13cm，高AD＝12cm，求S△ABC．
第 四 类
错解 如图1，在Rt△ADB和Rt△ADC中，分别 AB2 AD2 152 122 9 由勾股定理，得BD＝ CD＝ AC 2 AD2 132 122 5 所以BC＝BD+ CD＝9+5＝14．
第 二 类
四、勾股定理学习中常见错解
忽视直角三角形边的分类讨论
例3 已知一个直角三角形的两条边是3cm和 4cm，求第三条边的长． 错解 因为直角三角形的两条边是3cm和4cm ，所以由勾股定理，得第三条边，即斜边是
第 三 类
32 42 5 即第三条边的长是5cm．
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四、勾股定理学习中常见错解
5.勾股定理的逆定理也是判定一个三角形是直角
三角形的重要依据。
一、教材分析
本 章 的 知 识 结 构
实际问题 （直角三角形边角计算）
勾股定理 互逆定理 实际问题 （判定直角三角形） 勾股定理的逆定理
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一、教材分析
新 课 标 对 本 章 的 要 求
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一、教材分析
【知识与技能】
教 学 目 标
1.能说出勾股定理的内容,并能进 行简单的计算和实际应用； 2.会用勾股定理的逆定理判定直 角三角形； 3.通过具体的例子，了解定理的 含义，了解逆命题、逆定理的概 念，知道原命题成立其逆命题不 一定成立。
第 五 类
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附1:勾股定理的历史
课 外 拓 展
人们对勾股定理的认识经历了从特殊到一般的过程，这在 世界许多地区的数学原始文献中都有反映．最早发现“勾三股四 弦五”这一特殊关系的是古埃及人，这一事实可以追溯到公元前 25世纪，中国古代数学家也较早独立发现并证明过勾股定理，而 对它的应用更有许多独到之处。勾股定理一般情况的发现和证明， 那要归功于古希腊的毕达哥拉斯。 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数 学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我 国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯 早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么 周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期， 比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾 股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理，应 该是非常恰当的。在稍后一点的《九章算术》一书中，勾股定理 得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“勾股各 自乘，并，而开方除之，即弦。”
2
勾 股 定 理 的 逆 定 理
3)如图，点P是正三角形ABC内一点，且 PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆 时针旋转后，得到△P´AB，则点P与点P´之 间的距离为 ，∠APB= .
点评：本题要构造 直角三角形，难度 较大，可以选作。
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二、教学内容分析及建议
题型分析
勾 股 定 理 的 逆 定 理
勾 股 定 理
B. 2 D.
内容: 会用勾股定理解决较综合的问题。
3）网格问题 如图，每个小正方形的边长 为1，把阴影部分剪下来，用 剪下来的阴影部分拼成一个正 方形，那么新正方形的边长是 （ ） 分析及建议: 注意引导学生发现面积是不变的,从而确 定新正方形的边长
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3 5 6
C.
第 四 节
二、教学内容分析及建议
内容: 会用勾股定理解决简单的实际问题。
建议: 注意引导学生把实际问题转化成数 学问题，即知道两直角边，求斜边，从 而用勾股定理解决问题
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二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 第 三 节
内容: 会用勾股定理解决简单的实际问题。
分析及建议: 注意引导学生把实际问题转化成数学 问题，在变化过程中发现不变量,找出基本 图形
2
第三节内容: 灵活应用勾股定理及逆定理解综 合题，进一步加深勾股定理与其逆定 探索 理之间关系的认识。
二、教学内容分析及建议
题型分析
2
勾 股 定 理 的 逆 定 理
1）如图，在△ABC中，D是BC上一点， AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。 求△ABC的面积。
分析及建议 这是一道综合运用勾股定理及其逆定理 的题目,要先应用勾股定理的逆定理判定 ∠ADC为直角，再利用勾股定理即可，用 这个题型使学生更清楚地认识勾股定理和逆 定理的区别，分清它们的条件和结论。
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二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 第 一 节
内容: 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股 定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 建议 1.注重使学生经历探索勾股定理的过程
2.要求学生认识一些简单、常用的勾股数 和两个基本图形
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二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 第 二 节
内容: 会用勾股定理进行简单的计算；树 立数形结合的思想、分类讨论思想 重要的题目类型
忽视直角三角形边的分类讨论
例3 已知一个直角三角形的两条边是3cm 和4cm，求第三条边的长．
第 三 类
剖析 受勾3股4的影响，误以为已知的3cm和 4cm就是两条直角边，求第三条边的长就是斜边， 当然是5了．事实上，这里也并没有指明已知的 两条边就是直角边，所以4cm可以是直角边，也 可以是斜边，即应分情况讨论．
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二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 的 逆 定 理
第二节内容: 理解原命题、逆命题、逆定理的 概念及关系。灵活应用勾股定理及逆 定理解决问题。
关于原命题、逆命题、逆定理的概念及关系的教学建 议 学生已经见过一些互逆命题，在前面感性认识的基 础上，结合本节课的两个定理提出逆命题和逆定理的 概念，这些概念是第一次学习，要求不要过高。
人教社义务教育课程标准实验教科书八年级下
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一、教材分析
教 材 的 作 用 与 地 位
1.是几何中最重要的定理之一;
2.是解直角三角形的主要依据之一；
3.是直角三角形的一条非常重要的性质，揭示了
直角三角形三条边之间的数量关系；
4.将形与数密切联系起来，在数学的发展中起过
重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用；
1 AD 故S△ABC＝ BC· 2
1 2
1 ×14×12＝84（cm2）． 2
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四、勾股定理学习中常见错解
忽视对图形中高的分类讨论
第 四 类
例4 已知：在△ABC中，AB＝15cm， AC＝13cm，高A D＝12cm，求S△ABC． 剖析 由于给定的条件中并没有给出图形， 所以求解时除了要考虑如图1的情况外， 还要考虑如图2的情况．即要画出所有可 能的图形．错解时正是漏掉了如图2的情 形．
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一、教材分析
教 学 目 标
【过程与方法】
经历”观察—猜想—归纳—验证” 的数学发现过程,发展合情推理的能 力,体会数形结合和由特殊到一般的 数学思想.
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一、教材分析
【情感与态度】
教 学 目 标
1.通过对勾股定理历史的了解和实 例应用，体会勾股定理的文化价值, 对学生进行爱国主义教育； 2.通过获得成功的经验和克服困难 的经历，增进数学学习的信心.
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二、教学内容分析及建议
题型分析
2
勾 股 定 理 的 逆 定 理
2) 如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm， D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求 △ABC的周长.
分析及建议 本题仍是综合运用勾股定理及其逆 定理的题目,并结合图形的特点,要注意 引导学生利用方程思想解题
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一、教材分析
教 学 重 点 与 难 点
重点：勾股定理及其逆定理的探索
勾股定理及其逆定理的简单应用
难点：利用数形结合的方法验证勾股 定理．
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一、教材分析
课 时 安 排
本章教学时间约需8课时，具体安 排如下:
18．1 勾股定理 18．2 勾股定理的逆定理 数学活动 小结 4课时 3课时 1课时
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二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 第 三 节
内容: 会用勾股定理解决简单的实际问题。
建议: 引导学生构造基本图形,在数轴上找 到相应的点,是对实数学习的一个补充, 应重视.
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二、教学内容分析及建议
勾 股 定 理 第 四 节
内容: 会用勾股定理解决较综合的问题。 1）结合等腰三角形的知识 已知：如图AD是△ABC的高，AB=10， AD=8，BC=12 求证：△ABC是等腰三角形.