例题和作业

【例题3-2】钢筋混凝土四层框架计算简图如图3-13所示，层高均为4m ，重力荷载代表值G 1＝450kN ，G 2＝G 3＝440kN ，G 4＝380kN 。

体系的前三阶自振周期为：T 1＝0.383s ，T 2＝0.154s ，T 3＝0.102s 。

体系的前三阶振型见图3-13。

结构阻尼比ξ＝0.05，Ⅰ类建筑场地，设计地震分组第一组，抗震设防烈度为8度(设计基本地震加速度0.20s)。

试按振型分解反应谱法和底部剪力法分别确定该结构在多遇地震时的最大底部剪力。

(a )体系简图 (b )第一振型 (c )第二振型 (d )第三振型图3-13 例题3-2图【解】1.振型分解反应谱法 (1)计算地震影响系数由表3.2查得，抗震设防烈度为8度(设计基本地震加速度为0.20s)，在多遇地震时，αmax ＝0.16；由表3.3查得，Ⅰ类建筑场地，设计地震分组为第一组时，T g ＝0.25s 。

当阻尼比ξ＝0.05时，由式(3-32)和式(3-33)得γ＝0.9，η2＝1.0。

因T g ＜T 1≤5T g ，故109.016.00.1383.025.09.0max 21=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αηαγTT g0.1s ≤T 2，T 3≤T g ，故α2＝α3＝η2αmax ＝0.16。

(2)计算振型参与系数22221211111380)782.0508.0(440238.04501380)782.0508.0(440238.0450⨯++⨯+⨯⨯++⨯+⨯==∑∑==ni iini iiXm Xm γ＝1.338同理，可计算得γ2＝-0.462，γ3＝0.131 (3)计算水平地震作用标准值 第一振型时各质点地震作用F 1i ：F 11＝α1γ1X 11G 1＝0.109×1.338×0.238×450＝15.62kN F 12＝α1γ1X 12G 2＝0.109×1.338×0.508×440＝32.60kN F 13＝α1γ1X 13G 3＝0.109×1.338×0.782×440＝50.18kN F 14＝α1γ1X 14G 4＝0.109×1.338×1.0×380＝55.42kN 第二振型时各质点地震作用F 2i ：F 21＝α2γ2X 21G 1＝0.16×(-0.462)×(-0.605)×450＝20.12kN F 22＝α2γ2X 22G 2＝0.16×(-0.462)×(-0.895)×440＝29.11kN F 23＝α2γ2X 23G 3＝0.16×(-0.462)×(-0.349)×440＝11.35kN F 24＝α2γ2X 24G 4＝0.16×(-0.462)×1.0×380＝-28.09kN 第三振型时各质点地震作用F 3i ：F 31＝α3γ3X 31G 1＝0.16×0.131×1.542×450＝14.54kN F 32＝α3γ3X 32G 2＝0.16×0.131×0.756×440＝6.97kNF 33＝α3γ3X 33G 3＝0.16×0.131×(-2.108)×440＝-19.44kN F 34＝α3γ3X 34G 4＝0.16×0.131×1.0×380＝7.96kN (4)计算各振型水平地震作用下的底部剪力 V 11＝F 11＋F 12＋F 13＋F 14＝153.82kN V 21＝F 21＋F 22＋F 23＋F 24＝31.49kN V 31＝F 31＋F 32＋F 33＋F 34＝10.03kN (5)通过振型组合求结构的最大底部剪力222103.1049.3182.153++=V ＝157.33kN若只取前两阶振型反应进行组合，则22149.3182.153+=V ＝157.01kN只取一个振型：153.82/157.33=97.77% 只取两个振型：157.01/157.33=99.80% 补充：二层剪力：V 12＝F 12＋F 13＋F 14＝138.2kN V 22＝F 22＋F 23＋F 24＝12.37kN V 32＝F 32＋F 33＋F 34＝-4.51kN 通过振型组合求结构的最大二层剪力2222)51.4(37.122.138-++=V ＝138.83kN若只取前两阶振型反应进行组合，则22137.122.138+=V ＝138.75kN只取一个振型：138.2/138.83=99.55% 只取两个振型：138.75/138.83=99.84% 三层剪力：V 13＝F 13＋F 14＝105.6kN V 23＝F 23＋F 24＝-16.74kN V 33＝F 33＋F 34＝-11.48kN通过振型组合求结构的最大底部剪力2222)48.11()74.16(6.105-+-+=V ＝107.53kN若只取前两阶振型反应进行组合，则221)74.16(6.105-+=V ＝106.92kN只取一个振型：105.6/107.53=98.21% 只取两个振型：106.92/107.53=99.43% 四层剪力：V 14＝F 14＝55.42kN V 24＝F 24＝-28.09kN V 34＝F 34＝7.96kN通过振型组合求结构的最大底部剪力2222)96.7()09.28(42.55+-+=V ＝62.64kN若只取前两阶振型反应进行组合，则221)09.28(42.55-+=V ＝62.13kN只取一个振型：55.42/62.64=88.47% 只取两个振型：62.13/62.64=99.19% 2.底部剪力法(1)计算地震影响系数 由前可知，α1＝0.109 (2)计算结构等效总重力荷载∑==ni i G G 1eq 85.0＝0.85×(450＋440＋440＋380)＝1453.5kN(3)计算底部剪力eq 1Ek G F α=＝0.109×1453.5＝158.43kN(4)计算各质点的水平地震作用。

因T 1＝0.383s ＞1.4T g ＝0.35s ，所以需要考虑顶部附加地震作用。

由表3-5得：δn ＝0.08T 1＋0.07＝0.101则： ΔF n ＝δn F Ek ＝0.101×158.43＝16.0kN(1－δn )F Ek ＝(1-0.101)×158.43＝142.43(kN)又已知H 1＝4m ，H 2＝8m ，H 3＝12m ，H 4＝16m ， 则作用在结构各楼层上的水平地震作用为：则结构各楼层上的水平地震剪力为：V 4＝F 4＋ΔF n ＝51.92＋16.0＝67.92kN V 3＝F 3＋V 4＝67.92＋45.09＝113.01kN V 2＝F 2＋V 3＝113.01＋30.06＝143.07kN V 1＝F 1＋V 2＝143.07＋15.37＝158.44kN 或者用表格计算如下：由公式(3-79)和(3-77)计算各层地震作用和地震剪力，计算结果列于表3-7。

可见，底部剪力法的计算结果与振型分解反应谱法的计算结果是很接近的。

【例题3-3】试求图3-18所示两层框架的基本周期。

质点重力荷载G 1、G 2集中在楼层处。

G 1＝400kN ，G 2＝300kN ，层间侧移刚度K 1＝14280kN/m ，K 2＝10720kN/m 。

【解】1.能量法(图3-18a ) (1)计算各层层间剪力：首层层间剪力：V 1＝400＋300＝700kN ；二层层间剪力：V 2＝300kN 。

(2)计算各层楼层处的水平位移u i ：第一层：u 1＝V 1/ K 1＝700/14280＝0.049m ；第二层：u 2＝u 1＋V 2/ K 2＝0.049＋300/10720＝0.077m 。

(3)计算基本周期：由式(3-102)得：∑∑==≈ni ni i i ii u G u G T 1121/2＝2077.0300049.0400077.0300049.040022⨯+⨯⨯+⨯＝0.507s 2.折算质量法(图3-18b )(1)计算各层在单位力F ＝1作用下的侧移：x 1＝F /K 1＝1/(14280×103)＝7.00×10-8m/N ； x 2＝x 1＋F /K 2＝7.00×10-8＋1/(10720×103)＝16.33×10-8m/N ；x m ＝δ＝x 2＝16.33×10-8m/N 。

(2)计算折算质量M eq ：212eq/mni ii x x m M ∑==328282810)1033.16(80.9)1033.16(300)1000.7(400⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=---＝38112kg (3)计算体系的基本周期8eq 11033.163811222-⨯⨯==⋅πδπM T ＝0.495s3.顶点位移法由能量法已经求得在重力荷载当作水平荷载作用下的顶点位移为u T ＝0.077m ，且本例为剪切型结构，由式(3-115)计算结构基本周期为：T 18.1u T =＝077.08.1＝0.499s(a ) (b )图3-18 例题3-3图(a )能量法；(b )折算质量法1.已知某两质点弹性体系如图3-21，层间刚度k 1＝k 2＝21600kN/m ，质点质量为m 1＝m 2＝60×103kg ，试求该体系的自振周期和振型。

2.单自由度体系，结构自振周期T ＝0.496s ，质点质量G ＝260kN ，位于抗震设防烈度为8度的Ⅰ类场地上，设计基本地震加速度为0.30g ，设计地震分组为第一组，试计算该结构在多遇地震时的水平地震作用。

习题1图 习题3图3.三层框架结构如图3-22所示，横梁刚度为无穷大，位于抗震设防烈度为8度的Ⅱ类场地上，该地区设计基本地震加速度为0.30s ，设计地震分组为第一组，结构各层的层间侧移刚度及质量如图所示，结构的自振周期分别为T 1＝0.467s ，T 2＝0.208s ，T 3＝0.134s ，各振型为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧334.0667.0000.1111213X X X ,⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧667.0666.0000.1212223X X X ,⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧019.4035.3000.1313233X X X 分别用振型分解反应谱法和底部剪力法计算该结构在多遇地震作用下的各层层间地震剪力。