2016年-2017年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷1,参考版解析)

高考衣食住用行
衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。

食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。

另外，进考场前一定要少喝水！
住：考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。

用：出门考试之前，一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。

行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。

2016年高考新课标Ⅰ卷文数试题参考解析
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合{1,3,5,7}A = ，{|25}B x x =≤≤，则A B =I
（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} 【答案】
B
(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=
（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 【解析】
试题分析：设i a a i a i )21(2))(21(++-=++，由已知，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A. （3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
（A ）13 （B ）1
2 （C ）1
3 （D ）56
【答案】A 【解析】
试题分析：将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红
色和紫色不在一个花坛的种数有2种，故概率为31
，选A..
（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =
2c =，2
cos 3
A =
，则b= （A 2 （B 3 （C ）2 （D ）3 【答案】D 【解析】
试题分析：由由余弦定理得
3222452⨯
⨯⨯-+=b b ，解得3=b （31
-
=b 舍去），选D.
（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4，则该椭圆的离心率
为
（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34
【答案】B 【解析】
试题分析：如图，由题意得在椭圆中，
11
OF c,OB b,OD 2b b
42===⨯= 在Rt OFB ∆中，|OF||OB||BF||OD |⨯=⨯，且2
2
2
a b c =+，代入解得
22a 4c =，所以椭圆得离心率得：
1
e 2=
，故选B.
（6）若将函数y =2sin (2x +
π6)的图像向右平移1
4
个周期后，所得图像对应的函数为 （A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π
3)
【答案】D 【解析】
试题分析：函数
y 2sin(2x )6π=+的周期为π，将函数y 2sin(2x )
6π=+的图像向右平移14个周期即4π个单位，所得函数为
y 2sin[2(x ))]2sin(2x )
463πππ
=-+=-，故选D. （7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π
3
，则它的表面积是
（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】
A
（8）若a>b>0，0<c<1，则
（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c
<b c
（D ）c a
>c b
【答案】B 【解析】
试题分析：对于选项A ：
a b 1gc 1gc
log c ,log c lg a lg b =
=，0c 1<<Q 1gc 0∴<，而a b 0>>，所以lga lg b >，
但不能确定lga lg b 、
的正负，所以它们的大小不能确定; 对于选项B ：c b 1ga 1gb
log a ,log c lg c lg c =
=,而
lga lg b >，两边同乘以一个负数1
lg c 改变不等号方向所以选项B 正确;对于选项C ：利用c y x =在第一象
限内是增函数即可得到c c
a b >，所以C 错误;对于选项D ：利用x
y c =在R 上为减函数易得为错误.所以本
题选B.
（9）函数y =2x 2
–e |x |
在[–2,2]的图像大致为
（A ）（B ）
（C ）（D ）
【答案】D 【解析】
试题分析：函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为
22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当
0(0,)
x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)
x x ∈时，()f x 为增函数．故选D
（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足 （A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 【答案】C 【解析】
试题分析：第一次循环：0,1,2x y n ===，
第二次循环：1
,2,3
2x y n ===，
第三次循环：3,6,32x y n ===，此时满足条件22
36x y +≥，循环结束，3,62x y ==，满足4y x =．故
选C
（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=I 平面，
11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为
（A ）
3（B ）2（C ）3（D ）1
3
【答案】A
【解析】 试题分析：
故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小．
而1111B C B D CD ==（均为面对交线），因此113CD B π
∠=
，即
113
sin CD B ∠=
．
故选A ．
（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦
（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3
⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦
【答案】C 【解析】
试题分析：用特殊值法：取1a =-，()1sin 2sin 3f x x x x =--，()2
1cos 2cos 3f x x x
'=--，但
()22
0110
33f '=--=-<，不具备在
(),-∞+∞单调递增，排除A ，B ，D ．故选C ．
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = .
【答案】2
3-
【解析】
试题分析：由题意，
20,2(1)0,.
3a b x x x ⋅=++=∴=-r r （14）已知θ是第四象限角，且sin (θ+
π4)=35，则tan (θ–π
4
)= . 【答案】3
4
【解析】
试题分析：由题意，
433
cos(),tan()tan()tan().tan()454424444ππππππθθθθθ+=∴-=+-=-+=-∴+=
（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2
-2ay -2=0相交于A ，B
两点，若||AB =，则圆C 的面积为 。

【答案】4π 【解析】
试题分析：圆22:220C x y ay +--=，即
222
:()2C x y a a +-=+，圆心为(0,)C a
，由||AB C =到直线2y x a =+
22
2()22a +=+得
2
2,a =所以圆的面积为
2
(2)4a ππ+=. （16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙
材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。

该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B
的利润之和的最大值为 元。

【答案】216000
二元一次不等式组①等价于
3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪
+⎨⎪⎪
⎪⎩?„
„……
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域.
将2100900z x y =+变形，得73900z y x =-+，平行直线73y x =-，当直线73900z
y x =-+
经过点M 时，z 取得最大值.
解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，得M 的坐标(60,100).
所以当60x =，100y =时，
max 210060900100216000
z =⨯+⨯=
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）
已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111=
=3
n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和.
【答案】
31
(1)31;(2)(1).
23n n n a n S =-=- 【解析】 试题分析：
18.（本题满分12分）
如图，在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，PA =6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ，连接PE
并延长交AB于点G.
（I）证明G是AB的中点；
（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
【答案】(I)见解析;(II) 1 . 3
【解析】试题分析：
（19）（本小题满分12分）
某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.
（I）若n=19，求y与x的函数解析式；
（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
【答案】
3800,019
(1);(2)19;(3)
5005700,19
x
y
x x
<≤
⎧
=⎨
->
⎩
购买20个更合理.
【解析】试题分析：
（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：2
2(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .
（I ）求OH ON
；
（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】(1)2;(2)除H 以外，直线MH 与C 无其它公共点.
【解析】
试题分析：
（21）（本小题满分12分）
已知函数.
(I)讨论的单调性；
(II)若有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（I）
a （II）0.【解析】
试题分析：
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O为圆心，OA为半径作圆.
(I)证明：直线AB 与O 相切；
(II)点C,D 在⊙O 上，且A,B,C,D 四点共圆，证明：AB ∥CD.
【答案】见解析
（II ）设CD 的中点为Q ，四边形CD AB 外接圆的圆心为'O ，连接C O ，D O ，C 'O ，D 'O 因为C D O =O ，所以Q CD O ⊥，因为C D ''O =O ，所以Q CD 'O ⊥，所以'O ，O ，Q 三点共线 同理可得O ，'O ，P 三点共线，所以Q ，O ，'O ，P 四点共线 即Q P 过点O ，且Q P ⊥AB ，Q CD P ⊥
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为
（t 为参数，a ＞0）。

在以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a 。

【答案】（I ）2
2
2sin 10a ρρθ-+-=；（II ）1a = 【解析】
试题分析：（I ）由cos 1sin x a t
y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）得()22
21x y a +-=（0a >）
所以曲线
1
C 表示以
()0,1为圆心，半径为a 的圆
由()2
221x y a +-=得：2
2
2
210x y y a +-+-=
因为2
2
2
x y ρ=+，sin y ρθ=，所以2
2
2sin 10a ρρθ-+-= 所以1C 的极坐标方程为2
2
2sin 10a ρρθ-+-= （II ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=
因为2
2
2
x y ρ=+，cos x ρθ=，所以22
40x y x +-=
所以曲线1C 与曲线2C 的公共弦所在的直线方程为2
4210x y a -+-=，即2
12
2
a y x -=+
由0θα=，其中0α满足0tan 2α=得2y x =，所以2
102
a -=，因为0a >，所以1a = （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )= ∣x +1∣-∣2x -3∣.
（I ）在答题卡第（24）题图中画出y = f (x )的图像； （II ）求不等式∣f (x )∣﹥1的解集。

【答案】()()1,1,35,3⎛
⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U
【解析】
试题分析：（I ）()4,131
23
32,1234,2x x f x x x x x x x ⎧
⎪-<-⎪
⎪
=+--=--≤≤
⎨⎪
⎪
-+>⎪⎩
画出
()
y f x =的图象如图所示：
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共5页，满分150分。

考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ⎧
⎫<
⎨⎬⎩⎭ B ．A I B =∅ C ．A U B 3|2x x ⎧
⎫=<
⎨⎬⎩
⎭
D ．A U B=R
【答案】A
【解析】由320x ->得32x <
，所以33
{|2}{|}{|}22
A B x x x x x x ⋂=<⋂<=<，选A. 2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值
D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数
【答案】B
【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B 3．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．(1+i)2 D ．i(1+i)
【答案】C
【解析】由2
(1)2i i +=为纯虚数知选C.
4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A ．
14
B ．
π8
C ．
12
D ．π 4
【答案】B
5．已知F 是双曲线C ：x 2
-2
3
y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF
的面积为 A ．13
B ．1 2
C ．2 3
D ．3 2
【答案】D
【解析】由2
2
2
4c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2
2
13
y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为
13
3(21)22
⨯⨯-=，选D. 6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是
【答案】A
【解析】由B ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由C ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由D ，AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ.故A 不满足，选A.
7．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
则z =x +y 的最大值为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】如图，目标函数z x y =+经过(3,0)A 时最大，故max 303z =+=，故选
D.
8．.函数
sin21cos x
y x
=
-的部分图像大致为
【答案】C
【解析】由题意知，函数sin 21cos x
y x
=
-为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；当1x =时，
sin 2
01cos 2
y =
>-，排除A.故选C.
9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0,2）单调递增
B ．()f x 在（0,2）单调递减
C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称
D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称
【答案】C
10．如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在
和两个空白框中，可以分别填入
A ．A >1000和n =n +1
B ．A >1000和n =n +2
C ．A ≤1000和n =n +1
D ．A ≤1000和n =n +2
【答案】D
【解析】由题意选择321000n n
->，则判定框内填1000A ≤，由因为选择偶数，所以矩形框内填2n n =+，故选D.
11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。

已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，
则C = A ．
π
12
B ．
π6
C ．
π4
D ．
π3
【答案】B
【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得
sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，
即sin (sin cos )2sin()04C A A C A π+=
+=，所以34
A π
=.
由正弦定理
sin sin a c A C =
得23sin sin 4
C π=，即1sin 2C =，得6
C π
=，故选B. 12．设A 、B 是椭圆C ：22
13x y m
+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°
，则m 的取值范围是
A ．(0,1][9,)+∞U
B ．[9,)+∞U
C ．(0,1][4,)+∞U
D ．[4,)+∞U
【答案】A
【解析】当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o
，则
tan 60a
b
≥=o
≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则
tan 60a
b ≥=o ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞，选A. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______________. 【答案】7
【解析】由题得(1,3)a b m +=-r r
因为()0a b a +⋅=r r r
所以(1)230m --+⨯= 解得7m = 14．曲线2
1
y x x
=+
在点（1，2）处的切线方程为_________________________. 【答案】1y x =+ 【解析】设()y f x = 则2
1()2f x x x '=-
所以(1)211f '=-=
所以在(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+ 15．已知π(0)2
a ∈，,tan α=2，则π
cos ()4α-=__________。

【答案】
310
10
16．已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。

若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。

【答案】36π
【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB 因为,SA AC SB BC == 所以,OA SC OB SC ⊥⊥ 因为平面SAC ⊥平面SBC 所以OA ⊥平面SBC 设OA r =
3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=
所以3
1933
r r =⇒=
所以球的表面积为2
436r ππ=
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17．（12分）
记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

18．（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,且四棱锥P-ABCD 的体积为
8
3
，求该四棱锥的侧面积.
【解析】①∵90BAP AB PA ∠=︒⇒⊥
90CDP CD PD ∠=︒⇒⊥ ∵,AB CD PA PD P ⋂=P
∴AB PAD ⊥平面 ∵AB PAD ⊂平面
∴PAB PAD ⊥平面平面 ②由①知AB PAD ⊥平面 ∵90APB ∠=︒
PA PD AB DC === 取AD 中点O ，
所以OP ABCD ⊥底面
,OP AD
∴18
33
P ABCD V AB AB -=⨯=
∴AO=2
∴PB PC BC ===∴2PAD PAB PBC S S S S =++V V V 例
111
2222sin60222
=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒
=2+
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，
16
2
1
(8.5)
18.439i i =-
≈∑，16
1
()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，
其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅． （1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）
附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数1
2
2
1
1
()()
()()
n
i
i
i n n
i
i
i i x x y y r x x y y ===--=
--∑∑∑，0.0080.09≈．
（ii ） 剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为
169.22169.979.22
10.021515
x -⨯-== ，标准
差为()1622
11[(10.02)9.2210.2]0.0080.0916i i s x ==---==∑()2
21610.029.220.0115
s --≈
20．（12分）
设A ，B 为曲线C ：y =2
4
x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.
（1）求直线AB 的斜率；
（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.
【解析】（1）
设()()1122,,,A x y B x y ，
则22
21212121214414
AB
x x y y x x K x x x x -
-+====-- （2）设2
00,
4x M x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，则C 在M 处的切线斜率'001
12AB y K K x x x ==
==- ∴02x =
则()12,1A ，又AM ⊥BM ，
22
1212121211
11442222
AM BM x x y y K K x x x x ----==----g g g
()()
()1212122224
116
16
x x x x x x +++++=
=
=-
即()12122200x x x x +++= 又设AB ：y=x ＋m 代入24x y =
得2440x x m --=
∴124x x +=，124x x m =- －4m ＋8＋20=0 ∴m=7 故AB ：x ＋y=7 21．（12分）
已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为
4,
1,
x a t t y t =+⎧⎨
=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l 17 a. 【解析】（1）当1a =-时，14:1x t
L y t =-+⎧⎨=-⎩
（t 为参数）
L 消参后的方程为430x y +-=，
曲线C 消参后为2
21x y y +=，与直线联方方程
221430x y y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩ 解得30x y =⎧⎨=⎩ 或21
25
2425
x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ .
（2）L 的普通方程为440x y a +--=，
设曲线C 上任一点为()3cos ,sin P θθ，
点到直线的距离公式，d ，
d
=， max d =
∴()max 5sin 417a θϕ+--=，
当()sin 1θϕ+=时最大，
即5417a --=，
16a =-，
当()sin 1θϕ+=-时最大，
即917a +=，
8a =，
综上：16a =-或8a =.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│.
（1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；
（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.。