角平分线常用模型

每日一题：三角形中角平分线的基本模型

武穴市百汇学校徐国纲

在初中阶段，角平分线问题涉及角度的计算和证明。经过总结归纳，有相当部分可以转化为基本模型，掌握这些模型，可以为我们迅速找到解题思路，形成良好的数学思维习惯奠定基础。下面举例说明。

【模型一】角平分线+垂直一边

若PA⊥OM于点A，如图a，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到一组全等三角形；

【模型二】角平分线+斜线

若点A是射线OM上任意一点，如图b，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA。可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。

【模型三】角平分线+垂线

若AP⊥OP于点P，如图c，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形；

【模型四】角平分线+平行线

若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图d，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形使用频率那是相当的高，切记。

【模型五】角平分线+对角互补

若∠A+∠C=180°，BD是∠ABC的平分线，则AD=CD．

【模型六】夹角模型

①BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=90°+1

2

∠A．

②BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=1

2

∠A．

BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则：∠D=90°-1

2

∠B．