高中数学状元笔记(手写版)
状元笔记——数学配方换元
第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
衡水重点中学状元手写笔记高中数学
阅读感受
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目录分析
《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》目录分析
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精彩摘录
《衡水重点中学状元手写笔记高中数学》精彩摘录
制定计划：制定学习计划是提高学习效率的重要方法。在制定计划时，我们 应该考虑每天的学习任务、时间安排和目标，确保我们的学习有条不紊地进行。
积极思考：学习数学需要我们积极思考，通过思考问题、解决问题来提高思 维能力。在听课、做题时，我们应该善于总结规律、发现问题，从而掌握数学的 本质。
史上最强高考状元学习笔记
史上最强高考状元学习笔记高中篇语文前言以武得天下，以文定邦国2013年高考语文单科状元乔静漪谈语文一、高考文言文做题技巧二、高考作文写作技巧锤炼数学海南省2013高考数学状元刘霁航谈数学“矢志不移，赢在高考”一、你等或不等，不等式就在那里，等也不等二、葵花宝典——消灭三角函数，打败东方不败三、数列，你深深的脑海里，你的歌声里四、函数与导数，驾驭或被驾驭，这是一个问题英语海南2013年高考英语单科状元王茜谈英语一、英语语感很重要二、英语靠积累，作文要点不能少三、不容忽视的单词和语法四、重点语法----主谓一致五、巧学活记虚拟语气六、寻找倒装标志，巧记倒装句型七、掌握名词性从句，助你华丽大转身八、定语从句I believe you can master it!物理前言物理，让我和我的小伙伴都惊呆了一、学习不息，力与运动不止二、降服机械能守恒这妖孽三、电磁场梦靥终结者四、学不好机械波的同学木有未来化学一、衣带渐宽终为你——化学计算二、氧化还原为哪般三、那些年我们做过的化学试验生物前言燃烧吧，我的小生物！一、探究呼吸作用，让我们自由的呼吸二、光与光合作用激情四射三、探究遗传的基本规律，摆脱命运的轮回四、那些年我们生活的环境与初中篇数学前言数学虐我千百遍我待数学如初恋一、揭开不等式神秘的面纱二、磨刀霍霍将因式分解三、我们都被二次根式压迫好多年四、一刀斩函数桃花开英语前言学不好英语的孩纸木有未来一、初中语法简易总结二、英文文法的最基本规则三、现在式和现在进行式四、过去式和过去进行式五、完成式（Perfect Tense）六、未来式七、问句(Questions)八、被动语气(Passive Voice)物理前言再不学好物理我们就老了一、测量的初步知识二、简单的运动三、声现象四、热现象五、光的反射六、光的折射化学基本概念、知识巧记部分一、“化”山论剑——看看谁主沉浮二、武林秘籍——迅速提高战斗力三、隐姓埋名只为一鸣惊人四、乔装改扮只为本性长存五、是你溶了我，还是我溶了你六、王者之名各分散知识点整合记忆部分一、揭开元素的单质及化合物神秘面纱（一）二、揭开元素的单质及化合物神秘面纱（二）三、让人头痛的化学实验综合更多具体内容请关注“海南微课”微信公共平台免费订阅《2013年海南高考学霸学习笔记》及初中学习秘籍:一搜号码“vko0898”二查找公共账号“海南微课”。
必修1高一数学笔记完整版
高中数学必修一第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质第二章基本初等函数2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用第一章集合与函数概念§1.1集合一．集合1.定义：一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
2.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性3.集合1=集合2：构成集合的元素完全一样4.元素与集合的关系：∈和∉（1）a属于集合A：a∈A（2）a不属于集合A：a∉A5.常用数集及其记法（1）N={全体非负整数}={全体自然数}={0，1，2，……}（2）N+/N* ={全体正整数}={1，2，3，……}（3）Z={全体整数}={…，-2，-1，0，1，2，…}（4）Q={全体有理数}（5）R={全体实数}6.集合的分类：有限集，无限集，空集（∅）7.集合的表示方法：列举法、描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，如{1，2，3，4}（2）描述法：把集合中对的元素的公共属性描述出来，如{x｜x-3>2，x∈N} 8.奇数集A={x｜x=2k+1，k∈Z}偶数集B={x｜x=2k，k∈Z}二．集合间的基本关系1.定义：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，若任意x∈A，都有x∈B，称A为B的子集。
记作：A含于B（A⊆B）,B包含于A（B⊇A）2.不包含：当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B3.注意：（1）A不包含于B，记作A⊈B（2）任意一个集合都是它本身的子集A⊆A（3）规定空集是任意集合的子集（4）若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C4.Venn图（韦恩图）5.集合相等：两个集合中全部元素相同A=B满足A⊆B，B⊆A，即A=B6.真子集：若集合A⊆B，存在元素x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集(propersubset)。
高中数学学霸笔记
数学典型易错题（一）集合一、混淆集合中元素的形成 例1 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = 。
错解：解方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得11x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴【易错分析】 产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合A B ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A B ，是点集，而不是数集。
{}(11)AB =-，∴二、忽视空集的特殊性 例2 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ⊆，则m 的值为 。
错解： 由(1)10m x -+= 得11x m =-由2230x x --= 得1x =-或3x =1|1A x x m ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∴ {}13B =-， A B ⊆∵111m =--∴或3 2m =∴或23m = 【易错分析】由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，1m =。
m ∴的值为2123， ， 。
三、忽视集合中的元素的互异性这一特征 例3 已知集合{}22342A a a =++，，，{}207422B a a a =+--，，，，且{}37AB =，，求a 的值．错解： ∵{}37AB =，， ∴必有2427a a ++=2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴5a =-∴或1a =【易错分析】由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出a 的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上，（1）当5a =-时，2423a a +-=，27a -=不满足B 中元素应互异这一特征，故5a =-应舍去．（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=满足{}37AB =，且集合B 中元素互异．a ∴的值为1。
完整版新人教版高中数学课堂笔记必修一
完整版新人教版高中数学课堂笔记必修一一、函数与三角函数1.1 函数的基本概念定义1.1.1：函数从一个集合A中的每一个元素a，都唯一地对应到另一个集合B中的一个元素f(a)，则称这样的对应f为一个函数。
定义1.1.2：自变量和因变量在函数f中，元素a称为自变量，元素f(a)称为因变量。
定义1.1.3：定义域和值域f的定义域是由自变量构成的集合A，f的值域是由因变量构成的集合B。
1.2 函数的表示方法1.2.1 显式表示法在一个函数的定义域内，用公式或者算式来表示函数的因变量和自变量之间的关系。
例如，函数f(x)=x^2-2x+1就是一个用显式表示法表示的函数。
1.2.2 隐式表示法在一个函数的定义域内，无法用公式或者算式来表示函数的因变量和自变量之间的关系，只能通过复杂的方程或者不等式来描述函数。
例如，方程x^2+y^2=1就是一个用隐式表示法表示的函数。
1.2.3 参数表示法在一个函数的定义域内，用一个参数表示函数的因变量和自变量之间的关系。
例如，函数f(x)=sin(x)就是一个用参数表示法表示的函数，其中sin是一个参数。
1.2.4 函数图像函数图像是函数在坐标系中的图形。
如果函数的定义域和值域都是实数集合，那么可以用二维笛卡尔坐标系来表示函数的图像。
例如，函数f(x)=x^2-2x+1的图像是一条开口向上的抛物线。
1.3 三角函数1.3.1 弧度制弧度（radian）是表示角度大小的一种单位。
一弧度表示角度中圆心角对应的弧长等于半径的长度。
例如，一个半径为1的圆的周长是2π，那么一弧度对应的角度大小就是360°/2π≈57.3°。
1.3.2 三角函数的定义令在单位圆上顺时针旋转的角度为θ，则定义三角函数为：sinθ=纵坐标（y）cosθ=横坐标（x）tanθ=纵坐标（y）/横坐标（x）cotθ=横坐标（x）/纵坐标（y）secθ=1/cosθcscθ=1/sinθ1.3.3 三角函数的基本关系式sin^2θ+cos^2θ=1tanθ=sinθ/cosθcotθ=1/tanθ1.3.4 三角函数的性质周期性：sin(x+2π)=sinx，cos(x+2π)=cosx，tan(x+π)=tanx，cot(x+π)=cotx。
高中数学课堂笔记-知识点
高中数学选修2----2知识点第一章导数及其应用 一． 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆ 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log x a f x =,则1()ln f x x a'=8 若()ln f x x =,则1()f x x '= 2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章 推理与证明把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
江苏省高考数学状元笔记
江苏省高考状元笔记第I 卷 160分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石! A 、1～4题，基础送分题，做到不失一题！ A1.集合性质与运算 1、性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ．如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，． 【注意】：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集．（×） ③ 空集的补集是全集．④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）．2、若Ａ={123,,n a a a a }，则Ａ的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个.3、A B C A B A C A B C A B A C ==（）（）（）,（）（）（）；A B C A B C A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂=（）（）,（）（）C BA U4、 De Morgan 公式:()U U U C A B C A C B =；()U U U C A B C A C B =. 【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具. 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
A2.命题的否定与否命题*1.命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别：命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝,否命题是p q ⌝⇒⌝.命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”,“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”. *2.常考模式：全称命题p ：,()x M p x ∀∈；全称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∃∈⌝. 特称命题p ：,()x M p x ∃∈；特称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∀∈⌝.A3.复数运算*1.运算律：⑴m n m n z z z +⋅=； ⑵()m n mn z z =； ⑶1212()(,)m m m z z z z m n N ⋅=∈.【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：⑴1212||||||z z z z =； ⑵1122||||||z z z z =； ⑶nn z z =.*3.重要结论：⑴2222121212||||2||||()z z z z z z -++=+；⑵2212z z z z ⋅==； ⑶()212i i ±=±； ⑷11i i i-=-+，11i i i +=-； ⑸i 性质：T=4；1 , ,1,4342414=-=-==+++n n n n i i i i i i . 【拓展】：()()3211101ωωωωω=⇔-++=⇔=或13i 22ω=-±.A4.幂函数的的性质及图像变化规律： (1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图像都过点(1,1)； (2)0a >时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1a >时，幂函数的图像下凸；当01a <<时，幂函数的图像上凸； (3)0a <时，幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23a =的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且1-=x 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了. A5.统计1.抽样方法：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（nN）.2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图).12y x =3y x=12y x =yx1xy =1O⑴频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。
状元笔记第5讲 数量关系(无水印)
三、深度课程 （一）枚举归纳 注例：十阶楼梯，小张每次只能走 1 阶或 2 阶，问走完有多少种方法？A55 B67 C74 89 解析：有 n 阶，迈第一步可以是 1 阶，也可以是 2 阶，所以 an=a(n-1)+a（n-2）故而是递 推和数列。 所以 1+2+3+5+8+13+21+34+55=89，选 D。 （二）运算拓展 定义运算： 恒等变换： 极值求解： 注例：已知 x^1/2=a^1/2-1/(a^1/2)，则 x+2+(x^2+4x)^1/2=? A1/a Ba C2a D2/a 解析，带入特殊值 1，根据单调性选 C，或者带入 2。 （三）数列综合 1、基础数列型： （1）求和公式：Sn=平均数×n=中位数×n=（a1+an）*n/2； （2）项数公式：n=(an-a1)/d+1； 2、奇数求和型：前 n 个奇数错和=n^2。 3、等比数列型：an=a1*q^(n-1)；Sn=a1(1-q^n)/(1-q) (四)拓展排列组合 捆绑插空型： 错位排列型：3 个全错 4 种，4 个全错 9 种，5 个全错 44 种。 分配插板型： 注例：某领导要把 20 项任务分给三个下属，每个下属至少分得三项任务，则共有（）种不 同的分配方案？A28 B36 C54 D78 解析：转化成每人分配 1 个，即 20-2×3=14，每人至少分一个，即 C13 2=D。 （五）抽屉原理 最不利情形+1 （六）拓展牛吃草 （七）约数倍数：整数计算性、小数分数型、约数个数型。 如果将一个数字进行质因数分解，把各个质因数的幂次数字分别加 1，再相乘，得到的数字 就是这个数字的约数的个数，最小的约数为 1，最大的约数就是这个数字自己。（原理是分 步法） 注例：一个数有 6 个约数，其最小的 3 个约数之和为 11，z 满足条件的所有数字之和是？ A210
数学运算状元笔记
数学运算1，行测考的不是计算能力，数学运算中很少很少出现需要大计算量的题目，一般都可以“巧取豪夺”。
2，要善于运用排除法。
比较常见的是首尾数法和量级法。
量级法也就是选项数字不接近，完全可以估算结果的量级（也就是几位数）来直接选出。
3，选项是关键，看到选项要想到如何利用它们。
4，特殊值是个很好的方法，选个最简单的满足题意的数，代入，往往就直接能得出答案，反正是选择题，这是合情合理合法合心的。
5，裂项求和差法m/（a×b）=（1/a-1/b）×m/（b-a）常见b=a+1，m=1.有的分式加法没有给出乘积形式，需要自己去拆分。
6，我个人觉得，在数学运算中解方程是件吃力不讨好的事情，不如直接去算～～当然，也许这只是我个人感觉，还是看你自己喜欢哪个7，差分法是个非常实用的方法，在资料分析中也往往能用到～当然啦，首尾数法和量级法也是常客。
所谓差分法，就是2个看上去差不多大的分数，比如a/b和m/n，假设a>m，b>n，那么a/b就是大分数，m/n就是小分数，而（a-m）/（b-n）就是差分数。
若差分数比小分数大（小/相等），则大分数比小分数大（小/相等）。
另外有时候是a×n和m×b的形式，需要同时除以b×n，化为a/b和m/n的形式但是万法随心，不可拘泥～比如我看有本书上为差分法配的例子，是4个分数的比较，这个完全可以与和他们接近的某个值相减，得到差再比较，省时省力多矣～～8，十字交叉法也是个好方法～可惜我不会在WORD上打出来，可以在网上找下9，对于某些题目，题目条件较为复杂，而答案相对简单，可以考虑代入法10，、基础知识与基本思想一，公倍数与公约数1，质因子法是求最大公因数和最小公倍数的基本方法2，短除式法也是常用方法二，数的整除性质1，7整除判定基本法则一个数是7的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为7的倍数。
这个好证明：设一个数为Xabc（X除去末三位后剩下的数，abc为末三位），那么Xabc=1000X+abc=1000（X-abc）+1001abc，因为1001=7*11*13，所以1001abc必然是7的倍数（同理也必然是11的倍数，13的倍数），所以，若X-abc能被7整除，则Xabc能被7整除。
高三数学复习知识点笔记
高三数学复习知识点笔记(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学笔记(全部版)
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百炼成钢、精益求精、凤凰涅槃、破茧成蝶等等有比拟多的人需要我再整理,
高三数学复习资料复习笔记
高中数学复习笔记（整理于2013-8）一、 函数图象1、对称：y=f （x ）及y=f （-x ）关于y 轴对称，例如：x a y =及x a y -=（10≠>a a 且）关于y 轴对称y=f （x ）及y= —f （x ）关于x 轴对称，例如：21x y =及21x y -=关于x 轴对称y=f （x ）及y= —f （-x ）关于原点对称，例如：21x y =及21）（x y --=关于原点对称y=f （x ）及y=f 1-（x ）关于y=x 对称，例如： y=10x 及y=lgx 关于y=x 对称y=f （x ）及y= —f 1-（—x ）关于y= —x 对称，如：y=10x 及y= —lg （—x ）关于y= —x 对称注：偶函数的图象本身就会关于y 轴对称，而奇函数的图象本身就会关于原点对称，例如：2x y =图象本身就会关于y 轴对称，3x y =的图象本身就会关于原点对称。
y=f （x ）及y=f （a —x ）关于x=2a对称（）注：求y=f （x ）关于直线±x ±y ±c=0（注意此时的系数要么是1要么是-1）对称的方程，只需由x ±y+c=0解出x 、y 再代入y=f （x ）即可，例如：求y=2x+1关于直线x-y-1=0对称的方程，可先由x-y-1=0解出x=y+1，y=x-1，代入y=2x+1得：x-1=2（y+1）整理即得：x-2y-3=02、平移：y=f （x ）→y= f （ωx+φ）先向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位，再保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的ω1倍（若y= f （ωx+φ）→ y=f （x ）则先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的ω倍，再将整个图象向右（φ>0）或向左（φ<0）平移|φ|个单位，即及原先顺序相反）y=f （x ）→y= f 先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的|ω1|倍，然后再将整个图象向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|ωφ|个单位，（反之亦然）。
高二数学选择性必修一笔记整理
高二数学选择性必修一笔记整理1.高二数学选择性必修一笔记整理篇一判断函数零点个数的常用方法1、解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。
2、零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点。
3、数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数。
已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法1、直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围。
2、分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决。
3、数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解。
2.高二数学选择性必修一笔记整理篇二函数的性质函数的单调性、奇偶性、周期性单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有:定义法(作差比较和作商比较)导数法(适用于多项式函数)复合函数法和图像法。
应用:比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称，比较f(x)与f(-x)的关系。
f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数;f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。
判别方法:定义法，图像法，复合函数法应用:把函数值进行转化求解。
周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。
3.高二数学选择性必修一笔记整理篇三总体和样本①在统计学中,把研究对象的全体叫做总体。
②把每个研究对象叫做个体。
步步高学习笔记必修第一册
第2课时 简单的三角恒等变换(二)学习目标 1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题． 导语同学们，我们从开始学习两角差的余弦，就尝试对展开式进行合并，尤其是一些特殊的形式，比如sin x ＋cos x 等，其实从那个时候起，就开始有了辅助角公式的影子，大家知道吗？辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对整个三角函数产生了巨大的影响，今天，我们就和李善兰先生，一起来探究辅助角公式的意义吧． 一、三角恒等变换与三角函数问题1 请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin x ±cos x ，sin x ± 3cos x ，cos x ±3sin x .提示 sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4，sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3，cos x ±3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6±x . 上述三角函数式，实际上是a sin x ＋b cos x (ab ≠0)的特殊形式，上述一组恒等式中的a ，b 较为特殊，经过一定的配凑，可以得到一些特殊角的三角函数值，那么对于一般的实系数a ，b ，是否也能进行合并呢？问题2 一般地，对于y ＝a sin x ＋b cos x ，你能对它进行合并吗？ 提示 第一步：提常数，提出a 2＋b 2， 得到a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ；第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2， 得到a 2＋b 2(cos φsin x ＋sin φcos x )； 第三步：化简、逆用公式得a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba .知识梳理 辅助角公式y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝ba 注意点：(1)该函数的最大值为a 2＋b 2，最小值为－a 2＋b 2； (2)有时y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2cos(x －θ)．例1 已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)f (x )＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )有最大值22，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z . 反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y ＝a sin x ＋b cos x 转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)或y ＝a 2＋b 2cos(x ＋φ)的形式，以便研究函数的性质．跟踪训练1 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，得f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4， 所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π3， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上单调递增， 且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 二、三角恒等变换在几何中的应用例2 (教材227页例10改编)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解 如图，连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.因为AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， 所以S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12＝22cos(2θ－45°)－12. 当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S (矩形ABCD )max ＝2－12(m 2)，所以割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2.反思感悟 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想．跟踪训练2 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最长？解 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ， 则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α，所以l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋R . 因为0<α<π2，所以π4<α＋π4<3π4，所以当α＋π4＝π2，即α＝π4时，l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，故当α＝π4时，△OAB 的周长最长．三、三角恒等变换在实际问题中的应用例3 如图，OA ，OB 是两条互相垂直的笔直公路，半径OA ＝2 km 的扇形AOB 是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB 上新增一个入口P (点P 不与A ，B 重合)，并新建两条都与圆弧AB 相切的笔直公路MB ，MN ，切点分别是B ，P .当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA ＝θ，公路MB ，MN 的总长为f (θ)．(1)求f (θ)关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域；(2)当θ为何值时，投资费用最低？并求出f (θ)的最小值．(注：已知a ，b ∈R *，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”)解 (1)连接OM (图略)，在Rt △OPN 中，OP ＝2，∠POA ＝θ，故NP ＝2tan θ. 根据平面几何知识可知，MB ＝MP ，∠BOM ＝12∠BOP ＝12⎝⎛⎭⎫π2－θ＝π4－θ2. 在Rt △BOM 中，OB ＝2，∠BOM ＝π4－θ2，故BM ＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ2.所以f (θ)＝NP ＋2BM ＝2tan θ＋4tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ2. 显然θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以函数f (θ)的定义域为⎝⎛⎭⎫0，π2. (2)令α＝π4－θ2，则θ＝π2－2α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π4. 所以f (θ)＝2tan ⎝⎛⎭⎫π2－2α＋4tan α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2αcos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＋4tan α＝2cos 2αsin 2α＋4tan α ＝2tan 2α＋4tan α ＝1－tan 2αtan α＋4tan α＝1tan α＋3tan α≥23， 当且仅当1tan α＝3tan α，即tan α＝33时等号成立． 此时α＝π6，θ＝π6，故当θ＝π6时，投资费用最低，f (θ)min ＝2 3.反思感悟 实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题．跟踪训练3 在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝________.答案725解析 由题意得5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 所以cos θ－sin θ＝15，又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2， 所以cos θ＋sin θ＝75，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725.1．知识清单： (1)辅助角公式．(2)三角恒等变换的综合问题． (3)三角函数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：易忽视实际问题中的定义域．1．已知3sin x ＋cos x ＝22，则cos ⎝⎛⎭⎫x －π3等于( ) A.12 B.24 C.23 D.34 答案 B解析 ∵3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝22， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝24，则cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝24. 2．若函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ，则( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )的最大值为2C ．函数f (x )的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π8，0D ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π，9π8上单调递增 答案 D解析 f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，∴函数f (x )的最小正周期为π，函数f (x )的最大值为2，故A ，B 错误；由f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝2≠0，故C 错误；由π<x <9π8，得9π4<2x ＋π4<5π2，可知函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π，9π8上单调递增，故D 正确． 3．当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，关于x 的方程3sin x －cos x －m ＝0有解，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－2，3) B ．[－2，3] C ．(－3，3) D ．[－3，3]答案 B解析 由题意知，关于x 的方程3sin x －cos x －m ＝0，即3sin x －cos x ＝m 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上有解，则函数y ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象与直线y ＝m 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上有交点，如图，由图象易得，－2≤m ≤ 3.4．函数f (x )＝3sin x ＋5sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是________． 答案 7解析 f (x )＝3sin x ＋5⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝112sin x ＋532cos x ＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋φ)＝7sin(x ＋φ)，所以f (x )max ＝7.课时对点练1.3cos 15°－4sin 215°cos 15°等于( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2 答案 D 解析3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30° ＝3cos 15°－sin 15° ＝－2⎝⎛⎭⎫12sin 15°－32cos 15°＝－2sin(－45°)＝ 2. 2.sin 8°＋3cos 8°2cos 22°等于( )A. 2 B ．1 C.22 D.12答案 A解析 sin 8°＋3cos 8°2cos 22°＝2⎝⎛⎭⎫12sin 8°＋32cos 8°2cos 22°＝2sin (8°＋60°)2cos 22°＝2sin 68°2cos 22°＝ 2.3．若3sin α－cos α＝105，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3等于( ) A.105 B ．－105 C.1010D ．－1010答案 D解析 ∵3sin α－cos α＝2⎝⎛⎭⎫32sin α－12cos α＝－2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝105，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1010. 4．函数f (x )＝sin x ＋cos x 的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，0B.⎝⎛⎭⎫π4，0C.⎝⎛⎭⎫－π2，0D.⎝⎛⎭⎫－π4，0 答案 D解析 因为f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心特征可知，对称中心是函数f (x )的图象与x 轴的交点，四个选项中只有当x ＝－π4时，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0，即函数f (x )的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－π4，0. 5．若3sin x ＋cos x ＝4－m ，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2,6] B ．[－6,6] C ．(2,6) D ．[2,4]答案 A解析 ∵3sin x ＋cos x ＝4－m ， ∴32sin x ＋12cos x ＝4－m 2， ∴sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝4－m 2，∴cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝4－m 2.∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x －π3≤1，∴－1≤4－m 2≤1，∴2≤m ≤6. 6．(多选)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最大值为2 B ．f (x )的最小正周期为π C ．f (x )关于直线x ＝－π8对称D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 答案 BCD解析 ∵f (x )＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12， ∴f (x )max ＝22＋12＝2＋12，最小正周期T ＝2π2＝π.当x ＝－π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－1， ∴直线x ＝－π8为对称轴．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增， 综上有B ，C ，D 正确，A 不正确．7．已知函数f (x )＝2sin x ＋3cos x ，x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)的最大值是________． 答案 213解析 因为f (x )＝2sin x ＋3cos x ＝13sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝32， 所以f (x )max ＝13，f (x )min ＝－13， 因为x 1，x 2∈R ，所以f (x 1)－f (x 2)的最大值为f (x 1)max －f (x 2)min ＝13－(－13)＝213.8.如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为π2，若P 为弧AB 上异于A ，B 的点，且PQ ⊥OB 交OB 于点Q ，当△POQ 的面积大于38时，∠POQ 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫π6，π3解析 设∠POQ ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，则PQ ＝sin θ，OQ ＝cos θ，∴S △POQ ＝12sin θcos θ＝14sin 2θ，由14sin 2θ>38，得sin 2θ>32.又2θ∈(0，π)，∴π3<2θ<2π3，则π6<θ<π3，∴∠POQ 的取值范围为⎝⎛⎭⎫π6，π3. 9．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求函数f (x )图象的相邻两条对称轴的距离；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的最大值与最小值，以及此时x 的取值． 解 f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. (1)函数f (x )图象的相邻两条对称轴的距离为T 2＝π2.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，∴当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值为3；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值为0.10．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－2sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数的值域．解 (1)因为f (x )＝(sin x ＋cos x )2－2sin 2x＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x －2sin 2x＝2sin x cos x ＋cos 2x －sin 2x＝sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ∈[0，π]，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，所以函数f (x )的值域是[]－1，2.11．在△ABC 中，sin C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，则此三角形的形状是() A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵C ＝π－(A ＋B )，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，∴2sin A ＋B 2cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2cos A －B 22cos A ＋B 2cos A －B 2，∴2cos 2A ＋B 2＝1，即cos(A ＋B )＝0，∴A ＋B ＝π2，∴C ＝π2，故此三角形为直角三角形．12．若不等式4sin 2x ＋43sin x cos x ＋5≤m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有解，则实数m 的最小值为() A ．11 B ．5 C ．－5 D ．－11答案 B解析 设y ＝4sin 2x ＋43sin x cos x ＋5＝2(1－cos 2x )＋23sin 2x ＋5＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋7.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋7∈[5,11]，又y ≤m 有解，故实数m 的最小值为5.13．若函数f (x )＝|3sin x ＋4cos x ＋m |的最大值是8，则m 等于( )A ．3B ．13C ．3或－3D ．－3或13答案 C解析 ∵f (x )＝|3sin x ＋4cos x ＋m |，∴f (x )＝|5sin(x ＋φ)＋m |，∵－5≤5sin(x ＋φ)≤5，∴当m >0时，f (x )max ＝|5＋m |＝8，解得m ＝3；当m <0时，f (x )max ＝|－5＋m |＝8，解得m ＝－3.14.如图，已知OPQ 是半径为5，圆心角为θ(tan θ＝2)的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．当矩形ABCD 的周长最大时，BC 边的长为________．答案 5 解析 由⎩⎨⎧ tan θ＝sin θcos θ＝2，sin 2θ＋cos 2θ＝1，0<θ<π2，得⎩⎨⎧ sin θ＝255，cos θ＝55，设∠COP ＝α，则AD ＝BC ＝OC sin α＝5sin α， OB ＝OC cos α＝5cos α，在Rt △OAD 中，∠AOD ＝θ，∴OA ＝AD tan θ＝52sin α，∴CD ＝AB ＝OB －OA ＝5cos α－52sin α，∴矩形ABCD 的周长为2(AB ＋BC )＝2×⎝⎛⎭⎫5cos α－52sin α＋5sin α＝5()sin α＋2cos α＝55sin ()α＋θ，当α＋θ＝π2时，矩形ABCD 的周长取最大值55，此时BC ＝5sin α＝5sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝5cos θ＝ 5.15．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为() A.⎝⎛⎭⎫116，176 B.⎣⎡⎭⎫116，176 C.⎝⎛⎭⎫53，83 D.⎣⎡⎭⎫53，83答案 B解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由x ∈[0，π]， 又ω>0，则可令t ＝ωx ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，ωπ＋π6， 又函数y ＝2sin t 在t ∈⎣⎡⎦⎤π6，ωπ＋π6上有两个零点，作图如下，则2π≤ωπ＋π6<3π，解得ω∈⎣⎡⎭⎫116，176. 16.如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m.(1)如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？(2)沿着AB ，BC ，CD 修一条步行小路从A 到D ，如何选择A ，D 位置，使步行小路的距离最远？解 (1)连接OB ，如图所示，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为A ，D 关于点O 对称，所以AD ＝2OA ＝40cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以当sin 2θ＝1，即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2.(2)由(1)知AB ＝20sin θ，AD ＝40cos θ，所以AB ＋BC ＋CD ＝40sin θ＋40cos θ＝402sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 当θ＋π4＝π2，即θ＝π4时，(AB ＋BC ＋CD )max ＝402， 此时AO ＝DO ＝102，即当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，步行小路的距离最远．。