河北省衡水中学2010届下学期高三年级第三次模拟考试数学试卷(理科)
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三下学期第三次摸底考试数学(理)试题(解析版)
河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知集合,则集合等于（）A. B. C. D.【解析】D【解析】,选D.2. ,若,则等于（）A. B. C. D.【解析】A【解析】设,则,选A.点睛:本题重点考查复数地基本运算和复数地概念,属于基本题.首先对于复数地四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如. 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数地实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 数列为正项等比数列,若,且,则此数列地前5项和等于（）A. B. 41 C. D.【解析】A【解析】因为,所以,选A.4. 已知、分别是双曲线地左、右焦点,以线段为边作正三角形,如果线段地中点在双曲线地渐近线上,则该双曲线地离心率等于（）A. B. C. D.2【解析】D【解析】由题意得渐近线斜率为,即,选D.5. 在中," "是""地（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】B【解析】时,,所以必要性成立；时,,所以充分性不成立,选B.6. 已知二次函数地两个零点分别在区间和内,则地取值范围是（）A. B. C. D.【解析】A学|科|网...【解析】由题意得,可行域如图三角形内部（不包括三角形边界,其中三角形三顶点为）:,而,所以直线过C取最大值,过B点取最小值,地取值范围是,选A.点睛:线性规划地实质是把代数问题几何化,即数形结合地思想.需要注意地是:一,准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应地直线时,要注意与约束条件中地直线地斜率进行比较,避免出错；三,一般情况下,目标函数地最大或最小值会在可行域地端点或边界上取得.7. 如图,一个简单几何体地正视图和侧视图都是边长为2地等边三角形,若该简单几何体地体积是,则其底面周长为（）A. B. C. D.【解析】C【解析】由题意,几何体为锥体,高为正三角形地高,因此底面积为,即底面为等腰直角三角形,直角边长为2,周长为,选C.8. 20世纪30年代,德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想:任给一个正整数 ,如果是偶数,就将它减半；如果是奇数,则将它乘3加1,不断重复这样地运算,经过有限步后,一定可以得到1,这就是著名地""猜想.如图是验证""猜想地一个程序框图,若输出地值为8,则输入正整数地所有可能值地个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 无法确定【解析】B【解析】由题意得；,因此输入正整数地所有可能值地个数为4,选B.9. 地展开式中各项系数地和为16,则展开式中项地系数为（）A. B. C. 57 D. 33【解析】A【解析】由题意得,所以展开式中项地系数为,选A.点睛:求二项展开式有关问题地常见类型及解题策略(1)求展开式中地特定项.可依据条件写出第项,再由特定项地特点求出值即可.(2)已知展开式地某项,求特定项地系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.10. 数列为非常数列,满足:,且对任何地正整数都成立,则地值为（）A. 1475B. 1425C. 1325D. 1275【解析】B【解析】因为,所以,即,所以,叠加得,,,即从第三项起成等差数列,设公差为 ,因为,所以解得,即,所以 ,满足,,选B.11. 已知向量满足,若,地最大值和最小值分别为,则等于（）A. B. 2 C. D.【解析】C【解析】因为所以；因为,所以学|科|网...地最大值与最小值之和为,选C.12. 已知偶函数满足,且当时,,关于地不等式在上有且只有200个整数解,则实数地取值范围是（）A. B. C. D.【解析】C【解析】因为偶函数满足,所以,因为关于地不等式在上有且只有200个整数解,所以关于地不等式在上有且只有2个整数解,因为,所以在上单调递增,且,在上单调递减,且,因此,只需在上有且只有2个整数解,因为,所以,选C.点睛:对于方程解地个数(或函数零点个数)问题,可利用函数地值域或最值,结合函数地单调性、草图确定其中参数范围．从图象地最高点、最低点,分析函数地最值、极值；从图象地对称性,分析函数地奇偶性；从图象地走向趋势,分析函数地单调性、周期性等．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将解析填在答题纸上13. 为稳定当前物价,某市物价部门对本市地5家商场地某商品地一天销售量及其价格进行调查,5家商场商品地售价元和销售量件之间地一组数据如下表所示:价格8.599.51010.5销售量1211976由散点图可知,销售量与价格之间有较好地线性相关关系,其线性回归方程是,则__________．【解析】39.4【解析】点睛:函数关系是一种确定地关系,相关关系是一种非确定地关系.事实上,函数关系是两个非随机变量地关系,而相关关系是非随机变量与随机变量地关系.如果线性相关,则直接根据用公式求,写出回归方程,回归直线方程恒过点.14. 将函数地图象向右平移个单位（）,若所得图象对应地函数为偶函数,则地最小值是__________．【解析】【解析】向右平移个单位得为偶函数,所以,因为,所以学|科|网...点睛:三角函数地图象变换,提倡"先平移,后伸缩",但"先伸缩,后平移"也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15. 已知两平行平面间地距离为,点,点,且,若异面直线与所成角为60°,则四面体地体积为__________．【解析】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE,取,则16. 已知是过抛物线焦点地直线与抛物线地交点,是坐标原点,且满足,则地值为__________．【解析】【解析】因为,所以因此,所以因为,所以,因此三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图,已知关于边地对称图形为,延长边交于点,且,.（1）求边地长；（2）求地值.【解析】（1）（2）【解析】试卷分析:（1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出．再由余弦定理求出,最后根据角平分线性质定理得边地长；（2）先由余弦定理求出,再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求地值.试卷解析:解:（1）因为,所以,所以．因为,所以,所以,又,所以．（2）由（1）知,所以,所以,因为,所以,所以．学|科|网...18. 如图,已知圆锥和圆柱地组合体（它们地底面重合）,圆锥地底面圆半径为,为圆锥地母线,为圆柱地母线,为下底面圆上地两点,且,, .（1）求证:平面平面；（2）求二面角地正弦值．【解析】（1）见解析（2）【解析】试卷分析:（1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面,即有,最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角,一般利用空间向量进行求解,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试卷解析:解:（1）依题易知,圆锥地高为,又圆柱地高为,所以,因为,所以,连接,易知三点共线,,所以,所以,解得,又因为,圆地直径为10,圆心在内,所以易知,所以．因为平面,所以,因为,所以平面．又因为平面,所以平面平面．（2）如图,以为原点,、所在地直线为轴,建立空间直角坐标系．则．所以,设平面地法向理为,所以,令,则．可取平面地一个法向量为,所以,所以二面角地正弦值为．19. 如图,小华和小明两个小伙伴在一起做游戏,他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶,他们规定从平地开始,每次划拳赢地一方登上一级台阶,输地一方原地不动,平局时两个人都上一级台阶,如果一方连续两次赢,那么他将额外获得一次上一级台阶地奖励,除非已经登上第3个台阶,当有任何一方登上第3个台阶时,游戏结束,记此时两个小伙伴划拳地次数为．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶地概率；（2）求地分布列和数学期望．【解析】（1）（2）学|科|网...【解析】试卷分析:（1）根据等可能性知每次赢、平、输地概率皆为．再分两种情况分别计数:一种是小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,逆推确定事件数及对应划拳地次数,最后利用互斥事件概率加法公式求概率,（2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试卷解析:解:（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个,其中小华赢（或输）包含三个基本事件上,他们平局也为三个基本事件,不妨设事件"第次划拳小华赢"为；事件"第次划拳小华平"为；事件"第次划拳小华输"为,所以．因为游戏结束时小华在第2个台阶,所以这包含两种可能地情况:第一种:小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平；其概率为,第二种:小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,其概率为所以游戏结束时小华在第2个台阶地概率为．（2）依题可知地可能取值为2、3、4、5,,,,所以地分布列为:2345所以地数学期望为:．20. 如图,已知为椭圆上地点,且,过点地动直线与圆相交于两点,过点作直线地垂线与椭圆相交于点．（1）求椭圆地离心率；（2）若,求．【解析】（1）（2）【解析】试卷分析:（1）根据题意列方程组:,解方程组可得,,再根据离心率定义求椭圆地离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线地距离,再根据点到直线距离公式求直线AB地斜率,根据垂直关系可得直线PQ地斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试卷解析:解:（1）依题知,解得,所以椭圆地离心率；（2）依题知圆地圆心为原点,半径为,所以原点到直线地距离为,因为点坐标为,所以直线地斜率存在,设为．所以直线地方程为,即,所以,解得或．①当时,此时直线地方程为,所以地值为点纵坐标地两倍,即；②当时,直线地方程为,将它代入椭圆地方程,消去并整理,得,设点坐标为,所以,解得,所以．点睛:有关圆锥曲线弦长问题地求解方法涉及弦长地问题中,应熟练地利用根与系数关系,设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点地弦地问题,可考虑用圆锥曲线地定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数,其中为自然对数地底数．（参考数据:）（1）讨论函数地单调性；（2）若时,函数有三个零点,分别记为,证明:．【解析】（1）见解析（2）见解析【解析】试卷分析:（1）先求函数导数,根据参数a讨论:当时,是常数函数,没有单调性．当时,先减后增；当时,先增后减；（2）先化简方程,整体设元转化为一元二次方程:．其中,再利用导数研究函数地图像,根据图像确定根地取值范围,进而可证不等式.试卷解析:解:（1）因为地定义域为实数,所以．①当时,是常数函数,没有单调性．②当时,由,得；由,得．所以函数在上单调递减,在上单调递增．③当时,由得,；由,得,学|科|网...所以函数在上单调递减,在上单调递增．（2）因为,所以,即．令,则有,即．设方程地根为,则,所以是方程地根．由（1）知在单调递增,在上单调递减．且当时,,当时,,如图,依据题意,不妨取,所以,因为,易知,要证,即证．所以,又函数在上单调递增,所以,所以．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线地倾斜角为,且经过点,以坐标系地原点为极点,轴地非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线地极坐标方程为,直线与曲线相交于两点,过点地直线与曲线相交于两点,且．（1）平面直角坐标系中,求直线地一般方程和曲线地标准方程；（2）求证:为定值．【解析】（1）,（2）【解析】试卷分析:（1）根据点斜式可得直线地一般方程,注意讨论斜率不存在地情形；根据将曲线地极坐标方程化为直角坐标方程,配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长:先列出直线参数方程,代入圆方程,根据及韦达定理可得,类似可得,相加即得结论.试卷解析:解:（1）因为直线地倾斜角为,且经过点,当时,直线垂直于轴,所以其一般方程为,当时,直线地斜率为,所以其方程为,即一般方程为．因为地极坐标方程为,所以,因为,所以．所以曲线地标准方程为．（2）设直线地参数方程为（为参数）,学|科|网...代入曲线地标准方程为,可得,即,则,所以,同理,所以．23. 选修4-5:不等式选讲已知实数满足．（1）求地取值范围；（2）若,求证:．【解析】（1）（2）见解析【解析】试卷分析:（1）因为,所以,又,即得地取值范围；（2）因为,而,即证.试卷解析:解:（1）因为,所以．①当时,,解得,即；②当时,,解得,即,所以,则,而,所以,即；（2）由（1）知,因为当且仅当时取等号,所以．。
河北省衡水中学2010届高三第三次模拟考试(理综)B卷
绝密*启用前试卷类型:B2010年普通高等学校招生全国统一考试河北衡水中学三模试卷理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分：300分考试时间：150分钟卷Ⅰ（共126分）注意事项：1.答卷Ⅰ前请将自己的姓名.考号填涂在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时要用2B铅笔将答案填涂在答题卡上，答在试卷上无效。
一、选择题（本题共13小题，每小题6分，共78分。
下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．科学家在染色体中找到了一种使姐妹染色单体连接成十字型的关键蛋白质，将其命名为“ASURA”下列与之有关的叙述不正确的是（）A．ASURA合成的场所是细胞之中的核糖体B．ASURA可在有丝分裂期间大量合成C．缺少ASURA的细胞，染色体数目可能会发生异常D．ASURA与减数第一次分裂后期染色体的行为变化密切相关2．图2示种群年龄组成的三种类型，解读此图可获得的信息是（）①a、b、c可分别表示同一物种的三个不同种群中各年龄期个体在种群中所占的比例②三个种群中处于繁殖期的个体数的比较是a>b>c③三个种群的出生率的比较是a>b>e④三个种群的迁入率与迁出率的比较a>b>cA．只有①③ B．只有①②③C．只有①③④D．只有②③④3．科学家对单侧光可诱发胚芽鞘尖端的生长素向背光一侧运输的问题进行了深入的研究，发现植物的表皮细胞、叶肉细胞和保卫细胞的细胞膜上有一种蓝光信号的光受体蛋白——黄素蛋白，可诱发生长素向背光一侧运输。
为验证上述发现，下列实验设置正确的是（）A．A、B组分别作为实验组和对照组B．C、D组依次作为实验组和对照组C．A组为实验组，设红、蓝光等为对照组D．C组为对照组，设红、蓝光等为实验组4．下列与病毒相关的表达中，正确的有A．面对病毒的感染，人体往往是先通过体液免疫的作用来阻止病毒通过血液而散播，再通过细胞免疫予以消灭，被流感病毒侵染的人应立即使用抗生素，以抑制病毒的增殖B．可以用动物细胞培养液培养的甲型HIN1流感病毒（猪流感病毒）对其进行分析，进而加快疫苗的研制C．将噬菌体制成“生物农药”可特异性地杀灭松毛虫等农林害虫D．灭活后可制备疫苗，灭活后可作为动物细胞融合的诱导剂，一些DNA病毒可作为基因工程中目的基因的运载体5. 某免疫学研究人员将病毒q注入A组小鼠体内，其小鼠均死亡；而将同剂量的病毒q注入B组小鼠体内，其小鼠只在第1周发热，以后恢复健康。
河北省衡水中学2010—2011学年度高三第一次模拟考试试卷及参考答案 数学理
河北省衡水中学2010—2011学年度高三第一次模拟考试数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷 3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-= ，，，第I 卷 选择题 （共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 如果复数)(12R a iai∈+-为纯虚数，则a= （ ）A ．2-B ．2C ．1D ．02．设全集U R =，集合{|1}A x x =≥-，集合{|13}B x x =-<<，则下列关系中正确的是（ ）A ．U ()AB R = ð B ．U ()B A R = ðC ．A B ⊂≠D ．B A ⊂≠3．已知函数()|1||1|.f x x x =--+如果(())(9)1f f a f =+，则实数a 等于 （ ）A ．14-B ．1-C ．1D ．324．设函数()cos f x x =，把()f x 的图象向右平移m 个单位后，图象恰好为函数'()y f x =- 的图象，则m 的值可以为（ ）A ．34πB ．4πC ．2πD ．π 5．正四棱锥P —ABCD 的底面积为3，体积为,22E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为（ ）A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6．直线MN 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右支分别交于M N 、点，与双曲线的右准线相交于P 点，F 为右焦点，若||2||,FM FN =又()NP PM R λλ=∈,则实数λ的值为（ ）A ．3B ．2C ．13D ．127．设a ，b ，m 为正整数，若a 和b 除以m 的余数相同，则称a 和b 对m 同余．记作(mod )a b m ≡，已知122420104020201020102010333,b a(mod10)a C C C =+++≡ ， 则b 的值可以是（ ）A ．2010B ．2009C ．2008D ．20078．已知函数1()ln()x f x x ax e-=+在点(1,0)处的切线经过椭圆2244x my m +=的右焦点，则椭圆的离心率为（）A B ．12CD 9．如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+AQ =23AB +14AC，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为（ ） A ．45B ．15C ．14D ．1310．已知实数,x y 满足22221(0,0)x y a b a b-=>>，则下列不等式成立的是（ ）A ．||by x a < B ．||2by x a >-C ．||by x a>-D ．2||by x a<11．现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有（ ）种 （ ） A ．216 B ．360 C ．432 D ．1080 12．定义在R 上的函数()f x 满足(0)0,()(1)1,(5)2(f f x x f x f x =+-==，且当1201x x ≤≤≤时，12()()f x f x ≤，则34f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）A ．14B ．12C ．18D ．116第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题 （本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知数列=+++==+1322152,16,2,}{n n n a a a a a a a a a 则是等比数列 ． 14．平面α、β、γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β、γ的距离都是3，P 是α上的动点，P 到β的距离是到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值为 15．设0,0,4a b a b ab >>+=，则在以(),a b 为圆心，a b +为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是 ．16．设,m n Z ∈,已知函数()()2log 4f x x =-+的定义域是[],m n ，值域是[]0,2，若关于x 的方程|1|210x m -++=有唯一的实数解，则m n += ．三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余12分,共70分）17．已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，所对的边分别为a 、b 、c ，向量(sin ,1cos )m B B =- 与向量(2,0)n = 的夹角为3π；（1）求角B 的大小． （2）求a cb+的取值范围．18．某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽“卡的概率是215，求抽奖者获奖的概率； （2）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及期望．19．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC ．（Ⅰ）求二面角1E AC D --的大小；（Ⅱ）在1D E 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ?若存在，求1:D P PE 的值;不存在，说明理由．20．设对于任意的实数,x y ，函数()f x ，()g x 满足1(1)()3f x f x +=,且 (0)3f =,()()2g x y g x y +=+，(5)13g =，*n N ∈（Ⅰ）求数列{()}f n 和{()}g n 的通项公式；（Ⅱ）设[()]2nn c g f n =，求数列{}n c 的前项和n S ; （Ⅲ）设()3n F n S n =-，存在整数m 和M ,使得对任意正整数n 不等式()m F n M <<恒成立,求Mm -的最小值．21．如图，已知椭圆13422=+y x 的右焦点为F ，过F 的直线（非x 轴）交椭圆于M 、N 两点，右准线l 交x 轴于点K ，左顶点为A ． （Ⅰ）求证：KF 平分∠MKN ；（Ⅱ）直线AM 、AN 分别交准线l 于点P 、Q ，设直线MN 的倾斜角为θ，试用θ表示线段PQ 的长度|PQ |，并求|PQ |的最小值．22．己知2()ln f x x ax bx =--．（Ⅰ）若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； （Ⅱ）当1,1a b ==-时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅲ）()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,AB 中点为0(,0)C x ，求证：0()0f x '<．参考答案B 卷：1—12 BDACB DBAAD DB13．()1432-n14．3 15．22(3)(6)81x y -+-= 16．1 17．解（1）2sin (cos ,sin );2(1,0)222B B B m n == 4sin cos 22B Bm n ∴=2sin 2B m =2n = cos<∙>=cos 3π=cos 2B2233B B ππ∴=⇒=-------4分 （2）23B π=3A C π∴+=sin sin sin sin()3A C A A π∴+=+-1sin sin cos cos sin sin sin()3323A A A A A A πππ=+-==+ ---------------6分3π又0<A<2333A πππ∴<+<sin()123A π∴<+≤sin sin 1,sin 3a b A Cc B ⎛++∴= ⎝⎦的取值范围是-------------------------10分 18．解：（1）设“世博会会徽”卡有n 张，由22102,415n C n C ==得--------------2分 故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为262101.3C C =----------4分（2）ξ可能取的值为0，1，2，3，4，则-------------------------------------5分4134222334442161232(0)();(1)();3813381122412811(2)()();(3)();(4)().33813381381P P C P C P C P ξξξξξ===============（每个1分10分） 所以ξ的分布列为1632248140123481818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-----------------12分 19．解：（Ⅰ）设AC 与BD 交于O ，如图所示建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =， 则1(0,1,0),((0,1,0),(0,1,2),A B C D D --设(0,1,2),E h +则11(0,2,),2),D E h CA D A ===-1D E ⊥ 平面1111,,,D AC D E AC D E D A ∴⊥⊥220,1,h h ∴-=∴=即(0,1,3)E ……………………2分1(0,2,1),(D E AE ∴== 设平面EAC 的法向量为(,,)m x y z =则由 ,,m CA m AE ⊥⊥得030y z =-++= 令1z =- ∴平面EAC 的一个法向量为(0,3,1)m =-又平面1D AC 的法向量为1111(0,2,1),cos ,m D E D E m D E m D E ⋅=∴<>==⋅||||∴二面角1E AC D --大小为45 …………………………………………………6分（Ⅱ）设111(),D P PE D E D P λλ==- 得112(0,,),111D P D E λλλλλλ==+++111121(1,0)(0,,)(,)1111A P A D D P λλλλλλλλ-∴=+==-+=++++ …10分1//A P 面113,,03(1)0,,112EAC A P m λλλλλ-∴⊥+⨯+-⨯=∴=++∴ 存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE =…………………………12分20．解：（Ⅰ）取x n =，得1(1)()3f n f n +=，取0x =，1(1)(0)13f f ==故数列{()}f n 是首项是1，公比为13的等比数列，所以11()()3n f n -=取x n =，1y =，得*(1)()2()g n g n n N +=+∈，即(1)()2g n g n +-=，故数列{()}g n 是公差为2的等差数列，又(5)13g =，所以()132(5)23g n n n =+-=+----------4分 （Ⅱ）1111[()][()]()32233n n n nn c g f n g n --===+2321121111112()3()4()(1)()()333333n n n n S c c c n n n --=+++=+++++-++2311111112()3()(1)()()333333n n n S n n n -=++++-++ ，两式相减得23111()211111131131()()()()2()2[1()]()2333333323313nn n n n n n S n n n n n n --=+++++-+=-+=--+- 所以191319231[1()]()33()4323443nn n n n n S n n -+=--+=+-⋅---------------8分（Ⅲ）19231()3()443n n n F n S n -+=-=-⋅，12312511(1)()()()(1)()043433n n n n n F n F n n -+++-=-=+> 所以()F n 是增函数，那么min ()(1)1F n F == 由于123lim03n n n -→∞+=，则9lim ()4n F n →∞=，由于1231()043n n -+>，则9()4F n <，所以91()4F n ≤< 因此当1m <且94M ≥时，()m F n M <<恒成立，所以存在正数0,1,2,,m =-- 3,4,5,M = ，使得对任意的正整数，不等式()m F n M <<恒成立．此时， min ()3M m -= --------12分 21．解：（1）法一：作MM 1⊥l于M 1，NN 1⊥l于N 1，则||||||||11K N K M NF MF =， 又由椭圆的第二定义有||||||||11N N M M NF MF =∴||||||||1111MM K M NN K N =∴∠KMM 1=∠KNN 1，即∠MKF =∠NKF ，∴KF 平分∠MKN ………………………………5分 法二：设直线MN 的方程为1+=my x ． 设M 、N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,由096)43(13412222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=my y m y x my x ∴439,436221221+-=+-=+m y y m m y y 设KM 和KN 的斜率分别为21,k k ，显然只需证21=+k k 即可．∵)0,4(K∴)4)(4()(44421212112221121--+-+=-+-=+x x y y y x y x x y x y k k 而)(4)1()1()(4212112212112y y y my y my y y y x y x +-+++=+-+043634392)(32222121=+-⋅-+-⋅=+-=m mm m y y y my 即021=+k k 得证． 5分（2）由A ，M ，P 三点共线可求出P 点的坐标为)26,4(11x y + 由A ，N ，Q 三点共线可求出Q 点坐标为)26,4(22x y +，……………………6分 设直线MN 的方程为1+=my x ．由096)43(13412222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=my y m y x my x ∴439,436221221+-=+-=+m y y m m y y …………………………………………8分 则：9)(3)(18)(24])(2[62626||212122121212112212211+++-=+++-+-=+-+=y y m y y m y y x x x x y x y x y y x y x y PQ 222222216943634394336)436(18m m m m m m m m m +=++-⋅++-⋅+++=……………………………………10分又直线MN 的倾斜角为θ，则),0(,cot πθθ∈=m ，∴θθsin 6cot 16||2=+=PQ ∴2πθ=时，6||m in =PQ ………………………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）依题意：2()ln f x x x bx =+-()f x 在(0,)+∞上递增，1()20f x x b x'∴=+-≥对(0,)x ∈+∞恒成立 即12b x x≤+对(0,)x ∈+∞恒成立，∴只需m i n1(2)b x x≤+ ……………………………2分10,2x x x>∴+≥当且仅当2x =时取"",b =∴≤ b ∴的取值范围为(-∞ ……………………………………………4分（Ⅱ）当1,1a b ==-时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,),+∞2121(1)(21)()21,x x x x f x x x x x ---+'∴=-+=-=-………………………6分0,01x x >∴<< 时，()0;f x '>当1x >时，()0f x '<∴函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减 ∴当1x =时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=当1x ≠时，()(1),f x f <即()0f x <∴函数()f x 只有一个零点 …………………………………………………8分（Ⅲ）由已知得2111122222()ln 0,()ln 0,f x x ax bx f x x ax bx =--==--=⇒21112222ln ln x ax bx x ax bx =+=+两式相减，得11121212121222ln()()()ln ()[()],x xa x x x xb x x x x a x x b x x =+-+-⇒=-++ 由1()2f x ax b x'=--及0122x x x =+，得 10012012121221221()2[()]ln x f x ax b a x x b x x x x x x x x '=--=-++=-++- 11212111212212222(1)2()11[ln ][ln ](1)x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+……………………10分 令12(0,1),x t x =∈且2222(1)()ln (01),()0,1(1)t t t t t t t t t ϕϕ--'=-<<=-<++ ()t ϕ∴在(0,1)上递减，()(1)0t ϕϕ∴>=120,()0x x f x '<∴< ………………………………………………12分。
河北衡水中学高三名校模拟三模下理科数学
年－-－河北－－-衡水中学－-－高三-－－名校模拟(三模下)-－-理科-－-数学————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ试卷类型:A衡水中学2012届高三下学期第三次模拟 高三理科数学第Ⅰ卷(选择题 共60分)2.选择题(每小题5分，共6０分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上） １．复数i34ia z +=∈+R ，则实数a 的值是( ）． A.43-B ．43C ．34 D ．34- 2．在等差数列{}n a 中,()()3456814164336a a a a a a a ++++++=,那么该数列的前1４项和为（ )．A ．20B ．2１C ．42D ．84 3．为调查衡水市高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本,右图是此次调查中的某一项流程图,若其输出的结果是3800,则身高在cm 170以下的频率为( )Ａ．24.0 B ．38.0 C ．62.0 D.76.0 4.给出下列命题①若直线l 与平面α内的一条直线平行，则l ∥α； ②若平面α⊥平面β,且l αβ=,则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β;③00(3,),(2,)x x ∃∈+∞∉+∞;④已知a R ∈,则“2a <”是“22a a <”的必要不充分条件．其中正确命题的个数是( ） A.4ﻩ B.３ﻩﻩ C.2ﻩ ﻩD.1５. 在9)1(xx -的展开式中，常数项为（ ) Ａ. -３6B. ３6 ﻩＣ． －84ﻩﻩD. 846.下图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为( ）A ． 23π+6 B.23+4π Ｃ. 33π+6D ．334π+37．设m,n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有５的条件下，方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ）A ．1136 ﻩB.736C ．711Ｄ.7108．若双曲线222(0)x y a a -=>的左、右顶点分别为Ａ、Ｂ,点P 是第一象限内双曲线上的点。
河北省衡水中学2009—2010学年度高三第一次模拟考试试卷及参考答案-数学理
河北省衡水中学2009—2010学年度高三第一次模拟考试数 学 试 题〔理〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分．第I 卷1至2页，第II 卷 3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、和科目．2．每题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的外表积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(01,2)k k n kn nP k C P P k n -=-=，，，第I 卷 选择题 〔共60分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的〕 1． 如果复数)(12R a iai∈+-为纯虚数，则a= 〔 〕A ．2-B ．2C ．1D ．02．设全集U R =，集合{|1}A x x =≥-，集合{|13}B x x =-<<，则以下关系中正确的选项是〔 〕A ．U()A B R = B ．U ()B A R = C ．A B ⊂≠D ．B A ⊂≠3．已知函数()|1||1|.f x x x =--+如果(())(9)1f f a f =+，则实数a 等于 〔 〕A ．14-B ．1-C ．1D ．324．设函数()cos f x x =，把()f x 的图象向右平移m 个单位后，图象恰好为函数'()y f x =- 的图象，则m 的值可以为〔 〕A ．34πB ．4πC ．2πD ．π 5．正四棱锥P —ABCD 的底面积为3，体积为,22E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为〔 〕A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6．直线MN 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右支分别交于M N 、点，与双曲线的右准线相交于P 点，F 为右焦点，假设||2||,FM FN =又()NP PM R λλ=∈,则实数λ的值为〔 〕A ．3B ．2C ．13D ．127．设a ，b ，m 为正整数，假设a 和b 除以m 的余数相同，则称a 和b 对m 同余．记作(mod )a b m ≡，已知122420104020201020102010333,b a(mod10)a C C C =+++≡，则b 的值可以是〔 〕A ．2010B ．2009C ．2008D ．20078．已知函数1()ln()x f x x ax e-=+在点(1,0)处的切线经过椭圆2244x my m +=的右焦点，则椭圆的离心率为〔〕A ．5B ．12C ．3D ．29．如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+AQ =23AB +14AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积 之比为 〔 〕A ．45 B ．15C ．14 D ．1310．已知实数,x y 满足22221(0,0)x y a b a b-=>>，则以下不等式成立的是〔 〕A ．||by x a < B ．||2by x a >-C ．||by x a>-D ．2||b y x a< 11．现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有〔 〕种 〔 〕 A ．216 B ．360 C ．432 D ．1080 12．定义在R 上的函数()f x 满足(0)0,()(1)1,(5)2()f f x x f x f x =+-==，且当1201x x ≤≤≤时，12()()f x f x ≤，则34f ⎛⎫⎪⎝⎭等于〔 〕A ．14B ．12C ．18D ．116第Ⅱ卷 非选择题 〔共90分〕二、填空题 〔本大题共4个小题，每题5分，共20分〕13．已知数列=+++==+1322152,16,2,}{n n n a a a a a a a a a 则是等比数列 ． 14．平面α、β、γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β、γ的距离都是3，P 是α上的动点，P 到β的距离是到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值为 15．设0,0,4a b a b ab >>+=，则在以(),a b 为圆心，a b +为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是 ．16．设,m n Z ∈,已知函数()()2log 4f x x =-+的定义域是[],m n ，值域是[]0,2，假设关于x 的方程|1|210x m -++=有唯一的实数解，则m n += ．三、解答题〔共6个小题，第17题10分，其余12分,共70分〕17．已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，所对的边分别为a 、b 、c ，向量(sin ,1cos )m B B =-与向量(2,0)n =的夹角为3π； 〔1〕求角B 的大小． 〔2〕求a cb+的取值范围．18．某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”〔世博会吉祥物〕图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，假设抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．〔1〕活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽“卡的概率是215，求抽奖者获奖的概率； 〔2〕现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及期望．19．直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC ．〔Ⅰ〕求二面角1E AC D --的大小；〔Ⅱ〕在1D E 上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ?假设存在，求1:D P PE 的值;不存在，说明理由．20．设对于任意的实数,x y ，函数()f x ，()g x 满足1(1)()3f x f x +=,且 (0)3f =,()()2g x y g x y +=+，(5)13g =，*n N ∈〔Ⅰ〕求数列{()}f n 和{()}g n 的通项公式；〔Ⅱ〕设[()]2nn c g f n =，求数列{}n c 的前项和n S ; 〔Ⅲ〕设()3n F n S n =-，存在整数m 和M ,使得对任意正整数n 不等式()m F n M <<恒成立,求M m -的最小值．21．如图，已知椭圆13422=+y x 的右焦点为F ，过F 的直线〔非x 轴〕交椭圆于M 、N 两点，右准线l 交x 轴于点K ，左顶点为A ． 〔Ⅰ〕求证：KF 平分∠MKN ；〔Ⅱ〕直线AM 、AN 分别交准线l 于点P 、Q ，设直线MN 的倾斜角为θ，试用θ表示线段PQ 的长度|PQ |，并求|PQ |的最小值．22．己知2()ln f x x ax bx =--．〔Ⅰ〕假设1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； 〔Ⅱ〕当1,1a b ==-时，证明函数()f x 只有一个零点；〔Ⅲ〕()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,AB 中点为0(,0)C x ，求证：0()0f x '<．参考答案B 卷：1—12 BDACB DBAAD DB13．()1432-n14．3 15．22(3)(6)81x y -+-= 16．1 17．解〔1〕2sin (cos ,sin );2(1,0)222B B B m n ==4sin cos 22B Bm n ∴=2sin 2Bm =2n =cos<n m •>=cos3πn m 2B 2233B B ππ∴=⇒=-------4分 〔2〕23B π=3A C π∴+=sin sin sin sin()3A C A A π∴+=+-13sin sincos cossin sin cos sin()33223A A A A A A πππ=+-=+=+---------------6分 3π又0<A<2333A πππ∴<+< 3sin()123A π∴<+≤ sin sin 231,sin 3a b A Cc B ⎛⎤++∴= ⎥ ⎝⎦的取值范围是-------------------------10分 18．解：〔1〕设“世博会会徽”卡有n 张，由22102,415n C n C ==得--------------2分故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为262101.3C C =----------4分〔2〕ξ可能取的值为0，1，2，3，4，则-------------------------------------5分4134222334442161232(0)();(1)();3813381122412811(2)()();(3)();(4)().33813381381P P C P C P C P ξξξξξ===============〔每个1分10分〕 所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4P1681 3281 2481 881 1811632248140123481818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-----------------12分 19．解：〔Ⅰ〕设AC 与BD 交于O ，如下图建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =， 则1(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,2),A B C D D ---设(0,1,2),E h +则11(0,2,),(23,0,0),(3,1,2),D E h CA D A ===-1D E ⊥平面1111,,,D AC D E AC D E D A ∴⊥⊥220,1,h h ∴-=∴=即(0,1,3)E ……………………2分1(0,2,1),(3,1,3)D E AE ∴==-设平面EAC 的法向量为(,,)m x y z =则由,,m CA m AE ⊥⊥得30y z =-++= 令1z =-∴平面EAC 的一个法向量为(0,3,1)m =-又平面1D AC 的法向量为11112(0,2,1),cos ,2m D E D E m D E m D E ⋅=∴<>==⋅||||∴二面角1E AC D --大小为45…………………………………………………6分〔Ⅱ〕设111(),D P PE D E D P λλ==-得112(0,,),111D P D E λλλλλλ==+++111121(1,0)(0,,)(,)1111A P A D D P λλλλλλλλ-∴=+==-+=++++ …10分1//A P 面113,,303(1)0,,112EAC A P m λλλλλ-∴⊥∴-+⨯+-⨯=∴=++ ∴存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE =…………………………12分20．解：〔Ⅰ〕取x n =，得1(1)()3f n f n +=，取0x =，1(1)(0)13f f ==故数列{()}f n 是首项是1，公比为13的等比数列，所以11()()3n f n -=取x n =，1y =，得*(1)()2()g n g n n N +=+∈，即(1)()2g n g n +-=，故数列{()}g n 是公差为2的等差数列，又(5)13g =，所以()132(5)23g n n n =+-=+----------4分 〔Ⅱ〕1111[()][()]()32233n n n nn c g f n g n --===+2321121111112()3()4()(1)()()333333n n n n S c c c n n n --=+++=+++++-++2311111112()3()(1)()()333333n n n S n n n -=++++-++，两式相减得23111()211111131131()()()()2()2[1()]()21333333323313nn n n n n n S n n n n n n --=+++++-+=-+=--+-所以191319231[1()]()33()4323443n n n n n n S n n -+=--+=+-⋅---------------8分〔Ⅲ〕19231()3()443n n n F n S n -+=-=-⋅，12312511(1)()()()(1)()043433n n n n n F n F n n -+++-=-=+> 所以()F n 是增函数，那么min ()(1)1F n F == 由于123lim03n n n -→∞+=，则9lim ()4n F n →∞=，由于1231()043n n -+>，则9()4F n <，所以91()4F n ≤< 因此当1m <且94M ≥时，()m F n M <<恒成立，所以存在正数0,1,2,,m =--3,4,5,M =，使得对任意的正整数，不等式()m F n M <<恒成立．此时， min ()3M m -= --------12分 21．解：〔1〕法一：作MM 1⊥l于M 1，NN 1⊥l于N 1，则||||||||11K N K M NF MF =， 又由椭圆的第二定义有||||||||11N N M M NF MF =∴||||||||1111MM K M NN K N =∴∠KMM 1=∠KNN 1，即∠MKF =∠NKF ，∴KF 平分∠MKN ………………………………5分 法二：设直线MN 的方程为1+=my x ． 设M 、N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ,由096)43(13412222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m y y m y x m y x ∴439,436221221+-=+-=+m y y m m y y 设KM 和KN 的斜率分别为21,k k ，显然只需证21=+k k 即可．∵)0,4(K∴)4)(4()(44421212112221121--+-+=-+-=+x x y y y x y x x y x y k k 而)(4)1()1()(4212112212112y y y my y my y y y x y x +-+++=+-+043634392)(32222121=+-⋅-+-⋅=+-=m mm m y y y my 即021=+k k 得证． 5分〔2〕由A ，M ，P 三点共线可求出P 点的坐标为)26,4(11x y + 由A ，N ，Q 三点共线可求出Q 点坐标为)26,4(22x y +，……………………6分 设直线MN 的方程为1+=my x ．由096)43(13412222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m y y m y x m y x ∴439,436221221+-=+-=+m y y m m y y …………………………………………8分 则： 9)(3)(18)(24])(2[62626||212122121212112212211+++-=+++-+-=+-+=y y m y y m y y x x x x y x y x y y x y x y PQ 222222216943634394336)436(18m m m m m m m m m +=++-⋅++-⋅+++=……………………………………10分 又直线MN 的倾斜角为θ，则),0(,cot πθθ∈=m ，∴θθsin 6cot 16||2=+=PQ ∴2πθ=时，6||min =PQ ………………………………………………………………12分22．解：〔Ⅰ〕依题意：2()ln f x x x bx =+-()f x 在(0,)+∞上递增，1()20f x x b x '∴=+-≥对(0,)x ∈+∞恒成立 即12b x x ≤+对(0,)x ∈+∞恒成立，∴只需min 1(2)b x x≤+ ……………………………2分10,2x x x >∴+≥当且仅当2x =时取"",b =∴≤ b ∴的取值范围为(-∞ ……………………………………………4分 〔Ⅱ〕当1,1a b ==-时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,),+∞2121(1)(21)()21,x x x x f x x x x x---+'∴=-+=-=-………………………6分 0,01x x >∴<<时，()0;f x '>当1x >时，()0f x '<∴函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减∴当1x =时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+= 当1x ≠时，()(1),f x f <即()0f x <∴函数()f x 只有一个零点 …………………………………………………8分 〔Ⅲ〕由已知得 2111122222()ln 0,()ln 0,f x x ax bx f x x ax bx =--==--=⇒ 21112222ln ln x ax bx x ax bx =+=+两式相减，得11121212121222ln ()()()ln ()[()],x x a x x x x b x x x x a x x b x x =+-+-⇒=-++ 由1()2f x ax b x '=--及0122x x x =+，得 10012012121221221()2[()]ln x f x ax b a x x b x x x x x x x x '=--=-++=-++- 11212111212212222(1)2()11[ln ][ln ](1)x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+……………………10分 令12(0,1),x t x =∈且2222(1)()ln (01),()0,1(1)t t t t t t t t t ϕϕ--'=-<<=-<++ ()t ϕ∴在(0,1)上递减，()(1)0t ϕϕ∴>=120,()0x x f x '<∴< ………………………………………………12分。
河北省衡水市高考数学三模试卷(理科)
A.
π+1
B. （6+ ）π+1
C.
π+
D. （6+ ）π+
9. 已知某口袋中装有 2 个红球、3 个白球和 1 个蓝球，从中任取 3 个球，则其中恰有
两种颜色的取法种数为（）
A. 7
B. 12
C. 13
D. 16
10. 关于圆周率 π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和查
理实验受其启发，我们可以设计一个算法框图来估计 π 的值（如图）．若电脑输出
8.【答案】A
【解析】解：由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成．
该几何体的表面积 S=
=
．
故选：A． 由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成． 本题考查了三视图，空间想象与运算能力，属于简单题．
第 7 页，共 16 页
9.【答案】C
【解析】解：根据题意，从 6 个球中任取 3 个球，有 C63=20 种取法， 其中有 3 种颜色的取法有 2×3×1=6 种， 有 1 种颜色的取法有 1 种， 则其中恰有两种颜色的取法有 20-6-1=13 种； 故选：C． 根据题意，用间接法分析：先计算从 6 个球中任取 3 个的取法，排除其中有 3 种颜色和 1 种颜色的取法，分析即可得答案． 本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：双曲线 C 的两个焦点 F1，F2 都在 x 轴上，对称中心为原点，离心率为 ． 若点 M 在 C 上，且 MF1⊥MF2，M 到原点的距离为 ，可得 c= ，则 a=1，所以 b= ，
所以双曲线方程为：
．
故选：C． 利用已知条件求出双曲线的半焦距，求出实半轴是出，求出 b，即可得到双曲线方程． 本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，是基本知识的考查．
河北省衡水市2010年高三数学高考模拟统一考试 (理)人教版
2010年衡水市高考模拟统一考试理科数学说明：1. 本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分.其中第一道大题为选择题.2. 所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。
答题前请仔细阅读 答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3. 做选择题时，如有改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案.4. 考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 球的表面积公式 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 球的体积公式 334R V π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()()2,1,0(n k =一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的。
(1)复数ii 212-+等于A ．i +2B ．i -C ．iD ．i -2 (2) 设02102102125cos log ,25sin log ,70tan log ===c b a ，则它们的大小关系为 （ ）A ．b c a <<B .a c b <<C .c b a << D. c a b <<(3) 在△ABC 中，已知5cos 13A =，3sin 5B =，则cosC 的值为 A.1665 B.5665 C.1665或5665 D.1665- (4)已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k 等于A ．9B ． 8C ． 7D ．6(5)正四棱锥P －ABCD 的所有棱长相等，E 为PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成角的余弦值等于 A.12B.2C.3(6)“函数()f x x m =-在区间](,4-∞为减函数”是“m =4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件(7)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，且甲乙两位老师不在同一个班，则不同的分配方案有A ．90种B ．162种C ．180种D ．72种(8)过双曲线12222=-by a x （a >0，b >0）的右焦点F 作圆222a y x =+的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P . 若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率 A ．2 B ．3 C ．2 D ．5(9)已知ABC ∆中,点D 是BC 的中点,过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点,若()0>=λλ,()0>=μμ,则μλ41+的最小值是A.9B.27C.5D.29(10) 已知函数)(x f y =满足：①是偶函数)1(+=x f y ；②在[)+∞,1上为增函数,若0,021><x x ,且221-<+x x ,则)(1x f -与)(2x f -的大小关系是A.)()(21x f x f ->-B. )()(21x f x f -<-C. )()(21x f x f -=-D. 无法确定(11)已知公比不为1的正数等比数列{}n a 的通项公式为*()()n a f n n N =∈，记其反函数为1()y f x -=，若11(3)(6)7f f --+=，则数列{}n a 的前6项乘积为 A.33 B.63C.36D.318 (12)已知 )(x f 为R 上的可导函数，且)()(/x f x f <和)(x f >0对于R x ∈恒成立,则有 A ．)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅< B ．)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅>C.)0()2010(),0()2(20102f ef f e f ⋅<⋅>．D ．)0()2010(),0()2(20102f ef f e f ⋅<⋅< 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.（13）对任意的实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值是 .（14）设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点P （2，1）的直线l 与抛物线相交于A 、B两点，又知点P 恰为AB 的中点，则=+BF AF . （15）已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点，AB=AC=2，BC=23，O 为球心，则直线OA 与平面ABC 所成的角的正切值为 .（16）已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为１，则=++ac b a .三、解答题： 本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）已知向量)1,3(,2sin ,2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛=b x x a ,记()2cos 2x b a x f →→⋅=.（I ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ,求函数()x f 的值域;（II ）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()13+=C f ,且ac b =2,求A sin 的值.（18）(本小题满分12分)环保局决定对衡水湖的四个区域A 、B 、C 、D 的水质进行检测，水质分为I 、II 、III 类，每个区域的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有III 类或两次都是II 类，则该区域的水质不合格，设各区域的水质相互独立，且每次检测的结果也相互独立，根据多次抽检结果，一个区域一次检测水质为I 、II 、III三类的频率依次为61,61,32（I ）在衡水湖的四个区域中任取一个区域，估计该区域水质合格的概率；（II ）如果对衡水湖的四个区域进行检测，记在上午检测水质为I 类的区域数为ξ，并以水质为I 类的频率作为水质为I 类的概率，求ξ的分布列及期望值.(19)(本小题满分12分)如图，已知平行四边形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，1,2AB AD ==，1,600==∠AF ADC . （I ） 求证：AC BF ⊥；（II ）求A 点到平面BDF 的距离； （III ）求二面角A FD B --的大小.(20)(本小题满分12分)函数)(x f 对任意x ∈R 都有)1(21)(x f x f --= （I ）求))(1()1(*N n nn f nf ∈-+的值； （II ） 数列}{),1()1()2()1()0(}{n n n a f nn f n f n f f a a 求数列满足+-++++= 的通项公式.（III ）令nS b b b b T a b n n n n n 1632,,1442232221-=++++=-=试比较T n 与S n 的大小.(21)（本小题满分12分）已知圆O ：822=+y x 交x 轴于B A ,两点，曲线C 是以AB 为长轴，直线l ：4-=x 为准线的椭圆．（I ）求椭圆的标准方程； （II ）若M 是直线l 上的任意一点，以OM 为直径的圆K 与圆O 相交于Q P ,两点，求证：直线PQ 必过定点E ，并求出点E 的坐标；（III ）如图所示，若直线PQ 与椭圆C 交于H G ,两点，且HE EG 3=，试求此时弦PQ 的长．P QOA H GMXBy(22)（本小题满分12分） 设函数2)1ln()(x x b x f ++=（I ）若对定义域的任意x ，都有)1()(f x f ≥成立，求实数b 的值； （II ）若函数)(x f 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（III ）若1b =-，证明对任意的正整数n ，不等式33311......31211)1(n ＜k f nk ++++∑=都成立.2010年衡水市高考模拟统一考试理科数学答案一．选择题：1-5 CAABD 6-10 BDADA 11-12 DD二．填空题：13.6 14.8 15.2116.-2三、解答题： 本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解（1）()2cos 2sin 22cos322x x x x f += x x sin )cos 1(3++=36cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛-=πx ---------------------- 2分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ,366πππ≤-≤-∴x 16cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤∴πx , ()x f ∴的值域为]32,31[++. ------------------------5分 (2) 1336cos 2)(+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πC C f ∴216cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πC ,()2,,0ππ=∠∴∈∠C C ， ----------------------- 7分在ABC Rt ∆中，2222,b a c ac b +== , 01222=-+⎪⎭⎫⎝⎛⇒+=∴c a c a ac a c 解得251±-=c a 215sin ,1sin 0-==∴<<c a A A . ------------------------10分18解：（I ）该区域两次检测中，水质均为I 类的概率为3232⨯＝94---------------------２分该区域两次检测中，水质一次为I 类，另一次为II 类的概率为２⨯3261⨯＝-92------４分该区域的水质合格的概率为Ｐ＝3232⨯＋２⨯3261⨯＝32-----------５分（II ）由题意可知，ξ的取值为０，１，２，３，４ --------------------６分Ｐ（ξ＝ｉ）＝in C （32）i （31）i-4（ｉ＝０，１，２，３，４ -----------10分随机变量ξ的分布列为ξ服从Ｂ（４，32），∴Ｅξ＝４32⨯＝38. -----------------12分 19．解：（1）易求AC =2BAC ACD π∠=∠=，由三垂线定理知:AC BF ⊥.------------------3分（2）由等体积ABD F BDF A V V --=,求出BD BF DF ===由勾股定理知090BFD ∠=∴∆DFB 为直角三角形，2105221=⋅=∆DFB S ,23120sin 21210=⋅⋅=∆DAB S 设A 点到平面BDF 的距离为h DAB DFB S AF hS ∆∆⋅=∴3131，求得h =1030 ∴A 到面BFD 的距离是1030.-----------------------------7分 （3）法一：设点A 在面BFD 内的射影为O ，过A 作AG DF ⊥于G ，连结GO 、AO.则AGO ∠为二面角A FD B --的平面角.---------------------10分在RT ADF ∆中由面积法求得AG =，由(2) 10AO =，在RT ∆AOG 中 所以sin 4AGO ∠=A FDB --的大小为arcsin 4. ----------12分 法二：求出BD BF DF ===由勾股定理知090BFD ∠=∴∆DFB 为直角三角形，过A 作AG DF ⊥于G ，又过G 作//GHBF 交BD 于H ，连结AH.则易证AGH ∠为二面角A FD B --的平面角--------------------9分.在ADF ∆中由面积法易求AG =，从而DG =于是45DG DF =，所以1,555GH BH BD ===， 在BAD ∆中由余弦定理求得cos ABD ∠=.再在BAH ∆中由余弦定理求得21225AH =. 在AGH ∆中由余弦定理求得cos 4AGH ∠=，所求二面角A FD B --的大小为arccos4. -------------- 12分20.解：（1）令)1()1(21)11()1(1n n f n f n f n f n x -+==-+=得 --------------- 2分（2）)1()1()1()0(f n n f n f f a n +-+++=又)0()1()1()1(f nf n n f f a n +++-+= ，两式相加)]0()1([)]1()1([)]1()0([2f f n n f n f f f a n +++-+++= 21+=n *)(41N n n a n ∈+=,21)1()0(1=+=f f a 满足上式. 故*)(41N n n a n ∈+=----6分（3）na b n n 4144=-=22222221131211(16nb b b T n n ++++=+++= ))1(13212111[16-++⨯+⨯+≤n n)]111()3121()211(1[16n n --++-+-+=)12(16n -=n S n=-=1632 所以n n S T ≤.当n=1时等号成立。
衡水中学届高三下学期三调(一模数学试题及答案)(理)
2014-2015学年度下学期高三年级三调考试（理科）试卷综述：试题试卷结构稳定，考点分布合理，语言简洁，设问坡度平缓，整体难度适中. 注重基础. 纵观全卷，选择题、填空题比较平和，立足课本，思维量和运算量适当.内容丰富，考查了重点内容,渗透课改，平稳过渡.针对所复习的内容进行考查，是优秀的阶段性测试卷.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|11},{|560}A x x B x x x =-≤≤=-+≥，则下列结论中正确的是（ ） A ．AB B = B ．AB A =C ．A B ⊂D ．R C A B =【知识点】集合的运算；集合的关系 【答案】C【解析】因为{}2{|560}|32B x x x x x x =-+≥=≥≤或，又因为{|11}A x x =-≤≤，故易知A B ⊂，故选C.【思路点拨】先求出集合B ，再进行判断即可。
2、复数122ii+-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i- C ．i D ．i -【知识点】复数代数形式的乘除运算．L1 【答案】D 【解析】复数===i ．所以复数的122ii+-的共轭复数是：﹣i ．故选D【思路点拨】复数的分母实数化，化简为a+bi 的形式，然后求出它的共轭复数即可． 3、某工厂生产,,A B C 三种不同的型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ）A ．24B ．30C ．36D ．40 【知识点】分层抽样方法． 【答案】C【解析】∵新产品数量之比依次为:5:3k ，∴由，解得k=2，则C 种型号产品抽取的件数为120×，故选：C【思路点拨】根据分层抽样的定义求出k ，即可得到结论． 4、如图给出的是计算111124620++++的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A ．8?i >B ．9?i >C ．10?i >D ．11?i >【知识点】程序框图． 【答案】C 【解析】∵S=111124620++++并由流程图中S=S+，故循环的初值为1，终值为10、步长为1，故经过10次循环才能算出S=111124620++++的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环∴应i ＞10，应满足条件，退出循环，填入“i ＞10”．故选C. 【思路点拨】由本程序的功能是计算111124620++++的值，由S=S+，故我们知道最后一次进行循环时的条件为i=10，当i ＞10应退出循环输出S 的值，由此不难得到判断框中的条件．5、将函数()cos f x x x =-的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．23π B ．3π C ．8π D ．56π 【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性． 【答案】A 【解析】y=sinx ﹣cosx=2sin （x ﹣）然后向左平移m （m ＞0）个单位后得到y=2sin （x+m﹣）的图象为偶函数，关于y 轴对称，∴2sin （x+m ﹣）=2sin （﹣x+m ）∴sinxcos （m ）+cosxsin （m ）=﹣sinxcos （m ）+cosxsin （m）∴sinxcos （m ）=0∴cos （m ）=0∴m=2kπ+，m=．∴m 的最小值为．故选A ．【思路点拨】先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y 轴对称得到2sin （x+m ﹣）=2sin （﹣x+m ﹣），再由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的性质可求得m 的值，从而得到最小值． 6、已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 【知识点】等比数列的性质 【答案】B【解析】因为3462,16a a a ==，所以2446316a a a q ==，即44q =，则()4684101268684q a a a a q a a a a --===--，故选 B.【思路点拨】结合已知条件得到44q=，再利用等比数列的性质即可。
河北省衡水中学高三数学下学期第三次模拟试题(a卷)理
绝密*启用前 试卷类型：A河北省衡水中学2012届高三数学下学期第三次模拟试题（A 卷）理第Ⅰ卷（选择题 共60分）选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．复数i34i a z +=∈+R ，则实数a 的值是（ ）． A ．43- B ．43 C ．34 D ．34-2．在等差数列{}n a 中，()()3456814164336a a a a a a a ++++++=，那么该数列的前14项和为（ ）．A ．20B ．21C ．42D ．843．为调查衡水市高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本，右图是此次调查中的某一项流程图，若其输出的结果是3800，则身高在cm 170以下的频率为( )A ．24.0B ．38.0C ．62.0D ．76.04．给出下列命题①若直线l 与平面α内的一条直线平行，则l ∥α； ②若平面α⊥平面β，且l αβ=，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β；③00(3,),(2,)x x ∃∈+∞∉+∞；④已知a R ∈，则“2a <”是“22a a <”的必要不充分条件．其中正确命题的个数是( )A.4B.3C.2D.15. 在9)1(x x -的展开式中，常数项为（ ） A. －36 B. 36 C. －84 D. 846.下图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示,则该几何体的体积为（） π6 B.4π C. π6 A.D.4π37．设m ，n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ）A ．1136B ．736C ．711D ．7108．若双曲线222(0)x y a a -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是第一象限内双曲线上的点。
若直线PA 、PB 的倾斜角分别为α，β，且(1)m m βα=>，那么α的值是（ ）A ．21m π- B ．2m π C ．21m π+ D ．22m π+9.定义：()00>>=y ,x y )y ,x (F x，已知数列{}n a 满足：()()n ,F ,n F a n 22=()n *∈N ，若对任意正整数n ，都有k n a a ≥()k *∈N 成立，则k a 的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．89 D ．98 10.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（ ）A. 65πB. 32πC. πD. 67π11. 已知12)(-=x x f ，21)(x x g -=，规定：当)(|)(|x g x f ≥时,|)(|)(x f x h =；当)(|)(|x g x f <时, )()(x g x h -=，则)(x h （ ）A. 有最小值1-,最大值1B. 有最大值1,无最小值C. 有最小值1-,无最大值D. 有最大值1-,无最小值 12.已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有 （ ）条A.1B.2C.3D.4Ⅱ卷（主观题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分，注意将答案写在答题纸上）13. 由直线x=0,3,3==-y x ππ与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为14. 设变量x ，y 满足约束条件1121x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数2x yz x y -=+的最大值为 .15．已知O 是△ABC 的外心，AB=2，AC=3，x+2y=1,若,y x +=)0(≠xy 则=∠BAC cos16.已知函数()f x 的定义域为[-1,5], 部分对应值如下表，()f x 的导函数/()y f x =的图像如图所示。
河北省衡水市高三数学第三次模拟考试试题理
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间 120 分钟。
2．答题前请认真阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，依据“注意事项”的规定答题。
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应地点，在试卷和底稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷选择题（共60 分）一．选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共60 分，在每题给出的四个选项中，有且只有一项切合题目要求, 将正确答案填涂在答题卡上。
1. 已知会合A x | x1 , B x | e x1，则( )A.A B x | x 1 B.A B x | x eC.A (C R B) RD.(C R A) B x | 0 x 12. 已知 i 为虚数单位，若 1 a bi( a,b R) ，则 a b （）1+iA.1B. 2C.2D.2 23. 向量 a, b, c 在正方形网格中的地点如下图. 若向量 a b 与c共线, 则实数（）A. 2 B. 1 C. 1 D. 24. 函数 1sin( x ) cos(x 的最大值为（） A.1 B.1 C. 3 D. 6f ( x) )5 5 55 3 65. 七巧板是我国古代办感人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板构成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概9 5 3 7率为（）A．32 B．16 C ．8 D．166. 已知 a 0 ，f ( x) log a( 6 ax ) ，则“1 a 3 ”“是 f (x) 在 (1,2) 上单一递减”的（）A 充足不用要条件B 必需不充足条件C 充要条件D 既不充足也不用要条件7. 一给定函数y f ( x) 的图象在以下四个选项中，而且对随意a1(0,1)，由关系式a n 1f (a n ) 获得的数列 a n 知足 a n 1 a n . 则该函数的图象可能是 ( )A. B. C. D.8. 某几何体的三视图如下图，此中主视图，左视图均是由高为2 三角形构成，俯视图由半径为 3 的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. .9. 设双曲线 C :x 2y 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ， F 1F 22c，过 F 2 作 xa 2b 2轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知 Qc,3a， F 2 Q F 2A ，点 P 是双曲线 C2右支上的动点，且 PF 1PQ 3F 1F 2 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）2A.10 , B.1,7C.7 , 10D.1, 10266 2210. 已知实数 、 知足 4x2y 41 x22 y，若yk( x 1)1 恒成立，那么 k 的取值范围x 2 y 4 03xy 3是()A ．1B ．4 C．[3, )D ．( 1[ ,3](, ], ]23211. 已知三棱锥 A BCD 中， AB AC BD CD2, BC 2 AD ，直线 AD 与底面 BCD所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为（）A.8B.6C.9D.3512. 已知函数是定义在 R 上的奇函数，当时，2|x 1| 1,0 x 则函数2,f (x)1f ( x 2), x 2,2g(x) xf (x)1在[ 7,) 上的全部零点之和为 ()A ． 7 B ．8 C．9 D ．10第Ⅱ卷 非选择题（共90 分）二．填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡上相应地点。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三高考押题卷三理数试题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知复数,则=（）A. B. C. D.【解析】C【解析】由题意可得: ,则= .本题选择C选项.2. 集合,,则=（）A. B.C. D.【解析】A【解析】由题意可得: ,则= .本题选择A选项.3. 已知函数地最小正周期为,则函数地图象（）A. 可由函数地图象向左平移个单位而得B. 可由函数地图象向右平移个单位而得C. 可由函数地图象向左平移个单位而得D. 可由函数地图象向右平移个单位而得【解析】D【解析】由已知得,则地图象可由函数地图象向右平移个单位而得,故选D.4. 已知实数,满足约束条件则地最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】B【解析】绘制目标函数表示地可行域,结合目标函数可得,目标函数在点处取得最大值 .本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中地两边,分别交于、,且交其对角线于,若,,,则=（）学,科,网...A. B. 1 C. D. -3【解析】A【解析】由几何关系可得: ,则: ,即: ,则= .本题选择A选项.点睛:(1)应用平面向量基本定理表示向量地实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量地加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题地一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量地形式,再通过向量地运算来解决．6. 在如下图所示地正方向中随机投掷10000个点,则落入阴影部分（曲线为正态分布地密度曲线）地点地个数地估计值为（附:若,则,.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【解析】B【解析】由正态分布地性质可得,图中阴影部分地面积 ,则落入阴影部分（曲线为正态分布地密度曲线）地点地个数地估计值为.本题选择B选项.点睛:关于正态曲线在某个区间内取值地概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ),P(μ－2σ<X≤μ＋2σ),P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)地值．②充分利用正态曲线地对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 某几何体地三视图如下图所示,其中俯视图下半部分是半径为2地半圆,则该几何体地表面积是（）A. B. C. D.【解析】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4地正方体挖掉半个圆柱所得地组合体,且圆柱底面圆地半径是2、母线长是4,∴该几何体地表面积 ,本题选择B选项.8. 已知数列中,,.若如下图所示地程序框图是用来计算该数列地第2018项,则判断框内地条件是（）A. B. C. D.【解析】B学,科,网...【解析】阅读流程图结合题意可得,该流程图逐项计算数列各项值,当时推出循环,则判断框内地条件是.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测地次数为,则=（）A. 3B.C.D. 4【解析】B【解析】由题意知,地可能取值为2,3,4,其概率分别为,,,所以,故选B．10. 已知抛物线:地焦点为,点是抛物线上一点,圆与线段相交于点,且被直线截得地弦长为,若=2,则=（）A. B. 1 C. 2 D. 3【解析】B【解析】由题意:M（x0,2√2）在抛物线上,则8=2px,则px=4,①由抛物线地性质可知,, ,则,∵被直线截得地弦长为√3|MA|,则,由,在Rt△MDE中,丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2,即,代入整理得:②,=2,p=2,由①②,解得:x∴ ,故选:B．【点睛】本题考查抛物线地简单几何性质,考查了抛物线地定义,考查勾股定理在抛物线地中地应用,考查数形结合思想,转化思想,属于中档题,将点A到焦点地距离转化为点A到其准线地距离是关键.11. 若定义在上地可导函数满足,且,则当时,不等式地解集为（）A. B. C. D.【解析】D【解析】不妨令 ,该函数满足题中地条件,则不等式转化为: ,整理可得: ,结合函数地定义域可得不等式地解集为.本题选择D选项.12. 已知是方程地实根,则关于实数地判断正确地是（）A. B. C. D.【解析】C【解析】令 ,则 ,函数在定义域内单调递增,方程即: ,即 ,结合函数地单调性有: .本题选择C选项.点睛:(1)利用导数研究函数地单调性地关键在于准确判定导数地符号．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题～第21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22题和第23题为选考题,考生根据要求作答.学,科,网...二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若地展开式中项地系数为20,则地最小值为_________．【解析】2【解析】试卷分析:展开后第项为,其中项为,即第项,系数为,即,,当且仅当时取得最小值.考点:二项式公式,重要不等式.14. 已知中,内角,,地对边分别为,,,若,,则地面积为__________．【解析】【解析】由题意有: ,则地面积为 .【解析】【解析】由题意可得,为正三角形,则,所以双曲线地离心率 .16. 已知下列命题:①命题","地否定是","；②已知,为两个命题,若""为假命题,则"为真命题"；③""是""地充分不必要条件；④"若,则且"地逆否命题为真命题其中,所有真命题地序号是__________.【解析】②【解析】逐一考查所给地命题:①命题","地否定是","；②已知,为两个命题,若""为假命题,则"为真命题"；③""是""地必要不充分条件；④"若,则且"是假命题,则它地逆否命题为假命题其中,所有真命题地序号是②.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为数列地前项和,且,,.（1）证明:数列为等比数列；（2）求.【解析】（1）见解析；（2）.学,科,网...【解析】试卷分析:(1)利用题意结合等比数列地定义可得数列为首先为2,公比为2地等比数列；(2)利用(1)地结论首先求得数列地通项公式,然后错位相减可得.试卷解析:（1）因为,所以,即,则,所以,又,故数列为等比数列.（2）由（1）知,所以,故.设,则,所以,所以,所以.点睛:证明数列{a n }是等比数列常用地方法:一是定义法,证明 ＝q (n ≥2,q 为常数)；二是等比中项法,证明＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法．18. 如下图所示,四棱锥,已知平面平面,,,,.（1）求证:；（2）若二面角为,求直线与平面所成角地正弦值.【解析】（1）见解析；（2）.【解析】试卷分析:(1)利用题意首先证得平面,结合线面垂直地定义有.(2)结合(1)地结论首先找到二面角地平面角,然后可求得直线与平面所成角地正弦值为.试卷解析:（1）中,应用余弦定理得,解得,所以,所以.因为平面平面,平面平面,,所以平面,又因为平面,学,科,网...所以.（2）由（1）平面,平面,所以.又因为,平面平面,所以是平面与平面所成地二面角地平面角,即.因为,,所以平面.所以是与平面所成地角.因为在中,,所以在中,.19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况,对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高（单位:）频数分布表如表1、表2.表1:男生身高频数分布表表2:女生身高频数分布表（1）求该校高一女生地人数；（2）估计该校学生身高在地概率；（3）以样本频率为概率,现从高一年级地男生和女生中分别选出1人,设表示身高在学生地人数,求地分布列及数学期望.【解析】（1）300；（2）；（3）见解析.【解析】试卷分析:(1)利用题意得到关于人数地方程,解方程可得该校高一女生地人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在地概率为.(3) 由题意可得地可能取值为0,1,2.据此写出分布列,计算可得数学期望为 .试卷解析:（1）设高一女学生人数为,由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40,30,则,解得.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在地人数为,样本容量为70.所以样本中该校学生身高在地概率为.因此,可估计该校学生身高在地概率为.（3）由题意可得地可能取值为0,1,2.学,科,网...由表格可知,女生身高在地概率为,男生身高在地概率为.所以,,.所以地分布列为:所以.20. 中,是地中点,,其周长为,若点在线段上,且.（1）建立合适地平面直角坐标系,求点地轨迹地方程；（2）若,是射线上不同地两点,,过点地直线与交于,,直线与交于另一点,证明:是等腰三角形.【解析】（1）；（2）见解析.【解析】试卷分析:（1）由题意得,以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系,得地轨迹方程为,再将相应地点代入即可得到点地轨迹地方程；（2）由（1）中地轨迹方程得到轴,从而得到,即可证明是等腰三角形.试卷解析:解法一:（1）以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系.依题意得.由,得,因为故,所以点地轨迹是以为焦点,长轴长为6地椭圆（除去长轴端点）,所以地轨迹方程为.设,依题意,所以,即,代入地轨迹方程得,,所以点地轨迹地方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行,因为,所以直线为,与联立得,,由韦达定理,同理,所以或,当时,轴,当时,由,得,学,科,网...同理,轴.因此,故是等腰三角形.解法二:（1）以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系.依题意得.在轴上取,因为点在线段上,且,所以,则,故地轨迹是以为焦点,长轴长为2地椭圆（除去长轴端点）,所以点地轨迹地方程为.（2）设,,由题意得,直线斜率不为0,且,故设直线地方程为:,其中,与椭圆方程联立得,,由韦达定理可知,,其中,因为满足椭圆方程,故有,所以.设直线地方程为:,其中,同理,故,所以,即轴,因此,故是等腰三角形.21. 已知函数,,曲线地图象在点处地切线方程为.（1）求函数地解析式；（2）当时,求证:；（3）若对任意地恒成立,求实数地取值范围.【解析】（1）；（2）见解析；（3）.学,科,网...【解析】试卷分析:(1)利用导函数研究函数切线地方法可得函数地解析式为.(2)构造新函数.结合函数地最值和单调性可得.(3)分离系数,构造新函数,,结合新函数地性质可得实数地取值范围为.试卷解析:（1）根据题意,得,则.由切线方程可得切点坐标为,将其代入,得,故.（2）令.由,得,当,,单调递减；当,,单调递增.所以,所以.（3）对任意地恒成立等价于对任意地恒成立.令,,得.由（2）可知,当时,恒成立,令,得；令,得.所以地单调增区间为,单调减区间为,故,所以.所以实数地取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题计分,作答时请写清题号.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,曲线:,曲线:.以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系,曲线地参数方程为（为参数）.（1）求,地直角坐标方程；（2）与,交于不同四点,这四点在上地排列顺次为,,,,求地值.【解析】（1）；（2）.【解析】(1)因为,由,得,所以曲线地直角坐标方程为；由,得,所以曲线地极坐标方程为.(2) 不妨设四点在上地排列顺次至上而下为,它们对应地参数分别为,如图,连接,则为正三角形 ,所以,,把代入,得:,即,故,所以.【点睛】本题为极坐标与参数方程,是选修内容,把极坐标方程化为直角坐标方程,需要利用公式,第二步利用直线地参数方程地几何意义,联立方程组求出,利用直线地参数方程地几何意义,进而求值.学,科,网...23. 选修4-5:不等式选讲.已知,为任意实数.（1）求证:；（2）求函数地最小值.【解析】（1）见解析；（2）.【解析】试卷分析:(1)利用不等式地性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式地性质可得.试卷解析:（1）,因为,所以.（2）.即.点睛:本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分地主要原因；对于需求最值地情况,可利用绝对值三角不等式性质定理:||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|,通过适当地添、拆项来放缩求解．。
河北省衡水市高考数学三模试卷(理科)
河北省衡水市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合则等于（）A . {0,1}B . {1}C . {-1,1}D . {-1,0,1}2. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 设i为虚数单位，（﹣3+4i）2=a+bi（a，b∈R），则下列判断正确的是（）A . |a+bi|=5B . a+b=1C . a﹣b=﹣17D . ab=1683. （2分）已知是数列{}的前n项和，，那么数列{}是（）A . 等比数列B . 当p≠0时为等比数列C . 当p≠0，p≠1时为等比数列D . 不可能为等比数列4. （2分）若实数，则函数的图象的一条对称轴方程为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·潮阳期末) 执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A . 2B . ﹣3C . ﹣D .6. （2分）(2017·沈阳模拟) 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A . 4B . 8C .D .7. （2分） (2016高一上·宁波期中) 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递减，则满足的实数x的取值范围是（）A . （，）B . [ ，）C . （，）D . [ ，）8. （2分） (2017高二下·莆田期末) 某班周四上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、英语、物理、体育、音乐6门课，若要求体育不排在上午第一、二节，并且体育课与音乐课不相邻，（上午第四节与下午第一节理解为相邻），则不同的排法总数为（）A . 312B . 288C . 480D . 4569. （2分） (2015高三下·湖北期中) 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A .B . 2C .D .10. （2分） (2016高二下·市北期中) 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（2x+ ）的图象，则只需将f（x）的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度11. （2分）已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为（）A . 4πB . 12πC .D .12. （2分） (2017高二下·红桥期末) 已知函数f（x）= sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（）A . f（x）的图象关于（，1）中心对称B . f（x）在（，）上单调递减C . f（x）的图象关于x= 对称D . f（x）的最大值为3二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2018高三上·嘉兴期末) 直角中，，为边上的点，且，则 ________；若，则 ________．14. （1分）(2017·福建模拟) 设不等式，表示的平面区域为M，若直线y=k（x+2）上存在M内的点，则实数k的最大值是________．15. （1分）在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“有99%以上的把握认为吸烟与患肺癌有关”．对以下说法：（1）在100个吸烟者中至少有99人患有肺癌；（2）某个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌；（3）在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；（4）在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有．其中正确的是________ ．（填上所有正确的序号）16. （1分） (2016高二上·浦东期中) 在数列{an}中，Sn是其前n项和，若Sn=n2+1，n∈N* ，则an=________．三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分） (2017高一下·宿州期中) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边且asinB= bcosA（1）求A.（2）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．18. （5分）(2017·芜湖模拟) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四边形ABEF 是正方形．将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2．（I）求证：AC⊥BM；（Ⅱ）求平面CE1M与平面ABE1F1所成锐二面角的余弦值．19. （10分） (2017高二下·启东期末) 在校运动会上，甲、乙、丙三位同学每人均从跳远，跳高，铅球，标枪四个项目中随机选一项参加比赛，假设三人选项目时互不影响，且每人选每一个项目时都是等可能的（1）求仅有两人所选项目相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三位同学中选跳远项目的人数，求X的分布列和数学期望E（X）20. （10分）已知过点A(1，0)且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1交于M ， N两点.（1）求k的取值范围；（2）=12，其中O为坐标原点，求|MN|.21. （15分） (2019高三上·城关期中) 设函数 .（1）求过点的切线方程；（2）若方程有3个不同的实根，求的取值范围。
河北省高三下学期三调数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）三调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|log3（2x﹣1）≤0}，，全集U=R，则A ∩（∁U B）等于（）A．B．C．D．3．若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．4．已知，则下列结论正确的是（）A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数 B．h（x）=f（x）+g（x）是奇函数C．h（x）=f（x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数5．已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．36．在△ABC中，=，P是直线BN上的一点，若=m+，则实数m的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．47．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（）A．[6kπ，6kπ+3]（k∈Z）B．[6kπ﹣3，6kπ]（k∈Z）C．[6k，6k+3]（k ∈Z）D．[6k﹣3，6k]（k∈Z）8．某旅游景点统计了今年5月1号至10号每天的门票收入（单位：万元），分别记为a 1，a 2，…，a 10（如：a 3表示5月3号的门票收入），表是5月1号到5月10号每天的门票收入，根据表中数据，下面程序框图输出的结果为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每天还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈； ②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈； ③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译．针对他们懂的语言 正确的推理是（ ）A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英10．如图，已知正方体ABCD ﹣A'B'C'D'的外接球的体积为，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为（ ）A．B．或C．D．或11．如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，﹣1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为﹣3，则∠MBN的大小等于（）A．B．C．D．12．已知a，b∈R，且e x≥a（x﹣1）+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．B．C．D．e3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在的展开式中，含x3项的系数为．14．在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1：k2：k3=．15．由约束条件，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围是．16．如图，已知O为△ABC的重心，∠BOC=90°，若4BC2=AB•AC，则A的大小为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1≠0，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？18．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程=+，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．20．如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）左、右顶点为A，B，左、右焦点为F，F2，|AB|=4，|F1F2|=2．直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，1与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），且|CM|=|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．21．设函数f（x）=﹣ax，e为自然对数的底数（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；（2）两曲线相交于M，N两点，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|3x﹣2|，且不等式f（x）≤5的解集为，a，b∈R．（1）求a，b的值；（2）对任意实数x，都有|x﹣a|+|x+b|≥m2﹣3m+5成立，求实数m的最大值．2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）三调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，得到z的坐标得答案．【解答】解：∵，∴z=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），在第三象限．故选：C．2．已知集合A={x|log3（2x﹣1）≤0}，，全集U=R，则A ∩（∁U B）等于（）A．B．C．D．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A和B，从而求出C U B，由此能求出A∩（∁U B）的值．【解答】解：∵集合A={x|log3（2x﹣1）≤0}={x|}，={x|x≤0或x}，全集U=R，∴C U B={x|0＜x＜}，A∩（∁U B）={x|}=（）．3．若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知可得sinα＞0，cosα＜0，利用二倍角公式，两角差的正弦函数公式化简已知可得cosα+sinα=，两边平方，利用二倍角公式即可计算sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．4．已知，则下列结论正确的是（）A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数 B．h（x）=f（x）+g（x）是奇函数C．h（x）=f（x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用奇偶函数的定义，即可判断．【解答】解：h（x）=f（x）+g（x）=+=，h（﹣x）==﹣=h（x），∴h（x）=f（x）+g（x）是偶函数；h（x）=f（x）g（x）无奇偶性，5．已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由离心率公式，可得a，b，c的关系，运用直线的斜率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由双曲线E的离心率是2，可得e==2，即c=2a，b==a，直线AC的斜率为k==﹣=﹣=﹣．即有|k|=．故选：B．6．在△ABC中，=，P是直线BN上的一点，若=m+，则实数m的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】向量在几何中的应用．【分析】设=n，利用向量的线性运算，结合=m+，可求实数m的值．【解答】解：由题意，设=n，则=+=+n=+n（﹣）=+n（﹣）=+n（﹣）=（1﹣n）+，又∵=m+，∴m=1﹣n，且=解得；n=2，m=﹣1，故选：B．7．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（）A．[6kπ，6kπ+3]（k∈Z）B．[6kπ﹣3，6kπ]（k∈Z）C．[6k，6k+3]（k ∈Z）D．[6k﹣3，6k]（k∈Z）【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值．从这两个方面考虑可求得参数ω、φ的值，进而利用三角函数的单调性求区间．【解答】解：与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8知函数的周期为T==2（﹣），得ω=，再由五点法作图可得•+φ=，求得φ=﹣，∴函数f（x）=Asin（x﹣）．令2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈z，解得：6k+3≤x≤6k+6，k∈z，∴即x∈[6k﹣3，6k]（k∈Z），故选：D．8．某旅游景点统计了今年5月1号至10号每天的门票收入（单位：万元），分别记为a1，a2，…，a10（如：a3表示5月3号的门票收入），表是5月1号到5月10号每天的门票收入，根据表中数据，下面程序框图输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出大于115的．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出门票大于115的天数．由统计表可知：参与统计的十天中，第2、7、8这3天门票大于115．故最终输出的值为：3故选：A．9．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每天还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译．针对他们懂的语言正确的推理是（）A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据题干逐一验证即可【解答】解：此题可直接用观察选项法得出正确答案，根据第二条规则，日语和法语不能同时由一个人说，所以B、C、D都错误，只有A正确，再将A代入题干验证，可知符合条件．故选A10．如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的外接球的体积为，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为（）A．B．或C．D．或【考点】由三视图求面积、体积．【分析】设正方体的棱长为a，则=，解得a=1．该几何体为正方体截去一角，如图，即可得出．【解答】解：设正方体的棱长为a，则=，解得a=1．该几何体为正方体截去一角，如图则剩余几何体的表面积为S=3×12++=．故选：A．11．如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，﹣1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为﹣3，则∠MBN的大小等于（）A．B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【分析】设直线PQ的方程为：y=kx﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线PQ方程与抛物线方程消掉y得x的二次方程，根据韦达定理及斜率公式可求得k BP+k BQ=0，再由已知k BP•k BQ=﹣3可解得，，由此可知∠BNM与∠BMN的大小，由三角形内角和定理可得∠MBN．【解答】解：设直线PQ的方程为：y=kx﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由得x2﹣2pkx+2p=0，△＞0，则x1+x2=2pk，x1x2=2p，，，====0，即k BP+k BQ=0①又k BP•k BQ=﹣3②，联立①②解得，，所以，，故∠MBN=π﹣∠BNM﹣∠BMN=，故选D．12．已知a，b∈R，且e x≥a（x﹣1）+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．B．C．D．e3【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求出函数的导数，再分别讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，从而得出ab 的最大值．【解答】解：令f（x）=e x﹣a（x﹣1）﹣b，则f′（x）=e x﹣a，若a=0，则f（x）=e x﹣b≥﹣b≥0，得b≤0，此时ab=0；若a＜0，则f′（x）＞0，函数单调增，x→﹣∞，此时f（x）→﹣∞，不可能恒有f（x）≥0．若a＞0，由f′（x）=e x﹣a=0，得极小值点x=lna，由f（lna）=a﹣alna+a﹣b≥0，得b≤a（2﹣lna），ab≤a2（2﹣lna）．令g（a）=a2（2﹣lna）．则g′（a）=2a（2﹣lna）﹣a=a（3﹣2lna）=0，得极大值点a=．而g（）=．∴ab的最大值是．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在的展开式中，含x3项的系数为﹣84．【考点】二项式系数的性质．【分析】由二项式展开式的通项公式，得出展开式中含x3项的系数是（1﹣x）9的含x3项的系数．求出即可．【解答】解：展开式中，=•（1﹣x）9﹣k•，通项公式为T k+1令k=0，得•（1﹣x）9=（1﹣x）9，又（1﹣x）9=1﹣9x+x2﹣x3+…，所以其展开式中含x3项的系数为﹣=﹣84．故答案为：﹣84．14．在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1：k2：k3=：：1．【考点】类比推理．【分析】根据球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推力即可得出．【解答】解：∵V1=πR3=π（）3=a3，∴k1=，∵V2=aπR2=aπ（）2=a3，∴k2=，∵V3=a3，∴k3=1，∴k1：k2：k3=：：1，故答案为：15．由约束条件，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】先画出由约束条件确定的可行域D，由可行域能被圆覆盖得到可行域是封闭的，判断出直线y=kx+1斜率小于等于即可得出k的范围．【解答】解：∵可行域能被圆覆盖，∴可行域是封闭的，作出约束条件的可行域：可得B（0，1），C（1，0），|BC|=，结合图，要使可行域能被为半径的圆覆盖，只需直线y=kx+1与直线y=﹣3x+3的交点坐标在圆的内部，两条直线垂直时，交点恰好在圆上，此时k=，则实数k的取值范围是：．故答案为：．16．如图，已知O为△ABC的重心，∠BOC=90°，若4BC2=AB•AC，则A的大小为．【考点】相似三角形的性质．【分析】利用余弦定理、直角三角形的性质、三角函数求值即可得出．【解答】解：cosA=，连接AO并且延长与BC相交于点D．设AD=m，∠ADB=α．则AB2=﹣2××mcosα，AC2=m2+﹣2m××cos（π﹣α），相加可得：AB2+AC2=2m2+．m2=（3OD）2==．∴AB2+AC2=5BC2．又4BC2=AB•AC，∴cosA=，A∈（0，π）∴A=，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1≠0，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）利用递推关系即可得出．（2）利用对数的运算性质、等差数列的通项公式与单调性即可得出．【解答】解：（1）令n=1，得，因为a1≠0，所以，当n≥2时，，，两式相减得2a n﹣2a n﹣=a n（n≥2），1所以a n=2a n（n≥2），从而数列{a n}为等比数列，﹣1所以．（2）当a1＞0，λ=100时，由（1）知，，所以数列{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2，所以，当n≥7时，，所以数列的前6项和最大．18．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程=+，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由线性回归方程过点（，），得=﹣，而，易求，且=0.6，从而可得的值，把x=6代入回归方程可得6月份生产的甲胶囊产量数；（2）ξ=0，1，2，3，利用古典概型的概率计算公式可得P（ξ=0）、P（ξ=1）、P （ξ=2）、P（ξ=3），从而可得ξ的分布列，由期望公式可求ξ的期望；【解答】解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，因线性回归方程=x+过点（，），∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：=0.6×6+3.2=6.8．（2）ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，其分布列为所以Eξ==．19．已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABCD的一个法向量，通过，推出，即可证明EG∥平面ABCD．（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直线BN与平面FCD所成角的余弦值为，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为，求出平面FCD的法向量，设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于，设，通过向量的数量积，转化求解λ，推出当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值为．【解答】解：（1）证明：因为DA⊥AE，DA⊥AB，AB∩AE=A，故DA⊥平面ABFE，故CB⊥平面ABFE，以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，2，0），D（2，0，1），，E（2，1，0），C（0，0，1），所以，易知平面ABCD的一个法向量，所以，所以，又EG ⊄平面ABCD，所以EG∥平面ABCD．（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直线BN与平面FCD所成角的余弦值为，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为，因为，设平面FCD的法向量为，由，得，取y1=1得平面FCD的一个法向量假设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于，设，则，，所以，所以9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）因此，线段DF上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值为．20．如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）左、右顶点为A，B，左、右焦点为F，F2，|AB|=4，|F1F2|=2．直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，1与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），且|CM|=|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）确定2a=4，2c=2，求出b，即可求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+m（k＞0）与椭圆联立，利用韦达定理，结合|CM|=|DN|，求出m的范围，再求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为2a=4，2c=2，所以a=2，c=，所以b=1，所以椭圆E 的方程为；（Ⅱ）直线y=kx +m （k ＞0）与椭圆联立，可得（4k 2+1）x 2+x8mk +4m 2﹣4=0．设D （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，又M （﹣，0），N （0，m ），由|CM |=|DN |得x 1+x 2=x M +x N ，所以﹣=﹣，所以k=（k ＞0）．所以x 1+x 2=﹣2m ，x 1x 2=2m 2﹣2．因为直线y=kx +m （k ＞0）交椭圆E 于C ，D 两点，与线段F 1F 2、椭圆短轴分别交于M ，N 两点（M ，N 不重合），所以﹣≤﹣2m ≤且m ≠0，所以（）2=[]2====，所以==﹣1﹣∈[﹣2﹣3，2﹣3]．21．设函数f （x ）=﹣ax ，e 为自然对数的底数（Ⅰ）若函数f （x ）的图象在点 （e 2，f （e 2））处的切线方程为 3x +4y ﹣e 2=0，求实数a ，b 的值；（Ⅱ）当b=1时，若存在 x 1，x 2∈[e ，e 2]，使 f （x 1）≤f′（x 2）+a 成立，求实数a 的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I ）﹣a （x ＞0，且x ≠1），由题意可得f′（e 2）=﹣a=，f （e 2）==﹣，联立解得即可．（II ）当b=1时，f （x ）=，f′（x ）=，由x ∈[e ，e 2]，可得．由f′（x ）+a==﹣+，可得[f′（x ）+a ]max =，x∈[e，e2]．存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立⇔x∈[e，e2]，f（x）min≤f（x）max+a=，对a分类讨论解出即可．【解答】解：（I）﹣a（x＞0，且x≠1），∵函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，∴f′（e2）=﹣a=，f（e2）==﹣，联立解得a=b=1．（II）当b=1时，f（x）=，f′（x）=，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[1，2]，．∴f′（x）+a==﹣+，∴[f′（x）+a]max=，x∈[e，e2]．存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立⇔x∈[e，e2]，f（x）min≤f（x）max+a=，①当a时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e2]上为减函数，则f（x）=，解得a≥．min②当a时，由f′（x）=﹣a在[e，e2]上的值域为．（i）当﹣a≥0即a≤0时，f′（x）≥0在x∈[e，e2]上恒成立，因此f（x）在x ∈[e，e2]上为增函数，∴f（x）min=f（e）=，不合题意，舍去．（ii）当﹣a＜0时，即时，由f′（x）的单调性和值域可知：存在唯一x0∈（e，e2），使得f′（x0）=0，且满足当x∈[e，x0），f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．∴f（x）min=f（x0）=﹣ax0，x0∈（e，e2）．∴a≥，与矛盾．（或构造函数即可）．综上可得：a的最小值为．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；（2）两曲线相交于M，N两点，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4），可得参数方程为：（t为参数）．由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ，﹣4ρcosθ=0，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）把直线l的方程代入抛物线方程可得：t2﹣12t+48=0．利用根与系数的关系及其|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（1）由斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4），可得参数方程为：，（t为参数）．由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，可得直角坐标方程：C：y2=4x．（2）把直线l的方程代入抛物线方程可得：t2﹣12t+48=0．∴t1+t2=12，t1t2=48．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|3x﹣2|，且不等式f（x）≤5的解集为，a，b∈R．（1）求a，b的值；（2）对任意实数x，都有|x﹣a|+|x+b|≥m2﹣3m+5成立，求实数m的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过若，若，若，化简不等式求出解集，利用已知条件，求解a，b．（2）由（1）知a=1，b=2，求出绝对值的最值，得到m2﹣3m+5≤3，然后求解实数m的最大值．【解答】解：（1）若，原不等式可化为﹣2x﹣1﹣3x+2≤5，解得，即；若，原不等式可化为2x+1﹣3x+2≤5，解得x≥﹣2，即；若，原不等式可化为2x+1+3x﹣2≤5，解得，即；综上所述，不等式|2x+1|+|3x﹣2|≤5的解集为，所以a=1，b=2．（2）由（1）知a=1，b=2，所以|x﹣a|+|x+b|=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，故m2﹣3m+5≤3，m2﹣3m+2≤0，所以1≤m≤2，即实数m的最大值为2．2017年5月7日。
河北省衡水中学高三下学期第三次摸底考试理数试题
河北衡水中学2021-2021学年度 高三下学期数学第三次摸底考试〔理科〕必考局部一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合()13lg 21|,|1x M x f x N x x -⎧⎫-⎧⎫===>⎨⎨⎬⎩⎩⎭，那么集合MN 等于〔 〕A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭2. z C ∈假设12z z i -=+，那么1zi+等于〔 〕 A ．7144i + B ．7144i - C ．1144i -- D ．1144i -+3.数列{}n a 为正项等比数列，假设33a =，且()1123,2n n n a a a n N n +-=+∈≥，那么此数列的前5项和5S 等于 〔 〕 A ．1213 B ．41 C ．1193 D ．24194. 1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12F MF ，假如线段1MF 的中点在双曲线的渐近线上，那么该双曲线的离心率e 等于〔 〕A ．．．25.在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A -=- 〞是“A B =〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，那么()3f 的取值范围是〔 〕A ．()12,20B ．()12,18 C. ()18,20 D ．()8,187.如，一个简单几何体的正视和侧视都是边长为2，那么其底面周长为〔 〕A ．()231+ B ．()251+ C. ()222+ D ．53+8.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜测：任给一个正整数x 假如x 是偶数，就将它减半；假如x 是奇数，那么将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“31x +〞“31x +〞猜测的一个程序框，假设输出n 的值为8，那么输入正整数m 的所有可能值的个数为〔 〕A ．3B ． 4 C. 6 D ．无法确定9.632243ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，那么展开式中3x 项的系数为〔 〕A ．1172 B ． 632C. 57 D ．33 10. 数列{}n a 为非常数列，满足：39511,48a a a +==，且1223111n n n a a a a a a na a +++++=对任何的正整数n 都成立，那么1250111a a a ++的值为〔 〕 A ．1475 B ．1425 C. 1325 D ．127511.向量,,αβγ 满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，假设172β=，γ的最大值和最小值分别为,m n ，那么m n +等于〔 〕A ．32 B ．2 C. 52 D 12.偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．1ln 6,ln 23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进展调查，5家商场商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ3.2y x a =-+，那么ˆa= ．14.将函数()2cos2f x x x =-的象向右平移m 个单位〔0m >〕，假设所得象对应的函数为偶函数，那么m 的最小值是 ．15.两平行平面αβ、间的间隔 为A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，假设异面直线AB 与CD 所成角为60°，那么四面体ABCD 的体积为 ．16.A B 、是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3,3OAB AB FB S AB ∆==，那么AB 的值为 ． 三、解答题 ：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如，ABC ∆关于AC 边的对称形为ADC ∆，延长BC 边交AD 于点E ，且5,2AE DE ==，1tan 2BAC ∠=.〔1〕求BC 边的长； 〔2〕求cos ACB ∠的值.18.如，圆锥1OO 和圆柱12O O 的组合体〔它们的底面重合〕，圆锥的底面圆1O 半径为5r =，OA 为圆锥的母线，AB 为圆柱12O O 的母线，D E 、为下底面圆2O 上的两点，且6, 6.4DE AB ==，52AO =，AO AD ⊥.〔1〕求证：平面ABD ⊥平面ODE ； 〔2〕求二面角B AD O --的正弦值．19.如，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳〔剪刀、石头、布〕比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开场，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，假如一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏完毕，记此时两个小伙伴划拳的次数为X ．〔1〕求游戏完毕时小华在第2个台阶的概率； 〔2〕求X 的分布列和数学期望．20.如，62P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上的点，且225a b +=，过点P 的动直线与圆222:1F x y a +=+相交于A B 、两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q ．〔1〕求椭圆E 的离心率； 〔2〕假设23AB =PQ ．21. 函数()()()()11,2x x xax b e f x a R g x b R e e x e --=∈=+∈+，其中e 为自然对数的底数．〔参考数据：112427.39 1.28, 1.65e e e ≈≈≈， 〕〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕假设1a =时，函数()()2y f x g x =+有三个零点，分别记为()123123x x x x x x <<、、，证明：()12243x x -<+<．选考局部请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，以坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox ，曲线E 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线1l 与曲线E 相交于A B 、两点，过点P 的直线2l 与曲线E 相交于C D 、两点，且12l l ⊥． 〔1〕平面直角坐标系中，求直线1l 的一般方程和曲线E 的标准方程； 〔2〕求证：22AB CD +为定值． 23.选修4-5：不等式选讲 实数a b 、满足223a b ab +-=． 〔1〕求a b -的取值范围； 〔2〕假设0ab >，求证：2211344a b ab++≥．试卷答案一、选择题1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC二、填空题13. 14.6π 15. 6 16. 92三、解答题17.解：〔1〕因为1tan 2BAC ∠=，所以22tan 4tan 1tan 3BAC BAE BAC ∠∠==-∠，所以3cos 5BAE ∠=． 因为527AB AD AE DE ==+=+=，所以2222cos 49254232BE AB AE AB AE BAE =+-∠=+-=，所以BE =75BC AB CE AE ==，所以3BC =〔2〕由〔1〕知BE =所以222cos22AB BE AE B AB BE +-===，所以sin B =，因为1tan 2BAC ∠=，所以sin BAC BAC ∠=∠=所以()cos cos ACB BAC B ∠=-∠+sin sin cos cos B BAC B BAC =∠-∠==18.解：〔1〕依题易知，圆锥的高为5h ==，又圆柱的高为 6.4,AB AO AD =⊥，所以222OD OA AD =+，因为AB BD ⊥，所以222AD AB BD =+，连接1122OO O O DO 、、，易知12O O O 、、三点共线，22OO DO ⊥，所以22222OD OO O D =+，所以()(22222222222 6.455 6.464BD OO O D AO AB =+--=++--=，解得8BD =，又因为6DE =，圆2O 的直径为10，圆心2O 在BDE ∠内，所以易知090BDE ∠=，所以DE BD ⊥．因为AB ⊥平面BDE ，所以DE AB ⊥，因为AB BD B =，所以DE ⊥平面ABD ．又因为DE ⊂平面ODE ，所以平面ABD ⊥平面ODE ．〔2〕如，以D 为原点，DB 、DE 所在的直线为x y 、轴，建立空间直角坐标系．那么()()()()0,0,0,8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4D A B O ． 所以()()()8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4DA DB DO ===， 设平面DAO 的法向理为(),,u x y z =，所以8 6.40,4311.40DA u x z DO u x y z =+==++=，令12x =，那么()12,41,15u =-． 可取平面BDA 的一个法向量为()0,1,0v =， 所以4182cos ,582u v u v u v=== 所以二面角B AD O --的正弦值为3210． 19.解：〔1〕易知对于每次划拳比赛根本领件共有339⨯=个，其中小华赢〔或输〕包含三个根本领件上，他们平局也为三个根本领件，不妨设事件“第()*i i N ∈次划拳小华赢〞为i A ；事件“第i 次划拳小华平〞为i B ；事件“第i 次划拳小华输〞为i C ，所以()()()3193i i i P A P B P C ====． 因为游戏完毕时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为()()()()()()212122124781p A P B P C P B P C P A P B =+=， 第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输， 其概率为()()()()()()()()()()()()3221233123421234529243p P B P B P C A P A P B P C P C A P A P C P A P C P C =++=所以游戏完毕时小华在第2个台阶的概率为127295081243243p p p =+=+=． 〔2〕依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，()()()()()4123412522381P X P A P C P A P C ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()2121222239P X P A P A ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++ ()()()()()()()()()()()()12312312312322213227P A P B P B P B P A P B P B P B P A P C P A P A ++++=()()()()224152381P X P X P X P X ==-=-=-==， 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为：()2132222512345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：〔1〕依题知2222611,5,04ab a b a b+=+=>>，解得223,2a b ==，所以椭圆E的离心率e ===； 〔2〕依题知圆F 的圆心为原点，半径为2,r AB ==，所以原点到直线AB 的间隔为1d ===， 因为点P 坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率存在，设为k ． 所以直线AB 的方程为12y k x ⎛-=-⎝⎭，即102kx y k --+=，所以1d ==，解得0k =或k =①当0k =时，此时直线PQ的方程为2x =， 所以PQ 的值为点P 纵坐标的两倍，即212PQ =⨯=；②当k =PQ的方程为12y x ⎛-=-⎭， 将它代入椭圆E 的方程2132x y 2+=，消去y并整理，得234210x --=， 设Q 点坐标为()11,x y1x +=1x =，所以13017PQ =-=．21.解：〔1〕因为()1x x ax x f x ae e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为实数R ， 所以()1x x f x ae e -⎛⎫'=⎪⎝⎭． ①当0a =时，()0f x =是常数函数，没有单调性．②当0a <时，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1x >． 所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ③当0a >时，由()0f x '<得，1x >； 由()0f x '>，得1x <， 所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减，在(),1-∞上单调递增． 〔2〕因为()()1,20a f x g x =+=，所以121202x x xx b e e e x e --++=+，即1111221022x x x x x x x e x b b x e e x e e e ----++=++=++．令12x x t e e -=+，那么有10t e b t -++=，即()210t b e t +-+=． 设方程()210t b e t +-+=的根为12t t 、，那么121t t =，所以123x x x 、、是方程()()121122*,**x x x x t e t e e e --=+=+的根． 由〔1〕知12x x t e e-=+在(),1-∞单调递增，在()1,+∞上单调递减． 且当x →-∞时，t →-∞，当x →+∞时，()max ,12t e t t e →==+，如，根据题意，不妨取22e t e <<+，所以121112t e t e<=<+， 因为315122244111110,112422t e e e e t e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+<-=-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 易知201x <<，要证()12243x x -<+<，即证11124x -<<-． 所以()1111024t t x t e ⎛⎫⎛⎫-<<<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()y t x =在(),1-∞上单调递增， 所以11124x -<<-，所以()12243x x -<+<． 22.解：〔1〕因为直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，当090α=时，直线1l 垂直于x 轴，所以其一般方程为10x -=，当090α≠时，直线1l 的斜率为tan α，所以其方程为()1tan 1y x α+=-， 即一般方程为()tan tan 10x y αα---=．因为E 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以224x y x +=．所以曲线E 的标准方程为()2224x y -+=．〔2〕设直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩〔t 为参数〕，代入曲线E 的标准方程为()2224x y -+=，可得()()221cos 21sin 4t t αα+-+-+=，即()22cos sin 20t t αα-+-=， 那么()12122cos sin ,2t t t t αα+=+=-，所以()()()222212121244cos sin 8124sin AB t t t t t t ααα=-=+-=++=+2， 同理2124sin 2124sin 22CD παα⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 所以22124sin 2124sin 224AB CD αα+=++-=为定值．23.解：〔1〕因为223a b ab +-=，所以2232a b ab ab +=+≥． ①当0ab ≥时，32ab ab +≥，解得3ab ≤，即03ab ≤≤；②当0ab <时，32ab ab +≥-，解得 1ab ≥-即10ab -≤<，所以13ab -≤≤，那么034ab ≤-≤，而()2222323a b a b ab ab ab ab -=+-=+-=-， 所以()204a b ≤-≤，即22a b -≤-≤；〔2〕由〔1〕知03ab <≤， 因为2222224113444344a b a b ab a b ab +++-=-+ 2222222343333111113304442ab a b ab a b ab a b ab ab +⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2ab =时取等号，所以 2211344a b ab++≥ ．。
2022-2023学年河北省衡水中学高三(下)第三次月考数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年河北省衡水中学高三（下）第三次月考数学试卷1.设复数，则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合，，则有个真子集.( )A. 3B. 16C. 15D. 43.已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有( )A. 48B. 54C. 60D. 725.公差不为0的等差数列的前n项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则( )A. 81B. 63C. 41D. 326.在中，，，，则直线AD通过的( )A. 垂心B. 外心C. 重心D. 内心7.如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且，，若G是线段EF上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是( )A.B.C.D.8.已知向量，是夹角为的单位向量，若对任意的，，且，，则m的取值范围是( )A. B. C. D.9.以下四个命题中，真命题的有( )A. 在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好B. 回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高C. 对分类变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则10.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似是函数的导函数的图像.已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为，则( )A. B.C. 的图像关于原点对称D. 在区间上单调11.在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )A. 异面直线与所成角的余弦值为B. 点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为C. 过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为D. 当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为12.已知F是抛物线W：的焦点，点在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线，分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则( ) A. 四边形AMFN面积的最大值为2 B. 四边形AMFN周长的最大值为C. 为定值D. 四边形BDCE面积的最小值为3213.的展开式的常数项是______ .14.已知点，，若线段AB与圆C：存在公共点，则m的取值范围为______ .15.已知实数，满足，则的最小值是______ .16.若正实数a，b满足，则的最小值为______ .17.已知为等差数列，求的通项公式；若为的前n项和，求18.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且求证：；求的取值范围.19.2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.假设该疾病患病的概率是，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人；试分析哪一个方案的工作量更少？参考数据：，20.图①是直角梯形ABCD，，，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且求证：平面平面ABED；在棱上是否存在点P，使得点P到平面的距离为？若存在，求出直线EP与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.21.已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，求双曲线的方程；过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点在A、Q之间，若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求与面积之比的取值范围．22.已知为正实数，函数若恒成立，求A的取值范围；求证：…答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数，对应点的坐标为，即在复平面内对应的点位于第四象限．故选：化简复数为代数形式，即可判断对应点所在象限．本题考查复数的运算，复数的几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，，则，真子集个数为故选：计算，得到真子集个数．本题主要考查集合交集运算及集合真子集个数的判断，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为且，若函数为增函数，则，若函数在上单调递增，则，即，故，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的充要条件．故选：由已知结合指数函数与幂函数单调性分别求出相应的a的范围，即可判断．本题主要考查了指数函数与幂函数单调性的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：将5名大学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法；按照分步乘法原理，共有种方法．故选：先分组，再考虑甲的特殊情况．本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为，所以，，故，设等差数列的公差为d，则，所以，因为，，，，依次成等比数列，，所以，所以，所以，故选：由条件求出数列的通项公式，再结合等比数列定义求本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：，设，，则，由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形．为菱形的对角线，平分直线AD通过的内心．故选：首先根据已知条件可知，又因为，设，，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，从而可确定直线AD通过的内心．本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：设的外接圆的半径为r，则，当，即时，r由最小值为2，此时的外心为AB的中点，三棱锥的外接球的半径R满足三棱锥的外接球的面积的最小值为故选：设的外接圆的半径为r，在中，由正弦定理可得，求出r的最小值，进一步得到三棱锥的外接球的半径的最小值，则答案可求．本题考查多面体的外接球，求出外接圆半径的最小值是关键，是中档题．8.【答案】D【解析】解：已知向量，是夹角为的单位向量，则，即，即，即，设，，则函数为减函数，即，恒成立，即，即，故选：由题意可得，设，，则函数为减函数，即，恒成立，然后求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了导数的综合应用，属中档题．9.【答案】AB【解析】解：对于A，由相关指数的定义知：越大，模型的拟合效果越好，A正确；对于B，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B正确；对于C，由独立性检验的思想知：值越大，“x与y有关系”的把握程度越大，C错误．对于D，，，又，，解得：，D错误．故选：根据相关指数的定义确定A；根据残差的性质确定B；根据独立性检验确定C；根据二项分布与均值的运算确定本题主要考查独立性检验，残差和独立性的定义，以及二项分布的期望公式，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：，则，由题意得，即，故，因为，所以由，可得，故选项A错误；因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，则，故选项B正确；因为，所以，所以为奇函数，则选项C正确；根据，由，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不单调，则选项D错误．故选：对于A，由题意，求导建立方程，根据正切函数的性质，可得答案；对于B，整理其函数解析式，代入值，利用和角公式，可得答案；对于C，整理函数解析式，利用诱导公式，结合奇函数的性质，可得答案；对于D，利用整体思想，整体换元，结合余弦函数的性质，可得答案．本题主要考查三角恒等变换，求三角函数的导数，函数的图像变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A：因为，所以为直线与直线所成的角，所以，故A错误；对于B：取的中点M，取的中点N，取AD的中点S，连接MN，DM，DN，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，所以面，同理可得，所以面，又面，平面，所以点P的轨迹为线段MN，在中，过点D作，此时DP取得最小值，由题可得，，，所以，故B正确；对于C：由平面面得，过点，E，F的平面必与和有交点，设过点，E，F的平面与平面和平面分别交于与FN，所以，同理可得，过点，E，F的平面截正方体所得的截面图形为五边形，所以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，所以，，，，因为，，所以，，解得，，所以，，所以，，由题可知，，，，，所以，过点，E，F的平面截面正方体所得截面周长为，故C正确；对于D：取EF的中点，连接，则，过点作，且，所以O为三棱锥的外接球的球心，所以OE为外接球得半径，在中，，所以，所以，故选：对于A：根据异面直线所成角的定义可得为直线与直线所成的角，再计算，即可判断A是否正确；对于B：取的中点M，取的中点N，取AD的中点S，连接MN，DM，DN由面，找到点P的轨迹为线段MN，再计算DP的最小值，即可判断B是否正确；对于C：找到过点，E，F的平面截正方体所得的截面图形为五边形，再计算截面周长，即可判断C是否正确；对于D：取EF的中点，连接，则，求出三棱锥的外接球的半径，再计算球的表面积，即可判断D是否正确．本题考查直线与平面的位置关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：因为点在抛物线W：上，所以，，，故抛物线W的方程为：，焦点坐标为，由，得，所以，当且仅当时，等号成立，所以四边形AMFN面积的最大值为2，故A正确．由，得，即，所以四边形AMFN周长的最大值为，故B正确．设直线BC的方程为，，，联立，消x得，，判别式，，，则，同理得，，故C错误．，所以，当且仅当时，等号成立，此时，故D正确．故选：根据给定条件，求出抛物线W的方程，确定四边形AMFN形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B ；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦BC，DE长即可计算推理判断C，D作答．本题考查了抛物线的方程和性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．13.【答案】70【解析】解：，则常数项为，故答案为：先将多项式进行化简，然后利用多项式特点进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，根据多项式的性质先进行化简，然后利用常数项特点进行求解是解决本题的关键，是基础题．14.【答案】【解析】解：如图，当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大．又圆C方程为：，圆心为，半径为，，当圆和线段AB相切时，，即，，解得，当圆过B点时，可得，，的取值范围为故答案为：通过图像可得当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大，据此可得m的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，运动变化思想，方程思想，化归转化思想，属中档题．15.【答案】9【解析】解：由已知条件得，，，又，，，，当且仅当，即时等号成立．故答案为：将已知条件通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，所以，所以，即令，则有，设，只需证明，，令得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以设，所以，由得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以的最小值为故答案为：由不等式变形为，通过换元，根据不等式恒成立得出a与b的关系，从而把表示为关于a的表达式，再通过构造函数求最值即可．本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：，，，⋯，，，；当时，满足上式，所以；由可得，【解析】本题考查运用累乘法求数列的通项公式，裂项相消法求数列的前n项和，属中档题．利用累乘法可求的通项公式；由可得，利用裂项相消法求出18.【答案】证明：在中，由及正弦定理得：，又，，即，，即，，，，，；解：由得，，，由题意，及正弦定理得：，，，即，故的取值范围为【解析】结合正弦定理及正弦和角公式得，结合角度范围即可证明；结合正弦定理及三角恒等变换，结合B角范围即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】解：设事件A为“核酸检测呈阳性“，事件B 为“患疾病”由题意可得，，，由条件概率公式得：，即，故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为设方案一中每组的检测次数为X，则X 的取值为1，6，，，所以X 的分布列为X16P所以，即方案一检测的总次数的期望为，设方案二中每组的检测次数为Y，则Y 的取值为1，12，；，所以Y 的分布列为Y112P所以，即方案二检测的总次数的期望为，由，则方案二的工作量更少．【解析】设事件A为“核酸检测呈阳性“，事件 B 为“患疾病“，利用条件概率公式求解即可；设方案一和方案二中每组的检测次数为X，Y，分别求出两种方案检测次数的分布列，进而得出期望，通过比较期望的大小即可得出结论．本题主要考查了条件概率公式的应用以及均值的实际应用，属于中档题．20.【答案】解：证明：如图所示，在图①中，连接AC，交BE于O，因为四边形ABCE是边长为2的菱形，且，所以，且，在图②中，相交直线OA，均与BE垂直，所以是二面角的平面角，因为，所以，所以，所以平面平面由知，分别以直线OA，OB，为x，y，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，设，，则，设平面的一个法向量，则，令，则，，所以因为P到平面的距离为，所以，解得，由，得，所以，，，所以，所以设直线EP与平面所成的角为，所以【解析】在图①中，连接AC，交BE于O，可推出，且，在图②中，相交直线OA，均与BE垂直，则是二面角的平面角，由勾股定理可得，进而可得答案．由知，分别以直线OA，OB，为x，y，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，设，，可得的坐标，求出平面的一个法向量，由于P到平面的距离为，则，解得，设直线EP与平面所成的角为，进而可得答案．本题考查直线与平面的位置关系，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．21.【答案】解：由已知，，，，，则，，解得，，双曲线的方程为直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，设，，由，得，则，解得①点在以线段AB为直径的圆的外部，则，②由①、②得实数k的范围是，由已知，在A、Q之间，则，且，，则，，则，，，解得，又，故的取值范围是【解析】考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．由已知，，，，由，知，故，，由此能求出双曲线的方程．直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，设，，由，得，由此入手，能够求出的取值范围．22.【答案】解：，①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；②若，即，当时，，函数单调递减，故，矛盾，不符合题意；综上：先证右侧不等式，如下：由可得：当时，有，则，即，即则有，即，右侧不等式得证．下面证左侧不等式，如下：易知，可得，即，则有，即，，则故，综上：…【解析】求导得，分，两种情况讨论可得的取值范围；当时，有，则，可得可证右侧不等式，可得，，可证左侧不等式．本题考查导数的综合应用，考查不等式的证明，属难题．。
河北衡水中学2010年高三第三次模拟数学试题(理)(含答案)
河北衡水中学2010年高三第三次模拟数学试题说明：本试卷共包括三道大题，22道小题，共150分。
考试时间120分钟。
其中第一道大题为选择题 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 一、选择题（每小题5分，共60分。
每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．如果复数i m m m m )65()3(22+-+-是纯虚数，则实数m 的值为 （ ）A ．0B ．2C ．0或3D ．2或32．已知全集U=R ，集合{}{}0107|,73|2<+-=<≤=x x x B x x A ，则)(B A C R ⋂=（ ）A ．()),5(3,+∞⋃∞-B ．()),5[3,+∞⋃∞-C ．),5[]3,(+∞⋃-∞D ．),5(]3,(+∞⋃-∞3．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，369-=S ，10413-=S ，则5a 与7a 的等比中项为（ ）A ．24B ．22±C ．24±D ．324．“3||>x ”是"3">x 的（ ）A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分必要条件5．已知22)4sin()2cos(-=--πααπ，则ααsin cos +等于 （ ）月收入（元）频率/组距0.00050.00040.00030.00020.0001O 1000150020002500300040003500A ．27-B ．27C ．21D ．21-6．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 （ ） A ．168 B ．20160 C ．840 D ．5607．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查20000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入)3500,3000[（元）段中抽取了30人，则在这20000人中共抽取的人数为（ ）A ．200B ．100C ．20000D ．408．设点P （y x ,）满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤+0011y y x y x ，则10),(-+=y x y x f 的最大值和最小值分别为（ ）A ．11,9--B ．9,211--C ．29,211--D ．11,29-9．我国储蓄存款采取实名制并收利息税，利息税由各银行储蓄点代扣代收，某人于2008年3月1日存入人民币1万元，存期一年，年利率为52.2％，到期时净得本金和利息共计4.10239元，则利息税的税率是 （ ） A ．5％ B ．8％ C ．15％ D ．20％ 10．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面βα,截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角βα--l 的平面角为65π，则球O 的表面积为（ ）A ．π4B ．π16C ．π28D ．π11211．若双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x （0,0>>>b m a ）的离心率之积大于1，则以m b a ,,为边长的三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形12．将函数()3233f x x x x =++的图象按向量a r平移后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 满足()()111g x g x -++=，则向量a r的坐标是（ ）A ．()1,1--B ．3(2,)2C ．()2,2D ．3(2,)2-- 二、填空题: （每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上） 13．已知9)2(x x a -的展开式中，493的系数为x ，则常数a 的值为 14．已知函数x a x f 2log )(-=的图象经过点A )1,1(，则不等式43)(>x f 的解集为 15．直线22222,,40B A C N M y xC By Ax +==+=++若两点相交于与圆，则ON OM ⋅（O 为坐标原点）等于16．给出下列命题：①已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>--+=)1(,1)1(,132)(3x ax x x x x x f 在点1=x 处连续，则4=a ； ②若不等式1|2||1|+->+a xx 对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 31<<a③不等式0|82|)2(2≥---x xx 的解集是{}2|≥x x④如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于222C B A ∆的三个内角的正弦值，则111C B A ∆为锐角三角形，222C B A ∆为钝角三角形.其中真命题的序号是（将所有真命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本题10分）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △3a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．18．（本题12分）某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答.（Ⅰ）求某选手第二次抽到的不是科技类题目的概率； （Ⅱ）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望E ξ. 19．（本题12分）如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，点1B 在底面ABC 上的射影恰好是BC 的中点，且1BC CA AA ==． （Ⅰ）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ； （Ⅱ）求证：1BC 1AB ⊥；（Ⅲ）求二面角11B AB C --的大小．B 1C 1A 1CBA20．（本题 12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足112,21,1n n n n n a a a a b a +==+=-，数列{}n b 的前n 项和 为2,n n n n S T S S =-.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1n n T T +>；21．（本题 12分）过点A （-4，0）向椭圆)0(12222>>=+b a by a x 引两条切线，切点分别为B,C ，且ABC ∆为正三角形.（Ⅰ）求ab 最大时椭圆的方程；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的椭圆，若其左焦点为F ，过F 的直线l 与y 轴交于点M ，与椭圆的一个交点为Q ，且||2||QF MQ =求直线l 的方程22．（本题12分） 已知函数()1In xf x x ax-=+。
河北省衡水中学高三数学第三次模拟B卷 理【会员独享】
绝密*启用前 试卷类型：B2010——2011年学年度第二学期第三次模拟试卷高三理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设i 是虚数单位，则()()3211i i -+ 是（ ）A. i -1B. i +-1C. i +1D. i --12.已知函数962+-=kx kx y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( )A. 10≥≤k k 或B. 1≥k C . 1k 0≤≤ D .1k 0≤<3.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-+≥+-0330102y x y x y x ，则实数y x z +=2( )A.有最小值，有最大值B. 有最小值，无最大值C.无最小值，有最大值 D .无最小值，无最大值4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且91a ，32a ，3a 成等比数列. 若1a =3，则4S = ( ) A. 7 B. 8 C. 12 D. 165.三棱锥A-BCD 的三条侧棱两两互相垂直，且AB=2，AC=1，则A,B 两点在三棱锥的外接球的球面上的距离为（ ）AB2C4D 6. θ是三角形的一个内角，且51cos sin =+θθ，则方程1cos sin 22=+θθy x 所表示的曲线为（ ）.A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的的双曲线7. 三棱锥P ABC -中，1PA PB PC AC ====，ABC ∆是等腰直角三角形，90ABC ∠=.若E 为PC 中点，则BE 与平面PAC 所成的角的大小等于( )A. 30B.45C.60D.908. 设e<x<10，记a=ln(lnx)，b=lg(lgx)，c=ln(lgx)，d=lg(lnx)，则a ，b ，c ，d 的大小关系（ ）A ．a<b<c<dB ．c<d<a<bC ．c<b<d<aD ．b<d<c<a9．已知直线(0)y kx k =>与函数|sin |y x =的图象恰有三个公共点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 其中123x x x <<，则有（ ）A ．3sin 1x =B ．333sin cos x x x =C ．333sin tan x x x =D ．33sin cos x k x =10. 将A,B,C,D,E 五种不同的文件放入编号依次为1，2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A,B 必须放入相邻的抽屉内，文件C,D 也必须放在相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有 （ ） A.192 B.144 C.288 D.24011．已知点G 是ABC ∆的重心，AC AB AG μλ+=,）、（R ∈μλ若0120=∠A ，2-=⋅AC AB ，则的最小值是（ ）A ．33 B ．22C ．32D ．4312、如图，在等腰梯形SBCD 中，AB ∥CD,且AB=2AD ，设,(0,)2DAB πθθ∠=∈,以A,B 为焦点且过点D 的双曲线离心率为1e ，以C,D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则（ ） A.随着θ角的增大，1e 增大，12e e 为定值B. 随着θ角的增大，1e 减小，12e e 为定值C. 随着θ角的增大，1e 增大，12e e 也增大 D ．随着θ角的增大，1e 减小，12e e 也减小Ⅱ卷（主观题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分，注意将答案写在答题纸上）13.某医院近30天每天因患甲型H1N1流感而入院就诊的人数依次构成数列{}n a ，己知2,121==a a ，且满足()nn n a a 112-+=-+，则该医院30天内因患H1N1流感就诊的人数共有14． 设),(~2σμN X ，且总体密度曲线的函数表达式为： 412221)(+--=x x ex f π，x ∈R求)2|1(|<-x P 的值 。
河北省衡水中学高三第三次调研考试(数学理)
衡水中学2008—2009学年度第一学期第三次调研考试高三年级数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。
满分共150分。
考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 函数xx x y -+=||)1(0的定义域是 ( )A.{}0|>x x B. {}0|<x xC.{}1x ,0|-≠<且x x D.{}R x x x ∈-≠≠,1x ,0|且２．已知点)5,(x A 关于),1(y P 的对称点是)3,2(--B ，则点),(y x 到原点的距离是（ ）A.13 B. 15 C. 4 D.17３.已知不等式9)1)((≥++yax y x ，对任意正实数y x ,恒成立，则正实数a 的最小值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8４.函数)0)(cos()sin()(>++=ωθωθωx x x f 以2为最小正周期，且能在2=x 时取得最大值，则θ的一个值是（ ）A. 43π-B. 45π-C. 47πD.2π５．若数列{}n a 的前n 项和公式为)1(log 3+=n S n ，则5a 等于 （ ）A.6log 5B. 56log 3C. 6log 3D. 5log 3 6. “04≤<-k ”是“抛物线12--=kx kx y 恒在x 轴下方”的（ ）条件A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要 7.过点)3,2(p 引圆044222=++-+y x yx 的切线，其方程是（ ）A. 2=xB.09512=+-y xC. 026125=+-y xD. 2=x 或09512=+-y x8．实数x,y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤-≥02240y x y x y ，11+-=x y ω的取值范围是（ ）A. ]31,1[-B. ]31,21[-C.)2,21[-D. ),21[+∞- 9.若直线b x y += 与曲线21y x -=恰有一个公共点，则b 的取值范围是（ ）A. ]1,1(-∈bB. 2-=bC. 2±=bD. 2-b ]1,1(=-∈或b 10.过抛物线)0(ax y 2>=a 的焦点Ｆ作一直线交抛物线于Q P ,两点，若线段PF 与QF 的长分别是q p ,，则qp 11+等于 （ ） A.a 2 B.a 21 C. a 4 D. a411.设21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，过1F 的直线与椭圆交于B A ,两点，且||||,022AF AF ==⋅，则椭圆的离心率为 （ ） A.22 B. 23C.36-D. 26- 12．已知两个非零向量)1,1(--=→n m a 和),3,3(--=→n m b 若0,cos >≤<→→b a ，则n m +的取值范围是（ ）A. ]23,2[B. ]6,2[C. )23,2(D.)6,2(第Ⅱ卷（主观题 共90分）二、填空题（每题５分，共２０分）13．经过两圆072222=-+-+y x y x 和084422=--++y x y x 的两个交点的直线方程是 ？14. 顶点在原点、焦点在直线134=-yx 上的抛物线的标准方程是 ？ . 15.21,F F 是椭圆1162522=+y x 的左右焦点，P 是椭圆上的任意一点（除去长轴端点），过点2F 作21PF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，则||ON 的取值范围是 ? 16.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且3635++=n n B A n n ，则使得nnb a 为正数的正整数n 的个数是 ? 三、解答题（共７０分）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
绝密*启用前 试卷类型：B2010年普通高等学校招生全国统一考试河北省衡水中学2010届下学期高三年级第三次模拟考试数学试卷（理科）说明：本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分。
考试时间120分钟。
其中第一道大题为选择题 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=- 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 一、 选择题（每小题5分，共60分。
每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．如果复数i m m m m )65()3(22+-+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．0 B. 0或3 C. 2 D. 2或3 2．已知全集U=R ，集合{}{}0107|,73|2<+-=<≤=x x x B x x A ，则)(B A C R ⋂=（ ）A. ()),5(3,+∞⋃∞-B. ),5[]3,(+∞⋃-∞C. ()),5[3,+∞⋃∞-D. ),5(]3,(+∞⋃-∞3．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，369-=S ，10413-=S ，则5a 与7a 的等比中项为（ ）A.24 B . 24± C . 22± D. 32 4．“3||>x ”是"3">x 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件5．已知22)4sin()2cos(-=--πααπ，则ααsin cos +等于（ ）A 27-B 21C 27D 21-6．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ） A .168 B . 840 C. 20160 D.5607．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查20000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入)3500,3000[（元）段中抽取了30人，则在这20000人中共抽取的人数为（ ）A .200B 20000. C. 100 D. 408.设点P （y x ,）满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤+0011y y x y x ，则10),(-+=y x y x f 的最大值和最小值分别为（ ）A 11,9--B 29,211-- C9,211-- D 11,29-9．我国储蓄存款采取实名制并收利息税，利息税由各银行储蓄点代扣代收，某人于2008年3月1日存入人民币1万元，存期一年，年利率为52.2％，到期时净得本金和利息共计4.10239元，则利息税的税率是（ ）A .5％ B. 15％ C. 8％ D. 20％10．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面βα,截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角βα--l 的平面角为65π，则球O 的表面积为( ) A .π4 B. π28 C. π16 D. π11211．若双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x （0,0>>>b m a ）的离心率之积大于1，则以m b a ,,为边长的三角形一定是（ ）A 等腰三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 钝角三角形（元）12．将函数()3233f x x x x =++的图象按向量a 平移后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 满足()()111g x g x -++=，则向量a 的坐标是（ ） A ．()1,1--B ． ()2,2 C.3(2,)2 D ．3(2,)2-- 二、填空题: （每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上） 13．已知9)2(x x a -的展开式中，493的系数为x ，则常数a 的值为14.已知函数x a x f 2log )(-=的图象经过点A )1,1(，则不等式43)(>x f 的解集为 15.直线22222,,40B A C N M y xC By Ax +==+=++若两点相交于与圆，则ON OM ⋅（O 为坐标原点）等于16．给出下列命题：①已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>--+=)1(,1)1(,132)(3x ax x x x x x f 在点1=x 处连续，则4=a ； ②若不等式1|2||1|+->+a xx 对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 31<<a③不等式0|82|)2(2≥---x xx 的解集是{}2|≥x x④如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于222C B A ∆的三个内角的正弦值，则111C B A ∆为锐角三角形，222C B A ∆为钝角三角形.其中真命题的序号是 （将所有真命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本题10分) 在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．18. (本题12分) 某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答. （Ⅰ）求某选手第二次抽到的不是科技类题目的概率； （Ⅱ）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望E ξ.19. （本题12分）如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，点1B 在底面ABC 上的射影恰好是BC 的中点，且1BC CA AA ==．（Ⅰ）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ； （Ⅱ）求证：1BC 1AB ⊥；B 1C 1A 1CBA（Ⅲ）求二面角11B AB C --的大小.20.（本题 12分） 已知数列{}n a ，{}n b 满足112,21,1n n n n n a a a a b a +==+=-，数列{}n b 的前n 项和为2,n n n n S T S S =-. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；、 （Ⅱ）求证：1n n T T +>；21.（本题 12分）.过点A （-4，0）向椭圆)0(12222>>=+b a by a x 引两条切线，切点分别为B,C ，且ABC ∆为正三角形.（Ⅰ）求ab 最大时椭圆的方程；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的椭圆，若其左焦点为F ，过F 的直线l 与y 轴交于点M ，与椭圆的一个交点为Q ，且||2||QF MQ =求直线l 的方程22．（本题12分） 已知函数()1In xf x x ax-=+。
（1） 若函数()f x 在[)1,+∞上是增函数，求正实数a 的取值范围； （2） 当1a =时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（3） 当1a =时，证明：对任意的正整数1>n ，不等式>n ln1111In 234n n+++⋅⋅⋅+都成立。
河北衡水中学三模数学（理科）试题答案一、选择题：A 卷：ABCC D CAAAD DB B 卷：ACBBD BAAAD DC 二、填空题: （每小题5分，共20分）13． 4 14.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4120|x x 15. 2- 16． 124三、解答题：17. (本题10分) 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =．······························· 2分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ··························································· 4分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=， 即sin cos 2sin cos B A A A =， 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b = ············································ 6分 当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =． 8分所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==． ···································································· 10分 18. (本题12分) 解（Ⅰ）记A ：该选手第二次抽到的不是科技类题目；B ：该选手第一次抽到科技类而第二次抽到非科技类；C ：该选手第一次和第二次都抽到非科技类题目.则1111377622101021427()()()()909010C C C C P A P B C P B P C A A =+=+=+=+=. 6分 （Ⅱ）ξ的取值为0，1，2.383107(0)15A P A ξ===；122831037(1)15A A P A ξ===；21383101(2)15A A P A ξ===. 故ξ的分布列为：于是，ξ的期望5152151150=⨯+⨯+⨯=ξE . ------ 12分 19. （本题12分）（Ⅰ）证明：设BC 的中点为M .在斜三棱柱111ABC A B C -中，点1B 在底面ABC 上的射影恰好是BC 的中点, 1B M ∴⊥平面ABC. ……………………1分AC Ì平面ABC ，1B M AC ∴⊥.……………………2分90ACB ∠=︒，∴BC AC ⊥.1B MBC M =，∴AC ⊥平面11B C CB . ……………………3分AC ⊂平面11ACC A ，∴平面11ACC A ⊥平面11B C CB .………………4分解法一：（Ⅱ）连接1B C ，AC ⊥平面11B C CB ，1B C ∴是直线1AB 在平面11B C CB 上的射影. ………………5分 1BC CC =，∴四边形11B C CB 是菱形. 11B C BC ∴⊥.11AB BC ∴⊥. ……………6分（Ⅲ）过点B 作1BH AB ⊥交1AB 于点H ，连接1C H .11AB BC ⊥，1AB ∴⊥平面1BHC . 11AB C H ∴⊥.1BHC ∴∠是二面角11B AB C --的平面角. …………9分MB 1C 1A 1CBAMH B 1C 1A 1CBA设2BC =，则12,BC CA AA ===1,B M BC BM MC ⊥=，112B C B B ∴==.112BB B C BC ∴===. 160.B BC ∴∠=︒ 1120BCC ∴∠=︒.1BC ∴=AC ⊥平面1BC ，1B C Ì平面1BC ，1AC B C ∴⊥.1B A ∴=.在1BB A ∆中，可求2BH =.∵11111,B B B C B H B H ==，∴111R t R t B BH CBH ∆≅∆.∴12C H BH ==. 11414125cos 7BHC +-∴∠==-. ……………………………………10分15arccos 7BHC π∴∠=-.∴二面角11B AB C --的大小为5arccos 7π-. ………………12分解法二：（Ⅱ）因为点1B 在底面ABC 上的射影是BC 的中点，设BC 的中点为O ，则1B M ⊥平面ABC.以O 为原点，过O 平行于CA 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，1OB 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设11BC CA AA ===，由题意可知，1111(0,,0),(0,,0),(0,0,),(1,,0)2222B C B A --.设1(,,)C x y z ，由11BC B C =，得1(0,C -13(0,2BC ∴=-.又11(1,2AB =-. 1111310022AB BC ⎛⎫∴⋅=-⨯+⨯-+= ⎪⎝⎭.11AB BC ∴⊥. ……………………6分（Ⅲ）设平面1ABB 的法向量为111(,,1)x y =n .则1110,0.BA BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n∴1110,10.22x y y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩1∴=n .设平面11AB C 的法向量为222(,,1)x y =n .则21210,0.AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n∴222210,2210.2x y x y ⎧-++=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩2∴=n . 1212125cos ,7⋅∴<>==n n n n n n . ……………………………10分∴二面角11B AB C --的大小为5arccos 7π-. (12)分20．解：（1）由1n n b a =-，得1n n a b =+，代入121n n n a a a +=+，得12(1)1(1)(1)n n n b b b ++=+++，整理，得110n n n n b b b b +++-=,从而有1111n nb b +-=，111211b a =-=-=， 1n b ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列，1,nn b ∴=即1nb n=. …………………（5分）（2）1112S n n =+++， 2111122n n n T S S n n n ∴=-=+++++， 1111112322122n T n n n n n +=+++++++++， 111111102122122221n n T T n n n n n n +-=+->+-=++++++，()2122n n +<+∴1n n T T +>. …………………（12分）21.解：（Ⅰ）由题意，其中一条切线的方程为：)4(33+=x y -------------2分 联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1)4(332222b y a x x y 消去y 得2222223)4((3b a x a x b =++ 即03168)3(2222222=-+++b a a x a x b a有0=∆，可得16322=+b a因为16322=+b a ，所以223216b a ≥，即3380≤<ab ------------4分 所以当223b a =时，ab 取最大值；求得38,822==b a 故椭圆的方程为183822=+y x ----------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)0,334(-F ，设直线方程为：)334(+=x k y 设),(00y x Q ，则)334,0(k M 当QF MQ 2=时，，有定比分点公式可得：k y x 934,93800=-= --------------------------8分代入椭圆解得6114±=k 直线方程为)334(6114+±=x y ----------10分 同理当2-=时，340162-=k 无解 故直线方程为)334(6114+±=x y ------------12分 22、解：（I ）由题设可得21'()(0)ax f x a ax-=> 函数()f x 在[1,)+∞上是增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时，不等式21'()0ax f x ax -=≥即1a x ≥恒成立。